ومع تطور المجتمع وزيادة تعقيد الإنتاج، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. من المحاسبة التقليدية بطريقة الجمع والطرح مع تكررت عدة مرات، وتوصل إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح تقليل عملية الضرب المتكررة هو مفهوم الأسي. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأسي في القرن الثامن على يد عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. منهم يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.
رسم تاريخي
كما حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر تطور الميكانيكا. ت يتطلب كمية كبيرة من الحسابالمتعلقة بالضرب والقسمة أرقام متعددة الأرقام. كانت الطاولات القديمة ذات خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. خطوة كبيرةوقد احتل عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل، الذي نُشر عام 1544، الصدارة، حيث أدرك فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للدرجات في النموذج الأعداد الأولية، ولكن أيضًا للعقلانية التعسفية.
في عام 1614، قام الاسكتلندي جون نابير، بتطوير هذه الأفكار، لأول مرة مصطلح جديد"لوغاريتم الرقم." تم تجميع جديدة جداول معقدةلحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام، وكذلك الظلال. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.
بدأت تظهر جداول جديدة، والتي استخدمها العلماء بنجاح طوال الوقت ثلاثة قرون. مر وقت طويل قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. وتم تعريف اللوغاريتم ودراسة خصائصه.
فقط في القرن العشرين، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي عملت بنجاح طوال القرن الثالث عشر.
اليوم نسمي لوغاريتم b للأساس a الرقم x الذي يمثل قوة a لتكوين b. يتم كتابة هذا كصيغة: x = log a(b).
على سبيل المثال، سجل 3(9) سيكون مساويًا لـ 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. وإذا رفعنا 3 للقوة 2، نحصل على 9.
وبالتالي، فإن التعريف المصاغ يضع قيدًا واحدًا فقط: يجب أن يكون الرقمان a وb حقيقيين.
أنواع اللوغاريتمات
التعريف الكلاسيكي يسمى اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع الحل للمعادلة a x = b. الخيار أ = 1 هو حدي ولا يهم. تنبيه: 1 إلى أي قوة يساوي 1.
القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفه فقط عندما يكون الأساس والوسيطة أكبر من 0، ويجب ألا يساوي الأساس 1.
مكان خاص في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات، والتي سيتم تسميتها حسب حجم قاعدتها:
القواعد والقيود
الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).
كبديل لهذه العبارة سيكون هناك: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، دالة حاصل القسمة تساوي الفرق بين الدوال.
من القاعدتين السابقتين من السهل أن نرى أن: log a(b p) = p * log a(b).
تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:
تعليق. لا ترتكب خطأً شائعًا - لوغاريتم المجموع ليس كذلك يساوي المبلغاللوغاريتمات.
لعدة قرون، كانت عملية العثور على اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً إلى حد ما. استخدم علماء الرياضيات صيغة معروفةالنظرية اللوغاريتمية للتوسع متعدد الحدود:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، حيث n - عدد طبيعيأكبر من 1، وهو ما يحدد دقة الحساب.
تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.
لأن هذه الطريقة كثيفة العمالة للغاية و عندما تقرر مشاكل عملية من الصعب تنفيذه، استخدمنا جداول اللوغاريتمات المعدة مسبقًا، مما أدى إلى تسريع العمل بشكل كبير.
في بعض الحالات، تم استخدام الرسوم البيانية اللوغاريتمية المصممة خصيصًا، مما أعطى دقة أقل، ولكنه أدى إلى تسريع عملية البحث بشكل كبير القيمة المطلوبة. يتيح لك منحنى الدالة y = log a(x)، المبني على عدة نقاط، استخدام مسطرة عادية للعثور على قيمة الدالة عند أي نقطة أخرى. المهندسين منذ وقت طويلولهذه الأغراض، تم استخدام ما يسمى بورق الرسم البياني.
في القرن السابع عشر، ظهرت أول شروط الحوسبة التناظرية المساعدة، والتي القرن ال 19حصلت على نظرة نهائية. وكان الجهاز الأكثر نجاحا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. حاليا، عدد قليل من الناس على دراية بهذا الجهاز.
أدى ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر إلى جعل استخدام أي أجهزة أخرى بلا جدوى.
المعادلات والمتباينات
للحصول على حلول معادلات مختلفةوالمتباينات باستخدام اللوغاريتمات، يتم استخدام الصيغ التالية:
- الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- نتيجة للخيار السابق: log a(b) = 1 / log b(a).
لحل عدم المساواة من المفيد معرفة:
- لن تكون قيمة اللوغاريتم موجبة إلا إذا كان الأساس والوسيطة أكبر أو أقل من واحد؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل، ستكون قيمة اللوغاريتم سلبية.
- إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة، وكان أساس اللوغاريتم أكبر من واحد، فسيتم الحفاظ على علامة المتباينة؛ الخامس خلاف ذلكإنه يتغير.
أمثلة على المشاكل
دعونا نفكر في عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة على حل المعادلات:
فكر في خيار وضع اللوغاريتم في قوة:
- المشكلة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة، يكون الإدخال مشابهًا لما يلي (5^2)^log5(3) أو 5^(2 * log 5(3)). لنكتبها بشكل مختلف: 5^log 5(3*2)، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع الدالة نفسها (5^log 5(3))^2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات، هذا التعبير يساوي 3^2. الجواب: نتيجة للحساب نحصل على 9.
الاستخدام العملي
كونها أداة رياضية بحتة، يبدو الأمر بعيدا عن ذلك الحياه الحقيقيهالتي اكتسبها اللوغاريتم فجأة أهمية عظيمةلوصف الأشياء العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يتم استخدامه فيه. وهذا لا ينطبق تمامًا على مجالات المعرفة الطبيعية فحسب، بل أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.
التبعيات اللوغاريتمية
فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:
الميكانيكا والفيزياء
تاريخيًا، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام الأساليب الرياضيةالبحث وفي الوقت نفسه بمثابة حافز لتطوير الرياضيات، بما في ذلك اللوغاريتمات. إن نظرية معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. دعونا نعطي مثالين فقط من الأوصاف القوانين الفيزيائيةباستخدام اللوغاريتم.
حل مسألة حسابية مثل هذه حجم معقدكيف يمكن تحديد سرعة الصاروخ من خلال تطبيق صيغة تسيولكوفسكي التي وضعت الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:
V = I * ln (M1/M2)، حيث
- الخامس - السرعة النهائيةالطائرات.
- أنا - دفعة محددة للمحرك.
- م 1 – الكتلة الأولية للصاروخ.
- م2 – الكتلة النهائية .
آخر مثال مهم - يستخدم هذا في صيغة عالم عظيم آخر ماكس بلانك، والتي تعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.
S = ك * قانون الجنسية (Ω)، حيث
- S - الخاصية الديناميكية الحرارية.
- ك – ثابت بولتزمان.
- Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.
كيمياء
الأقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. دعونا نعطي مثالين فقط:
- معادلة نيرنست، حالة احتمالية الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
- لا يمكن أيضًا حساب ثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول بدون وظيفتنا.
علم النفس والبيولوجيا
وليس من الواضح على الإطلاق ما علاقة علم النفس بالأمر. وتبين أن قوة الإحساس يتم وصفها بشكل جيد من خلال هذه الوظيفة علاقة عكسيةقيم شدة التحفيز إلى قيمة الشدة الأقل.
بعد الأمثلة المذكورة أعلاه، لم يعد من المستغرب أن موضوع اللوغاريتمات يستخدم على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية التي تتوافق مع اللوالب اللوغاريتمية.
مناطق أخرى
ويبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة، وهي التي تحكم جميع القوانين. خاصة عندما يتعلق الأمر بقوانين الطبيعة المتوالية الهندسية. يجدر بنا أن ننتقل إلى موقع MatProfi، وهناك العديد من هذه الأمثلة في مجالات النشاط التالية:
القائمة يمكن أن تكون لا نهاية لها. بعد أن أتقنت المبادئ الأساسية لهذه الوظيفة، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.
نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، وتسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولاً سوف نفهم حساب اللوغاريتمات حسب التعريف. بعد ذلك، دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك، سوف نركز على حساب اللوغاريتمات في البداية تعيين القيماللوغاريتمات الأخرى. وأخيرًا، دعونا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.
التنقل في الصفحة.
حساب اللوغاريتمات حسب التعريف
في أبسط الحالات، من الممكن تنفيذ الأمر بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم حسب التعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.
جوهرها هو تمثيل الرقم ب في النموذج ج، والذي، من خلال تعريف اللوغاريتم، الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني، حسب التعريف، أن سلسلة المساواة التالية تتوافق مع إيجاد اللوغاريتم: log a b=log a a c =c.
لذا، فإن حساب اللوغاريتم حسب التعريف يتلخص في العثور على رقم c بحيث يكون a c = b، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.
مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة في الفقرات السابقة، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بواسطة قوة معينة لقاعدة اللوغاريتم، يمكنك الإشارة على الفور إلى ما يساويه اللوغاريتم - يساوي المؤشردرجات. دعونا نعرض الحلول بالأمثلة.
مثال.
ابحث عن السجل 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي للرقم e 5,3.
حل.
يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن السجل 2 2 −3 =−3. في الواقع، الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.
وبالمثل نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 =5.3.
إجابة:
سجل 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.
إذا لم يتم تحديد الرقم b تحت علامة اللوغاريتم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، فأنت بحاجة إلى النظر بعناية لمعرفة ما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم b في النموذج a c . غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا، خاصة عندما يكون الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1، أو 2، أو 3، ...
مثال.
احسب اللوغاريتمات log 5 25 و .
حل.
من السهل أن ترى أن 25=5 2، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25=log 5 5 2 =2.
دعنا ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة 7: 
(انظر إذا لزم الأمر). لذلك، 
.
دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث النموذج التالي. الآن يمكنك أن ترى ذلك 
، ومنه نستنتج ذلك 
. لذلك، من خلال تعريف اللوغاريتم 
.
باختصار يمكن كتابة الحل كالتالي: .
إجابة:
سجل 5 25=2 , 
و .
عندما يكون هناك عدد طبيعي كبير بما فيه الكفاية تحت علامة اللوغاريتم، فلن يضر توسيعه العوامل الأولية. غالبًا ما يساعد على تمثيل هذا الرقم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، وبالتالي حساب هذا اللوغاريتم حسب التعريف.
مثال.
أوجد قيمة اللوغاريتم.
حل.
تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. وتشمل هذه الخصائص خاصية لوغاريتم الوحدة، وخاصية لوغاريتم العدد، يساوي القاعدة: سجل 1 1=سجل أ 0 =0 و سجل أ= سجل أ 1 =1 . أي أنه عندما يكون هناك رقم 1 أو رقم يساوي أساس اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، فإن اللوغاريتمات في هذه الحالات تساوي 0 و1 على التوالي.
مثال.
ما هي اللوغاريتمات وlog10 يساوي؟
حل.
منذ ذلك الحين يتبع من تعريف اللوغاريتم 
.
في المثال الثاني، الرقم 10 تحت علامة اللوغاريتم يتطابق مع قاعدته، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحد، أي log10=lg10 1 =1.
إجابة:
و إل جي10=1 .
لاحظ أن حساب اللوغاريتمات حسب التعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يتضمن استخدام سجل المساواة a a p =p، وهو أحد خصائص اللوغاريتمات.
من الناحية العملية، عندما يتم تمثيل رقم تحت علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لرقم معين، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة 
وهو ما يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد لوغاريتم يوضح استخدام هذه الصيغة.
مثال.
احسب اللوغاريتم.
حل.
إجابة:
.
تُستخدم أيضًا خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في العمليات الحسابية، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.
إيجاد اللوغاريتمات من خلال اللوغاريتمات المعروفة الأخرى
تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات عند حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي بدلالة لوغاريتم آخر تكون قيمته معروفة. دعونا نعطي مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعرف ذلك log 2 3≈1.584963، ثم يمكننا إيجاد، على سبيل المثال، log 2 6 عن طريق إجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6=سجل 2 (2 3)=سجل 2 2+سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
في المثال أعلاه، كان يكفينا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتم الأصلي من خلال تلك المحددة.
مثال.
احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كنت تعلم أن log 60 2=a وlog 60 5=b.
حل.
لذلك نحن بحاجة إلى العثور على سجل 60 27 . من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي، بسبب خاصية لوغاريتم الأس، يمكن إعادة كتابته بالشكل 3·log 60 3 .
الآن دعونا نرى كيفية التعبير عن السجل 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. خاصية لوغاريتم الرقم الذي يساوي الأساس تسمح لنا بكتابة سجل المساواة 60 60=1. ومن ناحية أخرى، سجل 60 60=log60(2 2 3 5)= سجل 60 2 2 +سجل 60 3+سجل 60 5= 2·سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5 . هكذا، 2 سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5=1. لذلك، سجل 60 3=1−2·سجل 60 2−سجل 60 5=1−2·أ−ب.
أخيرًا، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
إجابة:
سجل 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتم النموذج الجديدة 
. يتيح لك الانتقال من اللوغاريتمات ذات الأساس إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد والتي تكون قيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادة، من اللوغاريتم الأصلي، باستخدام صيغة الانتقال، ينتقلون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10، حيث توجد لهذه القواعد جداول لوغاريتمية تسمح بحساب قيمها بدرجة معينة من دقة. في النقطة التاليةسنوضح لك كيف يتم ذلك.
الجداول اللوغاريتمية واستخداماتها
يمكن استخدام الحساب التقريبي لقيم اللوغاريتم جداول اللوغاريتم. جدول اللوغاريتم ذو الأساس 2 الأكثر استخدامًا هو الجدول اللوغاريتمات الطبيعيةوجدول اللوغاريتمات العشرية. عند العمل في النظام العشريبالنسبة لحساب التفاضل والتكامل، من المناسب استخدام جدول اللوغاريتمات بناءً على الأساس العشري. بمساعدتها سوف نتعلم كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات.
يتيح لك الجدول المعروض العثور على قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1000 إلى 9999 (مع ثلاث منازل عشرية) بدقة تصل إلى جزء من عشرة آلاف. سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية مثال محدد- الأمر أوضح بهذه الطريقة. دعونا نجد السجل 1.256.
في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق من أجل الوضوح). نجد الرقم الثالث من 1.256 (الرقم 5) في الأول أو الخط الأخيرعلى يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة بخط أخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المحددة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). مجموع الأرقام المميزة يعطي القيمة المطلوبة اللوغاريتم العشريدقيقة إلى المنزلة العشرية الرابعة، وهذا هو، سجل1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
هل من الممكن باستخدام الجدول أعلاه إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، وكذلك تلك التي تتجاوز النطاق من 1 إلى 9.999؟ نعم يمكنك ذلك. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.
دعونا نحسب lg102.76332. أولا عليك أن تكتب رقم في النموذج القياسي : 102.76332=1.0276332·10 2. بعد ذلك، ينبغي تقريب الجزء العشري إلى المنزلة العشرية الثالثة، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، بينما اللوغاريتم العشري الأصلي تقريبًا يساوي اللوغاريتمالرقم الناتج، أي أننا نأخذ log102.76332≈lg1.028·10 2. الآن نطبق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. وأخيرا نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 من جدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. ونتيجة لذلك، تبدو عملية حساب اللوغاريتم برمتها كما يلي: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية، والعثور على قيمها في الجدول، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.
على سبيل المثال، دعونا نحسب السجل 2 3 . وفقا لصيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة، لدينا . من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد log3≈0.4771 و log2≈0.3010. هكذا، 
.
فهرس.
- كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 من مؤسسات التعليم العام.
- جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).
المتعلق ب
يمكن تعيين مهمة العثور على أي من الأرقام الثلاثة من الرقمين الآخرين. إذا تم إعطاء a ثم N، يتم العثور عليهما عن طريق الأس. إذا كان N ثم a يُعطى عن طريق أخذ جذر الدرجة x (أو رفعه إلى الأس). الآن فكر في الحالة التي نحتاج فيها إلى إيجاد x، عند وجود a وN.
ليكن الرقم N موجباً: الرقم a يكون موجباً ولا يساوي واحداً: .
تعريف. لوغاريتم الرقم N للأساس a هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على الرقم N؛ يتم الإشارة إلى اللوغاريتم بواسطة
وهكذا، في المساواة (26.1) تم العثور على الأس على أنه لوغاريتم N للأساس a. دعامات
يملك نفس المعنى. تُسمى المساواة (26.1) أحيانًا بالهوية الرئيسية لنظرية اللوغاريتمات؛ وهو في الواقع يعبر عن تعريف مفهوم اللوغاريتم. بواسطة هذا التعريفقاعدة اللوغاريتم a تكون دائمًا موجبة ومختلفة عن الوحدة؛ الرقم اللوغاريتمي N موجب. الأرقام السالبة والصفر ليس لها لوغاريتمات. يمكن إثبات أن أي رقم له أساس معين له لوغاريتم محدد جيدًا. ولذلك فإن المساواة تستلزم . لاحظ أن الشرط ضروري هنا؛ وإلا فلن يكون الاستنتاج مبررا، لأن المساواة صحيحة لأي قيم x وy.
مثال 1. البحث
حل. للحصول على رقم يجب عليك رفع الأساس 2 إلى القوة لذلك.
يمكنك تدوين ملاحظات عند حل مثل هذه الأمثلة بالشكل التالي:
مثال 2. ابحث عن .
حل. لدينا
في المثالين 1 و2، وجدنا بسهولة اللوغاريتم المطلوب من خلال تمثيل رقم اللوغاريتم كقوة للقاعدة مؤشر عقلاني. في الحالة العامة، على سبيل المثال، وما إلى ذلك، لا يمكن القيام بذلك، لأن اللوغاريتم موجود معنى غير عقلاني. دعونا ننتبه إلى مسألة واحدة تتعلق بهذا البيان. وفي الفقرة 12 قدمنا مفهوم إمكانية تحديد أي منها درجة حقيقيةمنح رقم موجب، عدد إيجابي. كان هذا ضروريًا لإدخال اللوغاريتمات، والتي، بشكل عام، يمكن أن تكون أرقامًا غير منطقية.
دعونا نلقي نظرة على بعض خصائص اللوغاريتمات.
الخاصية 1. إذا كان الرقم والقاعدة متساويين، فإن اللوغاريتم يساوي واحدًا، وعلى العكس، إذا كان اللوغاريتم يساوي واحدًا، فإن الرقم والقاعدة متساويان.
دليل. دعونا من خلال تعريف اللوغاريتم لدينا ومن أين
وعلى العكس من ذلك، اسمحوا ثم حسب التعريف
الخاصية 2. لوغاريتم واحد لأي قاعدة يساوي الصفر.
دليل. حسب تعريف اللوغاريتم ( درجة الصفرأي قاعدة موجبة تساوي واحدًا، انظر (١٠.١)). من هنا
Q.E.D.
العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا، فإن N = 1. في الواقع، لدينا.
قبل صياغة الخاصية التالية للوغاريتمات، دعونا نتفق على القول بأن الرقمين a وb يقعان على نفس الجانب من الرقم الثالث c إذا كانا أكبر من c أو أقل من c. إذا كان أحد هذين الرقمين أكبر من c، والآخر أقل من c، فسنقول إنهما يقعان معًا جوانب مختلفةمن القرية
الخاصية 3. إذا كان الرقم والقاعدة يقعان على نفس الجانب من الواحد، فإن اللوغاريتم موجب؛ إذا كان العدد والقاعدة يقعان على طرفين متقابلين للواحد، فإن اللوغاريتم يكون سالبًا.
يعتمد إثبات الخاصية 3 على أن قوة a أكبر من الواحد إذا كان الأساس أكبر من واحد والأس موجب أو الأساس أقل من واحد والأس سالب. تكون القوة أقل من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد والأس سالبًا أو إذا كان الأساس أقل من واحد والأس موجب.
هناك أربع حالات يجب أخذها بعين الاعتبار:
وسوف نقتصر على تحليل أولها، وسينظر القارئ في الباقي من تلقاء نفسه.
دعونا إذن في المساواة لا يمكن أن يكون الأس سالبًا ولا يساوي الصفرولذلك فهو موجب، أي كما يقتضي إثباته.
مثال 3. اكتشف أي اللوغاريتمات أدناه إيجابية وأيها سلبية:
الحل: أ) بما أن العدد 15 والأساس 12 يقعان على نفس الجانب من الواحد؛
ب) بما أن 1000 و2 يقعان على جانب واحد من الوحدة؛ وفي هذه الحالة ليس من المهم أن يكون الأساس أكبر من الرقم اللوغاريتمي؛
ج) بما أن 3.1 و 0.8 يقعان على طرفي نقيض من الوحدة؛
ز) ؛ لماذا؟
د) ؛ لماذا؟
غالبًا ما تسمى الخصائص التالية 4-6 بقواعد اللوغاريتمات: فهي تسمح، بمعرفة لوغاريتمات بعض الأرقام، بالعثور على لوغاريتمات منتجها وحاصلها ودرجة كل منها.
الخاصية 4 (قاعدة لوغاريتم المنتج). لوغاريتم منتج عدة أرقام موجبة بواسطة هذا الأساسيساوي مجموع لوغاريتمات هذه الأرقام لنفس الأساس.
دليل. دع الأرقام المعطاة تكون موجبة.
بالنسبة لوغاريتم حاصل ضربهم نكتب المساواة (26.1) التي تحدد اللوغاريتم:
من هنا سنجد
مقارنة الأسس من الأول و التعبيرات الأخيرة، نحصل على المساواة المطلوبة:
علماً بأن الشرط أساسي؛ لوغاريتم منتج اثنين أرقام سلبيةفمن المنطقي، ولكن في هذه الحالة نحصل
بشكل عام، إذا كان حاصل ضرب عدة عوامل موجبًا، فإن لوغاريتمه يساوي مجموع لوغاريتمات القيم المطلقة لهذه العوامل.
الخاصية 5 (قاعدة أخذ لوغاريتمات القسمة). لوغاريتم حاصل قسمة الأعداد الموجبة يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه، مأخوذة من نفس الأساس. دليل. نجد باستمرار
Q.E.D.
الخاصية 6 (قاعدة لوغاريتم القوة). لوغاريتم أس أي رقم موجب يساوي لوغاريتم ذلك الرقم مضروبًا في الأس.
دليل. دعونا نكتب مرة أخرى الهوية الرئيسية (26.1) للرقم:
Q.E.D.
عاقبة. لوغاريتم جذر عدد موجب يساوي لوغاريتم الجذر مقسومًا على أس الجذر:
يمكن إثبات صحة هذه النتيجة الطبيعية من خلال تخيل كيفية استخدام الخاصية 6.
مثال 4. خذ اللوغاريتم للأساس a:
أ) (من المفترض أن جميع القيم ب، ج، د، ه إيجابية)؛
ب) (يفترض ذلك).
الحل، أ) من المناسب الذهاب إليه هذا التعبيرإلى القوى الكسرية:
بناءً على التساويات (26.5)-(26.7)، يمكننا الآن أن نكتب:
نلاحظ أنه يتم إجراء عمليات أبسط على لوغاريتمات الأرقام مقارنة بالأرقام نفسها: عند ضرب الأرقام، تُضاف اللوغاريتمات الخاصة بها، وعند القسمة تُطرح، وما إلى ذلك.
ولهذا السبب يتم استخدام اللوغاريتمات في ممارسة الحوسبة (انظر الفقرة 29).
يُطلق على الإجراء العكسي للوغاريتم اسم التقوية، أي: التقوية هي الإجراء الذي يتم من خلاله العثور على الرقم نفسه من لوغاريتم معين لرقم. في الأساس، التقوية ليست أي إجراء خاص: فهي تتعلق برفع القاعدة إلى قوة (تساوي لوغاريتم الرقم). يمكن اعتبار مصطلح "التقوية" مرادفًا لمصطلح "التعزيز".
عند التحفيز، يجب عليك استخدام القواعد العكسية لقواعد اللوغاريتمات: استبدل مجموع اللوغاريتمات بلوغاريتم المنتج، وفرق اللوغاريتمات بلوغاريتم الحاصل، وما إلى ذلك. على وجه الخصوص، إذا كان هناك عامل في المقدمة من علامة اللوغاريتم، ثم أثناء التقوية يجب أن يتم نقلها إلى درجات الأس تحت علامة اللوغاريتم.
مثال 5. ابحث عن N إذا كان معروفا ذلك
حل. فيما يتعلق بقاعدة التقوية المذكورة للتو، سننقل العوامل 2/3 و1/3 الموجودة أمام علامات اللوغاريتمات على الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى أسس تحت علامات هذه اللوغاريتمات؛ نحن نحصل
الآن نستبدل فرق اللوغاريتمات بلوغاريتم الحاصل:
للحصول على الكسر الأخير في سلسلة التساويات هذه، قمنا بتحرير الكسر السابق من اللاعقلانية في المقام (البند 25).
الخاصية 7. إذا كانت القاعدة أكبر من واحد عدد أكبرله لوغاريتم أكبر (والرقم الأصغر له لوغاريتم أصغر)، إذا كان الأساس أقل من واحد، فإن الرقم الأكبر له لوغاريتم أصغر (والرقم الأصغر له لوغاريتم أكبر).
تمت صياغة هذه الخاصية أيضًا كقاعدة لأخذ لوغاريتمات المتباينات التي يكون طرفاها موجبًا:
عند أخذ لوغاريتمات المتباينات إلى الأساس، أكبر من واحد، يتم الحفاظ على علامة المتباينة، وعند أخذ لوغاريتم لأساس أقل من واحد، تتغير علامة المتباينة إلى العكس (انظر أيضًا الفقرة 80).
يعتمد الدليل على الخاصيتين 5 و 3. ضع في اعتبارك الحالة عندما نحصل على إذا، وبأخذ اللوغاريتمات
(a وN/M يقعان على نفس الجانب من الوحدة). من هنا
الحالة التالية، سيكتشفها القارئ بنفسه.
اليوم سنتحدث عنه الصيغ اللوغاريتميةوسوف نعطي الإرشادية أمثلة الحل.
هم أنفسهم يشيرون إلى أنماط الحل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم لحلها، دعونا نذكرك بجميع الخصائص:
الآن، على أساس هذه الصيغ (الخصائص)، سوف نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.
أمثلة على حل اللوغاريتمات على أساس الصيغ.
اللوغاريتمالرقم الموجب b للأساس a (يُشار إليه بالسجل a b) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b، مع b > 0، وa > 0، و1.
وفق تعريفات السجل a b = x، وهو ما يعادل a x = b، لذلك سجل a a x = x.
اللوغاريتمات، أمثلة:
سجل 2 8 = 3، لأن 2 3 = 8
سجل 7 49 = 2، لأن 7 2 = 49
سجل 5 1/5 = -1، لأن 5 -1 = 1/5
اللوغاريتم العشري- هذا لوغاريتم عادي، قاعدته 10. ويشار إليه بـ lg.
سجل 10 100 = 2، لأن 10 2 = 100
اللوغاريتم الطبيعي- أيضاً اللوغاريتم اللوغاريتمي المعتاد ولكن بالقاعدة e (e = 2.71828... - عدد غير نسبي). يشار إليه باسم ln.
من المستحسن حفظ صيغ أو خصائص اللوغاريتمات، لأننا سنحتاجها لاحقا عند حل اللوغاريتمات، المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة. دعونا نعمل على كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.
- الأساسيات الهوية اللوغاريتمية
سجل أ ب = ب8 2 سجل 8 3 = (8 2 سجل 8 3) 2 = 3 2 = 9
- لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ جسجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1*10) = سجل 3 81 = 4
- لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات
سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج9 سجل 5 50 /9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50- سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81
- خصائص قوة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم
أس الرقم اللوغاريتمي سجل a b m = mlog a b
أس قاعدة اللوغاريتم log a n b =1/n*log a b
تسجيل الدخول أ ن ب م = م/ن*تسجيل أ ب،
إذا م = ن، نحصل على سجل أ ن ب ن = سجل أ ب
سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3
- الانتقال إلى أساس جديد
سجل أ ب = سجل ج ب/سجل ج أ،إذا كان ج = ب، نحصل على سجل ب ب = 1
ثم سجل أ ب = 1/سجل ب أ
سجل 0.8 3*سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3*سجل 0.8 1.25/سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1
كما ترون، صيغ اللوغاريتمات ليست معقدة كما تبدو. والآن، بعد أن نظرنا إلى أمثلة حل اللوغاريتمات، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة حل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!
إذا كان لا يزال لديك أسئلة حول الحل، فاكتبها في التعليقات على المقالة.
ملاحظة: قررنا الحصول على فئة مختلفة من التعليم والدراسة في الخارج كخيار.
اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست بالضبط أرقام عادية، هناك قواعد هنا، والتي تسمى الخصائص الرئيسية.
أنت بالتأكيد بحاجة إلى معرفة هذه القواعد - فبدونها لا يمكن حل أي مشكلة خطيرة. مشكلة لوغاريتمية. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.
جمع وطرح اللوغاريتمات
فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: السجل أ سوسجل أ ذ. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:
- سجل أ س+سجل أ ذ=log أ (س · ذ);
- سجل أ س- سجل أ ذ=log أ (س : ذ).
إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. ملحوظة: لحظة رئيسيةهنا - أسباب متطابقة. إذا اختلفت الأسباب فلا تصلح هذه القواعد!
هذه الصيغ سوف تساعدك على الحساب التعبير اللوغاريتميحتى عندما لا يتم حساب أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:
سجل 6 4 + سجل 6 9.
بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.
القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.
مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.
كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات اتضح تماما أرقام عادية. كثيرون مبنيون على هذه الحقيقة أوراق الاختبار. ماذا عن الضوابط؟ تعبيرات مماثلةبكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) يتم تقديمها في امتحان الدولة الموحدة.
استخراج الأس من اللوغاريتم
الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:
من السهل ملاحظة ذلك القاعدة الأخيرةيتبع الأولين. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من كمية العمليات الحسابية.
بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: أ > 0, أ ≠ 1, س> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا بالعكس، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .
دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12
مهمة. ابحث عن معنى العبارة:
[تعليق على الصورة]
لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:
[تعليق على الصورة] وأعتقد أن المثال الأخيرالتوضيح مطلوب. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأخرجنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".
الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.
الانتقال إلى أساس جديد
عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟
تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:
دع سجل اللوغاريتم يعطى أ س. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1، المساواة صحيحة:
[تعليق على الصورة]
على وجه الخصوص، إذا وضعنا ج = س، نحن نحصل:
[تعليق على الصورة]
ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.
ونادرا ما توجد هذه الصيغ في التقليدية التعبيرات العددية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.
ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:
مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.
لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;
الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:
[تعليق على الصورة]وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.
أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:
[تعليق على الصورة]الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:
[تعليق على الصورة]الهوية اللوغاريتمية الأساسية
في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:
في الحالة الأولى العدد نيصبح مؤشرا على درجة الوقوف في الحجة. رقم نيمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق، لأنها مجرد قيمة لوغاريتمية.
الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية.
في الواقع، ماذا سيحدث إذا كان العدد برفع إلى هذه القوة أن العدد بلهذه القوة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.
مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.
مهمة. ابحث عن معنى العبارة:
[تعليق على الصورة]
لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ في الاعتبار قواعد ضرب القوى بها نفس الأساس، نحن نحصل:
[تعليق على الصورة]إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)
الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي
في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".
- سجل أ أ= 1 هو وحدة لوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: اللوغاريتم لأي قاعدة أمن هذه القاعدة ذاتها يساوي واحدًا.
- سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كانت الوسيطة تحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفرًا! لأن أ 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.
هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.