سجل الأمثلة. تعريف اللوغاريتم، الهوية اللوغاريتمية الأساسية

أحد عناصر جبر المستوى البدائي هو اللوغاريتم. يأتي الاسم من اللغة اليونانية من كلمة "رقم" أو "قوة" ويعني القوة التي يجب رفع الرقم الموجود في القاعدة إليها للعثور على الرقم النهائي.

أنواع اللوغاريتمات

• سجل أ ب – لوغاريتم الرقم ب للأساس أ (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0);
• السجل ب - اللوغاريتم العشري (اللوغاريتم للأساس 10، أ = 10)؛
• ln b – اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم للأساس e، a = e).

كيفية حل اللوغاريتمات؟

لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يتطلب رفع b إلى الأساس a. يتم نطق النتيجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي: "لوغاريتم b إلى الأساس a." الحل للمشكلات اللوغاريتمية هو أنك تحتاج إلى تحديد القوة المعطاة بالأرقام من الأرقام المحددة. هناك بعض القواعد الأساسية لتحديد أو حل اللوغاريتم، وكذلك تحويل الترميز نفسه. وباستخدامها يتم حل المعادلات اللوغاريتمية وإيجاد المشتقات وحل التكاملات وتنفيذ العديد من العمليات الأخرى. في الأساس، حل اللوغاريتم نفسه هو تدوينه المبسط. فيما يلي الصيغ والخصائص الأساسية:

لأي ; أ> 0؛ أ ≠ 1 ولأي x ; ص> 0.

• سجل أ ب = ب – الهوية اللوغاريتمية الأساسية
• سجل 1 = 0
• اللوغاريتم أ = 1
• سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص
• سجل x/ y = سجل x – سجل y
• سجل 1/x = - سجل x
• سجل أ س ع = ص سجل أ س
• log a k x = 1/k log a x لـ k ≠ 0
• سجل أ س = سجل أ ج س ج
• log a x = log b x/ log b a - صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
• سجل أ س = 1/سجل س أ

كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة للحل

• أولا، اكتب المعادلة المطلوبة.

يرجى ملاحظة: إذا كان اللوغاريتم الأساسي هو 10، فسيتم تقصير الإدخال، مما يؤدي إلى لوغاريتم عشري. إذا كان هناك عدد طبيعي e، فإننا نكتبه ونختصره إلى لوغاريتم طبيعي. وهذا يعني أن نتيجة جميع اللوغاريتمات هي القوة التي يتم رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

مباشرة الحل يكمن في حساب هذه الدرجة. قبل حل تعبير باستخدام اللوغاريتم، يجب تبسيطه وفقًا للقاعدة، أي باستخدام الصيغ. يمكنك العثور على الهويات الرئيسية من خلال الرجوع قليلاً في المقالة.

عند جمع وطرح لوغاريتمات تحتوي على رقمين مختلفين ولكن بنفس الأساس، استبدلها بلوغاريتم واحد مع حاصل ضرب أو قسمة الرقمين b وc، على التوالي. في هذه الحالة، يمكنك تطبيق صيغة الانتقال إلى قاعدة أخرى (انظر أعلاه).

إذا كنت تستخدم تعبيرات لتبسيط اللوغاريتم، فهناك بعض القيود التي يجب مراعاتها. وهو: أن أساس اللوغاريتم a هو عدد موجب فقط، لكنه لا يساوي واحدًا. الرقم ب، مثل أ، يجب أن يكون أكبر من الصفر.

هناك حالات لن تتمكن فيها، من خلال تبسيط التعبير، من حساب اللوغاريتم عدديًا. يحدث أن مثل هذا التعبير لا معنى له، لأن العديد من القوى هي أرقام غير عقلانية. في ظل هذه الحالة، اترك قوة الرقم لوغاريتمًا.

لوغاريتم الرقم b (b > 0) للأساس a (a > 0, a ≠ 1)- الأس الذي يجب رفع الرقم a إليه للحصول على b.

يمكن كتابة اللوغاريتم ذو الأساس 10 لـ b كـ سجل (ب)، واللوغاريتم للأساس e (اللوغاريتم الطبيعي) هو قانون الجنسية (ب).

غالبًا ما يستخدم عند حل المشكلات المتعلقة باللوغاريتمات:

خصائص اللوغاريتمات

هناك أربعة رئيسية خصائص اللوغاريتمات.

دع a > 0، وa ≠ 1، وx > 0، وy > 0.

الخاصية 1. لوغاريتم المنتج

لوغاريتم المنتجيساوي مجموع اللوغاريتمات:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

الخاصية 2. لوغاريتم الحاصل

لوغاريتم الحاصليساوي فرق اللوغاريتمات:

سجل أ (س / ص) = سجل س - سجل ص

الخاصية 3. لوغاريتم القوة

لوغاريتم الدرجةيساوي منتج القوة واللوغاريتم:

إذا كان أساس اللوغاريتم هو الدرجة، فسيتم تطبيق صيغة أخرى:

الخاصية 4. لوغاريتم الجذر

يمكن الحصول على هذه الخاصية من خاصية لوغاريتم القوة، حيث أن الجذر النوني للقوة يساوي قوة 1/n:

صيغة للتحويل من لوغاريتم في قاعدة واحدة إلى لوغاريتم في قاعدة أخرى

تُستخدم هذه الصيغة أيضًا غالبًا عند حل المهام المختلفة على اللوغاريتمات:

حالة خاصة:

مقارنة اللوغاريتمات (عدم المساواة)

لدينا وظيفتان f(x) وg(x) تحت اللوغاريتمات لهما نفس الأساس ويوجد بينهما علامة عدم المساواة:

للمقارنة بينهما، عليك أولاً إلقاء نظرة على قاعدة اللوغاريتمات a:

• إذا كان a > 0، فإن f(x) > g(x) > 0
• إذا 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

كيفية حل المشاكل مع اللوغاريتمات: أمثلة

مشاكل مع اللوغاريتماتالمدرجة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات للصف 11 في المهمة 5 والمهمة 7، يمكنك العثور على المهام مع الحلول على موقعنا على الإنترنت في الأقسام المناسبة. كما يمكن العثور على المهام ذات اللوغاريتمات في بنك مهام الرياضيات. يمكنك العثور على جميع الأمثلة من خلال البحث في الموقع.

ما هو اللوغاريتم

لطالما اعتبرت اللوغاريتمات موضوعًا صعبًا في دورات الرياضيات المدرسية. هناك العديد من التعريفات المختلفة للوغاريتم، ولكن لسبب ما تستخدم معظم الكتب المدرسية التعريف الأكثر تعقيدًا وغير الناجح منها.

سوف نحدد اللوغاريتم ببساطة ووضوح. للقيام بذلك، دعونا إنشاء جدول:

لذلك، لدينا قوى اثنين.

اللوغاريتمات - الخصائص، الصيغ، كيفية حلها

إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.

والآن - في الواقع، تعريف اللوغاريتم:

الأساس a للوسيطة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على الرقم x.

التعيين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.

على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس النجاح، سجل 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
سجل 2 2 = 1	سجل 2 4 = 2	سجل 2 8 = 3	سجل 2 16 = 4	سجل 2 32 = 5	سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون في مكان ما في الفاصل الزمني. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). في البداية، يخلط الكثير من الناس بين مكان الأساس ومكان الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.

كيفية حساب اللوغاريتمات

لقد اكتشفنا التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:

1. يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بواسطة الأس العقلاني، والذي يتم تقليل تعريف اللوغاريتم إليه.
2. يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود نطاق القيم المقبولة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.

ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية، حيث ليس من الضروري معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المهام. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

1. عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من واحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
2. حل معادلة المتغير b: x = a b ;
3. سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. الأمر نفسه ينطبق على الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;

لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒(5 1) ب = 5 2 ⇒5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2;

2. تلقينا الجواب: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
   سجل 4 64 = ب ⇒(2 2) ب = 2 6 ⇒2 2ب = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ ب = 3;
3. تلقينا الجواب: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1

1. لنتخيل القاعدة والوسيطة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
   سجل 16 1 = ب ⇒(2 4) ب = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ ب = 0;
3. لقد تلقينا الجواب: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14

1. لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
3. الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. إذا كان للتمدد عاملين مختلفين على الأقل، فإن الرقم ليس قوة محددة.

مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها هي دائمًا قوى دقيقة لذاتها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.

الوسيطة x هي اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.

على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ إل جي 100 = 2; إل جي 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. نحن نتحدث عن اللوغاريتم الطبيعي.

الوسيطة x هي اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x.

سوف يتساءل الكثير من الناس: ما هو الرقم e؟ هذا رقم غير نسبي، ولا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وكتابتها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459…

لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x

وهكذا ln e = 1؛ لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء واحد بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.

أنظر أيضا:

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (قوة اللوغاريتم).

كيفية تمثيل رقم على شكل لوغاريتم؟

نستخدم تعريف اللوغاريتم.

اللوغاريتم هو الأس الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على الرقم تحت علامة اللوغاريتم.

وبالتالي، لتمثيل رقم معين c باعتباره لوغاريتم للأساس a، تحتاج إلى وضع قوة لها نفس الأساس مثل قاعدة اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، وكتابة هذا الرقم c باعتباره الأس:

يمكن تمثيل أي رقم على الإطلاق لوغاريتم - موجب، سالب، عدد صحيح، كسري، عقلاني، غير عقلاني:

لكي لا تخلط بين أ و ج في ظل الظروف العصيبة للاختبار أو الامتحان، يمكنك استخدام قاعدة الحفظ التالية:

ما هو أدناه يهبط، وما هو فوق يرتفع.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تمثيل الرقم 2 على هيئة لوغاريتم للأساس 3.

لدينا رقمان - 2 و 3. هذان الرقمان هما الأساس والأس، وسنكتبهما تحت علامة اللوغاريتم. ويبقى تحديد أي من هذه الأرقام يجب كتابته، إلى قاعدة الدرجة، وأي منها يجب كتابته، إلى الأس.

الأساس 3 في تدوين اللوغاريتم موجود في الأسفل، مما يعني أنه عندما نمثل اثنين كوغاريتم للأساس 3، سنكتب أيضًا 3 للأساس.

2 أعلى من الثلاثة. وفي إشارة إلى الدرجة الثانية نكتب فوق الثلاثة، أي كأساس:

اللوغاريتمات. مستوى اول.

اللوغاريتمات

اللوغاريتمرقم موجب، عدد إيجابي بمرتكز على أ، أين أ > 0، أ ≠ 1، يسمى الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أ، ليحصل ب.

تعريف اللوغاريتميمكن كتابتها باختصار مثل هذا:

هذه المساواة صالحة ل ب > 0، أ > 0، أ ≠ 1.وعادة ما يطلق عليه الهوية اللوغاريتمية.
تسمى عملية إيجاد لوغاريتم الرقم بواسطة اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتمات:

لوغاريتم المنتج:

لوغاريتم الحاصل:

استبدال قاعدة اللوغاريتم:

لوغاريتم الدرجة:

لوغاريتم الجذر:

اللوغاريتم مع قاعدة الطاقة:

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

اللوغاريتم العشريالأرقام تسمي لوغاريتم هذا الرقم بالأساس 10 وتكتب   lg ب
اللوغاريتم الطبيعيتسمى الأرقام لوغاريتم هذا الرقم للأساس ه، أين ه- رقم غير منطقي يساوي 2.7 تقريبًا. وفي نفس الوقت يكتبون ln ب.

ملاحظات أخرى على الجبر والهندسة

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: log a x وlog a y. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

1. سجل أ x + سجل ص = سجل أ (س ص)؛
2. سجل أ س - سجل ص = سجل أ (س: ص).

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى عندما لا يتم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: a > 0, a ≠ 1, x > 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا العكس. ، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه.

كيفية حل اللوغاريتمات

وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا ​​أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأخرجنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يسجل x يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص، إذا وضعنا c = x، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة.

في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يسمى : .

في الواقع، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم b إلى قوة بحيث يعطي الرقم b إلى هذه القوة الرقم a؟ هذا صحيح: النتيجة هي نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا.
2. سجل 1 = 0 هو. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

ومع تطور المجتمع وزيادة تعقيد الإنتاج، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. ومن المحاسبة العادية باستخدام أسلوب الجمع والطرح مع تكرارهما المتكرر، وصلنا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح تقليل عملية الضرب المتكررة هو مفهوم الأسي. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأسي في القرن الثامن على يد عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. منهم يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.

رسم تاريخي

كما حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر تطور الميكانيكا. ت يتطلب كمية كبيرة من الحسابالمتعلقة بضرب وقسمة الأعداد ذات الأرقام المتعددة. كانت الطاولات القديمة ذات خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. وكانت الخطوة الكبيرة إلى الأمام هي عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل، الذي نُشر عام 1544، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للقوى في شكل أعداد أولية، ولكن أيضًا للقوى العقلانية التعسفية.

في عام 1614، قام الاسكتلندي جون نابير، الذي طور هذه الأفكار، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم" لأول مرة. تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.

بدأت تظهر جداول جديدة استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر وقت طويل قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. وتم تعريف اللوغاريتم ودراسة خصائصه.

فقط في القرن العشرين، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي عملت بنجاح طوال القرن الثالث عشر.

اليوم نسمي لوغاريتم b للأساس a الرقم x الذي يمثل قوة a لتكوين b. يتم كتابة هذا كصيغة: x = log a(b).

على سبيل المثال، سجل 3(9) سيكون مساويًا لـ 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. وإذا رفعنا 3 للقوة 2، نحصل على 9.

وبالتالي، فإن التعريف المصاغ يضع قيدًا واحدًا فقط: يجب أن يكون الرقمان a وb حقيقيين.

أنواع اللوغاريتمات

التعريف الكلاسيكي يسمى اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع الحل للمعادلة a x = b. الخيار أ = 1 هو حدي ولا يهم. تنبيه: 1 إلى أي قوة يساوي 1.

القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفه فقط عندما يكون الأساس والوسيطة أكبر من 0، ويجب ألا يساوي الأساس 1.

مكان خاص في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات، والتي سيتم تسميتها حسب حجم قاعدتها:

القواعد والقيود

الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).

كبديل لهذه العبارة سيكون هناك: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، دالة حاصل القسمة تساوي الفرق بين الدوال.

من القاعدتين السابقتين من السهل أن نرى أن: log a(b p) = p * log a(b).

تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

تعليق. ليست هناك حاجة لارتكاب خطأ شائع - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.

لعدة قرون، كانت عملية العثور على اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً إلى حد ما. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية لتوسع كثيرات الحدود:

قانون الجنسية (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، حيث n هو عدد طبيعي أكبر من 1، وهو ما يحدد دقة الحساب.

تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.

نظرًا لأن هذه الطريقة تتطلب عمالة كثيفة جدًا و عند حل المشاكل العمليةمن الصعب تنفيذه، استخدمنا جداول اللوغاريتمات المعدة مسبقًا، مما أدى إلى تسريع العمل بشكل كبير.

في بعض الحالات، تم استخدام الرسوم البيانية اللوغاريتمات المجمعة خصيصا، والتي أعطت دقة أقل، ولكنها سارعت بشكل كبير في البحث عن القيمة المطلوبة. يتيح لك منحنى الدالة y = log a(x)، المبني على عدة نقاط، استخدام مسطرة عادية للعثور على قيمة الدالة عند أي نقطة أخرى. لفترة طويلة، استخدم المهندسون ما يسمى بورق الرسم البياني لهذه الأغراض.

في القرن السابع عشر، ظهرت أول شروط الحوسبة التناظرية المساعدة، والتي اكتسبت شكلاً كاملاً بحلول القرن التاسع عشر. وكان الجهاز الأكثر نجاحا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. حاليا، عدد قليل من الناس على دراية بهذا الجهاز.

أدى ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر إلى جعل استخدام أي أجهزة أخرى بلا جدوى.

المعادلات والمتباينات

لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات، يتم استخدام الصيغ التالية:

• الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• نتيجة للخيار السابق: log a(b) = 1 / log b(a).

لحل عدم المساواة من المفيد معرفة:

• لن تكون قيمة اللوغاريتم موجبة إلا إذا كان الأساس والوسيطة أكبر أو أقل من واحد؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل، ستكون قيمة اللوغاريتم سلبية.
• إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة، وكان أساس اللوغاريتم أكبر من واحد، فسيتم الحفاظ على علامة المتباينة؛ وإلا فإنه يتغير.

أمثلة على المشاكل

دعونا نفكر في عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة على حل المعادلات:

فكر في خيار وضع اللوغاريتم في قوة:

• المشكلة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة، يكون الإدخال مشابهًا لما يلي (5^2)^log5(3) أو 5^(2 * log 5(3)). لنكتبها بشكل مختلف: 5^log 5(3*2)، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع الدالة نفسها (5^log 5(3))^2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات، هذا التعبير يساوي 3^2. الجواب: نتيجة للحساب نحصل على 9.

الاستخدام العملي

كونها أداة رياضية بحتة، يبدو بعيدًا عن الحياة الواقعية أن اللوغاريتم اكتسب فجأة أهمية كبيرة لوصف الأشياء في العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يتم استخدامه فيه. وهذا لا ينطبق تمامًا على مجالات المعرفة الطبيعية فحسب، بل أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.

التبعيات اللوغاريتمية

فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:

الميكانيكا والفيزياء

تاريخيًا، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام أساليب البحث الرياضي وفي نفس الوقت كانت بمثابة حافز لتطوير الرياضيات، بما في ذلك اللوغاريتمات. إن نظرية معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. دعونا نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.

يمكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة الصاروخ باستخدام صيغة تسيولكوفسكي، التي وضعت الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:

V = I * ln (M1/M2)، حيث

• V هي السرعة النهائية للطائرة.
• أنا - دفعة محددة للمحرك.
• م 1 – الكتلة الأولية للصاروخ.
• م2 – الكتلة النهائية .

مثال مهم آخر- يستخدم هذا في صيغة عالم عظيم آخر ماكس بلانك، والتي تعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.

S = ك * قانون الجنسية (Ω)، حيث

• S - الخاصية الديناميكية الحرارية.
• ك – ثابت بولتزمان.
• Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.

كيمياء

الأقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. دعونا نعطي مثالين فقط:

• معادلة نيرنست، حالة احتمالية الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
• لا يمكن أيضًا حساب ثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول بدون وظيفتنا.

علم النفس والبيولوجيا

وليس من الواضح على الإطلاق ما علاقة علم النفس بالأمر. لقد اتضح أن قوة الإحساس يتم وصفها جيدًا بواسطة هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لقيمة شدة التحفيز إلى قيمة الشدة الأقل.

بعد الأمثلة المذكورة أعلاه، لم يعد من المستغرب أن موضوع اللوغاريتمات يستخدم على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية التي تتوافق مع اللوالب اللوغاريتمية.

مناطق أخرى

ويبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة، وهي التي تحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة بالتقدم الهندسي. يجدر بنا أن ننتقل إلى موقع MatProfi، وهناك العديد من هذه الأمثلة في مجالات النشاط التالية:

القائمة يمكن أن تكون لا نهاية لها. بعد أن أتقنت المبادئ الأساسية لهذه الوظيفة، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.

تعليمات

اكتب التعبير اللوغاريتمي المعطى. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b – اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";

عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;

من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا بواسطة دالة المقسوم عليها مربعة. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

إذا تم إعطاء دالة معقدة، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).

باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) احسب قيمة الدالة عند نقطة معينة y"(1)=8*e^0=8

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.

مصادر:

• مشتق من ثابت

إذًا، ما الفرق بين المعادلة غير العقلانية والمعادلة العقلانية؟ إذا كان المتغير المجهول تحت علامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير منطقية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ عوض بواحد في المعادلة بدلا من قيمة x. وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها، أي. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.

إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. أي معادلة تربيعية عادية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور، فمن الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.

حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك، من الضروري إجراء تحولات متطابقة حتى يتم تحقيق الهدف المحدد. وهكذا، بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة، سيتم حل المشكلة المطروحة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع، مربع مجموع حدين يساوي مربع الأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني وزائد مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+ ب)(أ+ب)=أ^2+آب +با+ب ^2=أ^2+2ab+ب^2.

بسّط كلا الأمرين

المبادئ العامة للحل

كرر من كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي أو الرياضيات العليا ما هو التكامل المحدد. كما هو معروف، حل التكامل المحدد هو دالة مشتقتها سوف تعطي تكاملا. هذه الوظيفة تسمى المشتق العكسي. وعلى هذا المبدأ يتم بناء التكاملات الرئيسية.
حدد حسب نوع التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغيرة

إذا كان التكامل عبارة عن دالة مثلثية وسيطتها متعددة الحدود، فحاول استخدام طريقة تغيير المتغيرات. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . وبالتالي، سوف تحصل على شكل جديد من التكامل السابق، قريب أو حتى يتوافق مع بعض الجدول.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. يسمح لنا هذا القانون بالانتقال من التدفق الدوار لوظيفة متجهة معينة إلى التكامل الثلاثي على مدى تباعد مجال متجه معين.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كانت إحدى حدود التكامل هي اللانهاية، فعند استبدالها في دالة المشتقة العكسية، فمن الضروري الذهاب إلى النهاية والعثور على ما يميل إليه التعبير.
إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.

لوغاريتم الرقم ن مرتكز على أ يسمى الأس X ، الذي تحتاج إلى البناء عليه أ للحصول على الرقم ن

بشرط
,
,

من تعريف اللوغاريتم يتبع ذلك
، أي.
- هذه المساواة هي الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

اللوغاريتمات للأساس 10 تسمى اللوغاريتمات العشرية. بدلاً من
يكتب
.

اللوغاريتمات للقاعدة ه تسمى طبيعية ويتم تعيينها
.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

لوغاريتم الواحد يساوي صفرًا لأي قاعدة.

لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

3) لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات

عامل
يسمى معامل الانتقال من اللوغاريتمات إلى القاعدة أ إلى اللوغاريتمات في القاعدة ب .

باستخدام الخصائص 2-5، غالبًا ما يكون من الممكن تقليل لوغاريتم التعبير المعقد إلى نتيجة عمليات حسابية بسيطة على اللوغاريتمات.

على سبيل المثال،

تسمى هذه التحولات للوغاريتم باللوغاريتمات. تسمى التحولات العكسية للوغاريتمات بالتقوية.

الفصل 2. عناصر الرياضيات العليا.

1. الحدود

حد الوظيفة
هو عدد محدود A إذا، كما سx 0 لكل محددة سلفا
، هناك مثل هذا العدد
أنه بمجرد
، الذي - التي
.

الدالة التي لها حد تختلف عنها بمقدار متناهي الصغر:
، حيث- b.m.v.، أي.
.

مثال. النظر في الوظيفة
.

عند السعي
، وظيفة ذ يميل إلى الصفر:

1.1. النظريات الأساسية حول الحدود.

نهاية القيمة الثابتة تساوي هذه القيمة الثابتة

.

نهاية مجموع (الفرق) لعدد محدود من الوظائف يساوي مجموع (الفرق) حدود هذه الوظائف.

نهاية منتج عدد محدود من الوظائف يساوي منتج حدود هذه الوظائف.

نهاية خارج قسمة دالتين يساوي خارج قسمة حدود هاتين الدالتين إذا كانت نهاية المقام ليست صفرًا.

حدود رائعة

,
، أين

1.2. أمثلة على حساب الحد

ومع ذلك، لا يتم حساب جميع الحدود بهذه السهولة. في كثير من الأحيان، يؤدي حساب الحد إلى الكشف عن عدم اليقين من النوع: أو .

.

2. مشتق من وظيفة

دعونا يكون لدينا وظيفة
، مستمر على الجزء
.

دعوى حصلت على بعض الزيادة
. ثم ستتلقى الوظيفة زيادة
.

قيمة الحجة يتوافق مع قيمة الوظيفة
.

قيمة الحجة
يتوافق مع قيمة الوظيفة.

لذلك، .

دعونا نجد الحد الأقصى لهذه النسبة عند
. إذا كانت هذه النهاية موجودة، فإنها تسمى مشتقة الدالة المعطاة.

التعريف 3 مشتق من وظيفة معينة
بالحجة يُسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، عندما تميل زيادة الوسيطة بشكل تعسفي إلى الصفر.

مشتق من وظيفة
يمكن تعيينها على النحو التالي:

; ; ; .

التعريف 4 تسمى عملية إيجاد مشتقة دالة التفاضل.

2.1. المعنى الميكانيكي للمشتقات.

دعونا ننظر في الحركة المستقيمة لبعض الجسم الصلب أو نقطة مادية.

اسمحوا في وقت ما نقطة متحركة
كان على مسافة من وضع البداية
.

بعد فترة من الزمن
لقد تحركت مسافة
. سلوك =- متوسط ​​سرعة نقطة مادية
. دعونا نوجد نهاية هذه النسبة، مع الأخذ في الاعتبار ذلك
.

وبالتالي، فإن تحديد السرعة اللحظية لحركة نقطة مادية يتلخص في إيجاد مشتقة المسار بالنسبة إلى الزمن.

2.2. القيمة الهندسية للمشتق

دعونا نحصل على وظيفة محددة بيانيا
.

أرز. 1. المعنى الهندسي للمشتق

لو
، ثم أشر
، سوف يتحرك على طول المنحنى، ويقترب من النقطة
.

لذلك
، أي. قيمة المشتقة لقيمة معينة من الوسيطة يساوي عددياً ظل الزاوية التي يشكلها المماس عند نقطة معينة مع الاتجاه الموجب للمحور
.

2.3. جدول صيغ التمايز الأساسية.

وظيفة الطاقة

الدالة الأسية

دالة لوغاريتمية

دالة مثلثية

دالة مثلثية معكوسة

2.4. قواعد التمايز.

مشتق من

مشتق من مجموع (الفرق) من الوظائف

مشتق من منتج وظيفتين

مشتق من حاصل وظيفتين

2.5. مشتق من وظيفة معقدة.

دع الوظيفة تعطى
بحيث يمكن تمثيله في النموذج

و
، حيث المتغير هي حجة وسيطة، ثم

مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق الدالة المعطاة فيما يتعلق بالوسيطة الوسيطة ومشتق الوسيطة المتوسطة فيما يتعلق بـ x.

مثال 1.

مثال 2.

3. الوظيفة التفاضلية.

فليكن هناك
، قابلة للتمييز في بعض الفواصل الزمنية
دعها تذهب في هذه الوظيفة لها مشتق

,

ثم يمكننا أن نكتب

(1),

أين - كمية متناهية الصغر،

منذ متى

ضرب جميع شروط المساواة (1) ب
لدينا:

أين
- ب.م.ف. أعلى ترتيب.

ضخامة
يسمى تفاضل الدالة
ويتم تعيينه

.

3.1. القيمة الهندسية للفرق.

دع الوظيفة تعطى
.

الصورة 2. المعنى الهندسي للتفاضلية.

.

ومن الواضح أن التفاضلية وظيفة
يساوي زيادة إحداثي المماس عند نقطة معينة.

3.2. المشتقات والتفاضلات لمختلف الطلبات.

إن كان هناك
، ثم
ويسمى المشتق الأول.

مشتق المشتق الأول يسمى مشتق الدرجة الثانية وهو مكتوب
.

مشتق من الترتيب n للوظيفة
يُسمى مشتق الرتبة (n-1) ويُكتب:

.

يُطلق على تفاضل الدالة اسم التفاضل الثاني أو تفاضل الدرجة الثانية.

.

.

3.3 حل المشكلات البيولوجية باستخدام التمايز.

مهمة 1. وقد أظهرت الدراسات أن نمو مستعمرة من الكائنات الحية الدقيقة يطيع القانون
، أين ن - عدد الكائنات الحية الدقيقة (بالآلاف)، ر - الوقت (أيام).

ب) هل سيزداد عدد سكان المستعمرة أم سينخفض ​​خلال هذه الفترة؟

إجابة. حجم المستعمرة سوف يزيد.

المهمة 2. يتم اختبار المياه في البحيرة بشكل دوري لمراقبة محتوى البكتيريا المسببة للأمراض. خلال ر بعد أيام من الاختبار، يتم تحديد تركيز البكتيريا بنسبة

.

متى سيكون لدى البحيرة الحد الأدنى من تركيز البكتيريا وهل سيكون من الممكن السباحة فيها؟

الحل: تصل الدالة إلى الحد الأقصى أو الأدنى عندما تكون مشتقتها صفرًا.

,

دعونا نحدد الحد الأقصى أو الأدنى خلال 6 أيام. للقيام بذلك، دعونا نأخذ المشتقة الثانية.

الإجابة: بعد 6 أيام سيكون هناك حد أدنى من تركيز البكتيريا.