جدول الدوال المشتقة ذات الوسيطة المعقدة. قاعدة للتمييز بين وظيفة معقدة

منذ مجيئك إلى هنا، ربما تكون قد رأيت بالفعل هذه الصيغة في الكتاب المدرسي

وجعل الوجه مثل هذا:

صديق، لا تقلق! في الواقع، كل شيء هو مجرد الفاحشة. سوف تفهم بالتأكيد كل شيء. طلب واحد فقط - اقرأ المقال ببطء، حاول أن تفهم كل خطوة. لقد كتبت ببساطة ووضوح قدر الإمكان، ولكن لا تزال بحاجة إلى فهم الفكرة. وتأكد من حل المهام من المقال.

ما هي الوظيفة المعقدة؟

تخيل أنك تنتقل إلى شقة أخرى وبالتالي تقوم بتعبئة الأشياء في صناديق كبيرة. لنفترض أنك بحاجة إلى جمع بعض العناصر الصغيرة، على سبيل المثال، مواد الكتابة المدرسية. إذا قمت برميهم في صندوق ضخم، فسوف يضيعون من بين أشياء أخرى. لتجنب ذلك، عليك أولاً وضعها، على سبيل المثال، في كيس، ثم تضعه في صندوق كبير، وبعد ذلك تقوم بإغلاقه. يتم عرض هذه العملية "المعقدة" في الرسم البياني أدناه:

يبدو أن ما علاقة الرياضيات به؟ نعم، على الرغم من أن الدالة المعقدة تتشكل بنفس الطريقة تمامًا! نحن فقط "نحزم" ليس الدفاتر والأقلام، بل $x$، في حين أن "الحزم" و"الصناديق" مختلفة.

على سبيل المثال، لنأخذ x ونجمعه في دالة:

ونتيجة لذلك، نحصل بالطبع على $\cos⁡x$. هذه هي "حقيبة الأشياء" لدينا. والآن دعونا نضعها في "صندوق" - ونضعها، على سبيل المثال، في دالة تكعيبية.

ماذا سيحدث في النهاية؟ نعم، هذا صحيح، سيكون هناك "كيس من الأشياء في صندوق"، أي "جيب تمام X المكعب".

التصميم الناتج هو وظيفة معقدة. وهو يختلف عن البسيط في ذلك يتم تطبيق العديد من "التأثيرات" (الحزم) على X واحدة على التواليويبدو الأمر كما لو كانت "وظيفة من وظيفة" - "تغليف داخل عبوة".

في دورة المدرسةهناك أنواع قليلة جدًا من هذه "الحزم"، أربعة فقط:

دعونا الآن "نجمع" X أولاً في دالة أسية ذات الأساس 7، ثم في دالة مثلثية. نحن نحصل:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

الآن دعونا "نحزم" X مرتين الدوال المثلثية، أولاً في ، ثم في:

$x → الخطيئة⁡x → cotg⁡ (الخطيئة⁡x)$

بسيطة، أليس كذلك؟

الآن اكتب الوظائف بنفسك، حيث x:
- أولاً يتم "تعبئتها" في جيب التمام، ثم في دالة أسية ذات الأساس $3$;
- أولا إلى القوة الخامسة، ثم إلى الظل؛
- أولًا لوغاريتم القاعدة $4$ ، ثم إلى السلطة $-2$.

ابحث عن إجابات هذه المهمة في نهاية المقال.

هل يمكننا "حزم" X ليس مرتين، بل ثلاث مرات؟ لا مشكلة! وأربعة وخمسة وخمسة وعشرين مرة. هنا، على سبيل المثال، دالة يتم فيها "تعبئة" x $4$ مرات:

$y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))$

لكن مثل هذه الصيغ لن يتم العثور عليها في الممارسة المدرسية (الطلاب أكثر حظًا - قد تكون صيغهم أكثر تعقيدًا☺).

"تفريغ" وظيفة معقدة

انظر إلى الوظيفة السابقة مرة أخرى. هل يمكنك معرفة تسلسل "التعبئة"؟ ما تم حشو X به أولاً، وماذا بعد ذلك، وهكذا حتى النهاية. بمعنى ما هي الوظيفة المتداخلة ضمن أي منها؟ خذ قطعة من الورق واكتب ما تعتقده. يمكنك القيام بذلك بسلسلة بها أسهم كما كتبنا أعلاه أو بأي طريقة أخرى.

الآن الإجابة الصحيحة هي: أولاً، تم "تعبئة" x في القوة $4$ ثم تم تجميع النتيجة في جيب الجيب، وتم وضعها بدورها في اللوغاريتم للقاعدة $2$ ، وفي النهاية تم دفع هذا البناء بأكمله إلى القوة الخمسية.

أي أنك تحتاج إلى فك التسلسل بترتيب عكسي. وإليك تلميحًا حول كيفية القيام بذلك بشكل أسهل: انظر فورًا إلى علامة X - يجب أن ترقص منها. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

على سبيل المثال، إليك الدالة التالية: $y=tg⁡(\log_2⁡x)$. ننظر إلى X - ماذا يحدث له أولاً؟ مأخوذ منه. وثم؟ يتم أخذ ظل النتيجة. سيكون التسلسل هو نفسه:

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

مثال آخر: $y=\cos⁡((x^3))$. دعونا نحلل - أولاً قمنا بتجميع X، ثم أخذنا جيب التمام للنتيجة. هذا يعني أن التسلسل سيكون: $x → x^3 → \cos⁡((x^3))$. انتبه، يبدو أن الوظيفة مشابهة للوظيفة الأولى (حيث تحتوي على صور). لكن هذه دالة مختلفة تمامًا: هنا في المكعب يوجد x (أي، $\cos⁡((x·x·x)))$، ويوجد في المكعب جيب التمام $x$ ( أي $\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x$). ينشأ هذا الاختلاف من تسلسلات "التعبئة" المختلفة.

المثال الأخير (مع معلومات مهمةفيه): $y=\sin⁡((2x+5))$. من الواضح ما فعلوه هنا أولاً عمليات حسابيةمع x، ثم أخذ جيب النتيجة: $x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))$. وهذا نقطة مهمة: على الرغم من أن العمليات الحسابية ليست وظائف في حد ذاتها، إلا أنها تعمل هنا أيضًا كوسيلة "للتعبئة". دعونا نتعمق قليلاً في هذه الدقة.

كما قلت أعلاه، في الوظائف البسيطة، يتم "تعبئة" x مرة واحدة، وفي الوظائف المعقدة - مرتين أو أكثر. علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة من الوظائف البسيطة (أي مجموعها أو فرقها أو ضربها أو قسمتها) تكون أيضًا كذلك وظيفة بسيطة. على سبيل المثال، $x^7$ هي دالة بسيطة وكذلك $ctg x$. هذا يعني أن جميع مجموعاتها عبارة عن وظائف بسيطة:

$x^7+ ctg x$ - بسيط،
$x^7 · المهد x$ - بسيط،
$\frac(x^7)(ctg x)$ - بسيط، وما إلى ذلك.

ومع ذلك، إذا تم تطبيق وظيفة أخرى على مثل هذه المجموعة، فسوف تصبح وظيفة معقدة، حيث سيكون هناك "حزمتان". انظر الرسم البياني:

حسنًا، تفضل الآن. اكتب تسلسل وظائف "التغليف":
$y=cos(⁡(sin⁡x))$
$ص=5^(س^7)$
$y=arctg⁡(11^x)$
$y=log_2⁡(1+x)$
الإجابات مرة أخرى في نهاية المقال.

وظائف داخلية وخارجية

لماذا نحتاج إلى فهم تداخل الوظائف؟ ماذا يعطينا هذا؟ الحقيقة هي أنه بدون مثل هذا التحليل لن نتمكن من العثور بشكل موثوق على مشتقات الوظائف التي تمت مناقشتها أعلاه.

ومن أجل المضي قدمًا، سنحتاج إلى مفهومين آخرين: الوظائف الداخلية والخارجية. هذا جدا شيء بسيطعلاوة على ذلك، في الواقع، لقد قمنا بالفعل بتحليلها أعلاه: إذا تذكرنا تشبيهنا في البداية، فإن الوظيفة الداخلية هي "حزمة"، والوظيفة الخارجية هي "مربع". أولئك. ما تم "تغليفه" X في البداية هو وظيفة داخلية، وما "تم تغليفه" به الوظيفة الداخلية هو بالفعل خارجي. حسنًا، السبب واضح - إنها بالخارج، وهذا يعني أنها خارجية.

في هذا المثال: $y=tg⁡(log_2⁡x)$، الدالة $\log_2⁡x$ داخلية، و
- خارجي.

وفي هذا: $y=\cos⁡((x^3+2x+1))$، $x^3+2x+1$ داخلي، و
- خارجي.

أكمل الممارسة الأخيرة لتحليل الدوال المعقدة، ودعنا أخيرًا ننتقل إلى ما بدأنا جميعًا من أجله - سنجد مشتقات الدوال المعقدة:

املأ الفراغات في الجدول:

مشتق من وظيفة معقدة

برافو لنا، لقد وصلنا أخيرًا إلى "رئيس" هذا الموضوع - وهو في الواقع مشتق وظيفة معقدة، وتحديداً لتلك الصيغة الرهيبة جداً من بداية المقال.☺

$(f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

تقرأ هذه الصيغة كما يلي:

مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى دالة داخلية ثابتة ومشتقة الدالة الداخلية.

وانظر على الفور إلى مخطط التحليل وفقًا للكلمات حتى تفهم ما يجب فعله بما:

آمل ألا يسبب المصطلحان "مشتق" و"منتج" أي صعوبات. "الوظيفة المعقدة" - لقد قمنا بحلها بالفعل. المصيد في "المشتق" وظيفة خارجيةوفقا لواحد داخلي لم يتغير. ما هو؟

الإجابة: هذا هو المشتق المعتاد للدالة الخارجية، حيث تتغير الدالة الخارجية فقط، وتبقى الدالة الداخلية كما هي. لا يزال غير واضح؟ حسنا، دعونا نستخدم مثالا.

دعونا نحصل على دالة $y=\sin⁡(x^3)$. ومن الواضح أن الوظيفة الداخلية هنا هي $x^3$ والخارجية
. دعونا الآن نوجد مشتقة الخارج بالنسبة إلى الثابت الداخلي.

تعريف.دع الدالة $y = f(x)$ محددة في فترة معينة تحتوي على النقطة $x_0$ بداخلها. دعونا نعطي الوسيطة زيادة $\Delta x $ بحيث لا تترك هذه الفترة. دعونا نوجد الزيادة المقابلة للدالة $\Delta y $ (عند الانتقال من النقطة $x_0 $ إلى النقطة $x_0 + \Delta x $) وننشئ العلاقة $\frac(\Delta ذ)(\دلتا س) $. إذا كان هناك حد لهذه النسبة عند $\Delta x \rightarrow 0$، فسيتم استدعاء الحد المحدد مشتق من وظيفة$y=f(x) $ عند النقطة $x_0 $ وتدل على $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

غالبًا ما يُستخدم الرمز y للدلالة على المشتق." لاحظ أن y" = f(x) هو ميزة جديدة، ولكنها مرتبطة بشكل طبيعي بالدالة y = f(x)، المحددة في جميع النقاط x التي يوجد عندها الحد أعلاه. تسمى هذه الوظيفة مثل هذا: مشتقة الدالة y = f(x).

المعنى الهندسي للمشتقعلى النحو التالي. إذا كان من الممكن رسم مماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة ذات الإحداثي السيني x=a، وهي ليست موازية للمحور y، فإن f(a) يعبر عن ميل المماس :
$ك = و"(أ)$

بما أن $k = tg(a) $، فإن المساواة $f"(a) = tan(a) $ صحيحة.

الآن دعونا نفسر تعريف المشتق من وجهة نظر المساواة التقريبية. دع الدالة $y = f(x)$ لها مشتق عند نقطة محددة $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
هذا يعني أنه بالقرب من النقطة x توجد المساواة التقريبية $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $، أي $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x$. المعنى المنطقي للمساواة التقريبية الناتجة هو كما يلي: زيادة الدالة "متناسبة تقريبًا" مع زيادة الوسيطة، ومعامل التناسب هو قيمة المشتق في نقطة معينة X. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة $y = x^2$ تكون المساواة التقريبية $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ صالحة. إذا قمنا بتحليل تعريف المشتق بعناية، فسنجد أنه يحتوي على خوارزمية للعثور عليه.

دعونا صياغة ذلك.

كيف تجد مشتقة الدالة y = f(x)؟

1. أصلح قيمة $x$، ابحث عن $f(x)$
2. أعط الوسيطة $x$ زيادة $\Delta x$، انتقل إلى نقطة جديدة$x+ \Delta x $، ابحث عن $f(x+ \Delta x) $
3. أوجد زيادة الدالة: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. قم بإنشاء العلاقة $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. احسب $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
هذه النهاية هي مشتقة الدالة عند النقطة x.

إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عند النقطة x، فإنها تسمى قابلة للتفاضل عند النقطة x. يتم استدعاء الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الدالة y = f(x). التفاضلوظائف ص = و(خ).

دعونا نناقش السؤال التالي: كيف ترتبط استمرارية الوظيفة واختلافها عند نقطة ما ببعضها البعض؟

دع الدالة y = f(x) تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة x. بعد ذلك يمكن رسم ظل للرسم البياني للدالة عند النقطة M(x; f(x))، وتذكر أن المعامل الزاوي للظل يساوي f "(x). مثل هذا الرسم البياني لا يمكن أن "ينكسر" عند النقطة M، أي أن الدالة يجب أن تكون متصلة عند النقطة x.

وكانت هذه حجج "عملية". دعونا نعطي سببا أكثر صرامة. إذا كانت الدالة y = f(x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x، فإن المساواة التقريبية $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ تظل ثابتة. إذا كانت في هذه المساواة $\Delta x$ \) يميل إلى الصفر، ثم $\Delta y $ سوف يميل إلى الصفر، وهذا هو شرط استمرارية الدالة عند نقطة ما.

لذا، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة x، فهي متصلة عند تلك النقطة.

البيان العكسي غير صحيح. على سبيل المثال: الدالة y = |x| تكون مستمرة في كل مكان، خاصة عند النقطة x = 0، لكن مماس الرسم البياني للدالة عند "نقطة الوصل" (0؛ 0) غير موجود. إذا لم يكن من الممكن في مرحلة ما رسم مماس على الرسم البياني للدالة، فإن المشتقة غير موجودة عند تلك النقطة.

مثال آخر. الدالة $y=\sqrt(x)$ متصلة على خط الأعداد بأكمله، بما في ذلك عند النقطة x = 0. ويكون مماس الرسم البياني للدالة موجودًا عند أي نقطة، بما في ذلك النقطة x = 0 ولكن عند هذه النقطة يتطابق الظل مع المحور y، أي أنه عمودي على محور الإحداثي، ومعادلته لها الشكل x = 0. معامل المنحدرلا يوجد مثل هذا الخط، مما يعني أن $f"(0) $ غير موجود أيضًا

لذلك، تعرفنا على خاصية جديدة للوظيفة - التمايز. كيف يمكن للمرء أن يستنتج من الرسم البياني للدالة أنها قابلة للاشتقاق؟

الجواب في الواقع مذكور أعلاه. إذا كان من الممكن في مرحلة ما رسم مماس للرسم البياني لدالة ليست متعامدة مع محور الإحداثي السيني، عند هذه النقطة تكون الدالة قابلة للاشتقاق. إذا كان ظل الرسم البياني للدالة غير موجود في مرحلة ما أو كان عموديًا على محور الإحداثي السيني، فإن الدالة عند هذه النقطة غير قابلة للاشتقاق.

قواعد التمايز

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل. عند إجراء هذه العملية، غالبًا ما يتعين عليك العمل مع خارج القسمة، والمبالغ، وحاصل الدوال، بالإضافة إلى "وظائف الوظائف"، أي الوظائف المعقدة. استنادًا إلى تعريف المشتقة، يمكننا استخلاص قواعد الاشتقاق التي تسهل هذا العمل. إذا ج- رقم ثابتوf=f(x)، g=g(x) هي بعض الدوال القابلة للتفاضل، فما يلي صحيح قواعد التمايز:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ مشتق من دالة معقدة:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

جدول مشتقات بعض الوظائف

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

والتي قمنا بتحليل أبسط المشتقات، وتعرفنا أيضًا على قواعد التفاضل وبعضها الأساليب التقنيةإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو كانت بعض النقاط في هذه المقالة غير واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل وظيفة واحدة داخل أخرى) بوظيفة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أنا أتقدم بطلب التعبيرات غير الرسمية"وظيفة خارجية"، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن "تمزيقه إلى أجزاء":

في في هذا المثاللقد أصبح واضحًا بشكل حدسي من شرحي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة، وأن كثير الحدود هو وظيفة داخلية (تضمين)، ووظيفة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

متى أمثلة بسيطةيبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة .

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيفية العثور على المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهأوجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، وانظر إلى جدول المشتقات وظائف أوليةونحن نلاحظ ذلك. تنطبق جميع صيغ الجدول أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، الخامس في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

نتيجة تطبيق الصيغة في شكله النهائي يبدو مثل هذا:

مضاعف ثابتتوضع عادةً في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأسي، وبالتالي، وظيفة الطاقةهي وظيفة خارجية:

وفقا للصيغة ، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. تبحث عنه في الجدول الصيغة المطلوبة: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدوليةصالحة ليس فقط لـ "x"، ولكن أيضًا للتعبيرات المعقدة. وبالتالي نتيجة تطبيق قاعدة التفريق بين دالة معقدة التالي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال ل قرار مستقل(الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا إعطاء التعبير بين قوسين القاسم المشتركواكتب كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تتشوش، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة ولكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف غير عادي. هنا مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم القاعدة لدينا :

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاثة وظائف مختلفةواثنين من التضمينات، حيث تكون الدالة الأعمق هي قوس الجيب والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقا للقاعدة عليك أولاً أن تأخذ مشتق الوظيفة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد المشتقة وظيفة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "X" لدينا تعبير معقدوهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالي.

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. ربما يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فكل شيء آخر تقريبًا موجود حساب التفاضلسوف يبدو وكأنه نكتة الطفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك خدعة مفيدة: نأخذ المعنى التجريبي لـ "x" على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذا المعنى بـ "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق:

6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة سيتم استخدامها في ترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:

يبدو بدون أخطاء:

1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

2) أوجد مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

3) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

4) خذ مشتق جيب التمام.

6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس اثنين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق من منتجات ثلاثةمضاعفات؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

أولًا، دعونا نرى ما إذا كان من الممكن تحويل حاصل ضرب ثلاث دوال إلى حاصل ضرب دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا حدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح الأقواس. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا - هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

يمكنك أيضًا التحريف ووضع شيء ما خارج الأقواس، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة بالضبط في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال للحل المستقل؛ في العينة تم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

او مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟

دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك ونتخلص من بنية الكسر المكونة من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح لوغاريتم "فظيع" للتمايز

سنتحدث في هذه المقالة عن مفهوم رياضي مهم كدالة معقدة، وسنتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة.

قبل أن نتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة، دعونا نفهم مفهوم الوظيفة المعقدة، وما هي، "وماذا تؤكل"، و"كيفية طهيها بشكل صحيح".

دعونا نفكر وظيفة تعسفية، على سبيل المثال، مثل هذا:

لاحظ أن الوسيطة الموجودة على الجانبين الأيمن والأيسر من معادلة الدالة هي نفس الرقم أو التعبير.

وبدلا من المتغير يمكننا أن نضع مثلا التعبير التالي: . وبعد ذلك نحصل على الدالة

لنسمي التعبير وسيطة وسيطة، والدالة وظيفة خارجية. انها ليست صارمة المفاهيم الرياضيةولكنها تساعد على فهم معنى مفهوم الوظيفة المعقدة.

يبدو التعريف الصارم لمفهوم الوظيفة المعقدة كما يلي:

دع الوظيفة يتم تعريفها على مجموعة وتكون مجموعة قيم هذه الوظيفة. اجعل المجموعة (أو مجموعتها الفرعية) هي مجال تعريف الوظيفة. دعونا نخصص رقمًا لكل منهم. وبالتالي، سيتم تعريف الوظيفة على المجموعة. يطلق عليه تكوين الوظيفة أو الوظيفة المعقدة.

في هذا التعريف، إذا استخدمنا مصطلحاتنا، فإن الدالة الخارجية هي وسيطة وسيطة.

يتم العثور على مشتق دالة معقدة وفقًا للقاعدة التالية:

ولتوضيح الأمر أكثر، أحب أن أكتب هذه القاعدة على النحو التالي:

في هذا التعبير، يشير الاستخدام إلى وظيفة وسيطة.

لذا. للعثور على مشتق دالة معقدة، تحتاج

1. تحديد الوظيفة الخارجية والعثور على المشتقة المقابلة من جدول المشتقات.

2. تحديد وسيطة وسيطة.

الصعوبة الأكبر في هذا الإجراء هي العثور على الوظيفة الخارجية. يتم استخدام خوارزمية بسيطة لهذا:

أ. اكتب معادلة الدالة.

ب. تخيل أنك بحاجة إلى حساب قيمة دالة لبعض قيمة x. للقيام بذلك، يمكنك استبدال قيمة x هذه في معادلة الدالة وإجراء العمليات الحسابية. الإجراء الأخير الذي تقوم به هو الوظيفة الخارجية.

على سبيل المثال، في الدالة

الإجراء الأخير هو الأسي.

دعونا نجد مشتقة هذه الوظيفة. للقيام بذلك، نكتب حجة وسيطة