مستوى اول

الإحداثيات والمتجهات. الدليل الشامل (2019)

في هذه المقالة، سنبدأ بمناقشة "العصا السحرية" التي ستسمح لك بتقليل العديد من المسائل الهندسية إلى عمليات حسابية بسيطة. هذه "العصا" يمكن أن تجعل حياتك أسهل بكثير، خاصة عندما تشعر بعدم التأكد من بناء الأشكال المكانية والأقسام وما إلى ذلك. كل هذا يتطلب خيالًا معينًا ومهارات عملية. الطريقة التي سنبدأ في النظر فيها هنا ستسمح لك بالتجريد الكامل تقريبًا من جميع أنواع الإنشاءات والتفكير الهندسي. الطريقة تسمى "طريقة الإحداثيات". في هذه المقالة سننظر في الأسئلة التالية:

1. خطة تنسيق
2. النقاط والمتجهات على المستوى
3. بناء متجه من نقطتين
4. طول المتجه (المسافة بين نقطتين).
5. إحداثيات منتصف القطعة
6. المنتج النقطي للمتجهات
7. الزاوية بين متجهين

أعتقد أنك خمنت بالفعل سبب تسمية طريقة الإحداثيات بهذا الاسم؟ هذا صحيح، لقد حصل على هذا الاسم لأنه لا يعمل مع الكائنات الهندسية، ولكن مع خصائصها العددية (الإحداثيات). والتحويل نفسه، الذي يسمح لنا بالانتقال من الهندسة إلى الجبر، يتكون من إدخال نظام الإحداثيات. إذا كان الشكل الأصلي مسطحاً فإن الإحداثيات تكون ثنائية الأبعاد، وإذا كان الشكل ثلاثي الأبعاد فإن الإحداثيات ثلاثية الأبعاد. في هذه المقالة سننظر فقط في الحالة ثنائية الأبعاد. والهدف الرئيسي من المقالة هو تعليمك كيفية استخدام بعض التقنيات الأساسية لطريقة الإحداثيات (تصبح أحيانًا مفيدة عند حل المشكلات المتعلقة بقياس المساحة في الجزء ب من اختبار الدولة الموحدة). القسمان التاليان حول هذا الموضوع مخصصان لمناقشة طرق حل المشكلات C2 (مشكلة القياس المجسم).

أين سيكون من المنطقي البدء بمناقشة طريقة الإحداثيات؟ ربما من مفهوم نظام الإحداثيات. تذكر عندما واجهتها لأول مرة. يبدو لي أنه في الصف السابع، عندما علمت بوجود دالة خطية، على سبيل المثال. دعني أذكرك أنك قمت ببنائها نقطة نقطة. هل تذكر؟ لقد اخترت رقمًا عشوائيًا، واستبدلته في الصيغة وحسابته بهذه الطريقة. على سبيل المثال، إذا، ثم، إذا، ثم، وما إلى ذلك. ما الذي حصلت عليه في النهاية؟ وحصلت على نقاط مع الإحداثيات: و. بعد ذلك، قمت برسم "تقاطع" (نظام الإحداثيات)، واخترت مقياسًا عليه (كم عدد الخلايا التي ستحصل عليها كقطعة وحدة) ووضعت علامة على النقاط التي حصلت عليها، والتي قمت بعد ذلك بتوصيلها بخط مستقيم الناتج؛ الخط هو الرسم البياني للوظيفة.

هناك بعض النقاط هنا التي ينبغي شرحها لك بمزيد من التفصيل:

1. اخترت قطعة واحدة لأسباب الراحة، بحيث يتناسب كل شيء بشكل جميل ومضغوط في الرسم.

2. من المقبول أن ينتقل المحور من اليسار إلى اليمين، والمحور من الأسفل إلى الأعلى

3. يتقاطعان بزاوية قائمة، ونقطة تقاطعهما تسمى نقطة الأصل. ويشار إليه بحرف.

4. عند كتابة إحداثيات نقطة ما، على سبيل المثال، على اليسار بين القوسين يوجد إحداثيات النقطة على طول المحور، وعلى اليمين على طول المحور. على وجه الخصوص، فهذا يعني ببساطة أنه عند هذه النقطة

5. لتحديد أي نقطة على المحور الإحداثي، عليك الإشارة إلى إحداثياتها (رقمين)

6. لأي نقطة تقع على المحور،

7. لأي نقطة تقع على المحور،

8. يسمى المحور بالمحور السيني

9. يسمى المحور بالمحور الصادي

الآن لنأخذ الخطوة التالية: ضع علامة على نقطتين. دعونا نربط هاتين النقطتين بقطعة. وسنضع السهم كما لو أننا نرسم قطعة من نقطة إلى أخرى: أي أننا سنجعل قطعتنا موجهة!

هل تتذكر ما يسمى الجزء الاتجاهي الآخر؟ هذا صحيح، ويسمى ناقل!

فإذا قمنا بربط نقطة بنقطة، والبداية ستكون النقطة أ، والنهاية ستكون النقطة ب،ثم نحصل على ناقلات. لقد قمت أيضًا بهذا البناء في الصف الثامن، هل تتذكر؟

اتضح أن المتجهات، مثل النقاط، يمكن الإشارة إليها برقمين: تسمى هذه الأرقام بإحداثيات المتجهات. سؤال: هل تعتقد أنه يكفي أن نعرف إحداثيات بداية ونهاية المتجه لإيجاد إحداثياته؟ اتضح أن نعم! ويتم ذلك بكل بساطة:

وبالتالي، بما أن النقطة في المتجه هي البداية والنهاية هي النهاية، فإن المتجه له الإحداثيات التالية:

على سبيل المثال، إذا، فإن إحداثيات المتجه

والآن لنفعل العكس، لنجد إحداثيات المتجه. ماذا نحتاج للتغيير لهذا؟ نعم، أنت بحاجة إلى تبديل البداية والنهاية: الآن ستكون بداية المتجه عند النقطة، وستكون النهاية عند النقطة. ثم:

انظر بعناية، ما هو الفرق بين المتجهات و؟ الفرق الوحيد بينهما هو العلامات الموجودة في الإحداثيات. هم الأضداد. عادة ما يتم كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي:

في بعض الأحيان، إذا لم يتم تحديد النقطة التي هي بداية المتجه وأيها هي النهاية، فسيتم الإشارة إلى المتجهات ليس بحرفين كبيرين، ولكن بحرف صغير واحد، على سبيل المثال: ، إلخ.

الآن قليلا يمارسنفسك وابحث عن إحداثيات المتجهات التالية:

فحص:

الآن قم بحل مشكلة أكثر صعوبة قليلاً:

المتجه الذي يبدأ عند نقطة ما له co-or-di-na-you. ابحث عن نقاط abs-cis-su.

كل هذا أمر مبتذل تمامًا: دع إحداثيات النقطة. ثم

لقد قمت بتجميع النظام بناءً على تعريف الإحداثيات المتجهة. ثم النقطة لها إحداثيات. نحن مهتمون بالإحداثي. ثم

إجابة:

ماذا يمكنك أن تفعل مع المتجهات؟ نعم، كل شيء تقريبًا هو نفسه كما هو الحال مع الأعداد العادية (باستثناء أنه لا يمكنك القسمة، ولكن يمكنك الضرب بطريقتين، سنناقش إحداهما هنا بعد قليل)

1. يمكن إضافة المتجهات لبعضها البعض
2. يمكن طرح المتجهات من بعضها البعض
3. يمكن ضرب المتجهات (أو قسمتها) برقم عشوائي غير الصفر
4. يمكن ضرب المتجهات ببعضها البعض

كل هذه العمليات لها تمثيل هندسي واضح جدا. على سبيل المثال، قاعدة المثلث (أو متوازي الأضلاع) للجمع والطرح:

يمتد المتجه أو يتقلص أو يغير اتجاهه عند ضربه أو قسمته على رقم:

ومع ذلك، سنكون هنا مهتمين بمسألة ما يحدث للإحداثيات.

1. عند إضافة (طرح) متجهين، فإننا نضيف (طرح) إحداثياتهما عنصرًا تلو الآخر. إنه:

2. عند ضرب (قسمة) متجه بعدد، يتم ضرب (قسمة) جميع إحداثياته ​​على هذا الرقم:

على سبيل المثال:

· العثور على مقدار co-or-di-nat من القرن إلى ra.

دعونا أولًا نوجد إحداثيات كل متجه. كلاهما لهما نفس الأصل - نقطة الأصل. نهاياتهم مختلفة. ثم، . الآن دعونا نحسب إحداثيات المتجه، ثم يكون مجموع إحداثيات المتجه الناتج متساويًا.

إجابة:

الآن قم بحل المشكلة التالية بنفسك:

· العثور على مجموع إحداثيات المتجهات

نحن نفحص:

لنفكر الآن في المشكلة التالية: لدينا نقطتان على المستوى الإحداثي. كيف تجد المسافة بينهما؟ فلتكن النقطة الأولى، والثانية. دعونا نشير إلى المسافة بينهما بواسطة. لنقم بعمل الرسم التالي من أجل الوضوح:

ما الذي فعلته؟ أولاً، قمت بتوصيل النقاط، وأيضاً من النقطة رسمت خطاً موازياً للمحور، ومن النقطة رسمت خطاً موازياً للمحور. هل تقاطعا عند نقطة معينة ليشكلا شكلا مميزا؟ ما الذي يميزها؟ نعم، أنت وأنا نعرف كل شيء تقريبًا عن المثلث القائم الزاوية. حسنا، نظرية فيثاغورس بالتأكيد. القطعة المطلوبة هي الوتر في هذا المثلث، والأجزاء هي الأرجل. ما هي إحداثيات النقطة؟ نعم، من السهل العثور عليها من الصورة: نظرًا لأن المقاطع متوازية مع المحاور، وعلى التوالي، فمن السهل العثور على أطوالها: إذا أشرنا إلى أطوال المقاطع على التوالي، إذن

الآن دعونا نستخدم نظرية فيثاغورس. نحن نعرف أطوال الساقين، وسوف نجد الوتر:

وبالتالي، فإن المسافة بين نقطتين هي جذر مجموع مربعات الفروق من الإحداثيات. أو - المسافة بين نقطتين هي طول القطعة التي تربط بينهما. من السهل أن نرى أن المسافة بين النقاط لا تعتمد على الاتجاه. ثم:

ومن هنا نستخلص ثلاث استنتاجات:

دعونا نتدرب قليلًا على حساب المسافة بين نقطتين:

على سبيل المثال، إذا، فإن المسافة بين وتساوي

أو دعنا نتبع طريقة أخرى: ابحث عن إحداثيات المتجه

وأوجد طول المتجه:

كما ترون، إنه نفس الشيء!

الآن تدرب بنفسك قليلاً:

المهمة: العثور على المسافة بين النقاط المشار إليها:

نحن نفحص:

فيما يلي بعض المشاكل الأخرى التي تستخدم نفس الصيغة، على الرغم من أنها تبدو مختلفة قليلاً:

1. أوجد مربع طول الجفن.

2. أوجد مربع طول الجفن

أعتقد أنك تعاملت معهم دون صعوبة؟ نحن نفحص:

1. وهذا من أجل الانتباه) لقد وجدنا بالفعل إحداثيات المتجهات سابقًا: . ثم المتجه له إحداثيات. مربع طوله سيكون مساوياً لـ:

2. أوجد إحداثيات المتجه

ثم مربع طوله هو

لا شيء معقد، أليس كذلك؟ عملية حسابية بسيطة، لا أكثر.

لا يمكن تصنيف المشكلات التالية بشكل لا لبس فيه، فهي تتعلق أكثر بسعة الاطلاع العامة والقدرة على رسم صور بسيطة.

1. أوجد جيب الزاوية من القطع الذي يربط النقطة بمحور الإحداثي السيني.

و

كيف سنمضي قدما هنا؟ علينا إيجاد جيب الزاوية الواقعة بين المحور والمحور. أين يمكننا أن نبحث عن جيب؟ هذا صحيح، في مثلث قائم الزاوية. إذن ماذا علينا أن نفعل؟ بناء هذا المثلث!

بما أن إحداثيات النقطة هي و، فإن القطعة تساوي القطعة. علينا إيجاد جيب الزاوية. دعني أذكرك أن جيب الجيب هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر

ماذا بقي لنا لنفعله؟ أوجد الوتر. يمكنك القيام بذلك بطريقتين: استخدام نظرية فيثاغورس (الأرجل معروفة!) أو استخدام صيغة المسافة بين نقطتين (في الواقع، نفس الطريقة الأولى!). سأذهب في الاتجاه الثاني:

إجابة:

سوف تبدو المهمة التالية أسهل بالنسبة لك. وهي على إحداثيات النقطة.

المهمة 2.من النقطة يتم إنزال كل قلم-دي-كو-ليار على محور ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

لنقم بعمل رسم:

قاعدة العمودي هي النقطة التي يتقاطع عندها مع المحور السيني، وهذه نقطة بالنسبة لي. يوضح الشكل أن له إحداثيات: . نحن مهتمون بالإحداثي السيني - أي المكون "x". إنها متساوية.

إجابة: .

المهمة 3.في شروط المسألة السابقة، أوجد مجموع المسافات من النقطة إلى محاور الإحداثيات.

تكون المهمة أساسية بشكل عام إذا كنت تعرف المسافة من نقطة إلى المحاور. أنت تعرف؟ أتمنى ذلك، لكني سأذكرك:

إذن، في الرسم أعلاه، هل رسمت بالفعل واحدًا من هذا النوع المتعامد؟ على أي محور هو؟ الى المحور. وما هو طوله إذن؟ إنها متساوية. الآن ارسم عموديًا على المحور بنفسك وأوجد طوله. سوف تكون متساوية، أليس كذلك؟ إذن مجموعهما متساوي.

إجابة: .

المهمة 4.في شروط المهمة 2، ابحث عن إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة لمحور الإحداثي السيني.

أعتقد أنه من الواضح بالنسبة لك ما هو التناظر؟ تحتوي عليه العديد من الأشياء: العديد من المباني، والطاولات، والطائرات، والعديد من الأشكال الهندسية: الكرة، والأسطوانة، والمربع، والمعين، وما إلى ذلك. بشكل تقريبي، يمكن فهم التناظر على النحو التالي: يتكون الشكل من نصفين متطابقين (أو أكثر). ويسمى هذا التماثل التماثل المحوري. ما هو المحور إذن؟ هذا هو بالضبط الخط الذي يمكن "قطع" الشكل على طوله نسبيًا إلى نصفين متساويين (في هذه الصورة يكون محور التماثل مستقيمًا):

الآن دعونا نعود إلى مهمتنا. نحن نعلم أننا نبحث عن نقطة متناظرة حول المحور. إذن هذا المحور هو محور التماثل. هذا يعني أننا بحاجة إلى تحديد نقطة بحيث يقطع المحور القطعة إلى جزأين متساويين. حاول تحديد هذه النقطة بنفسك. قارن الآن مع الحل الخاص بي:

هل نجح الأمر بنفس الطريقة بالنسبة لك؟ بخير! نحن مهتمون بإحداثيات النقطة التي تم العثور عليها. إنه متساوي

إجابة:

الآن أخبرني، بعد التفكير لبضع ثوان، ما هو الإحداثي الإحداثي لنقطة متناظرة مع النقطة A بالنسبة إلى الإحداثي؟ ما هو جوابك؟ اجابة صحيحة: .

وبشكل عام يمكن كتابة القاعدة على النحو التالي:

النقطة المتناظرة لنقطة نسبة إلى محور الإحداثي السيني لها الإحداثيات:

النقطة المتناظرة لنقطة نسبة إلى المحور الإحداثي لها إحداثيات:

حسنًا، الآن أصبح الأمر مخيفًا تمامًا مهمة: العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة إلى الأصل. فكر أولاً بنفسك، ثم انظر إلى رسمتي!

إجابة:

الآن مشكلة متوازي الأضلاع:

المهمة 5: تظهر النقاط ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. البحث عن أو دي على تلك النقطة.

يمكنك حل هذه المشكلة بطريقتين: المنطق وطريقة الإحداثيات. سأستخدم طريقة الإحداثيات أولاً، وبعد ذلك سأخبرك كيف يمكنك حلها بشكل مختلف.

ومن الواضح تماما أن حدود النقطة متساوية. (يقع على الخط المتعامد المرسوم من النقطة على محور الإحداثي السيني). نحن بحاجة إلى العثور على الإحداثيات. دعونا نستفيد من حقيقة أن الشكل الذي لدينا هو متوازي الأضلاع، وهذا يعني ذلك. دعنا نوجد طول المقطع باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين:

نخفض العمودي الذي يربط النقطة بالمحور. سأشير إلى نقطة التقاطع بحرف.

طول القطعة متساوي. (ابحث بنفسك عن المشكلة حيث ناقشنا هذه النقطة)، ثم سنوجد طول القطعة باستخدام نظرية فيثاغورس:

يتطابق طول القطعة تمامًا مع إحداثيتها.

إجابة: .

حل آخر (سأقدم صورة توضح ذلك فقط)

تقدم الحل:

1. السلوك

2. أوجد إحداثيات النقطة والطول

3. أثبت ذلك.

واحدة أخرى مشكلة طول المقطع:

تظهر النقاط أعلى المثلثات. أوجد طول خط المنتصف الموازي له.

هل تتذكر ما هو الخط الأوسط للمثلث؟ إذن هذه المهمة أساسية بالنسبة لك. إذا كنت لا تتذكر، سأذكرك: الخط الأوسط للمثلث هو الخط الذي يصل بين منتصف الضلعين المتقابلين. وهو موازي للقاعدة ويساوي نصفها.

القاعدة هي قطعة. كان علينا أن نبحث عن طوله سابقًا، فهو متساوٍ. ثم يكون طول الخط الأوسط نصف كبير ومتساوي.

إجابة: .

تعليق: يمكن حل هذه المشكلة بطريقة أخرى سنتطرق إليها بعد قليل.

في هذه الأثناء، إليك بعض المسائل التي يمكنك التدرب عليها، فهي بسيطة جدًا، ولكنها تساعدك على تحسين استخدام الطريقة الإحداثية!

1. تظهر النقاط في أعلى الخطوط. أوجد طول خط وسطه.

2. النقاط والمظاهر ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. البحث عن أو دي على تلك النقطة.

3. ابحث عن الطول من القطع، وربط النقطة و

4. أوجد المساحة خلف الشكل الملون على المستوى الإحداثي.

5. دائرة مركزها في na-cha-le ko-or-di-nat تمر عبر النقطة. ابحث عنها ra-di-us.

6. ابحث عن-di-te ra-di-us للدائرة، وصف-san-noy حول الزاوية اليمنى-no-ka، قمم شيء ما لها مشاركة أو -di-na-أنت مسؤول جدًا

حلول:

1. من المعلوم أن خط الوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع قواعده. القاعدة متساوية، والقاعدة. ثم

إجابة:

2. أسهل طريقة لحل هذه المشكلة هي ملاحظة (قاعدة متوازي الأضلاع). حساب إحداثيات المتجهات ليس بالأمر الصعب: . عند إضافة المتجهات، تتم إضافة الإحداثيات. ثم لديها الإحداثيات. وللنقطة أيضًا هذه الإحداثيات، لأن أصل المتجه هو النقطة ذات الإحداثيات. نحن مهتمون بالإحداثيات. إنها متساوية.

إجابة:

3. نتصرف على الفور وفقًا لصيغة المسافة بين نقطتين:

إجابة:

4. انظر إلى الصورة وأخبرني أي الشكلين تقع المنطقة المظللة بينهما؟ وهي محصورة بين مربعين. ثم مساحة الشكل المطلوب تساوي مساحة المربع الكبير ناقص مساحة المربع الصغير. ضلع المربع الصغير عبارة عن قطعة تصل بين النقاط وطولها

ثم مساحة المربع الصغير هي

نحن نفعل الشيء نفسه مع مربع كبير: جانبه عبارة عن قطعة تربط النقاط وطوله يساوي

ثم مساحة المربع الكبير هي

نجد مساحة الشكل المطلوب باستخدام الصيغة:

إجابة:

5. إذا كان مركز الدائرة هو الأصل وتمر عبر نقطة ما، فسيكون نصف قطرها مساويًا تمامًا لطول القطعة (ارسم رسمًا وسوف تفهم سبب وضوح ذلك). دعونا نجد طول هذا الجزء:

إجابة:

6. من المعلوم أن نصف قطر الدائرة المحيطة بالمستطيل يساوي نصف قطرها. دعونا نوجد طول أي من القطرين (بعد كل شيء، في المستطيل متساويان!)

إجابة:

حسنًا ، هل تعاملت مع كل شيء؟ لم يكن من الصعب جدًا معرفة ذلك، أليس كذلك؟ هناك قاعدة واحدة فقط هنا - أن تكون قادرًا على إنشاء صورة مرئية و"قراءة" جميع البيانات منها ببساطة.

لم يبق لدينا سوى القليل جدا. هناك حرفيًا نقطتان أخريان أود مناقشتهما.

دعونا نحاول حل هذه المشكلة البسيطة. دع نقطتين وتعطى. أوجد إحداثيات منتصف القطعة. الحل لهذه المشكلة هو كما يلي: لتكن النقطة هي الوسط المطلوب، فيكون لها إحداثيات:

إنه: إحداثيات منتصف القطعة = الوسط الحسابي للإحداثيات المقابلة لأطراف القطعة.

هذه القاعدة بسيطة جدًا وعادةً لا تسبب صعوبات للطلاب. دعونا نرى ما هي المشاكل وكيف يتم استخدامها:

1. ابحث عن-di-te أو-di-na-tu se-re-di-ny من القطع، وقم بتوصيل النقطة و

2. النقاط تبدو وكأنها قمة العالم. ابحث عن نقاط-di-te أو-di-na-tu لكل إعادة-se-che-niya من dia-go-na-ley.

3. ابحث عن مركز di-te abs-cis-su للدائرة، وصف-san-noy حول no-ka المستطيل، وقمم شيء ما شاركوا أو di-na-you بمسؤولية كبيرة ولكن.

حلول:

1. المشكلة الأولى هي ببساطة مشكلة كلاسيكية. ننتقل على الفور إلى تحديد منتصف الجزء. لديها إحداثيات. الإحداثي متساوي.

إجابة:

2. من السهل أن نرى أن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع (حتى المعين!). يمكنك إثبات ذلك بنفسك عن طريق حساب أطوال الجوانب ومقارنتها مع بعضها البعض. ماذا أعرف عن متوازي الأضلاع؟ أقطارها مقسمة إلى نصفين عند نقطة التقاطع! نعم! إذن ما هي نقطة تقاطع القطرين؟ هذا هو منتصف أي من الأقطار! سأختار القطر على وجه الخصوص. ثم النقطة لها إحداثيات إحداثيات النقطة يساوي.

إجابة:

3. ما الذي يتطابق معه مركز الدائرة المحيطة بالمستطيل؟ ويتزامن مع نقطة تقاطع قطريه. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟ إنهما متساويان ونقطة التقاطع تقسمهما إلى نصفين. تم تقليص المهمة إلى المهمة السابقة. لنأخذ، على سبيل المثال، القطر. فإذا كان مركز الدائرة المحيطة، فهو نقطة المنتصف. أبحث عن الإحداثيات: الإحداثيات متساوية.

إجابة:

الآن تدرب قليلًا بمفردك، وسأقدم لك الإجابات لكل مشكلة حتى تتمكن من اختبار نفسك.

1. ابحث عن-di-te ra-di-us للدائرة، وصف-san-noy حول الزاوية الثلاثية-no-ka، قمم شيء ما لها رفاق مشتركون أو-di-no

2. ابحث عن-di-te أو-di-on-مركز الدائرة، وصف-san-noy حول المثلث-no-ka، الذي تحتوي قممه على إحداثيات

3. ما هو نوع ra-di-u-sa الذي يجب أن تكون فيه دائرة مركزها عند نقطة بحيث تلامس محور ab-ciss؟

4. ابحث عن تلك النقطة أو نقطة إعادة انفصال المحور ومن القطع وقم بتوصيل النقطة و

الإجابات:

هل كان كل شيء ناجحا؟ آمل حقا لذلك! الآن - الدفعة الأخيرة. الآن كن حذرًا بشكل خاص. المادة التي سأشرحها الآن لا ترتبط ارتباطًا مباشرًا فقط بالمسائل البسيطة المتعلقة بطريقة الإحداثيات من الجزء ب، ولكنها موجودة أيضًا في كل مكان في المشكلة C2.

أي من وعودي لم أفي بها بعد؟ هل تتذكر ما هي العمليات التي أجريت على المتجهات التي وعدت بتقديمها وأي منها قدمتها في النهاية؟ هل أنت متأكد من أنني لم أنس أي شيء؟ نسيت! لقد نسيت أن أشرح ما يعنيه ضرب المتجهات.

هناك طريقتان لضرب المتجه بالمتجه. اعتمادًا على الطريقة المختارة، سنحصل على أشياء ذات طبيعة مختلفة:

يتم تنفيذ المنتج المتقاطع بذكاء تام. سنناقش كيفية القيام بذلك وسبب الحاجة إليه في المقالة التالية. وفي هذا سوف نركز على المنتج القياسي.

هناك طريقتان تسمحان لنا بحسابه:

كما خمنت، يجب أن تكون النتيجة هي نفسها! لذلك دعونا ننظر إلى الطريقة الأولى أولاً:

نقطة المنتج عبر الإحداثيات

البحث عن: - التدوين المقبول عمومًا للمنتج العددي

صيغة الحساب هي كما يلي:

أي أن المنتج العددي = مجموع منتجات إحداثيات المتجهات!

مثال:

البحث عن الشركة المصرية للاتصالات

حل:

دعونا نجد إحداثيات كل من المتجهات:

نحسب المنتج العددي باستخدام الصيغة:

إجابة:

انظر، لا شيء معقد على الإطلاق!

حسنًا، جرب الآن بنفسك:

· ابحث عن عددي مؤيد لقرون و

هل تستطيع فعلها؟ ربما لاحظت صيدًا صغيرًا؟ دعونا تحقق:

إحداثيات المتجهات كما في المشكلة السابقة! إجابة: .

بالإضافة إلى الإحداثيات، هناك طريقة أخرى لحساب حاصل الضرب القياسي، وهي من خلال أطوال المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما:

يدل على الزاوية بين المتجهات و.

أي أن حاصل الضرب القياسي يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.

لماذا نحتاج إلى هذه الصيغة الثانية، إذا كان لدينا الصيغة الأولى، وهي أبسط بكثير، على الأقل لا يوجد جيب التمام فيها. وهو ضروري حتى نتمكن أنا وأنت من الصيغتين الأولى والثانية من استنتاج كيفية العثور على الزاوية بين المتجهات!

دعونا ثم نتذكر صيغة طول المتجه!

ثم إذا قمت باستبدال هذه البيانات في صيغة المنتج العددية، أحصل على:

ولكن بطريقة أخرى:

إذن ماذا حصلنا أنا وأنت؟ لدينا الآن صيغة لحساب الزاوية بين متجهين! في بعض الأحيان يتم كتابته أيضًا على هذا النحو للإيجاز:

أي أن خوارزمية حساب الزاوية بين المتجهات هي كما يلي:

1. حساب المنتج العددي من خلال الإحداثيات
2. أوجد أطوال المتجهات واضربها
3. اقسم نتيجة النقطة 1 على نتيجة النقطة 2

دعونا نتدرب مع الأمثلة:

1. أوجد الزاوية بين الجفون و. إعطاء الجواب في غراد دو ساه.

2. في شروط المشكلة السابقة، أوجد جيب التمام بين المتجهات

فلنفعل هذا: سأساعدك على حل المشكلة الأولى، وحاول حل المشكلة الثانية بنفسك! يوافق؟ ثم دعونا نبدأ!

1. هذه المتجهات هي أصدقائنا القدامى. لقد حسبنا بالفعل حاصل ضربهم القياسي وكان متساويًا. إحداثياتهم هي : . ثم نجد أطوالها:

ثم نبحث عن جيب التمام بين المتجهات:

ما هو جيب تمام الزاوية؟ هذه هي الزاوية.

إجابة:

حسنًا، الآن قم بحل المشكلة الثانية بنفسك، ثم قارن! سأقدم حلاً قصيرًا جدًا:

2. له إحداثيات، له إحداثيات.

اسمحوا أن تكون الزاوية بين المتجهات و، ثم

إجابة:

تجدر الإشارة إلى أن المشكلات المتعلقة مباشرة بالمتجهات وطريقة الإحداثيات في الجزء ب من ورقة الامتحان نادرة جدًا. ومع ذلك، يمكن حل الغالبية العظمى من مشاكل C2 بسهولة عن طريق إدخال نظام الإحداثيات. لذلك يمكنك اعتبار هذه المقالة الأساس الذي سنبني على أساسه إنشاءات ذكية للغاية سنحتاجها لحل المشكلات المعقدة.

الإحداثيات والمتجهات. مستوى متوسط

أنا وأنت نواصل دراسة طريقة الإحداثيات. وفي الجزء الأخير، استخلصنا عددًا من الصيغ المهمة التي تتيح لك:

1. البحث عن إحداثيات المتجهات
2. أوجد طول المتجه (بدلاً من ذلك: المسافة بين نقطتين)
3. إضافة وطرح المتجهات. اضربهم بعدد حقيقي
4. العثور على نقطة الوسط للقطعة
5. حساب المنتج النقطي للمتجهات
6. أوجد الزاوية بين المتجهات

بالطبع، لا تتناسب طريقة الإحداثيات بأكملها مع هذه النقاط الست. فهو يشكل أساس علم مثل الهندسة التحليلية، والذي سوف تتعرف عليه في الجامعة. أريد فقط بناء أساس يسمح لك بحل المشكلات في دولة واحدة. امتحان. لقد تعاملنا مع مهام الجزء ب. والآن حان الوقت للانتقال إلى مستوى جديد تمامًا! سيتم تخصيص هذه المقالة لطريقة حل مشكلات C2 التي يكون من المعقول فيها التبديل إلى طريقة الإحداثيات. يتم تحديد هذه المعقولية من خلال ما هو مطلوب العثور عليه في المشكلة والرقم المعطى. لذا، سأستخدم الطريقة الإحداثية إذا كانت الأسئلة هي:

1. أوجد الزاوية بين طائرتين
2. أوجد الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى
3. أوجد الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين
4. أوجد المسافة من نقطة إلى مستوى
5. أوجد المسافة من نقطة إلى خط
6. أوجد المسافة من خط مستقيم إلى المستوى
7. العثور على المسافة بين خطين

إذا كان الشكل الوارد في بيان المشكلة هو جسم يدور (كرة، أسطوانة، مخروط...)

الأرقام المناسبة لطريقة الإحداثيات هي:

1. مستطيلة متوازية
2. الهرم (الثلاثي، الرباعي، السداسي)

أيضا من تجربتي من غير المناسب استخدام طريقة الإحداثيات:

1. العثور على مناطق مستعرضة
2. حساب أحجام الأجسام

ومع ذلك، تجدر الإشارة على الفور إلى أن المواقف الثلاثة "غير المواتية" لطريقة الإحداثيات نادرة جدًا في الممارسة العملية. في معظم المهام، يمكن أن يصبح منقذك، خاصة إذا لم تكن جيدًا في الإنشاءات ثلاثية الأبعاد (والتي قد تكون معقدة جدًا في بعض الأحيان).

ما هي جميع الأرقام المذكورة أعلاه؟ لم تعد مسطحة، مثل، على سبيل المثال، مربع، مثلث، دائرة، ولكن ضخمة! وبناءً على ذلك، لا نحتاج إلى النظر في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد، بل نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد. إنه سهل الإنشاء: فقط بالإضافة إلى المحور الإحداثي والإحداثي، سنقدم محورًا آخر، وهو المحور المطبق. يوضح الشكل تخطيطيًا موضعهم النسبي:

وجميعها متعامدة وتتقاطع عند نقطة واحدة، والتي سنسميها أصل الإحداثيات. كما كان من قبل، سوف نشير إلى محور الإحداثي، والمحور الإحداثي -، والمحور التطبيقي المقدم - .

إذا كانت كل نقطة على المستوى تتميز سابقًا برقمين - الإحداثي والإحداثي، فإن كل نقطة في الفضاء موصوفة بالفعل بثلاثة أرقام - الإحداثي والإحداثي والمطبق. على سبيل المثال:

وبناء على ذلك، فإن حدود النقطة متساوية، والإحداثي هو، والمطبق هو .

في بعض الأحيان يُطلق على حدود النقطة أيضًا اسم إسقاط نقطة على محور الإحداثي، والإحداثي - إسقاط نقطة على المحور الإحداثي، والتطبيق - إسقاط نقطة على المحور المطبق. وبناء على ذلك، إذا أعطيت نقطة، فإن النقطة ذات الإحداثيات:

يسمى إسقاط نقطة على المستوى

يسمى إسقاط نقطة على المستوى

ويطرح سؤال طبيعي: هل كل الصيغ المشتقة للحالة ثنائية الأبعاد صالحة في الفضاء؟ الجواب نعم، إنهما عادلان ولهما نفس المظهر. للحصول على تفاصيل صغيرة. أعتقد أنك قد خمنت بالفعل أي واحد هو. في جميع الصيغ، سيتعين علينا إضافة مصطلح آخر مسؤول عن المحور المطبق. يسمى.

1. إذا ورد نقطتان: فإن:

• إحداثيات المتجهات:
• المسافة بين نقطتين (أو طول المتجه)
• النقطة الوسطى للقطعة لها إحداثيات

2. إذا تم إعطاء متجهين: و، ثم:

• منتجهم العددي يساوي:
• جيب تمام الزاوية بين المتجهات يساوي:

ومع ذلك، الفضاء ليس بهذه البساطة. كما تفهم، فإن إضافة إحداثي آخر يؤدي إلى تنوع كبير في مجموعة الشخصيات "التي تعيش" في هذا الفضاء. ولمزيد من السرد، سأحتاج إلى تقديم بعض "التعميمات" تقريبًا للخط المستقيم. سيكون هذا "التعميم" بمثابة طائرة. ماذا تعرف عن الطائرة؟ حاول الإجابة على سؤال ما هي الطائرة؟ من الصعب جدا أن أقول. ومع ذلك، فإننا جميعًا نتخيل بشكل حدسي كيف يبدو الأمر:

بشكل تقريبي، هذا نوع من "الورقة" التي لا نهاية لها، عالقة في الفضاء. وينبغي أن نفهم "اللانهاية" أن المستوى يمتد في كل الاتجاهات، أي أن مساحته تساوي اللانهاية. ومع ذلك، فإن هذا التفسير العملي لا يعطي أدنى فكرة عن هيكل الطائرة. وهي التي ستكون مهتمة بنا.

دعونا نتذكر إحدى البديهيات الأساسية للهندسة:

• يمر الخط المستقيم بنقطتين مختلفتين على المستوى، ونقطة واحدة فقط:

أو نظيره في الفضاء:

بالطبع، تتذكر كيفية استخلاص معادلة خط من نقطتين محددتين، الأمر ليس بالأمر الصعب على الإطلاق: إذا كانت النقطة الأولى لها إحداثيات: والنقطة الثانية، فستكون معادلة الخط كما يلي:

لقد أخذت هذا في الصف السابع. في الفضاء تكون معادلة الخط على النحو التالي: لنحصل على نقطتين بإحداثياتهما: فإن معادلة الخط الذي يمر عبرهما تكون بالشكل:

على سبيل المثال، يمر الخط عبر النقاط:

كيف ينبغي أن نفهم هذا؟ يجب أن يفهم ذلك على النحو التالي: تقع النقطة على خط إذا كانت إحداثياتها تحقق النظام التالي:

لن نهتم كثيرًا بمعادلة الخط، لكن علينا الانتباه إلى المفهوم المهم جدًا وهو متجه الاتجاه للخط. - أي متجه غير صفري يقع على خط معين أو موازي له.

على سبيل المثال، كلا المتجهين هما متجهان اتجاه لخط مستقيم. دع نقطة تقع على الخط ودعها تكون متجهة لاتجاهها. ومن ثم يمكن كتابة معادلة الخط بالصيغة التالية:

مرة أخرى، لن أكون مهتمًا جدًا بمعادلة الخط المستقيم، لكني أريدك حقًا أن تتذكر ما هو متجه الاتجاه! مرة أخرى: هذا هو أي متجه غير صفري يقع على خط أو موازٍ له.

ينسحب معادلة المستوى المبني على ثلاث نقاط معطاةلم يعد الأمر تافهًا جدًا، ولا يتم تناول هذه المشكلة عادةً في دورات المدارس الثانوية. ولكن عبثا! تعتبر هذه التقنية حيوية عندما نلجأ إلى طريقة الإحداثيات لحل المشكلات المعقدة. ومع ذلك، أفترض أنك حريص على تعلم شيء جديد؟ علاوة على ذلك، ستتمكن من إثارة إعجاب معلمك في الجامعة عندما يتبين أنك تعرف بالفعل كيفية استخدام التقنية التي تتم دراستها عادة في دورة الهندسة التحليلية. اذا هيا بنا نبدأ.

معادلة المستوى لا تختلف كثيرا عن معادلة الخط المستقيم على المستوى، أي أن لها الشكل:

بعض الأرقام (ليست كلها تساوي صفراً)، ولكن متغيرات، على سبيل المثال: إلخ. كما ترون، معادلة المستوى لا تختلف كثيرا عن معادلة الخط المستقيم (الدالة الخطية). ومع ذلك، تذكر ما جادلنا أنا وأنت؟ قلنا إنه إذا كان لدينا ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط، فيمكن إعادة بناء معادلة المستوى منها بشكل فريد. ولكن كيف؟ سأحاول أن أشرح لك.

وبما أن معادلة المستوى هي:

والنقاط تنتمي إلى هذا المستوى، فعند التعويض بإحداثيات كل نقطة في معادلة المستوى يجب أن نحصل على الهوية الصحيحة:

وبالتالي، هناك حاجة إلى حل ثلاث معادلات ذات مجهولين! ورطة! ومع ذلك، يمكنك دائمًا افتراض ذلك (للقيام بذلك عليك القسمة على). وبذلك نحصل على ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل:

ومع ذلك، فإننا لن نحل مثل هذا النظام، ولكننا نكتب التعبير الغامض الذي يتبعه:

معادلة الطائرة التي تمر عبر ثلاث نقاط معينة

\[\يسار| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(صفيف)) \right| = 0\]

قف! ما هذا؟ بعض وحدة غير عادية للغاية! ومع ذلك، فإن الكائن الذي تراه أمامك ليس له علاقة بالوحدة. ويسمى هذا الكائن محدد الدرجة الثالثة. من الآن فصاعدا، عندما تتعامل مع طريقة الإحداثيات على المستوى، سوف تواجه في كثير من الأحيان نفس هذه المحددات. ما هو محدد الدرجة الثالثة؟ ومن الغريب أنه مجرد رقم. يبقى أن نفهم ما هو الرقم المحدد الذي سنقارنه بالمحدد.

لنكتب أولاً المحدد من الدرجة الثالثة بشكل أكثر عمومية:

أين بعض الأرقام علاوة على ذلك، نقصد بالفهرس الأول رقم الصف، ونقصد بالفهرس رقم العمود. على سبيل المثال، فهذا يعني أن هذا الرقم يقع عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثالث. دعونا نطرح السؤال التالي: كيف بالضبط سنحسب مثل هذا المحدد؟ أي ما هو الرقم المحدد الذي سنقارن به؟ بالنسبة للمحدد من الدرجة الثالثة هناك قاعدة المثلث الإرشادي (المرئي)، وهي تبدو كما يلي:

1. حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي (من الزاوية العلوية اليسرى إلى أسفل اليمين) حاصل ضرب العناصر المكونة للمثلث الأول "عمودي" على القطر الرئيسي حاصل ضرب العناصر المكونة للمثلث الثاني "عمودي" على القطر الرئيسي قطري الرئيسي
2. حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي (من الزاوية اليمنى العليا إلى أسفل اليسار) حاصل ضرب العناصر المكونة للمثلث الأول "عمودي" على القطر الثانوي حاصل ضرب العناصر المكونة للمثلث الثاني "عمودي" على القطر الثانوي قطري ثانوي
3. ثم يكون المحدد هو الفرق بين القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة و

إذا كتبنا كل هذا بالأرقام، نحصل على التعبير التالي:

ومع ذلك، ليست هناك حاجة لتذكر طريقة الحساب في هذا النموذج؛ يكفي أن تبقي في رأسك المثلثات وفكرة ما يضيف إلى ماذا وما يتم طرحه بعد ذلك من ماذا).

لنوضح طريقة المثلث بمثال:

1. احسب المحدد:

دعونا معرفة ما نضيفه وما نطرحه:

المصطلحات التي تأتي مع علامة زائد:

هذا هو القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر يساوي

المثلث الأول "عمودي على القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر يساوي

المثلث الثاني "عمودي على القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر يساوي

اجمع ثلاثة أرقام:

المصطلحات التي تأتي مع ناقص

هذا قطر جانبي: حاصل ضرب العناصر يساوي

المثلث الأول “عمودي على القطر الثانوي: حاصل ضرب العناصر يساوي

المثلث الثاني “عمودي على القطر الثانوي: حاصل ضرب العناصر يساوي

اجمع ثلاثة أرقام:

كل ما يتعين علينا القيام به هو طرح مجموع الحدود "الزائد" من مجموع الحدود "الناقصة":

هكذا،

كما ترون، لا يوجد شيء معقد أو خارق للطبيعة في حساب محددات الدرجة الثالثة. من المهم فقط أن تتذكر المثلثات وألا ترتكب أخطاء حسابية. حاول الآن حسابها بنفسك:

نحن نفحص:

1. المثلث الأول العمودي على القطر الرئيسي :
2. المثلث الثاني العمودي على القطر الرئيسي :
3. مجموع المصطلحات مع علامة الزائد:
4. المثلث الأول العمودي على القطر الثانوي:
5. المثلث الثاني العمودي على القطر الجانبي:
6. مجموع المصطلحات مع ناقص:
7. مجموع الحدود التي لها علامة زائد ناقص مجموع الحدود التي لها علامة ناقص:

فيما يلي بعض المحددات الأخرى، احسب قيمها بنفسك وقارنها بالإجابات:

الإجابات:

حسنًا، هل تزامن كل شيء؟ عظيم، ثم يمكنك المضي قدما! إذا كانت هناك صعوبات، فإن نصيحتي هي: يوجد على الإنترنت الكثير من البرامج لحساب المحدد عبر الإنترنت. كل ما تحتاجه هو التوصل إلى المحدد الخاص بك، وحسابه بنفسك، ثم مقارنته بما يحسبه البرنامج. وهكذا حتى تبدأ النتائج في التطابق. أنا متأكد من أن هذه اللحظة لن تستغرق وقتًا طويلاً للوصول!

لنعد الآن إلى المحدد الذي كتبته عندما تحدثت عن معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط معينة:

كل ما عليك هو حساب قيمته مباشرة (باستخدام طريقة المثلث) وضبط النتيجة على الصفر. وبطبيعة الحال، بما أن هذه متغيرات، فسوف تحصل على بعض التعبيرات التي تعتمد عليها. هذا التعبير هو الذي سيكون معادلة المستوى الذي يمر بثلاث نقاط معينة لا تقع على نفس الخط المستقيم!

ولنوضح ذلك بمثال بسيط:

1. أنشئ معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط

نقوم بتجميع محدد لهذه النقاط الثلاث:

دعونا نبسط:

الآن نحسبها مباشرة باستخدام قاعدة المثلث:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ يمين| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

وبالتالي فإن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط هي:

حاول الآن حل مشكلة واحدة بنفسك، وبعد ذلك سنناقشها:

2. أوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط

حسنًا، لنناقش الحل الآن:

لنقم بإنشاء محدد:

وحساب قيمتها:

ثم معادلة الطائرة لها الشكل:

أو بالتبسيط نحصل على:

الآن مهمتان لضبط النفس:

1. أنشئ معادلة المستوى الذي يمر بثلاث نقاط:

الإجابات:

هل تزامن كل شيء؟ مرة أخرى، إذا كانت هناك بعض الصعوبات، فإن نصيحتي هي: خذ ثلاث نقاط من رأسك (مع درجة عالية من الاحتمال أنها لن تقع على نفس الخط المستقيم)، وقم ببناء طائرة بناءً عليها. ومن ثم تقوم بفحص نفسك عبر الإنترنت. على سبيل المثال، على الموقع:

ومع ذلك، بمساعدة المحددات، لن نبني فقط معادلة المستوى. تذكر، لقد أخبرتك أنه لا يتم تعريف المنتج النقطي فقط للمتجهات. يوجد أيضًا منتج متجه، بالإضافة إلى منتج مختلط. وإذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهين عددًا، فإن حاصل الضرب المتجه لمتجهين سيكون متجهًا، وسيكون هذا المتجه عموديًا على المتجهين المعطاين:

علاوة على ذلك، فإن وحدتها ستكون مساوية لمنطقة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و. سنحتاج إلى هذا المتجه لحساب المسافة من نقطة إلى خط. كيف يمكننا حساب حاصل ضرب المتجهات للمتجهات، وإذا كانت إحداثياتها معطاة؟ ويأتي محدد الدرجة الثالثة لمساعدتنا مرة أخرى. ومع ذلك، قبل أن أنتقل إلى خوارزمية حساب المنتج المتجه، لا بد لي من إجراء استطراد صغير.

يتعلق هذا الاستطراد بالنواقل الأساسية.

تظهر بشكل تخطيطي في الشكل:

لماذا تعتقد أنهم يطلق عليهم الأساسية؟ الحقيقة انه :

أو في الصورة:

وصحة هذه الصيغة واضحة للأسباب التالية:

ناقلات العمل الفني

الآن يمكنني البدء في تقديم المنتج المتقاطع:

المنتج المتجه لمتجهين هو المتجه، والذي يتم حسابه وفقًا للقاعدة التالية:

الآن دعونا نعطي بعض الأمثلة لحساب المنتج الاتجاهي:

مثال 1: أوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات:

الحل: أقوم بتكوين المحدد:

وأنا أحسبها:

الآن بعد الكتابة من خلال المتجهات الأساسية، سأعود إلى ترميز المتجهات المعتاد:

هكذا:

جربه الآن.

مستعد؟ نحن نفحص:

وتقليديا اثنين مهام التحكم:

1. ابحث عن المنتج المتجه للمتجهات التالية:
2. ابحث عن المنتج المتجه للمتجهات التالية:

الإجابات:

منتج مختلط من ثلاثة ناقلات

البناء الأخير الذي سأحتاجه هو المنتج المختلط لثلاثة نواقل. فهو، مثل العددية، هو رقم. هناك طريقتان لحساب ذلك. - من خلال محدد - من خلال منتج مختلط.

وهي، دعونا نعطي ثلاثة ناقلات:

ثم يمكن حساب المنتج المختلط لثلاثة ناقلات، المشار إليها بـ، على النحو التالي:

1. - أي أن المنتج المختلط هو المنتج القياسي لمتجه ومنتج المتجه لمتجهين آخرين

على سبيل المثال، المنتج المختلط لثلاثة ناقلات هو:

حاول حسابها بنفسك باستخدام المنتج المتجه وتأكد من تطابق النتائج!

ومرة أخرى، مثالان للحلول المستقلة:

الإجابات:

اختيار نظام الإحداثيات

حسنًا، لدينا الآن كل الأسس المعرفية اللازمة لحل مشكلات الهندسة المجسمة المعقدة. ومع ذلك، قبل الانتقال مباشرة إلى الأمثلة والخوارزميات لحلها، أعتقد أنه سيكون من المفيد التطرق إلى السؤال التالي: كيف بالضبط اختيار نظام الإحداثيات لشخصية معينة.بعد كل شيء، فإن اختيار الموقع النسبي لنظام الإحداثيات والشكل في الفضاء هو الذي سيحدد في النهاية مدى تعقيد الحسابات.

اسمحوا لي أن أذكركم أننا في هذا القسم نأخذ في الاعتبار الأرقام التالية:

1. مستطيلة متوازية
2. المنشور المستقيم (الثلاثي، السداسي...)
3. الهرم (ثلاثي، رباعي الزوايا)
4. رباعي الاسطح (مثل الهرم الثلاثي)

للحصول على متوازي مستطيل أو مكعب، أنصحك بالبناء التالي:

أي أنني سأضع الشكل "في الزاوية". المكعب ومتوازي السطوح شخصيات جيدة جدًا. بالنسبة لهم، يمكنك دائمًا بسهولة العثور على إحداثيات رؤوسها. على سبيل المثال إذا (كما هو موضح في الصورة)

فإن إحداثيات القمم هي كما يلي:

بالطبع، لا تحتاج إلى تذكر ذلك، ولكن من المستحسن أن تتذكر أفضل طريقة لوضع المكعب أو متوازي السطوح المستطيل.

المنشور المستقيم

المنشور هو شخصية أكثر ضررا. يمكن وضعه في الفضاء بطرق مختلفة. ومع ذلك، يبدو لي أن الخيار التالي هو الأكثر قبولا:

منشور ثلاثي:

أي أننا نضع أحد أضلاع المثلث بالكامل على المحور، ويتوافق أحد الرءوس مع أصل الإحداثيات.

المنشور السداسي:

أي أن إحدى القمم تتطابق مع نقطة الأصل، وأحد أضلاعها يقع على المحور.

الهرم الرباعي والسداسي:

الوضع مشابه للمكعب: نقوم بمحاذاة جانبين من القاعدة مع محاور الإحداثيات، ونحاذي أحد القمم مع أصل الإحداثيات. ستكون الصعوبة البسيطة الوحيدة هي حساب إحداثيات النقطة.

بالنسبة للهرم السداسي - نفس الشيء بالنسبة للمنشور السداسي. ستكون المهمة الرئيسية مرة أخرى هي العثور على إحداثيات الرأس.

رباعي الاسطح (الهرم الثلاثي)

الوضع مشابه جدًا للموقف الذي قدمته للمنشور الثلاثي: إحدى القمم تتطابق مع نقطة الأصل، والجانب الآخر يقع على محور الإحداثيات.

حسنًا، الآن أنت وأنا أخيرًا على وشك البدء في حل المشكلات. مما قلته في بداية المقال، يمكنك استخلاص الاستنتاج التالي: تنقسم معظم مشاكل C2 إلى فئتين: مشاكل الزاوية ومشاكل المسافة. أولًا، سننظر إلى مسائل إيجاد الزاوية. وهي بدورها مقسمة إلى الفئات التالية (مع زيادة التعقيد):

مشاكل في إيجاد الزوايا

1. إيجاد الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين
2. إيجاد الزاوية بين طائرتين

دعونا نلقي نظرة على هذه المسائل بالتسلسل: لنبدأ بإيجاد الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حسنًا، تذكر، ألم نقوم أنا وأنت بحل أمثلة مماثلة من قبل؟ هل تتذكر، كان لدينا بالفعل شيء مماثل... كنا نبحث عن الزاوية بين متجهين. اسمحوا لي أن أذكرك، إذا تم إعطاء متجهين: و، فسيتم العثور على الزاوية بينهما من العلاقة:

هدفنا الآن هو إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. دعونا نلقي نظرة على "الصورة المسطحة":

ما عدد الزوايا التي نحصل عليها عندما يتقاطع خطان مستقيمان؟ فقط بعض الأشياء. صحيح أن اثنين منهم فقط غير متساويين، بينما يكون الآخرون عموديين عليهم (وبالتالي يتزامنون معهم). إذن ما هي الزاوية التي يجب أن نعتبرها الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين: أم؟ وهنا القاعدة هي: الزاوية بين خطين مستقيمين لا تزيد دائمًا عن درجات. أي أنه من زاويتين سنختار دائمًا الزاوية ذات القياس الأصغر درجة. أي أن الزاوية بين خطين مستقيمين في هذه الصورة متساوية. لكي لا تهتم في كل مرة بإيجاد أصغر زاويتين، اقترح علماء الرياضيات الماكرون استخدام المعامل. وبالتالي، يتم تحديد الزاوية بين خطين مستقيمين بالصيغة:

أنت، كقارئ يقظ، كان يجب أن يكون لديك سؤال: أين، بالضبط، نحصل على هذه الأرقام التي نحتاجها لحساب جيب تمام الزاوية؟ الإجابة: سنأخذها من متجهات الاتجاه للخطوط! وبالتالي، فإن خوارزمية إيجاد الزاوية بين خطين مستقيمين هي كما يلي:

1. نحن نطبق الصيغة 1.

أو بمزيد من التفصيل:

1. نحن نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول
2. نحن نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الثاني
3. نحسب معامل منتجهم العددي
4. نحن نبحث عن طول المتجه الأول
5. نحن نبحث عن طول المتجه الثاني
6. اضرب نتائج النقطة 4 في نتائج النقطة 5
7. نقسم نتيجة النقطة 3 على نتيجة النقطة 6. نحصل على جيب تمام الزاوية بين السطور
8. إذا كانت هذه النتيجة تسمح لنا بحساب الزاوية بدقة، فإننا نبحث عنها
9. وإلا فإننا نكتب من خلال قوس جيب التمام

حسنًا، حان الوقت الآن للانتقال إلى المشكلات: سأوضح حل المشكلتين الأوليين بالتفصيل، وسأقدم حل مشكلة أخرى بشكل مختصر، وبالنسبة للمشكلتين الأخيرتين سأقدم الإجابات فقط؛ يجب عليك إجراء جميع الحسابات لهم بنفسك.

مهام:

1. في tet-ra-ed-re الأيمن، ابحث عن الزاوية بين ارتفاع tet-ra-ed-ra والجانب الأوسط.

2. في الزاوية اليمنى الستة pi-ra-mi-de، تكون مئات os-no-va-niyas متساوية، والحواف الجانبية متساوية، ابحث عن الزاوية بين الخطوط و.

3. أطوال جميع حواف الفحم الأربعة اليمنى pi-ra-mi-dy متساوية مع بعضها البعض. ابحث عن الزاوية بين الخطوط المستقيمة وإذا كان من القطع - فأنت مع pi-ra-mi-dy المحدد، فالنقطة هي se-re-di- على أضلاعها bo-co- الثانية

4. توجد نقطة على حافة المكعب بحيث تجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة و

5. نقطة - على حواف المكعب أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة و.

وليس من قبيل الصدفة أنني رتبت المهام بهذا الترتيب. على الرغم من أنك لم تبدأ بعد في التنقل في طريقة الإحداثيات، فسوف أقوم بتحليل الأشكال الأكثر "إشكالية" بنفسي، وسأترك لك التعامل مع أبسط مكعب! تدريجيا، سيتعين عليك تعلم كيفية العمل مع جميع الأرقام؛ سأزيد من تعقيد المهام من موضوع إلى موضوع.

لنبدأ في حل المشاكل:

1. ارسم شكلاً رباعي السطوح، وضعه في نظام الإحداثيات كما اقترحت سابقًا. وبما أن رباعي الأسطح منتظم، فإن جميع وجوهه (بما في ذلك القاعدة) هي مثلثات منتظمة. وبما أنه ليس لدينا طول الضلع، فيمكنني اعتباره متساويًا. أعتقد أنك تفهم أن الزاوية لن تعتمد فعليًا على مدى "تمدد" رباعي السطوح لدينا؟ سأرسم أيضًا الارتفاع والوسيط في رباعي الأسطح. على طول الطريق، سأرسم قاعدتها (ستكون مفيدة لنا أيضًا).

أحتاج إلى العثور على الزاوية بين و. ما الذي نعرفه؟ نحن نعرف فقط إحداثيات النقطة. وهذا يعني أن علينا إيجاد إحداثيات النقاط. الآن نفكر: النقطة هي نقطة تقاطع الارتفاعات (أو المنصفات أو المتوسطات) للمثلث. والنقطة هي نقطة مرفوعة. النقطة هي منتصف القطعة. ثم علينا أخيرًا إيجاد: إحداثيات النقاط: .

لنبدأ بأبسط شيء: إحداثيات نقطة ما. انظر إلى الشكل: من الواضح أن تطبيق نقطة يساوي صفر (النقطة تقع على المستوى). إحداثياتها متساوية (لأنها الوسيط). من الصعب العثور على الإحداثي. ومع ذلك، يمكن القيام بذلك بسهولة بناءً على نظرية فيثاغورس: فكر في مثلث. الوتر متساوي، وأحد ساقيه متساويان، ثم:

وأخيرا لدينا : .

الآن دعونا نجد إحداثيات النقطة. ومن الواضح أن تطبيقه يساوي الصفر مرة أخرى، وإحداثيته هو نفس إحداثي النقطة، أي. دعونا نجد الإحداثي السيني لها. يتم ذلك بشكل تافه تمامًا إذا كنت تتذكر ذلك يتم تقسيم ارتفاعات المثلث متساوي الأضلاع عند نقطة التقاطع بالتناسب، العد من الأعلى. بما أن: فإن الإحداثي الإحداثي المطلوب للنقطة، والذي يساوي طول القطعة، يساوي: . وبالتالي فإن إحداثيات النقطة هي:

دعونا نجد إحداثيات النقطة. ومن الواضح أن الإحداثي والإحداثي يتزامنان مع الإحداثي والإحداثي للنقطة. والتطبيق يساوي طول القطعة. - وهذا أحد أرجل المثلث. الوتر في المثلث هو قطعة - ساق. يتم البحث عنه للأسباب التي أبرزتها بالخط العريض:

النقطة هي منتصف القطعة. ثم علينا أن نتذكر صيغة إحداثيات منتصف القطعة:

هذا كل شيء، الآن يمكننا البحث عن إحداثيات متجهات الاتجاه:

حسنًا، كل شيء جاهز: نعوض جميع البيانات في الصيغة:

هكذا،

إجابة:

لا ينبغي أن تخاف من هذه الإجابات "المخيفة": فهذه ممارسة شائعة بالنسبة لمهام C2. أفضل أن أتفاجأ بالإجابة "الجميلة" في هذا الجزء. كما لاحظت أيضًا أنني لم ألجأ عمليًا إلى أي شيء آخر غير نظرية فيثاغورس وخاصية ارتفاعات المثلث متساوي الأضلاع. وهذا يعني أنه لحل مشكلة القياس المجسم، استخدمت الحد الأدنى من القياس المجسم. يتم "إطفاء" المكسب في هذا جزئيًا من خلال حسابات مرهقة إلى حد ما. لكنها خوارزمية تماما!

2. دعونا نرسم هرمًا سداسيًا منتظمًا مع نظام الإحداثيات وقاعدته:

نحن بحاجة إلى العثور على الزاوية بين الخطوط و. وبالتالي فإن مهمتنا تتلخص في إيجاد إحداثيات النقاط: . سنوجد إحداثيات الثلاثة الأخيرة باستخدام رسم صغير، وسنوجد إحداثيات الرأس من خلال إحداثيات النقطة. هناك الكثير من العمل الذي يتعين علينا القيام به، ولكن علينا أن نبدأ!

أ) الإحداثي: من الواضح أن تطبيقه وإحداثيته يساوي الصفر. دعونا نجد الإحداثي السيني. للقيام بذلك، فكر في مثلث قائم الزاوية. للأسف، لا نعرف فيه سوى الوتر، وهو متساوي. سنحاول العثور على الساق (لأنه من الواضح أن مضاعفة طول الساق سيعطينا حافة النقطة). كيف يمكننا البحث عنه؟ دعونا نتذكر ما هو نوع الشكل الذي لدينا عند قاعدة الهرم؟ هذا مسدس منتظم. ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أن جميع الجوانب وجميع الزوايا متساوية. علينا إيجاد زاوية واحدة من هذا القبيل. أيه أفكار؟ هناك الكثير من الأفكار، ولكن هناك صيغة:

مجموع زوايا المضلع n المنتظم هو .

وبالتالي فإن مجموع زوايا الشكل السداسي المنتظم يساوي الدرجات. إذن كل زاوية تساوي:

دعونا ننظر إلى الصورة مرة أخرى. ومن الواضح أن القطعة هي منصف الزاوية. ثم الزاوية تساوي درجات. ثم:

ثم من أين.

وبالتالي، لديه الإحداثيات

ب) الآن يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات النقطة: .

ج) أوجد إحداثيات النقطة. وبما أن الإحداثي السيني يتزامن مع طول المقطع، فهو متساوي. العثور على الإحداثي ليس بالأمر الصعب أيضًا: إذا قمنا بتوصيل النقاط وحددنا نقطة تقاطع الخط المستقيم، فلنقل بـ. (افعل ذلك بنفسك بناء بسيط). ومن ثم، فإن إحداثي النقطة B يساوي مجموع أطوال القطع. دعونا ننظر إلى المثلث مرة أخرى. ثم

ثم منذ ذلك الحين فإن النقطة لها إحداثيات

د) الآن دعونا نجد إحداثيات النقطة. خذ بعين الاعتبار المستطيل وأثبت أن إحداثيات النقطة هي:

ه) يبقى العثور على إحداثيات الرأس. ومن الواضح أن الإحداثي والإحداثي يتزامنان مع الإحداثي والإحداثي للنقطة. دعونا نجد التطبيق. منذ ذلك الحين. فكر في مثلث قائم الزاوية. وفقا لظروف المشكلة، حافة جانبية. هذا هو الوتر في المثلث الخاص بي. إذن ارتفاع الهرم ساق .

ثم النقطة لها إحداثيات:

حسنًا، هذا كل شيء، لدي إحداثيات جميع النقاط التي تهمني. أنا أبحث عن إحداثيات المتجهات الموجهة للخطوط المستقيمة:

نحن نبحث عن الزاوية بين هذه المتجهات:

إجابة:

مرة أخرى، في حل هذه المشكلة، لم أستخدم أي تقنيات معقدة بخلاف صيغة مجموع زوايا n-gon العادية، بالإضافة إلى تعريف جيب التمام وجيب المثلث القائم الزاوية.

3. بما أننا لم نحصل مرة أخرى على أطوال الحواف في الهرم، فسوف أعتبرها مساوية لواحد. وهكذا، بما أن جميع الأضلاع، وليس الجوانب فقط، متساوية مع بعضها البعض، فعند قاعدة الهرم وأنا يوجد مربع، والأوجه الجانبية مثلثات منتظمة. دعونا نرسم هذا الهرم وقاعدته على مستوى، مع ملاحظة جميع البيانات الواردة في نص المشكلة:

نحن نبحث عن الزاوية بين و. سأجري حسابات مختصرة جدًا عندما أبحث عن إحداثيات النقاط. سوف تحتاج إلى "فك تشفيرها":

ب) - منتصف القطعة. إحداثياتها:

ج) سأجد طول القطعة باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث. يمكنني العثور عليه باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث.

الإحداثيات:

د) - منتصف القطعة. إحداثياتها هي

ه) إحداثيات المتجهات

و) إحداثيات المتجهات

ز) البحث عن الزاوية:

المكعب هو أبسط شكل. أنا متأكد من أنك ستكتشف ذلك بنفسك. إجابات السؤالين 4 و 5 هي كما يلي:

إيجاد الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى

حسنًا، لقد انتهى وقت الألغاز البسيطة! الآن ستكون الأمثلة أكثر تعقيدًا. ولإيجاد الزاوية المحصورة بين خط مستقيم ومستوى نتبع ما يلي:

1. باستخدام ثلاث نقاط نبني معادلة المستوى
   ,
   باستخدام محدد الدرجة الثالثة.
2. باستخدام نقطتين، نبحث عن إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم:
3. نطبق الصيغة لحساب الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى:

كما ترون، هذه الصيغة مشابهة جدًا لتلك التي استخدمناها لإيجاد الزوايا بين خطين مستقيمين. البنية على الجانب الأيمن هي نفسها ببساطة، وعلى اليسار نبحث الآن عن جيب التمام، وليس جيب التمام كما كان من قبل. حسنًا، تمت إضافة إجراء واحد سيئ - البحث عن معادلة المستوى.

دعونا لا نماطل أمثلة الحل:

1. المنشور الرئيسي ولكن va-ni-em المباشر هو أننا مثلث متساوي الفقراء. أوجد الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى

2. في مستطيل par-ral-le-le-pi-pe-de من الغرب أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى

3. في المنشور السداسي القائم، جميع الحواف متساوية. أوجد الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى.

4. في المثلث الأيمن pi-ra-mi-de مع os-no-va-ni-em للأضلاع المعروفة، ابحث عن زاوية، ob-ra-zo-van -مسطحة في القاعدة ومستقيمة، مروراً باللون الرمادي الأضلاع و

5. أطوال جميع حواف الشكل الرباعي الأيمن pi-ra-mi-dy مع قمة متساوية مع بعضها البعض. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى إذا كانت النقطة على جانب حافة pi-ra-mi-dy.

مرة أخرى، سأحل المشكلتين الأوليين بالتفصيل، والثالثة باختصار، وأترك ​​لك المشكلتين الأخيرتين لتحلهما بنفسك. بالإضافة إلى ذلك، كان عليك بالفعل التعامل مع الأهرامات المثلثة والرباعية، ولكن ليس بعد مع المنشورات.

حلول:

1. دعونا نصور المنشور وقاعدته. دعونا ندمجه مع نظام الإحداثيات ونلاحظ جميع البيانات الواردة في بيان المشكلة:

أعتذر عن بعض عدم الامتثال للنسب، ولكن لحل المشكلة، هذا، في الواقع، ليس مهما للغاية. الطائرة هي ببساطة "الجدار الخلفي" لمنشوري. يكفي أن نخمن ببساطة أن معادلة مثل هذا المستوى لها الشكل:

ولكن يمكن إظهار ذلك بشكل مباشر:

دعونا نختار ثلاث نقاط عشوائية على هذا المستوى: على سبيل المثال، .

لنقم بإنشاء معادلة المستوى:

تمرين لك: احسب هذا المحدد بنفسك. هل نجحت؟ فتبدو معادلة المستوى كما يلي:

أو ببساطة

هكذا،

لحل المثال، أحتاج إلى إيجاد إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم. وبما أن النقطة تتزامن مع أصل الإحداثيات، فإن إحداثيات المتجه ستتطابق ببساطة مع إحداثيات النقطة.

للقيام بذلك، النظر في مثلث. دعونا نرسم الارتفاع (المعروف أيضًا باسم الوسيط والمنصف) من الرأس. وبما أن إحداثي النقطة يساوي. من أجل العثور على الإحداثي السيني لهذه النقطة، نحتاج إلى حساب طول القطعة. ووفقا لنظرية فيثاغورس لدينا:

ثم النقطة لها إحداثيات:

النقطة هي نقطة "مرفوعة":

ثم إحداثيات المتجهات هي:

إجابة:

كما ترون، لا يوجد شيء صعب بشكل أساسي عند حل مثل هذه المهام. في الواقع، تم تبسيط العملية أكثر قليلاً من خلال "استقامة" شكل مثل المنشور. والآن لننتقل إلى المثال التالي:

2. ارسم خطًا متوازيًا، وارسم مستوى وخطًا مستقيمًا فيه، وارسم أيضًا قاعدته السفلية بشكل منفصل:

أولاً نجد معادلة المستوى: إحداثيات النقاط الثلاث الواقعة فيه:

(يتم الحصول على الإحداثيات الأولين بطريقة واضحة، ويمكنك بسهولة العثور على الإحداثيات الأخيرة من الصورة من النقطة). ثم نقوم بتكوين معادلة المستوى:

نحسب:

نحن نبحث عن إحداثيات المتجه الموجه: من الواضح أن إحداثياته ​​تتطابق مع إحداثيات النقطة، أليس كذلك؟ كيفية العثور على الإحداثيات؟ هذه هي إحداثيات النقطة مرفوعة على طول المحور المطبق بمقدار واحد! . ثم نبحث عن الزاوية المطلوبة:

إجابة:

3. ارسم هرماً سداسياً منتظماً، ثم ارسم فيه مستوى وخطاً مستقيماً.

هنا من الصعب أيضًا رسم المستوى، ناهيك عن حل هذه المشكلة، لكن طريقة الإحداثيات لا تهتم! تنوعها هو ميزتها الرئيسية!

تمر الطائرة بثلاث نقاط : . نحن نبحث عن إحداثياتهم:

1) . اكتشف إحداثيات النقطتين الأخيرتين بنفسك. سوف تحتاج إلى حل مشكلة الهرم السداسي لهذا الغرض!

2) نبني معادلة المستوى:

نحن نبحث عن إحداثيات المتجه: . (انظر مشكلة الهرم الثلاثي مرة أخرى!)

3) البحث عن زاوية:

إجابة:

كما ترون، لا يوجد شيء خارق للطبيعة في هذه المهام. عليك فقط أن تكون حذرًا جدًا مع الجذور. سأجيب فقط على المشكلتين الأخيرتين:

كما ترون، فإن تقنية حل المشكلات هي نفسها في كل مكان: المهمة الرئيسية هي العثور على إحداثيات القمم واستبدالها في صيغ معينة. لا يزال يتعين علينا النظر في فئة أخرى من المسائل لحساب الزوايا، وهي:

حساب الزوايا بين طائرتين

ستكون خوارزمية الحل كما يلي:

1. باستخدام ثلاث نقاط نبحث عن معادلة المستوى الأول:
2. باستخدام النقاط الثلاث الأخرى نبحث عن معادلة المستوى الثاني:
3. نحن نطبق الصيغة:

كما ترون، فإن الصيغة مشابهة جدًا للصيغتين السابقتين، والتي بمساعدتها بحثنا عن الزوايا بين الخطوط المستقيمة وبين الخط المستقيم والمستوى. لذلك لن يكون من الصعب عليك أن تتذكر هذا. دعنا ننتقل إلى تحليل المهام:

1. ضلع قاعدة المنشور الثلاثي القائم متساوٍ، وقطر الوجه الجانبي متساوٍ. أوجد الزاوية المحصورة بين المستوى ومستوى محور المنشور.

2. في الزاوية اليمنى الأربعة pi-ra-mi-de، جميع حوافها متساوية، ابحث عن جيب الزاوية بين المستوى وعظم المستوى، مروراً بنقطة per-pen-di-ku- كاذب ولكن مستقيم.

3. في المنشور المنتظم رباعي الزوايا، تكون أضلاع القاعدة متساوية، والحواف الجانبية متساوية. هناك نقطة على الحافة من لي تشي أون لذلك. أوجد الزاوية بين الطائرات و

4. في المنشور الرباعي القائم، تكون أضلاع القاعدة متساوية، والحواف الجانبية متساوية. هناك نقطة على الحافة من النقطة بحيث تجد الزاوية بين الطائرات و.

5. في المكعب، أوجد تقاطع الزاوية بين المستويات و

حلول المشاكل:

1. أرسم منشورًا ثلاثيًا منتظمًا (مثلثًا متساوي الأضلاع في القاعدة) وأضع علامة عليه على المستويات التي تظهر في بيان المشكلة:

نحن بحاجة إلى إيجاد معادلات المستويين: معادلة الأساس تافهة: يمكنك تكوين المحدد المقابل باستخدام ثلاث نقاط، لكنني سأقوم بتكوين المعادلة على الفور:

الآن دعونا نوجد المعادلة النقطة لها إحداثيات النقطة - بما أنها متوسط ​​وارتفاع المثلث، فمن السهل العثور عليها باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث. إذن فإن النقطة لها إحداثيات: دعونا نجد تطبيق النقطة. للقيام بذلك، فكر في مثلث قائم الزاوية

ثم نحصل على الإحداثيات التالية: نؤلف معادلة المستوى.

نحسب الزاوية بين الطائرات:

إجابة:

2. عمل الرسم:

أصعب شيء هو فهم نوع الطائرة الغامضة التي تمر بشكل عمودي عبر النقطة. حسنا، الشيء الرئيسي هو، ما هو؟ الشيء الرئيسي هو الاهتمام! في الواقع، الخط عمودي. الخط المستقيم متعامد أيضًا. بعد ذلك، سيكون المستوى الذي يمر عبر هذين الخطين متعامدًا مع الخط، ويمر بالمناسبة عبر هذه النقطة. تمر هذه الطائرة أيضًا عبر قمة الهرم. ثم الطائرة المطلوبة - وقد تم تسليم الطائرة لنا بالفعل. نحن نبحث عن إحداثيات النقاط.

نجد إحداثيات النقطة من خلال النقطة. من الصورة الصغيرة من السهل أن نستنتج أن إحداثيات النقطة ستكون على النحو التالي: ماذا بقي الآن لإيجاد إحداثيات قمة الهرم؟ تحتاج أيضًا إلى حساب ارتفاعه. يتم ذلك باستخدام نفس نظرية فيثاغورس: أثبت أولاً ذلك (بشكل تافه من مثلثات صغيرة تشكل مربعًا في القاعدة). وبما أنه حسب الشرط لدينا:

الآن كل شيء جاهز: إحداثيات القمة:

نحن نؤلف معادلة الطائرة:

أنت بالفعل خبير في حساب المحددات. بدون صعوبة سوف تحصل على:

أو غير ذلك (إذا ضربنا كلا الطرفين في جذر اثنين)

والآن لنجد معادلة المستوى:

(لم تنس كيف حصلنا على معادلة المستوى، أليس كذلك؟ إذا كنت لا تفهم من أين جاء هذا ناقص واحد، فارجع إلى تعريف معادلة المستوى! لقد كان الأمر دائمًا يظهر قبل ذلك) طائرتي تنتمي إلى أصل الإحداثيات!)

نحسب المحدد:

(قد تلاحظ أن معادلة المستوى تتطابق مع معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط و! فكر في السبب!)

الآن دعونا نحسب الزاوية:

نحن بحاجة إلى العثور على جيب الجيب:

إجابة:

3. سؤال صعب: ما هو المنشور المستطيل في رأيك؟ هذا مجرد خط موازٍ تعرفه جيدًا! دعونا نرسم على الفور! ليس عليك حتى تصوير القاعدة بشكل منفصل، فهي قليلة الفائدة هنا:

المستوى كما أشرنا سابقاً يُكتب على شكل معادلة:

الآن لنقم بإنشاء طائرة

ننشئ على الفور معادلة المستوى:

البحث عن زاوية:

والآن إجابات المشكلتين الأخيرتين:

حسنًا، الآن هو الوقت المناسب لأخذ استراحة قصيرة، لأننا وأنت رائعون وقمنا بعمل رائع!

الإحداثيات والمتجهات. مستوى متقدم

في هذه المقالة سنناقش معكم فئة أخرى من المسائل التي يمكن حلها باستخدام الطريقة الإحداثية: مسائل حساب المسافة. وهي أننا سننظر في الحالات التالية:

1. حساب المسافة بين الخطوط المتقاطعة.

لقد طلبت هذه المهام من أجل زيادة الصعوبة. اتضح أنه من الأسهل العثور عليه المسافة من نقطة إلى الطائرة، والأصعب هو العثور عليه المسافة بين خطوط العبور. رغم أنه بالطبع لا يوجد شيء مستحيل! دعونا لا نماطل وننتقل فورًا إلى النظر في الدرجة الأولى من المشاكل:

حساب المسافة من نقطة إلى مستوى

ماذا نحتاج لحل هذه المشكلة؟

1. إحداثيات النقطة

لذلك، بمجرد أن نتلقى جميع البيانات اللازمة، فإننا نطبق الصيغة:

يجب أن تعرف بالفعل كيف نبني معادلة المستوى من المسائل السابقة التي ناقشتها في الجزء الأخير. دعنا ننتقل مباشرة إلى المهام. المخطط هو كما يلي: 1، 2 - أساعدك على اتخاذ القرار، وبشيء من التفصيل، 3، 4 - الإجابة فقط، تقوم بتنفيذ الحل بنفسك والمقارنة. لنبدأ!

مهام:

1. إعطاء مكعب. طول حافة المكعب متساوي. أوجد المسافة من se-re-di-na من القطع إلى المستوى

2. بالنظر إلى الفحم الأربعة الصحيح pi-ra-mi-yes، فإن جانب الجانب يساوي القاعدة. أوجد المسافة من النقطة إلى المستوى حيث - se-re-di- على الحواف.

3. في المثلث الأيمن pi-ra-mi-de مع os-no-va-ni-em، تكون الحافة الجانبية متساوية، ومائة رو على os-no-va-nia متساوية. أوجد المسافة من الأعلى إلى المستوى.

4. في المنشور السداسي القائم، جميع الحواف متساوية. أوجد المسافة من نقطة إلى مستوى.

حلول:

1. ارسم مكعبًا ذو حواف واحدة، وقم ببناء قطعة ومستوى، وحدد منتصف القطعة بحرف

.

أولاً، لنبدأ بالأمر السهل: العثور على إحداثيات النقطة. منذ ذلك الحين (تذكر إحداثيات منتصف القطعة!)

الآن نقوم بتكوين معادلة المستوى باستخدام ثلاث نقاط

\[\يسار| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

الآن يمكنني البدء في العثور على المسافة:

2. نبدأ مرة أخرى بالرسم الذي نحدد عليه جميع البيانات!

بالنسبة للهرم، سيكون من المفيد رسم قاعدته بشكل منفصل.

وحتى أنني أرسم بمخلبها كالدجاجة لن يمنعنا من حل هذه المشكلة بسهولة!

أصبح من السهل الآن العثور على إحداثيات نقطة ما

منذ إحداثيات النقطة، إذن

2. بما أن إحداثيات النقطة أ هي منتصف القطعة، إذن

يمكننا دون أي مشاكل إيجاد إحداثيات نقطتين أخريين على المستوى، وننشئ معادلة للمستوى ونبسطها:

\[\يسار| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

وبما أن النقطة لها إحداثيات: فإننا نحسب المسافة:

الإجابة (نادرة جدًا!):

حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ يبدو لي أن كل شيء هنا تقني تمامًا كما في الأمثلة التي نظرنا إليها في الجزء السابق. لذلك أنا متأكد من أنك إذا أتقنت هذه المادة، فلن يكون من الصعب عليك حل المشكلتين المتبقيتين. سأعطيك الإجابات فقط:

حساب المسافة من خط مستقيم إلى المستوى

في الواقع، لا يوجد شيء جديد هنا. كيف يمكن وضع الخط المستقيم والمستوى بالنسبة لبعضهما البعض؟ لديهم احتمال واحد فقط: أن يتقاطعوا، أو أن يكون الخط المستقيم موازيًا للمستوى. في رأيك، ما هي المسافة من الخط المستقيم إلى المستوى الذي يتقاطع معه هذا الخط المستقيم؟ ويبدو لي أنه من الواضح هنا أن هذه المسافة تساوي الصفر. حالة غير مثيرة للاهتمام.

الحالة الثانية أصعب: هنا المسافة ليست صفرًا بالفعل. ومع ذلك، بما أن الخط الموازي للمستوى، فإن كل نقطة من الخط تكون متساوية البعد عن هذا المستوى:

هكذا:

هذا يعني أن مهمتي قد تم اختصارها إلى المهمة السابقة: نحن نبحث عن إحداثيات أي نقطة على خط مستقيم، ونبحث عن معادلة المستوى، ونحسب المسافة من النقطة إلى المستوى. في الواقع، مثل هذه المهام نادرة للغاية في امتحان الدولة الموحدة. تمكنت من العثور على مشكلة واحدة فقط، وكانت البيانات الموجودة فيها بحيث لم تكن طريقة الإحداثيات قابلة للتطبيق عليها كثيرًا!

الآن دعنا ننتقل إلى فئة أخرى أكثر أهمية من المشاكل:

حساب مسافة نقطة إلى خط

ماذا نحتاج؟

1. إحداثيات النقطة التي نبحث منها عن المسافة:

2. إحداثيات أي نقطة تقع على الخط

3. إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم

ما هي الصيغة التي نستخدمها؟

ما يعنيه مقام هذا الكسر يجب أن يكون واضحًا لك: هذا هو طول المتجه الموجه للخط المستقيم. هذا هو البسط صعبة للغاية! التعبير يعني معامل (طول) المنتج المتجه للمتجهات وكيفية حساب منتج المتجه الذي درسناه في الجزء السابق من العمل. قم بتحديث معلوماتك، سنحتاجها بشدة الآن!

وبالتالي فإن خوارزمية حل المشكلات ستكون كما يلي:

1. نبحث عن إحداثيات النقطة التي نبحث عنها عن المسافة:

2. نحن نبحث عن إحداثيات أي نقطة على الخط الذي نبحث عنه المسافة:

3. بناء ناقل

4. إنشاء متجه موجه لخط مستقيم

5. حساب المنتج المتجه

6. نبحث عن طول المتجه الناتج:

7. احسب المسافة:

لدينا الكثير من العمل للقيام به، والأمثلة ستكون معقدة للغاية! والآن ركز كل انتباهك!

1. إعطاء بي-را-مي-دا مثلثًا قائمًا بقمة. مائة رو على أساس بي را مي دي متساوية، أنت متساوون. أوجد المسافة من الحافة الرمادية إلى الخط المستقيم، حيث تكون النقاط والحواف الرمادية ومن البيطرية.

2. أطوال الأضلاع والزاوية المستقيمة المحظورة par-ral-le-le-pi-pe-da متساوية وفقًا لذلك وأوجد المسافة من الأعلى إلى الخط المستقيم

3. في المنشور السداسي القائم، جميع الحواف متساوية، أوجد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم

حلول:

1. نقوم بعمل رسم أنيق نضع عليه علامة على جميع البيانات:

لدينا الكثير من العمل لفعله! أولاً، أود أن أصف بالكلمات ما سنبحث عنه وبأي ترتيب:

1. إحداثيات النقاط و

2. إحداثيات النقطة

3. إحداثيات النقاط و

4. إحداثيات المتجهات و

5. منتجهم المتقاطع

6. طول المتجه

7. طول المنتج المتجه

8. المسافة من إلى

حسنًا، أمامنا الكثير من العمل! دعونا نصل إلى ذلك وأكمامنا مرفوعة!

1. لإيجاد إحداثيات ارتفاع الهرم، علينا معرفة إحداثيات النقطة، وإحداثياتها تساوي طول القطعة مثلث متساوي الأضلاع، فهو مقسم بنسبة، من الرأس، من هنا. وأخيراً حصلنا على الإحداثيات:

إحداثيات النقطة

2.- منتصف القطعة

3.- منتصف القطعة

منتصف القطعة

4. الإحداثيات

إحداثيات المتجهات

5. احسب منتج المتجه:

6. الطول المتجه: أسهل طريقة للاستبدال هي أن تكون القطعة هي خط المنتصف للمثلث، مما يعني أنها تساوي نصف القاعدة. لذا.

7. احسب طول المنتج المتجه:

8. وأخيراً نجد المسافة:

اه، هذا كل شيء! سأقول لك بصراحة: حل هذه المشكلة بالطرق التقليدية (من خلال البناء) سيكون أسرع بكثير. ولكن هنا قمت بتقليص كل شيء إلى خوارزمية جاهزة! أعتقد أن خوارزمية الحل واضحة بالنسبة لك؟ لذلك سأطلب منك حل المشكلتين المتبقيتين بنفسك. دعونا نقارن الإجابات؟

مرة أخرى، أكرر: حل هذه المهام أسهل (أسرع) من خلال الإنشاءات، بدلا من اللجوء إلى طريقة الإحداثيات. لقد أوضحت طريقة الحل هذه فقط لأوضح لك طريقة عالمية تتيح لك "عدم الانتهاء من بناء أي شيء".

وأخيرا، النظر في الفئة الأخيرة من المشاكل:

حساب المسافة بين الخطوط المتقاطعة

هنا ستكون خوارزمية حل المشكلات مشابهة للخوارزمية السابقة. ما لدينا:

3. أي متجه يصل بين نقطتي السطر الأول والثاني:

كيف نجد المسافة بين الخطوط؟

الصيغة هي كما يلي:

البسط هو معامل حاصل الضرب المختلط (قدمناه في الجزء السابق)، والمقام هو كما في الصيغة السابقة (معامل حاصل الضرب المتجه لمتجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة، المسافة التي بيننا يبحثون عنه).

سأذكرك بذلك

ثم يمكن إعادة كتابة صيغة المسافة كـ:

هذا محدد مقسوم على محدد! رغم ذلك، بصراحة، ليس لدي وقت للنكات هنا! هذه الصيغة، في الواقع، مرهقة للغاية وتؤدي إلى حسابات معقدة للغاية. لو كنت مكانك، فلن ألجأ إليه إلا كملاذ أخير!

دعنا نحاول حل بعض المشكلات باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه:

1. في المنشور الثلاثي القائم، الذي تكون جميع حوافه متساوية، أوجد المسافة بين الخطوط المستقيمة و.

2. بالنظر إلى المنشور الثلاثي القائم، فإن جميع حواف القاعدة تساوي القسم الذي يمر عبر ضلع الجسم وأضلاع se-re-di-well مربعة. أوجد المسافة بين الخطوط المستقيمة و

أنا أقرر الأول، وعلى أساسه أنت تقرر الثاني!

1. أرسم منشورًا وأضع علامة على الخطوط المستقيمة و

إحداثيات النقطة ج: إذن

إحداثيات النقطة

إحداثيات المتجهات

إحداثيات النقطة

إحداثيات المتجهات

إحداثيات المتجهات

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

نحن نحسب المنتج المتجه بين المتجهات و

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ فارك(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

الآن نحسب طوله:

إجابة:

حاول الآن إكمال المهمة الثانية بعناية. والجواب عليه سيكون : .

الإحداثيات والمتجهات. وصف موجز والصيغ الأساسية

المتجه هو قطعة موجهة. - بداية المتجه - نهاية المتجه.
يُشار إلى المتجه بـ أو.

قيمه مطلقهالمتجه - طول القطعة التي تمثل المتجه. كما تدل.

إحداثيات المتجهات:

,
أين تقع نهايات المتجه \displaystyle a .

مجموع المتجهات: .

منتج المتجهات:

المنتج النقطي للمتجهات:

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط. وفي الهندسة الوصفية، يتم تحديده بيانياً باستخدام الخوارزمية الواردة أدناه.

خوارزمية

1. يتم نقل الخط المستقيم إلى موضع يكون فيه موازيًا لأي مستوى إسقاط. ولهذا الغرض، يتم استخدام طرق تحويل الإسقاطات المتعامدة.
2. من نقطة رسم عمودي على الخط. يعتمد هذا البناء على نظرية إسقاط الزاوية القائمة.
3. يتم تحديد طول العمودي عن طريق تحويل إسقاطاته أو باستخدام طريقة المثلث القائم.

يوضح الشكل التالي رسمًا معقدًا للنقطة M والخط b، محددين بالمقطع CD. تحتاج إلى العثور على المسافة بينهما.

وفقًا للخوارزمية، أول شيء يجب فعله هو نقل الخط إلى موضع موازٍ لمستوى الإسقاط. من المهم أن نفهم أنه بعد التحويلات، يجب ألا تتغير المسافة الفعلية بين النقطة والخط. هذا هو السبب في أنه من المناسب هنا استخدام طريقة استبدال الطائرة، والتي لا تنطوي على تحريك الأشكال في الفضاء.

نتائج المرحلة الأولى من البناء مبينة أدناه. يوضح الشكل كيفية إدخال مستوى أمامي إضافي P 4 بالتوازي مع b. في النظام الجديد (P 1، P 4)، النقاط C"" 1، D"" 1، M"" 1 تقع على نفس المسافة من المحور X 1 مثل C""، D""، M"" من المحور X

تنفيذ الجزء الثاني من الخوارزمية، من M"" 1 نقوم بخفض العمودي M"" 1 N"" 1 إلى الخط المستقيم b"" 1، حيث يتم عرض الزاوية اليمنى MND بين b وMN على المستوى P 4 بالحجم الكامل. باستخدام خط الاتصال، نحدد موضع النقطة N" وننفذ الإسقاط M"N" للقطعة MN.

في المرحلة النهائية، تحتاج إلى تحديد حجم الجزء MN من إسقاطاته M"N" وM"" 1 N"" 1. للقيام بذلك، نقوم ببناء مثلث قائم الزاوية M"" 1 N"" 1 N 0، وساقه N"" 1 N 0 تساوي الفرق (Y M 1 – Y N 1) بين مسافة النقطتين M" و N" من المحور X1. طول الوتر M"" 1 N 0 للمثلث M"" 1 N"" 1 N 0 يتوافق مع المسافة المطلوبة من M إلى b.

الحل الثاني

• بالتوازي مع القرص المضغوط، نقدم مستوى أماميًا جديدًا P 4. فهو يتقاطع مع P 1 على طول المحور X 1، وX 1 ∥C"D". وفقًا لطريقة استبدال الطائرات، نحدد إسقاطات النقاط C"" 1 و D"" 1 و M"" 1، كما هو موضح في الشكل.
• عموديًا على C"" 1 D"" 1، نقوم ببناء مستوى أفقي إضافي P 5، حيث يتم إسقاط الخط المستقيم b إلى النقطة C" 2 = b" 2.
• يتم تحديد المسافة بين النقطة M والخط b بطول المقطع M"2 C" 2، المشار إليه باللون الأحمر.

مهام مماثلة:

أوه-أوه-أوه-أوه... حسنًا، الأمر صعب، كما لو كان يقرأ جملة لنفسه =) لكن الاسترخاء سيساعد لاحقًا، خاصة وأنني اشتريت اليوم الملحقات المناسبة. لذلك دعونا ننتقل إلى القسم الأول، وآمل أنه بحلول نهاية المقال سأحافظ على مزاج مبهج.

الموضع النسبي لخطين مستقيمين

هذا هو الحال عندما يغني الجمهور في جوقة. يمكن لخطين مستقيمين:

1) المباراة؛

2) تكون متوازية : ;

3) أو تتقاطع في نقطة واحدة : .

مساعدة للدمى : من فضلك تذكر علامة التقاطع الرياضية، سوف تظهر في كثير من الأحيان. الترميز يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة .

كيفية تحديد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق الخطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المقابلة متناسبةأي أن هناك رقم "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة وننشئ ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة: . ويترتب على كل معادلة أن هذه الخطوط متطابقة.

وبالفعل، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب بـ -1 (علامات التغيير)، وجميع معاملات المعادلة وبقطع 2 تحصل على نفس المعادلة: .

الحالة الثانية عندما يكون المستقيمان متوازيين :

يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا كانت معاملات متغيراتهما متناسبة: ، لكن.

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك، فمن الواضح تماما أن.

والحالة الثالثة عندما تتقاطع الخطوط:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملات المتغيرات الخاصة بهما غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة لـ "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لذلك، بالنسبة للخطوط المستقيمة، سنقوم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى ينتج ذلك، ومن المعادلة الثانية: مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: الخطوط متقاطعة

في المسائل العملية، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تمت مناقشته للتو. بالمناسبة، إنه يذكرنا جدًا بخوارزمية فحص المتجهات بحثًا عن العلاقة الخطية المتداخلة، والتي نظرنا إليها في الفصل مفهوم الاعتماد الخطي (في) على المتجهات. أساس المتجهات. ولكن هناك عبوة أكثر تحضرا:

مثال 1

معرفة الموقع النسبي للخطوط:

حلبناءً على دراسة توجيه متجهات الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم وأن الخطوط متقاطعة.

فقط في حالة، سأضع حجرًا عليه علامات عند مفترق الطرق:

الباقي يقفزون فوق الحجر ويتبعون مباشرة إلى كاششي الخالد =)

ب) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه، مما يعني أنها إما متوازية أو متطابقة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.

ومن الواضح أن معاملات المجهولين متناسبة، و.

دعونا نعرف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

هكذا،

ج) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
وبالتالي فإن متجهات الاتجاه تكون على خط واحد. الخطوط إما متوازية أو متطابقة.

من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرةً من نسبة متجهات الاتجاه الخطية المتداخلة. ومع ذلك، يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعونا معرفة ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا الحدين المجانيين صفر، لذلك:

القيمة الناتجة تلبي هذه المعادلة (أي رقم بشكل عام يرضيها).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

ستتعلم قريبًا جدًا (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة التي تمت مناقشتها لفظيًا حرفيًا في غضون ثوانٍ. وفي هذا الصدد، لا أرى أي فائدة من تقديم أي شيء لحل مستقل؛ فمن الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيفية بناء خط موازي لخط معين؟

لجهل هذه المهمة البسيطة، يعاقب السارق العندليب بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة المستقيم الموازي الذي يمر بالنقطة.

حل: نرمز إلى السطر المجهول بالحرف . ماذا تقول الحالة عنها؟ يمر الخط المستقيم عبر هذه النقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية، فمن الواضح أن متجه الاتجاه للخط المستقيم "tse" مناسب أيضًا لبناء الخط المستقيم "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

تبدو هندسة المثال بسيطة:

يتكون الاختبار التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح، فإن المتجهات ستكون على خط واحد).

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

في معظم الحالات، يمكن إجراء الاختبارات التحليلية بسهولة عن طريق الفم. انظروا إلى المعادلتين، والعديد منكم سيحدد بسرعة توازي الخطين دون أي رسم.

أمثلة على الحلول المستقلة اليوم ستكون إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا، وهي، كما تعلمون، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط إذا

هناك طريقة عقلانية وغير عقلانية لحلها. أقصر طريق هو في نهاية الدرس.

لقد عملنا قليلاً مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقاً. إن حالة الخطوط المتطابقة ليست ذات أهمية كبيرة، لذلك دعونا نفكر في مشكلة مألوفة لك جدًا من المنهج الدراسي:

كيفية العثور على نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند نقطة فإن إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

ها أنت ذا المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين- هذان خطان متقاطعان (في أغلب الأحيان) على المستوى.

مثال 4

العثور على نقطة تقاطع الخطوط

حل: هناك طريقتان للحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم هذه الخطوط ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

وهنا وجهة نظرنا: . للتحقق من ذلك، يجب عليك استبدال إحداثياته ​​في كل معادلة على الخط؛ بمعنى آخر، إحداثيات النقطة هي حل للنظام. في الأساس، نظرنا إلى حل رسومي أنظمة المعادلات الخطيةمع معادلتين، مجهولين.

الطريقة الرسومية بالطبع ليست سيئة، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة، النقطة المهمة هي أن إنشاء رسم صحيح ودقيق سيستغرق وقتًا. بالإضافة إلى ذلك، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. دعونا نحل النظام:

لحل النظام، تم استخدام طريقة جمع المعادلات حداً تلو الآخر. لتطوير المهارات ذات الصلة، خذ درسًا كيفية حل نظام المعادلات؟

إجابة:

التحقق تافه - إحداثيات نقطة التقاطع يجب أن تلبي كل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا كانا متقاطعين.

هذا مثال لك لحله بنفسك. من الملائم تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) أكتب معادلة الخط المستقيم .
2) أكتب معادلة الخط المستقيم .
3) معرفة الموقع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع المستقيمان فأوجد نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية، وسأركز بشكل متكرر على هذا الأمر.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس:

ولم يتم ارتداء حتى زوج من الأحذية قبل أن نصل إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة

لنبدأ بمهمة نموذجية ومهمة جدًا. في الجزء الأول، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط، والآن سيتحول الكوخ الموجود على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيفية بناء خط عمودي على واحد معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة عمودية على الخط الذي يمر بالنقطة.

حل: بالشرط المعروف أن . سيكون من الجيد العثور على المتجه الموجه للخط. بما أن الخطوط متعامدة، فالخدعة بسيطة:

من المعادلة نقوم "بإزالة" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

إجابة:

دعونا نوسع الرسم الهندسي:

هممممم... سماء برتقالية، بحر برتقالي، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) نخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبالمساعدة المنتج العددي للمتجهاتنصل إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المتعامدة بالفعل: .

بالمناسبة، يمكنك استخدام المتجهات العادية، بل إنه أسهل.

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

ومرة أخرى، من السهل إجراء الاختبار شفويا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين إذا كانت المعادلة معروفة والفترة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. المشكلة لها عدة إجراءات، لذلك من المناسب صياغة الحل نقطة بنقطة.

رحلتنا المثيرة مستمرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر طريق. لا توجد عقبات، والطريق الأمثل هو التحرك على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول القطعة المتعامدة.

يُشار إلى المسافة في الهندسة تقليديًا بالحرف اليوناني "rho"، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة

مثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

حل: كل ​​ما عليك فعله هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء الحسابات:

إجابة:

لنقم بالرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول القطعة الحمراء. إذا قمت برسم رسم على ورق مربعات بمقياس وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان)، فيمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

لنفكر في مهمة أخرى بناءً على نفس الرسم:

وتتمثل المهمة في العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط المستقيم . أقترح تنفيذ الخطوات بنفسك، ولكنني سأحدد خوارزمية الحل ذات النتائج المتوسطة:

1) ابحث عن مستقيم عمودي على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطين: .

تتم مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف القطعة . نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد الأطراف. بواسطة صيغ إحداثيات نقطة المنتصف للقطعةنجد .

وستكون فكرة جيدة أن نتأكد من أن المسافة أيضًا تساوي 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات في العمليات الحسابية هنا، ولكن الآلة الحاسبة الدقيقة هي مساعدة كبيرة في البرج، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. لقد نصحتك مرات عديدة وسوف أوصيك مرة أخرى.

كيفية العثور على المسافة بين خطين متوازيين؟

مثال 9

أوجد المسافة بين خطين متوازيين

وهذا مثال آخر عليك أن تقرره بنفسك. سأعطيك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لحل هذه المشكلة. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك، أعتقد أن براعتك كانت متطورة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

كل زاوية هي عضادة:


في الهندسة، تعتبر الزاوية بين خطين مستقيمين هي الزاوية الأصغر، والتي يتبعها تلقائيًا أنها لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل، الزاوية المشار إليها بالقوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجاره "الأخضر" أو موجهة بشكل معاكسزاوية "التوت".

إذا كانت الخطوط متعامدة، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع هي الزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً، الاتجاه الذي يتم فيه "تمرير" الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانياً، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة الطرح، على سبيل المثال if .

لماذا قلت لك هذا؟ يبدو أنه يمكننا التعامل مع المفهوم المعتاد للزاوية. والحقيقة هي أن الصيغ التي سنجد بها الزوايا يمكن أن تؤدي بسهولة إلى نتيجة سلبية، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية التي تحمل علامة الطرح ليست أسوأ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم، بالنسبة للزاوية السلبية، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيفية العثور على الزاوية بين خطين مستقيمين؟هناك صيغتان للعمل:

مثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط

حلو الطريقة الأولى

لنفكر في خطين مستقيمين تحددهما المعادلات بشكل عام:

إذا كان مستقيما ليس عموديا، الذي - التي الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعونا نولي اهتماما وثيقا للمقام - هذا هو بالضبط المنتج العدديتوجيه ناقلات الخطوط المستقيمة:

إذا كان مقام الصيغة يصبح صفرًا، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط متعامدة. ولهذا السبب تم التحفظ على عدم تعامد الخطوط المستقيمة في الصياغة.

بناءً على ما سبق، من المناسب صياغة الحل في خطوتين:

1) لنحسب المنتج العددي لمتجهات الاتجاه للخطوط:
مما يعني أن الخطوط ليست متعامدة.

2) أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة:

باستخدام الدالة العكسية، من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة، نستخدم غرابة ظل القطب الشمالي (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية):

إجابة:

في إجابتك، نشير إلى القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى القيمة التقريبية (ويفضل أن تكون بالدرجات والراديان)، والتي يتم حسابها باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنا، ناقص، ناقص، ليس مشكلة كبيرة. هنا رسم توضيحي هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية ذات اتجاه سلبي، لأنه في بيان المشكلة، الرقم الأول هو خط مستقيم وبدأ "فك" الزاوية به على وجه التحديد.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار، عليك أن تبدأ مباشرة .

صيغة لحساب المسافة من نقطة إلى خط على المستوى

إذا أعطيت معادلة الخط Ax + By + C = 0، فيمكن إيجاد المسافة من النقطة M(M x , M y) إلى الخط باستخدام الصيغة التالية

أمثلة على مسائل حساب المسافة من نقطة إلى خط على المستوى

مثال 1.

أوجد المسافة بين الخط 3x + 4y - 6 = 0 والنقطة M(-1, 3).

حل.لنعوض بمعاملات الخط وإحداثيات النقطة في الصيغة

إجابة:المسافة من النقطة إلى الخط هي 0.6.

معادلة المستوى الذي يمر عبر نقاط متعامدة مع المتجه المعادلة العامة للمستوى

يسمى المتجه غير الصفري المتعامد على مستوى معين ناقلات الطبيعي (أو باختصار طبيعي ) لهذه الطائرة.

دع ما يلي يُعطى في مساحة الإحداثيات (في نظام إحداثي مستطيل):

نقطة ;

ب) ناقل غير صفري (الشكل 4.8، أ).

تحتاج إلى إنشاء معادلة لمستوى يمر عبر نقطة ما عمودي على المتجه نهاية الإثبات.

دعونا الآن نفكر في أنواع مختلفة من معادلات الخط المستقيم على المستوى.

1) المعادلة العامة للطائرةص .

ومن اشتقاق المعادلة يترتب على ذلك في نفس الوقت أ, بو جلا تساوي 0 (اشرح السبب).

النقطة تنتمي إلى الطائرة صفقط إذا كانت إحداثياتها تحقق معادلة المستوى. اعتمادا على الاحتمالات أ, ب, جو دطائرة صيشغل منصبًا أو آخر:

- يمر المستوى عبر نقطة أصل نظام الإحداثيات، - لا يمر المستوى عبر نقطة أصل نظام الإحداثيات،

- المستوى الموازي للمحور X,

X,

- المستوى الموازي للمحور ي,

- المستوى غير موازي للمحور ي,

- المستوى الموازي للمحور ز,

- المستوى غير موازي للمحور ز.

أثبت هذه الأقوال بنفسك.

يمكن اشتقاق المعادلة (6) بسهولة من المعادلة (5). في الواقع، دع النقطة تكمن على متن الطائرة ص. ثم تحقق إحداثياتها المعادلة (7) من المعادلة (5) وتجميع الحدود نحصل على المعادلة (6). دعونا الآن نفكر في متجهين لهما إحداثيات على التوالي. من الصيغة (6) يترتب على ذلك أن منتجهم العددي يساوي الصفر. ولذلك، فإن المتجه عمودي على المتجه، وتقع بداية ونهاية المتجه الأخير، على التوالي، عند النقاط التي تنتمي إلى المستوى ص. ولذلك، فإن المتجه عمودي على المستوى ص. المسافة من النقطة إلى المستوى ص، والتي معادلتها العامة تحددها الصيغة إن إثبات هذه الصيغة مشابه تمامًا لإثبات صيغة المسافة بين النقطة والخط (انظر الشكل 2).
أرز. 2. لاشتقاق صيغة المسافة بين المستوى والخط المستقيم.

والحقيقة هي المسافة دبين الخط المستقيم والمستوى متساوي

أين توجد نقطة تقع على الطائرة. ومن هنا كما في المحاضرة رقم 11 يتم الحصول على الصيغة أعلاه. يكون المستويان متوازيين إذا كانت متجهاتهما العادية متوازية. من هنا نحصل على شرط التوازي بين طائرتين - معاملات المعادلات العامة للمستويات. يكون المستويان متعامدين إذا كانت متجهاتهما العادية متعامدة، ومن ثم نحصل على شرط تعامد المستويين إذا كانت معادلاتهما العامة معروفة

ركن Fبين مستويين تساوي الزاوية بين متجهاتها العادية (انظر الشكل 3) وبالتالي يمكن حسابها باستخدام الصيغة
تحديد الزاوية بين الطائرات.

(11)

المسافة من نقطة إلى مستوى وطرق العثور عليها

المسافة من النقطة إلى طائرة- طول العمود العمودي الذي يسقط من نقطة ما على هذا المستوى. هناك طريقتان على الأقل لحساب المسافة من نقطة إلى مستوى: هندسيو جبري.

بالطريقة الهندسيةيجب عليك أولاً أن تفهم كيفية تحديد موقع العمودي من نقطة إلى مستوى: ربما يقع في مستوى مناسب، أو يكون ارتفاعًا في مثلث مناسب (أو غير مناسب)، أو ربما يكون هذا العمودي بشكل عام ارتفاعًا في بعض الهرم.

بعد هذه المرحلة الأولى والأكثر تعقيدًا، تنقسم المشكلة إلى عدة مسائل تخطيطية محددة (ربما في مستويات مختلفة).

بالطريقة الجبريةمن أجل العثور على المسافة من نقطة إلى مستوى، تحتاج إلى إدخال نظام الإحداثيات، والعثور على إحداثيات النقطة ومعادلة المستوى، ثم تطبيق صيغة المسافة من نقطة إلى مستوى.