تعليمات
اكتب المعطى التعبير اللوغاريتمي. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";
عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;
من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا من خلال دالة المقسوم عليها. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
إذا أعطيت وظيفة معقدة، فمن الضروري مضاعفة مشتق وظيفة داخليةوالمشتق من الخارج . دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).
باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى العثور على قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8
فيديو حول الموضوع
تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.
مصادر:
- مشتق من ثابت
إذن ما هو الفرق بين معادلة عقلانيةمن العقلاني؟ إذا كان المتغير المجهول تحت علامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير منطقية.
تعليمات
الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل واحدًا في المعادلة بدلًا من قيمة x وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك 1 هو جذر خارجي، وبالتالي معادلة معينةليس له جذور.
لذا، معادلة غير منطقيةيتم حلها باستخدام طريقة تربيع جزأينها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.
النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. وهذا هو المعتاد معادلة تربيعية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور؛ من الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.
حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك ما عليك القيام به تحولات الهويةحتى يتحقق الهدف. وهكذا، بمساعدة أبسط العمليات الحسابيةسيتم حل المهمة المطروحة.
سوف تحتاج
- - ورق؛
- - قلم.
تعليمات
أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من و الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.
في الواقع، مربع مجموع فترتين يساوي مربعالأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=أ^2+2اب +ب^2.
بسّط كلا الأمرين
المبادئ العامة للحل
كرر وفقا للكتاب المدرسي التحليل الرياضيأو الرياضيات العليا، وهو تكامل محدد. كما هو معروف الحل تكامل محددهناك دالة يعطي مشتقها التكامل. هذه الوظيفةويسمى مشتق مضاد. بواسطة هذا المبدأويبني التكاملات الرئيسية.تحديد من خلال شكل التكامل وأي من تكاملات الجدول يناسبها في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.
طريقة الاستبدال المتغيرة
إذا كان التكامل عبارة عن دالة مثلثية وسيطتها متعددة الحدود، فحاول استخدام طريقة تغيير المتغيرات. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . لذلك سوف تحصل نظرة جديدةالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.حل التكاملات من النوع الثاني
إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. هذا القانونيسمح لك بالانتقال من التدفق الدوار لبعض وظائف المتجهات إلى التكامل الثلاثي على انحراف مجال متجه معين.استبدال حدود التكامل
بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. قم أولاً باستبدال القيمة الحد الأعلىفي تعبير عن المشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو ما لا نهاية، فعند التعويض به في وظيفة مضادمن الضروري الذهاب إلى الحد الأقصى والعثور على ما يسعى إليه التعبير.إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.
(من اليونانية ἀριθμός - "كلمة"، "علاقة" و ἀριθμός - "رقم") الأرقام بمرتكز على أ(سجل α ب) يسمى هذا الرقم ج، و ب= ج، أي سجل السجلات α ب=جو ب=أجمتكافئة. يكون اللوغاريتم منطقيًا إذا كانت a > 0، وa ≠ 1، وb > 0.
بعبارة أخرى اللوغاريتمأرقام بمرتكز على أتمت صياغته كأس يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).
ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب x= log α ب، يعادل حل المعادلة a x =b.
على سبيل المثال:
سجل 2 8 = 3 لأن 8 = 2 3 .
دعونا نؤكد أن صياغة اللوغاريتم المشار إليها تجعل من الممكن تحديدها على الفور قيمة اللوغاريتم، عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بمثابة قوة معينة للقاعدة. في الواقع، صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالموضوع صلاحيات عدد.
يسمى حساب اللوغاريتم اللوغاريتم. اللوغاريتم هو عملية رياضيةأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتمات، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مجموع المصطلحات.
التقويةهي العملية الرياضية العكسية للوغاريتم. أثناء التقوية، يتم رفع قاعدة معينة إلى درجة التعبير التي يتم تنفيذ التقوية عليها. في هذه الحالة، يتم تحويل مجموع المصطلحات إلى منتج العوامل.
في كثير من الأحيان، يتم استخدام اللوغاريتمات الحقيقية مع القواعد 2 (ثنائية)، ورقم أويلر e ≈ 2.718 (اللوغاريتم الطبيعي) و10 (عشري).
على في هذه المرحلةفمن المستحسن أن تأخذ في الاعتبار عينات اللوغاريتمسجل 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
والإدخالات lg(-3)، log -3 3.2، log -1 -4.3 لا معنى لها، لأنه في الأول منها يتم وضع رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم، وفي الثانية يوجد رقم سالب وفي القاعدة الثالثة يوجد رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم والوحدة في القاعدة.
شروط تحديد اللوغاريتم.
يجدر النظر بشكل منفصل في الشروط a > 0، a ≠ 1، b > 0. والتي نحصل بموجبها على تعريف اللوغاريتم.دعونا نفكر في سبب اتخاذ هذه القيود. إن المساواة في النموذج x = log α ستساعدنا في ذلك ب، تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية، والتي تنبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم المذكور أعلاه.
لنأخذ الشرط أ≠1. بما أن واحد إلى أي قوة يساوي واحدًا، فإن المساواة x=log α بلا يمكن أن توجد إلا عندما ب = 1، لكن السجل 1 1 سيكون أي رقم حقيقي. للقضاء على هذا الغموض، نأخذ أ≠1.
دعونا نثبت ضرورة الشرط أ>0. في أ = 0وفقا لصياغة اللوغاريتم يمكن أن توجد إلا عندما ب=0. وبناء على ذلك الحين سجل 0 0يمكن أن يكون أي عدد حقيقي غير الصفر، حيث أن صفر مرفوعًا لأي قوة غير الصفر يساوي صفرًا. يمكن القضاء على هذا الغموض عن طريق الشرط أ≠0. ومتى أ<0 سيتعين علينا رفض تحليل القيم العقلانية وغير العقلانية للوغاريتم، لأن الدرجة ذات العقلانية وغير العقلانية مؤشر عقلانيمحددة فقط للقواعد غير السلبية. ولهذا السبب تم اشتراط الشرط أ>0.
و الشرط الأخير ب>0ينبع من عدم المساواة أ>0، بما أن x=log α بوقيمة الدرجة ذات القاعدة الموجبة أدائما إيجابية.
ميزات اللوغاريتمات.
اللوغاريتماتتتميز بالمميزة سماتمما أدى إلى استخدامها على نطاق واسع لتسهيل العمليات الحسابية المضنية بشكل كبير. عند الانتقال "إلى عالم اللوغاريتمات"، يتحول الضرب إلى أكثر من ذلك بكثير سهلة الطي، القسمة هي الطرح، ويتم تحويل الأس واستخراج الجذر، على التوالي، إلى الضرب والقسمة بواسطة الأس.
صياغة اللوغاريتمات وجدول قيمها (ل الدوال المثلثية) تم نشرها لأول مرة في عام 1614 من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير. تم استخدام الجداول اللوغاريتمية، التي تم توسيعها وتفصيلها من قبل علماء آخرين، على نطاق واسع في الحسابات العلمية والهندسية، وظلت ذات صلة حتى استخدام الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
دعونا نشرح ذلك بشكل أكثر بساطة. على سبيل المثال، \(\log_(2)(8)\) يساوي القوة، والذي يجب رفع \(2\) إليه للحصول على \(8\). ومن هذا يتضح أن \(\log_(2)(8)=3\).
|
أمثلة: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
لأن \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
لأن \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
لأن \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
الوسيطة وقاعدة اللوغاريتم
أي لوغاريتم لديه "التشريح" التالي:
عادة ما تتم كتابة وسيطة اللوغاريتم عند مستواه، ويتم كتابة القاعدة بخط منخفض أقرب إلى علامة اللوغاريتم. وهذا الإدخال يقرأ على النحو التالي: "لوغاريتم خمسة وعشرين للأساس خمسة".
كيفية حساب اللوغاريتم؟
لحساب اللوغاريتم، عليك الإجابة على السؤال: إلى أي قوة يجب رفع القاعدة للحصول على الوسيطة؟
على سبيل المثال، احسب اللوغاريتم: أ) \(\log_(4)(16)\) ب) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) ج) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) ه) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
أ) إلى أي أس يجب رفع \(4\) للحصول على \(16\)؟ ومن الواضح أن الثاني. لهذا السبب:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
ج) إلى أي قوة يجب رفع \(\sqrt(5)\) للحصول على \(1\)؟ ما هي القوة التي تجعل أي رقم واحد؟ صفر بالطبع!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
د) إلى أي قوة يجب رفع \(\sqrt(7)\) للحصول على \(\sqrt(7)\)؟ أولًا، أي عدد أس الأول يساوي نفسه.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) إلى أي قوة يجب رفع \(3\) للحصول على \(\sqrt(3)\)؟ من نعرف ما هو قوة كسرية، وهذا يعني الجذر التربيعيهي قوة \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
مثال : حساب اللوغاريتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
حل :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة اللوغاريتم، لنشير إليها بـ x. الآن دعونا نستخدم تعريف اللوغاريتم: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
ما الذي يربط \(4\sqrt(2)\) و\(8\)؟ اثنان، لأن كلا الرقمين يمكن تمثيلهما برقمين: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
على اليسار نستخدم خصائص الدرجة: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) و \((a^(m))^(n)= أ^(م\كدوت ن)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
القواعد متساوية، ننتقل إلى المساواة في المؤشرات |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
اضرب طرفي المعادلة في \(\frac(2)(5)\) |
|
|
الجذر الناتج هو قيمة اللوغاريتم |
إجابة : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
لماذا تم اختراع اللوغاريتم؟
لفهم ذلك، دعونا نحل المعادلة: \(3^(x)=9\). فقط قم بمطابقة \(x\) لتفعيل المساواة. بالطبع \(x=2\).
الآن قم بحل المعادلة: \(3^(x)=8\).لماذا يساوي س؟ هذه هي النقطة.
سيقول الأذكى: "X أقل بقليل من اثنين". كيف بالضبط لكتابة هذا الرقم؟ للإجابة على هذا السؤال، تم اختراع اللوغاريتم. وبفضله يمكن كتابة الإجابة هنا بالشكل \(x=\log_(3)(8)\).
أريد التأكيد على أن \(\log_(3)(8)\)، مثل أي لوغاريتم هو مجرد رقم. نعم، يبدو غير عادي، لكنه قصير. لأننا إذا أردنا كتابتها بالشكل عشري، فسيبدو هكذا: \(1.892789260714.....\)
مثال : حل المعادلة \(4^(5x-4)=10\)
حل :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
لا يمكن جلب \(4^(5x-4)\) و \(10\) إلى نفس القاعدة. هذا يعني أنه لا يمكنك الاستغناء عن اللوغاريتم. دعونا نستخدم تعريف اللوغاريتم: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
دعونا نقلب المعادلة بحيث تكون X على اليسار |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
قبلنا. لننتقل \(4\) إلى اليمين. ولا تخف من اللوغاريتم، تعامل معه كرقم عادي. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
قسمة المعادلة على 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
هذا هو جذرنا. نعم، يبدو الأمر غير عادي، لكنهم لم يختاروا الإجابة. |
إجابة : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
اللوغاريتمات العشرية والطبيعية
كما هو مذكور في تعريف اللوغاريتم، يمكن أن تكون قاعدته أي رقم موجب باستثناء واحد \((a>0, a\neq1)\). ومن بين جميع القواعد المحتملة، هناك أساسان يتكرران كثيرًا لدرجة أنه تم اختراع تدوين قصير خاص للوغاريتمات الخاصة بهما:
اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم قاعدته رقم أويلر \(\e\) (يساوي \(2.7182818…\)) تقريباً، ويكتب اللوغاريتم بالشكل \(\ln(a)\).
إنه، \(\ln(a)\) هو نفسه \(\log_(e)(a)\)
اللوغاريتم العشري: يتم كتابة اللوغاريتم الذي أساسه 10 \(\lg(a)\).
إنه، \(\lg(a)\) هو نفسه \(\log_(10)(a)\)، حيث \(a\) هو رقم ما.
الهوية اللوغاريتمية الأساسية
اللوغاريتمات لها العديد من الخصائص. واحد منهم يسمى "الأساسية". الهوية اللوغاريتمية"ويبدو مثل هذا:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
هذه الخاصية تتبع مباشرة من التعريف. دعونا نرى بالضبط كيف جاءت هذه الصيغة.
دعونا نتذكر ملاحظة قصيرة لتعريف اللوغاريتم:
إذا \(a^(b)=c\)، ثم \(\log_(a)(c)=b\)
أي أن \(b\) هو نفس \(\log_(a)(c)\). بعد ذلك يمكننا كتابة \(\log_(a)(c)\) بدلاً من \(b\) في الصيغة \(a^(b)=c\). اتضح \(a^(\log_(a)(c))=c\) - الهوية اللوغاريتمية الرئيسية.
يمكنك العثور على خصائص أخرى للوغاريتمات. بمساعدتهم، يمكنك تبسيط وحساب قيم التعبيرات باللوغاريتمات، والتي يصعب حسابها مباشرة.
مثال : أوجد قيمة التعبير \(36^(\log_(6)(5))\)
حل :
إجابة : \(25\)
كيفية كتابة رقم على شكل لوغاريتم؟
كما ذكر أعلاه، أي لوغاريتم هو مجرد رقم. والعكس صحيح أيضًا: يمكن كتابة أي رقم على شكل لوغاريتم. على سبيل المثال، نحن نعلم أن \(\log_(2)(4)\) يساوي اثنين. ثم بدلاً من اثنين يمكنك كتابة \(\log_(2)(4)\).
لكن \(\log_(3)(9)\) يساوي أيضًا \(2\)، مما يعني أنه يمكننا أيضًا كتابة \(2=\log_(3)(9)\) . وبالمثل مع \(\log_(5)(25)\)، ومع \(\log_(9)(81)\)، وما إلى ذلك. وهذا هو، اتضح
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ سجل_(7)(49)...\)
وبالتالي، إذا أردنا، يمكننا كتابة اثنين في صورة لوغاريتم مع أي أساس في أي مكان (حتى في المعادلة، حتى في التعبير، حتى في المتباينة) - نحن ببساطة نكتب الأساس التربيعي كوسيطة.
الأمر نفسه ينطبق على الثلاثي – يمكن كتابته كـ \(\log_(2)(8)\)، أو كـ \(\log_(3)(27)\)، أو كـ \(\log_(4)( 64) \)... هنا نكتب القاعدة في المكعب كوسيطة:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ سجل_(7)(343)...\)
ومع أربعة:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ سجل_(7)(2401)...\)
ومع ناقص واحد:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
ومع الثلث:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
يمكن تمثيل أي رقم \(a\) على هيئة لوغاريتم ذو الأساس \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
مثال : ابحث عن معنى التعبير \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
حل :
إجابة : \(1\)
في النسبة
يمكن تعيين مهمة العثور على أي من الأرقام الثلاثة من الرقمين الآخرين. إذا تم إعطاء a ثم N، يتم العثور عليهما عن طريق الأس. إذا كان N ثم a يُعطى عن طريق أخذ جذر الدرجة x (أو رفعه إلى الأس). الآن فكر في الحالة التي نحتاج فيها إلى إيجاد x، عند وجود a وN.
ليكن الرقم N موجباً: الرقم a يكون موجباً ولا يساوي واحداً: .
تعريف. لوغاريتم الرقم N للأساس a هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على الرقم N؛ يتم الإشارة إلى اللوغاريتم بواسطة
وهكذا، في المساواة (26.1) تم العثور على الأس على أنه لوغاريتم N للأساس a. دعامات
يملك نفس المعنى. تُسمى المساواة (26.1) أحيانًا بالهوية الرئيسية لنظرية اللوغاريتمات؛ وهو في الواقع يعبر عن تعريف مفهوم اللوغاريتم. بواسطة هذا التعريفقاعدة اللوغاريتم a تكون دائمًا موجبة ومختلفة عن الوحدة؛ الرقم اللوغاريتمي N موجب. الأرقام السالبة والصفر ليس لها لوغاريتمات. يمكن إثبات أن أي رقم له أساس معين له لوغاريتم محدد جيدًا. ولذلك تستلزم المساواة . لاحظ أن الشرط الأساسي هنا هو خلاف ذلكلن يكون هناك ما يبرر الاستنتاج، لأن المساواة صحيحة لأي قيم x و y.
مثال 1. البحث
حل. للحصول على رقم يجب عليك رفع الأساس 2 إلى القوة لذلك.
يمكنك تدوين ملاحظات عند حل مثل هذه الأمثلة بالشكل التالي:
مثال 2. ابحث عن .
حل. لدينا
في المثالين 1 و 2، وجدنا بسهولة اللوغاريتم المطلوب من خلال تمثيل رقم اللوغاريتم كقوة للأساس مع أس منطقي. في حالة عامة، على سبيل المثال، وما إلى ذلك، لا يمكن القيام بذلك، لأن اللوغاريتم موجود معنى غير عقلاني. دعونا ننتبه إلى مسألة واحدة تتعلق بهذا البيان. وفي الفقرة 12 قدمنا مفهوم إمكانية تحديد أي منها درجة حقيقيةمنح رقم إيجابي. كان هذا ضروريًا لإدخال اللوغاريتمات، والتي، بشكل عام، يمكن أن تكون أرقامًا غير منطقية.
دعونا نلقي نظرة على بعض خصائص اللوغاريتمات.
الخاصية 1. إذا كان الرقم والقاعدة متساويين، فإن اللوغاريتم يساوي واحدوعلى العكس من ذلك، إذا كان اللوغاريتم يساوي واحدًا، فإن العدد والقاعدة متساويان.
دليل. دعونا من خلال تعريف اللوغاريتم لدينا ومن أين
وعلى العكس من ذلك، اسمحوا ثم حسب التعريف
الخاصية 2. لوغاريتم واحد لأي أساس يساوي صفر.
دليل. حسب تعريف اللوغاريتم ( درجة الصفرأي قاعدة موجبة تساوي واحدًا، انظر (١٠.١)). من هنا
Q.E.D.
العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا، فإن N = 1. في الواقع، لدينا.
قبل صياغة الخاصية التالية للوغاريتمات، دعونا نتفق على القول بأن الرقمين a وb يقعان على نفس الجانب من الرقم الثالث c إذا كانا أكبر من c أو أقل من c. إذا كان أحد هذين الرقمين أكبر من c، والآخر أقل من c، فسنقول إنهما يقعان معًا جوانب مختلفةمن القرية
الخاصية 3. إذا كان الرقم والقاعدة يقعان على نفس الجانب من الواحد، فإن اللوغاريتم موجب؛ إذا كان العدد والقاعدة يقعان على طرفين متقابلين للواحد، فإن اللوغاريتم يكون سالبًا.
يعتمد إثبات الخاصية 3 على أن قوة a أكبر من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد والأس موجب أو الأساس أقل من واحد والأس سالب. تكون القوة أقل من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد والأس سالبًا أو إذا كان الأساس أقل من واحد والأس موجب.
هناك أربع حالات يجب أخذها بعين الاعتبار:
وسوف نقتصر على تحليل الأول منها، وسينظر القارئ في الباقي من تلقاء نفسه.
دعونا إذن في حالة المساواة لا يمكن أن يكون الأس سالبًا ولا يساوي الصفرولذلك فهو موجب، أي كما يقتضي إثباته.
مثال 3. اكتشف أي اللوغاريتمات أدناه إيجابية وأيها سلبية:
الحل: أ) بما أن العدد 15 والأساس 12 يقعان على نفس الجانب من الواحد؛
ب) بما أن 1000 و2 يقعان على جانب واحد من الوحدة؛ وفي هذه الحالة ليس من المهم أن يكون الأساس أكبر من الرقم اللوغاريتمي؛
ج) بما أن 3.1 و 0.8 يقعان على طرفي نقيض من الوحدة؛
ز) ؛ لماذا؟
د) ؛ لماذا؟
غالبًا ما تسمى الخصائص التالية 4-6 بقواعد اللوغاريتمات: فهي تسمح، بمعرفة لوغاريتمات بعض الأرقام، بالعثور على لوغاريتمات منتجها وحاصلها ودرجة كل منها.
الخاصية 4 (قاعدة لوغاريتم المنتج). لوغاريتم منتج عدة أرقام موجبة بواسطة هذا الأساس يساوي المبلغلوغاريتمات هذه الأرقام لنفس الأساس.
دليل. دع الأرقام المعطاة تكون موجبة.
بالنسبة لوغاريتم حاصل ضربهم نكتب المساواة (26.1) التي تحدد اللوغاريتم:
من هنا سنجد
مقارنة الأسس من الأول و التعبيرات الأخيرة، نحصل على المساواة المطلوبة:
علماً بأن الشرط أساسي؛ لوغاريتم منتج اثنين أرقام سلبيةفمن المنطقي، ولكن في هذه الحالة نحصل
بشكل عام، إذا كان حاصل ضرب عدة عوامل موجبًا، فإن لوغاريتمه يساوي مجموع لوغاريتمات القيم المطلقة لهذه العوامل.
الخاصية 5 (قاعدة أخذ لوغاريتمات القسمة). لوغاريتم حاصل الأعداد الموجبة يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه، مأخوذة من نفس الأساس. دليل. نجد باستمرار
Q.E.D.
الخاصية 6 (قاعدة لوغاريتم القوة). لوغاريتم قوة بعض الأرقام الإيجابية يساوي اللوغاريتمهذا الرقم مضروبا في الأس.
دليل. دعونا نكتب مرة أخرى الهوية الرئيسية (26.1) للرقم:
Q.E.D.
عاقبة. لوغاريتم جذر عدد موجب يساوي لوغاريتم الجذر مقسومًا على أس الجذر:
يمكن إثبات صحة هذه النتيجة الطبيعية من خلال تخيل كيفية استخدام الخاصية 6.
مثال 4: خذ اللوغاريتم للأساس a:
أ) (من المفترض أن جميع القيم ب، ج، د، ه إيجابية)؛
ب) (يفترض ذلك).
الحل، أ) من المناسب الذهاب إليه هذا التعبيرإلى القوى الكسرية:
بناءً على التساويات (26.5)-(26.7)، يمكننا الآن أن نكتب:
نلاحظ أنه يتم إجراء عمليات أبسط على لوغاريتمات الأرقام مقارنة بالأرقام نفسها: عند ضرب الأرقام، تُضاف اللوغاريتمات الخاصة بها، وعند القسمة تُطرح، وما إلى ذلك.
ولهذا السبب يتم استخدام اللوغاريتمات في ممارسة الحوسبة (انظر الفقرة 29).
يُطلق على الإجراء العكسي للوغاريتم اسم التقوية، أي: التقوية هي الإجراء الذي يتم من خلاله العثور على الرقم نفسه من لوغاريتم معين لرقم. في الأساس، التقوية ليست أي إجراء خاص: فهي تتعلق برفع القاعدة إلى قوة ( يساوي اللوغاريتمأرقام). يمكن اعتبار مصطلح "التقوية" مرادفًا لمصطلح "التعزيز".
عند التحفيز، يجب على المرء استخدام القواعد العكسية لقواعد اللوغاريتمات: استبدال مجموع اللوغاريتمات بلوغاريتم المنتج، وفرق اللوغاريتمات بلوغاريتم الحاصل، وما إلى ذلك. على وجه الخصوص، إذا كان هناك عامل في المقدمة من علامة اللوغاريتم، ثم أثناء التقوية يجب أن يتم نقلها إلى درجات الأس تحت علامة اللوغاريتم.
مثال 5. ابحث عن N إذا كان معروفا ذلك
حل. فيما يتعلق بقاعدة التقوية المذكورة للتو، سننقل العوامل 2/3 و1/3 الموجودة أمام علامات اللوغاريتمات على الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى أسس تحت علامات هذه اللوغاريتمات؛ نحصل عليها
الآن نستبدل فرق اللوغاريتمات بلوغاريتم الحاصل:
للحصول على الكسر الأخير في سلسلة التساويات هذه، قمنا بتحرير الكسر السابق من اللاعقلانية في المقام (القسم 25).
الخاصية 7. إذا كانت القاعدة أكبر من واحد عدد أكبرله لوغاريتم أكبر (والرقم الأصغر له لوغاريتم أصغر)، إذا كان الأساس أقل من واحد، فإن الرقم الأكبر له لوغاريتم أصغر (والرقم الأصغر له لوغاريتم أكبر).
تمت صياغة هذه الخاصية أيضًا كقاعدة لأخذ لوغاريتمات المتباينات التي يكون طرفاها موجبًا:
عند أخذ لوغاريتم المتباينات إلى الأساس، أكبر من واحد، يتم الحفاظ على علامة المتباينة، وعند أخذ لوغاريتم لأساس أقل من واحد، تتغير علامة المتباينة إلى العكس (انظر أيضًا الفقرة 80).
يعتمد الدليل على الخاصيتين 5 و 3. ضع في اعتبارك الحالة عندما نحصل على إذا، وبأخذ اللوغاريتمات
(a وN/M يقعان على نفس الجانب من الوحدة). من هنا
الحالة التالية، سيكتشفها القارئ بنفسه.
يتبع من تعريفه. وهكذا لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيتم تعريفه على أنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).
من هذه الصيغة يتبع ذلك الحساب س = سجل ب، يعادل حل المعادلة أ س = ب.على سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لأن 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع قوى العدد.
مع اللوغاريتمات، كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوالتحول بكل الطرق الممكنة. ولكن نظرًا لحقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا، والتي تسمى الخصائص الرئيسية.
جمع وطرح اللوغاريتمات.
لنأخذ اثنين من اللوغاريتمات لنفس الأسباب: سجل xو سجل ذ. ومن الممكن بعد ذلك إجراء عمليات الجمع والطرح:
سجل x+ سجل y= سجل a (x·y);
سجل س - سجل ص = سجل أ (س: ص).
سجل أ(س 1 . س 2 . س 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل × ك.
من نظرية حاصل اللوغاريتميمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1=0، لذلك
سجل أ 1 /ب= سجل أ 1 - السجل أ ب= - سجل أ ب.
وهذا يعني أن هناك مساواة:
سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.
لوغاريتمات رقمين متبادلينلنفس السبب سوف تختلف عن بعضها البعض فقط من خلال الإشارة. لذا:
سجل 3 9= - سجل 3 1 / 9 ; سجل 5 1/125 = - سجل 5 125.