الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
حل النظاممع مجهولين - وهذا يعني إيجاد جميع أزواج القيم المتغيرة التي تلبي كل من المعادلات المعطاة. يتم استدعاء كل زوج من هذا القبيل حل النظام.
مثال:
زوج القيم \(x=3\);\(y=-1\) هو حل للنظام الأول، لأنه عند استبدال هذه الثلاثات والناقص في النظام بدلاً من \(x\) و\ (y\)، ستصبح المعادلتان متساويتين صحيحتين \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( حالات)\)
لكن \(x=1\); \(y=-2\) - ليس حلاً للنظام الأول، لأنه بعد الاستبدال فإن المعادلة الثانية "لا تتقارب" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)
لاحظ أن مثل هذه الأزواج غالبًا ما تكون مكتوبة بشكل أقصر: بدلاً من "\(x=3\); \(y=-1\)" تكتب على النحو التالي: \((3;-1)\).
كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟
هناك ثلاث طرق رئيسية لحل أنظمة المعادلات الخطية:
- طريقة الاستبدال.
-
\(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)
في المعادلة الثانية، كل حد زوجي، لذلك نقوم بتبسيط المعادلة بقسمتها على \(2\).
\(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)
يمكن حل هذا النظام بأي من الطرق التالية، لكن يبدو لي أن طريقة الاستبدال هي الأكثر ملاءمة هنا. لنعبر عن y من المعادلة الثانية.
\(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)
لنعوض بـ \(6x-13\) بدلاً من \(y\) في المعادلة الأولى.
\(\البداية(الحالات)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\النهاية(الحالات)\)
تحولت المعادلة الأولى إلى معادلة عادية. دعونا حلها.
أولاً، دعونا نفتح الأقواس.
\(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)
دعنا ننتقل \(117\) إلى اليمين ونقدم مصطلحات مماثلة.
\(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)
لنقسم طرفي المعادلة الأولى على \(67\).
\(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)
حسنًا، لقد وجدنا \(x\)! لنعوض بقيمتها في المعادلة الثانية ونجد \(y\).
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)
دعونا نكتب الجواب.
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
عوّض بالتعبير الناتج بدلاً من هذا المتغير في معادلة أخرى للنظام.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
دعونا نحلل نوعين من الحلول لأنظمة المعادلات:
1. حل النظام باستخدام طريقة الاستبدال.
2. حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لمعادلات النظام حدًا تلو الآخر.
من أجل حل نظام المعادلات بطريقة الاستبدالتحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة:
1. اكسبريس. من أي معادلة نعبر عن متغير واحد.
2. بديل. نعوض بالقيمة الناتجة في معادلة أخرى بدلاً من المتغير المعبر عنه.
3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد. نجد حلا للنظام.
لتحل النظام عن طريق طريقة الجمع (الطرح) مصطلحًا تلو الآخربحاجة ل:
1. حدد المتغير الذي سنعمل له معاملات متطابقة.
2. نقوم بجمع أو طرح المعادلات، مما ينتج عنه معادلة ذات متغير واحد.
3. حل المعادلة الخطية الناتجة. نجد حلا للنظام.
حل النظام هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.
دعونا نفكر بالتفصيل في حل الأنظمة باستخدام الأمثلة.
مثال 1:
دعونا نحل بطريقة الاستبدال
حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال2x+5y=1 (معادلة واحدة)
x-10y=3 (المعادلة الثانية)
1. اكسبريس
ويمكن ملاحظة أنه يوجد في المعادلة الثانية متغير x بمعامل 1، مما يعني أنه من الأسهل التعبير عن المتغير x من المعادلة الثانية.
س=3+10ص
2. وبعد أن عبرنا عنها، نعوض بـ 3+10y في المعادلة الأولى بدلا من المتغير x.
2(3+10ص)+5ص=1
3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
2(3+10ص)+5ص=1 (افتح القوسين)
6+20ص+5ص=1
25ص=1-6
25ص=-5 |: (25)
ص=-5:25
ص=-0.2
حل نظام المعادلة هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية، لذلك نحن بحاجة إلى إيجاد x و y، لأن نقطة التقاطع تتكون من x و y فلنجد x، في النقطة الأولى التي عبرنا عنها نستبدل y.
س=3+10ص
س=3+10*(-0.2)=1
ومن المعتاد أن نكتب النقاط في المقام الأول نكتب المتغير x، وفي المركز الثاني المتغير y.
الجواب: (1؛ -0.2)
المثال رقم 2:
دعونا نحل باستخدام طريقة الجمع (الطرح) حدًا تلو الآخر.
حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الجمع3x-2y=1 (معادلة واحدة)
2x-3y=-10 (المعادلة الثانية)
1. نختار متغيرًا، لنفترض أننا اخترنا x. في المعادلة الأولى، المتغير x له معامل 3، في الثانية - 2. نحن بحاجة إلى جعل المعاملات هي نفسها، ولهذا لدينا الحق في ضرب المعادلات أو القسمة على أي رقم. نضرب المعادلة الأولى في 2، والثانية في 3 ونحصل على المعامل الإجمالي 6.
3س-2ص=1 |*2
6س-4ص=2
2س-3ص=-10 |*3
6س-9ص=-30
2. اطرح الثانية من المعادلة الأولى للتخلص من المتغير x وحل المعادلة الخطية.
__6س-4ص=2
5ص=32 | :5
ص=6.4
3. ابحث عن x. نعوض بـ y الموجود في أي من المعادلات، دعنا نقول في المعادلة الأولى.
3س-2ص=1
3س-2*6.4=1
3س-12.8=1
3س=1+12.8
3x=13.8 |:3
س=4.6
ستكون نقطة التقاطع x=4.6؛ ص=6.4
الجواب: (4.6؛ 6.4)
هل تريد الاستعداد للامتحانات مجانا؟ مدرس على الانترنت مجانا. لا تمزح.
بهذا الفيديو أبدأ سلسلة من الدروس المخصصة لأنظمة المعادلات. اليوم سنتحدث عن حل أنظمة المعادلات الخطية طريقة الإضافة- هذه إحدى أبسط الطرق ولكنها في نفس الوقت من أكثر الطرق فعالية.
تتكون طريقة الإضافة من ثلاث خطوات بسيطة:
- انظر إلى النظام واختر متغيرًا له نفس المعاملات (أو معاكسة) في كل معادلة؛
- إجراء الطرح الجبري (للأعداد المتضادة - الجمع) للمعادلات من بعضها البعض، ثم إحضار مصطلحات متشابهة؛
- حل المعادلة الجديدة التي تم الحصول عليها بعد الخطوة الثانية.
إذا تم كل شيء بشكل صحيح، فسنحصل على معادلة واحدة عند الإخراج مع متغير واحد- لن يكون من الصعب حلها. ثم كل ما تبقى هو استبدال الجذر الموجود في النظام الأصلي والحصول على الإجابة النهائية.
ومع ذلك، في الممارسة العملية، كل شيء ليس بهذه البساطة. هناك عدة أسباب لذلك:
- حل المعادلات باستخدام طريقة الجمع يعني أن جميع الخطوط يجب أن تحتوي على متغيرات ذات معاملات متساوية/متعاكسة. ماذا تفعل إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط؟
- ليس دائمًا، بعد إضافة/طرح المعادلات بالطريقة المشار إليها، نحصل على بناء جميل يمكن حله بسهولة. هل من الممكن تبسيط الحسابات بطريقة أو بأخرى وتسريع العمليات الحسابية؟
للحصول على إجابة لهذه الأسئلة، وفي الوقت نفسه فهم بعض التفاصيل الدقيقة الإضافية التي يفشل فيها العديد من الطلاب، شاهد درس الفيديو الخاص بي:
بهذا الدرس نبدأ سلسلة من المحاضرات المخصصة لأنظمة المعادلات. وسنبدأ من أبسطها، وهي تلك التي تحتوي على معادلتين ومتغيرين. كل واحد منهم سيكون خطيا.
الأنظمة هي مادة للصف السابع، ولكن هذا الدرس سيكون مفيدًا أيضًا لطلاب المدارس الثانوية الذين يرغبون في تحسين معرفتهم بهذا الموضوع.
بشكل عام، هناك طريقتان لحل هذه الأنظمة:
- طريقة الإضافة
- طريقة للتعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر.
اليوم سوف نتعامل مع الطريقة الأولى – سنستخدم طريقة الطرح والجمع. لكن للقيام بذلك، عليك أن تفهم الحقيقة التالية: بمجرد أن يكون لديك معادلتان أو أكثر، يمكنك أخذ أي معادلتين وإضافتهما إلى بعضهما البعض. تتم إضافتهم عضوًا تلو الآخر، أي. تضاف "X's" إلى "X's" ويتم إعطاء ما يشبهها، "Y's" مع "Y's" متشابهة مرة أخرى، وما على يمين علامة التساوي يضاف أيضًا إلى بعضها البعض، ويتم إعطاء متشابهات هناك أيضًا .
وستكون نتائج مثل هذه المكائد معادلة جديدة، إذا كانت لها جذور، فهي بالتأكيد من بين جذور المعادلة الأصلية. لذلك، فإن مهمتنا هي إجراء عملية الطرح أو الجمع بطريقة تختفي إما $x$ أو $y$.
كيفية تحقيق ذلك وما هي الأداة التي يجب استخدامها لهذا - سنتحدث عن هذا الآن.
حل المسائل السهلة باستخدام الجمع
لذلك، نتعلم كيفية استخدام طريقة الجمع باستخدام مثال تعبيرين بسيطين.
المهمة رقم 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
لاحظ أن $y$ له معامل $-4$ في المعادلة الأولى، و$+4$ في المعادلة الثانية. إنهم متعارضون بشكل متبادل، لذلك من المنطقي أن نفترض أنه إذا جمعناهم، فسيتم تدمير "الألعاب" في المجموع الناتج بشكل متبادل. أضفه واحصل على:
دعونا نحل أبسط البناء:
عظيم، لقد وجدنا "x". ماذا يجب أن نفعل به الآن؟ ولدينا الحق في التعويض به في أي من المعادلات. لنعوض في الأول :
\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]
الإجابة: $\left(2;-3 \right)$.
المشكلة رقم 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
الوضع هنا مشابه تمامًا، فقط مع علامة "X". دعونا نضيفها:
لدينا أبسط معادلة خطية، فلنحلها:
الآن لنجد $x$:
الإجابة: $\left(-3;3 \right)$.
نقاط مهمة
إذن، نكون قد حللنا للتو نظامين بسيطين من المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع. النقاط الرئيسية مرة أخرى:
- إذا كانت هناك معاملات معاكسة لأحد المتغيرات، فمن الضروري إضافة جميع المتغيرات في المعادلة. وفي هذه الحالة سيتم تدمير واحد منهم.
- نعوض بالمتغير الموجود في أي من معادلات النظام لإيجاد المتغير الثاني.
- يمكن تقديم سجل الاستجابة النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، مثل هذا - $x=...,y=...$، أو في شكل إحداثيات النقاط - $\left(...;... \right)$. الخيار الثاني هو الأفضل. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الإحداثي الأول هو $x$، والثاني هو $y$.
- قاعدة كتابة الإجابة في شكل إحداثيات نقطة لا تنطبق دائمًا. على سبيل المثال، لا يمكن استخدامه عندما لا تكون المتغيرات $x$ و$y$، ولكن، على سبيل المثال، $a$ و$b$.
في المسائل التالية سننظر في أسلوب الطرح عندما لا تكون المعاملات متضادة.
حل المسائل السهلة باستخدام طريقة الطرح
المهمة رقم 1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
لاحظ أنه لا توجد معاملات معاكسة هنا، ولكن هناك معاملات متطابقة. ولذلك نطرح الثانية من المعادلة الأولى:
الآن نعوض بالقيمة $x$ في أي من معادلات النظام. دعنا نذهب أولا:
الإجابة: $\left(2;5\right)$.
المشكلة رقم 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
نرى مرة أخرى نفس المعامل $5$ لـ $x$ في المعادلة الأولى والثانية. لذلك فمن المنطقي أن نفترض أنك بحاجة إلى طرح الثانية من المعادلة الأولى:
لقد قمنا بحساب متغير واحد. الآن لنجد القيمة الثانية، على سبيل المثال، عن طريق استبدال القيمة $y$ في البناء الثاني:
الإجابة: $\left(-3;-2 \right)$.
الفروق الدقيقة في الحل
فماذا نرى؟ في الأساس، لا يختلف المخطط عن حل الأنظمة السابقة. والفرق الوحيد هو أننا لا نجمع المعادلات، بل نطرحها. نحن نقوم بعملية الطرح الجبرية.
بمعنى آخر، بمجرد أن ترى نظامًا يتكون من معادلتين في مجهولين، فإن أول شيء تحتاج إلى النظر إليه هو المعاملات. إذا كانت هي نفسها في أي مكان، يتم طرح المعادلات، وإذا كانت متضادة، يتم استخدام طريقة الجمع. ويتم ذلك دائمًا بحيث يختفي أحدهما، وفي المعادلة النهائية التي تبقى بعد الطرح، يبقى متغير واحد فقط.
بالطبع، هذا ليس كل شيء. سننظر الآن في الأنظمة التي تكون فيها المعادلات غير متسقة بشكل عام. أولئك. ولا توجد فيها متغيرات متماثلة أو معاكسة. في هذه الحالة، لحل مثل هذه الأنظمة، يتم استخدام تقنية إضافية، وهي ضرب كل من المعادلات بمعامل خاص. كيفية العثور عليها وكيفية حل هذه الأنظمة بشكل عام، سنتحدث عن هذا الآن.
حل المسائل عن طريق الضرب بمعامل
المثال رقم 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
نحن نرى أنه لا بالنسبة لـ $x$ ولا لـ $y$، فإن المعاملات ليست متضادة فحسب، ولكنها أيضًا لا ترتبط بأي حال من الأحوال بالمعادلة الأخرى. ولن تختفي هذه المعاملات بأي حال من الأحوال، حتى لو جمعنا أو طرحنا المعادلات من بعضها البعض. ولذلك، فمن الضروري تطبيق الضرب. دعونا نحاول التخلص من المتغير $y$. وللقيام بذلك نقوم بضرب المعادلة الأولى بمعامل $y$ من المعادلة الثانية، والمعادلة الثانية بمعامل $y$ من المعادلة الأولى، دون لمس الإشارة. نضرب ونحصل على نظام جديد:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
دعونا نلقي نظرة على الأمر: عند $y$ تكون المعاملات معاكسة. في مثل هذه الحالة، من الضروري استخدام طريقة الإضافة. دعنا نضيف:
الآن نحن بحاجة إلى العثور على $y$. للقيام بذلك، استبدل $x$ في التعبير الأول:
\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]
الإجابة: $\left(4;-2 \right)$.
المثال رقم 2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
مرة أخرى، معاملات أي من المتغيرات ليست متسقة. لنضرب في معاملات $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
نظامنا الجديد يعادل النظام السابق، لكن معاملات $y$ متضادة، وبالتالي من السهل تطبيق طريقة الجمع هنا:
الآن لنجد $y$ عن طريق استبدال $x$ في المعادلة الأولى:
الإجابة: $\left(-2;1 \right)$.
الفروق الدقيقة في الحل
القاعدة الأساسية هنا هي ما يلي: نحن دائمًا نضرب فقط بالأرقام الموجبة - وهذا سيوفر لك من الأخطاء الغبية والمهينة المرتبطة بتغيير العلامات. بشكل عام، مخطط الحل بسيط للغاية:
- نحن ننظر إلى النظام ونحلل كل معادلة.
- إذا رأينا أنه لا $y$ ولا $x$ فإن المعاملات متسقة، أي. فهما ليسا متساويين ولا معاكسين، ثم نقوم بما يلي: نختار المتغير الذي نريد التخلص منه، ثم ننظر إلى معاملات هذه المعادلات. إذا ضربنا المعادلة الأولى في المعامل من الثانية، والثانية، بالمقابل، ضربنا في المعامل من الأولى، فسنحصل في النهاية على نظام معادل تمامًا للنظام السابق، ومعاملات $ y $ سوف تكون متسقة. جميع أفعالنا أو تحويلاتنا تهدف فقط إلى الحصول على متغير واحد في معادلة واحدة.
- نجد متغير واحد.
- نعوض بالمتغير الموجود في إحدى معادلتي النظام ونجد الثانية.
- نكتب الإجابة على شكل إحداثيات النقاط إذا كان لدينا متغيرين $x$ و $y$.
ولكن حتى مثل هذه الخوارزمية البسيطة لها تفاصيلها الدقيقة، على سبيل المثال، يمكن أن تكون معاملات $x$ أو $y$ كسورًا وأرقامًا "قبيحة" أخرى. سننظر الآن في هذه الحالات بشكل منفصل، لأنه يمكنك التصرف فيها بشكل مختلف إلى حد ما عن الخوارزمية القياسية.
حل المسائل مع الكسور
المثال رقم 1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]
أولاً، لاحظ أن المعادلة الثانية تحتوي على كسور. لكن لاحظ أنه يمكنك تقسيم 4 دولارات على 0.8 دولار. سوف نحصل على 5 دولار. لنضرب المعادلة الثانية بـ 5$:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]
نطرح المعادلات من بعضها البعض:
لقد وجدنا $n$، والآن لنعد $m$:
الإجابة: $n=-4;m=5$
المثال رقم 2
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ يمين.\]
هنا، كما هو الحال في النظام السابق، توجد معاملات كسرية، ولكن بالنسبة لأي من المتغيرات، لا تتناسب المعاملات مع بعضها البعض لعدد صحيح من المرات. لذلك، نستخدم الخوارزمية القياسية. تخلص من $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
نستخدم طريقة الطرح:
لنجد $p$ عن طريق استبدال $k$ في البناء الثاني:
الإجابة: $p=-4;k=-2$.
الفروق الدقيقة في الحل
هذا كل التحسين. في المعادلة الأولى لم نضرب في أي شيء على الإطلاق، بل ضربنا المعادلة الثانية في 5 دولار. ونتيجة لذلك، حصلنا على معادلة متسقة وحتى متطابقة للمتغير الأول. في النظام الثاني اتبعنا خوارزمية قياسية.
ولكن كيف يمكنك العثور على الأرقام التي يمكنك ضرب المعادلات بها؟ ففي النهاية، إذا ضربنا في الكسور، نحصل على كسور جديدة. لذلك، يجب ضرب الكسور برقم يعطي عددًا صحيحًا جديدًا، وبعد ذلك يجب ضرب المتغيرات بالمعاملات، وفقًا للخوارزمية القياسية.
وفي الختام، أود أن ألفت انتباهكم إلى صيغة تسجيل الرد. كما قلت من قبل، بما أنه ليس لدينا هنا $x$ و$y$، ولكن لدينا قيم أخرى، فإننا نستخدم تدوينًا غير قياسي للنموذج:
حل أنظمة المعادلات المعقدة
كملاحظة أخيرة للفيديو التعليمي اليوم، دعونا نلقي نظرة على اثنين من الأنظمة المعقدة حقًا. سيكون تعقيدها هو أنه سيكون لديها متغيرات على اليسار واليمين. لذلك، لحلها، سيتعين علينا تطبيق المعالجة المسبقة.
النظام رقم 1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \يمين )-1=5\يسار(2x-1 \يمين)+8 \\\end(محاذاة) \يمين.\]
تحمل كل معادلة تعقيدًا معينًا. لذلك، دعونا نتعامل مع كل تعبير كما هو الحال مع البناء الخطي المنتظم.
في المجمل، نحصل على النظام النهائي، وهو ما يعادل النظام الأصلي:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
دعونا نلقي نظرة على معاملات $y$: $3$ تتناسب مع $6$ مرتين، لذلك دعونا نضرب المعادلة الأولى بـ $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
معاملات $y$ أصبحت الآن متساوية، لذا نطرح الثانية من المعادلة الأولى: $$
الآن لنجد $y$:
الإجابة: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
النظام رقم 2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
دعونا نحول التعبير الأول:
دعونا نتعامل مع الثاني:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
في المجمل، سيتخذ نظامنا الأولي الشكل التالي:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
بالنظر إلى معاملات $a$، نرى أن المعادلة الأولى تحتاج إلى ضرب $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
اطرح الثاني من البناء الأول:
الآن لنجد $a$:
الإجابة: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
هذا كل شئ. آمل أن يساعدك هذا الفيديو التعليمي على فهم هذا الموضوع الصعب، وهو حل أنظمة المعادلات الخطية البسيطة. سيكون هناك المزيد من الدروس حول هذا الموضوع في المستقبل: سننظر إلى أمثلة أكثر تعقيدًا، حيث سيكون هناك المزيد من المتغيرات، وستكون المعادلات نفسها غير خطية. نراكم مرة أخرى!
تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في القطاع الاقتصادي للنمذجة الرياضية لمختلف العمليات. على سبيل المثال، عند حل مشاكل إدارة وتخطيط الإنتاج أو الطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.
تُستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء والأحياء، عند حل مشكلات إيجاد حجم السكان.
نظام المعادلات الخطية هو معادلتان أو أكثر مع عدة متغيرات والتي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام الذي تصبح فيه جميع المعادلات متساويات حقيقية أو تثبت عدم وجود التسلسل.
معادلة خط مستقيم
تسمى المعادلات ذات الشكل ax+by=c خطية. التسميات x، y هي المجهولة التي يجب العثور على قيمتها، b، a هي معاملات المتغيرات، c هو الحد الحر للمعادلة.
حل المعادلة عن طريق رسمها سيبدو كخط مستقيم، جميع نقاطه هي حلول لكثيرة الحدود.
أنواع أنظمة المعادلات الخطية
أبسط الأمثلة هي أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين X و Y.
F1(x, y) = 0 وF2(x, y) = 0، حيث F1,2 هي دوال و(x, y) هي متغيرات دالة.
حل نظام المعادلات - وهذا يعني إيجاد القيم (x، y) التي يتحول عندها النظام إلى مساواة حقيقية أو إثبات عدم وجود القيم المناسبة لـ x و y.
زوج من القيم (x، y)، مكتوب على شكل إحداثيات نقطة، يسمى حلاً لنظام المعادلات الخطية.
إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لم يكن هناك حل، فإنها تسمى متكافئة.
الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يساوي الجانب الأيمن منها الصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة التساوي له قيمة أو يتم التعبير عنه بوظيفة، فإن هذا النظام يكون غير متجانس.
يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من اثنين بكثير، فيجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية الذي يحتوي على ثلاثة متغيرات أو أكثر.
في مواجهة الأنظمة، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتزامن بالضرورة مع عدد المجهولين، ولكن هذا ليس هو الحال. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات، بل يمكن أن يكون عددها حسب الرغبة.
طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات
ولا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة؛ فكل الطرق تعتمد على الحلول العددية. تصف دورة الرياضيات المدرسية بالتفصيل طرقًا مثل التقليب، والجمع الجبري، والاستبدال، بالإضافة إلى الطرق الرسومية والمصفوفية، والحل بالطريقة الغوسية.
تتمثل المهمة الرئيسية عند تدريس طرق الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح والعثور على خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام القواعد والإجراءات لكل طريقة، ولكن فهم مبادئ استخدام طريقة معينة
يعد حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية في منهج التعليم العام للصف السابع أمرًا بسيطًا للغاية ويتم شرحه بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي للرياضيات، يتم إعطاء هذا القسم الاهتمام الكافي. تتم دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس وكرامر بمزيد من التفصيل في السنوات الأولى من التعليم العالي.
حل الأنظمة باستخدام طريقة الاستبدال
تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد بالنسبة للمتغير الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية، ثم يتم تقليله إلى نموذج بمتغير واحد. يتم تكرار الإجراء اعتمادًا على عدد العناصر المجهولة في النظام
دعونا نعطي حلاً لمثال لنظام المعادلات الخطية من الدرجة 7 باستخدام طريقة الاستبدال:
كما يتبين من المثال، تم التعبير عن المتغير x من خلال F(X) = 7 + Y. وقد ساعد التعبير الناتج، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . حل هذا المثال سهل ويسمح لك بالحصول على قيمة Y. والخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.
ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية عن طريق الاستبدال. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير بدلالة المجهول الثاني سيكون مرهقا للغاية لإجراء المزيد من الحسابات. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام، فإن الحل بالاستبدال غير مناسب أيضًا.
حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:
الحل باستخدام الجمع الجبري
عند البحث عن حلول للأنظمة باستخدام طريقة الجمع، تتم إضافة المعادلات حدًا تلو الآخر وضربها بأرقام مختلفة. الهدف النهائي للعمليات الرياضية هو معادلة في متغير واحد.
تطبيق هذه الطريقة يتطلب الممارسة والملاحظة. إن حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع عندما يكون هناك 3 متغيرات أو أكثر ليس بالأمر السهل. تعتبر عملية الجمع الجبرية ملائمة للاستخدام عندما تحتوي المعادلات على كسور وأعداد عشرية.
خوارزمية الحل:
- اضرب طرفي المعادلة برقم معين. ونتيجة للعملية الحسابية، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير يساوي 1.
- أضف مصطلح التعبير الناتج بمصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
- عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.
طريقة الحل بإدخال متغير جديد
يمكن إدخال متغير جديد إذا كان النظام يتطلب إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين؛ كما يجب ألا يزيد عدد المجهولين عن معادلتين.
يتم استخدام الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات عن طريق إدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة للمجهول المدخل، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.
يوضح المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى ثلاثية الحدود التربيعية القياسية. يمكنك حل كثيرة الحدود من خلال إيجاد المميز.
من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4*a*c، حيث D هو المميز المطلوب، b، a، c هي عوامل كثير الحدود. في المثال الموضح، أ=1، ب=16، ج=39، وبالتالي D=100. إذا كان المميز أكبر من الصفر، فهناك حلان: t = -b±√D / 2*a، إذا كان المميز أقل من الصفر، فهناك حل واحد: x = -b / 2*a.
تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الإضافة.
الطريقة البصرية لحل الأنظمة
مناسبة لـ 3 أنظمة معادلة. تتمثل الطريقة في إنشاء رسوم بيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. ستكون إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات هي الحل العام للنظام.
الطريقة الرسومية لديها عدد من الفروق الدقيقة. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.
كما يتبين من المثال، تم إنشاء نقطتين لكل سطر، وتم اختيار قيم المتغير x بشكل تعسفي: 0 و 3. وبناء على قيم x، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تحديد النقاط ذات الإحداثيات (0، 3) و (3، 0) على الرسم البياني وتوصيلها بخط.
ويجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.
يتطلب المثال التالي إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y+2=0 و0.5x-y-1=0.
كما يتبين من المثال، ليس لدى النظام حل، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع على طولها بالكامل.
الأنظمة من المثالين 2 و3 متشابهة، ولكن عند إنشائها يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا؛ فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.
المصفوفة وأصنافها
تُستخدم المصفوفات لكتابة نظام من المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n*m على n - صفوف وm - أعمدة.
تكون المصفوفة مربعة عندما يكون عدد الأعمدة والصفوف متساويًا. ناقل المصفوفة عبارة عن مصفوفة مكونة من عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على واحد على طول أحد الأقطار والعناصر الصفرية الأخرى بالهوية.
المصفوفة العكسية هي مصفوفة، عند ضربها تتحول المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة وحدة؛ ومثل هذه المصفوفة موجودة فقط للمصفوفة الأصلية.
قواعد لتحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة
فيما يتعلق بأنظمة المعادلات، تتم كتابة المعاملات والحدود الحرة للمعادلات كأرقام مصفوفية؛ معادلة واحدة هي صف واحد من المصفوفة.
يقال إن صف المصفوفة غير صفري إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف ليس صفرًا. لذلك، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.
يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بشكل صارم مع المتغيرات. وهذا يعني أنه يمكن كتابة معاملات المتغير x في عمود واحد فقط، على سبيل المثال الأول، معامل المجهول y - فقط في الثاني.
عند ضرب مصفوفة، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة بالرقم.
خيارات لإيجاد المصفوفة العكسية
صيغة العثور على المصفوفة العكسية بسيطة للغاية: K -1 = 1 / |K|، حيث K -1 هي المصفوفة العكسية، و |K| هو محدد المصفوفة. |ك| يجب أن لا تساوي الصفر، فالنظام لديه الحل.
يمكن حساب المحدد بسهولة لمصفوفة مكونة من اثنين في اثنين؛ كل ما عليك فعله هو ضرب العناصر القطرية في بعضها البعض. بالنسبة لخيار "ثلاثة في ثلاثة"، هناك صيغة |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + أ 3 ب 2 ج 1 . يمكنك استخدام الصيغة، أو يمكنك أن تتذكر أنك تحتاج إلى أخذ عنصر واحد من كل صف ومن كل عمود حتى لا تتكرر أعداد الأعمدة وصفوف العناصر في العمل.
حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة
تتيح لك طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الإدخالات المرهقة عند حل الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات والمعادلات.
في المثال، nm هي معاملات المعادلات، والمصفوفة عبارة عن متجه x n عبارة عن متغيرات، وb n عبارة عن مصطلحات حرة.
حل الأنظمة باستخدام طريقة جاوس
في الرياضيات العليا، تتم دراسة طريقة غاوس مع طريقة كرامر، وتسمى عملية إيجاد حلول للأنظمة بطريقة حل غاوس-كرامر. تُستخدم هذه الطرق للعثور على متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.
طريقة غاوس تشبه إلى حد كبير الحلول عن طريق الاستبدال والإضافة الجبرية، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية، يتم استخدام الحل بالطريقة الغوسية لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تقليل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. عن طريق التحويلات والبدائل الجبرية، يتم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير بمجهولين، بينما 3 و 4 على التوالي، مع 3 و 4 متغيرات.
بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.
في الكتب المدرسية للصف السابع، يتم وصف مثال على الحل بطريقة غاوس على النحو التالي:
كما يتبين من المثال، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين: 3x 3 -2x 4 =11 و3x 3 +2x 4 =7. حل أي من المعادلات سيسمح لك بمعرفة أحد المتغيرات x n.
تنص النظرية الخامسة المذكورة في النص على أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بأخرى مكافئة، فإن النظام الناتج سيكون معادلاً للنظام الأصلي أيضًا.
يصعب على طلاب المدارس المتوسطة فهم الطريقة الغوسية، ولكنها واحدة من أكثر الطرق إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال المسجلين في برامج التعلم المتقدمة في فصول الرياضيات والفيزياء.
ولتسهيل التسجيل، تتم الحسابات عادة على النحو التالي:
تتم كتابة معاملات المعادلات والحدود الحرة على شكل مصفوفة، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن اليمين. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.
أولاً، اكتب المصفوفة التي سيتم التعامل معها، ثم جميع الإجراءات التي تم تنفيذها باستخدام أحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.
يجب أن تكون النتيجة مصفوفة يكون أحد أقطارها يساوي 1، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل وحدة. يجب ألا ننسى إجراء العمليات الحسابية بالأرقام الموجودة على طرفي المعادلة.
تعد طريقة التسجيل هذه أقل تعقيدًا وتسمح لك بعدم تشتيت انتباهك عن طريق سرد العديد من الأشياء المجهولة.
سيتطلب الاستخدام المجاني لأي طريقة حل الرعاية وبعض الخبرة. ليست كل الأساليب ذات طبيعة تطبيقية. بعض طرق إيجاد الحلول هي الأفضل في مجال معين من النشاط البشري، في حين أن البعض الآخر موجود للأغراض التعليمية.