التعبيرات اللوغاريتمية، حل الأمثلة. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المسائل المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تطرح المهام سؤال العثور على معنى التعبير. تجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام وفهم معناه مهم للغاية. أما بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة فيتم استخدام اللوغاريتم عند حل المعادلات المشاكل التطبيقية، وكذلك في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.
ولنضرب أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:
الهوية اللوغاريتمية الأساسية:
خصائص اللوغاريتمات التي يجب تذكرها دائمًا:
* لوغاريتم المنتج يساوي المبلغلوغاريتمات العوامل.
* * *
* لوغاريتم القسمة (الكسر) يساوي الفرق بين لوغاريتمات العوامل.
* * *
* لوغاريتم الدرجة يساوي المنتجالأس بواسطة لوغاريتم قاعدته.
* * *
*الانتقال إلى أساس جديد
* * *
المزيد من الخصائص:
* * *
يرتبط حساب اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.
دعونا قائمة بعض منهم:
الجوهر من هذا العقاريكمن في حقيقة أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس، تتغير إشارة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:
نتيجة طبيعية من هذه الخاصية:
* * *
عند رفع قوة إلى قوة، يظل الأساس كما هو، ولكن يتم ضرب الأسس.
* * *
كما رأيت، فإن مفهوم اللوغاريتم نفسه بسيط. الشيء الرئيسي هو ما هو مطلوب ممارسة جيدةمما يعطي مهارة معينة. وبطبيعة الحال، مطلوب معرفة الصيغ. إذا لم يتم تطوير مهارة تحويل اللوغاريتمات الأولية، فعند حل المهام البسيطة، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ.
تدرب على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً، ثم انتقل إلى الأمثلة الأكثر تعقيدًا. في المستقبل، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "المخيفة"؛ لن تظهر في امتحان الدولة الموحدة، لكنها مثيرة للاهتمام، لا تفوتها!
هذا كل شئ! كل التوفيق لك!
مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ
ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.
الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
دعونا نشرح ذلك بشكل أكثر بساطة. على سبيل المثال، \(\log_(2)(8)\) يساوي القوة، والذي يجب رفع \(2\) إليه للحصول على \(8\). ومن هذا يتضح أن \(\log_(2)(8)=3\).
|
أمثلة: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
لأن \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
لأن \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
لأن \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
الوسيطة وقاعدة اللوغاريتم
أي لوغاريتم لديه "التشريح" التالي:
عادةً ما تتم كتابة وسيطة اللوغاريتم عند مستواه، ويتم كتابة القاعدة بخط منخفض أقرب إلى علامة اللوغاريتم. وهذا الإدخال يقرأ على النحو التالي: "لوغاريتم خمسة وعشرين للأساس خمسة".
كيفية حساب اللوغاريتم؟
لحساب اللوغاريتم، عليك الإجابة على السؤال: إلى أي قوة يجب رفع القاعدة للحصول على الوسيطة؟
على سبيل المثال، احسب اللوغاريتم: أ) \(\log_(4)(16)\) ب) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) ج) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) ه) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
أ) إلى أي أس يجب رفع \(4\) للحصول على \(16\)؟ ومن الواضح أن الثاني. لهذا السبب:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
ج) إلى أي قوة يجب رفع \(\sqrt(5)\) للحصول على \(1\)؟ ما هي القوة التي تجعل أي رقم واحد؟ صفر بالطبع!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
د) إلى أي قوة يجب رفع \(\sqrt(7)\) للحصول على \(\sqrt(7)\)؟ أولًا، أي عدد أس الأول يساوي نفسه.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) إلى أي قوة يجب رفع \(3\) للحصول على \(\sqrt(3)\)؟ من نعرف ما هو قوة كسرية، وهذا يعني الجذر التربيعيهي قوة \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
مثال : حساب اللوغاريتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
حل :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة اللوغاريتم، لنشير إليها بـ x. الآن دعونا نستخدم تعريف اللوغاريتم: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
ما الذي يربط \(4\sqrt(2)\) و\(8\)؟ اثنان، لأن كلا الرقمين يمكن تمثيلهما برقمين: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
على اليسار نستخدم خصائص الدرجة: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) و \((a^(m))^(n)= أ^(م\كدوت ن)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
القواعد متساوية، ننتقل إلى المساواة في المؤشرات |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
اضرب طرفي المعادلة في \(\frac(2)(5)\) |
|
|
الجذر الناتج هو قيمة اللوغاريتم |
إجابة : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
لماذا تم اختراع اللوغاريتم؟
لفهم ذلك، دعونا نحل المعادلة: \(3^(x)=9\). ما عليك سوى مطابقة \(x\) حتى تنجح المعادلة. بالطبع \(x=2\).
الآن قم بحل المعادلة: \(3^(x)=8\).لماذا يساوي س؟ هذا هو بيت القصيد.
سيقول الأذكى: "X أقل بقليل من اثنين". كيف بالضبط لكتابة هذا الرقم؟ للإجابة على هذا السؤال، تم اختراع اللوغاريتم. وبفضله يمكن كتابة الإجابة هنا بالشكل \(x=\log_(3)(8)\).
أريد التأكيد على أن \(\log_(3)(8)\)، مثل أي لوغاريتم هو مجرد رقم. نعم، يبدو غير عادي، لكنه قصير. لأننا إذا أردنا كتابتها بالشكل عدد عشري، فسيبدو هكذا: \(1.892789260714.....\)
مثال : حل المعادلة \(4^(5x-4)=10\)
حل :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
لا يمكن إحضار \(4^(5x-4)\) و \(10\) إلى نفس القاعدة. هذا يعني أنه لا يمكنك الاستغناء عن اللوغاريتم. دعونا نستخدم تعريف اللوغاريتم: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
دعونا نقلب المعادلة بحيث تكون X على اليسار |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
قبلنا. لننتقل \(4\) إلى اليمين. ولا تخف من اللوغاريتم، تعامل معه كرقم عادي. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
قسمة المعادلة على 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
هذا هو جذرنا. نعم، يبدو الأمر غير عادي، لكنهم لم يختاروا الإجابة. |
إجابة : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
اللوغاريتمات العشرية والطبيعية
كما هو مذكور في تعريف اللوغاريتم، يمكن أن تكون قاعدته موجودة رقم موجب، عدد إيجابي، باستثناء الوحدة \((a>0, a\neq1)\). ومن بين جميع القواعد المحتملة، هناك أساسان يتكرران كثيرًا لدرجة أنه تم اختراع تدوين قصير خاص للوغاريتمات الخاصة بهما:
اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم قاعدته رقم أويلر \(\e\) (يساوي \(2.7182818…\)) تقريباً، ويكتب اللوغاريتم بالشكل \(\ln(a)\).
إنه، \(\ln(a)\) هو نفس \(\log_(e)(a)\)
اللوغاريتم العشري: يتم كتابة اللوغاريتم الذي أساسه 10 \(\lg(a)\).
إنه، \(\lg(a)\) هو نفسه \(\log_(10)(a)\)، حيث \(a\) هو رقم ما.
الهوية اللوغاريتمية الأساسية
اللوغاريتمات لها العديد من الخصائص. إحداها تسمى "الهوية اللوغاريتمية الأساسية" وتبدو كما يلي:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
هذه الخاصية تتبع مباشرة من التعريف. دعونا نرى بالضبط كيف جاءت هذه الصيغة.
دعونا نتذكر ملاحظة قصيرة لتعريف اللوغاريتم:
إذا \(a^(b)=c\)، ثم \(\log_(a)(c)=b\)
أي أن \(b\) هو نفس \(\log_(a)(c)\). بعد ذلك يمكننا كتابة \(\log_(a)(c)\) بدلاً من \(b\) في الصيغة \(a^(b)=c\). اتضح \(a^(\log_(a)(c))=c\) - الهوية اللوغاريتمية الرئيسية.
يمكنك العثور على خصائص أخرى للوغاريتمات. بمساعدتهم، يمكنك تبسيط وحساب قيم التعبيرات باللوغاريتمات، والتي يصعب حسابها مباشرة.
مثال : أوجد قيمة التعبير \(36^(\log_(6)(5))\)
حل :
إجابة : \(25\)
كيفية كتابة رقم على شكل لوغاريتم؟
كما ذكر أعلاه، أي لوغاريتم هو مجرد رقم. والعكس صحيح أيضًا: يمكن كتابة أي رقم على شكل لوغاريتم. على سبيل المثال، نحن نعلم أن \(\log_(2)(4)\) يساوي اثنين. ثم بدلاً من اثنين يمكنك كتابة \(\log_(2)(4)\).
لكن \(\log_(3)(9)\) يساوي أيضًا \(2\)، مما يعني أنه يمكننا أيضًا كتابة \(2=\log_(3)(9)\) . وبالمثل مع \(\log_(5)(25)\)، ومع \(\log_(9)(81)\)، وما إلى ذلك. وهذا هو، اتضح
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ سجل_(7)(49)...\)
ومن ثم، إذا أردنا، يمكننا كتابة اثنين في صورة لوغاريتم مع أي أساس في أي مكان (سواء كان ذلك في معادلة، أو في تعبير، أو في متباينة) - فنحن ببساطة نكتب الأساس تربيعًا كوسيطة.
الأمر نفسه ينطبق على الثلاثي - يمكن كتابته كـ \(\log_(2)(8)\)، أو كـ \(\log_(3)(27)\)، أو كـ \(\log_(4)( 64) \)... هنا نكتب القاعدة في المكعب كوسيطة:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ سجل_(7)(343)...\)
ومع أربعة:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ سجل_(7)(2401)...\)
ومع ناقص واحد:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
ومع الثلث:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
يمكن تمثيل أي رقم \(a\) على هيئة لوغاريتم ذو الأساس \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
مثال : ابحث عن معنى التعبير \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
حل :
إجابة : \(1\)
لوغاريتم الرقم ن مرتكز على أ يسمى الأس X ، الذي تحتاج إلى البناء عليه أ للحصول على الرقم ن
بشرط 
,
,
من تعريف اللوغاريتم يتبع ذلك 
، أي.
- هذه المساواة أساسية الهوية اللوغاريتمية.
اللوغاريتمات للأساس 10 تسمى اللوغاريتمات العشرية. بدلاً من 
يكتب 
.
اللوغاريتمات للقاعدة ه
تسمى طبيعية ويتم تعيينها 
.
الخصائص الأساسية للوغاريتمات.
لوغاريتم الواحد يساوي صفرًا لأي قاعدة.
لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.
3) لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات
عامل 
يسمى معامل الانتقال من اللوغاريتمات إلى القاعدة أ
إلى اللوغاريتمات في القاعدة ب
.
باستخدام الخصائص 2-5، غالبًا ما يكون من الممكن تقليل لوغاريتم التعبير المعقد إلى نتيجة عمليات حسابية بسيطة على اللوغاريتمات.
على سبيل المثال، 
تسمى هذه التحولات للوغاريتم باللوغاريتمات. تسمى التحولات العكسية للوغاريتمات بالتقوية.
الفصل 2. عناصر الرياضيات العليا.
1. الحدود
حد الوظيفة 
هو عدد محدود A إذا، كما سx
0
لكل محددة سلفا 
، هناك مثل هذا العدد 
أنه بمجرد 
، الذي - التي 
.
الدالة التي لها حد تختلف عنها بمقدار متناهي الصغر: 
، حيث- b.m.v.، أي. 
.
مثال. النظر في الوظيفة 
.
عند السعي 
، وظيفة ذ
يميل إلى الصفر: 
1.1. النظريات الأساسية حول الحدود.
حد قيمة ثابتةيساوي هذه القيمة الثابتة
.
حد المبلغ (الفرق). عدد محدودالدوال تساوي مجموع (الفرق) حدود هذه الدوال.
نهاية منتج عدد محدود من الوظائف يساوي منتج حدود هذه الوظائف.
نهاية خارج قسمة دالتين يساوي خارج قسمة حدود هاتين الدالتين إذا كانت نهاية المقام ليست صفرًا.
حدود رائعة
,
، أين 
1.2. أمثلة على حساب الحد
ومع ذلك، لا يتم حساب جميع الحدود بهذه السهولة. في كثير من الأحيان، يؤدي حساب الحد إلى الكشف عن عدم اليقين من النوع: 
أو .
.
2. مشتق من وظيفة
دعونا يكون لدينا وظيفة 
، مستمر على الجزء 
.
دعوى 
حصلت على بعض الزيادة 
. ثم ستتلقى الوظيفة زيادة 
.
قيمة الحجة 
يتوافق مع قيمة الوظيفة 
.
قيمة الحجة 
يتوافق مع قيمة الوظيفة.
لذلك، .
دعونا نجد الحد الأقصى لهذه النسبة عند 
. إذا كانت هذه النهاية موجودة، فإنها تسمى مشتقة الدالة المعطاة.
التعريف 3 مشتق من دالة معينة 
بالحجة 
يُسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، عندما تميل زيادة الوسيطة بشكل تعسفي إلى الصفر.
مشتق من وظيفة 
يمكن تعيينها على النحو التالي:
;
;
;
.
التعريف 4 تسمى عملية إيجاد مشتقة دالة التفاضل.
2.1. المعنى الميكانيكي للمشتقات.
دعونا ننظر في الحركة المستقيمة لبعض الجسم الصلب أو نقطة مادية.
اسمحوا في وقت ما 
نقطة متحركة 
كان على مسافة 
من وضع البداية 
.
بعد فترة من الزمن 
لقد تحركت مسافة 
. سلوك 
=
- متوسط السرعةنقطة مادية 
. دعونا نوجد نهاية هذه النسبة، مع الأخذ في الاعتبار ذلك 
.
ولذلك التعريف سرعة لحظيةتتلخص حركة نقطة مادية في إيجاد مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن.
2.2. معنى هندسيالمشتق
دعونا نحصل على وظيفة محددة بيانيا 
.
أرز. 1. المعنى الهندسي للمشتق
لو 
، ثم أشر 
، سوف يتحرك على طول المنحنى، ويقترب من النقطة 
.
لذلك 
، أي. قيمة المشتقة لقيمة معينة من الوسيطة 
يساوي عددياً ظل الزاوية التي يشكلها المماس عند نقطة معينة مع الاتجاه الموجب للمحور 
.
2.3. جدول صيغ التمايز الأساسية.
وظيفة الطاقة
|
|
|
|
|
|
|
الدالة الأسية
|
|
|
|
|
دالة لوغاريتمية
|
|
|
|
|
دالة مثلثية
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
دالة مثلثية معكوسة
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. قواعد التمايز.
مشتق من 
مشتق من مجموع (الفرق) من الوظائف
مشتق من منتج وظيفتين
مشتق من حاصل وظيفتين
2.5. مشتق من وظيفة معقدة.
دع الوظيفة تعطى 
بحيث يمكن تمثيله في النموذج
و 
، حيث المتغير 
هي حجة وسيطة، ثم 
مشتق دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتق الدالة المعطاة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومشتق الوسيطة الوسيطة بالنسبة إلى x.
مثال 1. 
مثال 2. 
3. الوظيفة التفاضلية.
فليكن هناك 
، قابلة للتمييز في بعض الفواصل الزمنية 
دعها تذهب في
هذه الوظيفة لها مشتق
,
ثم يمكننا أن نكتب
(1),
أين 
- كمية متناهية الصغر،
منذ متى 
ضرب جميع شروط المساواة (1) ب 
لدينا:
أين 
- ب.م.ف. أعلى ترتيب.
ضخامة 
يسمى تفاضل الدالة 
ويتم تعيينه 
.
3.1. القيمة الهندسية للفرق.
دع الوظيفة تعطى 
.
الصورة 2. المعنى الهندسي للتفاضلية.
.
ومن الواضح أن التفاضلية وظيفة 
يساوي زيادة إحداثي المماس عند نقطة معينة.
3.2. المشتقات والتفاضلات لمختلف الطلبات.
إن كان هناك 
، ثم 
ويسمى المشتق الأول.
مشتق المشتق الأول يسمى مشتق الدرجة الثانية ويتم كتابته 
.
مشتق من الترتيب n للوظيفة 
يُسمى مشتق الرتبة (n-1) ويُكتب:
.
يُطلق على تفاضل الدالة اسم التفاضل الثاني أو تفاضل الدرجة الثانية.
.
.
3.3 حل المشكلات البيولوجية باستخدام التمايز.
مهمة 1. وقد أظهرت الدراسات أن نمو مستعمرة من الكائنات الحية الدقيقة يطيع القانون 
، أين ن
- عدد الكائنات الحية الدقيقة (بالآلاف)، ر
- الوقت (أيام).
ب) هل سيزداد عدد سكان المستعمرة أم سينخفض خلال هذه الفترة؟
إجابة. حجم المستعمرة سوف يزيد.
المهمة 2. يتم اختبار المياه في البحيرة بشكل دوري لمراقبة محتوى البكتيريا المسببة للأمراض. خلال ر بعد أيام من الاختبار، يتم تحديد تركيز البكتيريا بنسبة
.
متى سيكون لدى البحيرة الحد الأدنى من تركيز البكتيريا وهل سيكون من الممكن السباحة فيها؟
الحل: تصل الدالة إلى الحد الأقصى أو الأدنى عندما تكون مشتقتها صفرًا.
,
دعونا نحدد الحد الأقصى أو الأدنى خلال 6 أيام. للقيام بذلك، دعونا نأخذ المشتقة الثانية.
الإجابة: بعد 6 أيام سيكون هناك حد أدنى من تركيز البكتيريا.
(من اليونانية ἀριθμός - "كلمة"، "علاقة" و ἀριθμός - "رقم") الأرقام بمرتكز على أ(سجل α ب) يسمى هذا الرقم ج، و ب= ج، أي سجل السجلات α ب=جو ب=أجمتكافئة. يكون اللوغاريتم منطقيًا إذا كان a > 0، a ≠ 1، b > 0.
بعبارة أخرى اللوغاريتمأعداد بمرتكز على أتمت صياغته كأس يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).
ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب x= log α ب، يعادل حل المعادلة a x =b.
على سبيل المثال:
سجل 2 8 = 3 لأن 8 = 2 3 .
دعونا نؤكد أن صياغة اللوغاريتم المشار إليها تجعل من الممكن تحديدها على الفور قيمة اللوغاريتم، عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بمثابة قوة معينة للقاعدة. في الواقع، صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالموضوع صلاحيات عدد.
يسمى حساب اللوغاريتم اللوغاريتم. اللوغاريتم هو عملية حسابيةأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتمات، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مجموع المصطلحات.
التقويةهي العملية الرياضية العكسية للوغاريتم. أثناء التقوية، يتم رفع قاعدة معينة إلى درجة التعبير التي يتم تنفيذ التقوية عليها. في هذه الحالة، يتم تحويل مجموع المصطلحات إلى منتج العوامل.
اللوغاريتمات الحقيقية ذات القواعد 2 (ثنائية) تستخدم في كثير من الأحيان، e رقم أويلر e ≈ 2.718 ( اللوغاريتم الطبيعي) و 10 (عشري).
على في هذه المرحلةفمن المستحسن أن تأخذ في الاعتبار عينات اللوغاريتمسجل 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
والإدخالات lg(-3)، log -3 3.2، log -1 -4.3 لا معنى لها، لأنه في الأول منها يتم وضع رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم، في الثانية - رقم سلبيفي القاعدة، وفي الثالث - رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم ووحدة في القاعدة.
شروط تحديد اللوغاريتم.
يجدر النظر بشكل منفصل في الشروط a > 0، a ≠ 1، b > 0. والتي نحصل بموجبها على تعريف اللوغاريتم.دعونا نفكر في سبب اتخاذ هذه القيود. إن المساواة في النموذج x = log α ستساعدنا في ذلك ب، تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية، والتي تنبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم المذكور أعلاه.
لنأخذ الشرط أ≠1. بما أن واحد إلى أي قوة يساوي واحدًا، فإن المساواة x=log α بلا يمكن أن توجد إلا عندما ب = 1، لكن السجل 1 1 سيكون أي رقم حقيقي. للقضاء على هذا الغموض، نأخذ أ≠1.
دعونا نثبت ضرورة الشرط أ>0. في أ = 0وفقا لصياغة اللوغاريتم يمكن أن توجد إلا عندما ب=0. وبناء على ذلك الحين سجل 0 0يمكن أن يكون أي عدد حقيقي غير الصفر، حيث أن صفر مرفوعًا لأي قوة غير الصفر يساوي صفرًا. يمكن القضاء على هذا الغموض عن طريق الشرط أ≠0. وعندما أ<0 سيتعين علينا رفض تحليل القيم العقلانية وغير العقلانية للوغاريتم، حيث يتم تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني وغير العقلاني فقط للقواعد غير السلبية. ولهذا السبب تم اشتراط الشرط أ>0.
و الشرط الأخير ب>0ينبع من عدم المساواة أ>0، بما أن x=log α بوقيمة الدرجة ذات القاعدة الموجبة أدائما إيجابية.
ميزات اللوغاريتمات.
اللوغاريتماتتتميز بالمميزة سماتمما أدى إلى استخدامها على نطاق واسع لتسهيل العمليات الحسابية المضنية بشكل كبير. عند الانتقال "إلى عالم اللوغاريتمات"، يتحول الضرب إلى أكثر من ذلك بكثير سهلة الطي، القسمة هي الطرح، ويتم تحويل الأس واستخراج الجذر، على التوالي، إلى الضرب والقسمة بواسطة الأس.
صياغة اللوغاريتمات وجدول قيمها (ل الدوال المثلثية) تم نشرها لأول مرة في عام 1614 من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير. تم استخدام الجداول اللوغاريتمية، التي تم توسيعها وتفصيلها من قبل علماء آخرين، على نطاق واسع في الحسابات العلمية والهندسية، وظلت ذات صلة حتى استخدام الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر.