ما هي الكمية المتجهة وأيها العددية؟ مجرد شيء معقد. الكميات المتجهة والعددية

عادةً ما يُفهم المتجه على أنه كمية لها خاصيتان رئيسيتان:

وحدة؛
اتجاه.

وبالتالي، يعتبر المتجهان متساويين إذا تطابقت الوحدات وكذلك اتجاهات كليهما. غالبًا ما تتم كتابة القيمة المعنية كحرف مع رسم سهم فوقه.

من بين الكميات الأكثر شيوعًا من النوع المقابل هي السرعة والقوة وأيضًا، على سبيل المثال، التسارع.

من وجهة نظر هندسية، يمكن أن يكون المتجه قطعة موجهة، ويرتبط طولها بوحدتها.

إذا نظرنا إلى كمية متجهة بشكل منفصل عن اتجاهها، فيمكن قياسها من حيث المبدأ. صحيح أن هذه ستكون، بطريقة أو بأخرى، خاصية جزئية للكمية المقابلة. كامل - لا يتحقق إلا إذا تم استكماله بمعلمات مقطع الاتجاه.

ما هي الكمية العددية؟

نعني بالعددية عادةً الكمية التي لها خاصية واحدة فقط، وهي القيمة العددية. في هذه الحالة، يمكن أن تأخذ القيمة قيد النظر قيمة إيجابية أو سلبية.

تشمل الكميات العددية الشائعة الكتلة والتردد والجهد ودرجة الحرارة. معهم من الممكن إجراء عمليات رياضية مختلفة - الجمع والطرح والضرب والقسمة.

الاتجاه (كخاصية) ليس نموذجيًا للكميات العددية.

مقارنة

الفرق الرئيسي بين الكمية المتجهة والكمية العددية هو أن الأولى لها خصائص رئيسية - الحجم والاتجاه، في حين أن الثانية لها قيمة عددية. تجدر الإشارة إلى أن الكمية المتجهة، مثل الكمية العددية، يمكن قياسها من حيث المبدأ، ومع ذلك، في هذه الحالة سيتم تحديد خصائصها جزئيًا فقط، حيث سيكون هناك نقص في الاتجاه.

وبعد تحديد الفرق بين المتجه والكمية القياسية، سنعرض النتائج في جدول صغير.

الكلمتان اللتان تخيفان تلاميذ المدارس - المتجه والعددي - ليستا مخيفتين في الواقع. إذا تناولت الموضوع باهتمام، فيمكن فهم كل شيء. في هذه المقالة سننظر في الكمية المتجهة وأيها العددية. بتعبير أدق، سنقدم أمثلة. ربما لاحظ كل طالب أن بعض الكميات في الفيزياء لا يُشار إليها برمز فحسب، بل أيضًا بسهم في الأعلى. ماذا يقصدون؟ سيتم مناقشة هذا أدناه. دعونا نحاول معرفة كيف يختلف عن العددية.

أمثلة على المتجهات. كيف يتم تعيينهم؟

ما المقصود بالمتجه؟ ما يميز الحركة. لا يهم سواء في الفضاء أو على متن الطائرة. ما هي الكمية التي تعتبر كمية متجهة بشكل عام؟ على سبيل المثال، طائرة تطير بسرعة معينة على ارتفاع معين، ولها كتلة محددة، وبدأت تتحرك من المطار بالتسارع المطلوب. ما هي حركة الطائرة؟ ما الذي جعله يطير؟ بالطبع، التسارع والسرعة. تعتبر الكميات المتجهة من مقرر الفيزياء أمثلة واضحة. وبعبارة صريحة، ترتبط الكمية المتجهة بالحركة والإزاحة.

ويتحرك الماء أيضًا بسرعة معينة من ارتفاع الجبل. هل ترى؟ لا تتم الحركة بالحجم أو الكتلة، بل بالسرعة. يسمح لاعب التنس للكرة بالتحرك بمساعدة المضرب. إنه يحدد التسارع. وبالمناسبة، فإن القوة المطبقة في هذه الحالة هي أيضًا كمية متجهة. لأنه يتم الحصول عليه نتيجة لسرعات وتسارعات معينة. يمكن للسلطة أيضًا أن تتغير وتنفذ إجراءات محددة. ويمكن أيضًا اعتبار الريح التي تحرك أوراق الأشجار مثالاً على ذلك. لأن هناك سرعة.

الكميات الموجبة والسالبة

الكمية المتجهة هي الكمية التي لها اتجاه في الفضاء المحيط وحجمها. ظهرت الكلمة المخيفة مرة أخرى، هذه المرة الوحدة. تخيل أنك بحاجة إلى حل مشكلة حيث سيتم تسجيل قيمة تسارع سلبية. في الطبيعة، يبدو أن المعاني السلبية غير موجودة. كيف يمكن أن تكون السرعة سلبية؟

المتجه لديه مثل هذا المفهوم. وينطبق هذا، على سبيل المثال، على القوى المطبقة على الجسم، ولكن لها اتجاهات مختلفة. تذكر الثالثة حيث الفعل يساوي رد الفعل. الرجال يلعبون لعبة شد الحبل. يرتدي أحد الفريقين قمصانًا زرقاء، بينما يرتدي الفريق الآخر قمصانًا صفراء. هذا الأخير تبين أنه أقوى. لنفترض أن متجه قوتهم موجه بشكل إيجابي. في الوقت نفسه، لا يستطيع الأوائل سحب الحبل، لكنهم يحاولون. تنشأ قوة معارضة.

كمية متجهة أم عددية؟

دعونا نتحدث عن كيفية اختلاف الكمية المتجهة عن الكمية القياسية. ما المعلمة التي ليس لها اتجاه، ولكن لها معناها الخاص؟ دعونا ندرج بعض الكميات العددية أدناه:

هل كل منهم لديه اتجاه؟ لا. لا يمكن إظهار الكمية المتجهة والكمية العددية إلا من خلال الأمثلة المرئية. في الفيزياء، توجد مثل هذه المفاهيم ليس فقط في قسم "الميكانيكا والديناميكيات والحركيات"، ولكن أيضًا في فقرة "الكهرباء والمغناطيسية". قوة لورنتز هي أيضًا كمية متجهة.

المتجهات والعددية في الصيغ

غالبًا ما تحتوي كتب الفيزياء المدرسية على صيغ تحتوي على سهم في الأعلى. تذكر قانون نيوتن الثاني. القوة ("F" مع سهم في الأعلى) تساوي منتج الكتلة ("m") والتسارع ("a" مع سهم في الأعلى). كما ذكرنا سابقًا، القوة والتسارع هي كميات متجهة، لكن الكتلة عددية.

لسوء الحظ، ليس كل المنشورات لديها تعيين هذه الكميات. ربما تم ذلك لتبسيط الأمور حتى لا يتم تضليل أطفال المدارس. من الأفضل شراء تلك الكتب والكتب المرجعية التي تشير إلى المتجهات في الصيغ.

سيوضح الرسم التوضيحي الكمية التي تعتبر متجهة. يوصى بالانتباه إلى الصور والرسوم البيانية في دروس الفيزياء. الكميات المتجهة لها اتجاه. إلى أين يتم توجيهه بالطبع إلى الأسفل؟ وهذا يعني أنه سيتم عرض السهم في نفس الاتجاه.

تتم دراسة الفيزياء بعمق في الجامعات التقنية. في العديد من التخصصات، يتحدث المعلمون عن الكميات العددية والمتجهة. هذه المعرفة مطلوبة في المجالات التالية: البناء والنقل والعلوم الطبيعية.

في الفيزياء، هناك عدة فئات من الكميات: الكمية الكمية والكمية الكمية.

ما هي كمية المتجهات؟

تتميز الكمية المتجهة بخاصيتين رئيسيتين: الاتجاه والوحدة النمطية. سيكون المتجهان متماثلين إذا كانت قيمتهما المطلقة واتجاههما متساويين. للإشارة إلى كمية متجهة، غالبًا ما يتم استخدام الحروف التي بها سهم فوقها. مثال على الكمية المتجهة هو القوة أو السرعة أو التسارع.

من أجل فهم جوهر الكمية المتجهة، ينبغي للمرء أن ينظر إليها من وجهة نظر هندسية. المتجه هو قطعة مستقيمة لها اتجاه. ويرتبط طول هذا الجزء بقيمة معامله. أحد الأمثلة الفيزيائية للكمية المتجهة هو إزاحة نقطة مادية تتحرك في الفضاء. سيتم أيضًا عرض المعلمات مثل تسارع هذه النقطة والسرعة والقوى المؤثرة عليها والمجال الكهرومغناطيسي ككميات متجهة.

إذا أخذنا في الاعتبار كمية متجهة بغض النظر عن الاتجاه، فيمكن قياس هذه القطعة. لكن النتيجة الناتجة سوف تعكس فقط الخصائص الجزئية للكمية. ولقياسها بشكل كامل، ينبغي استكمال القيمة بمعلمات أخرى لمقطع الاتجاه.

في الجبر المتجه هناك مفهوم ناقل صفر. هذا المفهوم يعني نقطة. أما بالنسبة لاتجاه المتجه الصفري فهو غير مؤكد. للدلالة على المتجه الصفري، يتم استخدام الصفر الحسابي المكتوب بالخط العريض.

إذا قمنا بتحليل كل ما سبق، يمكننا أن نستنتج أن جميع القطاعات الموجهة تحدد المتجهات. سيحدد الجزءان متجهًا واحدًا فقط إذا كانا متساويين. عند مقارنة المتجهات، تنطبق نفس القاعدة عند مقارنة الكميات العددية. المساواة تعني الاتفاق الكامل في جميع النواحي.

ما هي الكمية العددية؟

على عكس المتجه، فإن الكمية العددية لها معلمة واحدة فقط - هذا قيمتها العددية. تجدر الإشارة إلى أن القيمة التي تم تحليلها يمكن أن يكون لها قيمة عددية موجبة أو قيمة سلبية.

وتشمل الأمثلة الكتلة أو الجهد أو التردد أو درجة الحرارة. مع هذه الكميات يمكنك إجراء عمليات حسابية مختلفة: الجمع والقسمة والطرح والضرب. بالنسبة للكمية العددية، فإن خاصية مثل الاتجاه ليست نموذجية.

يتم قياس الكمية العددية بقيمة عددية، بحيث يمكن عرضها على محور الإحداثيات. على سبيل المثال، في كثير من الأحيان يتم إنشاء محور المسافة المقطوعة أو درجة الحرارة أو الوقت.

الاختلافات الرئيسية بين الكميات العددية والمتجهة

من الأوصاف الواردة أعلاه، من الواضح أن الفرق الرئيسي بين الكميات المتجهة والكميات العددية هو صفات. الكمية المتجهة لها اتجاه وحجم، في حين أن الكمية العددية لها قيمة عددية فقط. وبطبيعة الحال، يمكن قياس كمية متجهة، مثل الكمية العددية، ولكن هذه الخاصية لن تكون كاملة، لأنه لا يوجد اتجاه.

من أجل تصور الفرق بين الكمية العددية والكمية المتجهة بشكل أكثر وضوحا، ينبغي إعطاء مثال. للقيام بذلك، دعونا نأخذ مجال المعرفة مثل علم المناخ. إذا قلنا أن الرياح تهب بسرعة 8 أمتار في الثانية، فسيتم إدخال كمية قياسية. لكن إذا قلنا أن الرياح الشمالية تهب بسرعة 8 أمتار في الثانية، فإننا نتحدث عن قيمة متجهة.

تلعب المتجهات دورًا كبيرًا في الرياضيات الحديثة، وكذلك في العديد من مجالات الميكانيكا والفيزياء. يمكن تمثيل معظم الكميات الفيزيائية كمتجهات. وهذا يسمح لنا بتعميم وتبسيط الصيغ والنتائج المستخدمة بشكل كبير. في كثير من الأحيان يتم تحديد قيم المتجهات والمتجهات مع بعضها البعض. على سبيل المثال، في الفيزياء قد تسمع أن السرعة أو القوة هي متجه.

المتجه- مفهوم رياضي بحت يستخدم فقط في الفيزياء أو العلوم التطبيقية الأخرى والذي يسمح بتبسيط حل بعض المشكلات المعقدة.
المتجه- قطعة مستقيمة موجهة.
في دورة الفيزياء الأولية، يجب على المرء أن يتعامل مع فئتين من الكميات - العددية و المتجه .
العدديةالكميات (العددية) هي الكميات التي تتميز بقيمة وعلامة عددية. العددية هي الطول - ل، الكتلة - م، المسار - سالوقت - ر، درجة الحرارة - ت، شحنة كهربائية - سالطاقة - دبليو، الإحداثيات، الخ
تنطبق جميع العمليات الجبرية (الجمع والطرح والضرب وما إلى ذلك) على الكميات العددية.

مثال 1.
حدد الشحنة الإجمالية للنظام، المكون من الشحنات المتضمنة فيه، إذا كانت q 1 = 2 nC، q 2 = −7 nC، q 3 = 3 nC.
شحن النظام بالكامل
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

مثال 2.
للحصول على معادلة تربيعية من النموذج
الفأس 2 + ب س + ج = 0؛
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

المتجهالكميات (المتجهات) هي كميات، لتحديد ما هو ضروري للإشارة إلى الاتجاه، بالإضافة إلى القيمة العددية. المتجهات – السرعة الخامس، قوة F، دفعة ص، شدة المجال الكهربائي ه، الحث المغناطيسي بوإلخ.
يُشار إلى القيمة العددية للمتجه (المعامل) بحرف بدون رمز المتجه أو يكون المتجه محاطًا بين أشرطة عمودية ص = |ص|.
بيانياً، يتم تمثيل المتجه بواسطة سهم (الشكل 1)،

طوله على مقياس معين يساوي حجمه، ويتزامن اتجاهه مع اتجاه المتجه.
يكون المتجهان متساويين إذا تطابقت مقاديرهما واتجاهاتهما.
تضاف الكميات المتجهة هندسيا (وفقا لقاعدة الجبر المتجه).
يُطلق على العثور على مجموع متجه من ناقلات مكونة معينة اسم إضافة المتجهات.
تتم إضافة متجهين وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع أو المثلث. ناقل المجموع
ج = أ + ب
يساوي قطر متوازي الأضلاع المبني على المتجهات أو ب. وحدة ذلك
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (الشكل 2).

عند α = 90°، c = √(a 2 + b 2 ) هي نظرية فيثاغورس.

يمكن الحصول على نفس المتجه c باستخدام قاعدة المثلث إذا كان من نهاية المتجه أجانبا ناقلات ب. المتجه الزائد c (يربط بداية المتجه أونهاية المتجه ب) هو مجموع المتجهات للمصطلحات (ناقلات المكونات أو ب).
تم العثور على المتجه الناتج كخط خلفي للخط المتقطع الذي تكون روابطه هي المتجهات المكونة (الشكل 3).

مثال 3.
أضف قوتين F 1 = 3 N و F 2 = 4 N، متجهتان ف 1و ف 2اجعل الزوايا α 1 = 10° و α 2 = 40° مع الأفق، على التوالي
ف = ف 1 + ف 2(الشكل 4).

ونتيجة جمع هاتين القوتين هي قوة تسمى المحصلة. المتجه Fموجهة على طول قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهات ف 1و ف 2، كلا الجانبين، ويساوي في معامل طوله.
وحدة المتجهات Fتجد من خلال نظرية جيب التمام
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1))),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6.8 H.
لو
(α 2 − α 1) = 90°, ثم F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

الزاوية التي هي متجهة Fيساوي محور الثور، نجده باستخدام الصيغة
α = القطب الشمالي ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2))),
α = القطب الشمالي ((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = القطب الشمالي0.51، α ≈ 0.47 راد.

إن إسقاط المتجه a على محور الثور (Oy) هو كمية عددية تعتمد على الزاوية α بين اتجاه المتجه أومحور الثور (أوي). (الشكل 5)

توقعات المتجهات أعلى محوري الثور وأوي في نظام الإحداثيات المستطيل. (الشكل 6)

لتجنب الأخطاء عند تحديد علامة إسقاط المتجه على المحور، من المفيد أن تتذكر القاعدة التالية: إذا كان اتجاه المكون يتزامن مع اتجاه المحور، فإن إسقاط المتجه على هذا المحور يكون المحور موجبًا، لكن إذا كان اتجاه المركبة معاكسًا لاتجاه المحور، فإن إسقاط المتجه يكون سالبًا. (الشكل 7)

طرح المتجهات هو عملية جمع يتم فيها إضافة متجه إلى المتجه الأول، يساوي عدديًا المتجه الثاني، في الاتجاه المعاكس
أ − ب = أ + (−ب) = د(الشكل 8).

فليكن ضروريا من المتجه أطرح ناقلات ب، اختلافهم - د. للعثور على الفرق بين متجهين، عليك الذهاب إلى المتجه أإضافة ناقل ( -ب)، أي ناقل د = أ - بسيكون متجهًا موجهًا من بداية المتجه أإلى نهاية المتجه ( -ب) (الشكل 9).

في متوازي الأضلاع مبني على المتجهات أو بكلا الجانبين، قطري واحد جله معنى المبلغ، والآخر د- اختلافات المتجهات أو ب(الشكل 9).
نتاج ناقلات أبواسطة العددية ك يساوي المتجه ب= ك أ، معامله أكبر بـ k مرات من معامل المتجه أ، والاتجاه يتوافق مع الاتجاه أللإيجابية k والعكس للسالب k.

مثال 4.
أوجد كمية حركة جسم كتلته 2 كجم ويتحرك بسرعة 5 م/ث. (الشكل 10)

دفعة الجسم ص= م الخامس; ع = 2 كجم.م/ث = 10 كجم.م/ث وموجهة نحو السرعة الخامس.

مثال 5.
يتم وضع شحنة q = −7.5 nC في مجال كهربائي بقوة E = 400 V/m. أوجد مقدار واتجاه القوة المؤثرة على الشحنة.

القوة هي F= س ه. وبما أن الشحنة سالبة، فإن متجه القوة يتم توجيهه في الاتجاه المعاكس للمتجه ه. (الشكل 11)

قسمالمتجه أبواسطة العددية k يعادل الضرب أبمقدار 1/ك.
المنتج نقطةثلاثة أبعاد أو بيُسمى العدد "c"، ويساوي حاصل ضرب معاملات هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما
(أ.ب) = (ب.أ) = ج،
с = ab.cosα (الشكل 12)

مثال 6.
أوجد الشغل الذي تبذله قوة ثابتة F = 20 N، إذا كانت الإزاحة S = 7.5 m، وكانت الزاوية α المحصورة بين القوة والإزاحة α = 120°.

الشغل الذي تبذله القوة يساوي، حسب التعريف، المنتج القياسي للقوة والإزاحة
A = (FS) = FCosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

ناقلات العمل الفنيثلاثة أبعاد أو بيسمى ناقل ج، يساوي عدديًا حاصل ضرب القيم المطلقة للمتجهين a و b مضروبًا في جيب الزاوية بينهما:
ج = أ × ب =،
ص = أب × الخطيئةα.
المتجه جعمودي على المستوى الذي تقع فيه المتجهات أو ب، ويرتبط اتجاهه باتجاه المتجهات أو بقاعدة المسمار اليمنى (الشكل 13).

مثال 7.
حدد القوة المؤثرة على موصل طوله 0.2 متر، موضوع في مجال مغناطيسي، تحريضه 5 T، إذا كانت شدة التيار في الموصل 10 A ويشكل زاوية α = 30° مع اتجاه المجال .

قوة أمبير
dF = I = Idl × B أو F = I(l)∫(dl × B)،
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 م × 1/2 = 5 N.

فكر في حل المشكلات.
1. كيف يتم توجيه ناقلين تكون معاملاتهما متطابقة وتساوي أ، إذا كان معامل مجموعهما يساوي: أ) 0؛ ب) 2 أ؛ ج) أ؛ د) أ√(2); ه) أ√(3)؟

حل.
أ) يتم توجيه متجهين على طول خط مستقيم واحد في اتجاهين متعاكسين. مجموع هذه المتجهات هو صفر.

ب) يتم توجيه متجهين على طول خط مستقيم واحد في نفس الاتجاه. مجموع هذه المتجهات هو 2 أ.

ج) يتم توجيه متجهين بزاوية 120 درجة لبعضهما البعض. مجموع المتجهات هو أ. تم العثور على المتجه الناتج باستخدام نظرية جيب التمام:

أ 2 + أ 2 + 2aacosα = أ 2 ,
cosα = −1/2 و α = 120°.
د) يتم توجيه متجهين بزاوية 90 درجة لبعضهما البعض. معامل المجموع يساوي
أ 2 + أ 2 + 2aacosα = 2أ 2 ,
cosα = 0 و α = 90°.

هـ) يتم توجيه متجهين بزاوية 60 درجة لبعضهما البعض. معامل المجموع يساوي
أ 2 + أ 2 + 2aacosα = 3أ 2 ,
cosα = 1/2 و α = 60°.
إجابة: الزاوية α بين المتجهات تساوي: أ) 180 درجة؛ ب) 0؛ ج) 120 درجة؛ د) 90 درجة؛ ه) 60 درجة.

2. إذا أ = أ 1 + أ 2اتجاه المتجهات، ماذا يمكن أن يقال عن التوجه المتبادل للمتجهات أ 1و 2إذا: أ) أ = أ 1 + أ 2 ؛ ب) أ 2 = أ 1 2 + أ 2 2 ; ج) أ 1 + أ 2 = أ 1 - أ 2؟

حل.
أ) إذا تم العثور على مجموع المتجهات كمجموع وحدات هذه المتجهات، فإن المتجهات يتم توجيهها على طول خط مستقيم واحد، موازٍ لبعضها البعض أ1 ||أ2.
ب) إذا كانت المتجهات موجهة بزاوية لبعضها البعض، فسيتم العثور على مجموعها باستخدام نظرية جيب التمام لمتوازي الأضلاع
أ 1 2 + أ 2 2 + 2أ 1 أ 2 cosα = أ 2 ,
cosα = 0 و α = 90°.
المتجهات متعامدة مع بعضها البعض أ 1 ⊥ أ 2.
ج) الحالة أ 1 + أ 2 = أ 1 − أ 2يمكن تنفيذها إذا 2− متجه صفر، ثم a 1 + a 2 = a 1 .
الإجابات. أ) أ1 ||أ2; ب) أ 1 ⊥ أ 2; الخامس) 2- ناقل صفر.

3. تم تطبيق قوتين مقدار كل منهما 1.42 N على نقطة واحدة من الجسم بزاوية 60° بالنسبة لبعضهما البعض. ما الزاوية التي يجب أن تؤثر بها قوتان مقدار كل منهما 1.75 نيوتن على نفس النقطة من الجسم بحيث يوازن تأثيرهما عمل القوتين الأوليين؟

حل.
وفقًا لشروط المسألة، توازن قوتان مقدار كل منهما 1.75 N قوتين مقدار كل منهما 1.42 N. يكون هذا ممكنًا إذا كانت وحدات المتجهات الناتجة لأزواج القوى متساوية. نحدد المتجه الناتج باستخدام نظرية جيب التمام لمتوازي الأضلاع. بالنسبة للزوج الأول من القوى:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
للزوج الثاني من القوى، على التوالي
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
مساواة الأطراف اليسرى من المعادلات
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
دعونا نجد الزاوية المطلوبة β بين المتجهات
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
بعد الحسابات،
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90.7°.

الحل الثاني.
دعونا نفكر في إسقاط المتجهات على محور الإحداثيات OX (الشكل).

باستخدام العلاقة بين الجانبين في المثلث القائم، نحصل على
2F 1 كوس(α/2) = 2F 2 كوس(β/2),
أين
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) و β ≈ 90.7°.

4. المتجهات أ = 3ط - 4ي. ما يجب أن تكون الكمية العددية c لـ |c أ| = 7,5?
حل.
ج أ= ج( 3ط - 4ي) = 7,5
وحدة المتجهات أسوف تكون متساوية
أ 2 = 2 3 + 4 2، و = ±5،
ثم من
ج.(±5) = 7.5،
دعونا نجد ذلك
ج = ±1.5.

5. المتجهات أ 1و 2الخروج من الأصل ولها إحداثيات النهاية الديكارتية (6، 0) و (1، 4)، على التوالي. ابحث عن المتجه أ 3بحيث: أ) أ 1 + 2 + أ 3= 0؛ ب) أ 1 − 2 + أ 3 = 0.

حل.
دعونا نصور المتجهات في نظام الإحداثيات الديكارتية (الشكل)

أ) المتجه الناتج على طول محور الثور هو
أ س = 6 + 1 = 7.
المتجه الناتج على طول محور Oy هو
أ ص = 4 + 0 = 4.
لكي يكون مجموع المتجهات مساوياً للصفر، من الضروري استيفاء الشرط
أ 1 + 2 = −أ 3.
المتجه أ 3 modulo سيكون مساويا للناقل الكلي أ 1 + أ 2ولكن موجهة في الاتجاه المعاكس. تنسيق نهاية المتجه أ 3يساوي (−7، −4)، والمعامل
أ 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.

ب) المتجه الناتج على طول محور الثور يساوي
أ س = 6 − 1 = 5,
والمتجه الناتج على طول محور أوي
أ ص = 4 − 0 = 4.
عندما يتم استيفاء الشرط
أ 1 − 2 = −أ 3,
المتجه أ 3سيكون لها إحداثيات نهاية المتجه a x = –5 و a y = −4، ومعامله يساوي
أ 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.

6. سار رسول مسافة 30 م إلى الشمال، و25 م إلى الشرق، و12 م إلى الجنوب، ثم ركب المصعد إلى ارتفاع 36 م في أحد المباني، ما المسافة التي قطعها L والإزاحة S ؟

حل.
دعونا نصور الموقف الموصوف في المشكلة على مستوى بمقياس تعسفي (الشكل).

نهاية المتجه الزراعة العضوية.إحداثياتها 25 م شرقاً، 18 م شمالاً، 36 أعلى (25؛ 18؛ 36). المسافة التي يقطعها الشخص تساوي
ل = 30 م + 25 م + 12 م +36 م = 103 م.
نوجد مقدار متجه الإزاحة باستخدام الصيغة
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
حيث x o = 0، y o = 0، z o = 0.
ق = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (م).
إجابة: L = 103 م، S = 47.4 م.

7. الزاوية α بين متجهين أو بيساوي 60 درجة. تحديد طول المتجه ج = أ + بوالزاوية β بين المتجهات أو ج. مقادير المتجهات هي a = 3.0 و b = 2.0.

حل.
طول المتجه يساوي مجموع المتجهات أو بدعونا نحدد استخدام نظرية جيب التمام لمتوازي الأضلاع (الشكل).

ص = √(أ 2 + ب 2 + 2أبكوسα).
بعد الاستبدال
ج = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
لتحديد الزاوية β، نستخدم نظرية الجيب للمثلث ABC:
ب/الخطيئةβ = أ/الخطيئة(α − β).
وفي نفس الوقت يجب أن تعرف ذلك
الخطيئة (α - β) = الخطيئةαcosβ - cosαsinβ.
بحل معادلة مثلثية بسيطة، نصل إلى التعبير
tgβ = bsinα/(a + bcosα)،
لذلك،
β = القطب الشمالي (bsinα/(أ + bcosα))،
β = القطب الشمالي (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
دعونا نتحقق من استخدام نظرية جيب التمام للمثلث:
أ 2 + ج 2 − 2ac.cosβ = ب 2 ,
أين
cosβ = (أ 2 + ج 2 − ب 2)/(2أ)
و
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
إجابة: ج ≈ 4.4؛ β ≈ 23°.

حل المشاكل.
8. بالنسبة للنواقل أو بالمعرفة في المثال 7، أوجد طول المتجه د = أ - بركن γ بين أو د.

9. ابحث عن إسقاط المتجه أ = 4.0i + 7.0jإلى خط مستقيم يجعل اتجاهه زاوية α = 30° مع محور الثور. المتجه أوالخط المستقيم يقع في المستوى xOy.

10. المتجهات أيصنع زاوية α = 30° مع الخط المستقيم AB، a = 3.0. في أي زاوية β للخط AB يجب توجيه المتجه؟ ب(ب = √(3)) بحيث يكون المتجه ج = أ + بكان موازيا لAB؟ أوجد طول المتجه ج.

11. يتم إعطاء ثلاثة ناقلات: أ = 3ط + 2ي - ك; ب = 2ط − ي + ك; ج = ط + 3ي. إعثر على) أ + ب; ب) أ+ج; الخامس) (أ، ب); ز) (أ، ج) ب - (أ، ب) ج.

12. الزاوية بين المتجهات أو بيساوي α = 60°، أ = 2.0، ب = 1.0. أوجد أطوال المتجهات ج = (أ، ب)أ + بو د = 2ب – أ/2.

13. إثبات أن النواقل أو بيكونان متعامدين إذا كان a = (2, 1, −5) و b = (5, −5, 1).

14. أوجد الزاوية α بين المتجهات أو ب، إذا كان أ = (1، 2، 3)، ب = (3، 2، 1).

15. المتجهات أيصنع زاوية α = 30° مع محور الثور، فإن إسقاط هذا المتجه على محور Oy يساوي y = 2.0. المتجه بعمودي على المتجه أو ب = 3.0 (انظر الشكل).

المتجه ج = أ + ب. البحث عن: أ) توقعات المتجه بعلى محور الثور وأوي. ب) قيمة c والزاوية β بين المتجه جومحور الثور. سيارة أجرة)؛ د) (أ، ج).

الإجابات:
9. أ 1 = أ س كوسα + أ ذ سينα ≈ 7.0.
10. β = 300 درجة؛ ج = 3.5.
11. أ) 5i + ي؛ ب) أنا + 3ي − 2ك؛ ج) 15ط − 18ي + 9 ك.
12.ج = 2.6; د = 1.7.
14. α = 44.4°.
15. أ) ب س = −1.5؛ ب ص = 2.6؛ ب) ج = 5؛ β ≈ 67°; ج) 0؛ د) 16.0.
من خلال دراسة الفيزياء، لديك فرص كبيرة لمواصلة تعليمك في إحدى الجامعات التقنية. سيتطلب ذلك تعميقًا موازيًا للمعرفة في الرياضيات والكيمياء واللغة وفي كثير من الأحيان مواضيع أخرى. يتخرج الفائز في الأولمبياد الجمهوري، سافيتش إيجور، من إحدى كليات MIPT، حيث يتم فرض متطلبات كبيرة على المعرفة في الكيمياء. إذا كنت بحاجة إلى مساعدة في أكاديمية الدولة للعلوم في الكيمياء، فاتصل بالمحترفين، وسوف تتلقى بالتأكيد المساعدة المؤهلة وفي الوقت المناسب.

أنظر أيضا: