ሁሉም ቀመሮች በሂደት ላይ ናቸው። አርቲሜቲክ እድገት - የቁጥር ቅደም ተከተል

አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ እድገቶች

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

	አርቲሜቲክ እድገት	የጂኦሜትሪክ እድገት
ፍቺ	አርቲሜቲክ እድገት አንድ nከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር ከተጨመረው የቀድሞ አባል ጋር እኩል የሆነበት ቅደም ተከተል ነው መ (መ- የእድገት ልዩነት)	የጂኦሜትሪክ እድገት ለ nየዜሮ ያልሆኑ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው ፣ እያንዳንዱ ቃል ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ ፣ ከቀዳሚው ቃል ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ሲባዛ። ቅ (ቅ- የእድገት ደረጃ)
የድግግሞሽ ቀመር	ለማንኛውም ተፈጥሯዊ n a n + 1 = a n + d	ለማንኛውም ተፈጥሯዊ n b n + 1 = b n ∙ q፣ b n ≠ 0
ቀመር nth ቃል	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 ፣ b n ≠ 0
ባህሪይ ንብረት
የመጀመሪያዎቹ n ውሎች ድምር

የተግባር ምሳሌዎች ከአስተያየቶች ጋር

መልመጃ 1

በሂሳብ እድገት (እድገት) አንድ n) ሀ 1 = -6, ሀ 2

እንደ nኛው ቃል ቀመር፡-

ሀ 22 = ሀ 1+ መ (22 - 1) = ሀ 1+ 21 መ

በሁኔታ፡-

ሀ 1= -6፣ እንግዲህ ሀ 22= -6 + 21 መ.

የሂደቶችን ልዩነት መፈለግ አስፈላጊ ነው-

መ = ሀ 2 - አንድ 1 = -8 – (-6) = -2

ሀ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

መልስ፡- ሀ 22 = -48.

ተግባር 2

የጂኦሜትሪክ እድገትን አምስተኛውን ቃል ይፈልጉ: -3; 6፤....

1 ኛ ዘዴ (n-term ቀመርን በመጠቀም)

በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ኤን ኛ ቃል ቀመር መሰረት፡-

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙q 4.

ምክንያቱም ለ 1 = -3,

2 ኛ ዘዴ (በተደጋጋሚ ቀመር በመጠቀም)

የሂደቱ መለያ -2 (q = -2) ስለሆነ፣ ከዚያ፡-

ለ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ለ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ለ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

መልስ፡- ለ 5 = -48.

ተግባር 3

በሂሳብ እድገት (እድገት) a n) a 74 = 34; አ 76= 156. የዚህን እድገት ሰባ አምስተኛ ቃል ያግኙ.

ለሂሳብ እድገት ባህሪይ ንብረትመምሰል .

ስለዚህ፡-

ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-

መልስ፡ 95.

ተግባር 4

በሂሳብ እድገት (እድገት) a n) a n= 3n - 4. የመጀመሪያዎቹን አስራ ሰባት ቃላት ድምር ያግኙ.

የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ቃላት ድምርን ለማግኘት ሁለት ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ፡

የትኛው ውስጥ ነው ያለው በዚህ ጉዳይ ላይለመጠቀም የበለጠ አመቺ?

እንደ ሁኔታው የመጀመሪያው ግስጋሴ የ n ኛው ቃል ቀመር ይታወቃል ( አንድ n) አንድ n= 3n - 4. ወዲያውኑ ማግኘት ይችላሉ እና ሀ 1, እና ሀ 16ሳያገኙ መ. ስለዚህ, የመጀመሪያውን ቀመር እንጠቀማለን.

መልስ፡ 368.

ተግባር 5

በሂሳብ እድገት (እድገት) አንድ n) ሀ 1 = -6; ሀ 2= -8. የሂደቱን ሃያ ሁለተኛው ቃል ይፈልጉ።

እንደ nኛው ቃል ቀመር፡-

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = ሀ 1+ 21 ቀ.

በሁኔታ፣ ከሆነ ሀ 1= -6፣ እንግዲህ ሀ 22= -6 + 21d . የሂደቶችን ልዩነት መፈለግ አስፈላጊ ነው-

መ = ሀ 2 - አንድ 1 = -8 – (-6) = -2

ሀ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

መልስ፡- ሀ 22 = -48.

ተግባር 6

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው በርካታ ተከታታይ ቃላት ተጽፈዋል፡-

x የተሰየመውን የእድገት ቃል ይፈልጉ።

በሚፈታበት ጊዜ, ለ n ኛ ቃል ቀመር እንጠቀማለን b n = b 1 ∙ q n - 1ለ የጂኦሜትሪክ እድገቶች. የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል። የሂደቱን q መለያ ለማግኘት ፣ ከተሰጡት የሂደቱ ውሎች ውስጥ ማንኛውንም መውሰድ እና በቀድሞው መከፋፈል ያስፈልግዎታል። በእኛ ምሳሌ ልንወስድ እና መከፋፈል እንችላለን። ያንን q = 3 እናገኛለን. በ n ፈንታ, 3 ን በቀመር ውስጥ እንተካለን, ምክንያቱም የተሰጠውን የጂኦሜትሪክ እድገት ሶስተኛ ጊዜ ማግኘት አስፈላጊ ነው.

የተገኙትን እሴቶች በቀመር በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን

መልስ፡.

ተግባር 7

ከሂሳብ እድገቶች ፣ በቀመር የተሰጠው nth ጊዜ፣ ሁኔታው የሚረካበትን ይምረጡ አ 27 > 9:

ምክንያቱም የተሰጠ ሁኔታለ 27 ኛው የእድገት ጊዜ መሟላት አለበት, በእያንዳንዱ አራት እድገቶች ውስጥ 27 ን ምትክ 27 ን እንተካለን. በ 4 ኛው ግስጋሴ ውስጥ እኛ እናገኛለን-

መልስ፡ 4.

ተግባር 8

በሂሳብ እድገት ሀ 1= 3, d = -1.5. ይግለጹ ከፍተኛ ዋጋ n ለእሱ አለመመጣጠን ይይዛል አንድ n > -6.

የመጀመሪያ ደረጃ

አርቲሜቲክ እድገት. ዝርዝር ንድፈ ሐሳብከምሳሌዎች ጋር (2019)

የቁጥር ቅደም ተከተል

ስለዚህ፣ እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:
ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ አሉ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ, ሁልጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛ ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል
ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

የተመደበው ቁጥር በቅደም ተከተል አንድ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው. በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ ኛ ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.
ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ ቃል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

በእኛ ሁኔታ፡-

አለን እንበል የቁጥር ቅደም ተከተል, በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት.
ለምሳሌ:

ወዘተ.
ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ይባላል።
“እድገት” የሚለው ቃል በ 6 ኛው ክፍለ ዘመን በሮማዊው ደራሲ ቦቲየስ አስተዋወቀ እና የበለጠ ተረድቷል ። በሰፊው ስሜት፣ ልክ እንደ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል። "ሒሳብ" የሚለው ስም በጥንታዊ ግሪኮች ከተጠናው ቀጣይነት ያለው ተመጣጣኝነት ጽንሰ-ሐሳብ ተላልፏል.

ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር የተጨመረው ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው. ይህ ቁጥር የሒሳብ ዕድገት ልዩነት ተብሎ ይጠራል እና የተሰየመ ነው።

የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ እንዳልሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ፡

ሀ)
ለ)
ሐ)
መ)

ገባኝ? መልሶቻችንን እናወዳድር፡-
ነውየሂሳብ እድገት - b, c.
አይደለምየሂሳብ እድገት - a, d.

ወደዚህ እንመለስ የተሰጠው እድገት() እና የእሱን አባል ዋጋ ለማግኘት ይሞክሩ። አለ። ሁለትለማግኘት መንገድ.

1. ዘዴ

የሂደቱ ኛ ቃል እስክንደርስ ድረስ የሂደቱን ቁጥር ወደ ቀድሞው እሴት ማከል እንችላለን። ለማጠቃለል ብዙ ባይኖረን ጥሩ ነው - ሶስት እሴቶች ብቻ።

ስለዚህ፣ የተገለፀው የሂሳብ እድገት ኛ ቃል እኩል ነው።

2. ዘዴ

የሂደቱን የ ኛ ቃል ዋጋ መፈለግ ብንፈልግስ? ማጠቃለያው ከአንድ ሰአት በላይ ይወስድብናል፣ እና ቁጥሮች ስንጨምር ስህተት እንደማንሰራ ሀቅ አይደለም።
እርግጥ ነው, የሂሳብ ሊቃውንት የሂሳብ እድገትን ልዩነት ወደ ቀድሞው እሴት መጨመር የማያስፈልግበትን መንገድ ፈጥረዋል. የተሳለውን ምስል በጥሞና ተመልከት... በእርግጠኝነት አንድ የተወሰነ ስርዓተ-ጥለት አስተውለሃል፣ እሱም፡-

ለምሳሌ፣ የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ የሁለተኛው ቃል ዋጋ ምን እንደሚይዝ እንመልከት፡-

በሌላ ቃል:

የአንድ የተወሰነ የሂሳብ እድገት አባል ዋጋ በዚህ መንገድ እራስዎን ለማግኘት ይሞክሩ።

አሰላለው? ማስታወሻዎችዎን ከመልሱ ጋር ያወዳድሩ፡-

የሒሳብ ግስጋሴ ውሎችን በቅደም ተከተል ወደ ቀድሞው እሴት ስንጨምር ልክ እንደ ቀደመው ዘዴ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ እባክዎ ልብ ይበሉ።
"ሰውን ለማሳጣት" እንሞክር ይህ ቀመር- እሷን እናመጣላት አጠቃላይ ቅፅእና እናገኛለን:

አርቲሜቲክ ግስጋሴ እኩልታ.

አርቲሜቲክ እድገቶች እየጨመረ ወይም እየቀነሱ ሊሆኑ ይችላሉ.

እየጨመረ ነው።- እያንዳንዱ ቀጣይ የቃላቶች ዋጋ ከቀዳሚው የሚበልጥባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

መውረድ- እያንዳንዱ ቀጣይ የውሎቹ ዋጋ ከቀዳሚው ያነሰባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

የተገኘው ቀመር የቃላት ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው በማደግ እና በመቀነስ የሂሳብ እድገት ቃላቶች ነው።
ይህንን በተግባር እንፈትሽ።
ያቀፈ የሂሳብ እድገት ተሰጥቶናል። የሚከተሉት ቁጥሮችለማስላት ቀመራችንን ከተጠቀምን የዚህ የሂሳብ እድገት ኛ ቁጥር ምን እንደሚሆን እንፈትሽ፡

ከዛን ጊዜ ጀምሮ:

ስለዚህ፣ ቀመሩ የሚሠራው በመቀነስ እና በማደግ ላይ እንደሆነ እርግጠኞች ነን።
የዚህን የሂሳብ እድገት ኛ እና ኛ ውሎች እራስዎ ለማግኘት ይሞክሩ።

ውጤቱን እናወዳድር፡-

አርቲሜቲክ እድገት ንብረት

ችግሩን እናወሳስበው - የሂሳብ እድገትን ንብረት እናመጣለን.
የሚከተለው ሁኔታ ተሰጥቶናል እንበል።
- የሂሳብ እድገት ፣ እሴቱን ይፈልጉ።
ቀላል፣ እርስዎ በሚያውቁት ቀመር መሰረት ይናገሩ እና መቁጠር ይጀምሩ፡-

አህ፣ እንግዲያውስ፡-

ፍጹም ትክክል። መጀመሪያ ያገኘነው ከዚያም ወደ መጀመሪያው ቁጥር ጨምረን የምንፈልገውን አግኝተናል። እድገቱ በትንንሽ እሴቶች ከተወከለ, ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ነገር ግን በሁኔታው ላይ ቁጥሮች ከተሰጠን? ይስማሙ, በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት የመሥራት እድል አለ.
አሁን ማንኛውንም ቀመር በመጠቀም ይህንን ችግር በአንድ ደረጃ መፍታት ይቻል እንደሆነ ያስቡ? በእርግጥ አዎ, እና አሁን ለማውጣት የምንሞክረው ያ ነው.

የሚፈለገውን የሂሳብ ግስጋሴ ቃል እንጥቀስ ፣ እሱን ለማግኘት ቀመር ለእኛ የታወቀ ነው - ይህ በመጀመሪያ ላይ ያመጣነው ተመሳሳይ ቀመር ነው-
, ከዚያም:

የቀደመው የሂደቱ ቃል፡-
የሚቀጥለው የእድገት ጊዜ የሚከተለው ነው-

የቀደመውን እና ተከታዩን የሂደቱን ውሎች እናጠቃልል።

የቀደመው እና ተከታይ የሂደቱ ድምር በመካከላቸው የሚገኘው የእድገት ቃል ድርብ እሴት ነው። በሌላ አገላለጽ ፣የእድገት ቃልን ከታወቁ ቀዳሚ እና ተከታታይ እሴቶች ጋር ለማግኘት ፣እነሱን ማከል እና መከፋፈል ያስፈልግዎታል።

ልክ ነው, ተመሳሳይ ቁጥር አግኝተናል. ቁሳቁሱን እንጠብቅ። ለእድገት ዋጋውን እራስዎ ያሰሉ, በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም.

ጥሩ ስራ! ስለ እድገት ሁሉንም ነገር ታውቃለህ! አንድ ቀመር ብቻ ለማወቅ ይቀራል ፣ እሱም በአፈ ታሪክ መሠረት ፣ በማንኛውም ጊዜ ካሉት ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት በአንዱ ፣ “የሂሳብ ሊቃውንት ንጉስ” - ካርል ጋውስ…

ካርል ጋውስ የ9 ዓመት ልጅ እያለ አንድ መምህር በሌሎች ክፍሎች ውስጥ ያሉ ተማሪዎችን ሥራ በመመርመር ተጠምዶ በክፍል ውስጥ የሚከተለውን ችግር ጠየቀ:- “ሁሉንም ድምር አስላ። የተፈጥሮ ቁጥሮችከ (እንደሌሎች ምንጮች እስከ) አካታች። ከመምህሩ አንዱ (ይህ ካርል ጋውስ ነበር) ከአንድ ደቂቃ በኋላ ለተግባሩ ትክክለኛውን መልስ ሲሰጥ መምህሩ ምን ያህል እንደተገረመ አስቡት ፣ አብዛኛዎቹ የድፍረት ክፍል ተማሪዎች ከረዥም ስሌት በኋላ የተሳሳተ ውጤት ሲያገኙ…

ወጣቱ ካርል ጋውስ እርስዎ በቀላሉ ሊያስተውሉት የሚችሉትን የተወሰነ ንድፍ ተመልክቷል።
-ኛ ቃላትን ያካተተ የሂሳብ ግስጋሴ አለን እንበል፡ የእነዚህን የሂሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምር ማግኘት አለብን። እርግጥ ነው፣ ሁሉንም እሴቶቹን በእጃችን ማጠቃለል እንችላለን፣ ግን ጋውስ እንደሚፈልግ ስራው የውሎቹን ድምር ማግኘት ቢፈልግስ?

የተሰጠንን እድገት እናሳይ። የደመቁትን ቁጥሮች በጥልቀት ይመልከቱ እና ከእነሱ ጋር የተለያዩ የሂሳብ ስራዎችን ለመስራት ይሞክሩ።

ሞክረዋል? ምን አስተዋልክ? ቀኝ! ድምራቸው እኩል ነው።

አሁን ንገረኝ ፣ በተሰጠን እድገት ውስጥ በአጠቃላይ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? እርግጥ ነው, በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ማለትም.
የሁለት ቃላት ድምር የሂሳብ ግስጋሴ እኩል እና ተመሳሳይ ጥንዶች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ በመመርኮዝ ያንን እናገኛለን አጠቃላይ ድምሩእኩል ነው፡-
.
ስለዚህ የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

በአንዳንድ ችግሮች የኛን ቃል አናውቅም ነገር ግን የሂደቱን ልዩነት እናውቃለን። የቃሉን ቀመር ወደ ድምር ቀመር ለመተካት ይሞክሩ።
ምን አገኘህ?

ጥሩ ስራ! አሁን ወደ ካርል ጋውስ ወደ ተጠየቀው ችግር እንመለስ፡ ከ th የሚጀምሩት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እኩል እንደሆነ እና ከ th ጀምሮ ያሉት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እንደሆነ ለራስዎ አስላ።

ምን ያህል አገኘህ?
ጋውስ የቃላቶቹ ድምር እኩል እና የቃላቶቹ ድምር መሆኑን ደርሰውበታል። እርስዎ የወሰኑት እንደዚህ ነው?

እንደ እውነቱ ከሆነ፣ የሒሳብ ዕድገት ቃላቶች ድምር ቀመር በጥንታዊው ግሪክ ሳይንቲስት ዲዮፋንተስ በ 3 ኛው ክፍለ ዘመን እና በዚህ ጊዜ ሁሉ ተረጋግጧል። ብልህ ሰዎችየሂሳብ እድገትን ባህሪያት ሙሉ በሙሉ ተጠቅሟል.
ለምሳሌ አስቡት ጥንታዊ ግብፅእና በጣም ብዙ መጠነ ሰፊ ግንባታያ ጊዜ - የፒራሚድ ግንባታ ... ምስሉ አንድ ጎን ያሳያል.

እዚህ እድገት የት አለ ትላላችሁ? በጥንቃቄ ይመልከቱ እና በእያንዳንዱ ረድፍ የፒራሚድ ግድግዳ ላይ የአሸዋ ብሎኮችን ቁጥር ይፈልጉ።

ለምን የሂሳብ እድገት አይሆንም? የማገጃ ጡቦች በመሠረቱ ላይ ከተቀመጡ አንድ ግድግዳ ለመሥራት ምን ያህል ብሎኮች እንደሚያስፈልግ አስሉ. ጣትዎን በተቆጣጣሪው ላይ ሲያንቀሳቅሱ እንደማይቆጥሩ ተስፋ አደርጋለሁ ፣ የመጨረሻውን ቀመር እና ስለ የሂሳብ እድገት የተናገርነውን ሁሉ ያስታውሳሉ?

በዚህ ሁኔታ እድገቱ ይመስላል በሚከተለው መንገድ: .
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
የሂሳብ እድገት ውሎች ብዛት።
የእኛን መረጃ በመጨረሻዎቹ ቀመሮች እንተካው (የብሎኮችን ብዛት በ 2 መንገዶች አስላ)።

ዘዴ 1.

ዘዴ 2.

እና አሁን በተቆጣጣሪው ላይ ማስላት ይችላሉ-የተገኙትን ዋጋዎች በእኛ ፒራሚድ ውስጥ ካሉት ብሎኮች ብዛት ጋር ያወዳድሩ። ገባኝ? ደህና አድርገሃል፣ የሂሳብ እድገትን n ኛ ውሎች ድምርን ተክተሃል።
በእርግጥ ፒራሚድ ከመሠረቱ ብሎኮች መገንባት አይችሉም ፣ ግን ከ? በዚህ ሁኔታ ግድግዳ ለመገንባት ምን ያህል የአሸዋ ጡቦች እንደሚያስፈልግ ለማስላት ይሞክሩ.
አስተዳድረዋል?
ትክክለኛው መልስ ብሎኮች ነው-

ስልጠና

ተግባራት፡

ማሻ ለበጋው ቅርፅ እያገኘ ነው። በየቀኑ የቁንጮዎችን ቁጥር ይጨምራል. ማሻ በመጀመሪያው የስልጠና ክፍለ ጊዜ ላይ ስኩዊቶችን ካደረገች በሳምንት ውስጥ ስንት ጊዜ ስኩዊቶችን ታደርጋለች?
የሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ምንድነው?
ምዝግብ ማስታወሻዎችን በሚያከማቹበት ጊዜ ሎጊዎች እያንዳንዳቸው በሚያስችል መንገድ ይቆማሉ የላይኛው ሽፋንከቀዳሚው ያነሰ አንድ ሎግ ይዟል። የግንበኝነት መሰረቱ ግንድ ከሆነ በአንድ ግንበኝነት ውስጥ ስንት እንጨቶች አሉ?

መልሶች፡-

የሒሳብ ግስጋሴውን መለኪያዎች እንገልጻለን። በዚህ ጉዳይ ላይ
(ሳምንት = ቀናት)።
መልስ፡-በሁለት ሳምንታት ውስጥ ማሻ በቀን አንድ ጊዜ ስኩዊቶችን ማድረግ አለበት.
አንደኛ ኢተጋማሽ ቁጥር, የመጨረሻ ቁጥር.
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
በ ውስጥ ያሉት ያልተለመዱ ቁጥሮች ብዛት ግማሽ ነው ፣ ሆኖም ፣ የሂሳብ እድገትን ኛ ቃል ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እውነታ እንፈትሽ።
ቁጥሮች ያልተለመዱ ቁጥሮች ይይዛሉ።
ያለውን መረጃ በቀመር እንተካው፡-
መልስ፡-በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር እኩል ነው።
ስለ ፒራሚዶች ያለውን ችግር እናስታውስ። በእኛ ሁኔታ, ሀ , እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን በአንድ ሎግ ስለሚቀንስ, ከዚያም በአጠቃላይ የንብርብሮች ስብስብ አለ, ማለትም.
ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-
መልስ፡-በግንበኛው ውስጥ የምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ.

እናጠቃልለው

- በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል። እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ሊሆን ይችላል.
ቀመር ማግኘትየሒሳብ ግስጋሴ ኛ ቃል በቀመር የተጻፈው - , በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት ነው.
የሒሳብ እድገት አባላት ንብረት- - በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ብዛት የት አለ?
የሒሳብ እድገት ውሎች ድምርበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል-

, የእሴቶቹ ብዛት የት ነው.

አርቲሜቲክ እድገት. አማካይ ደረጃ

የቁጥር ቅደም ተከተል

እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ. ግን ሁል ጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው ፣ የትኛው ሁለተኛ ነው ፣ እና ሌሎችም ፣ ማለትም ፣ ልንቆጥራቸው እንችላለን ። ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

በሌላ አነጋገር, እያንዳንዱ ቁጥር ከተወሰነ የተፈጥሮ ቁጥር, እና ልዩ ከሆነ ጋር ሊዛመድ ይችላል. እና ይህን ቁጥር ከዚህ ስብስብ ወደ ሌላ ቁጥር አንሰጥም።

ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ አባል ይባላል።

የተከታታዩ ኛ ቃል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ የሚችል ከሆነ በጣም ምቹ ነው. ለምሳሌ, ቀመር

ቅደም ተከተል ያስቀምጣል:

እና ቀመሩ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ እድገት ቅደም ተከተል ነው (የመጀመሪያው ቃል እዚህ እኩል ነው ፣ እና ልዩነቱ)። ወይም (, ልዩነት).

n ኛ ቃል ቀመር

ቀመርን ተደጋጋሚ ብለን እንጠራዋለን ፣ ይህም የሁለተኛውን ቃል ለማወቅ ቀዳሚውን ወይም ብዙ ቀዳሚዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

ለምሳሌ ይህንን ቀመር በመጠቀም የሂደቱን ኛ ቃል ለማግኘት የቀደመውን ዘጠኙን ማስላት አለብን። ለምሳሌ, ይተውት. ከዚያም፡-

ደህና ፣ አሁን ቀመሩ ምን እንደሆነ ግልፅ ነው?

በእያንዳንዱ መስመር ውስጥ እንጨምራለን, በተወሰነ ቁጥር ተባዝተናል. የትኛው? በጣም ቀላል፡ ይህ የአሁን አባል ቁጥር ሲቀነስ ነው፡

አሁን የበለጠ ምቹ ፣ አይደል? እኛ እንፈትሻለን፡-

ለራስዎ ይወስኑ፡-

በሒሳብ ግስጋሴ፣ የ nኛውን ቃል ቀመር ይፈልጉ እና መቶኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው ቃል እኩል ነው. ልዩነቱ ምንድን ነው? እነሆ፡-

(ለዚህም ነው ልዩነት ተብሎ የሚጠራው ምክንያቱም ከእድገት ተከታታይ ውሎች ልዩነት ጋር እኩል ስለሆነ ነው).

ስለዚህ ቀመር፡-

ከዚያ የመቶኛው ቃል እኩል ነው፡-

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ እስከ ስንት ነው?

በአፈ ታሪክ መሰረት. ታላቅ የሂሳብ ሊቅካርል ጋውስ የ9 አመት ልጅ ሆኖ ይህን መጠን በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ ያሰላል። የአንደኛውና የመጨረሻዎቹ ቁጥሮች ድምር እኩል መሆናቸውን፣ የሁለተኛው እና የመጨረሻው ድምር አንድ፣ የሦስተኛውና የመጨረሻው 3 ኛ ድምር አንድ ነው፣ ወዘተ. በጠቅላላው ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? ልክ ነው፣ በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ቁጥር፣ ማለትም። ስለዚህ፣

የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር አጠቃላይ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ለምሳሌ:
የሁሉንም ድምር ያግኙ ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች, ብዜቶች.

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ቁጥር ይህ ነው. እያንዳንዱ ተከታይ የሚገኘው ወደ ላይ በመጨመር ነው። ያለፈው ቀን. ስለዚህ, እኛ ቅጽ ላይ ፍላጎት ያላቸው ቁጥሮች የሂሳብ እድገትከመጀመሪያው ቃል እና ልዩነት ጋር.

ለዚህ እድገት የኛው ቃል ቀመር፡-

ሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ መሆን ካለባቸው በእድገት ውስጥ ስንት ቃላት አሉ?

በጣም ቀላል: .

የሂደቱ የመጨረሻ ቃል እኩል ይሆናል. ከዚያም ድምር:

መልስ፡.

አሁን ለራስዎ ይወስኑ:

በየቀኑ አትሌቱ ካለፈው ቀን የበለጠ ሜትሮችን ይሮጣል። በመጀመሪያው ቀን ኪሜ ሜትር ቢሮጥ በሳምንት ውስጥ ስንት ጠቅላላ ኪሎ ሜትር ይሮጣል?
አንድ ብስክሌተኛ በየቀኑ ካለፈው ቀን የበለጠ ኪሎ ሜትሮችን ይጓዛል። በመጀመሪያው ቀን ኪ.ሜ ተጉዟል። አንድ ኪሎ ሜትር ለመጓዝ ስንት ቀናት መጓዝ ያስፈልገዋል? በመጨረሻው የጉዞው ቀን ስንት ኪሎ ሜትር ይጓዛል?
በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለው የማቀዝቀዣ ዋጋ በየዓመቱ በተመሳሳይ መጠን ይቀንሳል. የፍሪጅ ዋጋ በየአመቱ ምን ያህል እንደሚቀንስ ይወስኑ, ለሩብል የሚሸጥ ከሆነ, ከስድስት አመት በኋላ በሩብል ከተሸጠ.

መልሶች፡-

እዚህ በጣም አስፈላጊው ነገር የሂሳብ እድገትን ማወቅ እና ግቤቶችን መወሰን ነው. በዚህ ሁኔታ, (ሳምንት = ቀናት). የዚህ እድገት የመጀመሪያ ውሎች ድምርን መወሰን ያስፈልግዎታል
.
መልስ፡-
እዚህ ተሰጥቷል:, መገኘት አለበት.
በግልጽ እንደሚታየው ተመሳሳይ ድምር ቀመር መጠቀም ያስፈልግዎታል ቀዳሚ ተግባር:
.
እሴቶቹን ይተኩ፡
ሥሩ በትክክል አይጣጣምም, ስለዚህ መልሱ ነው.
የኛውን ቃል ቀመር በመጠቀም በመጨረሻው ቀን የተጓዝንበትን መንገድ እናሰላ።
(ኪሜ)
መልስ፡-
የተሰጠው፡. አግኝ፡.
የበለጠ ቀላል ሊሆን አይችልም፡-
(ማሸት)።
መልስ፡-

አርቲሜቲክ እድገት. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ይህ በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው።

አርቲሜቲክ እድገት እየጨመረ () እና እየቀነሰ () ሊሆን ይችላል.

ለምሳሌ:

የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ለማግኘት ቀመር

በቀመር የተጻፈው በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ቁጥር የት ነው.

የሒሳብ እድገት አባላት ንብረት

የአጎራባች ቃላቶቹ የሚታወቁ ከሆነ የእድገት ቃልን በቀላሉ እንዲያገኙ ይፈቅድልዎታል - በሂደቱ ውስጥ የቁጥሮች ብዛት የት አለ።

የአርቲሜቲክ እድገት ውሎች ድምር

መጠኑን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ-

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

አዎ፣ አዎ፡ የሂሳብ እድገት ለእርስዎ መጫወቻ አይደለም :)

ደህና ፣ ጓደኞች ፣ ይህንን ጽሑፍ እያነበብክ ከሆነ ፣ የውስጠ-ካፕ-ማስረጃው የሂሳብ ግስጋሴ ምን እንደሆነ እስካሁን እንደማታውቁ ይነግረኛል ፣ ግን በእውነቱ (አይ ፣ እንደዚህ ያለ: SOOOOO!) ማወቅ ይፈልጋሉ። ስለዚህ በረዥም መግቢያዎች አላሰቃየህም እና በቀጥታ ወደ ነጥቡ እገባለሁ።

በመጀመሪያ ፣ ጥቂት ምሳሌዎች። በርካታ የቁጥር ስብስቦችን እንመልከት፡-

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2)፤\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

እነዚህ ሁሉ ስብስቦች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? በመጀመሪያ ሲታይ ምንም የለም. ግን በእውነቱ የሆነ ነገር አለ. ይኸውም፡- እያንዳንዱ የሚቀጥለው አካልበተመሳሳይ ቁጥር ከቀዳሚው ይለያል.

ለራስህ ፍረድ። የመጀመሪያው ስብስብ በቀላሉ ተከታታይ ቁጥሮች ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ ከቀዳሚው አንድ ይበልጣል. በሁለተኛው ጉዳይ, በተከታታይ መካከል ያለው ልዩነት ቋሚ ቁጥሮችቀድሞውኑ ከአምስት ጋር እኩል ነው, ነገር ግን ይህ ልዩነት አሁንም ቋሚ ነው. በሦስተኛው ጉዳይ ላይ ሙሉ በሙሉ ሥሮች አሉ. ሆኖም፣ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣እና $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣ማለትም። እና በዚህ ሁኔታ እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር በቀላሉ በ$\sqrt(2)$ ይጨምራል (እና ይህ ቁጥር ምክንያታዊ ያልሆነ ነው ብለው አይፍሩ)።

ስለዚህ: ሁሉም እንደዚህ ያሉ ቅደም ተከተሎች የሂሳብ እድገቶች ይባላሉ. ጥብቅ ፍቺ እንስጥ፡-

ፍቺ እያንዳንዱ ተከታይ ከቀዳሚው በትክክል ተመሳሳይ መጠን የሚለይበት የቁጥሮች ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል። ቁጥሮቹ የሚለያዩበት መጠን የሂደት ልዩነት ይባላል እና ብዙ ጊዜ በ$d$ ፊደል ይገለጻል።

ማስታወሻ፡ $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ እድገት እራሱ ነው፣$d$ ልዩነቱ ነው።

እና ጥቂት አስፈላጊ ማስታወሻዎች ብቻ። በመጀመሪያ ደረጃ, እድገትን ግምት ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው አዘዘየቁጥሮች ቅደም ተከተል: በተፃፉበት ቅደም ተከተል በጥብቅ እንዲነበቡ ተፈቅዶላቸዋል - እና ሌላ ምንም ነገር የለም. ቁጥሮች እንደገና ሊደራጁ ወይም ሊለዋወጡ አይችሉም።

በሁለተኛ ደረጃ, ቅደም ተከተል እራሱ ማለቂያ ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ፣ ስብስብ (1፤ 2፤ 3) ግልጽ የሆነ የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ነው። ነገር ግን በመንፈስ የሆነ ነገር ከጻፉ (1፤ 2፤ 3፤ 4፤ ...) - ይህ አስቀድሞ ነው። ማለቂያ የሌለው እድገት. ከአራቱ በኋላ ያለው ellipsis ጥቂት ተጨማሪ ቁጥሮች እንደሚመጡ የሚጠቁም ይመስላል። ማለቂያ የሌለው ብዙ፣ ለምሳሌ :)

እድገቶች እየጨመሩ ወይም እየቀነሱ ሊሄዱ እንደሚችሉ ማስተዋል እፈልጋለሁ። እየጨመሩ ያሉትን አይተናል - ተመሳሳይ ስብስብ (1; 2; 3; 4; ...). እድገቶችን የመቀነስ ምሳሌዎች እዚህ አሉ

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\\sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

እሺ እሺ: የመጨረሻው ምሳሌከመጠን በላይ የተወሳሰበ ሊመስል ይችላል. የቀረው ግን የገባችሁ ይመስለኛል። ስለዚህ፣ አዳዲስ ፍቺዎችን እናስተዋውቃለን፡-

ፍቺ የሒሳብ እድገት ይባላል፡-

እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው የበለጠ ከሆነ መጨመር;

እየቀነሰ, በተቃራኒው, እያንዳንዱ ተከታይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ያነሰ ከሆነ.

በተጨማሪም, "ቋሚ" የሚባሉት ቅደም ተከተሎች አሉ - እነሱ ተመሳሳይ ተደጋጋሚ ቁጥር ያካተቱ ናቸው. ለምሳሌ፣ (3፤ 3፤ 3፤ ...)።

አንድ ጥያቄ ብቻ ይቀራል: እየጨመረ ያለውን እድገትን ከሚቀንስ እንዴት እንደሚለይ? እንደ እድል ሆኖ, እዚህ ሁሉም ነገር የሚወሰነው በ $ d$ ቁጥር ምልክት ላይ ብቻ ነው, ማለትም. የእድገት ልዩነቶች;

$d \gt 0$ ከሆነ እድገቱ ይጨምራል።
$d \lt 0$ ከሆነ ፣እድገቱ በግልጽ እየቀነሰ ነው።
በመጨረሻም, ጉዳዩ $d=0$ አለ - በዚህ ሁኔታ አጠቃላይ እድገቱ ወደ ቋሚ ቅደም ተከተል ይቀንሳል. ተመሳሳይ ቁጥሮች: (1፤ 1፤ 1፤ 1፤ ...) ወዘተ

ከላይ ለተጠቀሱት ሦስቱ የሚቀነሱ እድገቶች የ$d$ን ልዩነት ለማስላት እንሞክር። ይህንን ለማድረግ ማንኛውንም ሁለት ተያያዥ ንጥረ ነገሮችን (ለምሳሌ የመጀመሪያው እና ሁለተኛ) መውሰድ እና በግራ በኩል ያለውን ቁጥር በቀኝ በኩል ካለው ቁጥር መቀነስ በቂ ነው. ይህን ይመስላል።

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

እንደምናየው፣ በሦስቱም ሁኔታዎች ልዩነቱ በትክክል ወደ አሉታዊነት ተለወጠ። እና አሁን ብዙ ወይም ባነሰ ትርጓሜዎችን አውጥተናል, እድገቶች እንዴት እንደሚገለጹ እና ምን ንብረቶች እንዳሉ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው.

የሂደት ውሎች እና የድግግሞሽ ቀመር

የእኛ ቅደም ተከተሎች አካላት ሊለዋወጡ ስለማይችሉ በቁጥር ሊቆጠሩ ይችላሉ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ$(ሀ)__(1))\ )),... \ቀኝ$\]

የዚህ ስብስብ ግለሰባዊ አካላት የእድገት አባላት ይባላሉ። በቁጥር ተጠቁመዋል፡- አንደኛ አባል፣ ሁለተኛ አባል፣ ወዘተ.

በተጨማሪም ፣ ቀደም ብለን እንደምናውቀው ፣ የእድገት ጎረቤት ውሎች በቀመሩ ይዛመዳሉ-

\[(((a)_(n)))-((a)_(n-1))=d\ቀኝ ቀስት ((a)__(n))=((a)_(n-1))+d \]

ባጭሩ የ$n$th የእድገት ጊዜን ለማግኘት የ$n-1$th ቃል እና የ$d$ ልዩነትን ማወቅ አለቦት። ይህ ፎርሙላ ተደጋጋሚ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም በእሱ እርዳታ ማንኛውንም ቁጥር ማግኘት የሚችሉት የቀደመውን (እና በእውነቱ, ሁሉም ቀዳሚዎች) በማወቅ ብቻ ነው. ይህ በጣም ምቹ አይደለም ፣ ስለሆነም ማንኛውንም ስሌቶች ወደ መጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱን የሚቀንስ የበለጠ ተንኮለኛ ቀመር አለ-

\[(((a)__(n))=((ሀ)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d\]

ይህን ቀመር አስቀድመው አጋጥመውት ይሆናል። በሁሉም የማጣቀሻ መጽሃፍቶች እና የመፍትሄ መጽሃፍቶች ውስጥ መስጠት ይወዳሉ. እና በማንኛውም አስተዋይ የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነው።

ሆኖም ግን, ትንሽ እንዲለማመዱ እመክርዎታለሁ.

ተግባር ቁጥር 1 የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ እድገት ውሎች $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ ከ$((a)__(1))=8,d=-5$ ይፃፉ።

መፍትሄ። ስለዚህ፣ የመጀመሪያውን ቃል $((a)__(1))=8$ እና የሂደቱን የ$d=-5$ ልዩነት እናውቃለን። አሁን የተሰጠውን ቀመር እንጠቀም እና $n=1$፣ $n=2$ እና $n=3$ እንተካ።

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)d; \\ & (((ሀ)__(1))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(1-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))=8; \\ & ((((ሀ)__(2))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(2-1 \ቀኝ) d=((a)__(1))+d=8-5= 3; \\ & (((ሀ)__(3))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(3-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))+2d=8-10= -2. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ (8፤ 3፤ -2)

ይኼው ነው! እባክዎን ያስተውሉ፡ እድገታችን እየቀነሰ ነው።

እርግጥ ነው፣ $n=1$ ሊተካ አልቻለም - የመጀመሪያው ቃል ለእኛ አስቀድሞ ይታወቃል። ይሁን እንጂ አንድነትን በመተካት ቀመራችን ለመጀመሪያ ጊዜ እንኳን እንደሚሰራ እርግጠኛ ነበርን. በሌሎች ሁኔታዎች፣ ሁሉም ነገር ወደ ባናል አርቲሜቲክ ወርዷል።

ተግባር ቁጥር 2. ሰባተኛው ቃል ከ -40 እና አስራ ሰባተኛው ቃል ከ -50 ጋር እኩል ከሆነ የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ ሂደቶች ይፃፉ።

መፍትሄ። የችግሩን ሁኔታ በሚታወቁ ቃላት እንፃፍ፡-

\[(((ሀ)__(7))=-40፤\quad ((a)__(17))=-50።\]

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)__(7))=((a)__(1))+6d \\ & (((ሀ)__(17))=((ሀ) _(1))+16d \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \ቀኝ\]

\[\ግራ\( \\ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ.\]

የስርዓት ምልክቱን አስቀምጫለሁ ምክንያቱም እነዚህ መስፈርቶች በአንድ ጊዜ መሟላት አለባቸው. አሁን የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩልታ ከቀነስን (ይህን ለማድረግ መብት አለን ፣ ስርዓት ስላለን) ይህንን እናገኛለን ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)_(1))+16d-\ግራ(((a)__(1))+6d \ቀኝ=-50-\ግራ(-40 \ቀኝ); \\ & (((ሀ)__(1))+16d-((ሀ)__(1))) -6መ=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የሂደቱን ልዩነት ማግኘት በጣም ቀላል ነው! የቀረው ሁሉ የተገኘውን ቁጥር ወደ ማንኛውም የስርዓቱ እኩልታዎች መተካት ነው። ለምሳሌ በመጀመሪያ፡-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ታች \\ ((ሀ)_(1)) -6=-40; \\ ((ሀ)__(1))=-40+6=-34። \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

አሁን፣ የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ቃል ለማግኘት ይቀራል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))=((ሀ)__(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ሀ)__(3))=((ሀ)__(1))+2d=-34-2=-36። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ዝግጁ! ችግሩ ተፈቷል.

መልስ፡ (-34; -35; -36)

ያገኘነውን አስደሳች የሂደት ንብረት አስተውል፡ $n$th እና $m$th ውሎችን ወስደን እርስ በእርስ ከተቀነስን የሂደቱን ልዩነት በ$n-m$ ቁጥር ተባዝቶ እናገኛለን፡

\[(((a)__(n))((a)__(m))=d\cdot \ግራ(n-m \ቀኝ)\]

በእርግጠኝነት ማወቅ ያለብዎት ቀላል ነገር ግን በጣም ጠቃሚ ንብረት - በእሱ እርዳታ ብዙ የእድገት ችግሮችን በከፍተኛ ሁኔታ ማፋጠን ይችላሉ። እዚህ ብሩህ መሆኑንለምሳሌ:

ተግባር ቁጥር 3 የሒሳብ እድገት አምስተኛው ቃል 8.4 ነው፣ እና አሥረኛው ጊዜ 14.4 ነው። የዚህን እድገት አስራ አምስተኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ። ከ$(((a)_(5))=8.4$፣ $((a)_(10))=14.4$ ጀምሮ፣ እና $(((a)_(15))$$ን ማግኘት ስላለብን የሚከተለውን እናስተውላለን፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15))-((ሀ)__(10))=5d; \\ & ((ሀ)__(10))-((ሀ)__(5))=5መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ነገር ግን በሁኔታ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$፣ስለዚህ $5d=6$፣ከዚህም አለን::

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15)) -14,4=6; \\ & ((ሀ)__(15)=6+14.4=20.4. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ 20.4

ይኼው ነው! ምንም አይነት እኩልታዎችን መፍጠር እና የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን ማስላት አያስፈልገንም - ሁሉም ነገር በሁለት መስመሮች ብቻ ተፈትቷል.

አሁን ሌላ ዓይነት ችግርን እንመልከት - የእድገት አሉታዊ እና አወንታዊ ቃላትን መፈለግ። ግስጋሴው ከጨመረ እና የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ከሆነ ፈጥኖም ሆነ ዘግይቶ አዎንታዊ ቃላት በእሱ ውስጥ እንደሚታዩ ምስጢር አይደለም። እና በተገላቢጦሽ፡ የመቀነስ እድገት ውሎች ፈጥኖም ይሁን ዘግይቶ አሉታዊ ይሆናል።

በተመሳሳይ ጊዜ, በንጥረ ነገሮች ውስጥ በቅደም ተከተል በማለፍ ይህንን ጊዜ "በፊት" ማግኘት ሁልጊዜ አይቻልም. ብዙውን ጊዜ ችግሮች የሚጻፉት ቀመሮቹን ሳናውቅ ስሌቶቹ ብዙ ወረቀቶችን ይወስዳሉ - መልሱን ስናገኝ በቀላሉ እንተኛለን። ስለዚህ እነዚህን ችግሮች በፍጥነት ለመፍታት እንሞክር።

ተግባር ቁጥር 4. በሂሳብ እድገት ውስጥ ስንት አሉታዊ ቃላት አሉ -38.5; -35.8; ...?

መፍትሄ። ስለዚህ, $ ((a) __ (1)) = -38.5$, $((a)__(2)=-35.8$, ወዲያውኑ ልዩነቱን ካገኘንበት:

ልዩነቱ አዎንታዊ መሆኑን ልብ ይበሉ, ስለዚህ እድገቱ ይጨምራል. የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ነው, ስለዚህ በተወሰነ ጊዜ በአዎንታዊ ቁጥሮች ላይ እንሰናከላለን. ብቸኛው ጥያቄ ይህ የሚሆነው መቼ ነው.

የቃላቶቹ አሉታዊነት ለምን ያህል ጊዜ እንደሚቆይ (ማለትም እስከ ምን ያህል የተፈጥሮ ቁጥር $n$) እንደሚቆይ ለማወቅ እንሞክር፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n)) \lt 0\ቀኝ ቀስት ((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d \lt 0; \\ & -38.5+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ left| \cdot 10 \ ትክክል። \\ & -385+27\cdot \ግራ(n-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ቀኝ ቀስት ((n)__(\max))=15። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻው መስመር አንዳንድ ማብራሪያ ያስፈልገዋል. ስለዚህ $n \lt 15\frac(7)(27)$ መሆኑን እናውቃለን። በሌላ በኩል፣ በቁጥር ኢንቲጀር ዋጋዎች ብቻ ረክተናል (በተጨማሪም: $n\in \mathbb(N)$) ፣ ስለሆነም የሚፈቀደው ትልቁ ቁጥር በትክክል $n=15$ ነው ፣ እና በምንም ሁኔታ 16 .

ተግባር ቁጥር 5 በሂሳብ እድገት $(()__(5))=-150፣(()__(6))=-147$። ቁጥር አንድ ያግኙ አዎንታዊ ቃልይህ እድገት.

ይህ በትክክል ከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይ ነው፣ ነገር ግን $((a)__(1))$ን አናውቅም። ነገር ግን የአጎራባች ቃላቶች ይታወቃሉ፡-$((a)__(5))$ እና $((a)__(6))$፣የእድገቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን።

በተጨማሪም ፣ አምስተኛውን ቃል በአንደኛው በኩል እና ልዩነቱን መደበኛውን ቀመር በመጠቀም ለመግለጽ እንሞክር ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot d; \\ & (((ሀ)__(5))=((ሀ)__(1))+4d; \\ & -150=((ሀ)__(1))+4\cdot 3; \\ & ((ሀ)__(1))=-150-12=-162። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን ከቀዳሚው ተግባር ጋር በማመሳሰል እንቀጥላለን። በእኛ ቅደም ተከተል አወንታዊ ቁጥሮች በየትኛው ነጥብ ላይ እንደሚገኙ እንወቅ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=-162+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ቀኝ ቀስት ((n)__(\min))=56. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ዝቅተኛ የኢንቲጀር መፍትሄየዚህ እኩልነት ቁጥር 56 ነው.

እባክዎ ልብ ይበሉ: ውስጥ የመጨረሻው ተግባርሁሉም ወረደ ጥብቅ አለመመጣጠን, ስለዚህ $n=55$ አማራጭ አይስማማንም.

አሁን ቀላል ችግሮችን እንዴት መፍታት እንዳለብን ተምረናል, ወደ ውስብስብ ችግሮች እንሂድ. ግን በመጀመሪያ ፣ ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ እና እኩል ያልሆኑ ህዋሶችን የሚቆጥብ የሂሳብ እድገትን ሌላ በጣም ጠቃሚ ንብረት እናጠና። :)

አርቲሜቲክ አማካኝ እና እኩል መግባቶች

እየጨመረ ያለውን የሂሳብ ግስጋሴ በርካታ ተከታታይ ቃላትን እንመልከት $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ለማድረግ እንሞክር፡-

በቁጥር መስመር ላይ የሒሳብ እድገት ውሎች

በተለይ የዘፈቀደ ቃላትን $((a)_(n-3))፣...፣(((a)_(n+3))$፣ እና አንዳንድ $((a)_(1))፣\ ((ሀ)__(2))፣\ ((ሀ)__(3))$፣ ወዘተ ምክንያቱም አሁን የምነግርህ ህግ ለማንኛውም "ክፍሎች" ተመሳሳይ ነው የሚሰራው.

እና ደንቡ በጣም ቀላል ነው. እናስታውስ የድግግሞሽ ቀመርእና ለሁሉም ምልክት የተደረገባቸው አባላት ይፃፉ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-2))=((a)__(n-3))+d; \\ & (((a)__(n-1))=((a)__(n-2))+d; \\ & (((a)__(n))=((ሀ)__(n-1))+d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n+1))+d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ሆኖም፣ እነዚህ እኩልነቶች በተለየ መንገድ እንደገና ሊፃፉ ይችላሉ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-1))=(((a)__(n))) -መ; \\ & (((ሀ)__(n-2))=(((ሀ)__(n)))) -2መ; \\ & (((ሀ)__(n-3))=(((ሀ)__(n)))) -3d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((a)__(n+3))=(((a)__(n))+3d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ታዲያ ምን? እና $((a)_(n-1))$ እና $((a)_(n+1))$ የሚዋሹት ከ$(((a)_(n)))$ በተመሳሳይ ርቀት . እና ይህ ርቀት ከ$d$ ጋር እኩል ነው። ስለ $((a)__(n-2))$ እና $((a)__(n+2))$ ስለ ቃላቶቹ ተመሳሳይ ነገር ሊባል ይችላል - እነሱም ከ$((a)_(n) ተወግደዋል። )$ በተመሳሳይ ርቀት ከ$2d$ ጋር እኩል ነው። ማስታወቂያ infinitum ልንቀጥል እንችላለን፣ ግን ትርጉሙ በሥዕሉ በደንብ ተገልጧል

የሂደቱ ውሎች ከመሃል ላይ በተመሳሳይ ርቀት ላይ ይገኛሉ

ይህ ለእኛ ምን ማለት ነው? ይህ ማለት የአጎራባች ቁጥሮች የሚታወቁ ከሆነ $(((a)_(n))$ ሊገኝ ይችላል፡-

\[(((ሀ)__(n))=\frac((((a)__(n-1))+(((a)__(n+1))))(2)\]

በጣም ጥሩ የሆነ መግለጫ አውጥተናል፡ እያንዳንዱ የሒሳብ እድገት ቃል ከአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው! ከዚህም በላይ፡ ከ$((a)__(n))$ ወደ ግራ እና ወደ ቀኝ በአንድ እርምጃ ሳይሆን በ$k$ ደረጃዎች መመለስ እንችላለን - እና ቀመሩ አሁንም ትክክል ይሆናል።

\[(((a)__(n))=\frac((((a)__(n-k))+(((a)__(n+k))))(2)\]

እነዚያ። $((a)__(100))$ እና $(((a)__(200))$$ ካወቅን በቀላሉ አንዳንድ $(((ሀ)_(150))$ ማግኘት እንችላለን፣ ምክንያቱም $(((ሀ)) (150))=\frac(((ሀ)__(100))+((ሀ)__(200)))(2)$ በመጀመሪያ ሲታይ, ይህ እውነታ ምንም ጠቃሚ ነገር የማይሰጠን ሊመስል ይችላል. ነገር ግን፣ በተግባር፣ ብዙ ችግሮች በተለይ የሂሳብ አማካኙን ለመጠቀም የተበጁ ናቸው። ተመልከት:

ተግባር ቁጥር 6 የ$-6((x)^(2))$፣ $x+1$ እና $14+4((x)^(2))$ ተከታታይ የውል ቃል የሆኑበትን የ$x$ ዋጋዎችን ሁሉ ያግኙ። የሂሳብ እድገት (በተጠቀሰው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። ምክንያቱም የተገለጹ ቁጥሮችየእድገት አባላት ናቸው፣ ለእነሱ የሂሳብ አማካይ ሁኔታ ረክቷል፡ ማዕከላዊው ንጥረ ነገር $ x+1$ በአጎራባች አካላት ሊገለጽ ይችላል፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ክላሲክ ሆነ ኳድራቲክ እኩልታ. ሥሩ፡- $x=2$ እና $x=-3$ መልሶች ናቸው።

መልስ፡-3; 2.

ተግባር ቁጥር 7 ቁጥሮች $-1፤4-3፤(()^(2))+1$ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩበትን የ$$ እሴቶችን ያግኙ (በዚያው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እንደገና እንግለጽ አማካይ አባልበአጎራባች ቃላቶች ሒሳብ አማካይነት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac((((x)^(2))+x)(2);\quad \ ግራ| \cdot 2 \ቀኝ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ኳድራቲክ እኩልታ እንደገና። እና እንደገና ሁለት ሥሮች አሉ-$ x=6$ እና $x=1$።

መልስ፡ 1; 6.

ችግርን በመፍታት ሂደት ውስጥ አንዳንድ ጭካኔ የተሞላባቸው ቁጥሮች ካገኙ ወይም በተገኙት መልሶች ትክክለኛነት ላይ ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ካልሆኑ ታዲያ እርስዎ እንዲፈትሹ የሚያስችልዎ አስደናቂ ዘዴ አለ ችግሩን በትክክል ፈትተናል?

በችግር ቁጥር 6 ላይ መልስ አግኝተናል እንበል -3 እና 2. እነዚህ መልሶች ትክክል መሆናቸውን እንዴት ማረጋገጥ እንችላለን? ወደ መጀመሪያው ሁኔታ ብቻ እንሰካቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ። ሶስት ቁጥሮች እንዳለን ላስታውስህ ($-6(()^(2))$፣ $+1$ እና $14+4()^(2))$) እነዚህም የሂሳብ እድገት መፍጠር አለባቸው። $x=-3$ እንተካ፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=-3\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ቁጥሮቹን አገኘን -54; -2; በ 52 የሚለየው 50 ምንም ጥርጥር የለውም የሂሳብ ግስጋሴ ነው። በ$x=2$ ተመሳሳይ ነገር ይከሰታል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=2\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደገና እድገት, ነገር ግን ልዩነት ጋር 27. ስለዚህም, ችግሩ በትክክል ተፈትቷል. የሚፈልጉት ሁለተኛውን ችግር በራሳቸው ማረጋገጥ ይችላሉ, ነገር ግን ወዲያውኑ እናገራለሁ: እዚያም ሁሉም ነገር ትክክል ነው.

በአጠቃላይ, የመጨረሻዎቹን ችግሮች እየፈታን ሳለ, ሌላ አጋጥሞናል አስደሳች እውነታእንዲሁም መታወስ ያለበት፡-

ሶስት ቁጥሮች ከሆነ ሁለተኛው መካከለኛ ነው መጀመሪያ አርቲሜቲክእና በመጨረሻ፣ ከዚያም እነዚህ ቁጥሮች የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ።

ወደፊት፣ ይህንን መግለጫ መረዳታችን በጥሬው “ንድፍ” እንድንሰራ ያስችለናል። አስፈላጊ እድገቶች, በችግሩ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት. ነገር ግን በእንደዚህ ዓይነት "ግንባታ" ውስጥ ከመሳተፋችን በፊት, ለአንድ ተጨማሪ እውነታ ትኩረት መስጠት አለብን, ይህም ቀደም ሲል ከተነጋገርነው በቀጥታ ይከተላል.

አባሎችን መቧደን እና ማጠቃለል

እንደገና ወደ ቁጥር ዘንግ እንመለስ። እስቲ በርካታ የዕድገት አባላትን እናስተውል በመካከላቸው ምናልባትም። ለብዙ ሌሎች አባላት ዋጋ አለው፡-

በቁጥር መስመር ላይ ምልክት የተደረገባቸው 6 አካላት አሉ።

“የግራ ጅራትን” በ$((a)_(n))$ እና $d$፣ እና “ቀኝ ጅራት” በ$((a)_(k))$ እና $d$ ለመግለፅ እንሞክር። በጣም ቀላል ነው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((ሀ)__(k-1))=(((ሀ)__(k)))) -d; \\ & ((ሀ)__(k-2))=(((ሀ)__(k))))) -2መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን የሚከተሉት መጠኖች እኩል መሆናቸውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n))+((a)__(k))=S; \\ & ((((a)__(n+1)))+((((a)__(k-1)))=(((a)__(n))+d+((ሀ)__(k))) -d= ኤስ; \\ & (((((a))__(n+2)))+((((a)__(k-2)))=(((a)__(n))+2d+((ሀ)__(k))))))-2d= ኤስ. \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በቀላል አነጋገር፣ የሂደቱን ሁለት አካላት እንደ ጅምር ከወሰድን ፣ እነዚህ በአጠቃላይ ከአንዳንድ ቁጥር $S$ ጋር እኩል ናቸው ፣ እና ከዚያ ከእነዚህ ንጥረ ነገሮች ወደ ውስጥ መግባት ከጀመርን ተቃራኒ ጎኖች(እርስ በርስ ወይም በተቃራኒው ለመራቅ), ከዚያ የምንሰናከልባቸው ንጥረ ነገሮች ድምርም እኩል ይሆናል።$S$ ይህ በጣም በግልፅ በግራፊክ ሊወከል ይችላል፡-

እኩል ውስጠቶች እኩል መጠን ይሰጣሉ

መረዳት ይህ እውነታችግሮችን በመሠረቱ የበለጠ ለመፍታት ያስችለናል ከፍተኛ ደረጃከላይ ከተመለከትናቸው ችግሮች ይልቅ. ለምሳሌ እነዚህ፡-

ተግባር ቁጥር 8 የመጀመሪያው ቃል 66 የሆነበትን የሂሳብ እድገት ልዩነት ይወስኑ ፣ እና የሁለተኛው እና የአስራ ሁለተኛው ቃላት ውጤት በጣም ትንሹ ነው።

መፍትሄ። የምናውቀውን ሁሉ እንጻፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=66; \\&d=? \\ & (((ሀ)__(2))\cdot ((ሀ)__(12))=\min . \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ፣ የሂደቱን ልዩነት $d$ አናውቅም። ምርቱ $(((a)__(2))\cdot ((a)_(12))$$ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ስለሚችል፣ ሁሉም መፍትሄ በልዩነቱ ዙሪያ ይገነባል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(2))=((ሀ)__(1))+d=66+d; \\ & (((ሀ)__(12))=((ሀ)__(1))+11d=66+11d; \\ & ((((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\ግራ(66+d \ቀኝ)\cdot \ግራ(66+11d \ቀኝ)= \\ & =11 \cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በማጠራቀሚያው ውስጥ ላሉት፡- አወጣሁት የጋራ ብዜት 11 ከሁለተኛው ቅንፍ. ስለዚህ, የሚፈለገው ምርት ከተለዋዋጭ $d$ አንጻር አራት ማዕዘን ተግባር ነው. ስለዚህ $f\ግራ(d \right)=11\ግራ(d+66 \ቀኝ)\ግራ(d+6 \ቀኝ)$ የሚለውን ተግባር አስቡበት - ግራፉ ከቅርንጫፎች ጋር ፓራቦላ ይሆናል ፣ ምክንያቱም ቅንፎችን ከሰፋን የሚከተሉትን እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=11\ግራ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((((መ)^(2)) d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ የከፍተኛው ጊዜ ብዛት 11 ነው - ይህ ነው። አዎንታዊ ቁጥር, ስለዚህ እኛ በእርግጥ ቅርንጫፎች ጋር ፓራቦላ ጋር እየተገናኘን ነው:

መርሐግብር ኳድራቲክ ተግባር- ፓራቦላ
ማስታወሻ: ዝቅተኛ ዋጋይህ ፓራቦላ $((መ)_(0))$ን ከአብሲሳ ጋር ይወስዳል። እርግጥ ነው፣ ይህንን አቢሲሳ መደበኛውን እቅድ በመጠቀም ማስላት እንችላለን (ቀመር $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) አለ)፣ ነገር ግን ማስታወሱ የበለጠ ምክንያታዊ ይሆናል። የሚፈለገው ጫፍ በፓራቦላ ዘንግ ሲምሜትሪ ላይ እንደሚገኝ፣ ስለዚህ ነጥቡ $((መ)_(0))$ ከቀመር $f\ግራ(d \ቀኝ)=0$ ሥሩ ይርቃል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=0; \\ & 11\cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)=0; \\ & (((መ)__(1))=-66፤\quad ((መ)__(2))=-6። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህም ነው ቅንፎችን ለመክፈት የተለየ ቸኩሎ ያልነበረኝ፡ በመጀመሪያ መልክ ሥሮቹ በጣም በጣም ቀላል ነበሩ። ስለዚህ, abscissa ከአማካይ ጋር እኩል ነው የሂሳብ ቁጥሮች-66 እና -6፡-

\[((መ)__(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

የተገኘው ቁጥር ምን ይሰጠናል? በእሱ አማካኝነት አስፈላጊው ምርት ይወስዳል ትንሹ እሴት(በነገራችን ላይ $((y)_(\min))$ በጭራሽ አላሰላንም - ይህ ከእኛ የሚፈለግ አይደለም። በተመሳሳይ ጊዜ, ይህ ቁጥር የዋናው እድገት ልዩነት ነው, ማለትም. መልሱን አግኝተናል። :)

መልስ፡-36

ተግባር ቁጥር 9 በቁጥር $ -\frac(1)(2)$ እና $-\frac(1)(6)$ መካከል ሶስት ቁጥሮችን አስገባ ከነዚህ ቁጥሮች ጋር አንድ ላይ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ።

መፍትሄ። በመሠረቱ, የአምስት ቁጥሮችን ቅደም ተከተል ማድረግ አለብን, ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው ቁጥር አስቀድሞ ይታወቃል. የጎደሉትን ቁጥሮች በተለዋዋጭዎቹ $x$፣ $y$ እና $z$ እንጥቀስ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \ቀኝ\ )\]

$y$ ቁጥር የእኛ ቅደም ተከተል "መካከለኛ" መሆኑን ልብ ይበሉ - ከቁጥሮች $ x$ እና $z$, እና ከቁጥሮች $ -\ frac (1) (2)$ እና $ -\frac ቁጥሮች ጋር እኩል ነው. (1) (6)$ እና ከቁጥሮች $x$ እና $z$ ከገባን በዚህ ቅጽበት$y$ ማግኘት አንችልም, ከዚያ ሁኔታው ከሂደቱ መጨረሻዎች ጋር የተለየ ነው. የሒሳብ ትርጉምን እናስታውስ፡-

አሁን፣ $y$ን በማወቅ፣ የተቀሩትን ቁጥሮች እናገኛለን። $x$ በ$ -\frac(1)(2)$ እና አሁን ባገኘነው $y=-\frac(1)(3)$ መካከል እንደሚገኝ ልብ ይበሉ። ለዛ ነው

ተመሳሳይ ምክንያትን በመጠቀም የቀረውን ቁጥር እናገኛለን፡-

ዝግጁ! ሶስቱንም ቁጥሮች አግኝተናል። በመጀመሪያዎቹ ቁጥሮች መካከል ማስገባት ያለባቸውን በቅደም ተከተል በመልሱ ውስጥ እንጽፋቸው.

መልስ፡- $ -\frac(5)(12)፤\ -\frac(1)(3)፤

ተግባር ቁጥር 10 በቁጥር 2 እና 42 መካከል የገቡት ቁጥሮች የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ እና የመጨረሻ ድምር 56 መሆኑን ካወቁ ፣ ከእነዚህ ቁጥሮች ጋር ፣ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩ ብዙ ቁጥሮችን ያስገቡ።

መፍትሄ። ይበልጥ ውስብስብ የሆነ ችግር, ሆኖም ግን, እንደ ቀድሞዎቹ ተመሳሳይ መርሃግብር - በሂሳብ ስሌት. ችግሩ ምን ያህል ቁጥሮች ማስገባት እንዳለብን በትክክል አለማወቃችን ነው። ስለዚህ ፣ ሁሉንም ነገር ከገባን በኋላ በትክክል $n$ ቁጥሮች እንደሚኖሩ እንገምት ፣ እና የመጀመሪያው 2 ፣ እና የመጨረሻው 42 ነው ። በዚህ ሁኔታ ፣ የሚፈለገው የሂሳብ እድገት በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል ።

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ$ 2;((ሀ)__(2));((ሀ)__(3));...;(( ሀ)_(n-1));42 \ቀኝ$\]

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56\]

ነገር ግን $((a)__(2))$ እና $((a)__(n-1))$ ቁጥሮች ከቁጥር 2 እና 42 ከዳርቻው በአንድ እርምጃ እርስበርስ እንደሚገኙ አስተውል። ማለትም. ወደ ቅደም ተከተል መሃል. እና ይሄ ማለት ነው።

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1))=2+42=44\]

ግን ከዚያ በላይ የተጻፈው አገላለጽ እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56; \\ & \ግራ(((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1)) \ቀኝ)+((ሀ)__(3))=56; \\ & 44+((ሀ)__(3))=56; \\ & ((ሀ)__(3))=56-44=12። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

$((a)__(3))$ እና $((a)__(1))$ን በማወቅ የሂደቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=12-2=10; \\ & (((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=\ግራ(3-1 \ቀኝ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ቀኝ ቀስት d=5። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የቀረውን ቀሪ ውሎችን ማግኘት ብቻ ነው፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=2; \\ & ((ሀ)__(2))=2+5=7; \\ & ((ሀ)__(3))=12; \\ & (((ሀ)__(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & (((ሀ)__(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & (((ሀ)__(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & (((ሀ)__(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & (((ሀ)__(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & (((ሀ)__(9))=2+8\cdot 5=42; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ, ቀድሞውኑ በ 9 ኛው ደረጃ በቅደም ተከተል በግራ በኩል እንደርሳለን - ቁጥር 42. በአጠቃላይ, 7 ቁጥሮች ብቻ ማስገባት ነበረባቸው: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

መልስ፡ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

የቃል ችግሮች በእድገት

ለማጠቃለል ያህል, በአንጻራዊ ሁኔታ ጥንዶችን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ ቀላል ተግባራት. ደህና፣ እንደዛ ቀላል፣ በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ትምህርት ለሚማሩ እና ከላይ የተጻፈውን ያላነበቡ አብዛኞቹ ተማሪዎች፣ እነዚህ ችግሮች ከባድ ሊመስሉ ይችላሉ። ቢሆንም፣ እነዚህ በ OGE እና በሒሳብ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ የሚታዩት የችግሮች አይነት ናቸው፣ ስለዚህ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እመክራለሁ።

ተግባር ቁጥር 11. ቡድኑ በጥር ወር 62 ክፍሎችን ያመረተ ሲሆን በየቀጣዩ ወር ካለፈው ወር 14 ተጨማሪ ክፍሎችን አምርቷል። ቡድኑ በህዳር ምን ያህል ክፍሎች አመረተ?

መፍትሄ። በወር የተዘረዘሩ ክፍሎች ቁጥር እየጨመረ የሚሄደውን የሂሳብ እድገትን እንደሚወክል ግልጽ ነው። ከዚህም በላይ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(1))=62;\quad d=14; \\ & (((a)_(n))=62+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 14. \\\መጨረሻ(align)\]

ህዳር የአመቱ 11ኛው ወር ነው፣ስለዚህ $((a)__(11))$ ማግኘት አለብን::

\[((ሀ)__(11))=62+10\cdot 14=202\]

ስለዚህ በህዳር ወር 202 ክፍሎች ይመረታሉ.

ተግባር ቁጥር 12. የመጽሃፍ ማሰሪያው አውደ ጥናት በጥር ወር 216 መጽሃፎችን ያሰረ ሲሆን በእያንዳንዱ ወር ውስጥ ካለፈው ወር የበለጠ 4 መጽሃፎችን አስሯል። ወርክሾፑ በታህሳስ ወር ስንት መጽሃፎችን አሳሰረ?

መፍትሄ። ሁሉም ተመሳሳይ:

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & (((a)__(n))=216+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 4. \\\መጨረሻ(align)$

ዲሴምበር የዓመቱ የመጨረሻ፣ 12ኛው ወር ነው፣ ስለዚህ እኛ የምንፈልገው $((a)__(12))$፡

\[((ሀ)__(12))=216+11\cdot 4=260\]

መልሱ ይህ ነው - በታህሳስ 260 መጽሃፎች ይታሰራሉ ።

ደህና፣ ይህን እስካሁን ካነበብክ፣ እንኳን ደስ ለማለት ቸኩያለሁ፡ በሂሳብ እድገቶች ውስጥ "የወጣቱን ተዋጊ ኮርስ" በተሳካ ሁኔታ አጠናቅቀሃል። ወደ ቀጣዩ ትምህርት በደህና መሄድ ይችላሉ ፣የእድገት ድምር ቀመርን እናጠናለን እንዲሁም አስፈላጊ እና በጣም። ጠቃሚ ውጤቶችከእሷ.

የመጀመሪያ ደረጃ

አርቲሜቲክ እድገት. ከምሳሌዎች ጋር ዝርዝር ንድፈ ሐሳብ (2019)

የቁጥር ቅደም ተከተል

የቁጥር ቅደም ተከተል
ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

በእኛ ሁኔታ፡-

በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል።
ለምሳሌ:

ወዘተ.
ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ይባላል።
“እድገት” የሚለው ቃል በ6ኛው ክፍለ ዘመን በሮማዊው ደራሲ ቦቲየስ አስተዋወቀ እና ሰፋ ባለ መልኩ እንደ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ተረድቷል። "ሒሳብ" የሚለው ስም በጥንታዊ ግሪኮች ከተጠናው ቀጣይነት ያለው ተመጣጣኝነት ጽንሰ-ሐሳብ ተላልፏል.

የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ እንዳልሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ፡

ሀ)
ለ)
ሐ)
መ)

ገባኝ? መልሶቻችንን እናወዳድር፡-
ነውየሂሳብ እድገት - b, c.
አይደለምየሂሳብ እድገት - a, d.

ወደ ተሰጠው ግስጋሴ () እንመለስ እና የሱን ኛ ቃል ዋጋ ለማግኘት እንሞክር። አለ። ሁለትለማግኘት መንገድ.

1. ዘዴ

ስለዚህ፣ የተገለፀው የሂሳብ እድገት ኛ ቃል እኩል ነው።

2. ዘዴ

ለምሳሌ፣ የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ የሁለተኛው ቃል ዋጋ ምን እንደሚይዝ እንመልከት፡-

በሌላ ቃል:

የአንድ የተወሰነ የሂሳብ እድገት አባል ዋጋ በዚህ መንገድ እራስዎን ለማግኘት ይሞክሩ።

አሰላለው? ማስታወሻዎችዎን ከመልሱ ጋር ያወዳድሩ፡-

የሒሳብ ግስጋሴ ውሎችን በቅደም ተከተል ወደ ቀድሞው እሴት ስንጨምር ልክ እንደ ቀደመው ዘዴ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ እባክዎ ልብ ይበሉ።
ይህንን ቀመር “ሰውን ለማሳጣት” እንሞክር - በአጠቃላይ መልክ እናስቀምጠው እና የሚከተሉትን እናገኛለን

አርቲሜቲክ ግስጋሴ እኩልታ.

አርቲሜቲክ እድገቶች እየጨመረ ወይም እየቀነሱ ሊሆኑ ይችላሉ.

እየጨመረ ነው።- እያንዳንዱ ቀጣይ የቃላቶች ዋጋ ከቀዳሚው የሚበልጥባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

መውረድ- እያንዳንዱ ቀጣይ የውሎቹ ዋጋ ከቀዳሚው ያነሰባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

የተገኘው ቀመር የቃላት ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው በማደግ እና በመቀነስ የሂሳብ እድገት ቃላቶች ነው።
ይህንን በተግባር እንፈትሽ።
የሚከተሉትን ቁጥሮች የያዘ የሂሳብ ግስጋሴ ተሰጥቶናል፡ ቀመራችንን ለማስላት ከተጠቀምንበት የዚህ የሂሳብ እድገት ኛ ቁጥር ምን እንደሚሆን እንፈትሽ።

ከዛን ጊዜ ጀምሮ:

ውጤቱን እናወዳድር፡-

አርቲሜቲክ እድገት ንብረት

አህ፣ እንግዲያውስ፡-

የቀደመው የሂደቱ ቃል፡-
የሚቀጥለው የእድገት ጊዜ የሚከተለው ነው-

የቀደመውን እና ተከታዩን የሂደቱን ውሎች እናጠቃልል።

ልክ ነው, ተመሳሳይ ቁጥር አግኝተናል. ቁሳቁሱን እንጠብቅ። ለእድገት ዋጋውን እራስዎ ያሰሉ, በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም.

ካርል ጋውስ የ9 ዓመት ልጅ ሳለ፣ አንድ መምህር፣ በሌሎች ክፍሎች ውስጥ ያሉትን የተማሪዎችን ስራ በመፈተሽ የተጠመደ፣ በክፍል ውስጥ የሚከተለውን ተግባር ሰጠ፡- “የተፈጥሮ ቁጥሮችን ከ (ሌሎች ምንጮች እንደሚለው) አካታች ያለውን ድምር አስላ። ከመምህሩ አንዱ (ይህ ካርል ጋውስ ነበር) ከአንድ ደቂቃ በኋላ ለተግባሩ ትክክለኛውን መልስ ሲሰጥ መምህሩ ምን ያህል እንደተገረመ አስቡት ፣ አብዛኛዎቹ የድፍረት ክፍል ተማሪዎች ከረዥም ስሌት በኋላ የተሳሳተ ውጤት ሲያገኙ…

አሁን ንገረኝ ፣ በተሰጠን እድገት ውስጥ በአጠቃላይ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? እርግጥ ነው, በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ማለትም.
የሁለት ቃላቶች ድምር የሂሳብ ግስጋሴ እኩል እና ተመሳሳይ ጥንዶች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ በመመስረት አጠቃላይ ድምር እኩል ይሆናል፡-
.
ስለዚህ የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ምን ያህል አገኘህ?
ጋውስ የቃላቶቹ ድምር እኩል እና የቃላቶቹ ድምር መሆኑን ደርሰውበታል። እርስዎ የወሰኑት እንደዚህ ነው?

በእርግጥ፣ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ቀመር በጥንታዊው ግሪክ ሳይንቲስት ዲዮፋንተስ በ 3 ኛው ክፍለ ዘመን የተረጋገጠ ሲሆን በዚህ ጊዜ ውስጥ ጠንቋዮች የሒሳብ ግስጋሴን ባህሪያት ሙሉ በሙሉ ተጠቅመዋል።
ለምሳሌ የጥንቷ ግብፅን እና የዚያን ጊዜ ትልቁን የግንባታ ፕሮጀክት - የፒራሚድ ግንባታ... ምስሉ አንድ ጎን ያሳያል።

በዚህ ሁኔታ, እድገቱ እንደዚህ ይመስላል.
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
የሂሳብ እድገት ውሎች ብዛት።
የእኛን መረጃ በመጨረሻዎቹ ቀመሮች እንተካው (የብሎኮችን ብዛት በ 2 መንገዶች አስላ)።

ዘዴ 1.

ዘዴ 2.

ስልጠና

ተግባራት፡

ማሻ ለበጋው ቅርፅ እያገኘ ነው። በየቀኑ የቁንጮዎችን ቁጥር ይጨምራል. ማሻ በመጀመሪያው የስልጠና ክፍለ ጊዜ ላይ ስኩዊቶችን ካደረገች በሳምንት ውስጥ ስንት ጊዜ ስኩዊቶችን ታደርጋለች?
የሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ምንድነው?
መዝገቦችን በሚያከማቹበት ጊዜ እያንዳንዱ የላይኛው ንብርብር ከቀዳሚው ያነሰ አንድ ሎግ እንዲይዝ በሚያስችል መንገድ ይቆልላቸዋል። የግንበኝነት መሰረቱ ግንድ ከሆነ በአንድ ግንበኝነት ውስጥ ስንት እንጨቶች አሉ?

መልሶች፡-

የሒሳብ ግስጋሴውን መለኪያዎች እንገልጻለን። በዚህ ጉዳይ ላይ
(ሳምንት = ቀናት)።
መልስ፡-በሁለት ሳምንታት ውስጥ ማሻ በቀን አንድ ጊዜ ስኩዊቶችን ማድረግ አለበት.
የመጀመሪያው ያልተለመደ ቁጥር ፣ የመጨረሻ ቁጥር።
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
በ ውስጥ ያሉት ያልተለመዱ ቁጥሮች ብዛት ግማሽ ነው ፣ ሆኖም ፣ የሂሳብ እድገትን ኛ ቃል ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እውነታ እንፈትሽ።
ቁጥሮች ያልተለመዱ ቁጥሮች ይይዛሉ።
ያለውን መረጃ በቀመር እንተካው፡-
መልስ፡-በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር እኩል ነው።
ስለ ፒራሚዶች ያለውን ችግር እናስታውስ። በእኛ ሁኔታ, ሀ , እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን በአንድ ሎግ ስለሚቀንስ, ከዚያም በአጠቃላይ የንብርብሮች ስብስብ አለ, ማለትም.
ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-
መልስ፡-በግንበኛው ውስጥ የምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ.

እናጠቃልለው

- በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል። እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ሊሆን ይችላል.
ቀመር ማግኘትየሒሳብ ግስጋሴ ኛ ቃል በቀመር የተጻፈው - , በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት ነው.
የሒሳብ እድገት አባላት ንብረት- - በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ብዛት የት አለ?
የሒሳብ እድገት ውሎች ድምርበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል-

, የእሴቶቹ ብዛት የት ነው.

አርቲሜቲክ እድገት. አማካይ ደረጃ

የቁጥር ቅደም ተከተል

እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ አባል ይባላል።

የተከታታዩ ኛ ቃል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ የሚችል ከሆነ በጣም ምቹ ነው. ለምሳሌ, ቀመር

ቅደም ተከተል ያስቀምጣል:

እና ቀመሩ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ እድገት ቅደም ተከተል ነው (የመጀመሪያው ቃል እዚህ እኩል ነው ፣ እና ልዩነቱ)። ወይም (, ልዩነት).

n ኛ ቃል ቀመር

ለምሳሌ ይህንን ቀመር በመጠቀም የሂደቱን ኛ ቃል ለማግኘት የቀደመውን ዘጠኙን ማስላት አለብን። ለምሳሌ, ይተውት. ከዚያም፡-

ደህና ፣ አሁን ቀመሩ ምን እንደሆነ ግልፅ ነው?

አሁን የበለጠ ምቹ ፣ አይደል? እኛ እንፈትሻለን፡-

ለራስዎ ይወስኑ፡-

በሒሳብ ግስጋሴ፣ የ nኛውን ቃል ቀመር ይፈልጉ እና መቶኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው ቃል እኩል ነው. ልዩነቱ ምንድን ነው? እነሆ፡-

(ለዚህም ነው ልዩነት ተብሎ የሚጠራው ምክንያቱም ከእድገት ተከታታይ ውሎች ልዩነት ጋር እኩል ስለሆነ ነው).

ስለዚህ ቀመር፡-

ከዚያ የመቶኛው ቃል እኩል ነው፡-

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ እስከ ስንት ነው?

በአፈ ታሪክ መሰረት, ታላቁ የሂሳብ ሊቅ ካርል ጋውስ, የ 9 አመት ልጅ እያለ, ይህንን መጠን በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ ያሰላል. የአንደኛውና የመጨረሻዎቹ ቁጥሮች ድምር እኩል መሆናቸውን፣ የሁለተኛው እና የመጨረሻው ድምር አንድ፣ የሦስተኛውና የመጨረሻው 3 ኛ ድምር አንድ ነው፣ ወዘተ. በጠቅላላው ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? ልክ ነው፣ በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ቁጥር፣ ማለትም። ስለዚህ፣

የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር አጠቃላይ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ለምሳሌ:
የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ብዜቶች ድምርን ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ቁጥር ይህ ነው. እያንዳንዱ ቀጣይ ቁጥር የሚገኘው ወደ ቀድሞው ቁጥር በመጨመር ነው. ስለዚህ እኛ የምንፈልጋቸው ቁጥሮች ከመጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱ ጋር የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ።

ለዚህ እድገት የኛው ቃል ቀመር፡-

ሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ መሆን ካለባቸው በእድገት ውስጥ ስንት ቃላት አሉ?

በጣም ቀላል: .

የሂደቱ የመጨረሻ ቃል እኩል ይሆናል. ከዚያም ድምር:

መልስ፡.

አሁን ለራስዎ ይወስኑ:

በየቀኑ አትሌቱ ካለፈው ቀን የበለጠ ሜትሮችን ይሮጣል። በመጀመሪያው ቀን ኪሜ ሜትር ቢሮጥ በሳምንት ውስጥ ስንት ጠቅላላ ኪሎ ሜትር ይሮጣል?
አንድ ብስክሌተኛ በየቀኑ ካለፈው ቀን የበለጠ ኪሎ ሜትሮችን ይጓዛል። በመጀመሪያው ቀን ኪ.ሜ ተጉዟል። አንድ ኪሎ ሜትር ለመጓዝ ስንት ቀናት መጓዝ ያስፈልገዋል? በመጨረሻው የጉዞው ቀን ስንት ኪሎ ሜትር ይጓዛል?
በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለው የማቀዝቀዣ ዋጋ በየዓመቱ በተመሳሳይ መጠን ይቀንሳል. የፍሪጅ ዋጋ በየአመቱ ምን ያህል እንደሚቀንስ ይወስኑ, ለሩብል የሚሸጥ ከሆነ, ከስድስት አመት በኋላ በሩብል ከተሸጠ.

መልሶች፡-

እዚህ በጣም አስፈላጊው ነገር የሂሳብ እድገትን ማወቅ እና ግቤቶችን መወሰን ነው. በዚህ ሁኔታ, (ሳምንት = ቀናት). የዚህ እድገት የመጀመሪያ ውሎች ድምርን መወሰን ያስፈልግዎታል
.
መልስ፡-
እዚህ ተሰጥቷል:, መገኘት አለበት.
እንደቀድሞው ችግር ተመሳሳይ ድምር ቀመር መጠቀም እንደሚያስፈልግ ግልጽ ነው።
.
እሴቶቹን ይተኩ፡
ሥሩ በትክክል አይጣጣምም, ስለዚህ መልሱ ነው.
የኛውን ቃል ቀመር በመጠቀም በመጨረሻው ቀን የተጓዝንበትን መንገድ እናሰላ።
(ኪሜ)
መልስ፡-
የተሰጠው፡. አግኝ፡.
የበለጠ ቀላል ሊሆን አይችልም፡-
(ማሸት)።
መልስ፡-

አርቲሜቲክ እድገት. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ይህ በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው።

አርቲሜቲክ እድገት እየጨመረ () እና እየቀነሰ () ሊሆን ይችላል.

ለምሳሌ:

የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ለማግኘት ቀመር

በቀመር የተጻፈው በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ቁጥር የት ነው.

የሒሳብ እድገት አባላት ንብረት

የአርቲሜቲክ እድገት ውሎች ድምር

መጠኑን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ-

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

የትምህርት አይነት፡-አዲስ ቁሳቁስ መማር.

የትምህርት ዓላማዎች፡-

የሂሳብ እድገትን በመጠቀም የተፈቱ ችግሮችን የተማሪዎችን ግንዛቤ ማስፋት እና ጥልቅ ማድረግ; የሒሳብ እድገት የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር ሲወጣ የተማሪዎችን የፍለጋ እንቅስቃሴዎች ማደራጀት;
አዲስ እውቀትን በተናጥል የማግኘት ችሎታን ማዳበር እና የተሰጠውን ተግባር ለማሳካት ቀድሞውኑ የተገኘውን እውቀት መጠቀም ፣
የተገኘውን እውነታ ጠቅለል አድርጎ የመግለጽ ፍላጎት እና ፍላጎት ማዳበር፣ ነፃነትን ማዳበር።

ተግባራት፡

"የሂሳብ እድገት" በሚለው ርዕስ ላይ ያለውን እውቀት ማጠቃለል እና ስርዓት ማበጀት;
የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ውሎች ድምርን ለማስላት ቀመሮችን ማውጣት;
ሲፈቱ የተገኙትን ቀመሮች እንዴት እንደሚተገበሩ ያስተምሩ የተለያዩ ተግባራት;
የቁጥር አገላለጽ ዋጋን ለማግኘት የተማሪዎችን ትኩረት ወደ ሂደቱ ይሳቡ።

መሳሪያ፡

በቡድን እና ጥንድ ውስጥ ለመስራት ተግባራት ያላቸው ካርዶች;
የግምገማ ወረቀት;
አቀራረብ"የሂሳብ እድገት"

I. መሰረታዊ እውቀትን ማዘመን.

1. ገለልተኛ ሥራበጥንድ.

1 ኛ አማራጭ:

የሂሳብ እድገትን ይግለጹ። የሂሳብ እድገትን የሚገልጽ የተደጋጋሚነት ቀመር ይጻፉ። እባክዎን የሂሳብ እድገት ምሳሌ ያቅርቡ እና ልዩነቱን ያመልክቱ።

2 ኛ አማራጭ:

የሂሳብ እድገትን ለ Nth ቃል ቀመር ይፃፉ። የሂሳብ እድገትን 100 ኛ ቃል ይፈልጉ ( አንድ n}: 2, 5, 8 …
በዚህ ጊዜ ሁለት ተማሪዎች የኋላ ጎንቦርዶች ለእነዚህ ተመሳሳይ ጥያቄዎች መልስ እያዘጋጁ ነው.
ተማሪዎች የባልደረባቸውን ስራ በቦርዱ ላይ በማጣራት ይገመግማሉ። (መልሶች የያዙ ሉሆች ገብተዋል።)

2. የጨዋታ ጊዜ.

መልመጃ 1.

መምህር።የሆነ የሂሳብ እድገት አሰብኩ። ከመልሶቹ በኋላ የዚህን እድገት 7 ኛ ቃል በፍጥነት ለመሰየም እንድትችሉ ሁለት ጥያቄዎችን ብቻ ጠይቁኝ። (1፣ 3፣ 5፣ 7፣ 9፣ 11፣ 13፣ 15…)

የተማሪዎች ጥያቄዎች.

የሂደቱ ስድስተኛው ቃል ምንድን ነው እና ልዩነቱ ምንድነው?
የሂደቱ ስምንተኛው ቃል ምንድን ነው እና ልዩነቱ ምንድነው?

ተጨማሪ ጥያቄዎች ከሌሉ መምህሩ ሊያነቃቃቸው ይችላል - በ d (ልዩነት) ላይ “ክልከላ” ፣ ማለትም ፣ ልዩነቱ ከምን ጋር እኩል እንደሆነ መጠየቅ አይፈቀድም። ጥያቄዎችን መጠየቅ ይችላሉ-የእድገት 6 ኛ ቃል ከምን ጋር እኩል ነው እና የእድገት 8 ኛ ቃል ከምን ጋር እኩል ነው?

ተግባር 2.

በቦርዱ ላይ 20 ቁጥሮች ተጽፈዋል። 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

መምህሩ ጀርባውን ወደ ቦርዱ ይቆማል. ተማሪዎች ቁጥሩን ይጠሩታል, እና መምህሩ ወዲያውኑ ቁጥሩን ይደውላል. ይህን እንዴት ማድረግ እንደምችል አስረዳኝ?

መምህሩ ለ n ኛ ቃል ቀመር ያስታውሳል a n = 3n - 2እና የተገለጹትን እሴቶች n በመተካት ተጓዳኝ እሴቶችን ያገኛል አንድ n.

II. ዝግጅት የትምህርት ተግባር.

ከክርስቶስ ልደት በፊት በ2ኛው ሺህ ዘመን የነበረ፣ በግብፅ ፓፒሪ ውስጥ የተገኘውን ጥንታዊ ችግር ለመፍታት ሀሳብ አቀርባለሁ።

ተግባር፡-" 10 መስፈሪያ ገብስ ለ 10 ሰዎች ክፈሉ በያንዳንዱ ሰው እና በባልንጀራው መካከል ያለው ልዩነት የሚለካው 1/8 ነው" ይበል።

ይህ ችግር ከርዕሱ የሂሳብ እድገት ጋር እንዴት ይዛመዳል? (እያንዳንዱ ቀጣይ ሰው ከመለኪያው 1/8 የበለጠ ይቀበላል፣ ይህም ማለት ልዩነቱ d=1/8፣ 10 ሰዎች ነው፣ ትርጉሙም n=10 ማለት ነው።)
10 ቁጥር መለኪያ ምን ማለት ነው ብለው ያስባሉ? (የእድገት ውሎች ድምር።)
በችግሩ ሁኔታ መሰረት ገብስ ለመከፋፈል ቀላል እና ቀላል ለማድረግ ሌላ ምን ማወቅ ያስፈልግዎታል? (የእድገት የመጀመሪያ ጊዜ።)

የትምህርት ዓላማ- በእድገት ቃላቶች ድምር ጥገኝነት በቁጥር ፣በመጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱ ላይ ጥገኝነት ማግኘት እና ችግሩ በጥንት ጊዜ በትክክል መፈታቱን ማረጋገጥ።

ቀመሩን ከማውጣታችን በፊት፣ የጥንት ግብፃውያን ችግሩን እንዴት እንደፈቱት እንመልከት።

እናም እንደሚከተለው ፈቱት።

1) 10 መለኪያዎች: 10 = 1 መለኪያ - አማካይ ድርሻ;
2) 1 መለኪያ ∙ = 2 መለኪያዎች - በእጥፍ አማካይአጋራ.
በእጥፍ አድጓል። አማካይድርሻ የ 5 ኛ እና 6 ኛ ሰው አክሲዮኖች ድምር ነው።
3) 2 መለኪያዎች - 1/8 መለኪያዎች = 1 7/8 መለኪያዎች - የአምስተኛው ሰው ድርሻ በእጥፍ.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - የአምስተኛ ክፍል; እና ወዘተ, የእያንዳንዱን የቀድሞ እና ቀጣይ ሰው ድርሻ ማግኘት ይችላሉ.

ቅደም ተከተል እናገኛለን:

III. ችግሩን መፍታት.

1. በቡድን መስራት

ቡድን I፡የ20 ተከታታይ የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምርን ያግኙ፡- S 20 = (20+1)∙10 =210.

በአጠቃላይ

II ቡድን:የተፈጥሮ ቁጥሮችን ከ1 እስከ 100 (የትንሽ ጋውስ አፈ ታሪክ) ድምርን ያግኙ።

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

ማጠቃለያ፡-

III ቡድን:ከ 1 እስከ 21 ያሉትን የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ያግኙ።

መፍትሄ፡ 1+21=2+20=3+19=4+18...

ማጠቃለያ፡-

IV ቡድን:የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምርን ከ1 እስከ 101 ያግኙ።

ማጠቃለያ፡-

ይህ የታሰቡትን ችግሮች የመፍታት ዘዴ "የጋውስ ዘዴ" ይባላል.

2. እያንዳንዱ ቡድን ለችግሩ መፍትሄ በቦርዱ ላይ ያቀርባል.

3. የዘፈቀደ የሂሳብ እድገትን በተመለከተ የታቀዱት መፍትሄዎች አጠቃላይነት፡-

a 1፣ a 2፣ a 3፣…፣ a n-2፣ a n-1፣ a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

ይህን ድምር ተመሳሳይ ምክንያት በመጠቀም እናገኘው፡-

4. ችግሩን ፈትተናል?(አዎ.)

IV. ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ የተገኙትን ቀመሮች የመጀመሪያ ደረጃ ግንዛቤ እና አተገባበር.

1. ቀመሩን በመጠቀም ለጥንታዊ ችግር መፍትሄ ማረጋገጥ.

2. የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት ቀመሩን ተግባራዊ ማድረግ.

3. ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ቀመሮችን የመተግበር ችሎታን ለማዳበር መልመጃዎች.

ሀ) ቁጥር ፮፻፲፫

የተሰጠው: ( ሀ) -የሂሳብ እድገት;

(a n)፡ 1፣ 2፣ 3፣ …፣ 1500

አግኝ፡ ኤስ 1500

መፍትሄ፡- , a 1 = 1, እና 1500 = 1500,

ለ) የተሰጠው: ( ሀ) -የሂሳብ እድገት;
(a n)፡ 1፣ 2፣ 3፣…
ኤስ n = 210

አግኝ፡ n
መፍትሄ፡-

V. ከጋራ ማረጋገጫ ጋር ገለልተኛ ሥራ።

ዴኒስ ተላላኪ ሆኖ መሥራት ጀመረ። በመጀመሪያው ወር ደመወዙ 200 ሩብልስ ነበር, በእያንዳንዱ ቀጣይ ወር በ 30 ሩብልስ ጨምሯል. በዓመት ውስጥ በአጠቃላይ ምን ያህል ገቢ አገኘ?

የተሰጠው: ( ሀ) -የሂሳብ እድገት;
a 1 = 200, d=30, n=12
አግኝ፡ ኤስ 12
መፍትሄ፡-

መልስ: ዴኒስ ለዓመቱ 4380 ሩብልስ ተቀብሏል.

VI. የቤት ስራ መመሪያ.

ክፍል 4.3 - የቀመርውን አመጣጥ ይማሩ.
№№ 585, 623 .
የመጀመሪያውን n የሂሳብ እድገት ድምር ቀመር በመጠቀም ሊፈታ የሚችል ችግር ይፍጠሩ።

VII. ትምህርቱን በማጠቃለል.

1. የውጤት ሉህ

2. ዓረፍተ ነገሮቹን ይቀጥሉ

ዛሬ ክፍል ውስጥ ተምሬያለሁ…
የተማሩ ቀመሮች...
አምናለሁ…

3. የቁጥሮችን ድምር ከ 1 እስከ 500 ማግኘት ይችላሉ? ይህንን ችግር ለመፍታት ምን ዘዴ ይጠቀማሉ?

መጽሃፍ ቅዱስ።

1. አልጀብራ, 9 ኛ ክፍል. አጋዥ ስልጠና ለ የትምህርት ተቋማት. ኢድ. ጂ.ቪ. ዶሮፊቫ.መ፡ “መገለጥ”፣ 2009