ስለዚህ የተከታታይ ድምርን አስላ, የረድፍ አባሎችን በተሰጠ ቁጥር ብቻ ማከል ያስፈልግዎታል. ለምሳሌ:
ከላይ በምሳሌው ላይ፣ ማጠቃለል ስላለብን ይህ የተደረገው በጣም ቀላል ነው። የመጨረሻ ቁጥርአንድ ጊዜ. ነገር ግን የማጠቃለያው የላይኛው ገደብ ማለቂያ የሌለው ከሆነስ? ለምሳሌ፣ የሚከተለውን ተከታታይ ድምር ማግኘት ከፈለግን፡-
ከቀዳሚው ምሳሌ ጋር በማነፃፀር ይህንን መጠን እንደሚከተለው መጻፍ እንችላለን-
ግን ቀጥሎ ምን ይደረግ?! በዚህ ደረጃ ላይ ጽንሰ-ሐሳቡን ማስተዋወቅ አስፈላጊ ነው ከፊል መጠንረድፍ. ስለዚህ፣ የተከታታዩ ከፊል ድምር(የተጠቆመው S n) የተከታታዩ የመጀመሪያ n ውሎች ድምር ነው። እነዚያ። በእኛ ሁኔታ፡-
ከዚያ የዋናው ተከታታዮች ድምር እንደ ከፊል ድምር ወሰን ሊሰላ ይችላል።
ስለዚህም ለ ተከታታይ ድምርን በማስላት ላይ፣ ለተከታታዩ ከፊል ድምር (S n) በሆነ መንገድ አገላለጽ ማግኘት ያስፈልጋል። በእኛ የተወሰነ ጉዳይተከታታይ 1/3 መለያ ያለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነው። እንደምናውቀው, የመጀመሪያዎቹ n ንጥረ ነገሮች ድምር የጂኦሜትሪክ እድገትበቀመርው ይሰላል፡-
እዚህ b 1 የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የመጀመሪያ አካል ነው (በእኛ ሁኔታ 1 ነው) እና q የእድገት መለያ ነው (በእኛ ሁኔታ 1/3)። ስለዚህ፣ ለ ተከታታዮቻችን ከፊል ድምር S n እኩል ነው፡-
ከዚያም የኛ ተከታታዮች (S) ድምር ከላይ በተገለጸው ፍቺ መሠረት እኩል ነው።
ከላይ የተገለጹት ምሳሌዎች በጣም ቀላል ናቸው. ብዙውን ጊዜ የተከታታይ ድምርን ማስላት በጣም ከባድ ነው እና ትልቁ ችግር የተከታታዩን ከፊል ድምር ማግኘት ላይ ነው። ከታች ተለይቶ የቀረበ የመስመር ላይ ማስያ, በ Wolfram Alpha ስርዓት ላይ በመመስረት, በትክክል የተወሳሰቡ ተከታታይ ድምርን ለማስላት ያስችልዎታል. ከዚህም በላይ, ካልኩሌተሩ የተከታታዩ ድምርን ማግኘት ካልቻለ, ይህ ሊሆን ይችላል ይህ ተከታታይየተለያየ ነው (በዚህ አጋጣሚ ካልኩሌተሩ እንደ "sum diverges" ያለ መልእክት ያሳያል)፣ ማለትም። ይህ ካልኩሌተር በተዘዋዋሪም የተከታታዩን መገጣጠም ሀሳብ ለማግኘት ይረዳል።
የእርስዎን ተከታታዮች ድምር ለማግኘት፣ የተከታታዩን ተለዋዋጭ፣ የማጠቃለያውን የታችኛው እና የላይኛው ወሰን፣ እንዲሁም የተከታታዩን n ኛ ቃል አገላለጽ (ማለትም ለተከታታዩ ራሱ ትክክለኛው አገላለጽ) መግለጽ ያስፈልግዎታል። .
አንዳንድ የፊዚክስ እና የሂሳብ ችግሮች ባህሪያቱን በመጠቀም ሊፈቱ ይችላሉ። ተከታታይ ቁጥር. በትምህርት ቤቶች ውስጥ የሚያስተምሩት ሁለቱ ቀላል የቁጥር ቅደም ተከተሎች አልጀብራ እና ጂኦሜትሪክ ናቸው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ድምርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የሚለውን ጥያቄ በዝርዝር እንመለከታለን ማለቂያ የሌለው እድገትጂኦሜትሪክ እየቀነሰ.
ግስጋሴ ጂኦሜትሪክ
እነዚህ ቃላቶች የሚከተሉት ተከታታይ ናቸው እውነተኛ ቁጥሮችየማንን ንጥረ ነገሮች አገላለጹን አሟላለሁ፡-
እዚህ እኔ በረድፍ ውስጥ ያለው የኤለመንቱ ቁጥር ነው፣ r ነው። ቋሚ ቁጥር, እሱም መለያው ይባላል.
ይህ ፍቺ የሚያሳየው የትኛውንም የሂደቱን አባል እና መለያውን በማወቅ አጠቃላይ ተከታታይ ቁጥሮችን ወደነበሩበት መመለስ ይችላሉ። ለምሳሌ, 10 ኛው አካል ከታወቀ, ከዚያም በ r መከፋፈል 9 ኛ ኤለመንት ያገኛል, ከዚያም እንደገና መከፋፈል 8 ኛ እና የመሳሰሉትን ያገኛል. እነዚህ ቀላል ምክንያትከግምት ውስጥ ላሉ ተከታታይ ቁጥሮች የሚሰራ አገላለጽ እንድንጽፍ ፍቀድልን፡-
ከ 2 ተከፋይ ጋር የሂደት ምሳሌ የሚከተለው ተከታታይ ይሆናል፡
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
መለያው ከ -2 ጋር እኩል ከሆነ ሙሉ ለሙሉ የተለየ ተከታታይ ተገኝቷል-
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ከአልጀብራ እድገት በጣም ፈጣን ነው, ማለትም, ቃላቱ በፍጥነት ይጨምራሉ እና በፍጥነት ይቀንሳል.
የዕድገት ውሎች ድምር
ለመፍትሄዎች ተግባራዊ ችግሮችብዙውን ጊዜ ከግምት ውስጥ ያሉትን በርካታ ንጥረ ነገሮች ድምርን ማስላት አለብዎት የቁጥር ቅደም ተከተል. ለዚህ ጉዳይ እውነት ነው የሚከተለው ቀመር:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
የ i ቃላትን ድምርን ለማስላት ሁለት ቁጥሮችን ብቻ ማወቅ እንደሚያስፈልግ ማየት ይቻላል: a 1 እና r, እሱም አመክንዮአዊ ነው, ምክንያቱም እነሱ ልዩ በሆነ መልኩ ሙሉውን ቅደም ተከተል ይወስናሉ.
የመቀነስ ቅደም ተከተል እና የውሎቹ ድምር
አሁን እናስብበት ልዩ ጉዳይ. የዲኖሚተር ሞጁል r ከአንድ አይበልጥም, ማለትም -1 ብለን እንገምታለን እየቀነሰ ያለ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ግምት ውስጥ የሚገባ ነው ምክንያቱም የቃላቶቹ ወሰን የሌለው ድምር ወደ ውሱን እውነተኛ ቁጥር ስለሚይዝ ነው። የድምሩ ቀመርን እናግኝ፡ በቀደመው አንቀፅ ላይ የተሰጠውን የኤስ አገላለጽ ከጻፉ ይህን ማድረግ ቀላል ነው። እና አለነ: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) i->∞ ሲሆን ጉዳዩን እናስብ። የመቀየሪያው ሞጁል ከ 1 ያነሰ ስለሆነ, ወደማይታወቅ ኃይል ማሳደግ ዜሮን ይሰጣል. ይህንን የ r=0.5 ምሳሌ በመጠቀም ማረጋገጥ ይቻላል፡- 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. በውጤቱም፣ ማለቂያ የሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምር ቅጹን ይወስዳል፡- ይህ ቀመር ብዙውን ጊዜ በተግባር ላይ ይውላል, ለምሳሌ, የአሃዞችን ቦታዎች ለማስላት. በተጨማሪም የዜኖ ኦቭ ኤሊያን አያዎ (ፓራዶክስ) ከኤሊ እና ከአክሌስ ጋር ለመፍታት ጥቅም ላይ ይውላል. ማለቂያ የሌለው የጂኦሜትሪክ እድገት እድገት (r>1) ድምርን ግምት ውስጥ በማስገባት ወደ ውጤቱ S ∞ = +∞ እንደሚመራ ግልጽ ነው። ችግሩን ለመፍታት ምሳሌን በመጠቀም ከላይ ያሉትን ቀመሮች እንዴት እንደሚተገበሩ እናሳይ። የማይገደብ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር 11 እንደሆነ ይታወቃል።ከዚህም በላይ 7ኛው ቃል ከሦስተኛው ቃል በ6 እጥፍ ያነሰ ነው። ለዚህ ተከታታይ ቁጥር የመጀመሪያው አካል ምንድን ነው? በመጀመሪያ, 7 ኛ እና 3 ኛ ክፍሎችን ለመወሰን ሁለት አባባሎችን እንጻፍ. እናገኛለን፡- የመጀመሪያውን አገላለጽ ለሁለተኛው ከፋፍለን እና መለያውን ስንገልጽ፡- a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) የሰባተኛው እና የሶስተኛው ቃላት ጥምርታ በችግር መግለጫው ውስጥ ስለተሰጠ እሱን በመተካት r ማግኘት ይችላሉ። r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 እኛ r ወደ አምስት አስርዮሽ ቦታዎች አስልተናል. የተገኘው እሴት ከአንድ ያነሰ ስለሆነ, እድገቱ እየቀነሰ ነው, ይህም ላልተወሰነ ድምር ቀመር መጠቀምን ያረጋግጣል. ለመጀመሪያው ቃል አገላለጹን በ S ∞ ድምር እንፃፍ፡- የታወቁ እሴቶችን ወደዚህ ቀመር እንተካለን እና መልሱን እናገኛለን a 1 = 11 * (1-0.63894) = 3.97166. የኤልያ ዜኖ በ5ኛው ክፍለ ዘመን ከክርስቶስ ልደት በፊት የኖረ ታዋቂ የግሪክ ፈላስፋ ነው። ሠ. በርካታ አፖጊዎች ወይም አያዎ (ፓራዶክስ) ዛሬ ላይ ደርሰዋል፣ በዚህ ጊዜ ገደብ የለሽ ትልቅ እና ወሰን የሌለው የሂሳብ ችግር የተቀመረበት። የዜኖ ታዋቂ ፓራዶክስ አንዱ በአኪልስ እና በዔሊ መካከል ያለው ውድድር ነው። ዜኖ አኪልስ ለኤሊው በርቀት የተወሰነ ጥቅም ከሰጠው በጭራሽ ሊደርስበት እንደማይችል ያምን ነበር። ለምሳሌ, አኪልስ ከእንስሳት ከሚሳቡ በ 10 እጥፍ በፍጥነት እንዲሮጥ ይፍቀዱለት, ለምሳሌ, ከፊት ለፊቱ 100 ሜትር. ተዋጊው 100 ሜትር ሲሮጥ ኤሊው 10 ሜትሮችን ይሳባል። 10 ሜትሩን እንደገና ሲሮጥ አቺልስ ኤሊው ሌላ 1 ሜትር ሲሳበ ተመለከተ። በዚህ መንገድ መሟገት ይችላሉ ማስታወቂያ ኢንፊኒተም፣ በተወዳዳሪዎቹ መካከል ያለው ርቀት በእርግጥ ይቀንሳል፣ ነገር ግን ኤሊው ሁል ጊዜ ከፊት ይሆናል። እንቅስቃሴ የለም ወደሚል ድምዳሜ ዞኖ መራው እና በዙሪያው ያሉ የነገሮች እንቅስቃሴ ሁሉ ቅዠት ነው። እርግጥ ነው, የጥንት ግሪክ ፈላስፋ ስህተት ነበር. ለፓራዶክስ መፍትሔው ያለማቋረጥ የሚቀንሱ ክፍሎች ማለቂያ የሌለው ድምር ወደ ውሱን ቁጥር በመያዙ ላይ ነው። ከላይ በተጠቀሰው ሁኔታ፣ አቺልስ ለሮጠው ርቀት፣ እናገኛለን፡- 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... ማለቂያ ለሌለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመርን በመተግበር የሚከተሉትን እናገኛለን፡- S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 ሜትር ይህ ውጤት እንደሚያሳየው አኪልስ ኤሊው 11.111 ሜትር ብቻ ሲሳበ ይይዘዋል። የጥንት ግሪኮች በሂሳብ ውስጥ ማለቂያ ከሌላቸው መጠኖች ጋር እንዴት እንደሚሠሩ አያውቁም ነበር። ነገር ግን፣ አኪልስ ማሸነፍ ስላለባቸው ማለቂያ የሌላቸው ክፍተቶች ትኩረት ብንሰጥ፣ ሯጩ ግቡ ላይ ለመድረስ በሚያስችለው የመጨረሻ ደረጃ ላይ ትኩረት ካደረግን ይህ ፓራዶክስ ሊፈታ ይችላል። ፍቺዎች እና ባህሪያት ማለቂያ የሌላቸው እና ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ ተግባራት በአንድ ነጥብ. የንብረት እና የንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጫዎች. ወሰን በሌለው እና በማያልቅ ትላልቅ ተግባራት መካከል ያለው ግንኙነት። ይሁን x 0
ማለቂያ የሌለው ወይም የማያልቅ ነጥብ ነው፡ ∞፣ -∞ ወይም +∞። ማለቂያ የሌለው ተግባር ፍቺ ወሰን የሌለው ትልቅ ተግባር ፍቺ የድምሩ ንብረት፣ ልዩነት እና ማለቂያ የሌላቸው ተግባራት ምርት ድምር, ልዩነት እና ምርትእንደ x → x ያለ ገደብ የለሽ የማይቆጠሩ ተግባራት ብዛት 0
እንደ x → x ማለቂያ የሌለው ተግባር ነው። 0
.
ይህ ንብረት የአንድ ተግባር ወሰኖች የሂሳብ ባህሪዎች ቀጥተኛ ውጤት ነው። የታሰረ ተግባር እና ማለቂያ የሌለው ውጤት ላይ ቲዎሬም። የተግባር ገደብ ያለው ምርትበአንዳንድ የተበሳጨ የነጥብ x ሰፈር 0
, ወደ ማለቂያ የሌለው, እንደ x → x 0
, እንደ x → x ማለቂያ የሌለው ተግባር ነው። 0
.
ተግባርን እንደ ቋሚ እና ማለቂያ የሌለው ተግባር ድምር አድርጎ የመወከል ንብረት ለተግባር ረ (x)የተወሰነ ገደብ ነበረው, አስፈላጊ እና በቂ ነው ንድፈ ሃሳብ በታሰረ ተግባር ድምር እና ወሰን በሌለው ትልቅ በአንዳንድ የተበሳሽ የነጥብ x ሰፈር ላይ የታሰረ ተግባር ድምር ወይም ልዩነት 0
, እና ማለቂያ የሌለው ትልቅ ተግባር, እንደ x → x 0
እንደ x → x ያለ ገደብ የለሽ ትልቅ ተግባር ነው። 0
.
የታሰረ ተግባር ወሰን በሌለው ትልቅ ክፍፍል ላይ ቲዎሬም። ተግባር ከሆነ ረ (x)ልክ እንደ x → x ማለቂያ የሌለው ትልቅ ነው። 0
, እና ተግባሩ ሰ (x)- በተወሰነ የተወጋ የነጥብ x ሰፈር ላይ የተገደበ ነው። 0
፣ ያ ከዚህ በታች በማያልቅ አንድ የተገደበ የተግባር ክፍፍል ላይ ያለው ቲዎሬም። ተግባሩ፣ በአንዳንድ የተበሳሽ የነጥቡ ሰፈር ላይ፣ ከታች ሆኖ በፍፁም ዋጋ በአዎንታዊ ቁጥር የታሰረ ከሆነ፡- ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ ተግባራት እኩልነት የሌላቸው ንብረቶች ተግባሩ ወሰን የሌለው ትልቅ ከሆነ፡- ይህ ንብረት ሁለት ልዩ ጉዳዮች አሉት. በአንዳንድ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር ላይ ተግባራቶቹን እና እኩልነትን ያረካው፡- ከሁለቱ ቀደምት ንብረቶች እጅግ በጣም ግዙፍ እና ማለቂያ የሌላቸው ተግባራት መካከል ያለውን ግንኙነት ይከተላል. አንድ ተግባር ወሰን በሌለው ትልቅ ከሆነ፣ ተግባሩ በ ላይ ማለቂያ የለውም። አንድ ተግባር ወሰን የሌለው ከሆነ እና , ከዚያም ተግባሩ ወሰን የሌለው ትልቅ ነው ለ. በማያልቅ እና ወሰን በሌለው ትልቅ ተግባር መካከል ያለው ግንኙነት በምሳሌያዊ ሁኔታ ሊገለጽ ይችላል፡- ማለቂያ የሌለው ተግባር በ ላይ የተወሰነ ምልክት ካለው ፣ ማለትም ፣ በአንዳንድ የተበሳጨ የነጥብ ሰፈር ላይ አዎንታዊ (ወይም አሉታዊ) ከሆነ ፣ እኛ እንደዚህ እንጽፋለን ከዚያ በማይገደቡ ትናንሽ እና ማለቂያ በሌለው ትላልቅ ተግባራት መካከል ያለው ምሳሌያዊ ግንኙነት በሚከተሉት ግንኙነቶች ሊሟላ ይችላል ። የኢንፊኒቲ ምልክቶችን የሚመለከቱ ተጨማሪ ቀመሮች በገጹ ላይ ይገኛሉ ተግባሩ እስከመጨረሻው ትልቅ ይሁን ለ፡- የዘፈቀደ ቅደም ተከተል ከ ጋር በማጣመር እንውሰድ። ከዚያ፣ ከአንዳንድ ቁጥር N ጀምሮ፣ የቅደም ተከተል አካላት የዚህ ሰፈር ይሆናሉ፡ በሄይን መሠረት የአንድ ተግባር ወሰን ትርጓሜ መሠረት ፣ ንብረቱ ተረጋግጧል. ዋቢዎች፡- አሁን ማለቂያ የሌለውን የጂኦሜትሪክ እድገትን የመደመር ጥያቄን እናስብ። የተወሰነውን ማለቂያ የሌለው እድገት ከፊል ድምር የመጀመሪያ ውሎች ድምር እንለው። ከፊል ድምርን በምልክቱ እንጥቀስ ለእያንዳንዱ ማለቂያ የሌለው እድገት አንድ ሰው (እንዲሁም ማለቂያ የሌለው) ከፊል ድምር ቅደም ተከተል መፃፍ ይችላል። ያልተገደበ ጭማሪ ያለው ቅደም ተከተል ገደብ ይኑረው በዚህ ሁኔታ, ቁጥር S, ማለትም, የእድገት ከፊል ድምሮች ገደብ, ማለቂያ የሌለው እድገት ድምር ይባላል. ማለቂያ የሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ሁል ጊዜ ድምር እንዳለው እናረጋግጣለን እና ለዚህ ድምር ቀመር እናመጣለን (በተጨማሪም ማለቂያ የሌለው እድገት ድምር ከሌለው እንደሌለ እናሳያለን)። የቀመርን (91.1) በመጠቀም የከፊል ድምርን አገላለጽ እንደ የእድገት ቃላቶች ድምር እንጽፈው እና የከፊሉን ድምር ወሰን በ. ከ Theorem 89 ለሚቀንስ እድገት ይታወቃል; ስለዚህ, የልዩነት ገደብ ንድፈ ሃሳብን በመተግበር, እናገኛለን (እዚህ ደንቡም ጥቅም ላይ ይውላል-ቋሚው ምክንያት ከገደቡ ምልክት በላይ ይወሰዳል). ሕልውናው የተረጋገጠ ነው ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ ማለቂያ የሌለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመር ተገኝቷል- እኩልነት (92.1) በቅጹም ሊጻፍ ይችላል። እዚህ ላይ የቁጥር ገደብ የለሽ የቃላቶች ድምር በጣም የተወሰነ የተወሰነ እሴት መሰጠቱ አያዎ (ፓራዶክሲካል) ሊመስል ይችላል። ይህንን ሁኔታ ለማብራራት ግልጽ የሆነ ምሳሌ ሊሰጥ ይችላል. ከአንድ ጎን ጋር እኩል የሆነ ካሬን አስቡ (ምሥል 72). ይህንን ካሬ ከአግድም መስመር ጋር ወደ ሁለት እኩል ክፍሎች ይከፋፍሉት እና የላይኛውን ክፍል ከታችኛው ክፍል ጋር በማያያዝ አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው ጎኖች 2 እና . ከዚህ በኋላ, የዚህን ሬክታንግል የቀኝ ግማሹን በግማሽ አግድም መስመር እናካፋለን እና የላይኛውን ክፍል ከታችኛው ክፍል ጋር እናያይዛለን (በስእል 72 እንደሚታየው). በዚህ ሂደት በመቀጠል ዋናውን ካሬ ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ቦታን ወደ እኩል መጠን ያላቸውን ምስሎች (በቀጭን ደረጃዎች የመወጣጫ ደረጃን እንይዛለን) እንለውጣለን. በዚህ ሂደት ማለቂያ በሌለው ቀጣይነት ፣ የካሬው አጠቃላይ ስፋት ወደ ወሰን በሌለው የቃላቶች ብዛት ይከፋፈላል - አራት ማዕዘኖች ከ 1 እና ቁመቶች ጋር እኩል ናቸው ። አራት ማዕዘኖች በትክክል ማለቂያ የሌለው የእድገት እድገት ይመሰርታሉ ፣ ድምር። ማለትም አንድ ሰው እንደሚጠብቀው ከካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው. ለምሳሌ. የሚከተሉትን ማለቂያ የሌላቸው እድገቶች ድምርን ያግኙ፡ መፍትሄ፣ ሀ) ይህንን እድገት እናስተውላለን ስለሆነም ቀመር (92.2) በመጠቀም እናገኛለን ለ) እዚህ ጋር ተመሳሳይ ቀመር በመጠቀም (92.2) አለን ማለት ነው ሐ) ይህ እድገት ድምር የሌለው ሆኖ አግኝተነዋል። በአንቀጽ 5 ላይ፣ ወሰን በሌለው ሁኔታ እየቀነሰ ለሚሄደው ግስጋሴ የቃላቶች ድምር ቀመር አተገባበር ወደ መደበኛ የአስርዮሽ ክፍልፋይ ወደ ተራ ክፍልፋይ ለመቀየር ታይቷል። 1. ያለገደብ እየቀነሰ ያለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር 3/5 ነው፣ እና የመጀመሪያዎቹ አራት ቃላት ድምር 13/27 ነው። የሂደቱን የመጀመሪያ ቃል እና መለያ ይፈልጉ። 2. ተለዋጭ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን የሚፈጥሩ አራት ቁጥሮችን ያግኙ፣ በዚህ ውስጥ ሁለተኛው ቃል ከመጀመሪያው በ 35 ያነሰ እና ሶስተኛው ከአራተኛው በ 560 ይበልጣል። 3. ቅደም ተከተል ከሆነ አሳይ ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገትን ይፈጥራል ፣ ከዚያ ቅደም ተከተል ለማንኛውም፣ ወሰን በሌለው መልኩ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ይፈጥራል። መቼ ነው ይህ አባባል እውነት ይሆናል? የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውል ምርት ቀመር ያውጡ። የመጀመሪያ ደረጃ ስለዚህ፣ እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ: ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ አሉ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ, ሁልጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛ ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው። የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል. ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡- የተመደበው ቁጥር በቅደም ተከተል አንድ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው. በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ ኛ ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው. ቁጥሩ ያለው ቁጥር በቅደም ተከተል nth አባል ይባላል። እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው። በእኛ ሁኔታ፡- በጣም የተለመዱት የእድገት ዓይነቶች አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ ናቸው. በዚህ ርዕስ ውስጥ ስለ ሁለተኛው ዓይነት እንነጋገራለን - የጂኦሜትሪክ እድገት. በጥንት ጊዜ እንኳን ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቅ መነኩሴ የፒሳው ሊዮናርዶ (በተሻለ ሁኔታ ፊቦናቺ በመባል ይታወቃል) የንግድ ሥራ ፍላጎቶችን ይመለከታል። መነኩሴው ምርቱን ለመመዘን የሚያገለግለው ትንሹ የክብደት መጠን ምን እንደሆነ የመወሰን ሥራ ገጥሞት ነበር? በእሱ ስራዎች ውስጥ, ፊቦናቺ እንዲህ ዓይነቱ የክብደት ስርዓት እጅግ በጣም ጥሩ መሆኑን ያረጋግጣል-ይህ ሰዎች ምናልባት ቀደም ብለው የሰሙትን እና ቢያንስ አጠቃላይ ግንዛቤን የጂኦሜትሪክ እድገትን ለመቋቋም ከመጀመሪያዎቹ ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ነው ። ርዕሱን ሙሉ በሙሉ ከተረዳህ በኋላ እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት ለምን ጥሩ እንደሆነ አስብ? በአሁኑ ጊዜ በህይወት ልምምድ ውስጥ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ በባንክ ውስጥ ገንዘብን ሲያፈስ, የወለድ መጠን ለቀደመው ጊዜ በሂሳብ ውስጥ በተጠራቀመው መጠን ላይ ሲከማች. በሌላ አነጋገር, በቁጠባ ባንክ ውስጥ በጊዜ ተቀማጭ ገንዘብ ላይ ገንዘብ ካደረጉ, ከዚያም ከአንድ አመት በኋላ ተቀማጭ ገንዘቡ በዋናው መጠን ይጨምራል, ማለትም. አዲሱ መጠን ከተጨመረው መዋጮ ጋር እኩል ይሆናል. በሌላ አመት, ይህ መጠን ይጨምራል, ማለትም. በዚያን ጊዜ የተገኘው መጠን እንደገና ይባዛል እና ወዘተ. ተመሳሳይ ሁኔታ የሚባሉትን በማስላት ችግሮች ውስጥ ተገልጿል ተደራራቢ ወለድ- ቀደም ሲል ወለድን ግምት ውስጥ በማስገባት መቶኛ በሂሳብ ውስጥ ካለው መጠን በእያንዳንዱ ጊዜ ይወሰዳል. ስለነዚህ ተግባራት ትንሽ ቆይተን እንነጋገራለን. የጂኦሜትሪክ እድገት የሚተገበርባቸው ብዙ ተጨማሪ ቀላል ጉዳዮች አሉ። ለምሳሌ የኢንፍሉዌንዛ መስፋፋት፡- አንድ ሰው ሌላ ሰውን ያዘ፣ እነሱም በተራው፣ ሌላ ሰውን ያዙ፣ ስለዚህም ሁለተኛው የኢንፍሉዌንዛ ሞገድ ሰው ነው፣ እነሱም በተራው፣ ሌላውን... እና የመሳሰሉትን...። . በነገራችን ላይ, የፋይናንሺያል ፒራሚድ, ተመሳሳይ ኤምኤምኤም, በጂኦሜትሪክ እድገት ባህሪያት ላይ የተመሰረተ ቀላል እና ደረቅ ስሌት ነው. የሚስብ? እስቲ እንገምተው። የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል፡- ወዲያውኑ ይህ ቀላል እንደሆነ እና የእንደዚህ አይነት ቅደም ተከተል ስም ከውሎቹ ልዩነት ጋር የሂሳብ እድገት ነው ብለው ይመልሱልዎታል. ይህስ? የቀደመውን ቁጥር ከሚቀጥለው ቁጥር ካነሱት በእያንዳንዱ ጊዜ አዲስ ልዩነት (እና የመሳሰሉት) ሲያገኙ ይመለከታሉ, ነገር ግን ቅደም ተከተል በእርግጠኝነት አለ እና በቀላሉ ሊታወቅ የሚችል ነው - እያንዳንዱ ቀጣይ ቁጥር ከቀዳሚው በእጥፍ ይበልጣል! የዚህ አይነት የቁጥር ቅደም ተከተል ይባላል የጂኦሜትሪክ እድገትእና የተሰየመ ነው. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ () የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ ነው, እና እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል. ይህ ቁጥር የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ይባላል። የመጀመሪያው ቃል () እኩል ያልሆኑ እና በዘፈቀደ የማይሆኑ ገደቦች። ምንም እንደሌሉ እናስብ፣ እና የመጀመሪያው ቃል አሁንም እኩል ነው፣ እና q እኩል ነው፣ hmm.. ይሁን፣ ከዚያ በኋላ ይሆናል፡ ይህ ከአሁን በኋላ እድገት እንዳልሆነ ይስማሙ። እንደተረዱት ከዜሮ ሌላ ቁጥር ካለ ተመሳሳይ ውጤት እናገኛለን ሀ. በእነዚህ አጋጣሚዎች አጠቃላይ የቁጥር ተከታታይ ሁሉም ዜሮዎች ወይም አንድ ቁጥር ስለሚሆኑ የተቀሩት ሁሉ ዜሮዎች ስለሚሆኑ በቀላሉ ምንም እድገት አይኖርም። አሁን ስለ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያየት የበለጠ በዝርዝር እንነጋገር፣ ማለትም፣ o. እንድገመው፡- ይህ ቁጥሩ ነው። እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ስንት ጊዜ ይለወጣል?የጂኦሜትሪክ እድገት. ምን ሊሆን ይችላል ብለው ያስባሉ? ያ ልክ ነው፣ አወንታዊ እና አሉታዊ፣ ግን ዜሮ አይደለም (ስለዚህ ትንሽ ከፍ ያለ ተነጋገርን)። የእኛ አዎንታዊ ነው ብለን እናስብ። በእኛ ሁኔታ፣ ሀ. የሁለተኛው ቃል ዋጋ ስንት ነው እና? በቀላሉ መልስ መስጠት ይችላሉ- ትክክል ነው. በዚህ መሠረት ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ ሁሉም የሂደቱ ውሎች ተመሳሳይ ምልክት አላቸው - እነሱ አዎንታዊ ናቸው. አሉታዊ ከሆነስ? ለምሳሌ ሀ. የሁለተኛው ቃል ዋጋ ስንት ነው እና? ይህ ፈጽሞ የተለየ ታሪክ ነው። የዚህን እድገት ውሎች ለመቁጠር ይሞክሩ. ምን ያህል አገኘህ? አለኝ. ስለዚህ ፣ ከሆነ ፣ የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች ምልክቶች ተለዋጭ ናቸው። ማለትም፣ ለአባላቱ ተለዋጭ ምልክቶች ያለው እድገት ካየህ፣ መለያው አሉታዊ ነው። ይህ እውቀት በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ እራስዎን ለመፈተሽ ይረዳዎታል. አሁን ትንሽ እንለማመድ፡ የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ። ገባኝ? መልሶቻችንን እናወዳድር፡- ወደ መጨረሻው ግስጋሴያችን እንመለስ እና አባላቱን ለማግኘት እንሞክር ልክ እንደ የሂሳብ ስሌት። እንደገመቱት, እሱን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ. እያንዳንዱን ቃል በተከታታይ እናባዛለን። ስለዚህ, የተገለፀው የጂኦሜትሪክ እድገት ኛ ቃል እኩል ነው. አስቀድመህ እንደገመትከው፣ አሁን አንተ ራስህ የትኛውንም የጂኦሜትሪክ እድገት አባል እንድታገኝ የሚረዳህ ቀመር ታገኛለህ። ወይም ደግሞ የኛን አባል ደረጃ በደረጃ እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ በመግለጽ ለራስህ አዘጋጅተኸዋል? ከሆነ፣ የአስተሳሰብዎን ትክክለኛነት ያረጋግጡ። የዚህን እድገት ኛ ቃል በማግኘት ምሳሌ ይህንን እናስረዳው፡- በሌላ ቃል: የተሰጠውን የጂኦሜትሪክ እድገት ቃል ዋጋ እራስዎ ያግኙ። ተከስቷል? መልሶቻችንን እናወዳድር፡- በእያንዳንዱ የቀደመ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃል በቅደም ተከተል ስንባዛ ከቀደመው ዘዴ ጋር ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ እባክዎ ልብ ይበሉ። የተገኘው ቀመር ለሁሉም እሴቶች እውነት ነው - አዎንታዊ እና አሉታዊ። የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎችን ከሚከተሉት ሁኔታዎች ጋር በማስላት ይህንን እራስዎ ያረጋግጡ፡- ሀ. ቆጥረዋል? ውጤቱን እናወዳድር፡- የሂደት ቃል እንደ ቃል በተመሳሳይ መንገድ ማግኘት እንደሚቻል ይስማሙ ፣ ሆኖም ፣ በስህተት የማስላት እድሉ አለ። እና የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ኛ ቃል አስቀድመን ካገኘን ፣ ከዚያ የቀመርውን “የተቆራረጠ” ክፍል ከመጠቀም የበለጠ ቀላል ምን ሊሆን ይችላል። በቅርብ ጊዜ, ከዜሮ የበለጠ ወይም ያነሰ ሊሆን ስለሚችል እውነታ ተነጋገርን, ሆኖም ግን, የጂኦሜትሪክ እድገት ተብሎ የሚጠራባቸው ልዩ እሴቶች አሉ. ያለማቋረጥ እየቀነሰ. ይህ ስም የተሰጠበት ምክንያት ለምን ይመስላችኋል? እያንዳንዱ ተከታይ ቃል ከቀዳሚው በተወሰነ ደረጃ ያነሰ መሆኑን እናያለን ነገር ግን ምንም ቁጥር ይኖረዋል? ወዲያውኑ መልስ ይሰጣሉ - "አይ". ለዚያም ነው ያለገደብ እየቀነሰ - እየቀነሰ እና እየቀነሰ ይሄዳል, ግን በጭራሽ ዜሮ አይሆንም. ይህ በእይታ እንዴት እንደሚመስል በግልፅ ለመረዳት ፣የእድገታችንን ግራፍ ለመሳል እንሞክር። ስለዚህ ፣ በእኛ ሁኔታ ፣ ቀመሩ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል። በግራፎች ላይ ጥገኝነትን ማቀድ ለምደናል፣ ስለዚህ፡- የገለፃው ዋና ነገር አልተቀየረም-በመጀመሪያው ግቤት የጂኦሜትሪክ እድገት አባልን በመደበኛ ቁጥሩ ላይ ያለውን እሴት ጥገኝነት አሳይተናል ፣ እና በሁለተኛው ግቤት ውስጥ የጂኦሜትሪክ እድገት አባልን ዋጋ ወስደናል ። ፣ እና ተራ ቁጥሩን እንደ ሳይሆን እንደ ሾመ። የሚቀረው ግራፍ መገንባት ብቻ ነው። ታያለህ? ተግባሩ እየቀነሰ ይሄዳል፣ ወደ ዜሮ ይቀየራል፣ ግን በጭራሽ አያልፍለትም፣ ስለዚህ ወሰን በሌለው መልኩ እየቀነሰ ነው። ነጥቦቻችንን በግራፉ ላይ ምልክት እናድርግ ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ አስተባባሪው እና ምን ማለት ነው- የመጀመሪያ ቃሉ እኩል ከሆነ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ግራፍ በስዕል ለማሳየት ይሞክሩ። ካለፈው ግራፍ ጋር ያለው ልዩነት ምን እንደሆነ ይተንትኑ? አስተዳድረዋል? ያመጣሁት ግራፍ ይኸውና፡- አሁን የጂኦሜትሪክ እድገትን ርዕሰ ጉዳይ ሙሉ በሙሉ ተረድተዋል-ምን እንደሆነ ያውቃሉ ፣ ቃሉን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ ያውቃሉ ፣ እና እንዲሁም እጅግ በጣም እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት ምን እንደሆነ ያውቃሉ ፣ ወደ ዋናው ንብረቱ እንሂድ ። የሒሳብ እድገት ውሎችን ንብረት ታስታውሳለህ? አዎ ፣ አዎ ፣ የዚህ የእድገት ውሎች ቀዳሚ እና ተከታይ እሴቶች ሲኖሩ የአንድ የተወሰነ የእድገት ቁጥር እሴት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። ያስታዉሳሉ? ይህ፡- አሁን ለጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች በትክክል ተመሳሳይ ጥያቄ ገጥሞናል። እንደዚህ አይነት ቀመር ለማውጣት, መሳል እና ማመዛዘን እንጀምር. ታያለህ፣ በጣም ቀላል ነው፣ እና ከረሳህ ራስህ ማውጣት ትችላለህ። ሌላ ቀላል የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን እንውሰድ፣ የምናውቀው እና። እንዴት ማግኘት ይቻላል? በሂሳብ እድገት ቀላል እና ቀላል ነው፣ ግን እዚህስ? እንደ እውነቱ ከሆነ, በጂኦሜትሪክ ውስጥም ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም - በቀመርው መሰረት የተሰጠንን እያንዳንዱን እሴት ብቻ መጻፍ ያስፈልግዎታል. አሁን በዚህ ጉዳይ ላይ ምን እናድርግ ብለው ይጠይቁ ይሆናል? አዎ በጣም ቀላል። በመጀመሪያ እነዚህን ቀመሮች በሥዕሉ ላይ እናሳይ እና እሴቱ ላይ ለመድረስ ከነሱ ጋር የተለያዩ ማጭበርበሮችን ለማድረግ እንሞክር። ከተሰጡን ቁጥሮች ውስጥ አናብስት፣ በቀመር አገላለጻቸው ላይ ብቻ እናተኩር። ከጎኑ ያሉትን ቃላቶች በማወቅ በብርቱካን የደመቀውን እሴት ማግኘት አለብን። ከእነሱ ጋር የተለያዩ ድርጊቶችን ለማከናወን እንሞክር, በዚህም ምክንያት ማግኘት እንችላለን. መደመር። ከዚህ አገላለጽ, እንደምታየው, በምንም መልኩ መግለፅ አንችልም, ስለዚህ, ሌላ አማራጭ እንሞክራለን - መቀነስ. መቀነስ። እንደሚመለከቱት ፣ ይህንንም መግለጽ አንችልም ፣ ስለሆነም ፣ እነዚህን አባባሎች እርስ በእርስ ለማባዛት እንሞክር ። ማባዛት። አሁን መገኘት ከሚገባው ጋር በማነፃፀር የተሰጠንን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች በማባዛት ያለንን ነገር በጥንቃቄ ተመልከት። የምናገረውን ገምት? በትክክል ለማግኘት፣ እርስ በርስ ሲባዛ ከሚፈለገው አጠገብ ያለውን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቁጥሮች ካሬ ሥር መውሰድ አለብን። ይሄውሎት. እርስዎ እራስዎ የጂኦሜትሪክ እድገትን ንብረት አግኝተዋል። ይህንን ቀመር በአጠቃላይ ቅጽ ለመጻፍ ይሞክሩ. ተከስቷል? ቅድመ ሁኔታውን ረሱት? ለምን አስፈላጊ እንደሆነ አስቡ, ለምሳሌ, እራስዎ ለማስላት ይሞክሩ. በዚህ ጉዳይ ላይ ምን ይሆናል? ልክ ነው፣ ሙሉ ከንቱ ነገር ምክንያቱም ቀመሩ ይህን ይመስላል፡- በዚህ መሠረት, ይህንን ገደብ አይርሱ. አሁን ምን እኩል እንደሆነ እናሰላለን። ትክክለኛ መልስ - ! በስሌቱ ወቅት ሁለተኛውን ሊሆን የሚችለውን እሴት ካልረሱ ታዲያ እርስዎ በጣም ጥሩ ነዎት እና ወዲያውኑ ወደ ስልጠና መሄድ ይችላሉ ፣ እና ከረሱ ፣ ከዚህ በታች የተብራራውን ያንብቡ እና ሁለቱንም ሥሮች መፃፍ ለምን እንደሚያስፈልግ ትኩረት ይስጡ ። በመልሱ ውስጥ. ሁለቱንም የጂኦሜትሪክ እድገቶቻችንን - አንዱን በዋጋ እና ሌላውን በእሴት እንሳል እና ሁለቱም የመኖር መብት እንዳላቸው እንፈትሽ። እንደዚህ ያለ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መኖሩን ወይም አለመኖሩን ለማረጋገጥ, ሁሉም የተሰጡት ቃላቶች አንድ አይነት መሆናቸውን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው? ለመጀመሪያ እና ሁለተኛ ጉዳዮች q አስላ። ለምን ሁለት መልሶችን መጻፍ እንዳለብን ተመልከት? ምክንያቱም የሚፈልጉት የቃሉ ምልክት በአዎንታዊ ወይም በአሉታዊነት ላይ የተመሰረተ ነው! እና ምን እንደሆነ ስለማናውቅ ሁለቱንም መልሶች በመደመር እና በመቀነስ መፃፍ አለብን። አሁን ዋና ዋና ነጥቦቹን ተረድተሃል እና የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ንብረቱን ቀመር አውጥተሃል፣ ፈልግ፣ ማወቅ እና መልሶችዎን ከትክክለኛዎቹ ጋር ያወዳድሩ፡- ምን ይመስላችኋል ፣ ከተፈለገው ቁጥር አጠገብ ያለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውል እሴቶች ካልተሰጠን ፣ ግን ከእሱ እኩል ከሆነ። ለምሳሌ፣ ማግኘት፣ እና መስጠት እና ያስፈልገናል። በዚህ ጉዳይ ላይ ያገኘነውን ቀመር መጠቀም እንችላለን? እያንዳንዱ እሴት ምን እንደሚይዝ በመግለጽ ይህንን እድል በተመሳሳይ መንገድ ለማረጋገጥ ወይም ውድቅ ለማድረግ ይሞክሩ ፣ እርስዎ ቀመሩን መጀመሪያ ሲያገኙ እንዳደረጉት ፣ በ. አሁን እንደገና በጥንቃቄ ይመልከቱ። ከዚህ በመነሳት ቀመሩ ይሰራል ብለን መደምደም እንችላለን ከጎረቤት ጋር ብቻ አይደለምበሚፈለገው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላት, ግን ደግሞ ተመጣጣኝአባላቱ ከሚፈልጉት. ስለዚህ የእኛ የመጀመሪያ ቀመር የሚከተለውን ቅጽ ይይዛል- ያም ማለት በመጀመሪያው ሁኔታ እንደዚያ ከተናገርን, አሁን ከየትኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ያነሰ ሊሆን ይችላል እንላለን. ዋናው ነገር ለሁለቱም የተሰጡ ቁጥሮች ተመሳሳይ ነው. ከተወሰኑ ምሳሌዎች ጋር ይለማመዱ፣ በጣም ይጠንቀቁ! ወስኗል? በጣም በትኩረት እንደተከታተሉ እና ትንሽ መያዙን እንዳስተዋሉ ተስፋ አደርጋለሁ። ውጤቱን እናወዳድር። በመጀመሪያዎቹ ሁለት ሁኔታዎች, ከላይ ያለውን ቀመር በእርጋታ እንተገብራለን እና የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን: በሦስተኛው ጉዳይ ላይ የተሰጡን የቁጥሮች ተከታታይ ቁጥሮች በጥንቃቄ ስንመረምር ከምንፈልገው ቁጥር ጋር ተመጣጣኝ እንዳልሆኑ እንረዳለን-የቀድሞው ቁጥር ነው, ነገር ግን በቦታ ላይ ይወገዳል, ስለዚህም እሱ ነው. ቀመሩን ለመተግበር አይቻልም. እንዴት መፍታት ይቻላል? በእውነቱ የሚመስለውን ያህል ከባድ አይደለም! ለእያንዳንዳችን የተሰጠን ቁጥር እና የምንፈልገው ቁጥር ምን እንደሚያካትት እንፃፍ። ስለዚህ አለን እና. ከእነሱ ጋር ምን ማድረግ እንደምንችል እንይ? መከፋፈልን ሀሳብ አቀርባለሁ። እናገኛለን፡- ውሂባችንን ወደ ቀመር እንተካለን፡- እኛ ማግኘት የምንችለው ቀጣዩ ደረጃ ነው - ለዚህ ምክንያት ያለውን ቁጥር ኩብ ሥር መውሰድ ይኖርብናል. አሁን ያለንን እንደገና እንይ። እኛ አለን ፣ ግን እሱን መፈለግ አለብን ፣ እና እሱ ፣ በተራው ፣ ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው- ለስሌቱ ሁሉንም አስፈላጊ መረጃዎች አግኝተናል. በቀመር ውስጥ ይተኩ፡- የእኛ መልስ፡- . ሌላ ተመሳሳይ ችግር እራስዎ ለመፍታት ይሞክሩ። ምን ያህል አገኘህ? አለኝ - . እንደሚመለከቱት, በመሠረቱ እርስዎ ያስፈልግዎታል አንድ ቀመር ብቻ አስታውስ- . የቀረውን ሁሉ ያለምንም ችግር በማንኛውም ጊዜ እራስዎ ማውጣት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ በቀላሉ በጣም ቀላል የሆነውን የጂኦሜትሪክ እድገትን በወረቀት ላይ ይፃፉ እና ከላይ በተገለጸው ቀመር መሰረት የእያንዳንዳቸው ቁጥሮች ምን እኩል እንደሆኑ ይፃፉ. አሁን በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላት ድምርን በፍጥነት ለማስላት የሚያስችሉንን ቀመሮችን እንመልከት፡- ውሱን የሆነ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ቀመርን ለማግኘት፣ ሁሉንም ከላይ ያለውን የእኩልታ ክፍሎች በማባዛት። እናገኛለን፡- በጥንቃቄ ይመልከቱ: የመጨረሻዎቹ ሁለት ቀመሮች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? ልክ ነው፣ የጋራ አባላት፣ ለምሳሌ፣ እና የመሳሰሉት፣ ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው አባል በስተቀር። 1ኛውን ከ 2ኛ እኩልታ ለመቀነስ እንሞክር። ምን አገኘህ? አሁን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ቃል በቀመሩ ይግለጹ እና የተገኘውን አገላለጽ በመጨረሻው ቀመራችን ይተኩ፡ አገላለጹን ሰብስብ። ማግኘት አለብህ፡- የሚቀረው ነገር መግለጽ ብቻ ነው፡- በዚህ መሠረት, በዚህ ጉዳይ ላይ. ቢሆንስ? ከዚያ ምን ቀመር ይሠራል? በ ላይ የጂኦሜትሪክ እድገትን አስብ። ምን አይነት ሰው ነች? ተከታታይ ተመሳሳይ ቁጥሮች ትክክል ናቸው፣ ስለዚህ ቀመሩ ይህን ይመስላል። ስለ ሁለቱም የሂሳብ እና የጂኦሜትሪክ እድገት ብዙ አፈ ታሪኮች አሉ። ከመካከላቸው አንዱ የቼዝ ፈጣሪ የሆነው የሴት አፈ ታሪክ ነው። ብዙ ሰዎች የቼዝ ጨዋታ ሕንድ ውስጥ እንደተፈለሰፈ ያውቃሉ። የሂንዱ ንጉስ ባገኛት ጊዜ በእሷ ጥበብ እና በእሷ ውስጥ ሊኖሩ ስለሚችሉት የተለያዩ ቦታዎች ተደስቶ ነበር። ንጉሱ ከገዥዎቹ በአንዱ የፈለሰፈው መሆኑን ካወቀ በኋላ በግል ሊሸልመው ወሰነ። ፈጣሪውን ወደ ራሱ ጠርቶ የሚፈልገውን ነገር ሁሉ እንዲጠይቀው አዘዘ, በጣም የተዋጣለት ምኞት እንኳን እንደሚፈጽም ቃል ገባ. ሴታ ለማሰብ ጊዜ እንዲሰጠው ጠየቀ እና በማግስቱ ሴታ በንጉሱ ፊት በቀረበ ጊዜ ንጉሱን ከዚህ በፊት ታይቶ በማይታወቅ የልከኝነት ልመና አስገረመው። ለመጀመሪያው የቼዝቦርድ ካሬ አንድ የስንዴ እህል፣ ለሁለተኛው አንድ የስንዴ እህል፣ ለሦስተኛው አንድ የስንዴ ቅንጣት፣ አራተኛው ወዘተ ... እንዲሰጥ ጠየቀ። ንጉሱም ተናዶ ሴትን አስወገደ፣ የአገልጋዩ ጥያቄ ለንጉሱ ልግስና የማይገባ ነው፣ ነገር ግን አገልጋዩ እህሉን በሁሉም የቦርዱ አደባባዮች እንደሚቀበል ቃል ገባ። እና አሁን ጥያቄው-የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምር ቀመር በመጠቀም ሴቲ ምን ያህል እህል መቀበል እንዳለበት ያሰሉ? ማመዛዘን እንጀምር። እንደ ሁኔታው ሴት ለቼዝቦርዱ የመጀመሪያ ካሬ ፣ ለሁለተኛው ፣ ለሦስተኛው ፣ ለአራተኛው ፣ ወዘተ የስንዴ እህል ጠይቋል ፣ ከዚያ ችግሩ ስለ ጂኦሜትሪክ እድገት እንደሆነ እናያለን። በዚህ ጉዳይ ላይ ምን እኩል ነው? የቼዝቦርዱ ጠቅላላ ካሬዎች። በቅደም ተከተል,. ሁሉም መረጃዎች አሉን, የሚቀረው በቀመር ውስጥ ማስገባት እና ማስላት ብቻ ነው. የአንድ የተወሰነ ቁጥር "ሚዛን" ቢያንስ በግምት ለመገመት የዲግሪ ባህሪያትን በመጠቀም እንለውጣለን- እርግጥ ነው, ከፈለጉ, ካልኩሌተር ወስደህ በየትኛው ቁጥር እንደምትጨርስ ማስላት ትችላለህ, እና ካልሆነ, ቃሌን ለእሱ መውሰድ አለብህ-የመግለጫው የመጨረሻ ዋጋ ይሆናል. ኩንቲሊየን ኳድሪሊየን ትሪሊየን ሚሊዮን ሺህ። Phew) የዚህን ቁጥር ግዙፍነት መገመት ከፈለግክ ሙሉውን የእህል መጠን ለማስተናገድ ምን ያህል ጎተራ እንደሚያስፈልግ ገምት። ንጉሱ በሂሳብ ትምህርት ጠንካራ ከሆኑ ሳይንቲስቱን ራሱ እህሉን እንዲቆጥር ሊጋብዘው ይችል ነበር, ምክንያቱም አንድ ሚሊዮን እህል ለመቁጠር ቢያንስ አንድ ቀን የማይታክት ቆጠራ ያስፈልገዋል, እና ኩንታልን, ጥራጥሬዎችን ለመቁጠር አስፈላጊ ሆኖ ሲገኝ. በሕይወት ዘመኑ ሁሉ መቆጠር አለበት። አሁን የጂኦሜትሪክ እድገትን ድምርን ያካተተ ቀላል ችግርን እንፈታ. ስለዚህ, የጂኦሜትሪክ እድገት የመጀመሪያ ቃል ቫስያ ነው, ማለትም, ሰው. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው ኛ ቃል በደረሰበት የመጀመሪያ ቀን ያበከላቸው ሁለት ሰዎች ናቸው. የሂደቱ አጠቃላይ ድምር ከ5A ተማሪዎች ቁጥር ጋር እኩል ነው። በዚህ መሠረት ስለ አንድ እድገት እንነጋገራለን- የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምር የእኛን ውሂብ በቀመር እንተካው፡- መላው ክፍል በቀናት ውስጥ ይታመማል። ቀመሮችን እና ቁጥሮችን አያምኑም? የተማሪዎችን "ኢንፌክሽን" እራስዎ ለማሳየት ይሞክሩ. ተከስቷል? ለእኔ እንዴት እንደሚመስል ተመልከት: እያንዳንዱ ሰው አንድን ሰው ቢይዝ ተማሪዎች በጉንፋን ለመታመም ምን ያህል ቀናት እንደሚፈጅ ለራስዎ አስሉ እና በክፍሉ ውስጥ አንድ ሰው ብቻ ነበር. ምን ዋጋ አገኘህ? ከአንድ ቀን በኋላ ሁሉም መታመም ጀመሩ። እንደምታየው, እንዲህ ዓይነቱ ተግባር እና ስዕሉ ከፒራሚድ ጋር ይመሳሰላል, እያንዳንዱ ተከታይ አዲስ ሰዎችን "ያመጣል". ሆኖም፣ ይዋል ይደር እንጂ የኋለኛው ማንንም መሳብ የማይችልበት ጊዜ ይመጣል። በእኛ ሁኔታ, ክፍሉ የተገለለ ነው ብለን ካሰብን, ሰውዬው ሰንሰለቱን ይዘጋል (). ስለሆነም አንድ ሰው ሌሎች ሁለት ተሳታፊዎችን ካመጣህ ገንዘብ በተሰጠበት የፋይናንሺያል ፒራሚድ ውስጥ ከተሳተፈ ግለሰቡ (ወይም በአጠቃላይ) ማንንም አያመጣም ነበር በዚህ መሰረት በዚህ የፋይናንስ ማጭበርበር ያዋሉትን ሁሉ ያጣል። ከላይ የተነገረው ሁሉ የሚያመለክተው እየቀነሰ ወይም እየጨመረ የመጣውን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነው, ነገር ግን እንደምታስታውሱት, ልዩ ዓይነት አለን - ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት. የአባላቱን ድምር እንዴት ማስላት ይቻላል? እና ለምን የዚህ አይነት እድገት አንዳንድ ባህሪያት አሉት? አብረን እንወቅ። እንግዲያው፣ በመጀመሪያ፣ ይህን እጅግ በጣም እየቀነሰ ያለውን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ከምሳሌአችን እንደገና እንመልከተው፡- አሁን ትንሽ ቀደም ብሎ የተገኘውን የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመር እንመልከት፡- ምን እየጣርን ነው? ልክ ነው፣ ግራፉ የሚያሳየው ወደ ዜሮ እንደሚሄድ ነው። ማለትም፣ በ፣ እንደቅደም ተከተላቸው፣ እኩል ይሆናል፣ አገላለጹን ስናሰላ ከሞላ ጎደል እናገኛለን። በዚህ ረገድ ፣ ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር ሲሰላ ይህ ቅንፍ እኩል ስለሚሆን ችላ ሊባል ይችላል ብለን እናምናለን። - ቀመር ማለቂያ በሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምር ነው። አስፈላጊ!ቀመሩን ያለገደብ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር እንጠቀማለን የሚለው ሁኔታ ድምርውን መፈለግ እንዳለብን በግልጽ ከገለጸ ብቻ ነው። ማለቂያ የሌለውየአባላት ብዛት. አንድ የተወሰነ ቁጥር n ከተገለጸ፣ ምንም እንኳን ቢሆን ወይም ቢሆንም፣ ለ n ውሎች ድምር ቀመሩን እንጠቀማለን። አሁን እንለማመድ። በጣም ጠንቃቃ እንደሆንክ ተስፋ አደርጋለሁ። መልሶቻችንን እናወዳድር፡- አሁን ስለ ጂኦሜትሪክ እድገት ሁሉንም ነገር ያውቃሉ, እና ከቲዎሪ ወደ ልምምድ ለመሄድ ጊዜው ነው. በፈተናው ላይ የሚያጋጥሙት በጣም የተለመዱት የጂኦሜትሪክ እድገት ችግሮች ጥምር ፍላጎትን የማስላት ችግሮች ናቸው። ስለ እነዚህ እንነጋገራለን. ውሁድ ወለድ ቀመር የሚባለውን ሰምተህ ይሆናል። ምን ማለት እንደሆነ ይገባሃል? ካልሆነ ግን እናውቀው, ምክንያቱም ሂደቱን እራሱ ከተረዱት, ወዲያውኑ የጂኦሜትሪክ እድገት ከእሱ ጋር ምን እንደሚገናኝ ይገነዘባሉ. ሁላችንም ወደ ባንክ እንሄዳለን እና ለተቀማጭ ገንዘብ የተለያዩ ሁኔታዎች እንዳሉ እናውቃለን-ይህ ቃልን ፣ ተጨማሪ አገልግሎቶችን እና ወለድን በሁለት የተለያዩ የማስላት መንገዶች ያካትታል - ቀላል እና ውስብስብ። ጋር ቀላል ፍላጎትሁሉም ነገር ብዙ ወይም ያነሰ ግልጽ ነው፡ ወለድ በተቀማጭ ዘመኑ መጨረሻ ላይ አንድ ጊዜ ይከማቻል። ማለትም ለአንድ አመት 100 ሩብሎችን እናስቀምጣለን ካልን በዓመቱ መጨረሻ ላይ ብቻ ነው የሚከፈሉት። በዚህ መሠረት, በተቀማጭ ገንዘብ መጨረሻ ላይ ሩብልስ እንቀበላለን. ተደራራቢ ወለድ- ይህ የሚከሰትበት አማራጭ ነው የወለድ ካፒታላይዜሽን፣ ማለትም እ.ኤ.አ. መጨመራቸው ከተቀማጭ መጠን እና በቀጣይ የገቢ ስሌት ከመጀመሪያው ሳይሆን ከተጠራቀመ የተቀማጭ ገንዘብ መጠን። ካፒታላይዜሽን በቋሚነት አይከሰትም ፣ ግን በተወሰነ ድግግሞሽ። እንደ አንድ ደንብ, እንደዚህ ያሉ ጊዜያት እኩል ናቸው እና ብዙ ጊዜ ባንኮች አንድ ወር, ሩብ ወይም አመት ይጠቀማሉ. በየዓመቱ ተመሳሳይ ሩብሎችን እናስቀምጠዋለን, ነገር ግን ከተቀማጭ ወርሃዊ ካፒታላይዜሽን ጋር. ምን እየሰራን ነው? እዚህ ሁሉንም ነገር ተረድተዋል? ካልሆነ ደረጃ በደረጃ እንየው። ሩብልን ወደ ባንክ አመጣን. በወሩ መገባደጃ ላይ በኛ ሩብሎች እና በእነሱ ላይ ወለድን ያካተተ መጠን በሂሳባችን ውስጥ ሊኖረን ይገባል፡ እስማማለሁ? በቅንፍ ውስጥ ልናወጣው እንችላለን እና ከዚያ እናገኛለን፡- እስማማለሁ፣ ይህ ቀመር መጀመሪያ ላይ ከጻፍነው ጋር ተመሳሳይ ነው። የቀረው መቶኛን ማወቅ ብቻ ነው። በችግር መግለጫው ውስጥ ስለ አመታዊ ዋጋዎች ተነግሮናል. እንደምታውቁት፣ አናባዛለንም - መቶኛን ወደ አስርዮሽ ክፍልፋዮች እንለውጣለን፣ ማለትም፡- ቀኝ? አሁን ቁጥሩ ከየት መጣ? በጣም ቀላል! ተገነዘበው? አሁን ወለድ በየቀኑ ይሰላል ካልኩ ይህ የቀመርው ክፍል ምን እንደሚመስል ለመጻፍ ይሞክሩ። ጥሩ ስራ! ወደ ተግባራችን እንመለስ፡ በተጠራቀመው የተቀማጭ ገንዘብ ላይ ወለድ መከማቸቱን ከግምት ውስጥ በማስገባት በሁለተኛው ወር ውስጥ ምን ያህል ወደ አካውንታችን እንደሚገባ ጻፍ። ወይም በሌላ አነጋገር፡- አስቀድመህ ንድፍ አስተውለሃል እና በዚህ ሁሉ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን አይተሃል ብዬ አስባለሁ። የእሱ አባል ምን እኩል እንደሚሆን ይፃፉ ወይም፣ በሌላ አነጋገር፣ በወሩ መጨረሻ ምን ያህል ገንዘብ እንደምንቀበል። እንደምታዩት ለአንድ አመት በባንክ ውስጥ ገንዘብ በቀላል ወለድ ብታስቀምጡ ሩብልስ ይቀበላሉ ፣ እና በተቀናጀ የወለድ መጠን ከሆነ ሩብልስ ይቀበላሉ። ጥቅሙ ትንሽ ነው፣ ነገር ግን ይህ የሚሆነው በዓመቱ ውስጥ ብቻ ነው፣ ነገር ግን ረዘም ላለ ጊዜ ካፒታላይዜሽን የበለጠ ትርፋማ ነው። ውሁድ ፍላጎትን የሚያካትት ሌላ አይነት ችግርን እንመልከት። ካሰብከው በኋላ፣ ለአንተ የመጀመሪያ ደረጃ ይሆናል። ስለዚህ ተግባሩ፡- የዝቬዝዳ ኩባንያ እ.ኤ.አ. በ 2000 በኢንዱስትሪው ውስጥ ኢንቨስት ማድረግ የጀመረ ሲሆን ካፒታል በዶላር። ከ 2001 ጀምሮ በየዓመቱ, ካለፈው ዓመት ካፒታል ጋር እኩል የሆነ ትርፍ አግኝቷል. በ 2003 መጨረሻ ላይ የዝቬዝዳ ኩባንያ ትርፍ ከስርጭት ካልተወጣ ምን ያህል ትርፍ ያገኛል? በ 2000 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ. ወይም በአጭሩ መጻፍ እንችላለን- ለጉዳያችን፡- 2000፣ 2001፣ 2002 እና 2003 ዓ.ም. መልሶች፡- 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ () የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ ነው, እና እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል. ይህ ቁጥር የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ይባላል። 2) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው ውሎች እኩልነት ነው. 3) እና በስተቀር ማንኛውንም እሴቶችን መውሰድ ይችላል። 4) ፣ ከጂኦሜትሪክ እድገት ንብረት ጋር (በአጠገብ ውሎች) ወይም ሲያገኙት, ያንን አይርሱ ሁለት መልሶች ሊኖሩ ይገባል. ለምሳሌ, 5) የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች ድምር በቀመር ይሰላል፡- እድገቱ ያለማቋረጥ እየቀነሰ ከሆነ፡- አስፈላጊ!ቀመሩን ያለገደብ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር የምንጠቀመው ሁኔታው ማለቂያ የሌለውን የቃላቶች ድምር ማግኘት እንዳለብን በግልጽ ከገለጸ ብቻ ነው። 6) በጥቅል ወለድ ላይ ያሉ ችግሮች የሚሰሉት ገንዘቦች ከስርጭት እስካልተወጡ ድረስ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ኛ ቃል ቀመር በመጠቀም ነው። የጂኦሜትሪክ እድገት() የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ ነው, እና እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል. ይህ ቁጥር ይባላል የጂኦሜትሪክ እድገት አመላካች። የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያእና በስተቀር ማንኛውንም ዋጋ ሊወስድ ይችላል. የጂኦሜትሪክ እድገት ቃላቶች እኩልነት - . የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምርበቀመርው ይሰላል፡-
የእድገት የመጀመሪያ ቃል የማግኘት ተግባር
የዜኖ ዝነኛ አያዎ (ፓራዶክስ) ከፈጣኑ አኪልስ እና ዘገምተኛ ኤሊ ጋር
የማይገደብ እና የማያልቅ ተግባራት ፍቺዎች
ተግባር α (x)ተብሎ ይጠራል ማለቂያ የሌለው x ወደ x እንደያዘው 0
0
, እና ከዜሮ ጋር እኩል ነው:
.
ተግባር ረ (x)ተብሎ ይጠራል ማለቂያ የሌለው ትልቅ x ወደ x እንደያዘው 0
, ተግባሩ እንደ x → x ገደብ ካለው 0
እና ከማያልቅ ጋር እኩል ነው፡-
.
ማለቂያ የሌላቸው ተግባራት ባህሪያት
,
እንደ x → x የማይገደብ ተግባር የት አለ። 0
.
ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ ተግባራት ባህሪያት
.
,
እና ተግባሩ እንደ x → x ማለቂያ የለውም 0
:
,
እና ነጥቡ ላይ የተወጋ ሰፈር አለ, ከዚያ
.
,
እና ተግባራቶቹ እና በአንዳንድ የተበሳሹ የነጥብ ሰፈር ላይ እኩልነትን ያረካሉ፡
,
ከዚያ ተግባሩ በሚከተሉት ላይ በጣም ትልቅ ነው-
.
.
ከዚያ ከሆነ ፣ ከዚያ እና።
ከሆነ ፣ ከዚያ እና።እጅግ በጣም ትልቅ እና ማለቂያ በሌላቸው ተግባራት መካከል ያለው ግንኙነት
,
.
.
በተመሳሳይ ሁኔታ ፣ ማለቂያ የሌለው ትልቅ ተግባር በ ላይ የተወሰነ ምልክት ካለው ፣ ከዚያ ይጽፋሉ-
, ወይም.
,
,
,
.
"Infinity እና ንብረታቸው ላይ ነጥቦች."የንብረት እና የንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጫ
የታሰረ ተግባር እና ወሰን የለሽ በሆነው ምርት ላይ የንድፈ ሃሳብ ማረጋገጫ
.
እና በየትኛው ነጥብ ላይ የተወጋ ሰፈር ይኑር
በ.
በ.
ከዚያም
በ.
.
ከዚያ ፣ እጅግ በጣም ትልቅ በሆኑ ቅደም ተከተሎች አለመመጣጠን ንብረት ፣
.
ቅደም ተከተላቸው የዘፈቀደ ስለሆነ ወደ , ከዚያም በሄይን መሰረት የአንድ ተግባር ወሰን ፍቺ,
.
ኤል.ዲ. Kudryavtsev. የሂሳብ ትንተና ኮርስ. ቅጽ 1. ሞስኮ, 2003.
መልመጃዎች
የጂኦሜትሪክ እድገት. አጠቃላይ መመሪያ ከምሳሌዎች ጋር (2019)
የቁጥር ቅደም ተከተል
የጂኦሜትሪክ እድገት እና ታሪኩ ለምን ያስፈልጋል?
የጂኦሜትሪክ እድገት.
ይህንን ቀመር “ሰውን ለማሳጣት” እንሞክር - በአጠቃላይ መልክ እናስቀምጠው እና የሚከተሉትን እናገኛለንያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት።
በመጀመሪያ፣ ቃላትን ያቀፈ አንዳንድ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴዎችን እንጻፍ።
እንግዲያውስ፡-
ምን እንዳገኘህ እንይ። ያመጣሁት ግራፍ ይኸውና፡-
የጂኦሜትሪክ እድገት ንብረት.
ሁለት መግለጫዎችን ለመጨመር እንሞክር እና እናገኛለን:
ምን አገኘህ?
እና በተመሳሳይ፡-
የተሰጠው:,
አግኝ፡የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች ድምር።
ቀኝ.
ያውና:
ጎተራው ሜትር ቁመት እና ስፋት ሜትር ከሆነ, ርዝመቱ ለኪሜ ማራዘም አለበት, ማለትም. ከምድር እስከ ፀሐይ ሁለት ጊዜ.
የ5A ክፍል ተማሪ ቫስያ በጉንፋን ታመመ፣ ነገር ግን ወደ ትምህርት ቤት መሄዱን ቀጥሏል። በየቀኑ Vasya ሁለት ሰዎችን ያጠቃል, እሱም በተራው, ሁለት ተጨማሪ ሰዎችን ይጎዳል, ወዘተ. በክፍሉ ውስጥ ሰዎች ብቻ ናቸው. በስንት ቀናት ውስጥ ሁሉም ክፍል በጉንፋን ይታመማሉ?
ወይም
ድብልቅ ወለድን በማስላት ላይ ችግሮች.
እደግመዋለሁ፡ የችግር መግለጫው ስለ እሱ ይናገራል አመታዊየሚሰበሰብ ፍላጎት በየወሩ. እንደሚታወቀው፣ በወራት አመት ውስጥ፣ በዚህ መሰረት፣ ባንኩ በወር ከዓመታዊ ወለድ የተወሰነውን ያስከፍለናል።
አስተዳድረዋል? ውጤቱን እናወዳድር፡-
ያገኘሁት ይኸውና፡-
አደረጉ? እንፈትሽ!
በ 2001 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.
- በ 2002 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.
በ 2003 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.
በቅደም ተከተል፡-
ሩብልስ
እባክዎን በዚህ ችግር ውስጥ እኛ በ ወይም በ ክፍፍል የለንም ፣ ምክንያቱም መቶኛ በዓመት ይሰጣል እና በየዓመቱ ይሰላል። ያም ማለት በጥቅል ወለድ ላይ ችግርን በሚያነቡበት ጊዜ ምን ያህል መቶኛ እንደሚሰጥ እና በየትኛው ጊዜ እንደሚሰላ ትኩረት ይስጡ እና ከዚያ ወደ ስሌቶች ብቻ ይቀጥሉ።
አሁን ስለ ጂኦሜትሪክ እድገት ሁሉንም ነገር ያውቃሉ.ስልጠና.
ኤምዲኤም ካፒታል ኩባንያ፡-
- በ 100% ይጨምራል ፣ ማለትም ፣ 2 ጊዜ።
በቅደም ተከተል፡-
ሩብልስ
MSK የገንዘብ ፍሰት ኩባንያ፡-
- በጊዜ, ማለትም በጊዜ ይጨምራል.
በቅደም ተከተል፡-
ሩብልስ
ሩብልስእናጠቃልለው።
፣ በ (ተመጣጣኝ ውል)
ወይም
ወይምየጂኦሜትሪክ እድገት. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ
ወይም