በሂሳብ እድገት ላይ ችግሮች በጥንት ጊዜ ነበሩ። ተገኝተው መፍትሄ ጠየቁ ምክንያቱም ተግባራዊ ፍላጎት ነበራቸው።

ስለዚህም ከጥንቷ ግብፅ ፓፒረስ አንዱ የሂሳብ ይዘት ያለው ራይንድ ፓፒረስ (19ኛው ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) የሚከተለውን ተግባር ይዟል፡- አሥር መስፈሪያ ዳቦን ለአሥር ሰዎች አካፍል፣ በእያንዳንዳቸው መካከል ያለው ልዩነት አንድ ስምንተኛ ከሆነ። ለካ።

እና በጥንታዊ ግሪኮች የሂሳብ ስራዎች ውስጥ ከሂሳብ እድገት ጋር የተዛመዱ የሚያማምሩ ቲዎሬሞች አሉ። ስለዚህም የአሌክሳንድሪያ ሂፕስክልስ (2ኛው ክፍለ ዘመን፣ ብዙ አስደሳች ችግሮችን ያጠናከረ እና አሥራ አራተኛውን መጽሐፍ በዩክሊድ ኤለመንቶች ላይ የጨመረው) ሃሳቡን ቀርጿል፡- “በሂሳብ ግስጋሴ እኩል ቁጥር ያለው ቃላት፣ የ2ኛ አጋማሽ ውሎች ድምር። በካሬው 1/2 የአባላት ቁጥሮች ላይ ከ1ኛ ውል ድምር ይበልጣል።

ቅደም ተከተላቸው በ a. የተከታታይ ቁጥሮች አባላቶቹ ይባላሉ እና አብዛኛውን ጊዜ የሚሰየሙት የዚህን አባል መለያ ቁጥር በሚያመለክቱ ፊደሎች (a1, a2, a3 ... አንብብ: "1 ኛ", "ሀ 2 ኛ", "3 ኛ" እናም ይቀጥላል ).

ቅደም ተከተል ማለቂያ የሌለው ወይም ያልተገደበ ሊሆን ይችላል.

የሂሳብ እድገት ምንድን ነው? እሱ ስንል የቀደመውን ቃል (n) ከተመሳሳይ ቁጥር d ጋር በመጨመር የተገኘውን ማለታችን ነው, ይህም የሂደቱ ልዩነት ነው.

መ ከሆነ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ከዚያ ይህ እድገት እየጨመረ እንደሆነ ይቆጠራል.

የመጀመሪያዎቹ ጥቂት ቃላቶቹ ብቻ ከግምት ውስጥ ከገቡ የሂሳብ እድገት ውስን ይባላል። በጣም ብዙ ቁጥር ያላቸው አባላት ያሉት፣ ይህ አስቀድሞ ማለቂያ የሌለው እድገት ነው።

ማንኛውም የሂሳብ እድገት በሚከተለው ቀመር ይገለጻል፡

an =kn+b፣ b እና k አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው።

ተቃራኒው ዓረፍተ ነገር ፍፁም እውነት ነው፡ አንድ ቅደም ተከተል በተመሳሳይ ቀመር ከተሰጠ፣ ባህሪያቱ ያለው በትክክል የሂሳብ እድገት ነው።

1. እያንዳንዱ የሂደቱ ቃል የቀደመው ቃል እና ተከታዩ የሂሳብ አማካኝ ነው።
2. ተገላቢጦሽ፡ ከ 2 ኛ ጀምሮ እያንዳንዱ ቃል የቀደመው ቃል ሂሳብ አማካኝ ከሆነ እና ተከታይ ከሆነ፣ ማለትም ሁኔታው ከተሟላ, ይህ ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ነው. ይህ እኩልነት የእድገት ምልክት ነው, ለዚህም ነው ብዙውን ጊዜ የእድገት ባህሪይ ተብሎ የሚጠራው.
   በተመሳሳይ ሁኔታ, ይህንን ንብረት የሚያንፀባርቀው ጽንሰ-ሐሳብ እውነት ነው-ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ነው ይህ እኩልነት ከ 2 ኛ ጀምሮ ለማንኛውም የቅደም ተከተል ውሎች እውነት ከሆነ ብቻ ነው.

የማንኛቸውም አራት የሒሳብ ግስጋሴዎች ባህሪይ ንብረቱ በቀመር an + am = ak + al ሊገለጽ ይችላል፣ n + m = k + l (m፣ n፣ k የእድገት ቁጥሮች ከሆኑ)።

በሂሳብ ግስጋሴ፣ ማንኛውም አስፈላጊ (Nth) ቃል የሚከተለውን ቀመር በመጠቀም ሊገኝ ይችላል።

ለምሳሌ፡ የመጀመርያው ቃል (a1) በሂሳብ ግስጋሴ የተሰጠ እና ከሦስት ጋር እኩል ነው፣ እና ልዩነቱ (መ) ከአራት ጋር እኩል ነው። የዚህን እድገት አርባ አምስተኛውን ቃል ማግኘት ያስፈልግዎታል. a45 = 1+4(45-1)=177

ቀመር an = ak + d(n -k) የሂሳብ ግስጋሴን nኛ ቃል በየትኛውም የ kth ቃላቶቹ እንዲወስኑ ይፈቅድልዎታል፣ ይህም የሚታወቅ ከሆነ።

የሒሳብ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር (የመጀመሪያው n የአንድ የተወሰነ ግስጋሴ ቃል ማለት ነው) እንደሚከተለው ይሰላል፡-

Sn = (a1+an) n/2.

1 ኛ ቃል እንዲሁ የሚታወቅ ከሆነ ፣ ከዚያ ሌላ ቀመር ለማስላት ምቹ ነው-

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n ቃላትን የያዘው የሂሳብ እድገት ድምር እንደሚከተለው ይሰላል፡-

ለስሌቶች ቀመሮች ምርጫ በችግሮች ሁኔታ እና በመነሻ ውሂብ ላይ የተመሰረተ ነው.

እንደ 1፣2፣3፣...፣n፣... ያሉ የማንኛውም ቁጥሮች ተፈጥሯዊ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ ቀላሉ ምሳሌ ነው።

ከሂሳብ ግስጋሴ በተጨማሪ የራሱ ባህሪያት እና ባህሪያት ያለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴም አለ.

አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ እድገቶች

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

	አርቲሜቲክ እድገት	የጂኦሜትሪክ እድገት
ፍቺ	አርቲሜቲክ እድገት አንድ nከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር ከተጨመረው የቀድሞ አባል ጋር እኩል የሆነበት ቅደም ተከተል ነው መ (መ- የእድገት ልዩነት)	የጂኦሜትሪክ እድገት ለ nየዜሮ ያልሆኑ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው ፣ እያንዳንዱ ቃል ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ ፣ ከቀዳሚው ቃል ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ሲባዛ። ቅ (ቅ- የእድገት ደረጃ)
የድግግሞሽ ቀመር	ለማንኛውም ተፈጥሯዊ n a n + 1 = a n + d	ለማንኛውም ተፈጥሯዊ n b n + 1 = b n ∙ q፣ b n ≠ 0
ቀመር nth ቃል	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 ፣ b n ≠ 0
ባህሪይ ንብረት
የመጀመሪያዎቹ n ውሎች ድምር

የተግባር ምሳሌዎች ከአስተያየቶች ጋር

መልመጃ 1

በሂሳብ እድገት (እድገት) አንድ n) ሀ 1 = -6, ሀ 2

በ nኛው ቃል ቀመር መሰረት፡-

ሀ 22 = ሀ 1+ መ (22 - 1) = ሀ 1+ 21 መ

በሁኔታ፡-

ሀ 1= -6፣ እንግዲህ ሀ 22= -6 + 21 መ.

የሂደቶችን ልዩነት መፈለግ አስፈላጊ ነው-

መ = ሀ 2 - አንድ 1 = -8 – (-6) = -2

ሀ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

መልስ፡- ሀ 22 = -48.

ተግባር 2

የጂኦሜትሪክ እድገትን አምስተኛውን ቃል ይፈልጉ: -3; 6፤....

1 ኛ ዘዴ (n-term ቀመርን በመጠቀም)

በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ኤን ኛ ቃል ቀመር መሰረት፡-

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙q 4.

ምክንያቱም ለ 1 = -3,

2 ኛ ዘዴ (በተደጋጋሚ ቀመር በመጠቀም)

የሂደቱ መለያ -2 (q = -2) ስለሆነ፣ ከዚያ፡-

ለ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ለ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ለ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

መልስ፡- ለ 5 = -48.

ተግባር 3

በሂሳብ እድገት (እድገት) a n) a 74 = 34; አ 76= 156. የዚህን እድገት ሰባ አምስተኛ ቃል ያግኙ.

ለአርቲሜቲክ እድገት, የባህሪው ባህሪው ቅጹ አለው .

ስለዚህ፡-

.

ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-

መልስ፡ 95.

ተግባር 4

በሂሳብ እድገት (እድገት) a n) a n= 3n - 4. የመጀመሪያዎቹን አስራ ሰባት ቃላት ድምር ያግኙ.

የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ቃላት ድምርን ለማግኘት ሁለት ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ፡

.

ከመካከላቸው በዚህ ጉዳይ ላይ ለመጠቀም የበለጠ አመቺ የሆነው የትኛው ነው?

እንደ ሁኔታው ​​​​የመጀመሪያው ግስጋሴ የ n ኛው ቃል ቀመር ይታወቃል ( አንድ n) አንድ n= 3n - 4. ወዲያውኑ ማግኘት ይችላሉ እና ሀ 1, እና ሀ 16ሳያገኙ መ. ስለዚህ, የመጀመሪያውን ቀመር እንጠቀማለን.

መልስ፡ 368.

ተግባር 5

በሂሳብ እድገት (እድገት) አንድ n) ሀ 1 = -6; ሀ 2= -8. የሂደቱን ሃያ ሁለተኛው ቃል ይፈልጉ።

በ nኛው ቃል ቀመር መሰረት፡-

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = ሀ 1+ 21 ቀ.

በሁኔታ፣ ከሆነ ሀ 1= -6፣ እንግዲህ ሀ 22= -6 + 21d . የሂደቶችን ልዩነት መፈለግ አስፈላጊ ነው-

መ = ሀ 2 - አንድ 1 = -8 – (-6) = -2

ሀ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

መልስ፡- ሀ 22 = -48.

ተግባር 6

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው በርካታ ተከታታይ ቃላት ተጽፈዋል፡-

x የተሰየመውን የእድገት ቃል ያግኙ።

በሚፈታበት ጊዜ, ለ n ኛ ቃል ቀመር እንጠቀማለን b n = b 1 ∙ q n - 1ለጂኦሜትሪክ እድገቶች. የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል። የሂደቱን q መለያ ለማግኘት ፣ ከተሰጡት የሂደቱ ውሎች ውስጥ ማንኛውንም መውሰድ እና በቀድሞው መከፋፈል ያስፈልግዎታል። በእኛ ምሳሌ ልንወስድ እና መከፋፈል እንችላለን። ያንን q = 3 እናገኛለን. በ n ፈንታ, 3 ን በቀመር ውስጥ እንተካለን, ምክንያቱም የተሰጠውን የጂኦሜትሪክ እድገት ሶስተኛ ጊዜ ማግኘት አስፈላጊ ነው.

የተገኙትን እሴቶች በቀመር በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን

.

መልስ፡.

ተግባር 7

በ nth ቃል ቀመር ከተሰጡት የሂሳብ እድገቶች ውስጥ, ሁኔታው ​​የሚረካበትን ይምረጡ አ 27 > 9:

የተሰጠው ሁኔታ ለ 27 ኛው የእድገት ጊዜ መሟላት ስላለበት በእያንዳንዱ አራት እድገቶች ውስጥ 27 ን ከመተካት ይልቅ 27 ን እንተካለን. በ 4 ኛው ግስጋሴ ውስጥ እኛ እናገኛለን-

.

መልስ፡ 4.

ተግባር 8

በሂሳብ እድገት ሀ 1= 3, d = -1.5. አለመመጣጠን የሚይዘው ትልቁን የ n እሴት ይግለጹ አንድ n > -6.

የመጀመሪያ ደረጃ

አርቲሜቲክ እድገት. ከምሳሌዎች ጋር ዝርዝር ንድፈ ሐሳብ (2019)

የቁጥር ቅደም ተከተል

ስለዚህ፣ እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:
ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ አሉ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ, ሁልጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛ ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል
ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

የተመደበው ቁጥር በቅደም ተከተል አንድ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው. በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ ኛ ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.
ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ ቃል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

በእኛ ሁኔታ፡-

በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል።
ለምሳሌ:

ወዘተ.
ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ይባላል።
“እድገት” የሚለው ቃል በ6ኛው ክፍለ ዘመን በሮማዊው ደራሲ ቦቲየስ አስተዋወቀ እና ሰፋ ባለ መልኩ እንደ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ተረድቷል። "ሒሳብ" የሚለው ስም በጥንታዊ ግሪኮች ከተጠናው ቀጣይነት ያለው ተመጣጣኝነት ጽንሰ-ሐሳብ ተላልፏል.

ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር የተጨመረው ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው. ይህ ቁጥር የሒሳብ ዕድገት ልዩነት ተብሎ ይጠራል እና የተሰየመ ነው።

የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ እንዳልሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ፡

ሀ)
ለ)
ሐ)
መ)

ገባኝ? መልሶቻችንን እናወዳድር፡-
ነውየሂሳብ እድገት - b, c.
አይደለምየሂሳብ እድገት - a, d.

ወደ ተሰጠው ግስጋሴ () እንመለስ እና የሱን ኛ ቃል ዋጋ ለማግኘት እንሞክር። አለ። ሁለትለማግኘት መንገድ.

1. ዘዴ

የሂደቱ ኛ ቃል እስክንደርስ ድረስ የሂደቱን ቁጥር ወደ ቀድሞው እሴት ማከል እንችላለን። ለማጠቃለል ብዙ ባይኖረን ጥሩ ነው - ሶስት እሴቶች ብቻ።

ስለዚህ፣ የተገለፀው የሂሳብ እድገት ኛ ቃል እኩል ነው።

2. ዘዴ

የሂደቱን የ ኛ ቃል ዋጋ መፈለግ ብንፈልግስ? ማጠቃለያው ከአንድ ሰአት በላይ ይወስድብናል፣ እና ቁጥሮች ስንጨምር ስህተት እንደማንሰራ ሀቅ አይደለም።
እርግጥ ነው, የሂሳብ ሊቃውንት የሂሳብ እድገትን ልዩነት ወደ ቀድሞው እሴት መጨመር የማያስፈልግበትን መንገድ ፈጥረዋል. የተሳለውን ምስል በጥሞና ተመልከት... በእርግጠኝነት አንድ የተወሰነ ስርዓተ-ጥለት አስተውለሃል፣ እሱም፡-

ለምሳሌ፣ የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ የሁለተኛው ቃል ዋጋ ምን እንደሚይዝ እንመልከት፡-


በሌላ ቃል:

የአንድ የተወሰነ የሂሳብ እድገት አባል ዋጋ በዚህ መንገድ እራስዎን ለማግኘት ይሞክሩ።

አሰላለው? ማስታወሻዎችዎን ከመልሱ ጋር ያወዳድሩ፡-

የሒሳብ ግስጋሴ ውሎችን በቅደም ተከተል ወደ ቀድሞው እሴት ስንጨምር ልክ እንደ ቀደመው ዘዴ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ እባክዎ ልብ ይበሉ።
ይህንን ቀመር “ሰውን ለማሳጣት” እንሞክር - በአጠቃላይ መልክ እናስቀምጠው እና የሚከተሉትን እናገኛለን

አርቲሜቲክ ግስጋሴ እኩልታ.

አርቲሜቲክ እድገቶች እየጨመረ ወይም እየቀነሱ ሊሆኑ ይችላሉ.

እየጨመረ ነው።- እያንዳንዱ ቀጣይ የቃላቶች ዋጋ ከቀዳሚው የሚበልጥባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

መውረድ- እያንዳንዱ ቀጣይ የውሎቹ ዋጋ ከቀዳሚው ያነሰባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

የተገኘው ቀመር የቃላት ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው በማደግ እና በመቀነስ የሂሳብ እድገት ቃላቶች ነው።
ይህንን በተግባር እንፈትሽ።
የሚከተሉትን ቁጥሮች የያዘ የሂሳብ ግስጋሴ ተሰጥቶናል፡ ቀመራችንን ለማስላት ከተጠቀምንበት የዚህ የሂሳብ እድገት ኛ ቁጥር ምን እንደሚሆን እንፈትሽ።

ከዛን ጊዜ ጀምሮ:

ስለዚህ፣ ቀመሩ የሚሠራው በመቀነስ እና በማደግ ላይ ባለው የሂሳብ እድገት ላይ መሆኑን እርግጠኞች ነን።
የዚህን የሂሳብ እድገት ኛ እና ኛ ውሎች እራስዎ ለማግኘት ይሞክሩ።

ውጤቱን እናወዳድር፡-

አርቲሜቲክ እድገት ንብረት

ችግሩን እናወሳስበው - የሂሳብ እድገትን ንብረት እናመጣለን.
የሚከተለው ሁኔታ ተሰጥቶናል እንበል።
- የሂሳብ እድገት ፣ እሴቱን ይፈልጉ።
ቀላል፣ እርስዎ በሚያውቁት ቀመር መሰረት ይናገሩ እና መቁጠር ይጀምሩ፡-

አህ፣ እንግዲያውስ፡-

ፍጹም ትክክል። መጀመሪያ ያገኘነው ከዚያም ወደ መጀመሪያው ቁጥር ጨምረን የምንፈልገውን አግኝተናል። እድገቱ በትንንሽ እሴቶች ከተወከለ, ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ነገር ግን በሁኔታው ላይ ቁጥሮች ከተሰጠን? ይስማሙ, በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት የመሥራት እድል አለ.
አሁን ማንኛውንም ቀመር በመጠቀም ይህንን ችግር በአንድ ደረጃ መፍታት ይቻል እንደሆነ ያስቡ? በእርግጥ አዎ, እና አሁን ለማውጣት የምንሞክረው ያ ነው.

የሚፈለገውን የሂሳብ ግስጋሴ ቃል እንጥቀስ ፣ እሱን ለማግኘት ቀመር ለእኛ የታወቀ ነው - ይህ በመጀመሪያ ላይ ያመጣነው ተመሳሳይ ቀመር ነው-
, ከዚያም:

• የቀደመው የሂደቱ ቃል፡-
• የሚቀጥለው የእድገት ጊዜ የሚከተለው ነው-

የቀደመውን እና ተከታዩን የሂደቱን ውሎች እናጠቃልል።

የቀደመው እና ተከታይ የሂደቱ ድምር በመካከላቸው የሚገኘው የእድገት ቃል ድርብ እሴት ነው። በሌላ አገላለጽ ፣የእድገት ቃልን ከታወቁ ቀዳሚ እና ተከታታይ እሴቶች ጋር ለማግኘት ፣እነሱን ማከል እና መከፋፈል ያስፈልግዎታል።

ልክ ነው, ተመሳሳይ ቁጥር አግኝተናል. ቁሳቁሱን እንጠብቅ። ለእድገት ዋጋውን እራስዎ ያሰሉ, በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም.

ጥሩ ስራ! ስለ እድገት ሁሉንም ነገር ታውቃለህ! አንድ ቀመር ብቻ ለማወቅ ይቀራል ፣ እሱም በአፈ ታሪክ መሠረት ፣ በማንኛውም ጊዜ ካሉት ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት በአንዱ ፣ “የሂሳብ ሊቃውንት ንጉስ” - ካርል ጋውስ…

ካርል ጋውስ የ9 ዓመት ልጅ ሳለ፣ አንድ መምህር፣ በሌሎች ክፍሎች ውስጥ ያሉትን የተማሪዎችን ስራ በመመርመር የተጠመደ፣ በክፍል ውስጥ የሚከተለውን ተግባር ሰጠ፡- “የተፈጥሮ ቁጥሮችን ከ (ሌሎች ምንጮች እንደሚለው) አካታች ያለውን ድምር አስላ። ከመምህሩ አንዱ (ይህ ካርል ጋውስ ነበር) ከአንድ ደቂቃ በኋላ ለተግባሩ ትክክለኛውን መልስ ሲሰጥ መምህሩ ምን ያህል እንደተገረመ አስቡት ፣ አብዛኛዎቹ የድፍረት ክፍል ተማሪዎች ከረዥም ስሌት በኋላ የተሳሳተ ውጤት ሲያገኙ…

ወጣቱ ካርል ጋውስ እርስዎ በቀላሉ ሊያስተውሉት የሚችሉትን የተወሰነ ንድፍ ተመልክቷል።
-ኛ ቃላትን ያካተተ የሂሳብ ግስጋሴ አለን እንበል፡ የእነዚህን የሂሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምር ማግኘት አለብን። እርግጥ ነው፣ ሁሉንም እሴቶቹን በእጃችን ማጠቃለል እንችላለን፣ ግን ጋውስ እንደሚፈልግ ስራው የውሎቹን ድምር ማግኘት ቢፈልግስ?

የተሰጠንን እድገት እናሳይ። የደመቁትን ቁጥሮች በጥልቀት ይመልከቱ እና ከእነሱ ጋር የተለያዩ የሂሳብ ስራዎችን ለመስራት ይሞክሩ።


ሞክረዋል? ምን አስተዋልክ? ቀኝ! ድምራቸው እኩል ነው።

አሁን ንገረኝ ፣ በተሰጠን እድገት ውስጥ በአጠቃላይ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? እርግጥ ነው, በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ማለትም.
የሁለት ቃላት ድምር የሂሳብ ግስጋሴ እኩል እና ተመሳሳይ ጥንዶች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ በመመስረት አጠቃላይ ድምር እኩል ይሆናል፡-
.
ስለዚህ የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

በአንዳንድ ችግሮች የኛን ቃል አናውቅም ነገር ግን የሂደቱን ልዩነት እናውቃለን። የቃሉን ቀመር ወደ ድምር ቀመር ለመተካት ይሞክሩ።
ምን አገኘህ?

ጥሩ ስራ! አሁን ወደ ካርል ጋውስ ወደ ተጠየቀው ችግር እንመለስ፡ ከ th የሚጀምሩት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እኩል እንደሆነ እና ከ th ጀምሮ ያሉት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እንደሆነ ለራስዎ አስላ።

ምን ያህል አገኘህ?
ጋውስ የቃላቶቹ ድምር እኩል እና የቃላቶቹ ድምር መሆኑን ደርሰውበታል። እርስዎ የወሰኑት እንደዚህ ነው?

በእርግጥ፣ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ቀመር በጥንታዊው ግሪክ ሳይንቲስት ዲዮፋንተስ በ 3 ኛው ክፍለ ዘመን የተረጋገጠ ሲሆን በዚህ ጊዜ ውስጥ ጠንቋዮች የሒሳብ እድገትን ባህሪያት ሙሉ በሙሉ ተጠቅመዋል።
ለምሳሌ የጥንቷ ግብፅን እና የዚያን ጊዜ ትልቁን የግንባታ ፕሮጀክት - የፒራሚድ ግንባታ... ምስሉ አንድ ጎን ያሳያል።

እዚህ እድገት የት አለ ትላላችሁ? በጥንቃቄ ይመልከቱ እና በእያንዳንዱ ረድፍ የፒራሚድ ግድግዳ ላይ የአሸዋ ብሎኮችን ቁጥር ይፈልጉ።


ለምን የሂሳብ እድገት አይሆንም? የማገጃ ጡቦች በመሠረቱ ላይ ከተቀመጡ አንድ ግድግዳ ለመሥራት ምን ያህል ብሎኮች እንደሚያስፈልግ አስሉ. ጣትዎን በተቆጣጣሪው ላይ ሲያንቀሳቅሱ እንደማይቆጥሩ ተስፋ አደርጋለሁ ፣ የመጨረሻውን ቀመር እና ስለ የሂሳብ እድገት የተናገርነውን ሁሉ ያስታውሳሉ?

በዚህ ሁኔታ, እድገቱ እንደዚህ ይመስላል.
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
የሂሳብ እድገት ውሎች ብዛት።
የእኛን መረጃ በመጨረሻዎቹ ቀመሮች እንተካው (የብሎኮችን ብዛት በ 2 መንገዶች አስላ)።

ዘዴ 1.

ዘዴ 2.

እና አሁን በተቆጣጣሪው ላይ ማስላት ይችላሉ-የተገኙትን ዋጋዎች በእኛ ፒራሚድ ውስጥ ካሉት ብሎኮች ብዛት ጋር ያወዳድሩ። ገባኝ? ደህና አድርገሃል፣ የሂሳብ እድገትን n ኛ ውሎች ድምርን ተክተሃል።
በእርግጥ ፒራሚድ ከመሠረቱ ብሎኮች መገንባት አይችሉም ፣ ግን ከ? በዚህ ሁኔታ ግድግዳ ለመገንባት ምን ያህል የአሸዋ ጡቦች እንደሚያስፈልግ ለማስላት ይሞክሩ.
አስተዳድረዋል?
ትክክለኛው መልስ ብሎኮች ነው-

ስልጠና

ተግባራት፡

1. ማሻ ለበጋው ቅርፅ እያገኘ ነው። በየቀኑ የቁንጮዎችን ቁጥር ይጨምራል. ማሻ በመጀመሪያው የስልጠና ክፍለ ጊዜ ላይ ስኩዊቶችን ካደረገች በሳምንት ውስጥ ስንት ጊዜ ስኩዊቶችን ታደርጋለች?
2. የሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ምንድነው?
3. መዝገቦችን በሚያከማቹበት ጊዜ እያንዳንዱ የላይኛው ንብርብር ከቀዳሚው ያነሰ አንድ ሎግ እንዲይዝ በሚያስችል መንገድ ይቆልላቸዋል። የግንበኝነት መሰረቱ ግንድ ከሆነ በአንድ ግንበኝነት ውስጥ ስንት እንጨቶች አሉ?

መልሶች፡-

1. የሒሳብ ግስጋሴውን መለኪያዎች እንገልጻለን። በዚህ ጉዳይ ላይ
   (ሳምንት = ቀናት)።

   መልስ፡-በሁለት ሳምንታት ውስጥ ማሻ በቀን አንድ ጊዜ ስኩዊቶችን ማድረግ አለበት.

2. የመጀመሪያው ያልተለመደ ቁጥር ፣ የመጨረሻ ቁጥር።
   የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
   በ ውስጥ ያሉት ያልተለመዱ ቁጥሮች ብዛት ግማሽ ነው ፣ ሆኖም ፣ የሂሳብ እድገትን ኛ ቃል ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እውነታ እንፈትሽ።

   ቁጥሮች ያልተለመዱ ቁጥሮች ይይዛሉ።
   ያለውን መረጃ በቀመር እንተካው፡-

   መልስ፡-በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር እኩል ነው።

3. ስለ ፒራሚዶች ያለውን ችግር እናስታውስ። በእኛ ሁኔታ, ሀ , እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን በአንድ ሎግ ስለሚቀንስ, ከዚያም በአጠቃላይ የንብርብሮች ስብስብ አለ, ማለትም.
   ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-

   መልስ፡-በግንበኛው ውስጥ የምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ.

እናጠቃልለው

1. - በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል። እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ሊሆን ይችላል.
2. ቀመር ማግኘትየሒሳብ ግስጋሴ ኛ ቃል በቀመር የተጻፈው - , በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት ነው.
3. የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት- - በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ብዛት የት አለ?
4. የሒሳብ እድገት ውሎች ድምርበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል-
   
   , የእሴቶቹ ብዛት የት ነው.

አርቲሜቲክ እድገት. አማካይ ደረጃ

የቁጥር ቅደም ተከተል

እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ. ግን ሁል ጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው ፣ የትኛው ሁለተኛ ነው ፣ እና ሌሎችም ፣ ማለትም ፣ ልንቆጥራቸው እንችላለን ። ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

በሌላ አነጋገር, እያንዳንዱ ቁጥር ከተወሰነ የተፈጥሮ ቁጥር, እና ልዩ ከሆነ ጋር ሊዛመድ ይችላል. እና ይህን ቁጥር ከዚህ ስብስብ ወደ ሌላ ቁጥር አንሰጥም።

ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ አባል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

የተከታታዩ ኛ ቃል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ የሚችል ከሆነ በጣም ምቹ ነው. ለምሳሌ, ቀመር

ቅደም ተከተል ያስቀምጣል:

እና ቀመሩ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ እድገት ቅደም ተከተል ነው (የመጀመሪያው ቃል እዚህ እኩል ነው ፣ እና ልዩነቱ)። ወይም (, ልዩነት).

n ኛ ቃል ቀመር

ቀመርን ተደጋጋሚ ብለን እንጠራዋለን ፣ ይህም የሁለተኛውን ቃል ለማወቅ ቀዳሚውን ወይም ብዙ ቀዳሚዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

ለምሳሌ ይህንን ቀመር በመጠቀም የሂደቱን ኛ ቃል ለማግኘት የቀደመውን ዘጠኙን ማስላት አለብን። ለምሳሌ, ይተውት. ከዚያም፡-

ደህና ፣ አሁን ቀመሩ ምን እንደሆነ ግልፅ ነው?

በእያንዳንዱ መስመር ውስጥ እንጨምራለን, በተወሰነ ቁጥር ተባዝተናል. የትኛው? በጣም ቀላል፡ ይህ የአሁን አባል ቁጥር ሲቀነስ ነው፡

አሁን የበለጠ ምቹ ፣ አይደል? እኛ እንፈትሻለን፡-

ለራስዎ ይወስኑ፡-

በሒሳብ ግስጋሴ፣ የ nኛውን ቃል ቀመር ይፈልጉ እና መቶኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው ቃል እኩል ነው. ልዩነቱ ምንድን ነው? እነሆ፡-

(ለዚህም ነው ልዩነት ተብሎ የሚጠራው ምክንያቱም ከእድገት ተከታታይ ውሎች ልዩነት ጋር እኩል ስለሆነ ነው).

ስለዚህ ቀመር፡-

ከዚያ የመቶኛው ቃል እኩል ነው፡-

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ እስከ ስንት ነው?

በአፈ ታሪክ መሰረት, ታላቁ የሂሳብ ሊቅ ካርል ጋውስ, የ 9 አመት ልጅ እያለ, ይህንን መጠን በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ ያሰላል. የአንደኛውና የመጨረሻዎቹ ቁጥሮች ድምር እኩል መሆናቸውን፣ የሁለተኛው እና የመጨረሻው ድምር አንድ፣ የሦስተኛውና የመጨረሻው 3 ኛ ድምር አንድ ነው፣ ወዘተ. በጠቅላላው ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? ልክ ነው፣ በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ቁጥር፣ ማለትም። ስለዚህ፣

የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር አጠቃላይ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ለምሳሌ:
የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ብዜቶች ድምርን ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ቁጥር ይህ ነው. እያንዳንዱ ቀጣይ ቁጥር የሚገኘው ወደ ቀድሞው ቁጥር በመጨመር ነው. ስለዚህ እኛ የምንፈልጋቸው ቁጥሮች ከመጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱ ጋር የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ።

ለዚህ እድገት የኛው ቃል ቀመር፡-

ሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ መሆን ካለባቸው በእድገት ውስጥ ስንት ቃላት አሉ?

በጣም ቀላል: .

የሂደቱ የመጨረሻ ቃል እኩል ይሆናል. ከዚያም ድምር:

መልስ፡.

አሁን ለራስዎ ይወስኑ:

1. በየቀኑ አትሌቱ ካለፈው ቀን የበለጠ ሜትሮችን ይሮጣል። በመጀመሪያው ቀን ኪሜ ሜትር ቢሮጥ በሳምንት ውስጥ ስንት ጠቅላላ ኪሎ ሜትር ይሮጣል?
2. አንድ ብስክሌተኛ በየቀኑ ካለፈው ቀን የበለጠ ኪሎ ሜትሮችን ይጓዛል። በመጀመሪያው ቀን ኪ.ሜ ተጉዟል። አንድ ኪሎ ሜትር ለመጓዝ ስንት ቀናት መጓዝ ያስፈልገዋል? በመጨረሻው የጉዞው ቀን ስንት ኪሎ ሜትር ይጓዛል?
3. በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለው የማቀዝቀዣ ዋጋ በየዓመቱ በተመሳሳይ መጠን ይቀንሳል. የፍሪጅ ዋጋ በየአመቱ ምን ያህል እንደሚቀንስ ይወስኑ, ለሩብል የሚሸጥ ከሆነ, ከስድስት አመት በኋላ በሩብል ከተሸጠ.

መልሶች፡-

1. እዚህ በጣም አስፈላጊው ነገር የሂሳብ እድገትን ማወቅ እና ግቤቶችን መወሰን ነው. በዚህ ሁኔታ, (ሳምንት = ቀናት). የዚህ እድገት የመጀመሪያ ውሎች ድምርን መወሰን ያስፈልግዎታል
   .
   መልስ፡-
2. እዚህ ተሰጥቷል:, መገኘት አለበት.
   እንደቀድሞው ችግር ተመሳሳይ ድምር ቀመር መጠቀም እንደሚያስፈልግ ግልጽ ነው።
   .
   እሴቶቹን ይተኩ፡

   ሥሩ በትክክል አይጣጣምም, ስለዚህ መልሱ ነው.
   የኛውን ቃል ቀመር በመጠቀም በመጨረሻው ቀን የተጓዝንበትን መንገድ እናሰላ።
   (ኪሜ)
   መልስ፡-

3. የተሰጠው፡. አግኝ፡.
   የበለጠ ቀላል ሊሆን አይችልም፡-
   (ማሸት)።
   መልስ፡-

አርቲሜቲክ እድገት. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ይህ በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው።

አርቲሜቲክ እድገት እየጨመረ () እና እየቀነሰ () ሊሆን ይችላል.

ለምሳሌ:

የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ለማግኘት ቀመር

በቀመር የተጻፈው በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ቁጥር የት ነው.

የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት

የአጎራባች ቃላቶቹ የሚታወቁ ከሆነ የእድገት ቃልን በቀላሉ እንዲያገኙ ይፈቅድልዎታል - በሂደቱ ውስጥ የቁጥሮች ብዛት የት አለ።

የአርቲሜቲክ እድገት ውሎች ድምር

መጠኑን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ-

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል \ (2\); (5\); (8\); \(አስራ አንድ\); \(14\)... የሂሳብ ግስጋሴ ነው፣ ምክንያቱም እያንዳንዱ ተከታይ አካል ከቀዳሚው አንድ በሦስት ስለሚለያይ (ከቀደመው አንድ ሶስት በመጨመር ማግኘት ይቻላል)።

በዚህ እድገት ውስጥ, ልዩነቱ \ (d \) አዎንታዊ ነው (ከ \(3\) ጋር እኩል ነው), እና ስለዚህ እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ከቀዳሚው ይበልጣል. እንደዚህ ያሉ እድገቶች ይባላሉ እየጨመረ ነው።.

ሆኖም፣ \(መ) አሉታዊ ቁጥርም ሊሆን ይችላል። ለምሳሌ, በሂሳብ እድገት \(16\); (10\); (4\); (-2\); \(-8\)...የእድገት ልዩነት \(መ) ከስድስት ሲቀነስ ጋር እኩል ነው።

እናም በዚህ ሁኔታ, እያንዳንዱ ቀጣይ አካል ከቀዳሚው ያነሰ ይሆናል. እነዚህ እድገቶች ይባላሉ እየቀነሰ ነው።.

አርቲሜቲክ እድገት ምልክት

ግስጋሴው በትንሽ የላቲን ፊደል ይገለጻል።

እድገትን የሚፈጥሩ ቁጥሮች ተጠርተዋል አባላት(ወይም ንጥረ ነገሮች)።

እንደ የሂሳብ ግስጋሴ በተመሳሳይ ፊደል ይገለጻሉ, ነገር ግን በቅደም ተከተል ከኤለመንት ቁጥር ጋር እኩል የሆነ የቁጥር መረጃ ጠቋሚ ጋር.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ ግስጋሴ \(a_n = \ ግራ \ ( 2; 5; 8; 11; 14 ... \ ቀኝ \) \) ንጥረ ነገሮችን ያካትታል \(a_1=2 \); \(a_2=5\); \(a_3=8\) እና ሌሎችም።

በሌላ አነጋገር፣ ለእድገት \(a_n = \ ግራ\(2; 5; 8; 11; 14…\ቀኝ\)\)

የሂሳብ እድገት ችግሮችን መፍታት

በመርህ ደረጃ፣ ከዚህ በላይ ያለው መረጃ ማንኛውንም የሂሳብ እድገት ችግር ለመፍታት በቂ ነው (በ OGE የቀረቡትን ጨምሮ)።

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይገለጻል \(b_1=7; d=4\)። አግኝ \(b_5\)።
መፍትሄ፡-

መልስ፡- (b_5=23\)

ምሳሌ (OGE) የመጀመሪያዎቹ ሦስት የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ተሰጥተዋል፡- \(62፤ 49፤ 36…\) የዚህን ግስጋሴ የመጀመሪያ አሉታዊ ቃል ዋጋ ያግኙ።
መፍትሄ፡-

	በቅደም ተከተል የመጀመሪያዎቹ አካላት ተሰጥቶናል እና እሱ የሂሳብ እድገት መሆኑን እናውቃለን። ያም ማለት እያንዳንዱ ንጥረ ነገር ከጎረቤቱ በተመሳሳይ ቁጥር ይለያያል. የቀደመውን ከቀጣዩ አካል በመቀነስ የትኛውን እንወቅ፡- \(d=49-62=-13\)።
	አሁን እድገታችንን ወደምንፈልገው (የመጀመሪያው አሉታዊ) አካል መመለስ እንችላለን።
	ዝግጁ። መልስ መጻፍ ትችላለህ.

መልስ፡- \(-3\)

ምሳሌ (OGE) በርካታ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ አካሎች ከተሰጠው፡- \(...5፤ x; 10፤ 12.5...
መፍትሄ፡-

	\(x\) ለማግኘት የሚቀጥለው አካል ከቀዳሚው ምን ያህል እንደሚለይ ማወቅ አለብን በሌላ አነጋገር የእድገት ልዩነት። ከሁለት የታወቁ ጎረቤት አካላት እናገኘው፡- \(d=12.5-10=2.5\)።
	እና አሁን የምንፈልገውን በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡ \(x=5+2.5=7.5\)።
	ዝግጁ። መልስ መጻፍ ትችላለህ.

መልስ፡- \(7,5\).

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሚከተሉት ሁኔታዎች ይገለጻል: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) የዚህን እድገት የመጀመሪያዎቹ ስድስት ውሎች ድምርን ያግኙ።
መፍትሄ፡-

	የመጀመሪያዎቹን ስድስት የሂደቱን ውሎች ድምር ማግኘት አለብን። ግን ትርጉማቸውን አናውቅም፤ የተሰጠን የመጀመሪያው አካል ብቻ ነው። ስለዚህ በመጀመሪያ የተሰጠንን በመጠቀም እሴቶቹን አንድ በአንድ እናሰላለን፡- \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) እና የምንፈልጋቸውን ስድስት ንጥረ ነገሮች ካሰላን በኋላ ድምራቸውን እናገኛለን።
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	የሚፈለገው መጠን ተገኝቷል.

መልስ፡- \(S_6=9\)።

ምሳሌ (OGE) በሂሳብ እድገት \(a_(12)=23\); (ሀ_(16)=51\)። የዚህን እድገት ልዩነት ይፈልጉ.
መፍትሄ፡-

መልስ፡- \(መ=7\)።

ለሂሳብ እድገት አስፈላጊ ቀመሮች

እንደሚመለከቱት ፣ በሂሳብ ግስጋሴ ላይ ያሉ ብዙ ችግሮች ዋናውን ነገር በመረዳት በቀላሉ ሊፈቱ ይችላሉ - የሂሳብ ግስጋሴ የቁጥሮች ሰንሰለት ነው ፣ እና በዚህ ሰንሰለት ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር የሚገኘው ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ቁጥር በመጨመር ነው (እ.ኤ.አ. የሂደቱ ልዩነት)።

ሆኖም ግን, አንዳንድ ጊዜ "ራስ ላይ" ሲወስኑ በጣም የማይመች ሁኔታዎች አሉ. ለምሳሌ በመጀመሪያው ምሳሌ አምስተኛውን አካል \(b_5\) ሳይሆን ሦስት መቶ ሰማንያ ስድስተኛውን \(b_(386)\) መፈለግ እንዳለብን አስብ። አራት \(385\) ጊዜ እንጨምር? ወይም በአስደናቂው ምሳሌ ውስጥ የመጀመሪያዎቹን ሰባ-ሦስት ንጥረ ነገሮች ድምር ማግኘት እንዳለቦት አስቡ። መቁጠር ሰልችቶሃል...

ስለዚህ, እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ላይ ነገሮችን "በፊት" አይፈቱም, ነገር ግን ለሂሳብ እድገት የተገኙ ልዩ ቀመሮችን ይጠቀሙ. እና ዋናዎቹ የሂደቱ n ኛ ቃል ቀመር እና የ \(n\) የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር ናቸው።

የ \(n\) ኛ ቃል ቀመር፡ \(a_n=a_1+(n-1)d\)፣ \(a_1 \) የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል ሲሆን፤
\ (n\) - የሚፈለገው አካል ቁጥር;
\(a_n\) - የሂደቱ ቃል ከቁጥር \(n\) ጋር።

ይህ ቀመር የመጀመሪያውን እና የሂደቱን ልዩነት ብቻ በማወቅ ሶስት መቶ ወይም ሚሊዮናዊውን ንጥረ ነገር በፍጥነት እንድናገኝ ያስችለናል.

ለምሳሌ. የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይገለጻል: \(b_1=-159\); \(መ=8.2\)። አግኝ \(b_(246)\)።
መፍትሄ፡-

መልስ፡- \(b_(246)=1850\)።

ፎርሙላ ለመጀመሪያዎቹ n ውሎች ድምር፡- \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)፣ የት

\(a_n\) - የመጨረሻው ድምር ቃል;

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች \(a_n=3.4n-0.6\) ይገለጻል። የዚህን እድገት የመጀመሪያ \(25\) ውሎች ድምርን ያግኙ።
መፍትሄ፡-

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		የመጀመሪያዎቹን ሃያ አምስት ቃላት ድምርን ለማስላት የአንደኛውን እና የሃያ አምስተኛውን ቃላት ዋጋ ማወቅ አለብን። እድገታችን በ n ኛው ቃል ቀመር እንደ ቁጥሩ (ለተጨማሪ ዝርዝሮች, ይመልከቱ) ይሰጣል. የመጀመሪያውን ክፍል በ \(n\) በመተካት እናሰላው።
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		አሁን በ \(n\) ፈንታ ሃያ አምስትን በመተካት ሃያ አምስተኛውን ቃል እንፈልግ።
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		ደህና, አሁን አስፈላጊውን መጠን በቀላሉ ማስላት እንችላለን.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		መልሱ ዝግጁ ነው።

መልስ፡- \(S_(25)=1090\)።

ለመጀመሪያዎቹ ቃላቶች ድምር \(n (\cdot 25 \ ) በ \(a_n \) ምትክ ቀመሩን ይተኩ \(a_n=a_1+(n-1)d\)። እናገኛለን፡-

የመጀመሪያ n ውሎች ድምር ቀመር፡ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)፣ የት

\(S_n\) - የሚፈለገው የ \(n\) የመጀመሪያ አካላት ድምር;
\(a_1 \) - የመጀመሪያው ድምር ቃል;
\ (መ) - የእድገት ልዩነት;
\ (n\) - በጠቅላላው የንጥረ ነገሮች ብዛት።

ለምሳሌ. የመጀመሪያውን \(33\) -የቀድሞ የሂሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምርን ያግኙ፡ \(17\); (15.5 \); (14)…
መፍትሄ፡-

መልስ፡- \(S_(33)=-231\)።

የበለጠ ውስብስብ የሂሳብ እድገት ችግሮች

አሁን ማንኛውንም የሂሳብ እድገት ችግር ለመፍታት የሚያስፈልግዎ መረጃ ሁሉ አለዎት። ቀመሮችን መተግበር ብቻ ሳይሆን ትንሽም አስብበት (በሂሳብ ይህ ጠቃሚ ሊሆን ይችላል ☺) ችግሮችን በማጤን ርዕሱን እንጨርስ።

ምሳሌ (OGE) የእድገቱን ሁሉንም አሉታዊ ቃላት ድምርን ያግኙ: \ (-19.3 \); (-19\); (-18.7\)…
መፍትሄ፡-

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ተግባሩ ከቀዳሚው ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው። ተመሳሳይ ነገር መፍታት እንጀምራለን በመጀመሪያ \(d \) እናገኛለን.
\(መ=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		አሁን \(d \)ን ለመደመር ቀመር ውስጥ መተካት እፈልጋለሁ… እና እዚህ ትንሽ ስሜት ታየ - እኛ አናውቅም \(n \)። በሌላ አገላለጽ ምን ያህል ቃላት መጨመር እንደሚያስፈልግ አናውቅም። እንዴት ለማወቅ? እናስብ። የመጀመሪያውን አወንታዊ አካል ስንደርስ አባሎችን መጨመር እናቆማለን። ያም ማለት የዚህን ንጥረ ነገር ቁጥር ማወቅ ያስፈልግዎታል. እንዴት? ማንኛውንም የሂሳብ ግስጋሴን ለማስላት ቀመር እንፃፍ፡- \(a_n=a_1+(n-1)d\) ለጉዳያችን።
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		ከዜሮ በላይ ለመሆን \(a_n\) እንፈልጋለን። \(n\) ይህ ምን እንደሚሆን እንወቅ።
(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\ ((n-1) · 0.3>19.3 \) \(|: 0.3 \)		ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በ \ (0.3 \) እንከፍላለን.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ምልክቶቹን መቀየር ሳንረሳ አንዱን ሲቀነስ እናስተላልፋለን።
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		እንቆጥረው...
(n>65,333…\)		እና የመጀመሪያው አወንታዊ አካል ቁጥር \(66\) ይኖረዋል። በዚህ መሠረት, የመጨረሻው አሉታዊ \(n=65\) አለው. እንደዚያ ከሆነ፣ ይህንን እንፈትሽ።
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) · 0.3=-0.1\) \(n=66፤\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) · 0.3=0.2\)		ስለዚህ የመጀመሪያዎቹን \(65\) ንጥረ ነገሮች መጨመር ያስፈልገናል.
\(S__(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\ (\cdot 65 \) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		መልሱ ዝግጁ ነው።

መልስ፡- \(S_(65)=-630.5\)።

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይገለጻል: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)። ከ \(26\) ኛ እስከ \(42\) ኤለመንት አካታች ድምርን ያግኙ።
መፍትሄ፡-

\(a_1=-33፤\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	በዚህ ችግር ውስጥ የንጥረ ነገሮች ድምርን ማግኘት አለብዎት, ነገር ግን ከመጀመሪያው ሳይሆን ከ \(26\) ኛ ጀምሮ. ለእንደዚህ አይነት ጉዳይ ቀመር የለንም. እንዴት መወሰን እንደሚቻል? ቀላል ነው - ድምርን ከ \(26\) ኛ እስከ \(42\) ኛ ለማግኘት በመጀመሪያ ከ \(1\) ኛ እስከ \(42\) ኛ ድምርን መፈለግ እና ከዚያ መቀነስ አለብዎት ። ከእሱ ድምር ከመጀመሪያው እስከ \(25\) ኛ (ሥዕሉን ይመልከቱ)።
	ለእድገታችን \(a_1=-33\) እና ልዩነቱ \(d=4\) (ከሁሉም በኋላ ቀጣዩን ለማግኘት አራቱን ወደ ቀዳሚው አካል እንጨምራለን)። ይህንን በማወቅ የመጀመሪያዎቹን \(42\) -y ንጥረ ነገሮች ድምርን እናገኛለን።
(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	አሁን የመጀመሪያዎቹ \(25\) ንጥረ ነገሮች ድምር።
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	እና በመጨረሻም መልሱን እናሰላለን.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

መልስ፡- (S=1683)።

ለሂሳብ እድገት, ዝቅተኛ ተግባራዊ ጠቀሜታቸው ምክንያት በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያልተመለከትናቸው በርካታ ተጨማሪ ቀመሮች አሉ. ይሁን እንጂ በቀላሉ ልታገኛቸው ትችላለህ.

አዎ፣ አዎ፡ የሂሳብ እድገት ለእርስዎ መጫወቻ አይደለም :)

ደህና ፣ ጓደኞች ፣ ይህንን ጽሑፍ እያነበብክ ከሆነ ፣ የውስጥ ካፕ-ማስረጃው የሂሳብ እድገት ምን እንደሆነ ገና እንደማታውቅ ይነግረኛል ፣ ግን በእርግጥ (አይ ፣ እንደዚህ ያለ: SOOOOO!) ማወቅ ትፈልጋለህ። ስለዚህ በረዥም መግቢያዎች አላሰቃየህም እና በቀጥታ ወደ ነጥቡ እገባለሁ።

በመጀመሪያ ፣ ጥቂት ምሳሌዎች። በርካታ የቁጥር ስብስቦችን እንመልከት፡-

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2)፤\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

እነዚህ ሁሉ ስብስቦች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? በመጀመሪያ ሲታይ ምንም የለም. ግን በእውነቱ የሆነ ነገር አለ. ይኸውም፡- እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ይለያያል.

ለራስህ ፍረድ። የመጀመሪያው ስብስብ በቀላሉ ተከታታይ ቁጥሮች ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ ከቀዳሚው አንድ ይበልጣል. በሁለተኛው ሁኔታ, በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ቀድሞውኑ አምስት ነው, ግን ይህ ልዩነት አሁንም ቋሚ ነው. በሦስተኛው ጉዳይ ላይ ሙሉ በሙሉ ሥሮች አሉ. ሆኖም፣ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣እና $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣ማለትም። እና በዚህ ሁኔታ እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር በቀላሉ በ$\sqrt(2)$ ይጨምራል (እና ይህ ቁጥር ምክንያታዊ ያልሆነ ነው ብለው አይፍሩ)።

ስለዚህ: ሁሉም እንደዚህ ያሉ ቅደም ተከተሎች የሂሳብ እድገቶች ይባላሉ. ጥብቅ ፍቺ እንስጥ፡-

ፍቺ እያንዳንዱ ተከታይ ከቀዳሚው በትክክል ተመሳሳይ መጠን የሚለይበት የቁጥሮች ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል። ቁጥሮቹ የሚለያዩበት መጠን የሂደት ልዩነት ይባላል እና ብዙ ጊዜ በ$d$ ፊደል ይገለጻል።

ማስታወሻ፡ $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ እድገት እራሱ ነው፣$d$ ልዩነቱ ነው።

እና ጥቂት አስፈላጊ ማስታወሻዎች ብቻ። በመጀመሪያ ደረጃ, እድገትን ግምት ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው አዘዘየቁጥሮች ቅደም ተከተል: በተፃፉበት ቅደም ተከተል በጥብቅ እንዲነበቡ ተፈቅዶላቸዋል - እና ሌላ ምንም ነገር የለም. ቁጥሮች እንደገና ሊደራጁ ወይም ሊለዋወጡ አይችሉም።

በሁለተኛ ደረጃ, ቅደም ተከተል እራሱ ማለቂያ ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ፣ ስብስብ (1፤ 2፤ 3) ግልጽ የሆነ የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ነው። ነገር ግን በመንፈስ የሆነ ነገር ከጻፉ (1; 2; 3; 4; ...) - ይህ አስቀድሞ ማለቂያ የሌለው እድገት ነው. ከአራቱ በኋላ ያለው ellipsis ጥቂት ተጨማሪ ቁጥሮች እንደሚመጡ የሚጠቁም ይመስላል። ማለቂያ የሌለው ብዙ፣ ለምሳሌ :)

እድገቶች እየጨመሩ ወይም እየቀነሱ ሊሄዱ እንደሚችሉ ማስተዋል እፈልጋለሁ። እየጨመሩ ያሉትን አይተናል - ተመሳሳይ ስብስብ (1; 2; 3; 4; ...). እድገቶችን የመቀነስ ምሳሌዎች እዚህ አሉ

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\\sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

እሺ፣ እሺ፡ የመጨረሻው ምሳሌ ከመጠን በላይ የተወሳሰበ ሊመስል ይችላል። የቀረው ግን የገባችሁ ይመስለኛል። ስለዚህ፣ አዳዲስ ፍቺዎችን እናስተዋውቃለን፡-

ፍቺ የሒሳብ እድገት ይባላል፡-

1. እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው የበለጠ ከሆነ መጨመር;
2. እየቀነሰ, በተቃራኒው, እያንዳንዱ ተከታይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ያነሰ ከሆነ.

በተጨማሪም, "ቋሚ" የሚባሉት ቅደም ተከተሎች አሉ - እነሱ ተመሳሳይ ተደጋጋሚ ቁጥር ያካተቱ ናቸው. ለምሳሌ፣ (3፤ 3፤ 3፤ ...)።

አንድ ጥያቄ ብቻ ይቀራል: እየጨመረ ያለውን እድገትን ከሚቀንስ እንዴት እንደሚለይ? እንደ እድል ሆኖ, እዚህ ሁሉም ነገር የሚወሰነው በ $ d$ ቁጥር ምልክት ላይ ብቻ ነው, ማለትም. የእድገት ልዩነቶች;

1. $d \gt 0$ ከሆነ እድገቱ ይጨምራል።
2. $d \lt 0$ ከሆነ ፣እድገቱ በግልጽ እየቀነሰ ነው።
3. በመጨረሻም ጉዳዩ $d=0$ አለ - በዚህ ሁኔታ አጠቃላይ እድገቱ ወደ ቋሚ ተመሳሳይ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ይቀንሳል: (1; 1; 1; 1; ...), ወዘተ.

ከላይ ለተጠቀሱት ሦስቱ የሚቀነሱ እድገቶች የ$d$ን ልዩነት ለማስላት እንሞክር። ይህንን ለማድረግ ማንኛውንም ሁለት ተያያዥ ንጥረ ነገሮችን (ለምሳሌ የመጀመሪያው እና ሁለተኛ) መውሰድ እና በግራ በኩል ያለውን ቁጥር በቀኝ በኩል ካለው ቁጥር መቀነስ በቂ ነው. ይህን ይመስላል።

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

እንደምናየው፣ በሦስቱም ሁኔታዎች ልዩነቱ በትክክል ወደ አሉታዊነት ተለወጠ። እና አሁን ብዙ ወይም ባነሰ ትርጓሜዎችን አውጥተናል, እድገቶች እንዴት እንደሚገለጹ እና ምን ንብረቶች እንዳሉ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው.

የሂደት ውሎች እና የድግግሞሽ ቀመር

የእኛ ቅደም ተከተሎች አካላት ሊለዋወጡ ስለማይችሉ በቁጥር ሊቆጠሩ ይችላሉ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\((ሀ)__(1))\ )),... \ቀኝ\)\]

የዚህ ስብስብ ግለሰባዊ አካላት የእድገት አባላት ይባላሉ። በቁጥር ተጠቁመዋል፡- አንደኛ አባል፣ ሁለተኛ አባል፣ ወዘተ.

በተጨማሪም ፣ ቀደም ብለን እንደምናውቀው ፣ የእድገት ጎረቤት ውሎች በቀመሩ ይዛመዳሉ-

\[(((a)_(n)))-((a)_(n-1))=d\ቀኝ ቀስት ((a)__(n))=((a)_(n-1))+d \]

ባጭሩ የ$n$th የእድገት ጊዜን ለማግኘት የ$n-1$th ቃል እና የ$d$ ልዩነትን ማወቅ አለቦት። ይህ ቀመር ተደጋጋሚ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም በእሱ እርዳታ ማንኛውንም ቁጥር ማግኘት የሚችሉት የቀደመውን (እና በእውነቱ, ሁሉም ቀዳሚዎች) በማወቅ ብቻ ነው. ይህ በጣም ምቹ አይደለም ፣ ስለሆነም ማንኛውንም ስሌቶች ወደ መጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱን የሚቀንስ የበለጠ ተንኮለኛ ቀመር አለ-

\[(((a)__(n))=((ሀ)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d\]

ይህን ቀመር አስቀድመው አጋጥመውት ይሆናል። በሁሉም የማጣቀሻ መጽሃፍቶች እና የመፍትሄ መጽሃፍቶች ውስጥ መስጠት ይወዳሉ. እና በማንኛውም አስተዋይ የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነው።

ሆኖም ግን, ትንሽ እንዲለማመዱ እመክርዎታለሁ.

ተግባር ቁጥር 1 የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ እድገት ውሎች $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ ከ$((a)__(1))=8,d=-5$ ይፃፉ።

መፍትሄ። ስለዚህ፣ የመጀመሪያውን ቃል $((a)__(1))=8$ እና የሂደቱን የ$d=-5$ ልዩነት እናውቃለን። አሁን የተሰጠውን ቀመር እንጠቀም እና $n=1$፣ $n=2$ እና $n=3$ እንተካ።

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)d; \\ & (((ሀ)__(1))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(1-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))=8; \\ & ((((ሀ)__(2))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(2-1 \ቀኝ) d=((a)__(1))+d=8-5= 3; \\ & (((ሀ)__(3))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(3-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))+2d=8-10= -2. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ (8፤ 3፤ -2)

ይኼው ነው! እባክዎን ያስተውሉ፡ እድገታችን እየቀነሰ ነው።

እርግጥ ነው፣ $n=1$ ሊተካ አልቻለም - የመጀመሪያው ቃል ለእኛ አስቀድሞ ይታወቃል። ይሁን እንጂ አንድነትን በመተካት ቀመራችን ለመጀመሪያ ጊዜ እንኳን እንደሚሰራ እርግጠኛ ነበርን. በሌሎች ሁኔታዎች፣ ሁሉም ነገር ወደ ባናል አርቲሜቲክ ወርዷል።

ተግባር ቁጥር 2. ሰባተኛው ቃል ከ -40 እና አስራ ሰባተኛው ቃል ከ -50 ጋር እኩል ከሆነ የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ ሂደቶች ይፃፉ።

መፍትሄ። የችግሩን ሁኔታ በሚታወቁ ቃላት እንፃፍ፡-

\[(((ሀ)__(7))=-40፤\quad ((a)__(17))=-50።\]

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)__(7))=((a)__(1))+6d \\ & (((ሀ)__(17))=((ሀ) _(1))+16d \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \ቀኝ\]

\[\ግራ\( \\ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ.\]

የስርዓት ምልክቱን አስቀምጫለሁ ምክንያቱም እነዚህ መስፈርቶች በአንድ ጊዜ መሟላት አለባቸው. አሁን የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩልታ ከቀነስን (ይህን ለማድረግ መብት አለን ፣ ስርዓት ስላለን) ይህንን እናገኛለን ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)_(1))+16d-\ግራ(((a)__(1))+6d \ቀኝ=-50-\ግራ(-40 \ቀኝ); \\ & (((ሀ)__(1))+16d-((ሀ)__(1))) -6መ=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የሂደቱን ልዩነት ማግኘት በጣም ቀላል ነው! የቀረው ሁሉ የተገኘውን ቁጥር ወደ ማንኛውም የስርዓቱ እኩልታዎች መተካት ነው። ለምሳሌ በመጀመሪያ፡-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ታች \\ ((ሀ)_(1)) -6=-40; \\ ((ሀ)__(1))=-40+6=-34። \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

አሁን፣ የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ቃል ለማግኘት ይቀራል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))=((ሀ)__(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ሀ)__(3))=((ሀ)__(1))+2d=-34-2=-36። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ዝግጁ! ችግሩ ተፈቷል.

መልስ፡ (-34; -35; -36)

ያገኘነውን አስደሳች የሂደት ንብረት አስተውል፡ $n$th እና $m$th ውሎችን ወስደን እርስ በእርስ ከተቀነስን የሂደቱን ልዩነት በ$n-m$ ቁጥር ተባዝቶ እናገኛለን፡

\[(((a)__(n))((a)__(m))=d\cdot \ግራ(n-m \ቀኝ)\]

በእርግጠኝነት ማወቅ ያለብዎት ቀላል ነገር ግን በጣም ጠቃሚ ንብረት - በእሱ እርዳታ ብዙ የእድገት ችግሮችን በከፍተኛ ሁኔታ ማፋጠን ይችላሉ። የዚህ ግልጽ ምሳሌ እዚህ አለ፡-

ተግባር ቁጥር 3 የሒሳብ እድገት አምስተኛው ቃል 8.4 ነው፣ እና አሥረኛው ጊዜ 14.4 ነው። የዚህን እድገት አስራ አምስተኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ። ከ$(((a)_(5))=8.4$፣ $((a)_(10))=14.4$ ጀምሮ፣ እና $(((a)_(15))$$ን ማግኘት ስላለብን የሚከተለውን እናስተውላለን፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15))-((ሀ)__(10))=5d; \\ & ((ሀ)__(10))-((ሀ)__(5))=5መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ነገር ግን በሁኔታ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$፣ስለዚህ $5d=6$፣ከዚህም አለን::

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15)) -14,4=6; \\ & ((ሀ)__(15)=6+14.4=20.4. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ 20.4

ይኼው ነው! ምንም አይነት እኩልታዎችን መፍጠር እና የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን ማስላት አያስፈልገንም - ሁሉም ነገር በሁለት መስመሮች ብቻ ተፈትቷል.

አሁን ሌላ ዓይነት ችግርን እንመልከት - የእድገት አሉታዊ እና አወንታዊ ቃላትን መፈለግ። ግስጋሴው ከጨመረ እና የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ከሆነ ፈጥኖም ሆነ ዘግይቶ አዎንታዊ ቃላት በእሱ ውስጥ እንደሚታዩ ምስጢር አይደለም። እና በተገላቢጦሽ፡ የመቀነስ እድገት ውሎች ፈጥኖም ይሁን ዘግይቶ አሉታዊ ይሆናል።

በተመሳሳይ ጊዜ, በንጥረ ነገሮች ውስጥ በቅደም ተከተል በማለፍ ይህንን ጊዜ "በፊት" ማግኘት ሁልጊዜ አይቻልም. ብዙውን ጊዜ ችግሮች የሚጻፉት ቀመሮቹን ሳናውቅ ስሌቶቹ ብዙ ወረቀቶችን ይወስዳሉ - መልሱን ስናገኝ በቀላሉ እንተኛለን። ስለዚህ እነዚህን ችግሮች በፍጥነት ለመፍታት እንሞክር።

ተግባር ቁጥር 4. በሂሳብ እድገት ውስጥ ስንት አሉታዊ ቃላት አሉ -38.5; -35.8; ...?

መፍትሄ። ስለዚህ, $ ((a) __ (1)) = -38.5$, $((a)__(2)=-35.8$, ወዲያውኑ ልዩነቱን ካገኘንበት:

ልዩነቱ አዎንታዊ መሆኑን ልብ ይበሉ, ስለዚህ እድገቱ ይጨምራል. የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ነው, ስለዚህ በተወሰነ ጊዜ በአዎንታዊ ቁጥሮች ላይ እንሰናከላለን. ብቸኛው ጥያቄ ይህ የሚሆነው መቼ ነው.

የቃላቶቹ አሉታዊነት ለምን ያህል ጊዜ እንደሚቆይ (ማለትም እስከ ምን ያህል የተፈጥሮ ቁጥር $n$) እንደሚቆይ ለማወቅ እንሞክር፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n)) \lt 0\ቀኝ ቀስት ((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d \lt 0; \\ & -38.5+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ left| \cdot 10 \ ትክክል። \\ & -385+27\cdot \ግራ(n-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ቀኝ ቀስት ((n)__(\max))=15። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻው መስመር አንዳንድ ማብራሪያ ያስፈልገዋል. ስለዚህ $n \lt 15\frac(7)(27)$ መሆኑን እናውቃለን። በሌላ በኩል፣ በቁጥር ኢንቲጀር ዋጋዎች ብቻ ረክተናል (በተጨማሪም: $n\in \mathbb(N)$) ፣ ስለሆነም የሚፈቀደው ትልቁ ቁጥር በትክክል $n=15$ ነው ፣ እና በምንም ሁኔታ 16 .

ተግባር ቁጥር 5 በሂሳብ እድገት $(()__(5))=-150፣(()__(6))=-147$። የዚህን እድገት የመጀመሪያ አወንታዊ ቃል ቁጥር ያግኙ።

ይህ በትክክል ከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይ ነው፣ ነገር ግን $((a)__(1))$ን አናውቅም። ነገር ግን የአጎራባች ቃላቶች ይታወቃሉ፡-$((a)__(5))$ እና $((a)__(6))$፣የእድገቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን።

በተጨማሪም ፣ አምስተኛውን ቃል በአንደኛው በኩል እና ልዩነቱን መደበኛውን ቀመር በመጠቀም ለመግለጽ እንሞክር ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot d; \\ & (((ሀ)__(5))=((ሀ)__(1))+4d; \\ & -150=((ሀ)__(1))+4\cdot 3; \\ & ((ሀ)__(1))=-150-12=-162። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን ከቀዳሚው ተግባር ጋር በማመሳሰል እንቀጥላለን። በእኛ ቅደም ተከተል አወንታዊ ቁጥሮች በየትኛው ነጥብ ላይ እንደሚገኙ እንወቅ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=-162+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ቀኝ ቀስት ((n)__(\min))=56. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህ እኩልነት ዝቅተኛው የኢንቲጀር መፍትሔ ቁጥር 56 ነው።

እባክዎን ያስተውሉ፡ በመጨረሻው ተግባር ሁሉም ነገር ወደ ጥብቅ እኩልነት ወርዷል፣ ስለዚህ $n=55$ ያለው አማራጭ አይስማማንም።

አሁን ቀላል ችግሮችን እንዴት መፍታት እንዳለብን ተምረናል, ወደ ውስብስብ ችግሮች እንሂድ. ግን በመጀመሪያ ፣ ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ እና እኩል ያልሆኑ ህዋሶችን የሚቆጥብ የሂሳብ እድገትን ሌላ በጣም ጠቃሚ ንብረት እናጠና። :)

አርቲሜቲክ አማካኝ እና እኩል መግባቶች

እየጨመረ ያለውን የሂሳብ ግስጋሴ በርካታ ተከታታይ ቃላትን እንመልከት $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ለማድረግ እንሞክር፡-

በቁጥር መስመር ላይ የሒሳብ እድገት ውሎች

በተለይ የዘፈቀደ ቃላትን $((a)_(n-3))፣...፣(((a)_(n+3))$፣ እና አንዳንድ $((a)_(1))፣\ ((ሀ)__(2))፣\ ((ሀ)__(3))$፣ ወዘተ ምክንያቱም አሁን የምነግርህ ህግ ለማንኛውም "ክፍሎች" ተመሳሳይ ነው የሚሰራው.

እና ደንቡ በጣም ቀላል ነው. ተደጋጋሚውን ቀመር እናስታውስ እና ለሁሉም ምልክት የተደረገባቸው ቃላት እንፃፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-2))=((a)__(n-3))+d; \\ & (((a)__(n-1))=((a)__(n-2))+d; \\ & (((a)__(n))=((ሀ)__(n-1))+d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n+1))+d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ሆኖም፣ እነዚህ እኩልነቶች በተለየ መንገድ እንደገና ሊፃፉ ይችላሉ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-1))=(((a)__(n))) -መ; \\ & (((ሀ)__(n-2))=(((ሀ)__(n)))) -2መ; \\ & (((ሀ)__(n-3))=(((ሀ)__(n)))) -3d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((a)__(n+3))=(((a)__(n))+3d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ታዲያ ምን? እና $((a)_(n-1))$ እና $((a)_(n+1))$ የሚዋሹት ከ$(((a)_(n)))$ በተመሳሳይ ርቀት . እና ይህ ርቀት ከ$d$ ጋር እኩል ነው። ስለ $((a)__(n-2))$ እና $((a)__(n+2))$ ስለ ቃላቶቹ ተመሳሳይ ነገር ሊባል ይችላል - እነሱም ከ$((a)_(n) ተወግደዋል። )$ በተመሳሳይ ርቀት ከ$2d$ ጋር እኩል ነው። ማስታወቂያ infinitum ልንቀጥል እንችላለን፣ ግን ትርጉሙ በሥዕሉ በደንብ ተገልጧል

የሂደቱ ውሎች ከመሃል ላይ በተመሳሳይ ርቀት ላይ ይገኛሉ

ይህ ለእኛ ምን ማለት ነው? ይህ ማለት የአጎራባች ቁጥሮች የሚታወቁ ከሆነ $(((a)_(n))$ ሊገኝ ይችላል፡-

\[(((ሀ)__(n))=\frac((((a)__(n-1))+(((a)__(n+1))))(2)\]

በጣም ጥሩ የሆነ መግለጫ አውጥተናል፡ እያንዳንዱ የሒሳብ እድገት ቃል ከአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው! ከዚህም በላይ፡ ከ$((a)__(n))$ ወደ ግራ እና ወደ ቀኝ በአንድ ደረጃ ሳይሆን በ$k$ ደረጃዎች መመለስ እንችላለን - እና ቀመሩ አሁንም ትክክል ይሆናል።

\[(((a)__(n))=\frac((((a)__(n-k))+(((a)__(n+k))))(2)\]

እነዚያ። $((a)__(100))$ እና $(((a)__(200))$$ ካወቅን በቀላሉ አንዳንድ $(((ሀ)_(150))$ ማግኘት እንችላለን፣ ምክንያቱም $(((ሀ)) (150))=\frac(((ሀ)__(100))+((ሀ)__(200)))(2)$ በመጀመሪያ ሲታይ, ይህ እውነታ ምንም ጠቃሚ ነገር የማይሰጠን ሊመስል ይችላል. ነገር ግን፣ በተግባር፣ ብዙ ችግሮች በተለይ የሂሳብ አማካኙን ለመጠቀም የተበጁ ናቸው። ተመልከት:

ተግባር ቁጥር 6 የ$-6((x)^(2))$፣ $x+1$ እና $14+4((x)^(2))$ ተከታታይ የውል ቃል የሆኑበትን የ$x$ ዋጋዎችን ሁሉ ያግኙ። የሂሳብ እድገት (በተጠቀሰው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እነዚህ ቁጥሮች የእድገት አባላት በመሆናቸው የሂሳብ አማካይ ሁኔታ ለእነሱ ረክቷል፡ ማዕከላዊው ንጥረ ነገር $ x+1$ በአጎራባች አካላት ሊገለጽ ይችላል፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ውጤቱ ክላሲክ ኳድራቲክ እኩልታ ነው። ሥሩ፡- $x=2$ እና $x=-3$ መልሶች ናቸው።

መልስ፡-3; 2.

ተግባር ቁጥር 7 ቁጥሮች $-1፤4-3፤(()^(2))+1$ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩበት የ$$ እሴቶችን ይፈልጉ (በዚያው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እንደገና መካከለኛውን ቃል በአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ ትርጉም እንግለጽ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac((((x)^(2))+x)(2);\quad \ ግራ| \cdot 2 \ቀኝ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ኳድራቲክ እኩልታ እንደገና። እና እንደገና ሁለት ሥሮች አሉ-$ x=6$ እና $x=1$።

መልስ፡ 1; 6.

ችግርን በመፍታት ሂደት ውስጥ አንዳንድ ጭካኔ የተሞላባቸው ቁጥሮች ካገኙ ወይም በተገኙት መልሶች ትክክለኛነት ላይ ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ካልሆኑ ታዲያ እርስዎ እንዲፈትሹ የሚያስችልዎ አስደናቂ ዘዴ አለ ችግሩን በትክክል ፈትተናል?

በችግር ቁጥር 6 ላይ መልስ አግኝተናል እንበል -3 እና 2. እነዚህ መልሶች ትክክል መሆናቸውን እንዴት ማረጋገጥ እንችላለን? ወደ መጀመሪያው ሁኔታ ብቻ እንሰካቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ። ሶስት ቁጥሮች እንዳለን ላስታውስህ ($-6(()^(2))$፣ $+1$ እና $14+4()^(2))$) እነዚህም የሂሳብ እድገት መፍጠር አለባቸው። $x=-3$ እንተካ፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=-3\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ቁጥሮቹን አገኘን -54; -2; በ 52 የሚለየው 50 ምንም ጥርጥር የለውም የሂሳብ ግስጋሴ ነው። በ$x=2$ ተመሳሳይ ነገር ይከሰታል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=2\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደገና እድገት, ነገር ግን ልዩነት ጋር 27. ስለዚህም, ችግሩ በትክክል ተፈትቷል. የሚፈልጉት ሁለተኛውን ችግር በራሳቸው ማረጋገጥ ይችላሉ, ነገር ግን ወዲያውኑ እናገራለሁ: እዚያም ሁሉም ነገር ትክክል ነው.

ባጠቃላይ፣ የመጨረሻዎቹን ችግሮች እየፈታን ሳለ፣ ሌላም ሊታወስ የሚገባው አንድ አስደሳች እውነታ አጋጠመን፡-

ሶስት ቁጥሮች ከሆነ ሁለተኛው የመጀመሪያው እና የመጨረሻው የሂሳብ አማካኝ ከሆነ, እነዚህ ቁጥሮች የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ.

ለወደፊቱ, ይህንን መግለጫ መረዳቱ በችግሩ ሁኔታዎች ላይ በመመርኮዝ አስፈላጊ የሆኑትን እድገቶች በትክክል "እንዲገነቡ" ያስችለናል. ነገር ግን በእንደዚህ ዓይነት "ግንባታ" ውስጥ ከመሳተፋችን በፊት, ለአንድ ተጨማሪ እውነታ ትኩረት መስጠት አለብን, ይህም ቀደም ሲል ከተነጋገርነው በቀጥታ ይከተላል.

አባሎችን መቧደን እና ማጠቃለል

እንደገና ወደ ቁጥር ዘንግ እንመለስ። እስቲ በርካታ የዕድገት አባላትን እናስተውል በመካከላቸው ምናልባትም። ለብዙ ሌሎች አባላት ዋጋ አለው፡-

በቁጥር መስመር ላይ ምልክት የተደረገባቸው 6 አካላት አሉ።

“የግራ ጅራትን” በ$((a)_(n))$ እና $d$፣ እና “ቀኝ ጅራት” በ$((a)_(k))$ እና $d$ ለመግለፅ እንሞክር። በጣም ቀላል ነው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((ሀ)__(k-1))=(((ሀ)__(k)))) -d; \\ & ((ሀ)__(k-2))=(((ሀ)__(k))))) -2መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን የሚከተሉት መጠኖች እኩል መሆናቸውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n))+((a)__(k))=S; \\ & ((((a)__(n+1)))+((((a)__(k-1)))=(((a)__(n))+d+((ሀ)__(k))) -d= ኤስ; \\ & (((((a))__(n+2)))+((((a)__(k-2)))=(((a)__(n))+2d+((ሀ)__(k))))))-2d= ኤስ. \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በቀላል አነጋገር የሂደቱን ሁለት አካላት እንደ ጅምር ከወሰድን በጠቅላላው ከአንዳንድ ቁጥር $S$ ጋር እኩል ናቸው እና ከዚያ በተቃራኒው ከእነዚህ ንጥረ ነገሮች ወደ ተቃራኒ አቅጣጫዎች መሄድ ከጀመርን (እርስ በርስ ወደ አንዱ ወይም በተቃራኒው ለመራቅ)። ከዚያም የምንሰናከልባቸው ንጥረ ነገሮች ድምርም እኩል ይሆናል።$S$ ይህ በጣም በግልፅ በግራፊክ ሊወከል ይችላል፡-

እኩል ውስጠቶች እኩል መጠን ይሰጣሉ

ይህንን እውነታ መረዳታችን ከላይ ከጠቀስናቸው ችግሮች በመሠረታዊ ደረጃ ከፍ ያለ ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት ያስችለናል። ለምሳሌ እነዚህ፡-

ተግባር ቁጥር 8 የመጀመሪያው ቃል 66 የሆነበትን የሂሳብ እድገት ልዩነት ይወስኑ ፣ እና የሁለተኛው እና የአስራ ሁለተኛው ቃላት ውጤት በጣም ትንሹ ነው።

መፍትሄ። የምናውቀውን ሁሉ እንጻፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=66; \\&d=? \\ & (((ሀ)__(2))\cdot ((ሀ)__(12))=\min . \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ፣ የሂደቱን ልዩነት $d$ አናውቅም። ምርቱ $(((a)__(2))\cdot ((a)_(12))$$ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ስለሚችል፣ ሁሉም መፍትሄ በልዩነቱ ዙሪያ ይገነባል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(2))=((ሀ)__(1))+d=66+d; \\ & (((ሀ)__(12))=((ሀ)__(1))+11d=66+11d; \\ & ((((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\ግራ(66+d \ቀኝ)\cdot \ግራ(66+11d \ቀኝ)= \\ & =11 \cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በማጠራቀሚያው ውስጥ ላሉት፡- ከሁለተኛው ቅንፍ ውስጥ የ11ቱን አጠቃላይ ብዜት ወሰድኩ። ስለዚህ, የሚፈለገው ምርት ከተለዋዋጭ $d$ አንጻር አራት ማዕዘን ተግባር ነው. ስለዚህ $f\ግራ(d \right)=11\ግራ(d+66 \ቀኝ)\ግራ(d+6 \ቀኝ)$ የሚለውን ተግባር አስቡበት - ግራፉ ከቅርንጫፎች ጋር ፓራቦላ ይሆናል ፣ ምክንያቱም ቅንፎችን ከሰፋን የሚከተሉትን እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=11\ግራ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((((መ)^(2)) d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ የከፍተኛው ጊዜ ብዛት 11 ነው - ይህ አወንታዊ ቁጥር ነው ፣ ስለሆነም እኛ በእውነቱ ወደ ላይ ቅርንጫፎች ካለው ፓራቦላ ጋር እየተገናኘን ነው ።

የኳድራቲክ ተግባር ግራፍ - ፓራቦላ

እባክዎን ያስተውሉ፡ ይህ ፓራቦላ ዝቅተኛውን እሴቱን በአከርካሪው ላይ ከ abcissa $((መ)_(0))$ ጋር ይወስዳል። እርግጥ ነው፣ ይህንን አቢሲሳ መደበኛውን እቅድ በመጠቀም ማስላት እንችላለን (ቀመር $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) አለ)፣ ነገር ግን ማስታወሱ የበለጠ ምክንያታዊ ይሆናል። የሚፈለገው ጫፍ በፓራቦላ ዘንግ ሲምሜትሪ ላይ እንደሚገኝ፣ ስለዚህ ነጥቡ $((መ)_(0))$ ከቀመር $f\ግራ(d \ቀኝ)=0$ ሥሩ ይርቃል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=0; \\ & 11\cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)=0; \\ & (((መ)__(1))=-66፤\quad ((መ)__(2))=-6። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህም ነው ቅንፎችን ለመክፈት የተለየ ቸኩሎ ያልነበረኝ፡ በመጀመሪያ መልክ ሥሮቹ በጣም በጣም ቀላል ነበሩ። ስለዚህ፣ abcissa ከቁጥሮች -66 እና -6 የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

\[((መ)__(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

የተገኘው ቁጥር ምን ይሰጠናል? በእሱ አማካኝነት የሚፈለገው ምርት አነስተኛውን እሴት ይይዛል (በነገራችን ላይ $((y)_(\min))$ በጭራሽ አላሰላንም - ይህ ከእኛ አይፈለግም)። በተመሳሳይ ጊዜ, ይህ ቁጥር የዋናው እድገት ልዩነት ነው, ማለትም. መልሱን አግኝተናል። :)

መልስ፡-36

ተግባር ቁጥር 9 በቁጥር $ -\frac(1)(2)$ እና $-\frac(1)(6)$ መካከል ሶስት ቁጥሮችን አስገባ ከነዚህ ቁጥሮች ጋር አንድ ላይ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ።

መፍትሄ። በመሠረቱ, የአምስት ቁጥሮችን ቅደም ተከተል ማድረግ አለብን, ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው ቁጥር አስቀድሞ ይታወቃል. የጎደሉትን ቁጥሮች በተለዋዋጭዎቹ $x$፣ $y$ እና $z$ እንጥቀስ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \ቀኝ\ )\]

$y$ ቁጥር የእኛ ቅደም ተከተል "መካከለኛ" መሆኑን ልብ ይበሉ - ከቁጥሮች $ x$ እና $z$, እና ከቁጥሮች $ -\ frac (1) (2)$ እና $ -\frac ቁጥሮች ጋር እኩል ነው. (1) (6)$ እና በአሁኑ ጊዜ $y$ን ከ $ x$ እና $z$ ቁጥሮች ማግኘት ካልቻልን ፣ ከዚያ ሁኔታው ​​ከሂደቱ መጨረሻዎች የተለየ ነው። የሒሳብ ትርጉምን እናስታውስ፡-

አሁን፣ $y$ን በማወቅ፣ የተቀሩትን ቁጥሮች እናገኛለን። $x$ በ$ -\frac(1)(2)$ እና አሁን ባገኘነው $y=-\frac(1)(3)$ መካከል እንደሚገኝ ልብ ይበሉ። ለዛ ነው

ተመሳሳይ ምክንያትን በመጠቀም የቀረውን ቁጥር እናገኛለን፡-

ዝግጁ! ሶስቱንም ቁጥሮች አግኝተናል። በመጀመሪያዎቹ ቁጥሮች መካከል ማስገባት ያለባቸውን በቅደም ተከተል በመልሱ ውስጥ እንጽፋቸው.

መልስ፡- $ -\frac(5)(12)፤\ -\frac(1)(3)፤

ተግባር ቁጥር 10 በቁጥር 2 እና 42 መካከል የገቡት ቁጥሮች የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ እና የመጨረሻ ድምር 56 መሆኑን ካወቁ ፣ ከእነዚህ ቁጥሮች ጋር ፣ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩ ብዙ ቁጥሮችን ያስገቡ።

መፍትሄ። ይበልጥ ውስብስብ የሆነ ችግር, ሆኖም ግን, እንደ ቀድሞዎቹ ተመሳሳይ መርሃግብር - በሂሳብ ስሌት. ችግሩ ምን ያህል ቁጥሮች ማስገባት እንዳለብን በትክክል አለማወቃችን ነው። ስለዚህ ፣ ሁሉንም ነገር ከገባን በኋላ በትክክል $n$ ቁጥሮች እንደሚኖሩ እንገምት ፣ እና የመጀመሪያው 2 ፣ እና የመጨረሻው 42 ነው ። በዚህ ሁኔታ ፣ የሚፈለገው የሂሳብ እድገት በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል ።

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( 2;((ሀ)__(2));((ሀ)__(3));...;(( ሀ)_(n-1));42 \ቀኝ\)\]

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56\]

ነገር ግን $((a)__(2))$ እና $((a)__(n-1))$ ቁጥሮች ከቁጥር 2 እና 42 ከዳርቻው በአንድ እርምጃ እርስበርስ እንደሚገኙ አስተውል። ማለትም. ወደ ቅደም ተከተል መሃል. እና ይሄ ማለት ነው።

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1))=2+42=44\]

ግን ከዚያ በላይ የተጻፈው አገላለጽ እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56; \\ & \ግራ(((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1)) \ቀኝ)+((ሀ)__(3))=56; \\ & 44+((ሀ)__(3))=56; \\ & ((ሀ)__(3))=56-44=12። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

$((a)__(3))$ እና $((a)__(1))$ን በማወቅ የሂደቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=12-2=10; \\ & (((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=\ግራ(3-1 \ቀኝ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ቀኝ ቀስት d=5። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የቀረውን ቀሪ ውሎችን ማግኘት ብቻ ነው፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=2; \\ & ((ሀ)__(2))=2+5=7; \\ & ((ሀ)__(3))=12; \\ & (((ሀ)__(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & (((ሀ)__(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & (((ሀ)__(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & (((ሀ)__(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & (((ሀ)__(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & (((ሀ)__(9))=2+8\cdot 5=42; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ, ቀድሞውኑ በ 9 ኛው ደረጃ ላይ በቅደም ተከተል በግራ በኩል እንደርሳለን - ቁጥር 42. በአጠቃላይ, 7 ቁጥሮች ብቻ ማስገባት ነበረባቸው: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

መልስ፡ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

የቃል ችግሮች በእድገት

ለማጠቃለል ያህል በአንጻራዊነት ቀላል የሆኑ ሁለት ችግሮችን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ. ደህና፣ እንደዛ ቀላል፣ በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ትምህርት ለሚማሩ እና ከላይ የተጻፈውን ያላነበቡ አብዛኞቹ ተማሪዎች፣ እነዚህ ችግሮች ከባድ ሊመስሉ ይችላሉ። ቢሆንም፣ እነዚህ በ OGE እና በሒሳብ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ የሚታዩት የችግሮች አይነት ናቸው፣ ስለዚህ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እመክራለሁ።

ተግባር ቁጥር 11. ቡድኑ በጥር ወር 62 ክፍሎችን ያመረተ ሲሆን በየቀጣዩ ወር ካለፈው ወር የበለጠ 14 ክፍሎችን አምርቷል። ቡድኑ በህዳር ምን ያህል ክፍሎች አመረተ?

መፍትሄ። በወር የተዘረዘሩ ክፍሎች ቁጥር እየጨመረ የሚሄደውን የሂሳብ እድገትን እንደሚወክል ግልጽ ነው። ከዚህም በላይ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(1))=62;\quad d=14; \\ & (((a)__(n))=62+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 14. \\\መጨረሻ(align)\]

ህዳር የአመቱ 11ኛው ወር ነው፣ስለዚህ $((a)__(11))$ ማግኘት አለብን::

\[((ሀ)__(11))=62+10\cdot 14=202\]

ስለዚህ በህዳር ወር 202 ክፍሎች ይመረታሉ.

ተግባር ቁጥር 12. የመጽሃፍ ማሰሪያው አውደ ጥናት በጥር ወር 216 መጽሃፎችን ያሰረ ሲሆን በእያንዳንዱ ወር ውስጥ ካለፈው ወር የበለጠ 4 መጽሃፎችን አስሯል። ወርክሾፑ በታህሳስ ወር ስንት መጽሃፎችን አሳሰረ?

መፍትሄ። ሁሉም ተመሳሳይ:

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & (((a)__(n))=216+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 4. \\\መጨረሻ(align)$

ዲሴምበር የዓመቱ የመጨረሻ፣ 12ኛው ወር ነው፣ ስለዚህ እኛ የምንፈልገው $((a)__(12))$፡

\[((ሀ)__(12))=216+11\cdot 4=260\]

መልሱ ይህ ነው - በታህሳስ ወር 260 መጽሐፍት ይታሰራሉ።

ደህና፣ ይህን እስካሁን ካነበብክ፣ እንኳን ደስ ለማለት ቸኩያለሁ፡ በሂሳብ እድገቶች ውስጥ "የወጣቱን ተዋጊ ኮርስ" በተሳካ ሁኔታ አጠናቅቀሃል። ወደ ቀጣዩ ትምህርት በደህና መሄድ ይችላሉ, ለእድገት ድምር ቀመር, እንዲሁም ከእሱ ጠቃሚ እና በጣም ጠቃሚ ውጤቶችን እናጠናለን.