Trang 1

Việc lập các phương trình phản ánh tương tác hóa học của chất oxy hóa và chất khử nhằm xác định các hệ số trong công thức của chất ban đầu và sản phẩm phản ứng, thành phần của chúng được xác định theo kinh nghiệm.  

Nên biên soạn các phương trình để xác định số lượng tiêu chí sao cho mỗi phương trình gồm ba biến aъ a2, a3 và các đại lượng còn lại a4 và i lần lượt được đưa vào các phương trình.  

Việc lập phương trình chỉ có thể thực hiện được đối với những vật thể đơn giản nhất. Hơn vật thể phức tạp, bao gồm hầu hết các đối tượng ngành công nghiệp dầu mỏ, hiện đang được nghiên cứu thực nghiệm. Các thuộc tính đối tượng được sử dụng trong nghiên cứu hệ thống điều khiển tự động là tự cân bằng, điện dung và độ trễ.  

Chúng ta sẽ biên soạn các phương trình ở dạng sai phân cho môi trường dẫn điện và cho chất điện môi, cũng như cho môi trường một chiều và vấn đề hai chiều, trong đó sự thay đổi giá trị trường theo khoảng cách xảy ra tương ứng theo một hoặc hai hướng tọa độ.  

Thành phần của các phương trình cho các biến thể ảo được thể hiện bằng ví dụ về việc tính đến các kết nối phi chỉnh thể. Nó cho thấy rằng phương trình kết nối ba chiều với tham số là kết nối hoàn hảo, khi nó mô tả phong bì. Các quy tắc biến đổi ảo của các kết nối cho hai biến độc lập sẽ được thảo luận.  

Việc lập các phương trình có rất nhiều điểm chung với kiểu dịch này. Trong những trường hợp nhẹ, cách diễn đạt bằng lời nói hầu như được chia nhỏ một cách máy móc thành một loạt phần kế tiếp, mỗi trong số đó có thể được biểu diễn trực tiếp bằng ký hiệu toán học. Trong hơn những trường hợp khó khăn tình trạng bao gồm các phần không thể dịch trực tiếp sang ngôn ngữ ký hiệu toán học. Trong trường hợp này, chúng ta nên bớt chú ý đến cách diễn đạt bằng lời nói mà tập trung chú ý vào ý nghĩa của cách diễn đạt này. Trước khi bạn bắt đầu ký hiệu toán học, chúng ta có thể phải xây dựng các điều kiện khác nhau, luôn ghi nhớ công cụ toán họcđể ghi lại công thức mới này.  

Lập các phương trình như vậy quá trình hóa học không gây ra bất kỳ khó khăn nào.  

Thành phần của các phương trình biến phân ở dạng tổng quát được thảo luận dưới đây.  

Viết phương trình góc xoắn Q và xác định đạo hàm của nó.  

Việc lập phương trình chỉ có thể thực hiện được đối với những vật thể đơn giản nhất. Các vật thể phức tạp hơn, bao gồm hầu hết các vật thể trong ngành dầu mỏ, vẫn đang được nghiên cứu thực nghiệm. Các thuộc tính đối tượng được sử dụng trong nghiên cứu hệ thống điều khiển tự động là tự cân bằng, điện dung và độ trễ.  

Viết phương trình về mặt phân tích chỉ có thể thực hiện được đối với các đối tượng, quy trình hoặc quy trình tương đối đơn giản hiện tượng vật lýđược nghiên cứu khá tốt. TRONG trường hợp chung các thuộc tính động của các đối tượng được điều khiển được mô tả phương trình vi phân, thể hiện mối quan hệ giữa số lượng đầu ra và đầu vào theo thời gian. Các phương trình này dựa trên định luật vật lý, xác định các quá trình nhất thời trong các đối tượng.  

Lập phương trình (6 - 58) và nghiệm của chúng đối với L và V. Phương pháp chung Giải pháp cho vấn đề này có thể được chỉ ra với điều kiện là A và B nhập phương trình một cách tuyến tính.  

Giải pháp vấn đề về từ ngữđể soạn các phương trình sẽ hữu ích chủ yếu cho học sinh. Chương trình giảng dạyđối với lớp 9 và 10, nó bao gồm một loạt các bài toán đòi hỏi phải xác định các ẩn số, lập phương trình và giải chúng. Dưới đây chỉ là một phần nhỏ của các vấn đề có thể xảy ra và phương pháp tính toán của chúng.

Ví dụ 1. Người đi xe đạp thứ nhất mỗi phút đi ít hơn người thứ hai 50 mét, vì vậy anh ta dành nhiều hơn 2 giờ trên quãng đường 120 km so với người thứ hai. Tìm vận tốc của người đi xe đạp thứ hai (km/h).
Giải pháp: Đối với nhiều người, nhiệm vụ này khó khăn nhưng thực tế mọi thứ đều đơn giản.
Ẩn dưới cụm từ “Nó di chuyển ít hơn 50 mét mỗi phút” là tốc độ 50 m/phút. Vì phần còn lại của dữ liệu được tính bằng km và giờ nên chúng tôi chuyển đổi 50 m/phút thành km/h.
50/1000*60=3000/1000=3 (km/h).
Hãy biểu thị tốc độ của người đi xe đạp thứ hai bằng V và thời gian chuyển động bằng t.
Nhân vận tốc với thời gian chuyển động ta được đường đi
V*t=120.
Người đi xe đạp đầu tiên đi chậm hơn và do đó mất nhiều thời gian hơn. Chúng ta soạn phương trình chuyển động tương ứng
(V-3)(t+2)=120.
Ta có hệ hai phương trình với hai ẩn số.
Từ phương trình đầu tiên, chúng ta biểu thị thời gian chuyển động và thay thế nó vào phương trình thứ hai
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
Sau khi nhân với V/2 và nhóm điều khoản tương tự bạn có thể lấy cái này được không phương trình bậc hai
V^2-3V-180=0.
Chúng tôi tính toán phân biệt của phương trình
Đ=9+4*180=729=27*27
và rễ
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Chúng tôi từ chối cái thứ hai, nó không có ý nghĩa vật lý. Giá trị tìm được V = 15 km/h là vận tốc của người đi xe đạp thứ hai.
Đáp số: 15km/h.

Ví dụ 2. nước biển chứa 5% muối tính theo trọng lượng. Cần thêm bao nhiêu nước ngọt vào 30 kg nước biển để giảm nồng độ muối đi 70%?
Lời giải: Tìm bao nhiêu muối trong 30 kg nước biển
30*5/100=1,5 (kg).
Trong giải pháp mới, điều này sẽ là
(100%-70%) = 30% của 5%, tạo thành tỷ lệ
5% – 100%
X – 30%.
Thực hiện tính toán
X=5*30/100=150/100=1,5%.
Như vậy 1,5 kg muối tương ứng với 1,5% trong dung dịch mới. Cộng lại các tỷ lệ
1,5 – 1,5% Y – 100%.
Tìm khối lượng dung dịch nước biển
Y=1,5*100/1,5=100 (kg).
Trừ khối lượng nước muối để tìm lượng nước ngọt
100-30=70 (kg).
Đáp số: 70 kg nước ngọt.

Ví dụ 3. Người đi xe máy bị kẹt ở hàng rào trong 24 phút. Sau đó, tăng tốc độ thêm 10 km một giờ, anh bù đắp cho việc bị trễ trên đoạn đường 80 km. Xác định vận tốc của người đi xe máy trước khi giảm tốc độ (km/h).
Lời giải: Bài toán lập phương trình vận tốc. Hãy biểu thị tốc độ ban đầu người đi xe máy qua V và thời gian người đó phải đi qua t. Có hai ẩn số nên cũng phải có 2 phương trình. Theo điều kiện, trong thời gian này anh phải đi 80 km.
V*t=80 (km) .
Trì hoãn có nghĩa là thời gian đã giảm đi 24 phút. Cũng cần lưu ý rằng trong nhiệm vụ tương tự thời gian cần phải quy đổi thành giờ hoặc phút (tùy theo điều kiện) rồi quyết định. Chúng tôi soạn phương trình chuyển động có tính đến thời gian ít hơn và tốc độ cao hơn
(V+10)(t-24/60)=80.
Có hai phương trình xác định thời gian và vận tốc. Vì bài toán yêu cầu tốc độ nên chúng ta sẽ biểu thị thời gian từ phương trình đầu tiên và thay thế nó vào phương trình thứ hai.
t=80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Mục tiêu của chúng tôi là dạy bạn cách tạo phương trình cho các bài toán để từ đó bạn có thể xác định số lượng cần thiết.
Do đó, không đi sâu vào chi tiết, phương trình thu được bằng cách nhân với 60 * V và chia cho 24 có thể rút gọn thành phương trình bậc hai sau
V^2+10*V-2000=0.
Hãy tự tìm biệt thức và nghiệm của phương trình. Bạn sẽ nhận được giá trị
V=-50;
V=40.
Chúng tôi loại bỏ giá trị đầu tiên; nó không có ý nghĩa vật lý. V thứ hai = 40 km/h là vận tốc mong muốn của người đi xe máy.
Đáp số: 40km/h.

Ví dụ 4. Chuyến tàu chở hàng bị trễ 12 phút trên đường, và sau đó, ở quãng đường 112 km, nó bù lại thời gian đã mất bằng cách tăng tốc độ thêm 10 km/h. Tìm vận tốc ban đầu của đoàn tàu (km/h).
Lời giải: Ta có một bài toán trong đó ẩn số là vận tốc của tàu V và thời gian di chuyển t.
Vì bài toán theo sơ đồ phương trình tương ứng với bài toán trước nên ta viết hai phương trình ẩn số
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Các phương trình phải được viết chính xác theo ký hiệu này. Điều này cho phép bạn ở dạng đơn giản biểu thị thời gian từ phương trình đầu tiên
t = 112/V
và thay vào phương trình thứ hai, chỉ lấy phương trình cho tốc độ
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Nếu bạn chọn ký hiệu sai, bạn có thể nhận được phương trình cho những ẩn số thuộc loại này
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Ở đây t tương ứng với thời gian sau khi tăng tốc độ thêm 10 km/h, nhưng đó không phải là vấn đề. Các phương trình đã cho cũng đúng nhưng không thuận tiện về mặt tính toán.
Hãy thử giải hai phương trình đầu tiên và hai phương trình cuối cùng, bạn sẽ hiểu rằng nên tránh sơ đồ thứ hai khi soạn phương trình. Do đó, hãy suy nghĩ cẩn thận về ký hiệu bạn nhập để giảm thiểu số lượng phép tính.
Phương trình kết quả
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
quy về phương trình bậc hai (nhân với 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Không cần đi sâu vào tính toán trung gian thì nghiệm sẽ là
V=-80;
V=70.
Trong những bài toán thuộc loại này, chúng ta luôn nhận được gốc âm(V=-80) cần được loại bỏ. Vận tốc của tàu là 70km/h.

Ví dụ 5. Xuất phát từ bến xe 10 phút sau, xe đến điểm dừng đầu tiên với tốc độ nhanh hơn dự kiến ​​16 km/h và đến nơi đúng giờ. Xe buýt nên chạy với tốc độ bao nhiêu (km/giờ) theo lịch trình nếu khoảng cách từ bến xe đến điểm dừng đầu tiên là 16 km?
Giải: Chưa biết là tốc độ bus V và thời gian t.
Chúng tôi tạo một phương trình, có tính đến thời gian trễ được chỉ định bằng phút chứ không phải giờ
V * t = 16 - đây là cách lẽ ra xe buýt phải di chuyển như bình thường;
(V + 16) (t-10/60) = 16 - phương trình chuyển động do xe buýt khởi hành muộn.
Có hai phương trình và hai ẩn số.
Hãy biểu thị thời gian từ phương trình đầu tiên và thay thế nó vào phương trình thứ hai
t=16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Phương trình thu được của tốc độ được rút gọn thành phương trình bậc hai (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Các nghiệm của phương trình bậc hai là
V=32; V=-48.
Vận tốc cần thiết của xe buýt là 32 km/h.
Đáp số: 32km/h.

Ví dụ 6. Người lái xe dừng lại để thay lốp trong 12 phút. Sau đó, tăng tốc độ thêm 15 km/h, anh bù lại quãng đường 60 km. Sau khi dừng lại, người đó đang chuyển động với tốc độ bao nhiêu (km/h)?
Giải pháp: Thuật toán giải quyết vấn đề đã được đưa ra nhiều lần trong các ví dụ trước. Chúng ta thường biểu thị tốc độ và thời gian bằng V, t.
Khi viết phương trình, hãy nhớ chuyển đổi phút sang giờ. Hệ phương trình sẽ có dạng
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Bạn cũng nên biết hoặc ghi nhớ các thao tác tiếp theo.
t=60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Phương trình này có thể rút gọn thành phương trình bậc hai
V^2+15*V-4500=0.
Giải phương trình bậc hai, ta thu được các giá trị tốc độ sau
V=60; V=-75.
Tốc độ không thể âm nên đáp án đúng duy nhất là V=60 km/h.

Ví dụ 7. Một số số có hai chữ số 4 lần nhiều hơn số tiền và gấp 3 lần tích các số của nó. Tìm số này.
Giải: Các bài toán về số chiếm một vị trí quan trọng trong số các bài toán soạn phương trình và trong việc xây dựng lời giải có thể thú vị không kém các bài toán có tốc độ. Tất cả những gì bạn cần là hiểu rõ vấn đề. Hãy ký hiệu số đó bằng ab, tức là số đó bằng 10 * a + b.
Dựa vào điều kiện ta lập hệ phương trình
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Vì các ẩn số đi vào phương trình thứ nhất một cách tuyến tính nên chúng ta viết nó ra và biểu diễn một trong các ẩn số thông qua phương trình kia.
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Thay b = 2 * a vào phương trình thứ hai
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Do đó a=0; a=2 . Không có ích gì khi xem xét giá trị đầu tiên; nếu a=2, chữ số thứ hai bằng b=2*a=2*2=4 và số được yêu cầu là 24.

Trả lời: số đó là 24. Hãy nói về cách tạo ra một phương trình hóa học, bởi vì chúng là những yếu tố chính của môn học này. Nhờ sự hiểu biết sâu sắc về tất cả các mô hình tương tác và các chất, bạn có thể kiểm soát chúng, áp dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau

các hoạt động.

Đặc điểm lý thuyết Lập phương trình hóa học là một giai đoạn quan trọng và có tính trách nhiệm, được xem xét ở lớp tám. trường trung học . Điều gì nên xảy ra trướcở giai đoạn này ? Trước khi giáo viên hướng dẫn học sinh cách lập phương trình hóa học, điều quan trọng là phải giới thiệu cho học sinh thuật ngữ “hóa trị” và dạy các em cách xác định giá trị này

kim loại và phi kim loại bằng bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học.

Biên soạn các công thức nhị phân theo hóa trị

Đầu tiên, điều quan trọng cần lưu ý là nguyên tố hóa học được nhắc đến cuối cùng trong tên phải ở vị trí đầu tiên trong công thức. Trong trường hợp của chúng tôi, natri sẽ được viết đầu tiên trong công thức, thứ hai là oxy. Chúng ta hãy nhớ lại rằng oxit là các hợp chất nhị phân trong đó nguyên tố cuối cùng (thứ hai) phải là oxy có trạng thái oxy hóa -2 (hóa trị 2). Tiếp theo, sử dụng bảng tuần hoàn, cần xác định hóa trị của từng nguyên tố trong hai nguyên tố. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các quy tắc nhất định.

Vì natri là kim loại nằm ở nhóm con chính 1, hóa trị của nó có giá trị không đổi, bằng I.

Oxy là một phi kim loại, vì nó là chất cuối cùng trong oxit; để xác định hóa trị của nó, chúng ta trừ 6 từ 8 (số nhóm) (nhóm chứa oxy), chúng ta thu được hóa trị của oxy. là II.

Giữa các giá trị nhất định, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất, sau đó chia nó cho hóa trị của từng phần tử để thu được chỉ số của chúng. Chúng tôi viết ra công thức đã hoàn thành Na 2 O.

Hướng dẫn soạn phương trình

Bây giờ chúng ta hãy nói chi tiết hơn về cách viết phương trình hóa học. Đầu tiên, hãy xem xét các khía cạnh lý thuyết, sau đó chuyển sang phần ví dụ cụ thể. Vì vậy, việc soạn phương trình hóa học bao gồm thứ tự nhất định hành động.

• Giai đoạn 1. Sau khi đọc nhiệm vụ được đề xuất, bạn cần xác định xem nhiệm vụ nào hóa chất phải có mặt ở vế trái của phương trình. Dấu “+” được đặt giữa các thành phần ban đầu.
• giai đoạn 2. Sau dấu bằng, bạn cần tạo công thức cho sản phẩm phản ứng. Khi thực hiện các hành động như vậy, bạn sẽ cần thuật toán soạn công thức cho các hợp chất nhị phân mà chúng ta đã thảo luận ở trên.
• giai đoạn thứ 3. Kiểm tra số lượng nguyên tử của từng nguyên tố trước và sau tương tác hóa học, nếu cần, chúng ta đặt các hệ số bổ sung trước các công thức.

Ví dụ về phản ứng đốt cháy

Chúng ta hãy thử tìm cách tạo phương trình hóa học cho quá trình đốt cháy magiê bằng thuật toán. Ở phía bên trái của phương trình, chúng ta viết tổng của magiê và oxy. Đừng quên rằng oxy là phân tử hai nguyên tử, do đó cần đặt chỉ số là 2. Sau dấu bằng, ta lập công thức tính sản phẩm thu được sau phản ứng. Nó sẽ trong đó magiê được viết đầu tiên và oxy được viết thứ hai trong công thức. Hơn nữa theo bảng nguyên tố hóa học xác định hóa trị. Magiê, nằm trong nhóm 2 (nhóm chính), có hóa trị không đổi II, đối với oxy, trừ đi 8 - 6 ta cũng có hóa trị II.

Bản ghi quá trình sẽ có dạng: Mg+O 2 =MgO.

Để phương trình tuân theo định luật bảo toàn khối lượng các chất cần sắp xếp các hệ số. Đầu tiên, chúng ta kiểm tra lượng oxy trước phản ứng, sau khi quá trình kết thúc. Vì có 2 nguyên tử oxy nhưng chỉ có một nguyên tử được tạo thành nên hệ số 2 phải được cộng vào vế phải trước công thức magie oxit. Tiếp theo, chúng ta đếm số nguyên tử magie trước và sau quá trình. Kết quả của sự tương tác là thu được 2 magie, do đó, ở phía bên trái phía trước chất đơn giản Magiê cũng yêu cầu hệ số 2.

Loại phản ứng cuối cùng: 2Mg+O 2 =2MgO.

Ví dụ về phản ứng thay thế

Bất kỳ bản tóm tắt hóa học nào cũng có phần mô tả các loại khác nhau tương tác.

Không giống như hợp chất, trong chất thay thế sẽ có hai chất ở cả bên trái và bên phải của phương trình. Giả sử chúng ta cần viết phản ứng tương tác giữa kẽm và Chúng tôi sử dụng thuật toán viết tiêu chuẩn. Đầu tiên, ở phía bên trái, chúng tôi viết tổng của kẽm và axit clohydric, và ở phía bên phải, chúng tôi viết công thức cho các sản phẩm phản ứng thu được. Vì trong dãy điện hóa của kim loại kẽm đứng trước hydro nên trong quá trình này nó thay thế axit hydro phân tử, tạo thành kẽm clorua. Kết quả là chúng ta nhận được kết quả sau: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2.

Bây giờ chúng ta chuyển sang cân bằng số lượng nguyên tử của từng nguyên tố. Vì có một nguyên tử ở phía bên trái của clo và sau khi tương tác có hai nguyên tử, trước công thức axit clohydric cần phải đặt hệ số là 2.

Kết quả là chúng ta thu được phương trình phản ứng lập sẵn tương ứng với định luật bảo toàn khối lượng các chất: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Phần kết luận

Một ghi chú hóa học điển hình nhất thiết phải chứa một số biến đổi hóa học. Không một phần nào của khoa học này chỉ giới hạn ở những nội dung đơn giản mô tả bằng lời nói biến đổi, quá trình hòa tan, bay hơi, mọi thứ nhất thiết phải được xác nhận bằng các phương trình. Tính đặc thù của hóa học nằm ở chỗ tất cả các quá trình xảy ra giữa các chất vô cơ hoặc chất hữu cơ, có thể được mô tả bằng các hệ số và chỉ số.

Hóa học khác với các ngành khoa học khác như thế nào? Phương trình hóa học không chỉ giúp mô tả các biến đổi đang diễn ra mà còn thực hiện các phép tính định lượng trên chúng, nhờ đó có thể thực hiện các nghiên cứu trong phòng thí nghiệm và sản xuất công nghiệp chất khác nhau.

54. Các bài toán liên quan đến việc lập phương trình với một ẩn số:

Chúng ta có thể áp dụng kỹ năng giải phương trình để giải bài toán. Các ví dụ sau đây sẽ chỉ cho bạn cách thực hiện việc này.

Nhiệm vụ 1. Ngôi nhà đã được rao bán. Một người mua có số tiền bằng ¾ giá trị của nó và người kia có số tiền bằng 5/6 giá trị của nó. Nếu cộng chúng lại với nhau, chúng sẽ có thặng dư 7.000 rúp. Chi phí của ngôi nhà là bao nhiêu?

Giả sử rằng ngôi nhà có giá x rúp. Sau đó (theo phần đầu của bài toán) người mua đầu tiên có (x · ¾) rúp. hoặc, cũng tương tự, 3x/4 rúp, và cái thứ hai có 5x/6 rúp. Cụm từ tiếp theo là điều kiện của bài toán, cụ thể là “nếu cộng chúng lại với nhau, chúng sẽ có thặng dư 7.000 rúp”. - là một phương trình, thể hiện bằng lời nói: bây giờ chúng ta phải diễn đạt nó không phải bằng lời mà là ký hiệu toán học. Đầu tiên, chúng ta hãy lấy một cụm từ tương tự ở dạng đơn giản: “nếu bạn cộng các số a và b, thì tổng thu được sẽ vượt m so với số c” - cụm từ này có thể được viết lại bằng các ký hiệu toán học như sau: a +b = c +m.

Phương trình trong bài toán của chúng ta có thể được viết theo cùng một cách: nếu chúng ta cộng các số 3x/4 và 5x/6, tổng thu được sẽ thặng dư 7000 so với số x, hoặc
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

Phương trình kết quả cần được đơn giản hóa: 1) nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung 12 - chúng tôi nhận được

9x + 10x = 12x + 84000

2) Hãy chuyển các thuật ngữ chưa biết sang bên trái:

9x + 10x – 12x = 84000

Bây giờ chúng ta có thể trả lời vấn đề:

Chi phí của ngôi nhà là 12.000 rúp.

Nhiệm vụ 2. Có 13 học sinh nghỉ học ngày thứ Hai và 5 học sinh nghỉ học ngày thứ Ba. Tỷ lệ số học sinh có mặt ngày thứ Hai so với số học sinh có mặt ngày thứ Ba là 7/9. Có bao nhiêu học sinh trong lớp học này?

Giả sử lớp đó có tổng cộng x học sinh. Sau đó vào thứ Hai có (x – 13) học sinh có mặt và vào thứ Ba (x – 5) học sinh. Cụm từ “Tỷ lệ số học sinh có mặt ngày thứ Hai so với số học sinh có mặt ngày thứ Ba là 7/9” là một phương trình được biểu diễn bằng chữ và có thể viết lại bằng ký hiệu toán học:

(x – 13) / (x – 5) = 7/9.

Hãy giải phương trình này:

9(x – 13) = 7(x – 5) hoặc 9x – 117 = 7x – 35.

Từ đây ta có: 2x = 82 và x = 41.
Vậy lớp đó có 41 học sinh

Nhiệm vụ 3. Tìm một phân số có mẫu số lớn hơn tử số 3 và bằng 4/5 nếu bạn trừ cả tử số và mẫu số 1.

Nhiệm vụ này hơi khác so với những nhiệm vụ trước. Nó yêu cầu "tìm một phân số", nhưng sẽ không thể bắt đầu giải bài toán theo cách tương tự như đã làm ở bài toán thứ 1 và thứ 2: giả sử rằng phân số cần tìm bằng x. Sẽ không thể bắt đầu như thế này vì trong bài toán chúng ta đang nói về riêng về tử số và riêng về mẫu số: bạn phải trừ 1 riêng biệt với tử số và riêng biệt với mẫu số. Vì vậy, cần phải chỉ định phân số sao cho nhìn thấy được cả tử số và mẫu số của nó. Vì người ta nói rằng mẫu số lớn hơn tử số 3, nên chúng ta có thể biểu thị bằng chữ x cả tử số hoặc mẫu số - khi đó rất dễ tìm được biểu thức cho phần tử còn lại của phân số và cho chính phân số đó.

Đây là giải pháp cho vấn đề.

Giả sử tử số của phân số mong muốn bằng x. Khi đó mẫu số của nó là x + 3, và phân số mong muốn là x/(x+3). Cụm từ “mà (tức là một phân số) trở thành 4/5 khi trừ 1 khỏi tử số và mẫu số” là một phương trình và có thể được viết dưới dạng toán học:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 hoặc (x – 1) / (x + 2) = 4/5.

5(x – 1) = 4(x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.

Khi đó mẫu số của phân số là 16 và phân số mong muốn là 13/16.

Nhiệm vụ 4. Một anh hơn anh 14 tuổi, 6 năm nữa anh sẽ già gấp 2 lần. Mỗi anh em bao nhiêu tuổi?

Ở đây bạn cần đưa ra hai câu trả lời: bao nhiêu năm em trai và người lớn bao nhiêu tuổi, nhưng bài toán có thể được giải bằng phương trình với 1 ẩn, vì người ta nói rằng người anh hơn người em 14 tuổi. Hãy giải quyết vấn đề như thế này:

Giả sử em trai X tuổi; thì người lớn tuổi nhất là (x + 14) tuổi.

6 năm nữa, em trai sẽ là (x + 6) tuổi, còn anh là (x + 14 + 6) tuổi hoặc (x + 20) tuổi.

Người ta nói rằng khi đó người lớn hơn (6 tuổi) sẽ già hơn người trẻ 2 lần, tức là số x + 20 phải lớn gấp 2 lần x + 6, và số này có thể viết là

(x + 20) / (x + 6) = 2 hoặc x + 20 = 2 (x + 6) hoặc (x + 20) / 2 = x + 6.

Ký hiệu tự nhiên nhất là ký hiệu thứ nhất: để biết số này lớn hơn số kia bao nhiêu lần, bạn cần chia; chúng ta cần tìm xem số đó gấp bao nhiêu lần (x + 20) số lượng nhiều hơn(x + 6) - để làm điều này, chúng ta cần chia (x + 20) cho (x + 6) và chúng ta nên nói câu trả lời là “hai lần”. Do đó, chúng ta viết rằng từ phép chia này chúng ta nhận được số 2, tức là (x + 20) / (x + 6) = 2.

Mục thứ hai có thể được giải thích như sau: chúng ta được bảo rằng số (x + 20) phải gấp 2 lần số (x + 6). Để cân bằng những số này, cần phải nhân số nhỏ hơn của chúng, tức là x + 6, với 2. Khi đó x + 20 = 2(x + 6).

Khi đó ký hiệu được giải thích như sau: để cân bằng các số x + 20 và x + 6, bạn cần giảm số lớn hơn của chúng đi 2 lần, sau đó (x + 20) / 2 = x + 6.

Nếu chúng ta lấy mục đầu tiên

(x + 20) / (x + 6) = 2

và nhân cả hai vế của phương trình với x + 6, ta được

x + 20 = 2(x + 6)

tức là mục thứ hai. Cũng dễ dàng có được mục thứ 2 hoặc thứ 1 từ mục thứ 3, v.v.

Trong mọi trường hợp, sau khi giải phóng phương trình khỏi phân số, chúng ta nhận được

x + 20 = 2(x + 6)

và dễ dàng giải phương trình:

x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x hoặc x = 8.

Vậy em 8 tuổi, anh 8 + 14 = 22 tuổi.

Nhiệm vụ 5. Chúng tôi mua đường và cà phê, tổng cộng là 28 bảng; đối với một pound đường, họ trả 15 kopecks, và đối với một pound cà phê là 80 kopecks, nhưng toàn bộ số tiền mua họ phải trả 12 rúp. Bạn đã mua bao nhiêu đường và bao nhiêu cà phê?

Khó khăn ở đây có thể là trong điều kiện của bài toán, các con số được tính bằng kopecks hoặc bằng rúp. Nó phải được thiết lập trước theo đơn vị nào, bằng rúp hoặc kopecks, quyết định sẽ được đưa ra. Hãy giải quyết vấn đề bằng đồng rúp. Sau đó, giải pháp là:

Giả sử bạn đã mua x pound đường. Sau đó chúng tôi mua (28 – x) pound cà phê.

Đối với đường, họ trả (15x) kopecks hoặc (3/20)x rúp (vì 15 kopecks bằng 3/20 rúp) và đối với cà phê, họ trả 80(28 – x) kopecks. hoặc 4/5 (28 – x) chà. (vì 80 kopecks = 4/5 rúp).
Cụm từ "họ đã trả 12 rúp cho toàn bộ giao dịch mua." có thể được viết:

3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12

[Nếu giải bằng kopecks, phương trình sẽ là 15x + 80(28 – x) = 1200].

Hãy giải phóng phương trình khỏi các phân số mà chúng ta nhân cả hai phần với 20 và chúng ta nhận được:

3x + 16(28 – x) = 240

3x + 448 – 16x = 240

3x – 16x = 240 – 448

–13x = –208,

Vì vậy, chúng tôi đã mua 16 pound đường và 12 pound cà phê (28 – 16 = 12).

Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng.
Vectơ chỉ hướng là đường thẳng. Vectơ chuẩn

Đường thẳng trên mặt phẳng là một trong những đường thẳng đơn giản nhất hình dạng hình học, quen thuộc với bạn kể từ lớp học cơ sở và hôm nay chúng ta sẽ học cách giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp hình học giải tích. Để nắm vững tài liệu, bạn phải có khả năng xây dựng một đường thẳng; biết phương trình nào xác định đường thẳng, cụ thể là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đường thẳng song song với các trục tọa độ. Thông tin này có thể được tìm thấy trong hướng dẫn Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản, Tôi đã tạo nó cho matan, nhưng phần về hàm tuyến tính Hóa ra rất thành công và chi tiết. Vì vậy, các ấm trà thân yêu, hãy hâm nóng nó trước đã. Ngoài ra, bạn cần phải có kiến thức cơ bảnồ vectơ, nếu không thì sự hiểu biết về tài liệu sẽ không đầy đủ.

Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét các cách lập phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng. Tôi khuyên bạn không nên bỏ qua các ví dụ thực tế (ngay cả khi nó có vẻ rất đơn giản), vì tôi sẽ cung cấp cho họ những ví dụ cơ bản và sự thật quan trọng, phương pháp kỹ thuật, sẽ được yêu cầu trong tương lai, kể cả trong các phần khác của toán học cao hơn.

• Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng có hệ số góc?
• Làm sao ?
• Làm thế nào để tìm vectơ chỉ phương bằng phương trình tổng quát của đường thẳng?
• Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến?

và chúng ta bắt đầu:

Phương trình đường thẳng có độ dốc

Dạng “trường học” nổi tiếng của phương trình đường thẳng được gọi là phương trình của đường thẳng với độ dốc . Ví dụ: nếu một đường thẳng được cho bởi phương trình thì độ dốc của nó là: . Hãy xem xét ý nghĩa hình học hệ số đã cho và giá trị của nó ảnh hưởng đến vị trí của dòng như thế nào:

Trong môn hình học người ta đã chứng minh rằng độ dốc của đường thẳng bằng tiếp tuyến của góc giữa hướng trục dươngvà dòng này: , và góc “tháo” ngược chiều kim đồng hồ.

Để không làm lộn xộn bức vẽ, tôi chỉ vẽ các góc cho hai đường thẳng. Hãy xem xét đường “đỏ” và độ dốc của nó. Theo như trên: (góc “alpha” được biểu thị bằng một vòng cung màu xanh lá cây). Đối với đường thẳng “xanh” có hệ số góc, đẳng thức là đúng (góc “beta” được biểu thị bằng một cung màu nâu). Và nếu đã biết tiếp tuyến của góc thì nếu cần có thể dễ dàng tìm được và chính góc đó bằng cách sử dụng hàm nghịch đảo– arctang. Như người ta nói, một bảng lượng giác hoặc một chiếc máy tính vi mô trong tay bạn. Như vậy, hệ số góc đặc trưng cho độ nghiêng của đường thẳng với trục hoành.

Có thể xảy ra các trường hợp sau:

1) Nếu độ dốc âm: thì nói một cách đại khái, đường thẳng sẽ đi từ trên xuống dưới. Ví dụ như các đường thẳng “xanh” và “mâm xôi” trong bản vẽ.

2) Nếu độ dốc dương: thì đường đi từ dưới lên trên. Ví dụ - các đường thẳng “đen” và “đỏ” trong bản vẽ.

3) Nếu độ dốc bằng 0: , thì phương trình có dạng , đường thẳng tương ứng song song với trục. Một ví dụ là đường thẳng “màu vàng”.

4) Đối với họ đường thẳng song song với một trục (trên hình vẽ không có ví dụ nào ngoại trừ chính trục đó), hệ số góc không tồn tại (tiếp tuyến 90 độ không được xác định).

Độ dốc về giá trị tuyệt đối càng lớn thì đồ thị đường thẳng càng dốc..

Ví dụ: Xét hai đường thẳng. Do đó, đường thẳng ở đây có độ dốc lớn hơn. Hãy để tôi nhắc bạn rằng mô-đun cho phép bạn bỏ qua dấu hiệu, chúng tôi chỉ quan tâm đến giá trị tuyệt đối các hệ số góc.

Ngược lại, đường thẳng dốc hơn đường thẳng .

Ngược lại: hệ số góc về giá trị tuyệt đối càng nhỏ thì đường thẳng càng phẳng.

Đối với đường thẳng bất đẳng thức đúng nên đường thẳng phẳng hơn. Cầu trượt dành cho trẻ em để không khiến mình bị bầm tím và va đập.

Tại sao điều này là cần thiết?

Kéo dài sự đau khổ của bạn Kiến thức về các sự kiện trên cho phép bạn nhận ra ngay những sai sót của mình, đặc biệt là các lỗi khi xây dựng biểu đồ - nếu bản vẽ "rõ ràng là có gì đó không ổn". Đó là khuyến khích mà bạn ngay lập tức Chẳng hạn, rõ ràng là đường thẳng rất dốc và đi từ dưới lên trên, còn đường thẳng rất phẳng, ép sát trục và đi từ trên xuống dưới.

TRONG bài toán hình học Thường xuất hiện một số đường thẳng, vì vậy sẽ thuận tiện khi chỉ định chúng bằng cách nào đó.

Chỉ định: đường thẳng được ký hiệu là nhỏ bằng chữ Latinh: . Một lựa chọn phổ biến là chỉ định chúng bằng cách sử dụng cùng một chữ cái với các chỉ số dưới tự nhiên. Ví dụ, năm dòng chúng ta vừa xem có thể được biểu thị bằng .

Vì đường thẳng bất kỳ được xác định duy nhất bởi hai điểm nên nó có thể được biểu thị bằng các điểm sau: vân vân. Việc chỉ định rõ ràng ngụ ý rằng các điểm thuộc về đường thẳng.

Đã đến lúc khởi động một chút:

Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng có hệ số góc?

Nếu một điểm thuộc một đường thẳng nhất định và biết hệ số góc của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này được biểu thị bằng công thức:

Ví dụ 1

Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc nếu biết điểm đó thuộc đường thẳng đó.

Giải pháp: Viết phương trình đường thẳng theo công thức . TRONG trong trường hợp này:

Trả lời:

Bài kiểm trađược thực hiện đơn giản. Đầu tiên, chúng ta xem xét phương trình kết quả và đảm bảo rằng độ dốc của chúng ta đúng. Thứ hai, tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương trình này. Hãy thế chúng vào phương trình:

Đã nhận sự bình đẳng thực sự, có nghĩa là điểm thỏa mãn phương trình thu được.

Phần kết luận: Phương trình đã được tìm thấy đúng.

Một ví dụ phức tạp hơn cho quyết định độc lập:

Ví dụ 2

Viết phương trình đường thẳng nếu biết góc nghiêng của nó so với chiều dương của trục là , và điểm đó thuộc đường thẳng đó.

Nếu có khó khăn hãy đọc lại tài liệu lý thuyết. Chính xác hơn, thực tế hơn, tôi bỏ qua rất nhiều bằng chứng.

Nó reo cuộc gọi cuối cùng, chết đi vũ hội, và đằng sau cánh cổng trường học tại nhà Trên thực tế, điều đang chờ đợi chúng ta là hình học giải tích. Những trò đùa đã kết thúc... Hoặc có lẽ họ chỉ mới bắt đầu =)

Chúng ta hoài niệm vẫy bút về những điều quen thuộc và làm quen với phương trình tổng quát của đường thẳng. Bởi vì trong hình học giải tích đây chính xác là những gì được sử dụng:

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: , một số con số ở đâu. Đồng thời, các hệ số đồng thời không bằng 0 vì phương trình mất đi ý nghĩa của nó.

Hãy mặc vest và buộc phương trình với hệ số độ dốc. Đầu tiên, hãy di chuyển tất cả các điều khoản sang phía bên trái:

Thuật ngữ có dấu “X” phải được đặt ở vị trí đầu tiên:

Về nguyên tắc, phương trình đã có dạng , nhưng theo quy tắc nghi thức toán học, hệ số của số hạng đầu tiên (trong trường hợp này) phải dương. Thay đổi dấu hiệu:

Hãy nhớ điều này đặc điểm kỹ thuật! Chúng tôi làm cho hệ số đầu tiên (thường xuyên nhất) dương!

Trong hình học giải tích, phương trình đường thẳng hầu như luôn được đưa ra dưới dạng dạng tổng quát. Chà, nếu cần, nó có thể dễ dàng rút gọn về dạng “trường học” với hệ số góc (ngoại trừ các đường thẳng song song với trục tọa độ).

Chúng ta hãy tự hỏi điều gì đủ biết dựng đường thẳng? Hai điểm. Nhưng nói thêm về sự việc thời thơ ấu này, bây giờ lại dính vào quy tắc mũi tên. Mỗi đường thẳng đều có một độ dốc rất riêng, rất dễ “thích nghi”. vectơ.

Vectơ song song với một đường thẳng gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Rõ ràng là bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số vectơ chỉ phương và tất cả chúng sẽ thẳng hàng (cùng hướng hay không - không thành vấn đề).

Tôi sẽ ký hiệu vector chỉ phương như sau: .

Nhưng một vectơ không đủ để dựng nên một đường thẳng; vectơ tự do và không bị ràng buộc với bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng. Vì vậy, cần phải biết thêm một số điểm thuộc đường thẳng.

Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng khi sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương?

Nếu biết một điểm nhất định thuộc một đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này có thể được soạn bằng công thức:

Đôi khi nó được gọi phương trình chính tắc trực tiếp .

Phải làm gì khi một trong những tọa độ bằng 0, chúng ta sẽ hiểu trong ví dụ thực tế dưới đây. Nhân tiện, xin lưu ý - cả hai cùng một lúc tọa độ không thể bằng 0, vì vectơ 0 không chỉ định một hướng cụ thể.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng dùng điểm và vectơ chỉ phương

Giải pháp: Viết phương trình đường thẳng bằng công thức Trong trường hợp này:

Sử dụng tính chất của tỷ lệ, chúng ta loại bỏ được các phân số:

Và chúng ta đưa phương trình về ngoại hình chung:

Trả lời:

Theo quy định, không cần phải vẽ trong các ví dụ như vậy, nhưng để hiểu:

Trong hình vẽ, chúng ta thấy điểm bắt đầu, vectơ chỉ phương ban đầu (nó có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng) và đường thẳng dựng nên. Nhân tiện, trong nhiều trường hợp, cách thuận tiện nhất là xây dựng một đường thẳng bằng phương trình có hệ số góc. Thật dễ dàng để chuyển đổi phương trình của chúng ta thành dạng và dễ dàng chọn một điểm khác để dựng một đường thẳng.

Như đã lưu ý ở đầu đoạn văn, một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và tất cả chúng đều thẳng hàng. Ví dụ: tôi đã vẽ ba vectơ như vậy: . Dù chúng ta chọn vectơ hướng nào, kết quả sẽ luôn có cùng phương trình đường thẳng.

Hãy lập phương trình đường thẳng sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương:

Giải quyết tỷ lệ:

Chia cả hai vế cho –2 và nhận được phương trình quen thuộc:

Những người quan tâm có thể kiểm tra vectơ theo cách tương tự hoặc bất kỳ vectơ cộng tuyến nào khác.

Bây giờ hãy quyết định vấn đề nghịch đảo:

Làm thế nào để tìm vectơ chỉ phương bằng phương trình tổng quát của đường thẳng?

Rất đơn giản:

Nếu một đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ thì vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng này.

Ví dụ tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Câu lệnh cho phép chúng ta chỉ tìm một vectơ chỉ phương trong số vô hạn, nhưng chúng ta không cần nhiều hơn thế. Mặc dù trong một số trường hợp nên giảm tọa độ của vectơ chỉ phương:

Do đó, phương trình xác định một đường thẳng song song với trục và tọa độ của vectơ chỉ phương thu được được chia thuận tiện cho –2, thu được chính xác vectơ cơ sở là vectơ chỉ phương. Hợp lý.

Tương tự, phương trình xác định một đường thẳng, song song với trục và chia tọa độ của vectơ cho 5, chúng ta thu được ort là vectơ chỉ phương.

Bây giờ chúng ta hãy làm điều đó kiểm tra Ví dụ 3. Ví dụ đã đi lên, vì vậy tôi nhắc bạn rằng trong đó chúng tôi đã biên soạn phương trình đường thẳng bằng cách sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương

Trước hết, sử dụng phương trình của đường thẳng chúng ta xây dựng lại vectơ chỉ phương của nó: – mọi thứ đều ổn, chúng ta đã nhận được vectơ gốc (trong một số trường hợp, kết quả có thể là vectơ thẳng hàng với vectơ ban đầu và điều này thường dễ dàng nhận thấy bởi tỷ lệ của tọa độ tương ứng).

Thứ hai, tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương trình. Chúng tôi thay thế chúng vào phương trình:

Sự bình đẳng chính xác đã đạt được, điều mà chúng tôi rất vui mừng.

Phần kết luận: Nhiệm vụ đã được hoàn thành chính xác.

Ví dụ 4

Viết phương trình đường thẳng dùng điểm và vectơ chỉ phương

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án ở cuối bài. Rất nên kiểm tra bằng thuật toán vừa thảo luận. Cố gắng luôn luôn (nếu có thể) kiểm tra bản nháp. Thật ngu ngốc khi phạm sai lầm mà chúng có thể tránh được 100%.

Trong trường hợp một trong các tọa độ của vectơ chỉ phương bằng 0, hãy tiến hành rất đơn giản:

Ví dụ 5

Giải pháp: Công thức không phù hợp vì mẫu số ở vế phải bằng 0. Có một lối thoát! Sử dụng các tính chất của tỷ lệ, chúng ta viết lại công thức dưới dạng và phần còn lại lăn dọc theo một đường rãnh sâu:

Trả lời:

Bài kiểm tra:

1) Khôi phục vectơ chỉ hướng của đường thẳng:
– vectơ kết quả thẳng hàng với vectơ chỉ phương ban đầu.

2) Thay tọa độ điểm vào phương trình:

Đẳng thức đúng thu được

Phần kết luận: nhiệm vụ đã hoàn thành chính xác

Câu hỏi đặt ra là tại sao phải bận tâm đến công thức nếu có một phiên bản phổ quát sẽ hoạt động trong mọi trường hợp? Có hai lý do. Đầu tiên, công thức ở dạng phân số nhớ tốt hơn nhiều. Và thứ hai, nhược điểm công thức phổ quátđó có phải là nguy cơ bị nhầm lẫn tăng lên đáng kể khi thay tọa độ.

Ví dụ 6

Viết phương trình đường thẳng sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Hãy quay trở lại hai điểm phổ biến:

Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm?

Nếu biết hai điểm thì phương trình đường thẳng đi qua các điểm đó có thể được soạn theo công thức:

Trên thực tế, đây là một loại công thức và đây là lý do: nếu biết hai điểm thì vectơ sẽ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho. trong lớp Vector cho người giả chúng tôi đã xem xét nhiệm vụ đơn giản nhất– cách tìm tọa độ của một vectơ từ hai điểm. Theo bài toán này tọa độ của vectơ chỉ phương là:

Ghi chú : các điểm có thể được “hoán đổi” và có thể sử dụng công thức . Một giải pháp như vậy sẽ tương đương.

Ví dụ 7

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm .

Giải pháp: Ta sử dụng công thức:

Kết hợp các mẫu số:

Và xáo trộn bộ bài:

Bây giờ là lúc để thoát khỏi số phân số. Trong trường hợp này, bạn cần nhân cả hai vế với 6:

Mở ngoặc và ghi nhớ phương trình:

Trả lời:

Bài kiểm tra rõ ràng - tọa độ điểm xuất phát phải thỏa mãn phương trình thu được:

1) Thay tọa độ điểm:

Bình đẳng thực sự.

2) Thay tọa độ của điểm:

Bình đẳng thực sự.

Phần kết luận: Phương trình đường thẳng được viết đúng.

Nếu như ít nhất một trong số các điểm không thỏa mãn phương trình, hãy tìm lỗi.

Điều đáng lưu ý là việc xác minh bằng đồ họa trong trường hợp này là khó khăn, vì việc xây dựng một đường thẳng và xem liệu các điểm có thuộc về nó hay không. , không đơn giản như vậy.

Tôi sẽ đề cập thêm một vài điều nữa điểm kỹ thuật giải pháp. Có lẽ trong vấn đề này sẽ có lợi hơn khi sử dụng công thức phản chiếu và, tại cùng một điểm lập một phương trình:

Ít phân số hơn. Nếu muốn, bạn có thể thực hiện giải đến cùng, kết quả sẽ có phương trình tương tự.

Điểm thứ hai là xem xét câu trả lời cuối cùng và tìm hiểu xem liệu nó có thể được đơn giản hóa hơn nữa không? Ví dụ: nếu bạn nhận được phương trình , thì nên giảm nó đi hai: – phương trình sẽ xác định cùng một đường thẳng. Tuy nhiên, đây đã là một chủ đề của cuộc trò chuyện về vị trí tương đối của đường.

Đã nhận được câu trả lời trong Ví dụ 7, để đề phòng, tôi đã kiểm tra xem TẤT CẢ các hệ số của phương trình có chia hết cho 2, 3 hay 7 hay không. Mặc dù vậy, hầu hết các phép giảm như vậy thường được thực hiện trong quá trình giải.

Ví dụ 8

Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm .

Đây là một ví dụ về một giải pháp độc lập, cho phép bạn hiểu rõ hơn và thực hành các kỹ thuật tính toán tốt hơn.

Tương tự như đoạn trước: nếu trong công thức một trong các mẫu số (tọa độ của vectơ chỉ phương) trở thành 0 thì ta viết lại dưới dạng . Một lần nữa, hãy để ý xem cô ấy trông lúng túng và bối rối như thế nào. tôi không thấy ý nghĩa đặc biệt lái xe ví dụ thực tế, vì trên thực tế chúng ta đã giải được bài toán như vậy rồi (xem số 5, 6).

Vectơ pháp tuyến trực tiếp (vectơ pháp tuyến)

Thế nào là bình thường? Nói một cách đơn giản, pháp tuyến là vuông góc. Nghĩa là, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Rõ ràng, bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số chúng (cũng như các vectơ chỉ phương), và tất cả các vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ thẳng hàng (cùng hướng hay không, điều đó không có gì khác biệt).

Việc xử lý chúng thậm chí còn dễ dàng hơn so với các vectơ hướng dẫn:

Nếu một đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát trong hệ tọa độ chữ nhật thì vectơ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Nếu tọa độ của vectơ chỉ phương phải được "rút" ra khỏi phương trình một cách cẩn thận, thì tọa độ của vectơ pháp tuyến có thể được "loại bỏ" một cách đơn giản.

Vectơ pháp tuyến luôn vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chúng ta hãy kiểm tra tính trực giao của các vectơ này bằng cách sử dụng sản phẩm chấm:

Tôi sẽ đưa ra các ví dụ có phương trình tương tự như đối với vectơ chỉ phương:

Có thể xây dựng phương trình đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến không? Tôi cảm thấy điều đó trong ruột mình, điều đó có thể xảy ra. Nếu biết vectơ pháp tuyến thì hướng của đường thẳng được xác định rõ ràng - đây là một “cấu trúc cứng” với góc 90 độ.

Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến?

Nếu biết một điểm nào đó thuộc một đường thẳng và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này được biểu thị bằng công thức:

Ở đây mọi thứ đều diễn ra mà không có phân số và những điều bất ngờ khác. Đây là vector bình thường của chúng tôi. Yêu anh ấy. Và tôn trọng =))

Ví dụ 9

Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Giải pháp: Ta sử dụng công thức:

Đã thu được phương trình tổng quát của đường thẳng, hãy kiểm tra:

1) “Xóa” tọa độ của vectơ pháp tuyến khỏi phương trình: – đúng vậy, vectơ ban đầu thu được từ điều kiện (hoặc phải thu được vectơ cộng tuyến).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình không:

Bình đẳng thực sự.

Sau khi chúng tôi tin chắc rằng phương trình được soạn chính xác, chúng tôi sẽ hoàn thành phần thứ hai, dễ dàng hơn của nhiệm vụ. Ta lấy vectơ chỉ hướng của đường thẳng:

Trả lời:

Trong bản vẽ, tình huống trông như thế này:

Đối với mục đích đào tạo, một nhiệm vụ tương tự để giải quyết độc lập:

Ví dụ 10

Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Phần cuối cùng của bài học sẽ được dành cho những vấn đề ít phổ biến hơn nhưng cũng có loài quan trọng phương trình đường thẳng trên mặt phẳng

Phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng.
Phương trình đường thẳng ở dạng tham số

Phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng có dạng , trong đó là các hằng số khác 0. Một số loại phương trình không thể được biểu diễn dưới dạng này, ví dụ: tỷ lệ trực tiếp (vì số hạng tự do bằng 0 và không có cách nào để có được một phương trình ở vế phải).

Nói một cách hình tượng, đây là một loại phương trình “kỹ thuật”. Một nhiệm vụ chung là phương trình tổng quát biểu diễn một đường thẳng dưới dạng phương trình của một đường thẳng trong các đoạn. Làm thế nào là nó thuận tiện? Phương trình của một đường thẳng cho phép bạn nhanh chóng tìm ra giao điểm của một đường thẳng với trục tọa độ, điều này có thể rất quan trọng trong một số bài toán cao cấp.

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng với trục. Chúng ta đặt lại “y” và phương trình có dạng . Điểm mong muốn sẽ được lấy tự động: .

Tương tự với trục - điểm tại đó đường thẳng cắt trục hoành.