Phát triển phương pháp luận về đề tài: nghiên cứu toán học trong bài học toán. Vị trí của phương pháp nghiên cứu toán học trong quản lý doanh nghiệp

Trong lịch sử toán học, chúng ta có thể tạm phân biệt hai thời kỳ chính: toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Cột mốc mà người ta thường coi là kỷ nguyên của toán học mới (đôi khi được gọi là cao hơn) là thế kỷ 17 - thế kỷ xuất hiện của giải tích toán học. Đến cuối thế kỷ 17. I. Newton, G. Leibniz và những người tiền nhiệm của họ đã tạo ra bộ máy tính vi phân và phép tính tích phân mới, tạo thành nền tảng của phân tích toán học và thậm chí có lẽ là cơ sở toán học của tất cả khoa học tự nhiên hiện đại.

Phân tích toán học là một lĩnh vực toán học rộng lớn với đối tượng nghiên cứu đặc trưng (đại lượng thay đổi), một phương pháp nghiên cứu độc đáo (phân tích bằng vi phân hoặc bằng cách chuyển các giới hạn), một hệ thống khái niệm cơ bản nhất định (hàm số, giới hạn). , đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi) và không ngừng cải tiến và phát triển một bộ máy, cơ sở của nó là phép tính vi phân và tích phân.

Chúng ta hãy cố gắng đưa ra ý tưởng về loại cuộc cách mạng toán học nào đã diễn ra trong thế kỷ 17, điều gì đặc trưng cho quá trình chuyển đổi gắn liền với sự ra đời của phân tích toán học từ toán học cơ bản sang chủ đề nghiên cứu về phân tích toán học ngày nay và điều gì giải thích vai trò cơ bản của nó trong toàn bộ hệ thống kiến ​​thức lý thuyết và ứng dụng hiện đại.

Hãy tưởng tượng trước mặt bạn là một bức ảnh màu được thực hiện tuyệt đẹp về một cơn sóng biển dữ dội đang ập vào bờ: lưng khom mạnh mẽ, ngực dốc nhưng hơi hóp, đầu nghiêng về phía trước và sẵn sàng rơi xuống với chiếc bờm xám dày vò bởi cơn bão. gió. Bạn đã dừng lại khoảnh khắc đó, bạn đã bắt được làn sóng và bây giờ bạn có thể nghiên cứu nó một cách cẩn thận đến từng chi tiết mà không cần vội vàng. Một làn sóng có thể đo được và bằng cách sử dụng các công cụ toán học cơ bản, bạn có thể rút ra nhiều kết luận quan trọng về làn sóng này, và do đó, về tất cả các chị em đại dương của nó. Nhưng bằng cách ngăn chặn làn sóng, bạn đã tước đi sự chuyển động và sự sống của nó. Nguồn gốc, sự phát triển, hoạt động, lực mà nó chạm vào bờ - tất cả những điều này hóa ra nằm ngoài tầm nhìn của bạn, bởi vì bạn chưa có ngôn ngữ hoặc bộ máy toán học phù hợp để mô tả và nghiên cứu, không tĩnh, nhưng phát triển, các quá trình năng động, các biến số và mối quan hệ của chúng.

“Phân tích toán học không kém phần toàn diện so với bản chất tự nhiên: nó xác định mọi mối quan hệ hữu hình, đo lường thời gian, không gian, lực, nhiệt độ.” J. Fourier

Sự chuyển động, các biến số và mối quan hệ của chúng bao quanh chúng ta ở khắp mọi nơi. Các loại chuyển động khác nhau và mô hình của chúng tạo thành đối tượng nghiên cứu chính của các ngành khoa học cụ thể: vật lý, địa chất, sinh học, xã hội học, v.v. Do đó, ngôn ngữ chính xác và các phương pháp toán học tương ứng để mô tả và nghiên cứu các đại lượng biến đổi hóa ra là cần thiết trong mọi lĩnh vực của cuộc sống. kiến thức ở mức độ tương tự như các con số và số học là cần thiết khi mô tả các mối quan hệ định lượng. Vì vậy, phân tích toán học tạo thành nền tảng của ngôn ngữ và phương pháp toán học để mô tả các biến số và mối quan hệ của chúng. Ngày nay, nếu không có phân tích toán học, không những không thể tính toán quỹ đạo không gian, hoạt động của lò phản ứng hạt nhân, chuyển động của sóng biển và mô hình phát triển lốc xoáy mà còn quản lý kinh tế sản xuất, phân bổ tài nguyên, tổ chức quy trình công nghệ, dự đoán quá trình phản ứng hóa học hoặc sự thay đổi về số lượng các loài khác nhau liên kết với nhau trong tự nhiên động vật và thực vật, bởi vì tất cả những điều này đều là những quá trình năng động.

Toán tiểu học chủ yếu là toán học về các đại lượng không đổi, nó nghiên cứu chủ yếu mối quan hệ giữa các phần tử của hình hình học, tính chất số học của các số và phương trình đại số. Thái độ của nó đối với thực tế ở một mức độ nào đó có thể được so sánh với một nghiên cứu chu đáo, thậm chí kỹ lưỡng và đầy đủ về từng khung hình cố định của một bộ phim ghi lại thế giới sống đang thay đổi, đang phát triển trong chuyển động của nó, tuy nhiên, không thể nhìn thấy được trong một khung hình riêng biệt và điều này chỉ có thể được quan sát bằng cách nhìn toàn bộ cuốn băng. Nhưng cũng giống như điện ảnh không thể tưởng tượng được nếu không có nhiếp ảnh, toán học hiện đại cũng không thể không có phần mà chúng ta thường gọi là cơ bản, không có ý tưởng và thành tựu của nhiều nhà khoa học xuất sắc, đôi khi cách nhau hàng chục thế kỷ.

Toán học là sự thống nhất, và phần “cao hơn” của nó được kết nối với phần “sơ cấp” giống như cách tầng tiếp theo của một ngôi nhà đang xây dựng được kết nối với tầng trước và chiều rộng của những chân trời mà toán học mở ra đối với chúng ta trong thế giới xung quanh chúng ta phụ thuộc vào việc chúng ta đã leo lên được tầng nào của tòa nhà này. Ra đời vào thế kỷ 17. phân tích toán học đã mở ra khả năng mô tả khoa học, nghiên cứu định lượng và định tính về các biến số và chuyển động theo nghĩa rộng của từ này.

Các điều kiện tiên quyết cho sự xuất hiện của phân tích toán học là gì?

Đến cuối thế kỷ 17. Tình huống sau đây đã phát sinh. Thứ nhất, trong khuôn khổ toán học qua nhiều năm đã tích lũy một số lớp bài toán quan trọng cùng loại (ví dụ bài toán đo diện tích và thể tích của các hình không chuẩn, bài toán vẽ tiếp tuyến với đường cong) và phương pháp giải chúng trong những trường hợp đặc biệt khác nhau đã xuất hiện. Thứ hai, hóa ra những vấn đề này có liên quan chặt chẽ đến các vấn đề mô tả chuyển động cơ học tùy ý (không nhất thiết phải đồng nhất), và đặc biệt với việc tính toán các đặc tính tức thời của nó (tốc độ, gia tốc tại bất kỳ thời điểm nào), cũng như việc tìm ra quãng đường di chuyển khi chuyển động xảy ra ở một tốc độ thay đổi nhất định. Giải pháp cho những vấn đề này là cần thiết cho sự phát triển của vật lý, thiên văn học và công nghệ.

Cuối cùng, thứ ba, vào giữa thế kỷ 17. các tác phẩm của R. Descartes và P. Fermat đã đặt nền móng cho phương pháp giải tích tọa độ (cái gọi là hình học giải tích), giúp hình thành các bài toán hình học và vật lý có nguồn gốc không đồng nhất bằng ngôn ngữ tổng quát (phân tích) của các con số và sự phụ thuộc số, hay, như chúng ta nói bây giờ, các hàm số.

NIKOLAY NIKOLAEVICH LUZIN
(1883-1950)

N. N. Luzin - Nhà toán học Liên Xô, người sáng lập trường phái lý thuyết hàm số Liên Xô, viện sĩ (1929).

Luzin sinh ra ở Tomsk và học tại nhà thi đấu Tomsk. Chủ nghĩa hình thức của khóa học toán thể dục đã khiến chàng trai trẻ tài năng xa lánh, và chỉ một gia sư có năng lực mới có thể tiết lộ cho anh vẻ đẹp và sự vĩ đại của khoa học toán học.

Năm 1901, Luzin vào khoa toán của Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Moscow. Ngay từ những năm đầu tiên đi học, các vấn đề liên quan đến vô cực đã lọt vào vòng quan tâm của anh. Vào cuối thế kỷ 19. Nhà khoa học người Đức G. Cantor đã tạo ra lý thuyết tổng quát về tập hợp vô hạn, lý thuyết này nhận được nhiều ứng dụng trong nghiên cứu các hàm gián đoạn. Luzin bắt đầu nghiên cứu lý thuyết này, nhưng việc học của ông bị gián đoạn vào năm 1905. Người sinh viên tham gia hoạt động cách mạng phải rời Pháp một thời gian. Ở đó, ông đã nghe các bài giảng của các nhà toán học Pháp lỗi lạc nhất thời bấy giờ. Khi trở về Nga, Luzin tốt nghiệp đại học và được chuẩn bị cho chức giáo sư. Chẳng bao lâu sau, ông lại đến Paris, rồi đến Göttingen, nơi ông trở nên thân thiết với nhiều nhà khoa học và viết những công trình khoa học đầu tiên của mình.

Vấn đề chính mà nhà khoa học quan tâm là câu hỏi liệu có thể có các tập hợp chứa nhiều phần tử hơn tập hợp số tự nhiên nhưng nhỏ hơn tập hợp các điểm trên một đoạn thẳng hay không (bài toán liên tục).

Năm 1917 Luzin trở thành giáo sư tại Đại học Moscow. Là một giáo viên tài năng, ông đã thu hút được những học sinh có năng lực nhất và các nhà toán học trẻ. Trường học của Luzin đạt đến đỉnh cao trong những năm đầu tiên sau cách mạng. Các sinh viên của Luzin đã thành lập một nhóm sáng tạo mà họ gọi đùa là “Lusitania”. Nhiều người trong số họ đã đạt được kết quả khoa học hạng nhất khi còn là sinh viên. Ví dụ, P. S. Aleksandrov và M. Ya. Suslin (1894-1919) đã phát hiện ra một phương pháp mới để xây dựng các tập hợp, đánh dấu sự khởi đầu cho sự phát triển của một hướng mới - lý thuyết tập hợp mô tả. Nghiên cứu trong lĩnh vực này do Luzin và các sinh viên của ông thực hiện cho thấy rằng các phương pháp lý thuyết tập hợp thông thường không đủ để giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh trong đó. Những dự đoán khoa học của Luzin đã được xác nhận đầy đủ vào những năm 60. Thế kỷ XX Nhiều sinh viên của N. N. Luzin sau này đã trở thành học giả và thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Trong số đó có P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentyev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov.

L. G. Shnirelman và những người khác.

Các nhà toán học hiện đại của Liên Xô và nước ngoài trong công trình của họ đã phát triển các ý tưởng của N. N. Luzin.

Sự kết hợp của những hoàn cảnh này đã dẫn đến thực tế là vào cuối thế kỷ 17. hai nhà khoa học - I. Newton và G. Leibniz - độc lập với nhau đã tạo ra một bộ máy toán học để giải các bài toán này, tổng hợp và khái quát hóa các kết quả riêng lẻ của những người đi trước, bao gồm cả nhà khoa học cổ đại Archimedes và những người cùng thời với Newton và Leibniz - B. Cavalieri, B. Pascal , D. Gregory, I. Barrow. Bộ máy này đã hình thành nền tảng của phân tích toán học - một nhánh toán học mới nghiên cứu các quá trình phát triển khác nhau, tức là. mối quan hệ giữa các biến, mà trong toán học được gọi là phụ thuộc hàm hay nói cách khác là hàm. Nhân tiện, bản thân thuật ngữ “chức năng” đã được yêu cầu và xuất hiện một cách tự nhiên vào thế kỷ 17, và đến nay nó không chỉ có ý nghĩa toán học tổng quát mà còn có ý nghĩa khoa học nói chung.

Thông tin ban đầu về các khái niệm cơ bản và bộ máy phân tích toán học được đưa ra trong các bài “Phép vi phân” và “Phép tích phân”.

Chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ minh họa và so sánh.

Đôi khi chúng ta không còn nhận ra rằng, chẳng hạn, một quan hệ toán học được viết không phải cho quả táo, cái ghế hay con voi mà ở dạng trừu tượng được trừu tượng hóa từ những vật thể cụ thể, là một thành tựu khoa học xuất sắc. Đây là một định luật toán học, như kinh nghiệm cho thấy, có thể áp dụng cho nhiều đối tượng cụ thể khác nhau. Điều này có nghĩa là bằng cách nghiên cứu trong toán học các tính chất chung của các con số trừu tượng, trừu tượng, từ đó chúng ta nghiên cứu được các mối quan hệ định lượng của thế giới thực.

Ví dụ, từ một môn toán ở trường đã biết, nên trong một tình huống cụ thể, bạn có thể nói: “Nếu họ không cho tôi hai xe ben 6 tấn để vận chuyển 12 tấn đất thì tôi có thể yêu cầu ba xe ben 4 tấn thì công việc sẽ xong, còn nếu họ chỉ giao cho tôi một xe ben 4 tấn thì cô ấy sẽ phải bay ba chuyến ”. Do đó, những con số trừu tượng và các mẫu số quen thuộc với chúng ta ngày nay đều gắn liền với những biểu hiện và ứng dụng cụ thể của chúng.

Các quy luật thay đổi của các biến số cụ thể và các quá trình phát triển của tự nhiên có liên quan gần giống như hàm dạng trừu tượng, trừu tượng mà chúng xuất hiện và được nghiên cứu trong phân tích toán học.

Ví dụ: một tỷ lệ trừu tượng có thể phản ánh sự phụ thuộc của doanh thu phòng vé của rạp chiếu phim vào số lượng vé bán ra, nếu 20 là 20 kopecks - giá của một vé. Nhưng nếu chúng ta đang đi xe đạp trên đường cao tốc, di chuyển với tốc độ 20 km một giờ, thì tỷ lệ tương tự này có thể được hiểu là mối quan hệ giữa thời gian (giờ) chuyến đi xe đạp của chúng ta và quãng đường mà bạn đã đi được trong thời gian này (km). luôn khẳng định rằng, chẳng hạn, một sự thay đổi nhiều lần sẽ dẫn đến một sự thay đổi tỷ lệ (tức là, cùng số lần) trong giá trị của , và nếu , thì kết luận ngược lại cũng đúng. Điều này có nghĩa là, đặc biệt, để tăng gấp đôi doanh thu phòng vé của rạp chiếu phim, bạn sẽ phải thu hút số lượng khán giả gấp đôi, và để đi xa gấp đôi bằng xe đạp với cùng tốc độ, bạn sẽ phải đạp xe với quãng đường dài gấp đôi. .

Toán học nghiên cứu cả sự phụ thuộc đơn giản nhất và những sự phụ thuộc khác phức tạp hơn nhiều ở dạng tổng quát, trừu tượng, được trừu tượng hóa từ một cách giải thích cụ thể. Các thuộc tính của hàm hoặc phương pháp nghiên cứu các thuộc tính này được xác định trong nghiên cứu đó sẽ mang tính chất của các kỹ thuật toán học nói chung, kết luận, định luật và kết luận áp dụng cho từng hiện tượng cụ thể trong đó hàm nghiên cứu ở dạng trừu tượng xảy ra, bất kể lĩnh vực nào. kiến thức về hiện tượng này.

Vì vậy, phân tích toán học như một nhánh của toán học đã hình thành vào cuối thế kỷ 17. Đối tượng nghiên cứu trong phân tích toán học (theo quan điểm hiện đại) là các hàm số, hay nói cách khác là sự phụ thuộc giữa các đại lượng biến đổi.

Với sự ra đời của phân tích toán học, toán học trở nên dễ tiếp cận hơn trong việc nghiên cứu và phản ánh các quá trình đang phát triển trong thế giới thực; toán học bao gồm các biến số và chuyển động.

Do tính phổ quát của nó, nghiên cứu toán học được sử dụng trong các lĩnh vực rất xa toán học. Điều này được giải thích là do bất kỳ điều khoản, quy tắc hay luật nào được viết bằng ngôn ngữ toán học đều trở thành công cụ dự đoán (dự báo), là nhiệm vụ quan trọng nhất của mọi nghiên cứu khoa học.

Cơ sở của toán học truyền thống (cổ điển) là một hệ thống tiên đề, từ đó kết quả thu được bằng cách suy diễn, được trình bày dưới dạng bổ đề, định lý, v.v. Các giải pháp phân tích thu được trên cơ sở của họ là chính xác trong giới hạn. Trong khuôn khổ các phương pháp này, các câu hỏi về sự tồn tại của các giải pháp, tính duy nhất của chúng, cũng như tính ổn định và hội tụ đến các giải pháp chính xác tuyệt đối với số lượng của chúng tăng lên không giới hạn sẽ được nghiên cứu.

Sự phát triển của các phương pháp như vậy góp phần vào sự phát triển của chính toán học (sự xuất hiện của các nhánh và hướng mới). Tuy nhiên, để giải quyết nhiều vấn đề ứng dụng, chúng tỏ ra không hiệu quả, vì để sử dụng chúng cần phải đưa ra rất nhiều giả định, dẫn đến thực tế là mô hình toán học của quá trình nghiên cứu hóa ra khác biệt đáng kể so với thực tế. quá trình vật lý.

Về vấn đề này, một nhánh nảy sinh trong toán học gọi là toán học ứng dụng. Sự khác biệt chính của nó so với giải pháp truyền thống là ở đây chúng tôi không tìm thấy một giải pháp chính xác mà là một giải pháp gần đúng với độ chính xác đủ cho các ứng dụng kỹ thuật nhưng không tính đến các giả định được đưa ra trong khuôn khổ toán học cổ điển. Độ chính xác của lời giải thu được được đánh giá bằng cách so sánh với lời giải chính xác của bất kỳ bài toán thử nghiệm nào hoặc với kết quả nghiên cứu thực nghiệm.

Các phương pháp toán ứng dụng bao gồm phương pháp biến phân (Ritz, Trefftz, Kantorovich, v.v.), phương pháp trực giao của phần dư có trọng số (Bubnov-Galerkin, Kantorovich), phép sắp xếp thứ tự, khoảnh khắc, bình phương tối thiểu, v.v.; phương pháp vi phân biến phân (phần tử hữu hạn, phần tử biên; phương pháp phổ, v.v.) - Tất cả chúng đều thuộc nhóm được gọi là phương pháp trực tiếp- đây là những phương pháp giải tích gần đúng để giải các bài toán vật lý, làm giảm việc giải các phương trình vi phân và tích phân thành giải các hệ phương trình tuyến tính đại số. Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn về trình tự thời gian phát triển của các phương pháp này và bản chất vật lý của chúng.

Năm 1662, nhà toán học người Pháp P. Fermat đã xây dựng định luật khúc xạ ánh sáng tại ranh giới của hai môi trường như sau: của tất cả các đường đi có thể có của ánh sáng từ một điểm MỘT chỉ vào TRONG thời điểm mà thời gian chuyển động đạt đến mức tối thiểu được thực hiện. Đây là một trong những công thức đầu tiên của nguyên lý biến phân.

Năm 1696, I. Bernoulli đã đưa ra bài toán tìm độ dài đường đi (quỹ đạo) mà một điểm vật chất di chuyển từ một điểm MỘT chỉ dưới tác dụng của trọng lực thì đạt đến điểm đó trong thời gian ngắn nhất TRONG. Tìm một đường cong như vậy, được gọi là vòng quay đồng hồ(đường cong dốc nhất), giảm xuống mức xác định mức tối thiểu của hàm số

trong điều kiện biên Tại (0) = 0; y(a) = y a,đó là tọa độ của điểm bắt đầu và điểm kết thúc của chuyển động.

Đây T - thời điểm xuống dốc nhất; g- gia tốc trọng trường.

Giới thiệu chức năng (MỘT)đánh dấu sự khởi đầu của sự xuất hiện của phép tính biến phân. Các hàm như vậy thường được viết như sau:

trong điều kiện biên y(a) = A = hằng số, y(b) = B= hằng số.

Thông thường trong các bài toán vật lý người ta tìm cực trị của một số hàm Tại = y(x).Ý nghĩa của phép tính biến phân nằm ở chỗ ở đây xác định được cực trị của các đại lượng phức tạp hơn hàm số - cực trị của hàm số J =J từ hàm y(x). Trong mối liên hệ này, các cơ hội đã mở ra cho việc nghiên cứu các vật thể vật lý mới và phát triển các hướng toán học mới.

Năm 1774 L. Euler đã chỉ ra rằng nếu hàm y(x) mang lại giá trị tối thiểu cho tích phân tuyến tính J = J[y(x), thì nó phải thỏa mãn một số phương trình vi phân, sau đó được gọi là các phương trình Euler. Việc phát hiện ra thực tế này là một thành tựu quan trọng trong mô hình toán học (xây dựng mô hình toán học). Rõ ràng là cùng một mô hình toán học có thể được biểu diễn dưới hai dạng tương đương: dưới dạng hàm số hoặc dưới dạng phương trình vi phân Euler (một hệ phương trình vi phân). Về vấn đề này, việc thay thế một phương trình vi phân bằng một hàm số được gọi là bài toán nghịch đảo của phép tính biến phân. Vì vậy, lời giải của bài toán cực trị của một hàm có thể được xem xét giống như lời giải của phương trình vi phân Euler tương ứng với hàm này. Do đó, công thức toán học của cùng một bài toán vật lý có thể được trình bày dưới dạng hàm với các điều kiện biên tương ứng (cực trị của hàm này cung cấp lời giải cho bài toán vật lý) hoặc dưới dạng phương trình vi phân Euler tương ứng. cho hàm này với cùng điều kiện biên (tích phân phương trình này sẽ đưa ra lời giải cho bài toán).

Việc phổ biến rộng rãi các phương pháp biến phân trong khoa học ứng dụng được tạo điều kiện thuận lợi nhờ sự xuất hiện vào năm 1908 của một ấn phẩm của W. Ritz, gắn liền với phương pháp cực tiểu hóa hàm số, sau này được gọi là Phương pháp Ritz. Phương pháp này được coi là phương pháp biến phân cổ điển. Ý tưởng chính của nó là chức năng mong muốn y = y(x) y cung cấp chức năng (A ) Vớiđiều kiện biên y (a) = A, y (b) = TRONG giá trị tối thiểu, được tìm kiếm dưới dạng chuỗi

Ở đâu Cj (tôi = 0, yy) - hệ số chưa biết; (r/(d) (r = 0, P) - các hàm tọa độ (polyp đại số hoặc lượng giác).

Các hàm tọa độ được tìm thấy ở dạng sao cho chúng thỏa mãn chính xác các điều kiện biên của bài toán.

Thay (c) vào (A), sau khi xác định đạo hàm của hàm số J từ các ẩn số C, (r = 0, r) đối với ẩn số sau, thu được hệ phương trình tuyến tính đại số. Sau khi xác định được các hệ số C, nghiệm của bài toán ở dạng đóng được tìm từ (c).

Khi sử dụng một số lượng lớn các số hạng (c) (P- 5? °о) về nguyên tắc có thể thu được lời giải có độ chính xác cần thiết. Tuy nhiên, làm thế nào trình bày cách tính các bài toán cụ thể, ma trận hệ số C, (g = 0, P) là một ma trận vuông chứa đầy các hệ số có giá trị tuyệt đối. Những ma trận như vậy gần với số ít và theo quy luật là không có điều kiện. Điều này là do chúng không thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào mà theo đó ma trận có thể được điều hòa tốt. Chúng ta hãy xem xét một số điều kiện này.

  • 1. Độ xác định dương của ma trận (các số hạng nằm trên đường chéo chính phải dương và lớn nhất).
  • 2. Chế độ xem dải băng của ma trận so với đường chéo chính có chiều rộng tối thiểu của băng (các hệ số ma trận nằm bên ngoài băng bằng 0).
  • 3. Tính đối xứng của ma trận so với đường chéo chính.

Về vấn đề này, với các phép tính gần đúng ngày càng tăng trong phương pháp Ritz, số điều kiện của ma trận, được xác định bằng tỷ lệ giá trị riêng cực đại và cực tiểu của nó, có xu hướng đạt đến giá trị vô cùng lớn. Và độ chính xác của lời giải thu được, do sự tích lũy nhanh chóng của các sai số làm tròn khi giải các hệ phương trình tuyến tính đại số lớn, có thể không cải thiện mà còn trở nên tồi tệ hơn.

Cùng với phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin có liên quan đã phát triển. Năm 1913, I. G. Bubnov đã thiết lập các phương trình tuyến tính đại số đối với ẩn số C, (/ = 0, N) từ (c) có thể thu được mà không cần sử dụng hàm có dạng (A). Công thức toán học của bài toán trong trường hợp này bao gồm một phương trình vi phân với các điều kiện biên thích hợp. Lời giải, như trong phương pháp Ritz, được thực hiện ở dạng (c). Nhờ thiết kế đặc biệt các hàm tọa độ φ,(x), nghiệm (c) thỏa mãn chính xác điều kiện biên của bài toán. Để xác định các hệ số C chưa biết, (g = 0, P) sự sai phân của phương trình vi phân được biên soạn và sự sai phân bắt buộc phải trực giao với tất cả các hàm tọa độ φ 7 Cr) (/ = tôi = 0, P). Xác định người nhận Có tích phân đối với các hệ số C chưa biết, (G= 0, r) ta thu được hệ phương trình tuyến tính đại số hoàn toàn trùng khớp với hệ phương trình tương tự của phương pháp Ritz. Do đó, khi giải các bài toán giống nhau bằng cách sử dụng cùng hệ tọa độ, phương pháp Ritz và Bubnov-Galerkin đều dẫn đến kết quả như nhau.

Mặc dù các kết quả thu được giống nhau, nhưng một ưu điểm quan trọng của phương pháp Bubnov-Galerkin so với phương pháp Ritz là nó không yêu cầu xây dựng một dạng biến phân tương tự (hàm) của phương trình vi phân. Lưu ý rằng không phải lúc nào cũng có thể xây dựng được một chất tương tự như vậy. Liên quan đến phương pháp Bubnov-Galerkin này, các vấn đề mà các phương pháp biến phân cổ điển không thể áp dụng được có thể được giải quyết.

Một phương pháp khác thuộc nhóm biến phân là phương pháp Kantorovich. Đặc điểm nổi bật của nó là các hệ số chưa biết trong tổ hợp tuyến tính loại (c) không phải là hằng số mà là các hàm phụ thuộc vào một trong các biến độc lập của bài toán (ví dụ: thời gian). Ở đây, giống như trong phương pháp Bubnov-Galerkin, sai phân của phương trình vi phân được tổng hợp và sai phân bắt buộc phải trực giao với tất cả các hàm tọa độ (ру(дг) (j = tôi = 0, P). Sau khi xác định tích phân đối với các hàm chưa biết fj(x) ta sẽ có hệ phương trình vi phân thường cấp một. Các phương pháp giải các hệ thống như vậy đã được phát triển tốt (có sẵn các chương trình máy tính tiêu chuẩn).

Một trong những hướng giải quyết các bài toán giá trị biên là sử dụng chung các phương pháp phân tích chính xác (Fourier, tích phân, v.v.) và gần đúng (phương sai, phần dư có trọng số, phép sắp xếp, v.v.). Cách tiếp cận tích hợp như vậy giúp có thể tận dụng tốt nhất các khía cạnh tích cực của hai công cụ quan trọng nhất của toán học ứng dụng này, vì có thể thu được các biểu thức ở dạng đơn giản tương đương mà không cần thực hiện các phép tính phức tạp và rườm rà. đến phần chính của lời giải chính xác, bao gồm một chuỗi hàm vô hạn. Đối với các tính toán thực tế, theo quy luật, tổng một phần của một số thuật ngữ được sử dụng. Khi sử dụng các phương pháp như vậy, để thu được kết quả chính xác hơn ở phần đầu của tọa độ parabol, cần phải thực hiện một số lượng lớn các phép tính gần đúng. Tuy nhiên, với quy mô lớn N các hàm tọa độ với các chỉ số liền kề dẫn đến các phương trình đại số liên quan bởi một mối quan hệ gần như tuyến tính. Ma trận hệ số trong trường hợp này, là ma trận vuông đầy, gần với số ít và theo quy luật, hóa ra là ma trận không điều kiện. Và khi nào N- 3? °° lời giải gần đúng có thể không hội tụ ngay cả với lời giải có độ chính xác yếu. Việc giải các hệ phương trình tuyến tính đại số bằng ma trận điều hòa kém gây ra những khó khăn kỹ thuật đáng kể do sự tích tụ nhanh chóng các sai số làm tròn. Vì vậy, các hệ phương trình như vậy phải được giải với độ chính xác cao của các phép tính trung gian.

Một vị trí đặc biệt trong số các phương pháp phân tích gần đúng giúp thu được nghiệm phân tích trong phần đầu của tọa độ thời gian (parabol) bị chiếm giữ bởi các phương pháp sử dụng khái niệm trước sự xáo trộn nhiệt độ. Theo các phương pháp này, toàn bộ quá trình làm nóng hoặc làm mát vật thể chính thức được chia thành hai giai đoạn. Đầu tiên trong số chúng được đặc trưng bởi sự lan truyền dần dần của mặt trước của sự xáo trộn nhiệt độ từ bề mặt cơ thể đến trung tâm của nó, và lần thứ hai là sự thay đổi nhiệt độ trong toàn bộ thể tích của cơ thể cho đến khi bắt đầu trạng thái đứng yên. Việc phân chia quá trình nhiệt thành hai giai đoạn theo thời gian cho phép giải quyết từng bước các vấn đề về độ dẫn nhiệt không cố định và cho từng giai đoạn riêng biệt, theo quy luật, đã có trong phép tính gần đúng đầu tiên, tìm ra các công thức tính toán thỏa đáng chính xác, khá đơn giản và thuận tiện trong các ứng dụng kỹ thuật. Các phương pháp này cũng có một nhược điểm đáng kể, đó là cần có sự lựa chọn tiên nghiệm về sự phụ thuộc tọa độ của hàm nhiệt độ mong muốn. Thông thường parabol bậc hai hoặc bậc ba được chấp nhận. Sự mơ hồ này của lời giải làm phát sinh vấn đề về độ chính xác, vì giả sử trước một hoặc một cấu hình khác của trường nhiệt độ, mỗi lần chúng ta sẽ thu được các kết quả cuối cùng khác nhau.

Trong số các phương pháp sử dụng ý tưởng về tốc độ chuyển động hữu hạn của mặt trước nhiễu loạn nhiệt độ, phổ biến nhất là phương pháp cân bằng nhiệt tích phân. Với sự trợ giúp của nó, phương trình vi phân từng phần có thể được rút gọn thành phương trình vi phân thông thường với các điều kiện ban đầu cho trước, nghiệm của phương trình này thường có thể thu được ở dạng phân tích kín. Ví dụ, phương pháp tích phân có thể được sử dụng để giải gần đúng các bài toán khi các tính chất vật lý nhiệt không cố định mà được xác định bởi sự phụ thuộc hàm phức tạp và các bài toán trong đó cùng với tính dẫn nhiệt, sự đối lưu cũng phải được tính đến. Phương pháp tích phân cũng có nhược điểm đã nêu ở trên - sự lựa chọn tiên nghiệm về cấu hình nhiệt độ, dẫn đến vấn đề về tính duy nhất của giải pháp và dẫn đến độ chính xác thấp của nó.

Vô số ví dụ về việc áp dụng phương pháp tích phân để giải các bài toán dẫn nhiệt được đưa ra trong tác phẩm của T. Goodman. Trong tác phẩm này, cùng với việc minh họa những khả năng to lớn, những hạn chế của nó cũng được thể hiện. Vì vậy, mặc dù thực tế là nhiều bài toán có thể được giải thành công bằng phương pháp tích phân, nhưng có cả một loại bài toán mà phương pháp này thực tế không thể áp dụng được. Ví dụ, đây là những vấn đề liên quan đến sự thay đổi xung trong các hàm đầu vào. Lý do là vì biểu đồ nhiệt độ ở dạng parabol bậc hai hoặc bậc ba không tương ứng với biểu đồ nhiệt độ thực sự cho các bài toán như vậy. Do đó, nếu sự phân bố nhiệt độ thực sự trong cơ thể đang nghiên cứu có dạng hàm không đơn điệu thì trong mọi trường hợp không thể có được giải pháp thỏa đáng phù hợp với ý nghĩa vật lý của vấn đề.

Một cách rõ ràng để cải thiện độ chính xác của phương pháp tích phân là sử dụng các hàm nhiệt độ đa thức bậc cao hơn. Trong trường hợp này, các điều kiện biên chính và điều kiện trơn ở mặt trước của nhiễu nhiệt độ không đủ để xác định các hệ số của đa thức đó. Về vấn đề này, cần phải tìm kiếm các điều kiện biên còn thiếu, cùng với các điều kiện đã cho, sẽ cho phép chúng ta xác định các hệ số của cấu hình nhiệt độ tối ưu ở bậc cao hơn, có tính đến tất cả các đặc điểm vật lý của vấn đề đang nghiên cứu. Các điều kiện biên bổ sung như vậy có thể thu được từ các điều kiện biên chính và phương trình vi phân ban đầu bằng cách vi phân chúng tại các điểm biên trong tọa độ không gian và theo thời gian.

Khi nghiên cứu các bài toán truyền nhiệt khác nhau, người ta cho rằng các tính chất nhiệt lý không phụ thuộc vào nhiệt độ và các điều kiện tuyến tính được lấy làm điều kiện biên. Tuy nhiên, nếu nhiệt độ cơ thể thay đổi trong một phạm vi rộng thì do sự phụ thuộc của các tính chất vật lý nhiệt vào nhiệt độ, phương trình dẫn nhiệt trở nên phi tuyến. Giải pháp của nó trở nên phức tạp hơn nhiều và các phương pháp phân tích chính xác đã biết hóa ra lại không hiệu quả. Phương pháp cân bằng nhiệt tích phân cho phép khắc phục một số khó khăn liên quan đến tính phi tuyến của bài toán. Ví dụ, nó biến một phương trình vi phân từng phần với các điều kiện biên phi tuyến thành một phương trình vi phân thông thường với các điều kiện ban đầu cho trước, nghiệm của phương trình này thường có thể thu được ở dạng phân tích kín.

Người ta biết rằng các giải pháp phân tích chính xác hiện chỉ thu được cho các vấn đề trong công thức toán học đơn giản hóa, khi nhiều đặc điểm quan trọng của các quá trình không được tính đến (tính phi tuyến, tính biến thiên của các tính chất và điều kiện biên, v.v.). Tất cả điều này dẫn đến sự sai lệch đáng kể của các mô hình toán học so với các quá trình vật lý thực tế xảy ra trong các nhà máy điện cụ thể. Ngoài ra, các nghiệm chính xác được thể hiện bằng chuỗi hàm vô hạn phức tạp, trong vùng lân cận các điểm biên và đối với các giá trị nhỏ của tọa độ thời gian đang dần hội tụ. Những giải pháp như vậy ít được sử dụng cho các ứng dụng kỹ thuật và đặc biệt trong trường hợp giải bài toán nhiệt độ là giai đoạn trung gian trong việc giải một số bài toán khác (bài toán linh hoạt nhiệt, bài toán nghịch đảo, bài toán điều khiển, v.v.). Về vấn đề này, các phương pháp toán ứng dụng được liệt kê ở trên rất được quan tâm, cho phép người ta thu được các nghiệm, mặc dù gần đúng, ở dạng phân tích, với độ chính xác trong nhiều trường hợp đủ cho các ứng dụng kỹ thuật. Những phương pháp này giúp mở rộng đáng kể phạm vi các vấn đề có thể thu được giải pháp phân tích so với các phương pháp cổ điển.

Hãy so sánh phương pháp sử dụng toán học trong nghiên cứu thực tiễn với phương pháp của các ngành khoa học tự nhiên khác. Các ngành khoa học như vật lý, hóa học và sinh học nghiên cứu trực tiếp bản thân vật thể thực (có thể ở quy mô thu nhỏ và trong điều kiện phòng thí nghiệm). Kết quả khoa học sau khi được kiểm chứng cần thiết cũng có thể được áp dụng trực tiếp vào thực tế. Toán học không nghiên cứu bản thân các đối tượng mà nghiên cứu các mô hình của chúng. Việc mô tả đối tượng và cách trình bày bài toán được dịch từ ngôn ngữ thông thường sang “ngôn ngữ toán học” (chính thức hóa), tạo ra một mô hình toán học. Mô hình này được nghiên cứu sâu hơn như một vấn đề toán học. Các kết quả khoa học thu được không được áp dụng ngay vào thực tế vì chúng được xây dựng bằng ngôn ngữ toán học. Do đó, quá trình ngược lại được thực hiện - một cách giải thích có ý nghĩa (theo ngôn ngữ của bài toán ban đầu) về kết quả toán học thu được. Chỉ sau đó câu hỏi về việc áp dụng chúng vào thực tế mới được quyết định.

Một phần không thể thiếu của phương pháp toán học ứng dụng là phân tích toàn diện một vấn đề thực tế, trước khi mô hình hóa toán học của nó. Nhìn chung, việc phân tích vấn đề một cách có hệ thống bao gồm việc thực hiện các bước sau:

· phân tích nhân đạo (tiền toán học) của vấn đề;

· nghiên cứu toán học của vấn đề;

· Ứng dụng các kết quả thu được vào thực tế.

Việc thực hiện phân tích có hệ thống như vậy đối với từng vấn đề cụ thể phải được thực hiện bởi một nhóm nghiên cứu, bao gồm các nhà kinh tế (với tư cách là người đặt ra vấn đề hoặc khách hàng), nhà toán học, luật sư, nhà xã hội học, nhà tâm lý học, nhà sinh thái học, v.v. Hơn nữa, các nhà toán học, với tư cách là nhà nghiên cứu chính, không chỉ nên tham gia vào nhiệm vụ “giải pháp” » mà còn tham gia vào việc xây dựng nhiệm vụ đó cũng như việc triển khai các kết quả trong thực tế.

Để thực hiện nghiên cứu toán học của một bài toán kinh tế, cần thực hiện các bước chính sau:

1. nghiên cứu lĩnh vực chủ đề và xác định mục đích nghiên cứu;

2. hình thành vấn đề;

3. thu thập dữ liệu (thống kê, chuyên gia và những dữ liệu khác);

4. Xây dựng mô hình toán học;

5. Lựa chọn (hoặc phát triển) phương pháp tính toán và xây dựng thuật toán để giải bài toán;

6. Lập trình thuật toán và gỡ lỗi chương trình;

7. kiểm tra chất lượng của mô hình bằng ví dụ kiểm tra;

8. Triển khai kết quả vào thực tế.

Giai đoạn 1 -3 liên quan đến phần tiền toán học của nghiên cứu. Lĩnh vực chủ đề phải được chính các nhà kinh tế học nghiên cứu kỹ lưỡng để họ với tư cách là khách hàng có thể hình thành rõ ràng vấn đề và xác định mục tiêu cho các nhà nghiên cứu. Các nhà nghiên cứu phải được cung cấp tất cả các dữ liệu tài liệu và thống kê cần thiết một cách toàn diện. Các nhà toán học tổ chức, lưu trữ, phân tích và xử lý dữ liệu do khách hàng cung cấp cho họ dưới dạng (điện tử) thuận tiện.

Giai đoạn 4 -7 liên quan đến phần toán học của nghiên cứu. Kết quả của giai đoạn này là việc xây dựng bài toán ban đầu dưới dạng một bài toán nghiêm ngặt. Một mô hình toán học hiếm khi được “chọn lọc” trong số các mô hình đã biết sẵn có (Hình 1.1). Quá trình lựa chọn các tham số mô hình sao cho phù hợp với đối tượng đang nghiên cứu được gọi là nhận dạng mô hình. Dựa trên bản chất của mô hình kết quả (nhiệm vụ) và mục đích của nghiên cứu, một phương pháp đã biết sẽ được chọn hoặc một phương pháp đã biết được điều chỉnh (sửa đổi) hoặc một phương pháp mới được phát triển. Sau đó, một thuật toán (quy trình giải quyết vấn đề) và chương trình máy tính được biên soạn. Các kết quả thu được khi sử dụng chương trình này sẽ được phân tích: các vấn đề kiểm tra được giải quyết, các thay đổi và chỉnh sửa cần thiết được đưa vào thuật toán và chương trình.

Nếu đối với toán học “thuần túy”, truyền thống là chọn một mô hình toán học một lần và xây dựng các giả định một lần khi bắt đầu nghiên cứu, thì trong công việc ứng dụng, việc quay lại mô hình và chỉnh sửa nó sau vòng đầu tiên thường rất hữu ích. tính toán thử nghiệm đã được thực hiện. Hơn nữa, việc so sánh các mô hình thường mang lại hiệu quả khi cùng một hiện tượng được mô tả không phải bằng một mà bằng nhiều mô hình. Nếu kết luận hóa ra là (xấp xỉ) giống nhau đối với các mô hình khác nhau và các phương pháp nghiên cứu khác nhau, thì đây là bằng chứng về tính đúng đắn của các tính toán, tính phù hợp của mô hình đối với chính đối tượng và tính khách quan của các khuyến nghị được đưa ra.

Giai đoạn cuối 8 được thực hiện bởi khách hàng và nhà phát triển mô hình.

Kết quả nghiên cứu toán học (cũng như bất kỳ nghiên cứu khoa học nào) chỉ là khuyến nghị để sử dụng trong thực tế. Quyết định cuối cùng về vấn đề này - có áp dụng mô hình hay không - tùy thuộc vào khách hàng, tức là vào người chịu trách nhiệm về kết quả và về hậu quả mà việc áp dụng các kết quả được đề xuất sẽ dẫn đến.

Để xây dựng mô hình toán học của một nhiệm vụ (bài toán) kinh tế cụ thể, nên thực hiện trình tự công việc sau:

1. xác định các đại lượng đã biết và chưa biết, cũng như các điều kiện và điều kiện tiên quyết hiện có (cái gì đã cho và cái gì cần tìm?);

2. xác định các yếu tố quan trọng nhất của vấn đề;

3. xác định các thông số có thể kiểm soát được và không thể kiểm soát được;

4. Mô tả toán học thông qua các phương trình, bất đẳng thức, hàm số và các mối quan hệ khác giữa các phần tử mô hình (tham số, biến), dựa trên nội dung của bài toán đang xét.

Các tham số đã biết của bài toán liên quan đến mô hình toán học của nó được xem xét bên ngoài(được đưa ra một cách tiên nghiệm, tức là trước khi xây dựng mô hình). Trong tài liệu kinh tế chúng được gọi là biến ngoại sinh. Giá trị của các biến chưa biết ban đầu được tính toán từ kết quả nghiên cứu mô hình, do đó, liên quan đến mô hình, chúng được xem xét nội bộ. Trong tài liệu kinh tế chúng được gọi là biến nội sinh.

TRONG § 2điều quan trọng nhất được hiểu là các yếu tố đóng vai trò quan trọng trong bản thân nhiệm vụ và bằng cách này hay cách khác, ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng. TRONG § 3 có thể điều khiển được là những tham số của một bài toán có thể được đưa ra các giá trị số tùy ý dựa trên các điều kiện của bài toán; không thể kiểm soát được là những tham số có giá trị cố định và không thể thay đổi.

Từ quan điểm của mục đích, chúng ta có thể phân biệt mô hình mô tả Và các mô hình ra quyết định. Mô hình mô tả phản ánh nội dung và tính chất cơ bản của các đối tượng kinh tế như vậy. Với sự giúp đỡ của họ, các giá trị số của các yếu tố và chỉ số kinh tế được tính toán.

Các mô hình ra quyết định giúp tìm ra các phương án tốt nhất cho các chỉ số đã hoạch định hoặc các quyết định quản lý. Trong số đó, ít phức tạp nhất là các mô hình tối ưu hóa, qua đó các nhiệm vụ như lập kế hoạch được mô tả (được mô hình hóa) và phức tạp nhất là các mô hình trò chơi mô tả các vấn đề có tính chất xung đột, có tính đến sự giao thoa của nhiều lợi ích khác nhau. Các mô hình này khác với các mô hình mô tả ở chỗ chúng có khả năng lựa chọn các giá trị của các tham số điều khiển (điều không có trong các mô hình mô tả).

Ví dụ về xây dựng mô hình toán học

Ví dụ 1.1. Hãy để một vùng kinh tế nhất định tự sản xuất một số loại sản phẩm dành riêng cho người dân của vùng đó. Giả định rằng quy trình công nghệ đã được nghiên cứu và nhu cầu của người dân đối với những hàng hóa này đã được nghiên cứu. Cần xác định khối lượng sản phẩm đầu ra hàng năm, có tính đến thực tế là khối lượng này phải cung cấp cả tiêu dùng cuối cùng và tiêu dùng công nghiệp.

Hãy tạo một mô hình toán học của vấn đề này. Theo điều kiện, những điều sau đây được đưa ra: loại sản phẩm, nhu cầu về chúng và quy trình công nghệ; chúng ta cần tìm khối lượng sản lượng của từng loại sản phẩm. Hãy ký hiệu các đại lượng đã biết: - Nhu cầu dân số đối với sản phẩm thứ đó; - số lượng sản phẩm thứ i cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm thứ i bằng công nghệ này . Hãy để chúng tôi biểu thị các đại lượng chưa biết: - khối lượng đầu ra của sản phẩm thứ . Tổng cộng được gọi là vectơ cầu, các con số được gọi là hệ số công nghệ và tổng - vectơ giải phóng. Theo các điều kiện của bài toán, vectơ được phân bổ thành hai phần: dành cho tiêu dùng cuối cùng (vectơ) và dành cho tái tạo (vectơ). Hãy tính phần đó của vectơ dùng để tái tạo. Theo ký hiệu, để sản xuất số lượng sản phẩm thứ i, số lượng sản phẩm thứ i được sử dụng. Sau đó số tiền cho thấy số lượng hàng hóa cần thiết cho toàn bộ sản lượng . Do đó, đẳng thức phải được thỏa mãn:

Tổng quát hóa lý do này cho tất cả các loại sản phẩm, chúng tôi đi đến mô hình mong muốn:

Bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính thu được, chúng ta tìm được vectơ giải phóng cần tìm.

Để viết mô hình này ở dạng (vectơ) nhỏ gọn hơn, chúng tôi đưa ra ký hiệu sau:

Ma trận vuông A (có kích thước) được gọi là ma trận công nghệ. Rõ ràng, mô hình có thể được viết là: hoặc

Chúng tôi đã nhận được mô hình “Đầu vào-Đầu ra” cổ điển của nhà kinh tế học nổi tiếng người Mỹ V. Leontiev.

Ví dụ 1.2. Nhà máy lọc dầu có hai loại dầu: loại - 10 đơn vị, loại - 15 đơn vị. Khi lọc dầu thu được hai nguyên liệu là xăng () và dầu mazut (). Có ba lựa chọn cho quy trình công nghệ xử lý:

TÔI: 1 đơn vị MỘT+ 2 chiếc TRONG cho 3 đơn vị. B+ 2 chiếc M;

II:2 chiếc MỘT+ 1 chiếc TRONG cho 1 đơn vị. B+ 5 chiếc M;

III:2 chiếc MỘT+ 2 chiếc TRONG cho 1 đơn vị. B+ 2 chiếc M.

Giá xăng là 10 USD/đơn vị, giá dầu nhiên liệu là 1 USD/đơn vị. Cần xác định sự kết hợp thuận lợi nhất của các quy trình công nghệ để xử lý lượng dầu sẵn có.

Trước khi lập mô hình, chúng ta hãy làm rõ các điểm sau. Từ các điều kiện của bài toán, có thể hiểu rằng “lợi nhuận” của quy trình công nghệ của nhà máy phải được hiểu theo nghĩa là thu được thu nhập tối đa từ việc bán thành phẩm của mình (xăng và dầu mazut). Về vấn đề này, rõ ràng là “quyết định (ra) lựa chọn” của nhà máy bao gồm việc xác định công nghệ nào sẽ áp dụng và bao nhiêu lần. Rõ ràng, có khá nhiều lựa chọn khả thi như vậy.

Hãy ký hiệu các đại lượng chưa biết: - khối lượng sử dụng của quy trình công nghệ. Các thông số mô hình khác (dự trữ dầu, giá xăng và dầu mazut) được biết đến.

Sau đó, một quyết định cụ thể của nhà máy là chọn một vectơ mà doanh thu của nhà máy bằng đô la Ở đây, 32 đô la là thu nhập nhận được từ một lần áp dụng quy trình công nghệ đầu tiên ($10 3 đơn vị. B+ 1 đô la 2 đơn vị M= $32). Hệ số 15 và 12 tương ứng cho quy trình công nghệ thứ hai và thứ ba có ý nghĩa tương tự. Việc hạch toán trữ lượng dầu dẫn đến các điều kiện sau:

cho sự đa dạng MỘT: ,

cho sự đa dạng TRONG: ,

trong đó hệ số bất bình đẳng đầu tiên 1, 2, 2 là mức tiêu thụ của loại dầu MỘT sử dụng một lần quy trình công nghệ TÔI, II, III tương ứng. Các hệ số của bất đẳng thức thứ hai có ý nghĩa tương tự đối với loại dầu TRONG.

Mô hình toán học nói chung có dạng:

Tìm một vectơ sao cho

tối đa hóa

phải tuân theo các điều kiện sau:

,

,

.

Dạng rút gọn của mục này là:

dưới những hạn chế

, (1.4.2)

,

Chúng ta đã gặp được bài toán quy hoạch tuyến tính. Mô hình (1.4.2.) là một ví dụ về mô hình tối ưu hóa thuộc loại xác định (với các phần tử được xác định rõ).

Ví dụ 1.3. Nhà đầu tư cần xác định sự kết hợp tốt nhất giữa cổ phiếu, trái phiếu và các chứng khoán khác để mua với số tiền nhất định nhằm thu được lợi nhuận nhất định với rủi ro tối thiểu cho bản thân. Lợi nhuận cho mỗi đô la đầu tư vào loại chứng khoán này được đặc trưng bởi hai chỉ số: lợi nhuận kỳ vọng và lợi nhuận thực tế. Đối với một nhà đầu tư, điều mong muốn là lợi nhuận kỳ vọng trên mỗi đô la đầu tư không thấp hơn giá trị nhất định đối với toàn bộ tập hợp chứng khoán. Lưu ý rằng để mô hình hóa chính xác bài toán này đòi hỏi người làm toán phải có những kiến ​​thức cơ bản nhất định trong lĩnh vực lý thuyết danh mục đầu tư chứng khoán. Hãy để chúng tôi biểu thị các tham số đã biết của bài toán: - số loại chứng khoán; - lợi nhuận thực tế (số ngẫu nhiên) từ loại chứng khoán thứ - lợi nhuận dự kiến ​​từ loại chứng khoán thứ -. Hãy để chúng tôi biểu thị số lượng chưa biết: - quỹ được phân bổ để mua loại chứng khoán . Do ký hiệu, toàn bộ số tiền đầu tư được xác định là . Để đơn giản hóa mô hình, chúng tôi giới thiệu các đại lượng mới

Vì vậy, đây là phần của tất cả các quỹ được phân bổ để mua các loại chứng khoán. Rõ ràng là vậy. Từ các điều kiện của bài toán, rõ ràng mục tiêu của nhà đầu tư là đạt được một mức lợi nhuận nhất định với rủi ro tối thiểu. Về bản chất, rủi ro là thước đo độ lệch của lợi nhuận thực tế so với lợi nhuận dự kiến. Vì vậy nó có thể được xác định bằng hiệp phương sai

lợi nhuận cho các loại chứng khoán và loại. Đây M- chỉ định kỳ vọng toán học. Mô hình toán học của bài toán ban đầu có dạng:

(1.4.3)

Chúng tôi đã thu được mô hình Markowitz nổi tiếng để tối ưu hóa cấu trúc danh mục chứng khoán. Mô hình (1.4.3.) là một ví dụ về mô hình tối ưu hóa kiểu ngẫu nhiên (với các yếu tố ngẫu nhiên).

Ví dụ 1.4. Trên cơ sở một tổ chức thương mại, có các loại sản phẩm thuộc loại tối thiểu. Chỉ một loại sản phẩm nhất định phải được mang vào cửa hàng. Bạn cần lựa chọn loại sản phẩm phù hợp để mang vào cửa hàng. Nếu sản phẩm thuộc loại này có nhu cầu thì cửa hàng sẽ kiếm được lợi nhuận từ việc bán nó, nhưng nếu không có nhu cầu thì cửa hàng sẽ thua lỗ.

Tuy nhiên, phép tính mới như một hệ thống được tạo ra hoàn toàn bởi Newton, tuy nhiên, ông đã không công bố những khám phá của mình trong một thời gian dài.

Ngày chính thức ra đời của phép tính vi phân có thể được coi là tháng 5, khi Leibniz xuất bản bài báo đầu tiên của mình "Một phương pháp mới về mức cao và mức thấp ...". Bài viết này, dưới dạng ngắn gọn và dễ tiếp cận, đặt ra các nguyên tắc của một phương pháp mới gọi là phép tính vi phân.

Leibniz và các học trò của ông

Các định nghĩa này được giải thích về mặt hình học, trong khi ở Hình 2. số gia tăng vô hạn được mô tả là hữu hạn. Việc xem xét dựa trên hai yêu cầu (tiên đề). Đầu tiên:

Yêu cầu là hai đại lượng chỉ khác nhau một lượng vô cùng nhỏ có thể được lấy [khi đơn giản hóa các biểu thức?] một cách thờ ơ thay vì đại lượng kia.

Sự tiếp tục của mỗi đường như vậy được gọi là tiếp tuyến của đường cong. Nghiên cứu tiếp tuyến đi qua điểm, L'Hopital rất coi trọng đại lượng

,

đạt giá trị cực trị tại các điểm uốn của đường cong, trong khi mối quan hệ với không có ý nghĩa đặc biệt nào.

Điều đáng chú ý là tìm điểm cực trị. Nếu, khi đường kính tăng liên tục, tọa độ đầu tiên tăng rồi giảm, thì vi phân đầu tiên là dương so với , sau đó là âm.

Nhưng bất kỳ giá trị tăng hoặc giảm liên tục nào cũng không thể chuyển từ dương sang âm mà không đi qua vô cực hoặc 0... Do đó, chênh lệch của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất phải bằng 0 hoặc vô cùng.

Công thức này có lẽ không hoàn hảo, nếu chúng ta nhớ yêu cầu đầu tiên: giả sử, , thì nhờ yêu cầu đầu tiên

;

ở mức 0, vế phải bằng 0 còn vế trái thì không. Rõ ràng đáng lẽ phải nói rằng nó có thể được chuyển đổi theo yêu cầu đầu tiên sao cho đạt đến điểm tối đa . . Trong các ví dụ, mọi thứ đều có thể tự giải thích được, và chỉ trong lý thuyết về điểm uốn, L'Hopital mới viết rằng nó bằng 0 tại điểm cực đại, được chia cho .

Hơn nữa, chỉ với sự trợ giúp của vi phân, các điều kiện cực trị được xây dựng và một số lượng lớn các bài toán phức tạp liên quan chủ yếu đến hình học vi phân trên mặt phẳng được xem xét. Ở cuối cuốn sách, ở chương. 10, đưa ra cái mà ngày nay được gọi là quy tắc L'Hopital, mặc dù ở dạng khác thường. Giả sử tọa độ của đường cong được biểu diễn dưới dạng phân số, tử số và mẫu số của chúng triệt tiêu tại . Khi đó điểm của đường cong c có tọa độ bằng tỉ số giữa vi phân của tử số và vi phân của mẫu số lấy tại .

Theo kế hoạch của L'Hôpital, những gì ông viết là phần đầu tiên của Phân tích, trong khi phần thứ hai được cho là chứa phép tính tích phân, tức là phương pháp tìm mối liên hệ giữa các biến dựa trên mối liên hệ đã biết của vi phân của chúng. Bài trình bày đầu tiên của nó được đưa ra bởi Johann Bernoulli trong Bài giảng toán về phương pháp tích phân. Ở đây trình bày một phương pháp để lấy hầu hết các tích phân cơ bản và các phương pháp giải nhiều phương trình vi phân bậc nhất.

Chỉ ra tính hữu ích thực tế và tính đơn giản của phương pháp mới, Leibniz đã viết:

Những gì một người thông thạo phép tính này có thể nhận được trực tiếp trong ba dòng, những người đàn ông uyên bác khác buộc phải tìm kiếm bằng cách đi theo những con đường vòng phức tạp.

Euler

Những thay đổi xảy ra trong nửa thế kỷ tiếp theo được phản ánh trong luận thuyết sâu rộng của Euler. Phần trình bày phân tích mở đầu bằng phần “Giới thiệu” gồm hai tập, trong đó có nghiên cứu về các cách biểu diễn khác nhau của các hàm cơ bản. Thuật ngữ “hàm” lần đầu tiên chỉ xuất hiện ở Leibniz, nhưng chính Euler là người đưa ra nó. Cách giải thích ban đầu về khái niệm hàm số là hàm số là một biểu thức để đếm (tiếng Đức. Rechnungsausdrϋck) hoặc biểu thức phân tích.

Hàm đại lượng thay đổi là một biểu thức phân tích được tạo theo cách nào đó từ đại lượng và số biến đổi hoặc đại lượng không đổi này.

Nhấn mạnh rằng “sự khác biệt chính giữa các hàm nằm ở cách chúng bao gồm biến và hằng”, Euler liệt kê các hành động “thông qua đó các đại lượng có thể được kết hợp và trộn lẫn với nhau; những hành động này là: cộng và trừ, nhân và chia, lũy thừa và rút ra các nghiệm; Điều này cũng nên bao gồm việc giải các phương trình [đại số]. Ngoài những phép toán này, được gọi là đại số, còn có nhiều phép toán siêu việt khác, chẳng hạn như: hàm mũ, logarit và vô số phép tính khác, được thực hiện bằng phép tính tích phân.” Cách giải thích này giúp bạn có thể dễ dàng xử lý các hàm đa giá trị và không yêu cầu giải thích về trường nào mà hàm đang được xem xét: biểu thức đếm được xác định cho các giá trị phức tạp của các biến ngay cả khi điều này không cần thiết đối với bài toán dưới đây xem xét.

Các hoạt động trong biểu thức chỉ được phép với số lượng hữu hạn và siêu việt được thâm nhập với sự trợ giúp của số lượng lớn vô hạn. Trong biểu thức, số này được sử dụng cùng với số tự nhiên. Ví dụ: biểu thức như vậy cho số mũ được coi là có thể chấp nhận được

,

trong đó chỉ những tác giả sau này mới nhìn thấy sự chuyển đổi cuối cùng. Nhiều phép biến đổi khác nhau được thực hiện với các biểu thức giải tích, cho phép Euler tìm cách biểu diễn các hàm cơ bản dưới dạng chuỗi, tích vô hạn, v.v. Euler biến đổi các biểu thức để đếm giống như trong đại số, mà không chú ý đến khả năng tính giá trị của một hàm tại một điểm cho mỗi công thức được viết.

Không giống như L'Hopital, Euler xem xét chi tiết các hàm siêu việt và đặc biệt là hai lớp được nghiên cứu nhiều nhất của chúng - hàm mũ và lượng giác. Ông phát hiện ra rằng tất cả các hàm cơ bản có thể được biểu diễn bằng các phép tính số học và hai phép tính - lấy logarit và số mũ.

Bản thân chứng minh đã thể hiện một cách hoàn hảo kỹ thuật sử dụng cái vô cùng lớn. Sau khi xác định sin và cosin bằng cách sử dụng đường tròn lượng giác, Euler rút ra kết quả sau từ các công thức cộng:

Giả sử và , anh ta nhận được

,

loại bỏ các đại lượng vô cùng nhỏ của bậc cao hơn. Sử dụng cách diễn đạt này và cách diễn đạt tương tự, Euler đã thu được công thức nổi tiếng của mình

.

Sau khi đã chỉ ra nhiều biểu thức khác nhau cho các hàm mà ngày nay được gọi là cơ bản, Euler chuyển sang xem xét các đường cong trên mặt phẳng được vẽ bằng chuyển động tự do của bàn tay. Theo ý kiến ​​của ông, không thể tìm thấy một biểu thức phân tích duy nhất cho mỗi đường cong như vậy (xem thêm Tranh chấp chuỗi). Vào thế kỷ 19, theo sự xúi giục của Casorati, tuyên bố này bị coi là sai lầm: theo định lý Weierstrass, bất kỳ đường cong liên tục nào theo nghĩa hiện đại đều có thể được mô tả gần đúng bằng đa thức. Trên thực tế, Euler hầu như không bị thuyết phục bởi điều này, vì ông vẫn cần phải viết lại đoạn văn đến giới hạn bằng cách sử dụng ký hiệu.

Euler bắt đầu phần trình bày của mình về phép tính vi phân với lý thuyết về sai phân hữu hạn, tiếp theo ở chương thứ ba là một lời giải thích mang tính triết học rằng “một đại lượng vô cùng nhỏ chính xác bằng 0”, điều này hầu hết không phù hợp với những người cùng thời với Euler. Khi đó, vi phân được hình thành từ sai phân hữu hạn với gia số vô cùng nhỏ và từ công thức nội suy Newton - công thức Taylor. Phương pháp này về cơ bản quay trở lại công trình của Taylor (1715). Trong trường hợp này, Euler có một quan hệ ổn định, tuy nhiên, được coi là quan hệ của hai vô cùng nhỏ. Các chương cuối cùng được dành cho tính toán gần đúng bằng cách sử dụng chuỗi.

Trong bộ ba tập về phép tính tích phân, Euler diễn giải và đưa ra khái niệm tích phân như sau:

Hàm có vi phân được gọi là tích phân và được biểu thị bằng dấu đặt ở phía trước.

Nói chung, phần này trong chuyên luận của Euler được dành cho một vấn đề tổng quát hơn, theo quan điểm hiện đại, về vấn đề tích phân của các phương trình vi phân. Đồng thời, Euler tìm thấy một số phương trình tích phân và vi phân dẫn đến các hàm mới, ví dụ, hàm -, hàm elip, v.v. Một bằng chứng chặt chẽ về tính không cơ bản của chúng đã được Jacobi đưa ra vào những năm 1830 cho các hàm elip và của Liouville (xem các hàm cơ bản).

Lagrange

Công việc quan trọng tiếp theo đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển khái niệm phân tích là Lý thuyết hàm phân tích Lagrange và Lacroix kể lại tác phẩm của Lagrange một cách có phần chiết trung.

Vì muốn loại bỏ hoàn toàn vi phân, Lagrange đã đảo ngược mối liên hệ giữa đạo hàm và chuỗi Taylor. Bằng hàm giải tích Lagrange hiểu một hàm tùy ý được nghiên cứu bằng phương pháp giải tích. Ông đã chỉ định chính hàm này là , đưa ra một cách đồ họa để viết sự phụ thuộc - trước đây Euler chỉ thực hiện với các biến. Để áp dụng các phương pháp phân tích, theo Lagrange, cần phải khai triển hàm số thành một chuỗi

,

các hệ số của nó sẽ là các hàm mới. Vẫn gọi nó là đạo hàm (hệ số vi phân) và ký hiệu là . Vì vậy, khái niệm đạo hàm được giới thiệu ở trang thứ hai của chuyên luận mà không cần sự trợ giúp của vi phân. Vẫn cần lưu ý rằng

,

do đó hệ số này gấp đôi đạo hàm của đạo hàm, tức là

vân vân.

Cách tiếp cận này để giải thích khái niệm đạo hàm được sử dụng trong đại số hiện đại và làm cơ sở cho việc tạo ra lý thuyết về hàm phân tích của Weierstrass.

Lagrange hoạt động với các chuỗi như chuỗi hình thức và thu được một số định lý đáng chú ý. Đặc biệt, lần đầu tiên và khá chặt chẽ ông đã chứng minh được khả năng giải được bài toán ban đầu của phương trình vi phân thường trong chuỗi lũy thừa hình thức.

Câu hỏi đánh giá tính chính xác của các phép tính gần đúng được cung cấp bởi các tổng riêng phần của chuỗi Taylor lần đầu tiên được đặt ra bởi Lagrange: cuối cùng Lý thuyết về hàm phân tíchông đã rút ra cái mà ngày nay gọi là công thức Taylor với số hạng còn lại ở dạng Lagrange. Tuy nhiên, trái ngược với các tác giả hiện đại, Lagrange thấy không cần thiết phải sử dụng kết quả này để biện minh cho sự hội tụ của chuỗi Taylor.

Câu hỏi liệu các hàm được sử dụng trong phân tích có thể thực sự được mở rộng thành chuỗi lũy thừa sau đó đã trở thành chủ đề tranh luận hay không. Tất nhiên, Lagrange biết rằng tại một số điểm, các hàm cơ bản có thể không được khai triển thành chuỗi lũy thừa, nhưng tại những điểm này chúng không khả vi theo bất kỳ nghĩa nào. Cauchy trong anh ấy Phân tích đại số trích dẫn chức năng này như một ví dụ mẫu

mở rộng bằng 0 tại 0. Hàm này trơn ở mọi nơi trên trục thực và tại điểm 0, nó có chuỗi Maclaurin bằng 0, do đó chuỗi này không hội tụ về giá trị . Chống lại ví dụ này, Poisson phản đối rằng Lagrange định nghĩa hàm số như một biểu thức phân tích duy nhất, trong khi trong ví dụ của Cauchy hàm số được định nghĩa khác nhau tại 0 và tại . Chỉ đến cuối thế kỷ 19, Pringsheim mới chứng minh được rằng có một hàm khả vi vô hạn, được cho bởi một biểu thức duy nhất, mà chuỗi Maclaurin phân kỳ. Một ví dụ về hàm như vậy là biểu thức

.

Phát triển hơn nữa

Vào phần ba cuối cùng của thế kỷ 19, Weierstrass đã tính toán phép phân tích, cho rằng sự chứng minh hình học là không đủ và đề xuất một định nghĩa cổ điển về giới hạn thông qua ngôn ngữ ε-δ. Ông cũng là người tạo ra lý thuyết chặt chẽ đầu tiên về tập hợp số thực. Đồng thời, những nỗ lực cải thiện định lý tích phân Riemann đã dẫn đến việc tạo ra một phân loại về tính gián đoạn của các hàm thực. Các ví dụ “bệnh lý” cũng đã được phát hiện (các hàm liên tục không khả vi, các đường cong lấp đầy không gian). Về vấn đề này, Jordan đã phát triển lý thuyết độ đo và Cantor đã phát triển lý thuyết tập hợp, và vào đầu thế kỷ 20, phân tích toán học đã được chính thức hóa với sự giúp đỡ của họ. Một bước phát triển quan trọng khác của thế kỷ 20 là sự phát triển của phân tích phi tiêu chuẩn như một cách tiếp cận thay thế cho phân tích biện minh.

Phần phân tích toán học

  • Không gian mêtric, không gian tôpô

Xem thêm

Thư mục

Bài viết bách khoa

  • // Từ điển bách khoa: St. Petersburg: type. A. Plushara, 1835-1841. Tập 1-17.
  • // Từ điển bách khoa Brockhaus và Efron: Gồm 86 tập (82 tập và 4 tập bổ sung). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Văn học giáo dục

Sách giáo khoa chuẩn

Trong nhiều năm, những cuốn sách giáo khoa sau đây đã phổ biến ở Nga:

  • Courant, R. Khóa học về phép tính vi phân và tích phân (gồm hai tập). Khám phá phương pháp chính của khóa học: đầu tiên, các ý chính được trình bày một cách đơn giản và sau đó chúng được đưa ra bằng chứng xác thực. Được viết bởi Courant khi ông còn là giáo sư tại Đại học Göttingen vào những năm 1920 dưới ảnh hưởng của ý tưởng Klein, sau đó chuyển đến đất Mỹ vào những năm 1930. Bản dịch tiếng Nga năm 1934 và các lần tái bản của nó đưa ra văn bản dựa trên ấn bản tiếng Đức, bản dịch những năm 1960 (được gọi là ấn bản thứ 4) là sự tổng hợp từ phiên bản sách giáo khoa tiếng Đức và Mỹ và do đó rất dài dòng.
  • Fikhtengolts G. M. Một khóa học về phép tính vi phân và tích phân (gồm ba tập) và một cuốn sách giải toán.
  • Demidovich B. P. Tuyển tập các bài toán và bài tập về phân tích toán học.
  • Lyashko I. I. và cộng sự. Sách tham khảo toán cao cấp, tập 1-5.

Một số trường đại học có hướng dẫn phân tích riêng:

  • MSU, Cơ học và Mat:
  • Arkhipov G. I., Sadovnichy V. A., Chubarikov V. N. Bài giảng về toán. Phân tích.
  • Zorich V. A. Phân tích toán học. Phần I. M.: Nauka, 1981. 544 tr.
  • Zorich V. A. Phân tích toán học. Phần II. M.: Nauka, 1984. 640 tr.
  • Kamynin L. I. Khóa học phân tích toán học (gồm hai tập). M.: Nhà xuất bản Đại học Mátxcơva, 2001.
  • V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. H. Sendov. Phân tích toán học / Ed. A. N. Tikhonova. - tái bản lần thứ 3. , đã xử lý và bổ sung - M.: Prospekt, 2006. - ISBN 5-482-00445-7
  • Đại học quốc gia Moscow, khoa vật lý:
  • Ilyin V. A., Poznyak E. G. Nguyên tắc cơ bản của phân tích toán học (gồm hai phần). - M.: Fizmatlit, 2005. - 648 tr. - ISBN 5-9221-0536-1
  • Butuzov V.F và cộng sự. Mat. phân tích câu hỏi và nhiệm vụ
  • Toán ở trường đại học kỹ thuật Tuyển tập sách giáo khoa gồm 21 tập.
  • Đại học bang St. Petersburg, Khoa Vật lý:
  • Smirnov V.I. Giáo trình toán cao cấp, gồm 5 tập. M.: Nauka, 1981 (ấn bản lần thứ 6), BHV-Petersburg, 2008 (ấn bản lần thứ 24).
  • NSU, ​​​​Cơ học và Toán học:
  • Reshetnyak Yu. Giáo trình phân tích toán học. Phần I. Quyển 1. Giới thiệu về giải tích toán học. Phép tính vi phân hàm một biến. Novosibirsk: Nhà xuất bản Viện Toán học, 1999. 454 với ISBN 5-86134-066-8.
  • Reshetnyak Yu. Giáo trình phân tích toán học. Phần I. Quyển 2. Phép tính tích phân hàm số một biến. Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Novosibirsk: Nhà xuất bản Viện Toán học, 1999. 512 với ISBN 5-86134-067-6.
  • Reshetnyak Yu. Giáo trình phân tích toán học. Phần II. Quyển 1. Nguyên tắc cơ bản của giải tích trơn trong không gian đa chiều. Lý thuyết chuỗi. Novosibirsk: Nhà xuất bản Viện Toán học, 2000. 440 với ISBN 5-86134-086-2.
  • Reshetnyak Yu. Giáo trình phân tích toán học. Phần II. Quyển 2. Phép tính tích phân hàm nhiều biến. Phép tính tích phân trên đa tạp. Các dạng vi phân bên ngoài. Novosibirsk: Nhà xuất bản Viện Toán học, 2001. 444 với ISBN 5-86134-089-7.
  • Shvedov I. A. Giáo trình giải tích toán rút gọn,: Phần 1. Hàm số một biến, Phần 2. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
  • MIPT, Moscow
  • Kudryavtsev L. D. Khóa học phân tích toán học (gồm ba tập).
  • BSU, khoa vật lý:
  • Bogdanov Yu. Bài giảng về phân tích toán học (gồm hai phần). - Minsk: BSU, 1974. - 357 tr.

Sách giáo khoa nâng cao

Sách giáo khoa:

  • Rudin U. Nguyên tắc cơ bản của phân tích toán học. M., 1976 - một cuốn sách nhỏ, viết rất rõ ràng và chính xác.

Các vấn đề có độ khó tăng dần:

  • G. Polia, G. Szege, Các vấn đề và định lý từ phân tích. Phần 1, Phần 2, 1978. (Phần lớn tài liệu liên quan đến TFKP)
  • Pascal, E.(Napoli). Esercizii, 1895; tái bản lần 2, 1909 // Lưu trữ Internet

Sách giáo khoa nhân văn

  • A. M. Akhtyamov Toán học dành cho các nhà xã hội học và kinh tế học. - M.: Fizmatlit, 2004.
  • N. Sh. Kremer và những người khác. Toán cao cấp dành cho các nhà kinh tế. Sách giáo khoa. tái bản lần thứ 3. - M.: Thống nhất, 2010

Sách vấn đề

  • G. N. Berman. Tuyển tập các bài toán phục vụ quá trình phân tích toán học: Sách giáo khoa cho các trường đại học. - tái bản lần thứ 20. M.: Khoa học. Tòa soạn chính Văn học Vật lý và Toán học, 1985. - 384 tr.
  • P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Toán cao hơn trong các bài tập và vấn đề. (Gồm 2 phần) - M.: Vyssh.shk, 1986.
  • G. I. Zaporozhets Hướng dẫn giải các bài toán trong giải tích. - M.: Trường Cao Đẳng, 1966.
  • I. A. Kaplan. Bài học thực hành toán cao cấp, gồm 5 phần.. - Nhà xuất bản Kharkov. Bang Kharkov Đại học, 1967, 1971, 1972.
  • A. K. Boyarchuk, G. P. Golovach. Phương trình vi phân trong các ví dụ và bài toán. Mátxcơva. URSS biên tập, 2001.
  • A. V. Panteleev, A. S. Yakimova, A. V. Bosov. Phương trình vi phân thông thường trong các ví dụ và bài toán. “MAI”, 2000
  • A. M. Samoilenko, S. A. Krivosheya, N. A. Perestyuk. Phương trình vi phân: ví dụ và vấn đề. VS, 1989.
  • K. N. Lungu, V. P. Norin, D. T. Pismenny, Yu. Tuyển tập các bài toán cao cấp. khóa học thứ 1. - tái bản lần thứ 7. - M.: Iris-press, 2008.
  • I. A. Maron. Phép tính vi phân và tích phân trong các ví dụ và bài toán (Hàm một biến). - M., Fizmatlit, 1970.
  • V. D. Chernenko. Toán cao cấp trong các ví dụ và bài toán: Sách giáo khoa cho các trường đại học. Gồm 3 tập - St. Petersburg: Politekhnika, 2003.

Thư mục

Tác phẩm kinh điển

Tiểu luận về lịch sử phân tích

  • Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik . 4 tập, Göttingen, 1796-1800
  • Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
  • Lịch sử toán học do A. P. Yushkevich biên tập (gồm ba tập):
  • Tập 1 Từ cổ đại đến đầu thời hiện đại. (1970)
  • Tập 2 Toán học thế kỷ 17. (1970)
  • Tập 3 Toán học thế kỷ 18. (1972)
  • Markushevich A.I. Tiểu luận về lịch sử lý thuyết hàm phân tích. 1951
  • Vileitner G. Lịch sử toán học từ Descartes đến giữa thế kỷ 19. 1960

Ghi chú

  1. Thứ tư, ví dụ: khóa học Cornell Un
  2. Newton I. Công trình toán học. M, 1937.
  3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., tập V, tr. 220-226. Nga. Bản dịch: Uspekhi Mat. Khoa học, tập 3, v. 1(23), tr. 166-173.
  4. L'Hopital. Phân tích vô hạn. M.-L.: GTTI, 1935. (Sau đây gọi là L'Hopital) // Mat. phân tích trên EqWorld
  5. L'Hopital, ch. 1, chắc chắn. 2.
  6. L'Hopital, ch. 4, chắc chắn. 1.
  7. L'Hopital, ch. 1, yêu cầu 1.
  8. L'Hopital, ch. 1, yêu cầu 2.
  9. L'Hopital, ch. 2, chắc chắn.
  10. L'Hopital, § 46.
  11. L'Hopital còn lo lắng về một điều khác: đối với ông độ dài của một đoạn và cần phải giải thích tính tiêu cực của nó có ý nghĩa gì. Nhận xét được đưa ra trong § 8-10 thậm chí có thể được hiểu là khi giảm khi tăng thì nên viết , nhưng điều này không được sử dụng thêm.