Одними з класичних визначеньПоняття «функція» вважаються визначення з урахуванням відповідностей. Наведемо низку таких визначень.
Визначення 1
Залежність, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, називається функцією.
Визначення 2
Нехай дані дві непусті множини $X$ і $Y$. Відповідність $f$, яка кожному $x\in X$ зіставляє один і тільки один $y\in Y$ Називається функцією($ f: X → Y $).
Визначення 3
Нехай $M$ і $N$ - дві довільні числові множини. Кажуть, що на $M$ визначено функцію $f$, що приймає значення з $N$, якщо кожному елементу $x\in X$ поставлений у відповідність один і лише один елемент із $N$.
Наступне визначення дається через поняття змінної величини. Змінною величиною називається величина, яка в даному дослідженніприймає різні числові значення.
Визначення 4
Нехай $M$ - безліч значень змінної величини $x$. Тоді, сіли кожному значення $x\in M$ відповідає одне певне значення іншої змінної величини $y$ є функція величини $x$, визначеної на множині $M$.
Визначення 5
Нехай $X$ і $Y$ - деякі числові множини. Функцією називається безліч $f$ упорядкованих пар чисел $(x,\y)$ таких, що $x\in X$, $y\in Y$ і кожне $x$ входить в одну і лише одну пару цієї множини, а кожне $y$ входить принаймні в одну пару .
Визначення 6
Усяка безліч $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ впорядкованих пар $\left(x,\ y\right)$ таких, що для будь-яких пар $\left(x",\ y" \right)\in f$ і $\left(x"",\ y""\right)\in f$ з умови $y"≠ y""$ слід, що $x"≠x""$ називається функцією або відображенням.
Визначення 7
Функція $f:X → Y$ - це безліч $f$ упорядкованих пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, що для будь-якого елемента $x\in X$ існує єдиний елемент $y\in Y$ такий, що $\left(x,\ y\right)\in f$, тобто функція - кортеж об'єктів $\left(f,\ X,\ Y\right)$.
У цих визначеннях
$x$ - незалежна змінна.
$y$ - залежна змінна.
Усі можливі значеннязмінною $x$ називається областю визначення функції , проте можливі значення змінної $y$ називається областю значення функції.
Аналітичний спосіб завдання функції
Для цього методу нам знадобиться поняття аналітичного виразу.
Визначення 8
Аналітичним виразом називається твір усіх можливих математичних операційнад будь-якими числами та змінними.
Аналітичним способом завдання функції є її завдання з допомогою аналітичного висловлювання.
Приклад 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Плюси:
- За допомогою формул ми можемо визначити значення функції для будь-якого певного значеннязмінною $x$;
- Функції, задані в такий спосіб, можна вивчати за допомогою апарата математичного аналізу.
Мінуси:
- Мала наочність.
- Іноді доводиться робити дуже громіздкі обчислення.
Табличний спосіб завдання функції
Цей спосіб завдання у тому, що з кількох значень незалежної змінної виписуються значення залежної змінної. Все це вноситься до таблиці.
Приклад 2
Малюнок 1.
Плюс:Для будь-якого значення незалежної змінної $x$, яка внесена до таблиці, відразу дізнається відповідне значення функції $y$.
Мінуси:
- Найчастіше ні повного завданняфункції;
- Мала наочність.
функція - це відповідність між елементами двох множин, встановлений за таким правилом, що кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність деякий елемент з іншого множини.
графік функції – це геометричне місцеточок площини, абсциси (x) та ординати (y) яких пов'язані зазначеною функцією:
точка розташовується (або знаходиться) на графіку функції тоді і лише тоді, коли .
Таким чином, функція може адекватно описана своїм графіком.
Табличний спосіб. Досить поширений, полягає у завданні таблиці окремих значеньаргументу та відповідних їм значень функції. Такий спосіб завдання функції застосовується в тому випадку, коли область визначення функції є кінцевим кінцевим безліччю.
При табличному способі завдання функції можна приблизно обчислити значення функції, що не містяться в таблиці, відповідні проміжним значенням аргументу. Для цього використовують спосіб інтерполяції.
Переваги табличного способу завдання функції полягають у тому, що він дає можливість визначити ті чи інші конкретні значеннявідразу, без додаткових вимірів чи обчислень. Проте, у деяких випадках таблиця визначає функцію в повному обсязі, лише для деяких значень аргументу і дає наочного зображення характеру зміни функції залежно від зміни аргументу.
Графічний метод. Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок площини, координати яких задовольняють даному рівнянню.
Графічний спосіб завдання функції який завжди дає можливість точно визначити чисельні значення аргументу. Однак він має велику перевагу перед іншими способами – наочність. У техніці та фізиці часто користуються графічним способом завдання функції, причому графік буває єдино доступним для цього способом.
Щоб графічне завданняфункції було цілком коректним з математичної точки зору, необхідно вказувати точну геометричну конструкцію графіка, яка найчастіше задається рівнянням. Це призводить до наступного способу завдання функції.
Аналітичний метод. Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом та функцією, задається за допомогою формул. Такий спосіб завдання функції називається аналітичним.
Цей спосіб дає можливість за кожним чисельним значенням аргументу x знайти відповідне йому чисельне значенняфункції y точно або з деякою точністю.
Якщо залежність між x та y задана формулою, дозволеної щодо y, тобто. має вигляд y = f(x), то кажуть, що функція від x задана у явному вигляді.
Якщо значення x і y пов'язані деяким рівнянням виду F(x,y) = 0, тобто. формула не дозволяється щодо y, що кажуть, що функція y = f(x) задана неявно.
Функція може бути визначена різними формуламина різних ділянкахобласті свого завдання.
Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом завдання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції при довільному значенніаргумент з області визначення, можливість застосування до даної функції апарату математичного аналізу - основні переваги аналітичного способу завдання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, що компенсується можливістю побудови графіка та необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.
Словесний спосіб. Цей спосіб полягає в тому, що функціональна залежністьвиражається словами.
Приклад 1: функція E(x) – ціла частина числа x. Взагалі через E(x) = [x] позначають найбільше цілих чисел, яке перевищує x. Іншими словами, якщо x = r + q, де r - ціле число (може бути і негативним) і q належить інтервалу = r. Функція E(x) = [x] стала на проміжку = r.
Приклад 2: функція y = (x) - дробова частиначисла. Точніше y = (x) = x - [x], де [x] - ціла частина числа x. Ця функція визначена всім x. Якщо x - довільне число, то представивши його у вигляді x = r + q (r = [x]), де r - ціле число і q лежить в інтервалі.
Ми бачимо, що додавання n до аргументу x не змінює значення функції.
Найменше відмінне від нуля число з n є таким чином, це період sin 2x .
Значення аргументу, у якому функція дорівнює 0, називається нулем (корінням) функції.
Функція може мати кілька нулів.
Наприклад, функція y = x (x + 1) (x-3)має три нулі: x = 0, x = - 1, x = 3.
Геометрично нуль функції – це абсциса точки перетину графіка функції з віссю Х .
На рис.7 представлений графік функції з нулями: x = a, x = b і x = c.
Якщо графік функції необмежено наближається до деякої прямої при віддаленні від початку координат, то ця пряма називається асимптотою.
Зворотня функція
Нехай задана функція у=ƒ(х) з областю визначення D та безліччю значень Е. Якщо кожному значенню уєЕ відповідає єдине значення хеD, то визначено функцію х=φ(у) з областю визначення Е та множиною значень D (див. рис. 102 ).
Така функція φ(у) називається зворотною до функції ƒ(х) і записується в наступному вигляді: х = j (y) = f -1 (y). Про функції у = ƒ (х) і х = φ (у) говорять, що вони взаємно зворотні. Щоб знайти функцію х=φ(у), зворотну до функції у=ƒ(х), достатньо вирішити рівняння ƒ(х)=у щодо х (якщо це можливо).
1. Для функції у=2х зворотною функцією є функція х=у/2;
2.Для функції у=х2 хе зворотною функцією є х=√у; зауважимо, що для функції у=х 2 заданої на відрізку [-1; 1], зворотної не існує, тому що одному значенню відповідає два значення х (так, якщо у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).
З визначення зворотної функції випливає, що функція у = ƒ (х) має зворотну тоді і тільки тоді, коли функція ƒ (х) задає взаємно однозначну відповідність між множинами D і Е. Звідси випливає, що будь-яка суворо монотонна функціямає зворотну. При цьому якщо функція зростає (зменшується), то зворотна функція також зростає (зменшується).
Зауважимо, що функція у = ƒ (х) і зворотна їй х = φ (у) зображуються однією і тією ж кривою, тобто графіки їх збігаються. Якщо ж умовитися, що, як завжди, незалежну змінну (тобто аргумент) позначити через х, а залежну змінну через у, функція зворотна функції у=ƒ(х) запишеться як у=φ(х).
Це означає, що точка M 1 (x o ; y o) кривою у = ƒ (х) стає точкою М 2 (у о; х про) кривою у = φ (х). Але точки M 1 і М 2 симетричні щодо прямої у=х (див. рис. 103). Тому графіки взаємно зворотних функційу=ƒ(х) і у=φ(х) симетричні щодо бісектриси першого та третього координатних кутів.
Нехай функцію у=ƒ(u) визначено на множині D, а функцію u= φ(х) на множині D 1 , причому для x D 1 відповідне значення u=φ(х) є D. Тоді на множині D 1 визначено функція u=ƒ(φ(х)), яка називається складною функцією від х (або суперпозицією заданих функцій, або функцією від функції).
Змінну u=φ(х) називають проміжним аргументом складної функції.
Наприклад, функція у=sin2x є суперпозиція двох функцій у=sinu та u=2х. Складна функція може мати кілька проміжних аргументів.
4. Основні елементарні функції та їх графіки.
Основними елементарними функціями називають такі функції.
1) Показова функція у = a х, a> 0, а ≠ 1. На рис. 104 показані графіки показових функцій, відповідні різних підставступеня.
2) Ступінна функція у = х α, αєR. Приклади графіків статечних функцій, відповідних різним показникамступеня, надані на малюнках
3)Логарифмічна функція y = log a x, a> 0, a ≠ 1; Графіки логарифмічних функцій, Що відповідають різним підставам, показані на рис. 106.
4) Тригонометричні функції у = sinx, у = cosx, у = tgх, у = ctgx; Графіки тригонометричних функцій мають вигляд, показаний на рис. 107.
5) Зворотні тригонометричні функціїу = arcsinx, у = arccosх, у = arcctgx, у = arcctgx. На рис. 108 показано графіки зворотних тригонометричних функцій.
Функція, що задається однією формулою, складеною з основних елементарних функційта постійних за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій(додавання, віднімання, множення, поділу) та операцій взяття функції від функції, називається елементарною функцією.
Прикладами елементарних функцій можуть бути функції
Прикладами неелементарних функцій можуть бути функції
5. Поняття межі послідовності та функції. Властивості меж.
Межа функції (граничне значення функції) у заданій точці, граничної області визначення функції, - така величина, до якої прагне значення аналізованої функції при прагненні її аргументу до цієї точки.
У математиці межею послідовностіелементів метричного простору або топологічного простору називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Межею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожна околиця якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі околиці визначаються через функцію відстані, тому поняття межі формулюється мовою відстаней. Історично першим було поняття межі числової послідовності, що виникає в математичному аналізі, де воно служить основою системи наближень і широко використовується при побудові диференціального та інтегрального обчислень.
Позначення:
(читається: межа послідовності ікс-енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a)
Властивість послідовності мати межу називають збіжністю: якщо послідовність має межу, то кажуть, що дана послідовність сходиться; в в іншому випадку(якщо послідовність не має межі) кажуть, що послідовність розходиться. У хаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі , кожна підпослідовність послідовності сходиться, і її межа збігається з межею вихідної послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів хаусдорфового простору не може бути двох різних меж. Може, однак, виявитися, що послідовність не має межі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка межа має. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити схожу підпослідовність, то кажуть, що цей простірмає властивість секвенційної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).
Поняття межі послідовності безпосередньо пов'язане з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходить до цієї точки.
Визначення
Нехай дано топологічний простір і послідовність Тоді, якщо існує такий елемент, що
де - відкрите безліч, що містить , він називається межею послідовності . Якщо простір є метричним, то межу можна визначити за допомогою метрики: якщо існує такий елемент, що
де – метрика, то називається межею .
· Якщо простір має антидискретну топологію, то межею будь-якої послідовності буде будь-який елемент простору.
6. Межа функції у точці. Односторонні межі.
Функція однієї змінної. Визначення межі функції у точці по Коші.Число bназивається межею функції у = f(x) при х, що прагне а(або в точці а), якщо для будь-якого позитивного числа існує таке позитивне число, що з усіх х ≠ а, таких, що | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Визначення межі функції у точці за Гейном.Число bназивається межею функції у = f(x) при х, що прагне а(або в точці а), якщо для будь-якої послідовності ( x n), що сходить до а(що прагне до а, що має межею число а), причому ні за якого значення n х n ≠ а, Послідовність ( y n = f(x n)) сходиться до b.
Дані визначення припускають, що функція у = f(x) визначена в деякій околиці точки акрім, можливо, самої точки а.
Визначення межі функції в точці по Коші та Гейні еквівалентні: якщо число bслужить межею по одному з них, це вірно і по другому.
Вказана межа позначається так:
Геометрично існування межі функції в точці по Коші означає, що для будь-якого числа > 0 можна вказати координатної площинитакий прямокутник з основою 2 > 0, висотою 2 і центром у точці ( а; b), що всі точки графіка даної функції на інтервалі ( а– ; а+ ), за винятком, можливо, точки М(а; f(а)), лежать у цьому прямокутнику
Одностороння межау математичному аналізі - межа числової функції, що передбачає «наближення» до граничної точки з одного боку. Такі межі називають відповідно лівосторонньою межею(або межею ліворуч) та правосторонньою межею (межею справа). Нехай на деякому числовій множинізадана цифрова функціяі число - гранична точка області визначення. Існують різні визначеннядля односторонніх меж функції у точці , але вони еквівалентні.
Зробимо низку роз'яснювальних зауважень щодо завдання функції аналітичним виразом чи формулою, які у математичному аналізі винятково важливу роль.
1° Перш за все, які аналітичні операції чи дії можуть входити до цих формул? На першому місці тут розуміються всі вивчені в елементарній алгебрі та тригонометрії операції: арифметичні дії, Піднесення в ступінь (і витяг коріння), логарифмування, перехід від кутів до їх тригонометричних величин і назад [див. нижче 48 – 51]. Однак, і це важливо підкреслити, до них у міру розвитку наших відомостей з аналізу приєднуватимуться й інші операції, насамперед - граничний перехід, з яким читач уже знайомий із глави I.
Таким чином, повний змісттерміна «аналітичний вираз» чи «формула» розкриватиметься лише поступово.
2° Друге зауваження стосується області визначення функції аналітичним виразом або формулою.
Кожен аналітичний вираз, що містить аргумент х, має, так би мовити, природну сферу застосування: це безліч усіх тих значень х, для яких воно зберігає сенс, тобто має цілком певне, кінцеве, речове значення. Пояснимо це на найпростіших прикладах.
Так, для вираження такою областю буде вся безліч речових чисел. Для вираження ця область зведеться до замкнутого проміжку за межами якого значення його перестає бути речовим. Навпаки, виразу доведеться в якості природної області застосування віднести відкритий проміжок бо на кінцях його знаменник звертається в 0. Іноді область значень, для яких вираз зберігає сенс, складається з розрізнених проміжків: для цього будуть проміжки - проміжки і т.д.
Як останнього прикладурозглянемо суму нескінченної геометричної прогресії
Якщо те, як ми знаємо, ця межа існує і має значення. При межу або дорівнює або не існує. Таким чином, для наведеного аналітичного виразу природною сферою застосування буде відкритий проміжок
У наступному викладі нам доведеться розглядати як складніші, так і загальніші аналітичні висловлювання, і ми не раз займатимемося дослідженням властивостей функцій, що задаються подібним виразому всій області, де воно зберігає сенс, тобто вивчення самого аналітичного апарату.
Проте можливе й інший стан речей, потім ми вважаємо за потрібне заздалегідь звернути увагу читача. Уявімо, що який-небудь конкретне питання, В якому змінна х по суті справи обмежена областю зміни X, привів до розгляду функції, що допускає аналітичний вираз. Хоча може статися, що це вираз має сенс і поза області X, виходити за її межі, зрозуміло, все ж таки не можна. Тут аналітичний вираз відіграє підлеглу, допоміжну роль.
Наприклад, якщо, досліджуючи вільне падінняважкої точки з висоти над поверхнею землі, ми вдамося до формули
То безглуздо було б розглядати негативні значення t або значення більші, ніж бо, як легко бачити, коли точка вже впадена землю. І це незважаючи на те, що саме вираз - зберігає сенс для всіх речових.
3° Може статися, що функція визначається не однієї й тієї формулою всім значень аргументу, але з одних - однією формулою, а інших - інший. Прикладом такої функції у проміжку може бути функція, яка визначається наступними трьома формулами:
і, нарешті, якщо .
Згадаємо ще про функцію Діріхле (P. G. Lejeune-Dinchlet), яка визначається так:
Нарешті, разом із Кронекером (L. Kroneckcf) розглянемо функцію, яку він назвав «сигнум і позначив через
є заданою, інакше кажучи, відомою, якщо для кожного значення можливої кількості аргументів можна дізнатися про відповідне значення функції. Найбільш поширені три способу завдання функції: табличний, графічний, аналітичний, існують ще словесний та рекурсивний способи.
1. Табличний спосіб найбільш широко поширений (таблиці логарифмів, квадратних коренів), основна його перевага - можливість отримання числового значенняФункції , недоліки полягають у тому, що таблиця може бути важко читати і іноді не містить проміжних значень аргументу.
Наприклад:
|
x |
||||
|
y |
Аргумент хприймає задані у таблиці значення, а увизначається відповідно до цього аргументу х.
2. Графічний спосіб полягає у проведенні лінії (графіка), у якої абсциси зображують значення аргументу, а ординати – відповідні значення функції . Часто для наочності масштаби на осях набувають різних.
Наприклад:для знаходження за графіком у, якому відповідає х = 2,5необхідно провести перпендикуляр до осі хна позначці 2,5 . Позначку можна досить точно зробити за допомогою лінійки. Тоді знайдемо, що за х = 2,5 уодно 7,5 проте якщо нам необхідно знайти значення упри хрівному 2,76 , то графічний спосібзавдання функції нічого очікувати досить точним, т.к. лінійка не дає можливості для такого точного виміру.
Переваги цього способу завдання функцій полягають у легкості та цілісності сприйняття, у безперервності зміни аргументу; недоліком є зменшення ступеня точності та складність отримання точних значень.
3. Аналітичний спосіб полягає у завданні функції однією або декількома формулами. Основною перевагою цього способу є висока точністьвизначення функції від аргументу, що цікавить, а недоліком є витрата часу на проведення додаткових математичних операцій.
Наприклад:
Функцію можна встановити за допомогою математичної формули y=x 2 ,тоді якщо ходно 2 , то уодно 4, зводимо ху квадрат.
4. Словесний спосіб полягає у завданні функції звичайною мовою, тобто. словами. При цьому необхідно дати вхідні, вихідні значення та відповідність між ними.
Наприклад:
Словесно можна задати функцію (завдання), яка приймається у вигляді натурального аргументу хз відповідним значенням суми цифр, з яких складається значення у. Пояснюємо: якщо ходно 4 , то уодно 4 , а якщо ходно 358 , то у дорівнює сумі 3 + 5 + 8 , тобто 16 . Далі аналогічно.
5. Рекурсивний спосіб полягає у завданні функції через саму себе, при цьому значення функціївизначаються через інші її значення. Такий спосіб завдання функції використовується у завданні множин та рядів.
Наприклад:
При розкладанні числа Ейлеразадається функцією:
Її скорочення наведено нижче:
При прямому розрахункувиникає нескінченна рекурсія, але можна довести, що значення f(n)при зростанні nпрагне одиниці (тому, попри нескінченність низки , значення числа Ейлеразвісно). Для наближеного обчислення значення eдосить штучно обмежити глибину рекурсії деяким наперед заданим числомі після досягнення його використовувати замість f(n)одиницю.
Різні способи завдання функції Аналітичний, графічний, табличний – найпростіші, тому найпопулярніші способи завдання функції, наших потреб цих способів цілком достатньо. Аналітичний графічний табличний Насправді в математиці є досить багато різних способівзавдання функції та один з них – словесний, який використовується у досить своєрідних ситуаціях.
Словесний спосіб завдання функції Функція може бути і словесно, т. е. описово. Наприклад, так звана функція Діріхле задається в такий спосіб: функція дорівнює 0 для всіх раціональних і 1 для всіх ірраціональних значеньаргументу х. Така функція може бути задана таблицею, оскільки вона визначається по всій числової осі і безліч значень її аргументу нескінченно. Графічно дана функціятакож може бути задана. Аналітичний вираз для цієї функції було, все ж таки знайдено, але воно так складно, що не має практичного значення. Словесний спосіб дає коротке і ясне її визначення.
Приклад 1 Функція y = f(x) задана на множині всіх невід'ємних чисел за допомогою наступного правила: кожному числу х 0 ставиться відповідно перший знак після коми десяткового записучисла x. Якщо, скажімо, х = 2,534, то f(х) = 5 (перший знак після коми – цифра 5); якщо х = 13,002 то f(х) = 0; якщо х = 2/3, то, записавши 2/3 у вигляді нескінченної десяткового дробу 0,6666…, знаходимо f(x) = 6. А чому дорівнює значення f(15)? Воно дорівнює 0, тому що 15 = 15,000 ..., і ми бачимо, що перший десятковий знак після коми є 0 (взагалі - то правильна рівність 15 = 14,999 ..., але математики домовилися не розглядати нескінченні періодичні десяткові дроби з періодом 9).
Будь-яке невід'ємне числох можна записати у вигляді десяткового дробу (кінцевого або нескінченного), а тому для кожного значення х можна знайти певна кількістьзначень першого знака після коми, тому ми можемо говорити про функції, хоча й дещо незвичайною. D(f) = . = 2 ["title="Функцію, яка визначається умовами: f (x) – ціле число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x] = 2 [" class="link_thumb"> 7 !}Функцію, що визначається умовами: f(x) – ціле число; f(x) x;x; f + 1 > x,x, цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x]. = 2 = 47 [- 0,23] = - 1 x,x цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x]. = 2 ["> x,x, цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D(f) = (-;+), E(f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x]. = 2 = 47 [- 0,23] = - 1"> x, x, цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D (f) = (-; +), E (f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x]. = 2 ["title="Функцію, яка визначається умовами: f (x) – ціле число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x] = 2 ["> title="Функцію, що визначається умовами: f(x) – ціле число; f(x) x;x; f + 1 > x,x, цілою частиною числа називають цілою частиною числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множина цілих чисел) Для цілої частини числа х використовують позначення [x]. = 2 ["> !}
З усіх зазначених способівзавдання функції найбільші можливості для застосування апарату математичного аналізу дає аналітичний спосіб, а н нн найбільшу наочність має р рр графічний. Ось чому математичний аналіз ґрунтується на глибокому синтезі аналітичних та геометричних методів. Дослідження функцій, заданих аналітично, проводиться набагато легше і наочним, якщо паралельно розглядати і графіки цих функцій.
Х у = х
Великий математик- Діріхле У професор Берлінського, з 1855 Геттінгенського університетів. Основні праці з теорії чисел та математичного аналізу. В галузі математичного аналізу Діріхле вперше точно сформулював та досліджував поняття умовної збіжностіряду, встановив ознаку збіжності ряду (т.зв. ознака Діріхле, 1862), дав (1829) суворий доказ можливості розкладання в ряд Фур'є функції, що має кінцеве числомаксимумів та мінімумів. Значні роботи Діріхле присвячені механіці та математичної фізики(Принцип Діріхле в теорії гармонійної функції). Діріхле Петер Густав Лежен () Німецький математик, Іноземний чл.-кор. Петербурзької АН(с), член Лондонського королівського товариства(1855), Паризької АН (1854), Берлінської АН. Діріхле довів теорему про існування нескінченно великої кількості простих чиселу будь-якій арифметичній прогресії з цілих чисел, перший член і різниця якої - числа взаємно прості і вивчав (1837) закон розподілу простих чисел арифметичних прогресіях, у зв'язку з чим ввів функціональні ряди особливого вигляду(т.зв. ряди Діріхле).
