Зробимо ряд роз'яснювальних зауважень щодо завдання функції аналітичним виразом або формулою, які грають у математичний аналізвинятково важливу роль.
1° Насамперед, які аналітичні операції чи дії можуть входити до цих формул? На першому місці тут розуміються всі вивчені в елементарній алгебрі та тригонометрії операції: арифметичні дії, Піднесення в ступінь (і витяг коріння), логарифмування, перехід від кутів до їх тригонометричних величин і назад [див. нижче 48 – 51]. Однак, і це важливо підкреслити, до них у міру розвитку наших відомостей з аналізу приєднуватимуться й інші операції, насамперед - граничний перехід, з яким читач уже знайомий із глави I.
Таким чином, повний змісттерміна «аналітичний вираз» чи «формула» розкриватиметься лише поступово.
2° Друге зауваження стосується області визначення функції аналітичним виразом або формулою.
Кожен аналітичний вираз, що містить аргумент х, має, так би мовити, природну сферу застосування: це безліч усіх тих значень х, для яких воно зберігає сенс, тобто має цілком певне, кінцеве, речове значення. Пояснимо це на найпростіших прикладах.
Так, для вираження такою областю буде вся безліч речових чисел. Для вираження ця область зведеться до замкнутого проміжку за межами якого значення його перестає бути речовим. Навпаки, виразу доведеться в якості природної області застосування віднести відкритий проміжок бо на кінцях його знаменник звертається в 0. Іноді область значень, для яких вираз зберігає сенс, складається з розрізнених проміжків: для цього будуть проміжки - проміжки і т.д.
Як останнього прикладурозглянемо суму нескінченної геометричної прогресії
Якщо те, як ми знаємо, ця межа існує і має значення. При межу або дорівнює або не існує. Таким чином, для наведеного аналітичного виразу природною сферою застосування буде відкритий проміжок
У наступному викладі нам доведеться розглядати як складніші, так і загальніші аналітичні висловлювання, і ми не раз займатимемося дослідженням властивостей функцій, що задаються подібним виразому всій області, де воно зберігає сенс, тобто вивчення самого аналітичного апарату.
Проте можливе й інший стан речей, потім ми вважаємо за потрібне заздалегідь звернути увагу читача. Уявімо, що який-небудь конкретне питання, В якому змінна х по суті справи обмежена областю зміни X, привів до розгляду функції, що допускає аналітичний вираз. Хоча може статися, що це вираз має сенс і поза області X, виходити за її межі, зрозуміло, все ж таки не можна. Тут аналітичний вираз відіграє підлеглу, допоміжну роль.
Наприклад, якщо, досліджуючи вільне падінняважкої точки з висоти над поверхнею землі, ми вдамося до формули
То безглуздо було б розглядати негативні значення t або значення більші, ніж бо, як легко бачити, коли точка вже впадена землю. І це незважаючи на те, що саме вираз - зберігає сенс для всіх речових.
3° Може статися, що функція визначається не однієї й тієї формулою всім значень аргументу, але з одних - однією формулою, а інших - інший. Прикладом такої функції у проміжку може бути функція, яка визначається наступними трьома формулами:
і, нарешті, якщо .
Згадаємо ще про функцію Діріхле (P. G. Lejeune-Dinchlet), яка визначається так:
Нарешті, разом із Кронекером (L. Kroneckcf) розглянемо функцію, яку він назвав «сигнум і позначив через
функція - це відповідність між елементами двох множин, встановлений за таким правилом, що кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність деякий елемент з іншого множини.
графік функції – це геометричне місцеточок площини, абсциси (x) та ординати (y) яких пов'язані зазначеною функцією:
точка розташовується (або знаходиться) на графіку функції тоді і лише тоді, коли .
Таким чином, функція може адекватно описана своїм графіком.
Табличний спосіб. Досить поширений, полягає у завданні таблиці окремих значеньаргументу та відповідних їм значень функції. Такий спосіб завдання функції застосовується в тому випадку, коли область визначення функції є кінцевим кінцевим безліччю.
При табличному способі завдання функції можна приблизно обчислити значення функції, що не містяться в таблиці, відповідні проміжним значенням аргументу. Для цього використовують спосіб інтерполяції.
Переваги табличного способу завдання функції полягають у тому, що він дає можливість визначити ті чи інші конкретні значеннявідразу, без додаткових вимірів чи обчислень. Проте, у деяких випадках таблиця визначає функцію в повному обсязі, лише для деяких значень аргументу і дає наочного зображення характеру зміни функції залежно від зміни аргументу.
Графічний метод. Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок площини, координати яких задовольняють даному рівнянню.
Графічний спосіб завдання функції який завжди дає можливість точно визначити чисельні значення аргументу. Однак він має велику перевагу перед іншими способами – наочність. У техніці та фізиці часто користуються графічним способом завдання функції, причому графік буває єдино доступним для цього способом.
Щоб графічне завдання функції було цілком коректним з математичної точки зору, необхідно вказувати точну геометричну конструкцію графіка, яка найчастіше задається рівнянням. Це призводить до наступного способу завдання функції.
Аналітичний метод. Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом та функцією, задається за допомогою формул. Такий спосіб завдання функції називається аналітичним.
Цей спосіб дає можливість за кожним чисельним значенням аргументу x знайти відповідне йому чисельне значенняфункції y точно або з деякою точністю.
Якщо залежність між x та y задана формулою, дозволеної щодо y, тобто. має вигляд y = f(x), то кажуть, що функція від x задана у явному вигляді.
Якщо значення x і y пов'язані деяким рівнянням виду F(x,y) = 0, тобто. формула не дозволяється щодо y, що кажуть, що функція y = f(x) задана неявно.
Функція може бути визначена різними формуламина різних ділянкахобласті свого завдання.
Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом завдання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції при довільному значенніаргумент з області визначення, можливість застосування до даної функції апарату математичного аналізу - основні переваги аналітичного способу завдання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, що компенсується можливістю побудови графіка та необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.
Словесний спосіб. Цей спосіб полягає в тому, що функціональна залежністьвиражається словами.
Приклад 1: функція E(x) – ціла частина числа x. Взагалі через E(x) = [x] позначають найбільше цілих чисел, яке перевищує x. Іншими словами, якщо x = r + q, де r - ціле число (може бути і негативним) і q належить інтервалу = r. Функція E(x) = [x] стала на проміжку = r.
Приклад 2: функція y = (x) - дробова частиначисла. Точніше y = (x) = x - [x], де [x] - ціла частина числа x. Ця функція визначена всім x. Якщо x - довільне число, то представивши його у вигляді x = r + q (r = [x]), де r - ціле число і q лежить в інтервалі.
Ми бачимо, що додавання n до аргументу x не змінює значення функції.
Найменше відмінне від нуля число з n є таким чином, це період sin 2x .
Значення аргументу, у якому функція дорівнює 0, називається нулем (корінням) функції.
Функція може мати кілька нулів.
Наприклад, функція y = x (x + 1) (x-3)має три нулі: x = 0, x = - 1, x = 3.
Геометрично нуль функції – це абсциса точки перетину графіка функції з віссю Х .
На рис.7 представлений графік функції з нулями: x = a, x = b і x = c.
Якщо графік функції необмежено наближається до деякої прямої при віддаленні від початку координат, то ця пряма називається асимптотою.
Зворотня функція
Нехай задана функція у=ƒ(х) з областю визначення D та безліччю значень Е. Якщо кожному значенню уєЕ відповідає єдине значення хеD, то визначено функцію х=φ(у) з областю визначення Е та множиною значень D (див. рис. 102 ).
Така функція φ(у) називається зворотною до функції ƒ(х) і записується в наступному вигляді: х = j (y) = f -1 (y). Про функції у = ƒ (х) і х = φ (у) говорять, що вони взаємно зворотні. Щоб знайти функцію х=φ(у), зворотну до функції у=ƒ(х), достатньо вирішити рівняння ƒ(х)=у щодо х (якщо це можливо).
1. Для функції у=2х зворотною функцією є функція х=у/2;
2.Для функції у=х2 хе зворотною функцією є х=√у; зауважимо, що для функції у=х 2 заданої на відрізку [-1; 1], зворотної не існує, тому що одному значенню відповідає два значення х (так, якщо у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).
З визначення зворотної функції випливає, що функція у = ƒ (х) має зворотну тоді і тільки тоді, коли функція ƒ (х) задає взаємно однозначну відповідність між множинами D і Е. Звідси випливає, що будь-яка суворо монотонна функціямає зворотну. При цьому якщо функція зростає (зменшується), то зворотна функція також зростає (зменшується).
Зауважимо, що функція у = ƒ (х) і зворотна їй х = φ (у) зображуються однією і тією ж кривою, тобто графіки їх збігаються. Якщо ж умовитися, що, як завжди, незалежну змінну (тобто аргумент) позначити через х, а залежну змінну через у, функція зворотна функції у=ƒ(х) запишеться як у=φ(х).
Це означає, що точка M 1 (x o ; y o) кривою у = ƒ (х) стає точкою М 2 (у о; х про) кривою у = φ (х). Але точки M 1 і М 2 симетричні щодо прямої у=х (див. рис. 103). Тому графіки взаємно зворотних функційу=ƒ(х) і у=φ(х) симетричні щодо бісектриси першого та третього координатних кутів.
Нехай функцію у=ƒ(u) визначено на множині D, а функцію u= φ(х) на множині D 1 , причому для x D 1 відповідне значення u=φ(х) є D. Тоді на множині D 1 визначено функція u=ƒ(φ(х)), яка називається складною функцією від х (або суперпозицією заданих функцій, або функцією від функції).
Змінну u=φ(х) називають проміжним аргументом складної функції.
Наприклад, функція у=sin2x є суперпозиція двох функцій у=sinu та u=2х. Складна функція може мати кілька проміжних аргументів.
4. Основні елементарні функції та їх графіки.
Основними елементарними функціями називають такі функції.
1) Показова функція у = a x, a> 0, а ≠ 1. На рис. 104 показані графіки показових функцій, відповідні різних підставступеня.
2) Ступінна функція у = х α, αєR. Приклади графіків статечних функцій, відповідних різним показникамступеня, надані на малюнках
3)Логарифмічна функція y = log a x, a> 0, a ≠ 1; Графіки логарифмічних функцій, Що відповідають різним підставам, показані на рис. 106.
4) Тригонометричні функції у = sinx, у = cosx, у = tgх, у = ctgx; Графіки тригонометричних функціймають вигляд, показаний на рис. 107.
5) Зворотні тригонометричні функції у=arcsinx, у=arccosх, у=arctgx, у=arcctgx. На рис. 108 показано графіки зворотних тригонометричних функцій.
Функція, що задається однією формулою, складеною з основних елементарних функційта постійних за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій(додавання, віднімання, множення, поділу) та операцій взяття функції від функції, називається елементарною функцією.
Прикладами елементарних функцій можуть бути функції
Прикладами неелементарних функцій можуть бути функції
5. Поняття межі послідовності та функції. Властивості меж.
Межа функції (граничне значення функції) у заданій точці, граничної області визначення функції, - така величина, до якої прагне значення аналізованої функції при прагненні її аргументу до цієї точки.
В математиці межею послідовностіелементів метричного простору або топологічного простору називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Межею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожна околиця якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі околиці визначаються через функцію відстані, тому поняття межі формулюється мовою відстаней. Історично першим було поняття межі числової послідовності, що виникає в математичному аналізі, де воно служить основою системи наближень і широко використовується при побудові диференціального та інтегрального обчислень.
Позначення:
(читається: межа послідовності ікс-енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a)
Властивість послідовності мати межу називають збіжністю: якщо послідовність має межу, то кажуть, що дана послідовність сходиться; в в іншому випадку(якщо послідовність не має межі) кажуть, що послідовність розходиться. У хаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі , кожна підпослідовність послідовності сходиться, і її межа збігається з межею вихідної послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів хаусдорфового простору не може бути двох різних меж. Може, однак, виявитися, що послідовність не має межі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка межа має. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити схожу підпослідовність, то кажуть, що цей простірмає властивість секвенційної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).
Поняття межі послідовності безпосередньо пов'язане з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходить до цієї точки.
Визначення
Нехай дано топологічний простір і послідовність Тоді, якщо існує такий елемент, що
де - відкрите безліч, що містить , він називається межею послідовності . Якщо простір є метричним, то межу можна визначити за допомогою метрики: якщо існує такий елемент, що
де – метрика, то називається межею .
· Якщо простір має антидискретну топологію, то межею будь-якої послідовності буде будь-який елемент простору.
6. Межа функції у точці. Односторонні межі.
Функція однієї змінної. Визначення межі функції у точці по Коші.Число bназивається межею функції у = f(x) при х, що прагне а(або в точці а), якщо для будь-якого позитивного числа існує таке позитивне число, що з усіх х ≠ а, таких, що | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Визначення межі функції у точці за Гейном.Число bназивається межею функції у = f(x) при х, що прагне а(або в точці а), якщо для будь-якої послідовності ( x n), що сходить до а(що прагне до а, що має межею число а), причому ні за якого значення n х n ≠ а, Послідовність ( y n = f(x n)) сходиться до b.
Дані визначення припускають, що функція у = f(x) визначена в деякій околиці точки акрім, можливо, самої точки а.
Визначення межі функції в точці по Коші та Гейні еквівалентні: якщо число bслужить межею по одному з них, це вірно і по другому.
Вказана межа позначається так:
Геометрично існування межі функції в точці по Коші означає, що для будь-якого числа > 0 можна вказати координатної площинитакий прямокутник з основою 2 > 0, висотою 2 і центром у точці ( а; b), що всі точки графіка даної функції на інтервалі ( а– ; а+ ), за винятком, можливо, точки М(а; f(а)), лежать у цьому прямокутнику
Одностороння межау математичному аналізі - межа числової функції, що передбачає «наближення» до граничної точки з одного боку. Такі межі називають відповідно лівосторонньою межею(або межею ліворуч) та правосторонньою межею (межею справа). Нехай на деякій числовій кількості задана цифрова функціяі число - гранична точка області визначення. Існують різні визначеннядля односторонніх меж функції у точці , але вони еквівалентні.
Функції можуть бути задані самими у різний спосіб. Однак, найчастіше зустрічаються такі три способи завдання функцій: аналітичний, табличний та графічний.
Аналітичний метод завдання функції. При аналітичному способі завдання функція визначається за допомогою аналітичного виразу, тобто за допомогою формули, що вказує, які дії треба зробити над значенням аргументу, щоб отримати відповідне значення функції.
У п. 2 і 3 ми зустрічалися з функціями, заданими з допомогою формул, т. е. аналітично. При цьому п. 2 для функції область визначення ) була встановлена, виходячи з геометричних міркувань, а для функції область завдання була вказана в умові. У п. 3 функції області визначення також задавалася за умовою. Однак дуже часто функція задається тільки за допомогою аналітичного виразу (формули), без будь-яких додаткових умов. У таких випадках під областю визначення функції ми розумітимемо сукупність всіх тих значень аргументу, для яких цей вираз має сенс і призводить до дійсних значень функції.
Приклад 1. Знайти область визначення функції
Рішення. Функція задана лише формулою, її область визначення не вказана і додаткових умов немає. Тому під областю визначення цієї функції ми повинні розуміти сукупність усіх тих значень аргументу, для яких вираз має дійсні значення. Для цього має бути. Вирішуючи це нерівність, приходимо до висновку, що областю визначення цієї функції є сегмент [-1.1].
Приклад 2. Знайти область визначення функції.
Рішення. Область визначення, очевидно, складається з двох нескінченних інтервалів , так як вираз не має сенсу при а при всіх інших значеннях визначено.
Читач тепер сам побачить, що з функції областю визначення буде вся числова вісь, а функції - нескінченний інтервал
Слід звернути увагу, що не можна ототожнювати функцію і формулу, з допомогою якої задається ця функція. За допомогою однієї і тієї ж формули можна задати різні функції. Справді, у п. 2 ми розглядали функцію з областю визначення п. 3 будувався графік функції з областю визначення . І, нарешті, щойно ми розглянули функцію, задану лише формулою без будь-яких додаткових умов. Області визначення цієї функції є вся числова вісь. Ці три функції різні між собою, оскільки вони мають різні областівизначення. Але задаються вони з допомогою однієї й тієї формули.
Можливий і обернений випадок, коли одна функція на різних ділянках її області визначення задається різними формулами. Наприклад, розглянемо функцію у, визначену всім неотрицательных значень в такий спосіб: при т. е.
Ця функція визначена двома аналітичними виразами, що діють різних ділянках її області визначення. Графік цієї функції зображено на рис. 18.
Табличний спосіб завдання функції. При табличному завданні функції складається таблиця, де вказується ряд значень аргументу та відповідних значень функції. Широко відомі логарифмічні таблиці, таблиці значень тригонометричних функцій та багато інших. Часто доводиться користуватися таблицями значень функцій, отриманих безпосередньо з досвіду. У наведеній нижче таблиці наведені отримані з досвіду питомі опориміді (в см - сантиметрах) за різних температур t (у градусах):
Графічний спосіб завдання функції. При графічне завданнядається графік функції, та її значення, відповідні тим чи іншим значенням аргументу, безпосередньо з цього графіка. У багатьох випадках такі графіки кресляться за допомогою самописних приладів.
Одними з класичних визначеньПоняття «функція» вважаються визначення з урахуванням відповідностей. Наведемо низку таких визначень.
Визначення 1
Залежність, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, називається функцією.
Визначення 2
Нехай дані дві непусті множини $X$ і $Y$. Відповідність $f$, яка кожному $x\in X$ зіставляє один і тільки один $y\in Y$ Називається функцією($ f: X → Y $).
Визначення 3
Нехай $M$ і $N$ - дві довільні числові множини. Кажуть, що на $M$ визначено функцію $f$, що приймає значення з $N$, якщо кожному елементу $x\in X$ поставлений у відповідність один і лише один елемент із $N$.
Наступне визначення дається через поняття змінної величини. Змінною величиною називається величина, яка в даному дослідженніприймає різні числові значення.
Визначення 4
Нехай $M$ - безліч значень змінної величини $x$. Тоді, сіли кожному значення $x\in M$ відповідає одне певне значення іншої змінної величини $y$ є функція величини $x$, визначеної на множині $M$.
Визначення 5
Нехай $X$ і $Y$ - деякі числові множини. Функцією називається безліч $f$ упорядкованих пар чисел $(x,\y)$ таких, що $x\in X$, $y\in Y$ і кожне $x$ входить в одну і лише одну пару цієї множини, а кожне $y$ входить принаймні в одну пару .
Визначення 6
Усяка безліч $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ впорядкованих пар $\left(x,\ y\right)$ таких, що для будь-яких пар $\left(x",\ y" \right)\in f$ і $\left(x"",\ y""\right)\in f$ з умови $y"≠ y""$ слід, що $x"≠x""$ називається функцією або відображенням.
Визначення 7
Функція $f:X → Y$ - це безліч $f$ упорядкованих пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, що для будь-якого елемента $x\in X$ існує єдиний елемент $y\in Y$ такий, що $\left(x,\ y\right)\in f$, тобто функція - кортеж об'єктів $\left(f,\ X,\ Y\right)$.
У цих визначеннях
$x$ - незалежна змінна.
$y$ - залежна змінна.
Усі можливі значеннязмінною $x$ називається областю визначення функції , проте можливі значення змінної $y$ називається областю значення функції.
Аналітичний спосіб завдання функції
Для цього методу нам знадобиться поняття аналітичного виразу.
Визначення 8
Аналітичним виразомназивається твір усіх можливих математичних операційнад будь-якими числами та змінними.
Аналітичним способом завдання функції є її завдання з допомогою аналітичного висловлювання.
Приклад 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Плюси:
- За допомогою формул ми можемо визначити значення функції для будь-якого певного значеннязмінною $x$;
- Функції, задані в такий спосіб, можна вивчати за допомогою апарата математичного аналізу.
Мінуси:
- Мала наочність.
- Іноді доводиться робити дуже громіздкі обчислення.
Табличний спосіб завдання функції
Цей спосіб завдання у тому, що з кількох значень незалежної змінної виписуються значення залежної змінної. Усе це вноситься до таблиці.
Приклад 2
Малюнок 1.
Плюс:Для будь-якого значення незалежної змінної $x$, яка внесена до таблиці, одразу дізнається відповідне значення функції $y$.
Мінуси:
- Найчастіше ні повного завданняфункції;
- Мала наочність.
Функцією називається закон, за яким числом х заданої множиниХ, поставлене у відповідність лише одне число у, пишуть , у своїй x називають аргументом функції, y називають значенням функції.
Існують різні способизавдання функцій.
1. Аналітичний метод.
Аналітичний спосіб
— це найпоширеніший спосіб завдання функції.
Полягає він у тому, що функція задається формулою, яка встановлює, які операції потрібно зробити над х, щоб знайти у. Наприклад.
Розглянемо перший приклад -. Тут значення x = 1 відповідає , значення x = 3 відповідає і т. д.
Функція може бути задана на різних частинахмножини X різними функціями.
Наприклад: 
У всіх наведених прикладах аналітичного способу завдання, функція була задана явно. Тобто справа стояла змінна y, а праворуч формула від змінної х. Однак, при аналітичному способі завдання, функція може бути встановлена і неявно.
Наприклад. Тут, якщо ми задаємо змінну x значення, то, щоб знайти значення змінної у (значення функції), ми повинні вирішити рівняння. Наприклад, для першої заданої функціїпри х = 3, вирішуватимемо рівняння:
. Тобто значення функції при х = 3 дорівнює -4/3.
При аналітичному способі завдання, функція може бути задана параметрично це, коли х і у виражені через деякий параметр t. Наприклад,
Тут при t = 2, x = 2, y = 4. Тобто значення функції при х = 2 дорівнює 4.
2. Графічний метод.
При графічному способівводиться прямокутна системакоординат і в цій системі координат зображується безліч точок координат (x, y). При цьому. Приклад: 
3. Словесний метод.
Функція задається за допомогою словесного формулювання. Класичний приклад- Функція Діріхле.
«Функція дорівнює 1, якщо х – раціональне число; функція дорівнює 0, якщо х – ірраціональне число».
4. Табличний метод.
Табличний спосіб найбільш зручний, коли безліч звичайно. При цьому способі складається таблиця, в якій кожному елементу з множини Х ставиться у відповідність число Y.
приклад.