Межа функції- Число aбуде межею деякої величини, що змінюється, якщо в процесі своєї зміни ця змінна величина необмежено наближається до a.
Або іншими словами, число Aє межею функції y = f(x)у точці x 0, якщо для будь - якої послідовності точок з області визначення функції , не рівних x 0, і яка сходиться до точки x 0 (lim x n = x0), послідовність відповідних значень функції сходиться до A.
Графік функції, межа якої при аргументі, що прагне нескінченності, дорівнює L:
Значення Ає межею (граничним значенням) функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якої послідовності точок 
, яка сходиться до x 0, але яка не містить x 0як один із своїх елементів (тобто в проколотій околиці x 0), послідовність значень функції 
сходиться до A.
Межа функції по Коші.
Значення Aбуде межею функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якого вперед взятого невід'ємного числа ε буде знайдено відповідне йому невід'ємне число δ = δ(ε) таке, що для кожного аргументу x, що задовольняє умову 0 < | x - x0 | < δ , буде виконано нерівність | f(x) A |< ε .
Буде дуже просто, якщо ви розумієте суть межі та основні правила знаходження його. Те, що межа функції f (x)при xщо прагне до aдорівнює A, записується таким чином:
Причому значення, якого прагне змінна x, може бути не лише числом, а й нескінченністю (∞), іноді +∞ або -∞, або межі може взагалі не бути.
Щоб зрозуміти, як знаходити межі функціїнайкраще подивитися приклади рішення.
Необхідно знайти межі функції f (x) = 1/xпри:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Знайдемо рішення першої межі. Для цього можна просто підставити замість xчисло, якого вона прагне, тобто. 2, отримаємо:
Знайдемо другу межу функції. Тут підставляти у чистому вигляді 0 замість xне можна, тому що. ділити на 0 не можна. Але ми можемо брати значення, наближені до нуля, наприклад, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 і так далі, причому значення функції f (x)збільшуватиметься: 100; 1000; 10000; 100000 і так далі. В.о., можна зрозуміти, що за x→ 0 значення функції, що стоїть під знаком межі, необмежено зростатиме, тобто. прагнути до нескінченності. А значить:
Стосовно третьої межі. Така ж ситуація, як і в минулому випадку, неможливо підставити ∞ В чистому вигляді. Потрібно розглянути випадок необмеженого зростання x. По черзі підставляємо 1000; 10000; 100000 і так далі маємо значення функції f (x) = 1/xбуде спадати: 0,001; 0,0001; 0,00001; і так далі, прагнучи нуля. Тому:
Необхідно обчислити межу функції 
Приступаючи до вирішення другого прикладу, бачимо невизначеність. Звідси знаходимо старший ступінь чисельника та знаменника - це x 3, Виносимо в чисельнику та знаменнику його за дужки і далі скорочуємо на нього:
Відповідь 
Першим кроком у знаходження цієї межі, підставимо значення 1 замість x, у результаті маємо невизначеність . Для її вирішення розкладемо чисельник на множники, зробимо це методом знаходження коріння квадратного рівняння x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Таким чином, чисельник буде таким:
Відповідь 
Це визначення його конкретного значення чи певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.
Щоб вирішити межі, дотримуйтесь правил:
Розібравшись у суті та основних правилах вирішення межіВи отримаєте базове поняття про те, як їх вирішувати.
Межа функції на нескінченності:
| f (x) - a |< ε
при |x| >N
Визначення межі по Коші
Нехай функція f (x)визначена в околиці нескінченно віддаленої точки, при |x| > Число a називається межею функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), якщо для будь-якого, скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0
існує таке число N ε > K, залежить від ε , що всім x, |x| > N ε, значення функції належать ε - околиці точки a:
|f (x) - a |< ε
.
Межа функції на нескінченності позначається так:
.
Або при .
Також часто використовується таке позначення:
.
Запишемо це визначення, використовуючи логічні символи існування та загальності:
.
Тут мається на увазі, що значення належать області визначення функції.
Односторонні межі
Ліва межа функції на нескінченності:
| f (x) - a |< ε
при x < -N
Часто трапляються випадки, коли функція визначена тільки для позитивних або негативних значень змінної x (точніше, в околиці точки або ). Також межі на нескінченності для позитивних та негативних значень x можуть мати різні значення. Тоді використовують односторонні межі.
Ліва межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x що прагне мінус нескінченності () визначається так:
.
Права межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x прагне до плюс нескінченності () :
.
Односторонні межі на нескінченності часто позначають так:
;
.
Нескінченна межа функції на нескінченності
Нескінченна межа функції на нескінченності:
|f(x)| > M за |x| > N
Визначення нескінченної межі по Коші
Нехай функція f (x)визначена в околиці нескінченно віддаленої точки, при |x| > K де K - позитивне число. Межа функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), дорівнює нескінченностіякщо для будь-якого, скільки завгодно великого числа M > 0
, існує таке число N M > K, залежить від M , що всім x, |x| > N M , значення функції належать околиці нескінченно віддаленої точки:
|f (x) | > M.
Нескінченну межу при x, що прагне до нескінченності, позначають так:
.
Або при .
За допомогою логічних символів існування та загальності, визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.
Аналогічно вводяться визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.
Визначення односторонніх меж на нескінченності.
Ліві межі.
.
.
.
Праві межі.
.
.
.
Визначення межі функції за Гейном
Нехай функція f (x)визначена на деякій околиці нескінченно віддаленої точки x 0
, де або .
Число a (кінцеве або нескінченно віддалене) називається межею функції f (x)у точці x 0
:
,
якщо для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0
:
,
елементи якої належать околиці , послідовність (f(x n))сходиться до a:
.
Якщо в якості околиці взяти околицю нескінченно віддаленої точки без знака: , то отримаємо визначення межі функції при стрімкому нескінченності, що . 0 Якщо взяти лівосторонню або правосторонню околицю нескінченно віддаленої точки x
: або , то отримаємо визначення межі при x, що прагне мінус нескінченності і плюс нескінченності, відповідно.
Визначення межі по Гейні та Коші еквівалентні.
Приклади
Приклад 1
.
Використовуючи визначення Коші показати, що
.
Введемо позначення:
.
Знайдемо область визначення функції.
;
.
Оскільки чисельник і знаменник дробу є многочленами, то функція визначена всім x крім точок, у яких знаменник перетворюється на нуль. Знайдемо ці точки. Вирішуємо квадратне рівняння. ;
Коріння рівняння:
Оскільки, то й.
.
Тому функція визначена за .
.
Це ми будемо використовувати надалі. -1
:
.
Випишемо визначення кінцевої межі функції на нескінченності по Коші:
Перетворюємо різницю:
;
;
;
.
Розділимо чисельник і знаменник на та помножимо на
.
.
Нехай.
Тоді
Отже, ми знайшли, що при ,
Звідси слідує що
при , та .
Оскільки завжди можна збільшити, візьмемо .
Випишемо визначення кінцевої межі функції на нескінченності по Коші:
Тоді для будь-кого,
1)
;
2)
.
при .
Це означає, що .
Випишемо визначення межі функції при , що дорівнює мінус нескінченності:
.
Нехай.
;
.
Розділимо чисельник і знаменник на та помножимо на
.
Тоді
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси випливає, що для будь-якого позитивного числа M є число , так що при ,
Це означає, що .
2) Рішення у x прагне до плюс нескінченності
.
Перетворимо вихідну функцію. Помножимо чисельник і знаменник дробу і застосуємо формулу різниці квадратів:
.
Маємо:
.
Випишемо визначення правої межі функції при:
Тому функція визначена за .
.
Введемо позначення: .
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.
Перетворюємо різницю:
;
.
Розділимо чисельник і знаменник на та помножимо на
.
Тоді
.
Нехай.
Нехай
при і.
.
Оскільки це виконується для будь-якого позитивного числа, то
Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.
Першим чудовим межею називають таку рівність:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
- Так як при $ \ alpha \ to (0) $ маємо $ \ sin \ alpha \ to (0) $, то кажуть, що перша чудова межа розкриває невизначеність виду $ \ frac (0) (0) $. Взагалі кажучи, у формулі (1) замість змінної $\alpha$ під знаком синуса і в знаменнику може бути розташоване будь-яке вираження, - аби виконувалися дві умови:
- Висловлювання під знаком синуса й у знаменнику одночасно прагнуть нуля, тобто. є невизначеність виду $\frac(0)(0)$.
Вирази під знаком синуса і знаменнику збігаються.
Часто використовуються також наслідки з першої чудової межі:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
На цій сторінці вирішено одинадцять прикладів. Приклад №1 присвячений доказу формул (2)-(4). Приклади №2, №3, №4 та №5 містять рішення з докладними коментарями. Приклади №6-10 містять рішення практично без коментарів, бо докладні пояснення було надано у попередніх прикладах. При вирішенні використовуються деякі тригонометричні формули, які можна знайти.
Зауважу, що наявність тригонометричних функцій разом з невизначеністю $\frac(0)(0)$ ще не означає обов'язкового застосування першої чудової межі. Іноді буває досить простих тригонометричних перетворень, наприклад, див.
Приклад №1
Довести, що $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha )(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Оскільки $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , то:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
б) Зробимо заміну $ \ alpha = \ sin (y) $. Оскільки $\sin(0)=0$, то з умови $\alpha\to(0)$ маємо $y\to(0)$. Крім того, існує околиця нуля, в якій $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, тому:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Рівність $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ доведено.
в) Зробимо заміну $ alpha = tg (y) $. Оскільки $\tg(0)=0$, то умови $\alpha\to(0)$ і $y\to(0)$ еквівалентні. Крім того, існує околиця нуля, в якій $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, тому, спираючись на результати пункту а), матимемо:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Рівність $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ доведено.
Рівності а), б), в) часто використовуються поряд із першою чудовою межею.
Приклад №2
Обчислити межу $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Оскільки $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ і $\lim_( x\to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, тобто. і чисельник і знаменник дробу одночасно прагнуть нулю, то тут маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$, тобто. виконано. Крім того, видно, що вирази під знаком синуса і в знаменнику збігаються (тобто виконано і):
Отже, обидві умови, перелічені на початку сторінки, виконані. На цьому випливає, що застосовна формула , тобто. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7)) = 1 $.
Відповідь: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.
Приклад №3
Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Оскільки $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0 ) (0) $, тобто. виконано. Проте вирази під знаком синуса і знаменнику не збігаються. Тут потрібно підігнати вираз у знаменнику під необхідну форму. Нам необхідно, щоб у знаменнику розташувався вираз $9x$ - тоді стане істинним. По суті, нам не вистачає множника $9$ у знаменнику, який не так вже й складно ввести, - просто домножити вираз у знаменнику на $9$. Природно, що для компенсації домноження на $9$ доведеться відразу на $9$ і розділити:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Тепер вирази у знаменнику та під знаком синуса збіглися. Обидві умови для межі $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ виконані. Отже, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А це означає, що:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Приклад №4
Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Оскільки $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, то тут ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Однак форма першої чудової межі порушена. Чисельник, що містить $\sin(5x)$, вимагає наявності у знаменнику $5x$. У цій ситуації найпростіше розділити чисельник на $5x$, - і відразу на $5x$ домножити. Крім того, проробимо аналогічну операцію і зі знаменником, домноживши та розділивши $\tg(8x)$ на $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Скорочуючи на $x$ і виносячи константу $\frac(5)(8)$ за знак межі, отримаємо:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Зверніть увагу, що $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ повністю задовольняє вимогам для першої чудової межі. Для відшукання $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ застосовна формула :
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Приклад №5
Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Оскільки $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (нагадаю, що $\cos(0)=1$) і $\lim_(x\to(0))x^2=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Однак, щоб застосувати першу чудову межу, слід позбутися косинуса в чисельнику, перейшовши до синусів (щоб потім застосувати формулу) або тангенсів (щоб потім застосувати формулу). Зробити це можна таким перетворенням:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Повернемося до межі:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Дроб $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ вже близька до тієї форми, що потрібно для першої чудової межі. Трохи попрацюємо з дробом $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, підганяючи її під першу чудову межу (врахуйте, що вирази в чисельнику і під синусом повинні збігтися):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Повернемося до межі:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1 ^ 2) = 25. $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Приклад №6
Знайти межу $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Оскільки $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Розкриємо її за допомогою першої чудової межі. Для цього перейдемо від косинусів до синусів. Оскільки $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, то:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Переходячи в заданій межі до синусів, матимемо:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Приклад №7
Обчислити межу $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ за умови $\alpha\neq\ beta $.
Детальні пояснення були дані раніше, тут просто відзначимо, що знову є невизначеність $\frac(0)(0)$. Перейдемо від косинусів до синусів, використовуючи формулу
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Використовуючи вказану формулу, отримаємо:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2) (2) $.
Приклад №8
Знайти межу $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Оскільки $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (нагадаю, що $\sin(0)=\tg(0)=0$) і $\lim_(x\to(0))x^3=0$, то тут ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Розкриємо її так:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Приклад №9
Знайти межу $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Оскільки $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -3) (2) = 0 $, то є невизначеність виду $ \ frac (0) (0) $. Перед тим, як переходити до її розкриття, зручно зробити заміну змінною таким чином, щоб нова змінна прямувала до нуля (зверніть увагу, що у формулах змінна $\alpha\to 0$). Найпростіше ввести змінну $t=x-3$. Однак задля зручності подальших перетворень (цю вигоду можна помітити під час наведеного нижче рішення) варто зробити таку заміну: $t=\frac(x-3)(2)$. Зазначу, що обидві заміни застосовні в даному випадку, просто друга заміна дозволить менше працювати з дробами. Оскільки $x\to(3)$, то $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Відповідь: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Приклад №10
Знайти межу $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.
Знову маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Перед тим, як переходити до її розкриття, зручно зробити заміну змінною таким чином, щоб нова змінна прямувала до нуля (зверніть увагу, що у формулах змінна $\alpha\to(0)$). Найпростіше ввести змінну $t=\frac(\pi)(2)-x$. Оскільки $x\to\frac(\pi)(2)$, то $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = frac(1)(2). $$
Відповідь: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac (1) (2) $.
Приклад №11
Знайти межі $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
У цьому випадку нам не доведеться використовувати першу чудову межу. Зверніть увагу: як у першому, так і в другому межах присутні лише тригонометричні функції та числа. Найчастіше в таких прикладах вдається спростити вираз, розташоване під знаком межі. При цьому після згаданого спрощення та скорочення деяких співмножників невизначеність зникає. Я навів цей приклад лише з однією метою: показати, що наявність тригонометричних функцій під знаком межі зовсім не обов'язково означає застосування першої чудової межі.
Оскільки $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (нагадаю, що $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) і $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (нагадаю, що $\cos\frac(\pi)(2)=0$), то ми маємо справу з невизначеністю виду $ frac (0) (0) $. Однак це зовсім не означає, що нам потрібно використовувати першу чудову межу. Для розкриття невизначеності досить врахувати, що $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$
Аналогічний спосіб рішення є й у ґраті Демидовича (№475). Що ж до другої межі, те як і попередніх прикладах цього розділу, ми маємо невизначеність виду $\frac(0)(0)$. Чому вона виникає? Вона виникає тому, що $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ і $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Використовуємо ці значення з метою перетворення виразів у чисельнику та у знаменнику. Мета наших дій: записати суму в чисельнику та знаменнику у вигляді твору. До речі, часто в межах аналогічного виду зручна заміна змінної, зроблена з таким розрахунком, щоб нова змінна прямувала до нуля (див., наприклад, приклади №9 або №10 на цій сторінці). Однак у даному прикладі в заміні сенсу немає, хоча за бажання заміну змінної $t=x-\frac(2\pi)(3)$ нескладно здійснити.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Як бачите, нам не довелося застосовувати першу чудову межу. Звичайно, за бажання це можна зробити (див. примітку нижче), але потреби в цьому немає.
Яким буде рішення з використанням першої чудової межі? показати\сховати
При використанні першої чудової межі отримаємо:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) right))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Відповідь: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.
Продовжуємо розбирати готові відповіді з теорії меж і сьогодні зупинимося лише у випадку, коли змінна функції або номер у послідовності прагне нескінченності. Інструкція з обчислення межі при змінній нескінченності, що прагне до нескінченності, наведена раніше, тут тільки зупинимося на окремих випадках, які не є всім очевидними і простими.
Приклад 35. Маємо послідовність у вигляді дробу, де в чисельнику та знаменнику знаходяться кореневі функції.
Потрібно знайти межу при номері, що прагне до нескінченності.
Тут розкривати ірраціональності в чисельнику не потрібно, а лише уважно проаналізувати коріння і знайти, де міститься більш високий ступінь номера.
У першому корені чисельника маємо множником n4, тобто n2 можемо винести за дужки.
Теж саме зробимо зі знаменником.
Далі оцінюємо значення підкорених виразів при граничному переході.
Отримали поділу на нуль, що є неправильно у шкільному курсі, але у граничному переході це допустимо.
Тільки з поправкою, "щоб оцінити, куди прагне функція".
Тому наведений запис не всі викладачі можуть трактувати правильним, хоча й розуміють, що результат від цього не зміниться.
Давайте розглянемо відповідь, складену за вимогами викладачів згідно з теорією.
Для спрощення оцінимо лише головні доданки під коренем 
Далі в чисельнику ступінь дорівнює 2, у знаменнику 2/3, отже чисельник швидше зростає, а значить межа прагне нескінченності.
Його знак залежить від множників при n^2, n^(2/3) тому він позитивний.
Приклад 36. Розглянемо приклад межі поділ показових функцій. Таких прикладів на практичних розглядається мало, тому не всі студенти легко бачать, як розкривати невизначеності, що виникають.
Максимальний множник для чисельника та знаменника дорівнює 8^n, на нього і спрощуємо 
Далі оцінюємо внесок кожного доданка
Доданки 3/8 прагнуть до нуля при змінній спрямовується до нескінченності, оскільки 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
Приклад 37. Межа послідовності з факторіалами розкривається розкладом факторіалу до найбільшого загального множника для чисельника та знаменника.
Далі на нього скорочуємо та оцінюємо ліміт за значенням показників номера у чисельнику та знаменнику.
У нашому прикладі знаменник швидше зростає, тому межа дорівнює нулю. 
Тут використано наступне
властивість факторіалу.
Приклад 38. Не застосовуючи правила Лопіталю порівнюємо максимальні показники змінної у чисельнику та знаменнику дробу.
Так як знаменник містить старший показник змінної 4>2 і росте він швидше.
Звідси робимо висновок, що межа функції прагне нуля.
Приклад 39. Розкриваємо особливість виду нескінченність розділити на нескінченність методом винесення x^4 з чисельника та знаменника дробу.
В результаті граничного переходу отримаємо нескінченність.
Приклад 40. Маємо поділ поліномів, потрібно визначити межу при змінній нескінченності, що прагне.
Старший ступінь змінної в чисельнику і знаменнику дорівнює 3, це означає, що межа існує і дорівнює постійній.
Винесемо x^3 і виконаємо граничний перехід
Приклад 41. Маємо особливість типу одиниця в мірі нескінченність.
А це означає, що вираз у дужках і сам показник треба звести під другий важливий кордон.
Розпишемо чисельник, щоб виділити в ньому вираз ідентичний знаменнику.
Далі переходимо до виразу, що містить одиницю плюс доданок.
У ступеня потрібно виділити множником 1/(доданок).
Таким чином, отримаємо експоненту в ступені межі дробової функції. 
Для розкриття особливості використовували другу межу: 
Приклад 42. Маємо особливість типу одиниця в мірі нескінченність.
Для її розкриття слід звести функцію під другу чудову межу.
Як це зробити докладно показано у наведеній далі формулі 
Подібних завдань можна знайти дуже багато. Їх суть у тому, щоб у показнику отримати потрібний ступінь, а він дорівнює зворотному значенню доданку в дужках за одиниці.
Таким методом отримуємо експоненту. Подальше обчислення зводиться до обчислення межі ступеня експоненти.
Тут експоненційна функція прагне нескінченності, оскільки значення більше одиниці e=2.72>1.
Приклад 43 У знаменнику дробу маємо невизначеність типу нескінченність мінус нескінченність, що фактично дорівнює поділу на нуль.
Щоб позбутися кореня домножимо на сполучене вираз, а далі за формулою різниці квадратів перепишемо знаменник.
Отримаємо невизначеність нескінченність розділити на нескінченність, тому виносимо змінну найбільшою мірою і скорочуємо її у.
Далі оцінюємо внесок кожного доданка і знаходимо межу функції на нескінченності 
Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.
Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав суворі визначення багатьом поняттям матану та заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, тому що довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема більш вбивча за іншу. У цьому зв'язку ми поки не розглядатимемо визначення межі по Коші, а спробуємо зробити дві речі:
1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.
Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.
Отже, що таке межа?
А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….
Будь-яка межа складається з трьох частин:
1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .
Сам запис 
читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».
Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, 
, ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.
Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:
Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.
Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!
Приклад із нескінченністю:
Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.
А що в цей час відбувається з функцією?
, , 
, …
Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:
Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.
Ще один приклад із нескінченністю:
Знову починаємо збільшувати до нескінченності і дивимося на поведінку функції: 
Висновок: при функція необмежено зростає:
І ще серія прикладів:
Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:
, , , , 
, , , , 
,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .
! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.
Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно 
, оскільки рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.
Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?
1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.
2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як 
, , і т.д.
Більше того, межа має дуже хороший геометричний зміст. Для кращого розуміння теми рекомендую ознайомитись із методичним матеріалом Графіки та властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, а й познайомитеся з цікавими випадками, коли межі функції взагалі не існує!
На практиці, на жаль, подарунків небагато. А тому переходимо до розгляду складніших меж. До речі, на цю тему є інтенсивний курсу pdf-форматі, який особливо корисний, якщо у вас дуже мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірші:
Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени
Приклад:
Обчислити межу 
Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.
Як вирішувати межі цього типу?
Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.
Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь знаменника дорівнює двом.
Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.
Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.
Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.
Що важливо в оформленні рішення?
По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.
По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.
По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так: 
Для позначок краще використовувати простий олівець.
Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?
Приклад 2
Знайти межу 
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені: 
Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Приклад 3
Знайти межу 
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.
Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.
Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення
Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.
Приклад 4
Вирішити межу 
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб: 
В даному випадку отримана так звана невизначеність.
Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.
Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.
Отже, вирішуємо нашу межу 
Розкладемо чисельник і знаменник на множники
Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння: 
Спочатку знаходимо дискримінант:
І квадратний корінь із нього: .
Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.
! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.
Далі знаходимо коріння: 
Таким чином:
Всі. Чисельник на множники розкладено.
Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.
Очевидно, що можна скоротити на :
Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:
Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:
Розкладемо чисельник на множники. 
Приклад 5
Обчислити межу 
Спочатку «чистовий» варіант рішення
Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Чисельник:
Знаменник: 
, 
Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.
Рекомендація: Якщо в межі (майже будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більше того, такі числа доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Та просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити під час рішення.
Зауважте, що на заключному етапі рішення я виніс за значок межі двійку, а потім – мінус.
! Важливо
У результаті рішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. Скорочувати такий дрібне можна
. Спочатку потрібно поміняти знак у чисельника чи знаменника (винести -1 за дужки).
тобто з'являється знак «мінус», який при обчисленні межі враховується і втрачати його зовсім не потрібно.
Взагалі, я помітив, що найчастіше у знаходженні меж даного типу доводиться вирішувати два квадратні рівняння, тобто і в чисельнику і знаменнику знаходяться квадратні тричлени.
Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз
Продовжуємо розглядати невизначеність виду
Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.
Приклад 6
Знайти межу 
Починаємо вирішувати.
Спочатку пробуємо підставити 3 у вираз під знаком межі
Ще раз повторюю – це перше, що потрібно виконувати для будь-якої межі. Ця дія зазвичай проводиться подумки або на чернетці.
Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати. 
Як Ви, напевно, помітили, у нас у чисельнику є різниця коренів. А коріння в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися. Навіщо? А без них життя простіше.