Нехай площина `alpha` паралельна площині `beta`, пряма `b` лежить у площині `beta`, точка `B` лежить на прямій `b`. Очевидно, що відстань від точки `B` до площини `alpha` дорівнює відстані від прямої `b` до площини `alpha` і дорівнює відстані між площинами `alpha` та `beta`.
Розглянемо дві схрещувальні прямі `a` та `b` . Проведемо через пряму `a` площину, паралельну до прямої `b`. Через пряму `b` проведемо площину, перпендикулярну площині`alpha`, нехай лінія перетину цих площин `b_1` (ця пряма є проекція прямої `b` на площину `alpha`). Точку перетину прямих `a` та `b_1` позначимо `A`. Точка `A` є проекцією деякої точки `B` прямий `b`. З того, що `AB_|_alpha`, випливає, що `AB_|_a` та `AB_|_b_1`; крім того `b``||``b_1`, значить `AB_|_b` - . Пряма `AB` перетинає прямі `a` і `b` і перпендикулярна і тій, і іншій. Відрізок `AB` називається загальним перпендикуляромдвох прямих, що схрещуються.
Довжина загального перпендикуляра прямих, що схрещуються, дорівнює відстані від будь-якої точки прямої.`b` до площини`alpha`.
* Відстань між схрещуючими прямимидорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра. Нехай у просторі задана пряма `l_1` з відомим напрямним вектором `veca_1` ( напрямним векторомпрямий називається ненульовий вектор, паралельний цій прямій), пряма `l_2` з відомим напрямним вектором `veca_2`, точки `A_1` і `A_2`, що лежать відповідно на `l_1` і `l_2`, крім того, відомий вектор `vec( A_1A_2) = vecr `. Нехай відрізок `P_1P_2` - загальний перпендикуляр до `l_1` та `l_2` (див. рис. 9). Завдання полягає у знаходженні довжини цього відрізка. Представимо вектор `vec(P_1P_2)` у вигляді суми `vec(P_1A_1)+vec(A_1A_2)+vec(A_2P_2)`. Потім, користуючись колінеарністю векторів `vec(P_1A_1)` і `veca_1`, `vec(A_2P_2)` і `veca_2`, отримаємо для вектора `vec(P_1P_2)` уявлення `vec(P_1P_2)=xveca_1+yveca_2+vec де `x` та `y` - невідомі поки числа. Ці числа можна знайти з умови перпендикулярності вектора `vec(P_1P_2)` векторам `veca_1` та `veca_2`, тобто з наступної системи лінійних рівнянь:
x a → 1 + y a → 2 + r → · a → 1 = 0, x a → 1 + y a → 2 + r → · a → 2 = 0. \left\(\begin(array)(l)\left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_1=0,\\\ left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_2=0.\end(array)\right.
Після цього знаходимо довжину вектора `vec(P_1P_2):`
`P_1P_2=sqrt((xveca_1+yveca_2+vecr)^2)`.
Обчислити відстань між діагоналями, що схрещуються, двох сусідніх граней куба з ребром `a`.
Нехай дано куб `A...D_1` з ребром `a`. Знайдемо відстань між прямими `AD_1` та `DC_1` (рис. 10). Введемо базис `veca=vec(DA)`, `vecb=vec(DC)`, `vecc=vec(DD_1)`. За напрямні вектори прямих `AD_1` і `DC_1` можна взяти `vec(AD_1)=vecc-veca` та `vec(DC_1)=vecb+vecc`. Якщо `P_1P_2` - загальний перпендикуляр до аналізованих прямим, то `vec(P_1P_2)=x(vecc-veca)+y(vecb+vecc)+veca`.
Складемо систему рівнянь для знаходження невідомих чисел `x` та `y`:
x c → - a → + y b → + c → + a → · c → - a → = 0, x c → - a → + y b → + c → + a → b → + c → = 0 . \left\(\begin(array)(l)\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a\right) \cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)=0,\\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right )+\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end(array)\right.
Приведемо цю систему до рівносильної:
2 x + y - 1 = 0 x + 2 y = 0 . \left\(\begin(array)(l)2x+y-1=0,\xx2y=0.end(array)\right.
Звідси знаходимо `x=2/3`, `y=-1/3`. Тоді
`vec(P_1P_2)=2/3(vecc-veca)-1/3(vecb+vecc)+veca=1/3veca-1/3vecb+1/3vecc`,
Не минуло й хвилини, як я створив новий Вердовський файл і продовжив так захоплюючу тему. Потрібно ловити моменти робочого настрою, тож ліричного вступу не буде. Буде прозова порка =)
Дві прямі простори можуть:
1) схрещуватися;
2) перетинатися в точці;
3) бути паралельними;
4) збігатися.
Випадок № 1 принципово відрізняється з інших випадків. Дві прямі схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Підніміть одну руку вгору, а іншу руку витягніть вперед - ось вам і приклад прямих, що схрещуються. У пунктах № 2-4 прямі обов'язково лежать в одній площині.
Як з'ясувати взаємне розташування прямих у просторі?
Розглянемо два прямі простори:
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором;
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором.
Для кращого розуміння виконаємо схематичне креслення: 
На кресленні як приклад зображені прямі, що схрещуються.
Як розібратися із цими прямими?
Так як відомі точки, то легко знайти вектор.
Якщо прямі схрещуються, то вектори не компланарні(Див. урок Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів), отже, визначник, складений із їх координат, ненульовий. Або, що практично те саме, буде відмінно від нуля: 
.
У випадках № 2-4 наша конструкція «падає» в одну площину, при цьому вектори компланарні, а змішаний твір лінійно залежних векторівдорівнює нулю: 
.
Розкручуємо алгоритм далі. Припустимо, що 
, Отже, прямі або перетинаються, або паралельні, або збігаються.
Якщо напрямні вектори колінеарні, То прямі або паралельні, або збігаються. Фінальною цвяхом пропоную наступний прийом: беремо якусь точку однієї прямої і підставляємо її координати в рівняння другої прямої; якщо координати "підійшли", то прямі збігаються, якщо "не підійшли", то прямі паралельні.
Хід алгоритму невигадливий, але практичні прикладивсе одно не завадять:
Приклад 11
З'ясувати взаємне розташування двох прямих
Рішення: Як і в багатьох задачах геометрії, рішення зручно оформити за пунктами:
1) Витягуємо з рівнянь точки та напрямні вектори:
2) Знайдемо вектор:
Таким чином, вектори компланарні, отже, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.
4) Перевіримо напрямні вектори на колінеарність.
Складемо систему з відповідних координат даних векторів:
З кожногорівняння слід, що , отже, система спільна, відповідні координати векторів пропорційні, і колінеарні вектори.
Висновок: прямі паралельні чи збігаються.
5) З'ясуємо, чи є у прямих спільні точки. Візьмемо точку , що належить першої прямої, і підставимо її координати до рівняння прямої : 
Таким чином, спільних точок у прямих немає, і їм нічого не залишається, як бути паралельними.
Відповідь:
Цікавий прикладдля самостійного рішення:
Приклад 12
З'ясувати взаємне розташування прямих
Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що другий прямий як параметр виступає буква . Логічно. У загальному випадку– це дві різні прямі, тому в кожної прямий свій параметр.
І знову закликаю не пропускати приклади, пороти буду запропоновані мною завдання далеко не випадкові;-)
Завдання з прямою в просторі
У заключній частині уроку я спробую розглянути максимальна кількість різних завданьіз просторовими прямими. При цьому буде дотримано розпочатий порядок оповіді: спочатку ми розглянемо завдання з прямими, що схрещуються, потім з прямими, що перетинаються, і в кінці поговоримо про паралельні прямі в просторі. Однак повинен сказати, що деякі завдання даного уроку можна сформулювати відразу для кількох випадків розташування прямих, і у зв'язку з цим розбиття розділу на параграфи дещо умовно. Є більше прості приклади, є більше складні прикладиі, сподіваюся, кожен знайде те, що потрібно.
Схрещувальні прямі
Нагадую, що прямі схрещуються, якщо не існує площини, в якій вони обидві лежали б. Коли я продумував практику, на думку прийшло завдання-монстр, і зараз радий представити вашій увазі дракона з чотирма головами:
Приклад 13
Дані прямі. Потрібно:
а) довести, що прямі схрещуються;
б) знайти рівняння прямої , що проходить через точку перпендикулярно даним прямим;
в) скласти рівняння прямої , яка містить загальний перпендикулярпрямих, що схрещуються;
г) знайти відстань між прямими.
Рішення: Дорогу здолає той, хто йде:
а) Доведемо, що прямі схрещуються. Знайдемо точки та напрямні вектори даних прямих: 
Знайдемо вектор:
Обчислимо змішаний твір векторів:
Таким чином, вектори не компланарні, Отже, прямі схрещуються, що й потрібно довести.
Напевно, всі вже давно помітили, що для прямих алгоритм перевірки, що схрещуються, виходить коротше всього.
б) Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямого. Виконаємо схематичне креслення: 
Для різноманітності я розмістив пряму ЗАПодивіться, як вона трохи стерта в точках схрещування. Схрещування? Так, у загальному випадку пряма «де» схрещуватиметься з вихідними прямими. Хоча Наразінас поки що не цікавить, треба просто побудувати перпендикулярну пряму і все.
Що відомо про пряму «де»? Відома точка, що їй належить. Бракує напрямного вектора.
За умовою пряма має бути перпендикулярна прямим , отже, її напрямний вектор буде ортогонален направляючим векторам . Вже знайомий із Прімера № 9 мотив, знайдемо векторний твір:
Складемо рівняння прямої «де» по точці та напрямному вектору:
Готово. В принципі, можна змінити знаки у знаменниках та записати відповідь у вигляді 
, Але потреби в цьому немає ніякої.
Для перевірки необхідно підставити координати точки в отримані рівняння прямої, потім за допомогою скалярного твору векторівпереконатися, що вектор дійсно ортогональний напрямних векторів пе один і пе два.
Як знайти рівняння прямої, що містить загальний перпендикуляр?
в) Це завдання складніше буде. Чайникам рекомендую пропустити цей пункт, не хочу охолоджувати вашу щиру симпатію до аналітичної геометрії=) До речі, і більш підготовленим читачам, можливо, краще теж почекати, справа в тому, що за складністю приклад треба поставити останнім у статті, але за логікою викладу він повинен розташовуватися тут.
Отже, потрібно знайти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються.
– це відрізок, що з'єднує дані прямі та перпендикулярний даним прямим: 
Ось наш красень: - загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються. Він єдиний. Іншого такого немає. Нам же потрібно скласти рівняння прямої, що містить цей відрізок.
Що відомо про пряму «ем»? Відомий її напрямний вектор, знайдений у попередньому пункті. Але, на жаль, ми не знаємо жодної точки, що належить прямій «ем», не знаємо і кінців перпендикуляра – точок. Де ця перпендикулярна пряма перетинає дві вихідні прямі? В Африці, в Антарктиді? З початкового огляду та аналізу умови взагалі не видно, як вирішувати завдання. Але є хитрий хідпов'язаний з використанням параметричних рівнянь прямої.
Рішення оформимо за пунктами:
1) Перепишемо рівняння першої прямої в параметричній формі: 
Розглянемо точку. Координат ми не знаємо. АЛЕ. Якщо точка належить даній прямий, її координатам відповідає , позначимо його через . Тоді координати точки запишуться у вигляді:
Життя налагоджується, одне невідоме – таки не три невідомі.
2) Така ж наруга треба здійснити над другою точкою. Перепишемо рівняння другої прямої в параметричному вигляді: 
Якщо точка належить даній прямій, то при цілком конкретному значенніїї координати повинні задовольняти параметричним рівнянням:
Або: 
3) Вектор, як і раніше знайдений вектор, буде напрямним вектором прямий. Як скласти вектор по двох точках, розглядалося в незапам'ятні часина уроці Вектори для чайників. Зараз відмінність полягає в тому, що координати векторів записані з невідомими значеннямипараметрів. Ну і що? Ніхто не забороняє від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку вектора.
Є дві точки: 
.
Знаходимо вектор:
4) Оскільки напрямні вектори колінеарні, один вектор лінійно виражається через інший з деяким коефіцієнтом пропорційності «лямбда»:
Або покоординатно: 
Вийшла сама, що ні є звичайна система лінійних рівняньз трьома невідомими , яка стандартно можна розв'язати, наприклад, методом Крамера. Але тут є можливість позбутися малої крові, з третього рівняння висловимо «лямбду» і підставимо її в перше і друге рівняння:
Таким чином: 
, А «лямбда» нам не буде потрібно. Те, що значення параметрів вийшли однакові – чиста випадковість.
5) Небо повністю прояснюється, підставимо знайдені значення 
у наші точки:
Напрямний вектор особливо не потрібний, тому що вже знайдено його колега.
Після довгого шляху завжди цікаво виконати перевірку.
:
Отримано вірні рівності.
Підставимо координати точки в рівняння 
:
Отримано вірні рівності.
6) Заключний акорд: складемо рівняння прямої по точці (можна взяти) і напрямному вектору:
В принципі, можна підібрати «хорошу» точку з цілими координатами, але це вже косметика.
Як знайти відстань між прямими, що схрещуються?
г) Зрубуємо четверту голову дракона.
Спосіб перший. Навіть не спосіб, а невеликий окремий випадок. Відстань між схрещуються прямими дорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра: 
.
Крайні точкизагального перпендикуляра 
знайдені в попередньому пункті, і завдання елементарне:
Спосіб другий. Насправді найчастіше кінці загального перпендикуляра невідомі, тому використовують інший підхід. Через дві прямі, що схрещуються, можна провести паралельні площини, і відстань між даними площинами дорівнює відстані між даними прямими. Зокрема, між цими площинами і стирчить загальний перпендикуляр.
У курсі аналітичної геометрії з вищесказаних міркувань виведена формула знаходження відстані між прямими схрещуються: 
(замість наших точок «ем один, два» можна взяти довільні точкипрямих).
Змішаний твір векторіввже знайдено у пункті «а»: 
.
Векторний твір векторівзнайдено у пункті «бе»: 
, обчислимо його довжину:
Таким чином:
Гордо викладемо трофеї в один ряд:
Відповідь:
а) 
, отже, прямі схрещуються, що потрібно було довести;
б) 
;
в) 
;
г) 
Що ще можна розповісти про прямі, що схрещуються? Між ними визначено кут. Але універсальну формулукута розглянемо в наступному параграфі:
Прямі простори, що перетинаються, обов'язково лежать в одній площині: 
Перша думка – всіма силами навалитися на точку перетину. І відразу ж подумалося, навіщо собі відмовляти у правильних бажаннях?! Давайте навалимося на неї прямо зараз!
Як знайти точку перетину просторових прямих?
Приклад 14
Знайти точку перетину прямих
Рішення: Перепишемо рівняння прямих у параметричній формі: 
Це завданнядокладно розглядалася в Прикладі № 7 цього уроку (див. Рівняння прямої у просторі). А самі прямі, до речі, я взяв із Прімера № 12. Брехати не буду, нові ліньки вигадувати.
Прийом рішення стандартний і вже зустрічався, коли ми вимучували рівняння загального перпендикуляра прямих, що схрещуються.
Точка перетину прямих належить прямої , тому її координати задовольняють параметричним рівнянням даної прямої, і відповідає цілком конкретне значенняпараметра:
Але ця ж точка належить і другий прямий, отже: 
Прирівнюємо відповідні рівняння та проводимо спрощення: 
Отримано система трьохлінійних рівнянь із двома невідомими. Якщо прямі перетинаються (що доведено в Прикладі № 12), система обов'язково спільна і має єдине рішення. Її можна вирішити методом Гауса, але вже таким дитсадківським фетишизмом грішити не будемо, зробимо простіше: з першого рівняння висловимо «те нульове» і підставимо його в друге і третє рівняння: 
Останні два рівняння вийшли, по суті, однаковими, і з них випливає, що . Тоді:
Підставимо знайдене значення параметра рівняння: 
Відповідь:
Для перевірки підставимо знайдене значення параметра рівняння: 
Отримані самі координати, що й потрібно перевірити. Скрупульозні читачі можу підставити координати точки і вихідні канонічні рівняння прямих.
До речі, можна було поступити навпаки: точку знайти через «ес нульове», а перевірити – через «те нульове».
Відома математична прикмета говорить: там, де обговорюють перетин прямих, завжди пахне перпендикулярами.
Як побудувати пряму простір, перпендикулярну даній?
(прямі перетинаються)
Приклад 15
а) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої 
(Прямі перетинаються).
б) Знайти відстань від точки до прямої.
Примітка
: застереження «прямі перетинаються» – істотна. Через точку
можна провести нескінченно багато перпендикулярних прямих, які схрещуватимуться з прямої «ель». Єдине рішеннямає місце у разі, коли через дану точкупроводиться пряма, перпендикулярна двомзаданим прямим (див. приклад № 13, пункт «б»).
а) Рішення: Невідому пряму позначимо через . Виконаємо схематичне креслення:
Що відомо про пряму? За умовою дана точка. Для того щоб скласти рівняння прямої, необхідно знайти напрямний вектор. Як такий вектор цілком підійде вектор, їм і займемося. Точніше, візьмемо за шкірку невідомий кінець вектора.
1) Витягнемо з рівнянь прямої «ель» її напрямний вектор, а самі рівняння перепишемо в параметричній формі: 
Багато хто здогадався, зараз уже втретє за урок фокусник дістане білого лебедяз капелюха. Розглянемо точку із невідомими координатами. Оскільки точка , її координати задовольняють параметричним рівнянням прямий «ель» їм відповідає конкретне значення параметра:
Або одним рядком:
2) За умовою прямі мають бути перпендикулярні, отже, їх напрямні вектори – ортогональні. А якщо вектори ортогональні, то їх скалярний добутокодно нулю: 
Що вийшло? Найпростіше лінійне рівнянняз однією невідомою: 
3) Значення параметра відоме, знайдемо точку:
І напрямний вектор:
.
4) Рівняння прямої складемо по точці та напрямному вектору 
:
Знаменники пропорції вийшли дробові, і це якраз той випадок, коли дробів доречно позбутися. Я просто помножу їх на -2: 
Відповідь: 
Примітка
: більш строга кінцівка рішення оформляється так: складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору 
. Дійсно, якщо вектор є напрямним вектором прямої, то колінеарний йому вектор , природно, теж буде напрямним вектором цієї прямої.
Перевірка складається з двох етапів:
1) перевіряємо напрямні вектори прямих на ортогональність;
2) підставляємо координати точки в рівняння кожної прямої, вони мають «підходити» і там, і там.
Про типові дії йшлося дуже багато, тому я виконав перевірку на чернетці.
До речі, забув ще пунктик - побудувати точку «зю» симетричну точку"ен" щодо прямої "ель". Втім, є хороший «плоский аналог», з яким можна ознайомитись у статті Найпростіші завдання з прямою на площині. Тут же вся відмінність буде в додатковій «зетовий» координаті.
Як знайти відстань від точки до прямої у просторі?
б) Рішення: Знайдемо відстань від точки до прямої .
Спосіб перший. Ця відстаньв точності дорівнює довжині перпендикуляра: . Рішення очевидне: якщо відомі точки 
, то:
Спосіб другий. У практичні завданняпідстава перпендикуляра часто таємниця за сімома печатками, тому раціональніше користуватися готовою формулою.
Відстань від точки до прямої виражається формулою: 
, де - напрямний вектор прямий "ель", а - довільнаточка, що належить даній прямій.
1) З рівнянь прямої 
дістаємо напрямний вектор і найдоступнішу точку.
2) Крапка відома з умови, заточимо вектор:
3) Знайдемо векторний витвірі обчислимо його довжину: 
4) Розрахуємо довжину напрямного вектора:
5) Таким чином, відстань від точки до прямої:
Геометрія. 11 клас
Тема урока: Відстань між схрещуючими прямими
Тер-Ованесян Г.Л., вчитель вищої категорії, лауреат премії Фонду Сороса
м Москва
Розглянемо завдання на знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Відстань між схрещуються прямими - це довжина загального перпендикуляра до цих прямих.
Нехай нам дано куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 ребро якого дорівнює одиниці АВ = 1. Потрібно знайти відстань між прямими АВ та DC 1: ρ(АВ; DС 1) - ?
Ці дві прямі лежать у паралельних площинах: АВ лежить у площині АА 1 В 1 В, DС 1 лежить у площині D 1 DС 1 С. Знайдемо спочатку перпендикуляр до цих двох площин. Таких перпендикулярів малюнку багато. Це відрізок ВС, 1 З 1 , А 1 D 1 і AD. З них має сенс вибрати той відрізок, який не тільки перпендикулярний до цих площин, а значить перпендикулярний і нашим прямим АВ і DC 1 , а й проходить через ці прямі. Такий відрізок – AD. Він одночасно перпендикулярний прямий АВ, тому що перпендикулярний площині АА 1 В 1 В і прямий DC 1 , тому що перпендикулярний площині D 1 DС 1 С. І означає, що AD - це загальний перпендикуляр до прямих АВ і DC 1 , що схрещуються. Відстань між цими прямими – довжина цього перпендикуляра, тобто довжина відрізка АD. Але AD – це ребро куба. Отже, відстань дорівнює 1:
ρ(АВ; DС 1) = AD = 1
Розглянемо ще одну задачу, трохи складнішу, про знаходження відстані між прямими, що схрещуються.
Нехай нам дано знову куб, ребро якого дорівнює одиниці. Потрібно знайти відстань між діагоналями протилежних граней. Тобто, дано куб АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 . Ребро АВ=1. Потрібно знайти відстань між прямими ВА 1 і DC 1: ρ(А 1;DС 1) - ?
Ці дві прямі схрещуються, отже відстань - це довжина загального перпендикуляра. Можна не малювати загальний перпендикуляр, а сформулювати наступним чином: це довжина перпендикуляра між паралельними площинами, у яких лежать ці прямі. Пряма ВА 1 лежить у площині АВВ 1 А 1 , а пряма DC 1 лежить у площині D 1 DCC 1 . Вони паралельні, отже відстань між ними і є відстань між цими прямими. А відстань між гранями куба – це довжина ребра. Наприклад, довжина ребра НД. Тому що ПС перпендикулярно і площині АВВ 1 А 1, і площини DСС 1 D 1 . Отже, відстань між прямими, даними в умові, дорівнює відстані між паралельними площинами і дорівнює 1:
ρ(А 1 У;DС 1)=ВС=1
Розглянемо ще одне завдання про знаходження відстані між прямими, що схрещуються.
Нехай у нас дана правильна трикутна призма, у якої відомі усі ребра. Потрібно знайти відстань між ребрами верхньої та нижньої основ. Тобто нам дано призм АВСА 1 В 1 С 1 . Причому АВ=3=АА 1 . Потрібно знайти відстань між прямими НД і А1С1: ρ(ВС;А1С1) - ?
Оскільки ці прямі схрещуються, то відстань між ними - це довжина загального перпендикуляра або довжина перпендикуляра до паралельних площин, в яких вони лежать. Знайдемо ці паралельні площини.
Пряма НД лежить у площині АВС, а пряма А1С1 лежить у площині А1В1С1. Ці дві площини паралельні, оскільки це верхня та нижня основи призми. Отже, відстань між нашими прямими – це відстань між цими паралельними площинами. А відстань між ними дорівнює точності довжині бокового ребраАА 1 , тобто 3:
ρ(ВС;А 1 З 1)=АА 1 =3
У цій конкретному завданніможна знайти як довжину загального перпендикуляра, а й побудувати його. Для цього ми з усіх бічних ребер вибираємо таке, що має спільні точки з прямою ВС та А1С1. На малюнку це ребро СС 1 . Воно буде перпендикулярно прямій А 1 С 1 оскільки перпендикулярно площині верхньої основи, і прямий ВС, оскільки перпендикулярно площині нижньої основи. Отже, ми можемо знайти як відстань, а й побудувати цей загальний перпендикуляр.
Сьогодні на уроці ми згадали, як знаходити довжину загального перпендикуляра між прямими, що схрещуються.
Стаття націлена на знаходження відстані між прямими методом координат, що схрещуються. Буде розглянуто визначення відстані між цими прямими, отримаємо алгоритм за допомогою якого перетворимо знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Закріпимо тему вирішенням таких прикладів.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Попередньо необхідно довести теорему, яка визначає зв'язок між заданими прямими, що схрещуються.
Розділ взаємного розташуванняпрямих у просторі говорить про те, що якщо дві прямі називають схрещуються, якщо їхнє розташування не в одній площині.
Теорема
Через кожну пару прямих, що схрещуються, може проходити площину, паралельна даній, причому тільки одна.
Доведення
За умовою нам дано схрещувальні прямі a і b. Необхідно довести прохідність єдиної площини через пряму b, паралельну даній прямій a. Аналогічний доказ необхідно застосовувати для прямої a через яку проходить площина, паралельна даної прямої b.
Для початку необхідно відзначити точку Q на прямій b. Якщо випливати з визначення паралельності прямих, то отримуємо, що через точку простору можна провести пряму, паралельну заданій прямій, причому лише одну. Отже, через точку Q проходить лише одна пряма, паралельна до прямої a . Приймемо позначення а 1 .
Розділ способів завдання площини йшлося про те, що проходження єдиної площини можливе через дві прямі, що перетинаються. Отже, отримуємо, що прямі b і а 1 – прямі, що перетинаються, через які проходить площина, що позначається χ .
З ознаки паралельності прямої з площиною, можна дійти невтішного висновку, що задана пряма a паралельна щодо площині χ , оскільки пряма a паралельна прямий а 1 , що у площині χ .
Площина є єдиною, так як пряма, що проходить через задану пряму, що знаходиться в просторі, паралельна заданої прямої. Розглянемо малюнку, наданому нижче.
При переході від визначення відстані між прямими, що схрещуються, визначаємо відстань через відстань між прямою і паралельною їй площиною.
Визначення 1
Називають відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму.
Тобто відстань між прямою та площиною є відстанню від заданої точки до площини. Тоді застосовується формулювання визначення відстані між прямими, що схрещуються.
Визначення 2
Відстанню між схрещуючими прямиминазивають відстань від деякої точки прямих, що схрещуються, до площини, що проходить через іншу пряму, паралельну першій прямій.
Виробимо докладний розглядпрямих a і b. Точка М 1 розташовується на прямій a через пряму b проводиться площина χ, паралельна прямий a. З точки М 1 проводимо перпендикуляр М 1 Н 1 до площини. Довжина цього перпендикуляра є відстанню між схрещуючими прямими a і b. Розглянемо малюнку, наведеному нижче.
Знаходження відстані між схрещувальними прямими – теорія, приклади, рішення
Відстані між схрещуються прямими знаходяться при побудові відрізка. Відстань, що шукається, дорівнює довжині цього відрізка. За умовою завдання його довжина перебуває за теореми Піфагора, за ознаками рівності чи подібності трикутників чи іншим.
Коли маємо тривимірне простір із системою координат О х у z із заданими в ній прямими a і b , то обчислення слід проводити, починаючи з відстані між заданими схрещуються за допомогою методу координат. Зробимо докладний розгляд.
Нехай за умовою є площиною, що проходить через пряму b , яка паралельна прямій a . Шукана відстань між прямими схрещуються a і b дорівнює відстані від точки М 1 , розташованої на прямій a , до площини _ χ . Для того, щоб отримати нормальне рівняння площини χ необхідно визначити координати точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , розташованої на прямій a . Тоді отримаємо cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, яке необхідно для визначення відстані M 1 H 1 від точки M 1 x 1, y 1, z 1 до площини χ. Обчислення проводяться за формулою M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Необхідна відстань дорівнює шуканій відстані між прямими, що схрещуються.
Це завдання передбачає отримання координат точки М 1 , яка розташовується на прямій a , знаходження нормального рівнянняплощині χ.
Визначення координат точки М 1 необхідне і можливе при знанні основних видів рівнянь прямої в просторі. Щоб отримати рівняння площини, необхідно зупинитися докладніше на алгоритмі обчислення.
Якщо координати x 2 , y 2 , z 2 будуть визначені за допомогою точки М 2 через яку проведена площина χ отримуємо нормальний вектор площини χ у вигляді вектора n → = (A , B , C) . Виходячи з цього, можна записати загальне рівнянняплощині у вигляді A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 .
Замість точки М 2 може бути взята будь-яка інша точка, що належить прямий b тому, як площина проходить через неї. Отже, координати точки М2 знайдені. Необхідно перейти до знаходження нормального вектора площини.
Маємо, що площина проходить через пряму b , причому паралельна прямий a . Значить, нормальний вектор площини χ перпендикулярний напрямному вектору прямої a позначимо a → і напрямному вектору прямої b позначимо b → . Вектор n → дорівнюватиме векторному твору a → та b → , що означає, n → = a → × b → . Після визначення координат a x , a y , a z та b x , b y , b z напрямних векторів заданих прямих a та b , обчислюємо
n → = a → x b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Звідси знаходимо значення координат A, B, C нормального вектора до площини.
Знаємо, що загальне рівняння площини має вигляд A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 .
Необхідно привести рівняння до нормального вигляду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Після чого потрібно провести обчислення шуканої відстані між схрещуючими прямими a і b, виходячи з формули M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.
Щоб знайти відстань між схрещувальними прямими a і b необхідно слідувати алгоритму:
- визначення координат (x 1 , y 1 , z 1) і x 2 , y 2 , z 2 точок М 1 і М 2 розташованих на прямих a і b відповідно;
- одержання координат a x , a y , a z і b x , b y , b z , що належать напрямним векторам прямих a і b ;
- знаходження координат A , B , C , що належить вектору n → на площині χ , що проходить через пряму b , розташовану паралельно a , по рівності n → = a → × b → = i → j →
- запис загального рівняння площини у вигляді A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
- приведення отриманого рівняння площини до рівняння нормального виду cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;
- обчислення відстані M 1 H 1 від M 1 x 1 , y 1 , z 1 до площини χ , виходячи з формули M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .
Є дві схрещуючі прямі у прямокутної системикоординат Ох у z тривимірного простору. Пряма a визначена параметричним рівняннямпрямий у просторі x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ , пряма b за допомогою канонічного рівнянняпрямий у просторі x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6 . Знайти відстань між прямими, що схрещуються.
Рішення
Зрозуміло, що пряма а перетинає точку M 1 (- 2 , 1 , 4) з напрямним вектором a → = (0 , 2 , - 3) , а пряма b перетинає точку M 2 (0 , 1 , - 4) з напрямним вектором b → = (1, - 2, 6).
Для початку слід провести обчислення напрямних векторів a → = (0 , 2 , - 3) та b → = (1 , - 2 , 6) за формулою. Тоді отримуємо, що
a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 · i → - 3 · j → - 2 · k →
Звідси отримуємо, що n → = a → × b → - це вектор площини χ, який проходить через пряму b паралельно з координатами 6 , - 3 , - 2 . Отримаємо:
6 · (x - 0) - 3 · (y - 1) - 2 · (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0
Знаходимо нормуючий множник для загального рівняння площини 6 x – 3 y – 2 z – 5 = 0 . Обчислимо за формулою 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7 . Значить, нормальне рівняння набуде вигляду 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 .
Необхідно скористатися формулою, щоб знайти відстань від точки M 1 - 2 , 1 , 4 до площини, заданою рівнянням 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0. Отримуємо, що
M 1 H 1 = 6 7 · (- 2) - 3 7 · 1 - 2 7 · 4 - 5 7 = - 28 7 = 4
Звідси випливає, що шуканою відстанню є відстань між заданими прямими, що схрещуються, є значення 4 .
Відповідь: 4 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
У цій статті увага націлена на знаходження відстані між прямими методом координат, що схрещуються. Спочатку дано визначення відстані між прямими, що схрещуються. Далі отримано алгоритм, що дозволяє знайти відстань між прямими, що схрещуються. Наприкінці детально розібрано рішення прикладу.
Навігація на сторінці.
Відстань між прямими, що схрещуються, - визначення.
Перш ніж дати визначення відстані між прямими, що схрещуються, нагадаємо визначення прямих, що схрещуються, і доведемо теорему, пов'язану з прямими, що схрещуються.
Визначення.
- Це відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму.
У свою чергу відстань між прямою та паралельною їй площиною є відстань від деякої точки прямої до площини. Тоді справедливе наступне формулювання визначення відстані між прямими, що схрещуються.
Визначення.
Відстань між схрещуючими прямими– це відстань від деякої точки однієї з прямих, що схрещуються, до площини, що проходить через іншу пряму паралельно першій прямій.
Розглянемо схрещувальні прямі a і b. Зазначимо на прямій a деяку точку М 1 , через пряму b проведемо площину , паралельну прямій a і з точки М 1 опустимо перпендикуляр М 1 H 1 на площину . Довжина перпендикуляра M 1 H 1 є відстань між прямими схрещуються a і b .
Знаходження відстані між схрещувальними прямими – теорія, приклади, рішення.
При знаходженні відстані між прямими схрещуються основна складність часто полягає в тому, щоб побачити або побудувати відрізок, довжина якого дорівнює шуканій відстані. Якщо такий відрізок побудований, то залежно від умов завдання його довжина може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора, ознак рівності чи подібності до трикутників тощо. Так ми і чинимо при знаходженні відстані між прямими, що схрещуються, на уроках геометрії в 10-11 класах.
Якщо ж у тривимірному просторівведена Oxyz і в ній задані прямі схрещуються a і b , то впоратися із завданням обчислення відстані між заданими схрещуються прямими дозволяє метод координат. Давайте його докладно розберемо.
Нехай - площина, що проходить через пряму b паралельно прямий a . Тоді відстань між схрещуючими прямими a і b за визначенням дорівнює відстані від деякої точки М 1 , що лежить на прямій a , до площини . Таким чином, якщо ми визначимо координати деякої точки М 1 , що лежить на прямій a і отримаємо нормальне рівняння площини у вигляді , то ми зможемо обчислити відстань від точки 
до площини за формулою (ця формула була отримана у статті знаходження відстані від точки до площини). А ця відстань дорівнює шуканій відстані між прямими, що схрещуються.
Тепер докладно.
Завдання зводиться до отримання координат точки М 1 , що лежить на прямій a і до знаходження нормального рівняння площини .
З визначенням координат точки М 1 складнощів не виникає, якщо добре знати основні види рівнянь прямої в просторі . А ось на отриманні рівняння площини варто зупинитись докладніше.
Якщо ми визначимо координати деякої точки М 2 через яку проходить площину , а також отримаємо нормальний вектор площини у вигляді 
то ми зможемо написати загальне рівняння площини як .
Як точку М 2 можна взяти будь-яку точку, що лежить на прямій b , так як площина проходить через пряму b . Таким чином, координати точки М2 можна вважати знайденими.
Залишилося отримати координати нормального вектора площини. Зробимо це.
Площина проходить через пряму b і паралельна до прямої a . Отже, нормальний вектор площини перпендикулярний і напрямному вектору прямої a (позначимо його), і напрямному вектору прямої b (позначимо його). Тоді як вектор можна взяти і , тобто, . Визначивши координати та напрямних векторів прямих a та b та обчисливши 
ми знайдемо координати нормального вектора площини.
Отже, маємо загальне рівняння площини : .
Залишається тільки привести загальне рівняння площини до нормального вигляду і обчислити відстань між схрещуваними прямими a і b за формулою .
Таким чином, щоб знайти відстань між прямими, що схрещуються, a і b потрібно:
Розберемо рішення прикладу.
приклад.
У тривимірному просторі в прямокутній системі координат Oxyz задані дві прямі, що схрещуються, a і b . Пряму a визначають