Площа бічній поверхні призми. Вітаю! У цій публікації ми з вами розберемо групу завдань із стереометрії. Розглянемо комбінацію тіл – призми та циліндра. На даний момент ця стаття завершує всю серію статей, пов'язаних з розглядом типів завдань зі стереометрії.
Якщо в банку завдань з'являтимуться нові, то, звичайно, будуть і доповнення на блозі в майбутньому. Але й того, що вже є цілком достатньо, щоб ви могли навчитися вирішувати всі завдання з короткою відповіддю у складі іспиту. Матеріалу вистачить на роки вперед (програма математики статична).
Подані завдання пов'язані з обчисленням площі призми. Відзначу, що нижче розглядається пряма призма (і відповідно прямий циліндр).
Без знання будь-яких формул, ми розуміємо, що бічна поверхня призми це її бічні грані. У прямий призми бічні грані це прямокутники.
Площа бічної поверхні такої призми дорівнює сумі площ усіх її бічних граней (тобто прямокутників). Якщо йдеться про правильну призму, в яку вписаний циліндр, то зрозуміло, що всі грані цієї призми є рівними прямокутниками.
Формально площу бічної поверхні правильної призми можна відобразити так:
27064. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи та висота якого дорівнюють 1. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Бічна поверхня цієї призми складається з чотирьох рівних площею прямокутників. Висота грані дорівнює 1, ребро основи призми дорівнює 2 (це два радіуси циліндра), отже площа бічної грані дорівнює:
Площа бічної поверхні:
73023. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √0,12, а висота дорівнює 3.
Площа бічної поверхні цієї призми дорівнює сумі площ трьох бічних граней (прямокутників). Для знаходження площі бічної грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота дорівнює трьом. Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):
Маємо правильний трикутник, в який вписано коло з радіусом √0,12. З прямокутного трикутника АОС можемо виявити АС. А потім і AD (AD=2АС). За визначенням тангенсу:
Отже AD = 2АС = 1,2. Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:
27066. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √75, а висота дорівнює 1.
Шукана площа дорівнює сумі площ усіх бічних граней. У правильної шестикутної призми бічні грані – це рівні прямокутники.
Для знаходження площі грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота відома, вона дорівнює 1.
Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):
Маємо правильний шестикутник, в який вписано коло радіусу √75.
Розглянемо прямокутний трикутник АВО. Нам відомий катет ВВ (це радіус циліндра). ще можемо визначити кут АОВ, він дорівнює 300 (трикутник АОС рівносторонній, ОВ-бісектриса).
Скористаємося визначенням тангенсу у прямокутному трикутнику:
АС=2АВ, оскільки ОВ є медіаною, тобто ділить АС навпіл, отже АС=10.
Таким чином, площа бічної грані дорівнює 1∙10=10 та площа бічної поверхні:
76485. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, вписаної в циліндр, радіус основи якого дорівнює 8√3, а висота дорівнює 6.
Площа бічної поверхні зазначеної призми із трьох рівних за площею граней (прямокутників). Щоб знайти площу потрібно знати довжину ребра основи призми (висота нам відома). Якщо розглядати проекцію (вид зверху), маємо правильний трикутник вписаний в окружність. Сторона цього трикутника виражається через радіус як:
Подробиці цього взаємозв'язку. Значить вона дорівнюватиме
Тоді площа бічної грані дорівнює: 24 6 = 144. А потрібна площа:
245354. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи якого дорівнює 2. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48. Знайдіть висоту циліндра.
Загальні відомості про пряму призму
Бічною поверхнею призми (точніше, площею бічної поверхні) називається сумаплощ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.
Теорема 19.1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми, т. е. на довжину бічного ребра.
Доведення. Бічні грані прямої призми – прямокутники. Основи цих прямокутників є сторонами багатокутника, що лежить в основі призми, а висоти дорівнюють довжині бічних ребер. Звідси випливає, що бічна поверхня призми дорівнює
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
де a 1 а n - довжини ребер основи, р - периметр основи призми, а I - довжина бічних ребер. Теорему доведено.
Практичне завдання
Завдання (22) . У похилій призмі проведено переріз, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхню призми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.
Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на частини (рис. 411). Піддамо одну з них паралельному переносу, що поєднує підстави призми. При цьому отримаємо пряму призму, у якої основою є переріз вихідної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й вихідна. Таким чином, бічна поверхня вихідної призми дорівнює рl.
Узагальнення пройденої теми
А тепер давайте спробуємо з вами підбити підсумки пройденої теми про призм і пригадаємо, які властивості має призм.
Властивості призми
По-перше, у призми всі її основи є рівними багатокутниками;
По-друге, у призми усі її бічні грані є паралелограмами;
По-третє, у такої багатогранної фігури, як призма, всі бічні ребра рівні;
Також, слід згадати, що такі багатогранники, як призми, можуть бути прямими і похилими.
Яка призма називається прямою?
Якщо ж у призми бічне ребро розташоване перпендикулярно площині її основи, то така призма називається прямою.
Не зайве нагадати, що бічні грані прямої призми є прямокутниками.
Яку призму називають похилою?
А от якщо ж у призми бічне ребро не розташоване перпендикулярно до площини її основи, то можна сміливо стверджувати, що це похила призма.
Яку призму називають правильною?
Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма є правильною.
Тепер згадаємо властивості, які має правильна призма.
Властивості правильної призми
По-перше, завжди підставами правильної призми є правильні багатокутники;
По-друге, якщо розглядати у правильної призми бічні грані, всі вони завжди бувають рівними прямокутниками;
По-третє, якщо порівнювати розміри бічних ребер, то правильної призмі вони завжди рівні.
По-четверте, правильна призма завжди пряма;
По-п'яте, якщо ж у правильній призмі бічні грані мають форму квадратів, то таку фігуру зазвичай називають напівправильним багатокутником.
Перетин призми
А тепер давайте розглянемо переріз призми:
Домашнє завдання
А тепер давайте спробуємо закріпити вивчену тему за допомогою розв'язання задач.
Давайте намалюємо похилу трикутну призму, у якої відстань між її ребрами дорівнюватиме: 3 см, 4 см і 5 см, а бічна поверхня цієї призми дорівнюватиме 60 см2. Маючи такі параметри, знайдіть бічне ребро цієї призми.
А ви знаєте, що геометричні фігури постійно оточують нас не тільки на уроках геометрії, а й у повсякденному житті зустрічаються предмети, що нагадують ту чи іншу геометричну фігуру.
У кожного будинку, у школі або на роботі є комп'ютер, системний блок якого має форму прямої призми.
Якщо ви візьмете в руки простий олівець, то ви побачите, що основною частиною олівця є призма.
Ідучи центральною вулицею міста, ми бачимо, що у нас під ногами лежить плитка, яка має форму шестикутної призми.
А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Визначення 1. Призматична поверхня
Теорема 1. Про паралельні перерізи призматичної поверхні
Визначення 2. Перпендикулярний переріз призматичної поверхні
Визначення 3. Призма
Визначення 4. Висота призми
Визначення 5. Пряма призма
Теорема 2. Площа бічної поверхні призми
Паралелепіпед:
Визначення 6. Паралелепіпед
Теорема 3. Про перетин діагоналі паралелепіпеда
Визначення 7. Прямий паралелепіпед
Визначення 8. Прямокутний паралелепіпед
Визначення 9. Вимірювання паралелепіпеда
Визначення 10. Куб
Визначення 11. Ромбоедр
Теорема 4. Про діагоналі прямокутного паралелепіпеда
Теорема 5. Обсяг призми
Теорема 6. Обсяг прямої призми
Теорема 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда
Призмоюназивається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а ребра, що не лежать у цих гранях, паралельні між собою.
Грані, відмінні від основ, називаються бічними.
Сторони бічних граней та підстав називаються ребрами призми, кінці ребер називаються вершин призми. Бічні ребраназиваються ребра, що не належать основам. Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею призми, а об'єднання всіх граней називається повною поверхнею призми. Висотою призминазивається перпендикуляр, опущений з точки верхньої основи на площину нижньої основи або довжина цього перпендикуляра. 
Прямою призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. 
Правильноюназивається пряма призма (Рис.3), основу якої лежить правильний багатокутник.
Позначення:
l - бічне ребро;
P – периметр основи;
S o - площа основи;
H – висота;
P^ - периметр перпендикулярного перерізу;
S б - площа бічної поверхні;
V – обсяг;
S п – площа повної поверхні призми.
|
V = SH |
*При цьому передбачається, що кожні дві послідовні площини перетинаються і остання площина перетинає першу
Теорема 1 . Перерізи призматичної поверхні площинами, паралельними між собою (але не паралельними її ребрам), є рівними багатокутниками.
Нехай ABCDE і A"B"C"D"E" - перерізи призматичної поверхні двома паралельними площинами. Щоб переконатися, що ці два багатокутники рівні, достатньо показати, що трикутники ABC і А"В"С" рівні і мають однаковий напрямок обертання що те саме має місце і для трикутників ABD та A"B"D", ABE та А"В"Е". Але відповідні сторони цих трикутників паралельні (наприклад, АС паралельно А"С") як лінії перетину деякої площини з двома паралельними площинами; звідси випливає, що ці сторони рівні (наприклад АС дорівнює А "С") як протилежні сторони паралелограма і що кути, утворені цими сторонами, рівні та мають однаковий напрямок.
Визначення 2 . Перпендикулярним перерізом призматичної поверхні називається переріз цієї поверхні площиною, перпендикулярною до її ребер. З попередньої теореми все перпендикулярні перерізу однієї й тієї ж призматичної поверхні будуть рівними багатокутниками.
Визначення 3
. Призмою називається багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома площинами, паралельними між собою (але непаралельними ребрам призматичної поверхні)
Грані, що лежать у цих останніх площинах, називаються підставами призми; грані, що належать призматичній поверхні, - бічними гранями; ребра призматичної поверхні - бічними ребрами призми. З огляду на попередню теорему, підстави призми - рівні багатокутники. Усі бічні грані призми - паралелограми; всі бічні ребра рівні між собою.
Очевидно, що якщо дано основу призми ABCDE і одне з ребер АА" за величиною та за напрямом, то можна побудувати призму, проводячи ребра ВВ", СС", .., рівні та паралельні ребру АА".
Визначення 4 . Висотою призми називається відстань між площинами її основ (НH).
Визначення 5
. Призма називається прямою, якщо її основами є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні. У цьому випадку висотою призми служить, звичайно, її бічне ребро; бічні грані будуть прямокутниками.
Призми можна класифікувати за кількістю бічних граней, рівним числу сторін багатокутника, що служить її основою. Таким чином, призми можуть бути трикутні, чотирикутні, п'ятикутні тощо.
Теорема 2
. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку бічного ребра на перпериметр перпендикулярного перерізу.
Нехай ABCDEA"B"C"D"E" - дана призма і abcde - її перпендикулярний переріз, так що відрізки ab, bc, .. перпендикулярні до її бічних ребрів. на висоту, яка збігається з аb; площа грані ВСВ"С" дорівнює добутку підстави ВВ" на висоту bc і т. д. Отже, бічна поверхня (тобто сума площ бічних граней) дорівнює добутку бічного ребра, інакше кажучи, загальної довжини відрізків АА", ВВ", .., на суму ab+bc+cd+de+еа.