Бічні ребра піраміди паралельні. Геометричні фігури

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднана з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доказ.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доказ.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Рисунок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доказ.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні зрізаної трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( підстава ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .



Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо у піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Обсяг;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Підставизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.


Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).


Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).


Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:


Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:


Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.


Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо

Цей відеоурок допоможе користувачам отримати уявлення про тему Піраміда. Правильна піраміда. У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення. Розглянемо, що таке правильна піраміда і які властивості вона має. Потім доведемо теорему про бічній поверхні правильної піраміди.

У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення.

Розглянемо багатокутник А 1 А 2...А n, який лежить у площині α, та точку P, яка не лежить у площині (рис. 1). З'єднаємо точку Pз вершинами А 1, А 2, А 3, … А n. Отримаємо nтрикутників: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Рі таке інше.

Визначення. Багатогранник РА 1 А 2 …А n, складений з n-кутника А 1 А 2...А nі nтрикутників РА 1 А 2, РА 2 А 3 …РА n А n-1 n-вугільною пірамідою. Мал. 1.

Мал. 1

Розглянемо чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 2).

Р- Вершина піраміди.

ABCD- основа піраміди.

РА- Бокове ребро.

АВ- ребро основи.

З точки Ропустимо перпендикуляр РНна площину основи АВСD. Проведений перпендикуляр є висотою піраміди.

Мал. 2

Повна поверхня піраміди складається з поверхні бічної, тобто площі всіх бічних граней, і площі основи:

S повн = S бік + S осн

Піраміда називається правильною, якщо:

  • її основа - правильний багатокутник;
  • відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром основи є її висотою.

Пояснення на прикладі правильної чотирикутної піраміди

Розглянемо правильну чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 3).

Р- Вершина піраміди. Заснування піраміди АВСD- правильний чотирикутник, тобто квадрат. Крапка Про, точка перетину діагоналей є центром квадрата. Значить, РВ- Це висота піраміди.

Мал. 3

Пояснення: у правильному n-кутник центр вписаного і центр описаного кола збігається. Цей центр називається центром багатокутника. Іноді кажуть, що вершина проектується до центру.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемоюі позначається h а.

1. всі бічні ребра правильної піраміди рівні;

2. бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Доказ цих властивостей наведемо з прикладу правильної чотирикутної піраміди.

Дано: РАВСD- правильна чотирикутна піраміда,

АВСD- Квадрат,

РВ- Висота піраміди.

Довести:

1. РА = РВ = РС = РD

2.∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP Див. 4.

Мал. 4

Доказ.

РВ- Висота піраміди. Тобто, пряма РВперпендикулярна площині АВС, А значить, і прямим АТ, ВО, СОі DО, що лежить у ньому. Отже, трикутники РОА, РІВ, РІС, РОD- Прямокутні.

Розглянемо квадрат АВСD. З властивостей квадрата випливає, що АТ = ВО = СО = ДО.

Тоді у прямокутних трикутників РОА, РІВ, РІС, РОDкатет РВ- загальний та катети АТ, ВО, СОі DОрівні, отже, ці трикутники рівні за двома катетами. З рівності трикутників випливає рівність відрізків, РА = РВ = РС = РD.Пункт 1 доведено.

Відрізки АВі НДрівні, оскільки є сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Отже, трикутники АВРі ВCР -рівнобедрені та рівні по трьох сторонах.

Аналогічно отримуємо, що трикутники АВР, ВCР, СDР, DAPрівнобедрені та рівні, що й потрібно було довести у пункті 2.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

Для підтвердження виберемо правильну трикутну піраміду.

Дано: РАВС- правильна трикутна піраміда.

АВ = ВС = АС.

РВ- Висота.

Довести: . Див. Рис. 5.

Мал. 5

Доказ.

РАВС- правильна трикутна піраміда. Тобто АВ= АС = НД. Нехай Про- центр трикутника АВСтоді РВ- Це висота піраміди. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник АВС. Зауважимо, що .

Трикутники РАВ, РВС, РСА- рівні рівнобедрені трикутники (за якістю). У трикутної піраміди три бічні грані: РАВ, РВС, РСА. Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

S бік = 3S РАВ

Теорему доведено.

Радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м, висота піраміди дорівнює 4 м. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Дано: правильна чотирикутна піраміда АВСD,

АВСD- Квадрат,

r= 3 м,

РВ- Висота піраміди,

РВ= 4 м-коду.

Знайти: S бік. Див. Рис. 6.

Мал. 6

Рішення.

По доведеній теоремі, .

Знайдемо спочатку бік основи АВ. Нам відомо, що радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м.

Тоді м.

Знайдемо периметр квадрата АВСDзі стороною 6 м:

Розглянемо трикутник BCD. Нехай М- середина сторони DC. Оскільки Про- середина BD, то (М).

Трикутник DPC- рівнобедрений. М- середина DC. Тобто, РМ- медіана, а значить, і висота у трикутнику DPC. Тоді РМ- Апофема піраміди.

РВ- Висота піраміди. Тоді, пряма РВперпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий ОМ, що лежить у ньому. Знайдемо апофему РМіз прямокутного трикутника РОМ.

Тепер можемо знайти бічну поверхню піраміди:

Відповідь: 60 м 2 .

Радіус кола, описаного біля основи правильної трикутної піраміди, дорівнює м. Площа бічної поверхні дорівнює 18 м 2 . Знайдіть довжину апофеми.

Дано: АВСP- правильна трикутна піраміди,

АВ = ВС = СА,

R= м,

S бік = 18 м 2 .

Знайти: . Див. Рис. 7.

Мал. 7

Рішення.

У правильному трикутнику АВСдано радіус описаного кола. Знайдемо бік АВцього трикутника за допомогою теореми синусів.

Знаючи бік правильного трикутника (м), знайдемо його периметр.

По теоремі про площу бічної поверхні правильної піраміди , де h а- Апофема піраміди. Тоді:

Відповідь: 4 м.

Отже, ми розглянули, що таке піраміда, що таке правильна піраміда, довели теорему про бічну поверхню правильної піраміди. На наступному уроці ми познайомимося з усіченою пірамідою.

Список литературы

  1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
  2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
  3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: іл.
  1. Інтернет портал «Яклас» ()
  2. Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей «Перше вересня» ()
  3. Інтернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнє завдання

  1. Чи може правильний багатокутник бути основою неправильної піраміди?
  2. Доведіть, що ребра правильної піраміди, що не перетинаються, перпендикулярні.
  3. Знайдіть величину двогранного кута при стороні основи правильної чотирикутної піраміди, якщо апофема піраміди дорівнює стороні її основи.
  4. РАВС- правильна трикутна піраміда. Побудуйте лінійний кут двогранного кута на основі піраміди.

В якій одне з бічних ребер перпендикулярно до основи.

У цьому випадку це ребро і буде висотою піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

  • біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
  • бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
  • ще, вірно і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

  • біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
  • висоти бічних граней мають рівну довжину;
  • площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу;

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

5. Конус буде вписаним у піраміду, коли вершини їх збігатимуться, а основа конуса буде вписаною в основу піраміди. При цьому вписати конус у піраміду можна лише в тому випадку, якщо апофеми піраміди мають рівні величини (необхідна та достатня умова);

6. Конус буде описаним біля піраміди, якщо їх вершини збігатимуться, а основа конуса буде описана біля основи піраміди. При цьому описати конус біля піраміди можна лише в тому випадку, якщо всі бічні ребра піраміди мають однакові величини (необхідна та достатня умова). Висоти цих конусів і пірамід однакові.

7. Циліндр буде вписаним у піраміду, якщо одна його основа збігається з колом, яке вписано в переріз піраміди площиною, паралельною основі, а друга основа буде належати основі піраміди.

8. Циліндр буде описаним біля піраміди, коли вершина піраміди належатиме його одній підставі, а друга основа циліндра буде описана біля основи піраміди. При цьому описати циліндр біля піраміди можна лише в тому випадку, якщо основою піраміди служить вписаний багатокутник (необхідна та достатня умова).

Формули для визначення обсягу та площі прямокутної піраміди.

V- обсяг піраміди,

S- площа основи піраміди,

h- Висота піраміди,

Sb- площа бічної поверхні піраміди,

a- апофема (не плутати з α ) піраміди,

P- периметр основи піраміди,

n- Число сторін підстави піраміди,

b- Довжина бічного ребра піраміди,

α - Плоский кут при вершині піраміди.

Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутник, а основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.

Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра не обов'язково рівні ребрам основи, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно.

Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула об'єму піраміди:
1) , де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхні піраміди.
3) , де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.

Властивість основи висоти піраміди:

Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней

Коментар репетитора з математики: Зверніть увагу, що всі пункти поєднує одну загальну властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо вірна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти