Санкт-Петербурзький державний морський технічний університет
Кафедра комп'ютерної графікита інформаційного забезпечення
ЗАНЯТТЯ 4
ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ №4
Площина.
Визначення відстані від точки до площини.
1. Визначення відстані від точки до проекції площини.
Для того, щоб знайти дійсну величину відстані від точки до площини, необхідно:
· З точки опустити перпендикуляр на площину;
· Визначити точку перетину проведеного перпендикуляра з площиною;
· Визначити дійсну величину відрізка, початком якого є задана точка, а кінцем - знайдена точка перетину.
Площина може займати у просторі загальнеі приватнестановище. Під приватнимрозуміється положення, при якому площина перпендикулярнадо площини проекцій – таку площину називають проеційною. Основний ознака проецірующего становища: площина перпендикулярна до площини проекцій, якщо вона проходить через пряму проекцію.У цьому випадку одна із проекцій площини пряма лінія – її називають слідом площині.
Якщо площина проецірующая, то легко визначити дійсну величину відстані від точки до площини. Покажемо це з прикладу визначення відстані від точки Удо фронтально-проєкуючої площини, заданої слідом Q2 на площині П2(Рис.1).
Площина Qперпендикулярна до фронтальної площини проекцій, отже, будь-яка до неї перпендикулярна лінія буде паралельна до площини П2.А тоді прямий кут на площину П2проектуватиметься без спотворення, і можна з точки В2провести перпендикуляр до сліду Q2 . Відрізок ВКзнаходиться у приватному положенні, при якому фронтальна проекція В2К2дорівнює справжній величині шуканої відстані.
Рис.1. Визначення відстані від точки до площини, що проеціює.
2. Визначення відстані від точки до площини загального стану.
Якщо площина займає загальне положення, необхідно перевести її в проецірующее положення. Для цього в ній проводиться пряма приватна ситуація (паралельна до однієї з площин проекцій), яку можна перевести в проецірующее положення, використовуючи одне перетворення креслення.
Пряма, паралельна площині П1,називається горизонталлю площини та позначається буквою h. Пряма, паралельна фронтальній площині проекцій П2називається фронталлю площини і позначається буквою f. Лінії hі fназиваються головними лініями площини. Розв'язання задачі показано на наступному прикладі (рис.2).
Початкова умова:трикутник АВСзадає площину. М- точка поза площиною. Задана площина займає загальне становище. Для переведення її в проеціруюче положення виконаємо такі дії. Увімкнути режим ОРТО (ORTHO), використовувати команду Відрізок (Line) - Провести будь-яку горизонтальну лінію, що перетинає фронтальну проекцію трикутника А2В2С2у двох точках. Проекція горизонталі, що проходить через ці точки, позначена h2 . Далі будується горизонтальна проекція h1 .
Головна лінія hможе бути перетворена в проецірующее положення, при якому задана площина стане проецірующей. Для цього необхідно повернути горизонтальні проекції всіх точок (допоміжний чотирикутник АВСМ) у нове положення, при якому лінія h1 буде займати вертикальне положення, перпендикулярне до осі Х. Зручно виконати ці побудови, використовуючи плоскопаралельний перенесення (копія проекції міститься на вільне місцеекрана).
В результаті нова фронтальна проекція площини виглядатиме у вигляді прямої лінії (сліду площини) А2 * В2 *.Тепер з точки М2*можна провести перпендикуляр до сліду площини. Нова фронтальна проекція М2*К2* = МКтобто. є шуканою відстанню від точки Мдо заданої площини АВС.
Далі необхідно побудувати проекції відстані до початковій умові. Для цього з точки М1проводиться відрізок, перпендикулярний до лінії h1 , і на ньому слід відкласти від крапки М1відрізок, що дорівнює за величиною М1 * К1 *.Щоб збудувати фронтальну проекцію точки К2з точки К1проводиться вертикальна лініязв'язку, а з точки К2*горизонтальна. Результат побудов показано на рис.2.
ЗАВДАННЯ №4.Знайти справжню величину відстані від точки Мдо площини, заданої трикутником АВС. Відповідь дати в мм. (Таблиця 1)
Таблиця 1
|
Варіант |
Крапка А |
Крапка В |
||||
|
Варіант |
Крапка С |
Точка М |
||||
Перевірка та залік виконаного ЗАВДАННЯ №4.
Розглянемо алгоритм розв'язання задачі №3.
1. З заданої точки P провести перпендикуляр t до площини α (площина α – площина фігури, побудованої задачі №1); (·) PÎt; t ^ α (див. приклад 5.1).
2. Визначити точку перетину (точку T) перпендикуляра із площиною α; t ∩ α = (·) T (див. приклад 5.2).
3. Визначити натуральну величину │PT│ відстані від точки P до площини (див. приклад 5.3).
Розглянемо докладніше кожен пункт наведеного вище алгоритму на прикладах.
Приклад 5.1. З точки P провести перпендикуляр t до площини α, заданої трьома точками α (ABC) (рис. 5.1).
З теореми про перпендикулярність прямої та площини відомо, що якщо пряма t ^ α, то на епюрі її горизонтальна проекція t 1 перпендикулярна однойменної проекції горизонталі площини, тобто t 1 ^ h 1 , а її фронтальна проекція t 2 перпендикулярна до одноіменної є t 2 ^ f 2 . Тому вирішення завдання необхідно розпочати з побудови горизонталі та фро-нталі площині α, якщо вони не входять до задану площину . При цьому необхідно пам'ятати, що побудова будь-якої горизонталі треба починати з фронтальної проекції, так як фронтальна проекція h 2 горизонталі h завжди паралельна осі ОХ (h 2 ││ OX). А побудова будь-якої фронталі починають із горизонтальної проекції f 1 фронталі f, яка має бути паралельна осі ОХ (f 1 ││OX). Так, на рис. 5.1 через точку C проведено горизонталь C-1 (З 2 -1 2 ; З 1 -1 1), а через точку A проведено фронталь A-2 (A 1 -2 1 ; A 2 -2 2). Фронтальна проекція t 2 шуканого перпендикуляра t проходить через точку P 2 перпендикулярно до A 2 -2 2 а горизонтальна t 1 - через точку P 1 перпендикулярно до C 1 -1 1 .
Приклад 5.2. Визначити точку перетину перпендикуляра t з площиною α (тобто визначити основу перпендикуляра).
Нехай площина α задана двома прямими α, що перетинаються, (h ∩ f). Пряма t пер-пендикулярна до площини α, так як t 1 ^ f 1 , а
t 2 ^ f 2 . Для того щоб знайти основу перпендикуляра, необхідно здійснити наступні побудови:
1. tÎb (b – допоміжна площина, що проектує). Якщо b – горизонтально-проецирующая площину, її вироджена гори-зонтальная проекція (горизонтальний слід b 1) збігається з горизонтальною проекцією t 1 прямою t, тобто b 1 ≡t 1 . Якщо b – фронтально-проецирующая площину, її вироджена фронтальна проекція (фронтальний слід b 2) збігається з фронтальної проекцією t 2 прямої t, тобто b 2 ≡ t 2 . У даному прикладівикористано фронтально-проєціруючу площину (див. рис. 5.2).
2. α ∩ b = 1-2 – лінія перетину двох площин;
3. визначаємо точку T – основу перпендикуляра; (·) T = t ∩ 1-2.
Приклад 5.3. Визначити відстань від точки P до площини.
Відстань від точки P до площини визначається завдовжки відрізка перпендикуляра PT. Пряма PT у просторі займає загальне положення, тому порядок визначення натуральної величини відрізка див. на стор. 7, 8 (рис. 3.4 та 3.5).
Епюрне вирішення задачі №3визначення відстані від точки P до плоскої фігури, А саме до площини квадрата, побудованого за заданими умовами *, наведено на рис. 5.3. Слід нагадати, що проекції точки P повинні бути побудовані за заданим координатам(Див. варіант свого завдання).
6. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ І ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Умови завдань та координати точок наведені у таблиці 6.1.
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ 148
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.