Як провести кут рівний цьому. Основні завдання на побудову

Це - найдавніше геометричне завдання.

Покрокова інструкція

1й спосіб. - За допомогою "золотого", або "єгипетського", трикутника. Сторони цього трикутника мають співвідношення сторін 3:4:5, а кут дорівнює строго 90град. Цією якістю широко користувалися давні єгиптяни та інші пракультури.

Ілл.1. Побудова Золотого, або єгипетського трикутника

• Виготовляємо три мірки (або мотузкових циркуля - мотузка на двох цвяхах або кілочках) з довжинами 3; 4; 5 метрів. Давні як одиниці виміру часто користувалися способом зав'язування вузликів з рівними відстанямиміж ними. Одиниця довжини – « вузлик».
• Вбиваємо в точці Про кілок, чіпляємо на нього мірку «R3 – 3 вузлики».
• Простягаємо мотузку вздовж відомого кордону– у бік гаданої точки А.
• У момент натягу на лінії кордону – точка А, вбиваємо кілочок.
• Потім - знову від точки О, простягаємо мірку R4 - уздовж другої межі. Кільок поки не вбиваємо.
• Після цього натягуємо мірку R5 – від А до Ст.
• У місці перетину мірок R2 та R3 вбиваємо кілочків. – Це шукана точкаВ – третя вершина золотого трикутника, зі сторонами 3; 4; 5 і з прямим кутом у точці О.

2й спосіб. За допомогою циркуля.

Циркуль може бути мотузковий або у вигляді крокоміра. Див:

Наш циркуль-шагомір має крок 1 метр.

Ілл.2. Циркуль-крокомір

Побудова – також Іл.1.

• Від точки відліку – точки О – кута сусіда, проводимо відрізок довільної довжини – але більше, ніж радіус циркуля = 1м – у кожну сторону від центру (відрізок АВ).
• Ставимо ногу циркуля на точку О.
• Проводимо коло з радіусом (кроком циркуля) = 1м. Достатньо провести короткі дуги – сантиметрів по 10-20, у місцях перетину із зазначеним відрізком (через точки А та В.). Цією дією ми знайшли рівновіддалені точки від центру- А та В. Величина віддалення від центру тут не має значення. Можна ці крапки просто відзначити рулеткою.
• Далі потрібно провести дуги з центрами в точках А та В, але дещо (довільно) більшого радіусуніж R=1м. Можна переналаштувати наш циркуль на більший радіус, якщо має регульований крок. Але для такої невеликої поточного завданняне хотілося б його «смикати». Або коли регулювання немає. Можна зробити за півхвилини мотузяний циркуль.
• Ставимо перший цвях (або ніжку циркуля з радіусом більше, ніж 1м) по черзі в точки А і В. І проводимо другим цвяхом - у натягнутому стані мотузки, дві дуги - так щоб вони перетнулися один з одним. Можна у двох точках: C і D, але достатньо однієї – C. І знову вистачить коротких засічок на перетині у точці С.
• Проводимо пряму (відрізок) через точки С та D.
• Всі! Отриманий відрізок, або пряма, є точний напрямна північ:). Вибачте, - на прямий кут.
• На малюнку показано два випадки невідповідності кордону дільницею сусіда. На Илл.3а наведено випадок, коли паркан сусіда уникає потрібного напрями на шкоду собі. На 3б – він заліз на Вашу ділянку. У ситуації 3а можливе побудова двох «направляючих» точок: і З, і D. На 3б – лише З.
• Поставте на розі Про кілок, а в точці C - тимчасовий кілочок, і протягніть від С шнур до задньої межі ділянки. – Так, щоб шнур ледве торкався кілочка О. Замірявши від точки О – у напрямку D, довжину сторони генплану, отримайте достовірний задній правий кут ділянки.

Ілл.3. Побудова прямого кута– від кута сусіда, за допомогою циркуля-крокуміра та мотузкового циркуля

Якщо у Вас є циркуль-крокомір, то можна взагалі обійтися без мотузкового. Мотузковий у попередньому прикладі ми застосували для проведення дуг більшого радіусу, ніж у крокоміра. Більшого тому, що ці дуги повинні десь перетнутися. Для того щоб дуги можна було провести крокоміром з тим же радіусом – 1м з гарантією їхнього перетину, треба щоб точки А та В знаходилися всередині кола c R =1м.

• Відміряйте тоді ці рівновіддалені точки рулеткою- у різні сторонивід центру, але обов'язково лінією АВ (лінії паркану сусіда). Чим точки А і В будуть ближчими до центру - тим далі від нього напрямні точки: C і D, і тим точніше виміру. На малюнку ця відстань прийнята рівною близько чверті радіусу крокоміра = 260мм.

Ілл.4. Побудова прямого кута за допомогою циркуля-кромка і рулетки

• Не менш актуальною є ця схема дій і при побудові будь-якого прямокутника, зокрема - контуру прямокутного фундаменту. Ви отримаєте його ідеальним. Його діагоналі, звісно, ​​треба перевірити, але хіба не зменшуються зусилля? – У порівнянні, коли діагоналі, кути та сторони контуру фундаменту рухають туди-сюди, поки кути не зійдуться.

Власне, ми вирішили геометричне завданняна землі. Для того, щоб Ваші дії були більш впевненими на ділянці, потренуйтеся на папері за допомогою звичайного циркуля. Що нічим у принципі не відрізняється.

Щоб побудувати якесь креслення або виконати площинну розмітку заготівлі деталі перед її обробкою, необхідно здійснити ряд графічних операцій – геометричних побудов.

На рис. 2.1 зображено плоску деталь – пластина. Щоб накреслити її креслення або розмітити на сталевій смузі контур для подальшого виготовлення, потрібно виконати на площині побудови, основні з яких пронумеровані цифрами, записаними на стрілках-покажчиках. Цифрою 1 вказано побудову взаємно перпендикулярних ліній, яку треба виконати у кількох місцях, цифрою 2 - Проведення паралельних ліній, цифрою 3 – поєднання цих паралельних ліній дугою певного радіусу, цифрою 4 – сполучення дуги та прямою дугою заданого радіусу, який у даному випадкудорівнює 10 мм, цифрою 5 – поєднання двох дуг дугою певного радіусу.

В результаті виконання цих та інших геометричних побудов буде викреслено контур деталі.

Геометричною побудовоюназивають спосіб вирішення завдання, у якому відповідь отримують графічним шляхом без будь-яких обчислень. Побудови виконують креслярськими (або розмітними) інструментами максимально акуратно, бо від цього залежить точність розв'язання.

Лінії, задані умовамизавдання, і навіть побудови виконують суцільними тонкими, а результати побудови – суцільними основними.

Приступаючи до виконання креслення чи розмітці, потрібно спочатку визначити, які з геометричних побудов необхідно застосувати у разі, тобто. провести аналіз графічного складу зображення.

Мал. 2.1.

Аналізом графічного складу зображенняНазивають процес розчленування виконання креслення на окремі графічні операції.

Виявлення операцій, необхідні побудови креслення, полегшує вибір способу виконання. Якщо потрібно викреслити, наприклад пластину, зображену на рис. 2.1, то аналіз контуру її зображення призводить до висновку, що ми маємо застосувати такі геометричні побудови: у п'яти випадках провести взаємно перпендикулярні центрові лінії (цифра 1 у гуртку), у чотирьох випадках викреслити паралельні лінії(цифра 2 ), викреслити два концентричні кола (0 50 і 70 мм), у шести випадках побудувати сполучення двох паралельних прямих дугами заданого радіусу (цифра 3 ), а в чотирьох – сполучення дуги та прямою дугою радіуса 10 мм (цифра 4 ), у чотирьох випадках побудувати сполучення двох дуг дугою радіусу 5 мм (цифра 5 у кружці).

Для виконання цих побудов необхідно згадати чи повторити за підручником правила їх креслення.

У цьому доцільно вибирати раціональний спосіб виконання креслення. Вибір раціонального способурозв'язання задачі скорочує час, що витрачається на роботу. Наприклад, при побудові рівностороннього трикутника, вписаного в коло, раціональніший спосіб, при якому побудову виконують рейсшиною і косинцем з кутом 60° без попереднього визначення вершин трикутника (див. рис. 2.2, а, б). Менш раціональний спосіб вирішення тієї ж задачі за допомогою циркуля та рейсшини з попереднім визначенням вершин трикутника (див. рис. 2.2, в).

Розподіл відрізків та побудова кутів

Побудова прямих кутів

Кут 90° раціонально будувати за допомогою рейсшини та косинця (рис. 2.2). Для цього достатньо, провівши пряму, поставити до неї перпендикуляр за допомогою косинця (рис. 2.2, а). Раціонально перпендикуляр до похилої відрізку будувати, пересуваючи (рис. 2.2, б) або повертаючи (рис. 2.2, в) косинець.

Мал. 2.2.

Побудова тупих та гострих кутів

Раціональні способи побудови кутів 120, 30 і 150, 60 і 120, 15 і 165, 75 і 105,45 і 135 наведені на рис. 2.3, де показані положення косинців для побудови цих кутів.

Мал. 2.3.

Розподіл кута на дві рівні частини

З вершини кута описують дугу кола довільного радіусу(Рис. 2.4).

Мал. 2.4.

З точок ΜηΝ перетину дуги зі сторонами кута розчином циркуля, більшою половинидуги ΜΝ, роблять дві перетинаються в точці Азасічки.

Через отриману точку Аі вершину кута проводять пряму лінію (бісектрису кута).

Розподіл прямого кута на три рівні частини

З вершини прямого кута описують дугу кола довільного радіусу (рис. 2.5). Не змінюючи розчину циркуля, роблять засічки з точок перетину дуги зі сторонами кута. Через отримані точки Мі Ν та вершину кута проводять прямі.

Мал. 2.5.

Цим способом можна ділити на три рівні частини лише прямі кути.

Побудова кута, що дорівнює цьому. З вершини Про заданого кутапроводять дугу довільного радіусу R,перетинає сторони кута в точках Мі N(Рис. 2.6, а). Потім проводять відрізок прямий, який буде однією зі сторін нового кута. З точки Про 1 на цій прямій тим же радіусом Rпроводять дугу, отримуючи точку Ν 1 (рис. 2.6, б). З цієї точки описують дугу радіусом R 1, рівним хорді MN.Перетин дуг дає крапку Μ 1, яку з'єднують прямий з вершиною нового кута (рис. 2.6, б).

Мал. 2.6.

Розподіл відрізка прямої на дві рівні частини. З кінців заданого відрізкарозчином циркуля, більшим за половину його довжини, описують дуги (рис. 2.7). Пряма, що з'єднує отримані точки Мі Ν, ділить відрізок на дві рівні частини та перпендикулярна йому.

Мал. 2.7.

Побудова перпендикуляра наприкінці відрізка прямої. З довільної точкиО, взятої над відрізком АВ,описують коло, що проходить через точку А(кінець відрізка прямої) і пряму, що перетинає, в точці М(Рис. 2.8).

Мал. 2.8.

Через отриману точку Мта центр Прокола проводять пряму до зустрічі з протилежною стороноюкола в точці N.Крапку Nз'єднують прямий з точкою А.

Розподіл відрізка прямий на будь-яке число рівних частин. З будь-якого кінця відрізка, наприклад, з точки А,проводять під гострим кутомщодо нього пряму лінію. На ній циркулем-вимірником відкладають необхідне числорівних відрізків довільної величини (рис. 2.9). Останню точку з'єднують із другим кінцем заданого відрізка (з точкою У). З усіх точок поділу за допомогою лінійки та косинця проводять прямі, паралельні прямий 9В,які і розділять відрізок АВ на задане числорівних частин.

Мал. 2.9.

На рис. 2.10 показано, як застосувати цю побудову для розмітки центрів отворів рівномірно розташованих на прямій.

Часто потрібно буває накреслити («побудувати») кут, який дорівнював цьому кутку, причому побудову необхідно виконати без допомоги транспортира, а обходячи лише циркулем і лінійкою. Вміючи будувати трикутник по трьох сторонах, ми зможемо вирішити це завдання. Нехай на прямій MN(чорт. 60 і 61) потрібно побудувати біля точки Kкут, рівний куту B. Це означає, що треба з точки Kпровести пряму, складову з MNкут, рівний B.

Для цього відзначимо на кожній із сторін даного кута за точкою, наприклад Аі З, і з'єднаємо Аі Зпряма лінія. Отримаємо трикутник АВС. Побудуємо тепер на прямій MNцей трикутник так, щоб вершина його Узнаходилася в точці До: тоді у цієї точки і буде побудований кут, рівний куту. У. Будувати трикутник по трьом сторонам НД, ВАі АСми вміємо: відкладаємо (чорт. 62) від крапки Довідрізок KL,рівний НД; отримаємо точку L; навколо K, як біля центру, описуємо коло радіусом ВА, а навколо L –радіусом СА. Крапку Рперетину кіл з'єднуємо з Доі Z, - отримаємо трикутник КPL,рівний трикутнику ABC; у ньому кут До= уг. У.

Ця побудова виконується швидше та зручніше, якщо від вершини Увідкласти рівні відрізки (одним розчиненням циркуля) і, не зрушуючи його ніжок, описати тим же радіусом коло біля точки До,як біля центру.

Як розділити кут навпіл

Нехай потрібно розділити кут А(чорт. 63) на дві рівні частини за допомогою циркуля та лінійки, не користуючись транспортиром. Покажемо, як це зробити.

Від вершини Ана сторонах кута відкладемо рівні відрізки АВі АС(чорт. 64; це робиться одним розчиненням циркуля). Потім ставимо вістря циркуля в крапки Уі Зта описуємо рівними радіусамидуги, що перетинаються в точці D.Пряма, що з'єднує Аі Д ділить кут Анавпіл.

Пояснимо чому це. Якщо точку Dз'єднаємо з Уі С (чорт. 65), то вийдуть два трикутники ADCі ADB, уяких є спільна сторона AD; сторона АВдорівнює стороні АС, а ВDдорівнює CD.По трьох сторонах трикутники рівні, а отже, рівні та кути BADі DАС,лежать проти рівних сторін ВDі СD. Отже, пряма ADділить кут ВАСнавпіл.

Застосування

12. Побудувати без транспортира кут 45°. О 22°30'. У 67 ° 30 '.

Розв'язавши прямий кут навпіл, отримаємо кут в 45°. Розділивши кут 45° навпіл, отримаємо кут 22°30'. Побудувавши суму кутів 45° + 22°30′, отримаємо кут 67°30′.

Як побудувати трикутник по обидва боки і кут між ними

Нехай потрібно на місцевості дізнатися відстань між двома віхами Аі У(рис 66), розділеними непрохідним болотом.

Як це зробити?

Ми можемо зробити так: осторонь болота виберемо таку точку З, звідки видно обидві віхи і можна виміряти відстані АСі НД.Угол Звимірюємо допомогою особливого кутомірного приладу (називається а с т р о л я б і ї). За цими даними, тобто по виміряним сторонам ACі НДі кутку Зміж ними, збудуємо трикутник ABCдесь на зручній місцевості наступним чином. Відмірявши по прямій лінії одну відому сторону (рис. 67), наприклад АСбудують при ній біля точки Зкут З; з іншого боку цього кута відміряють відому бік НД.Кінці відомих сторін, Т. е. точки Аі Уз'єднують прямою лінією. Виходить трикутник, у якому дві сторони та кут між ними мають наперед зазначені розміри.

Зі способу побудови ясно, що по двох сторонах і куті між ними можна побудувати тільки трикутник. тому, якщо дві сторони одного трикутника рівні двом сторонам іншого і кути між цими сторонами однакові, такі трикутники можна один на одного накласти всіма точками, тобто у них повинні бути рівні також треті сторони та інші кути. Це означає, що рівність двох сторін трикутників і кута між ними може бути ознакою повної рівності цих трикутників. Коротше кажучи:

Т р е в го л ь н і к и р а в н ы під д у у м з тор о н а м і ку л у м е д у н и ми.

При будівництві або розробці домашніх дизайн-проектів часто потрібно побудувати кут, що дорівнює вже існуючому. На допомогу приходять шаблони та шкільні знаннягеометрії.

Інструкція

• Кут утворюють дві прямі, що виходять із однієї точки. Ця точка називатиметься вершиною кута, а лінії будуть сторонами кута.
• Для позначення кутів використовуйте три літери: одна біля вершини, дві сторони. Називають кут, починаючи з тієї літери, яка стоїть біля одного боку, далі називають літеру, що стоїть біля вершини, а потім літеру з іншого боку. Використовуйте й інші способи позначення кутів, якщо вам зручніше інакше. Іноді називають лише одну букву, що стоїть біля вершини. А можна позначати кути грецькими літераминаприклад, α, β, γ.
• Зустрічаються ситуації, коли необхідно накреслити кут, щоб він дорівнював вже даному куту. Якщо при побудові креслення використовувати транспортир немає можливості, можна обійтися тільки лінійкою і циркулем. Допустимо, на прямій, позначеній на кресленні літерами MN, потрібно побудувати кут біля точки К так, щоб він був дорівнює кутуВ. Тобто з точки K необхідно провести пряму, що утворює з лінією MN кут, який дорівнюватиме куту В.
• На початку позначте по точці на кожній стороні даного кута, наприклад точки А і С, далі з'єднайте точки С і А прямою лінією. Отримайте трикутник АВС.
• Зараз побудуйте на прямий MN такий самий трикутник, щоб його вершина В знаходилася на лінії в точці К. Використовуйте правило побудови трикутника по трьох сторонах. Відкладіть від точки К відрізок KL. Він повинен бути дорівнює відрізкуНД. Отримайте точку L.
• З точки K викресліть коло радіусом рівним відрізку ВА. З L викресліть коло радіусом СА. Отриману точку (Р) перетину двох кіл з'єднайте з К. Отримайте трикутник КPL, який дорівнюватиме трикутнику ABC. Так ви отримаєте кут К. Він і дорівнюватиме куту В. Щоб цю побудову зробити зручніше і швидше, від вершини В відкладіть рівні відрізки, використовуючи один розчин циркуля, не зрушуючи ніжок, опишіть цим же радіусом з точки К коло.