3. У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими: AB і A 1 C. Рішення: Шуканий кут дорівнює куту B 1 A 1 C. У трикутнику B 1 A 1 C проведемо висоту CD 1. У прямокутному трикутнику A 1 CD 1 катет A 1 D 1 дорівнює 0,5; гіпотенуза A 1 C дорівнює. Отже,
Рішення 1. Нехай O 1 – центр правильного шестикутника A 1 …F 1. Тоді пряма AO 1 паралельна прямий BC 1 і шуканий кут між прямими AB 1 і BC 1 дорівнює куту B 1 AO 1. У рівнобедреному трикутнику B 1 AO 1 маємо : O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =. Застосовуючи теорему косінусів, отримаємо.
Рішення 2. Введемо систему координат, вважаючи початком координат точку A, точка B має координати (1, 0, 0), точка A 1 має координати (0, 0, 1). Тоді точка 1 має координати (1,5, 1). Вектор має координати (1, 0, 1), вектор має координати (0,5, 1). Скористаємося формулою косинус, що виражає кута між векторами через їх скалярний твір і довжини. Маємо,. Отже, косинус кута між прямими AB 1 і ВС 1 дорівнює 0,75.
Рішення 2. Введемо систему координат, вважаючи початком координат точку A, точка B має координати (1, 0, 0), точка A 1 має координати (0, 0, 1). Тоді точка D1 має координати (1, 1). Вектор має координати (1, 0, 1), вектор має координати (0, 1). Скористаємося формулою косинус, що виражає кута між векторами через їх скалярний твір і довжини. Маємо,. Отже, косинус кута між прямими AB 1 і ВС 1 дорівнює.
Рішення 1. Доведемо, що кут між прямими AB 1 та BE 1 дорівнює 90 о. Для цього скористаємося теоремою про три перпендикуляри. А саме, якщо ортогональна проекція похилої на площину перпендикулярна до прямої, що лежить у цій площині, то і сама похила перпендикулярна до цієї прямої. Ортогональна проекція BE 1 на площину ABB 1 є пряма AB 1, перпендикулярна AB 1. Отже, пряма BE 1 також буде перпендикулярна прямий AB 1, тобто. шуканий кут дорівнює 90 о.
Рішення 2. Через точку B проведемо пряму, паралельну до прямої AB 1, і позначимо G 1 її точку перетину з прямою A 1 B 1. Шуканий кут дорівнює куту E 1 BG 1. Сторона BG 1 трикутника E 1 BG 1 дорівнює. У прямокутному трикутнику BEE 1 катети BE та EE 1 рівні відповідно 2 та 1. Отже, гіпотенуза BE 1 дорівнює. У прямокутному трикутнику G 1 A 1 E 1 катети A 1 G 1 і A 1 E 1 рівні відповідно 2 і. Отже, гіпотенуза G1E1 дорівнює. Таким чином, у трикутнику BE 1 G 1 маємо: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. За теоремою, зворотною до теореми Піфагора, отримаємо, що кут E 1 BG 1 дорівнює 90 о.
Рішення 3. Введемо систему координат, вважаючи початком координат точку A, точка B має координати (1, 0, 0), точка A 1 має координати (0, 0, 1), точка E має координати (0, 0). Тоді точка E 1 має координати (0, 1), вектор має координати (1, 0, 1), вектор має координати (-1, 1). Скористаємося формулою косинус, що виражає кута між векторами через їх скалярний твір і довжини. Маємо і, отже, кут між прямими AB 1 та BE 1 дорівнює 90 про.
13. У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між площинами ABC і A 1 B 1 C. Рішення: Позначимо O, O 1 - середини ребер AB та A 1 B 1. Шуканим лінійним кутом буде кут OCO 1. У прямокутному трикутнику OCO 1 маємо OO 1 = 1; OC = Отже,
16. У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між площинами CDF 1 і AFD 1. Відповідь: Рішення: Нехай O – центр призми, G, G 1 – середини ребер CD та C 1 D 1. Шуканий кут дорівнює куту GOG 1. У трикутнику GOG 1 маємо: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Отже, = 60 о.
Куб 1 У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими AC та BD 1. Відповідь. 90 о.
Куб 2 У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими AB 1 та BD 1. Відповідь. 90 о.
Куб 3 У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими DA 1 та BD 1. Відповідь. 90 о.
Куб 4 У одиничному кубі A…D 1 знайдіть косинус кута між прямими AE і BE 1, де E і E 1 – середини ребер відповідно BC і B 1 C 1. Рішення. Через точку A проведемо пряму AF 1, паралельну BE 1. Шуканий кут дорівнює куту EAF 1. У трикутнику AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 = . По теоремі косінусів знаходимо відповідь.
Куб 5 У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими AE та BF 1, де E та F 1 – середини ребер відповідно BC та C 1 D 1. Рішення. З точки F1 опустимо перпендикуляр F1F на пряму CD. Пряма AE перпендикулярна до BF, отже, вона перпендикулярна до BF 1. Відповідь. 90 о.
Піраміда 1 У правильному тетраедрі ABCD знайдіть кут між прямими AD та BC. Відповідь: 90 о.
Піраміда 1 У правильному тетраедрі ABCD точки E, F, G – середини ребер AB, BD, CD. Знайдіть кут EFG. Рішення. Прямі EF та FG паралельні прямим AD та BC, які перпендикулярні. Отже, кут між ними дорівнює 90 о. Відповідь: 90 о.
Піраміда 2 У правильній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, точка E – середина ребра SC. Знайдіть тангенс кута між прямими SA та BE. Рішення. Через точку E проведемо пряму, паралельну SA. Вона перетне основу в точці O. Шуканий кут дорівнює куту OEB. У прямокутному трикутнику OEB маємо: OB = Відповідь: , OE = . Отже,
Піраміда 3 У правильній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, точки E, F – середини ребер SB та SC. Знайдіть косинус кута між прямими AE та BF. Рішення. Позначимо G середину ребра AD. Пряма GF паралельна AE. Шуканий кут дорівнює куту BFG. У трикутнику BFG маємо: BF = GF = , BG = . По теоремі косінусів знаходимо Відповідь:
Піраміда 4 У правильній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть кут між прямими SA і BF. Відповідь: 90 о.
Піраміда 5 У правильній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, точка G – середина ребра SC. Знайдіть тангенс кута між прямими SA та BG. Рішення. Позначимо H середину відрізка AC. Пряма GH паралельна SA. Шуканий кут дорівнює куту BGH. У трикутнику BGH маємо: BH = 0, 5, GH = 1. Відповідь:
Призма 1 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і BC 1. Рішення: Добудуємо призму до 4-х вугільної призми. Проведемо AD 1 паралельно BC 1. Шуканий кут дорівнюватиме куту B 1 AD 1. У трикутнику AB 1 D 1 Використовуючи теорему косінусів, знаходимо
Призма 2 У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, точки D, E – середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1. Знайдіть косинус кута між прямими AD та BE. Рішення. Позначимо F середину відрізка AC. Пряма EF паралельна AD. Шуканий кут дорівнює куту BEF. У трикутнику BGH маємо: По теоремі косінусів знаходимо Відповідь.
Призма 3 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими AA 1 і BD 1. Рішення: Шуканий кут дорівнює куту B 1 BD 1. У прямокутному трикутнику B 1 BD 1 B 1 D 1 =; B 1 B =1; BD 1 = 2. Отже, кут, що шукається, дорівнює 60 о. Відповідь. 60 о.
Призма 4 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть тангенс кута між прямими AA 1 і BE 1. Рішення: Шуканий кут дорівнює куту B 1 BE 1. У прямокутному трикутнику B 1 BE 1 катет B 1 E 1 дорівнює 2; катет B 1 B дорівнює 1. Отже, відповідь. 2.
Призма 5 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими AС 1 та BE. Відповідь. 90 о.
Призма 6 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими AD 1 і BF. Відповідь. 90 о.
Призма 7 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими AB 1 та BE 1. Відповідь. 90 о.
Призма 8 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими BA 1 і FC 1. Рішення: Через середину O відрізка FC 1 проведемо пряму PP 1, паралельну BA 1. Шуканий кут дорівнює куту POC 1. У трикутнику POC 1 маємо: PO = ; OC 1 = PC 1 = Отже, відповідь. .
Призма 9 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і BC 1. Рішення: Нехай O 1 –центр правильного 6 -ка A 1…F 1. Тоді AO 1 паралельна BC 1 і шуканий кут дорівнює куту B 1 AO 1. У рівнобедреному трикутнику B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Застосовуючи теорему косінусів, отримаємо
Призма 10 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і BD 1. Рішення: Шуканий кут дорівнює куту B 1 AE 1. У трикутнику B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Отже,
Призма 11 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 та BF 1. Рішення: Нехай O, O 1 – центри підстав призми. На осі призми відкладемо O 1 O 2 = OO 1. Тоді F 1 O 2 буде паралельна AB 1 і шуканий кут буде дорівнює куту BF 1 O 2. У трикутнику BF 1 O 2 BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = За теоремою косінусів, маємо
Призма 12 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і CD 1. Рішення: Шуканий кут дорівнює куту CD 1 E. У трикутнику CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = За теоремою косінусів, маємо
Призма 13 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої рівні 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і CE 1. Рішення: Зауважимо, що CE 1 паралельна BF 1. Отже, кут, що шукається, дорівнює куту між AB 1 і BF 1, який було знайдено раніше. А саме,
Призма 14 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і CF 1. Рішення: Нехай O, O 1 – центри підстав призми. На осі призми відкладемо O 1 O 2 = OO 1. Тоді F 1 O 2 буде паралельна AB 1 і шуканий кут буде дорівнює куту CF 1 O 2. У трикутнику CF 1 O 2 CO 2 = CF 1 = F 1 O 2 = Тоді
Призма 15 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і CA 1. Рішення: На продовженні BB 1 відкладемо B 1 B 2 = BB 1. Тоді A 1 B 2 буде паралельна AB 1, і кут, що шукається, буде дорівнює куту CA 1 B 2. У трикутнику CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = Тоді
Призма 16 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 і DF 1. Рішення: Зауважимо, що DF 1 паралельна CA 1. Отже, кут, що шукається, дорівнює куту між AB 1 і CA 1, який був знайдений раніше. А саме,
Призма 17 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямими AB 1 і DA 1. Рішення: На продовженні BB 1 відкладемо B 1 B 2 = BB 1. Тоді A 1 B 2 буде паралельна AB 1, і кут, що шукається, буде дорівнює куту DA 1 B 2. У трикутнику DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Отже, шуканий кут дорівнює 90 o.
Призма 18 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 та DC 1. Рішення: Нехай O – центр основи призми. Відрізки OC 1 і OB 1 дорівнюють і паралельні відрізкам AB 1 і DC 1, відповідно. Шуканий кут дорівнюватиме куту B 1 OC 1. У трикутнику B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Тоді, за теоремою косінусів
Призма 19 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AC 1 і BD 1. Рішення: Зауважимо, що AE 1 паралельна BD 1. Отже, кут, що шукається, дорівнює куту C 1 AE 1 .У трикутнику C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = За теоремою косінусів, маємо
Призма 20 У правильній 6-й призмі A…F 1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AC 1 і BE 1. Рішення: Зауважимо, що відрізок GG 1, що проходить через середини ребер AF і C 1 D 1, паралельний і дорівнює відрізку AC 1. Шуканий кут дорівнює куту G 1 OE 1. У трикутнику G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 =; G 1 E 1 = За теоремою косінусів, маємо.
ЄДІ 2010. МАТЕМАТИКА
Завдання С2
Робочий зошит
За редакцією та
Видавництво МЦНМВ
2010
ВСТУП
Цей посібник призначений для підготовки до виконання завдання С2 ЄДІ з математики. Його цілями є:
- показ приблизної тематики та рівня складності геометричних завдань, включених до змісту ЄДІ;
– перевірка якості знань та вмінь учнів з геометрії, їхня готовність до здачі ЄДІ;
- розвиток уявлень учнів про основні геометричні фігури та їх властивості, формування навичок роботи з малюнком, умінь проводити додаткові побудови;
- Підвищення обчислювальної культури учнів.
Посібник містить завдання на знаходження кутів між прямими у просторі, прямою та площиною, двома площинами; знаходження відстаней від точки до прямої, від точки до площини між двома прямими. Наявність малюнків допомагає краще зрозуміти умови завдань, уявити відповідну геометричну ситуацію, намітити план рішення, провести додаткові побудови та обчислення.
Для вирішення запропонованих завдань потрібні знання визначень тригонометричних функцій, формул для знаходження елементів трикутника, теореми Піфагора, теореми косінусів, уміння проводити додаткові побудови, володіння координатним та векторним методами геометрії.
Кожне завдання оцінюється, виходячи з двох балів. Один бал нараховується за правильну побудову або опис шуканого кута або відстані. Також один бал нараховується за правильно проведені обчислення та правильну відповідь.
Спочатку пропонується діагностична робота на знаходження кутів та відстаней для різних багатогранників. Для тих, хто хоче перевірити правильність вирішення запропонованих завдань або переконатися у вірності отриманої відповіді, наводяться рішення задач, як правило, двома різними способами та даються відповіді. Потім, для закріплення розглянутих методів вирішення завдань, пропонуються тренувальні роботи на знаходження кутів та відстаней для кожного з розглянутих у діагностичній роботі видів фігур.
У разі успішного вирішення цих завдань можна переходити до виконання заключних діагностичних робіт, що містять завдання різних типів.
Наприкінці посібника дано відповіді всім завданням.
Зазначимо, що найкращим способом підготовки до ЄДІ з геометрії є систематичні заняття з підручника з геометрії. Цей посібник не замінює підручника. Воно може бути використане як додаткової збіркизадач щодо геометрії в 10-11 класах, і навіть під час організації узагальнюючого повторення чи самостійних заняттях геометрією.
Діагностична робота
1.1. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими AB 1 та BC 1.
1.2.
У одиничному кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими DA 1 та BD 1.
1.3 . ABCA 1B 1C AD 1 та CE 1, де D 1 та E 1 – відповідно середини ребер A 1C 1 та B 1C 1.
2.1. A…F AFта площиною
2.2.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою CC 1 та площиною
2.3
. SABCD BEта площиною SAD, де E- середина ребра SC.
3.1.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між площинами
AFF 1 та DEE 1.
3.2. У одиничному кубі A…D
ADD 1 та BDC 1.
3.3.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1D 1 ACB 1 та BA 1C 1.
4.1. У правильній шестикутній призмі A…F Aдо прямої D 1F 1.
4.2.
У одиничному кубі A…D Aдо прямої BD 1.
4.3. SABCDEF Fдо прямої BG, де G- середина ребра SC.
5.1. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Aдо площини BDA 1.
5.2.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Aдо площини SBC.
5.3.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини BFE 1.
6.1.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD SAі BC.
6.2. У одиничному кубі A…D AB 1 та BC 1.
6.3.
У правильній шестикутній призмі A…F AA 1 та CF 1.
Розв'язання задач 1.1 – 1.3 діагностичної роботи
1.1.
Перше рішення. Пряма AD 1 паралельна прямий BC 1 і, отже, кут між прямими AB 1 та BC 1 дорівнює куту B 1AD 1. Трикутник B 1AD 1 рівносторонній і, отже, кут B 1AD 1 дорівнює 60о.
Друге рішення A, осями координат – прямі AB, AD, AA 1. Вектор має координати (1, 0, 1). Вектор має координати (0, 1, 1). Скористаємося формулою знаходження косинуса кута між векторами. і . Отримаємо і, отже, кут дорівнює 60о. Отже, шуканий кут між прямими AB 1 та BC 1 дорівнює 60о.
Відповідь. 60о.
1.2. Перше рішення. Розглянемо ортогональну проекцію AD 1 прямий BD 1 на площину ADD 1. Прямі AD 1 та DA 1 перпендикулярні. З теореми про три перпендикуляри випливає, що прямі DA 1 та BD 1 також перпендикулярні, тобто шуканий кут між прямими DA 1 та BD 1 дорівнює 90о.
Друге рішення. Введемо систему координат, вважаючи початком координат точку A, осями координат – прямі AB, AD, AA 1. Вектор має координати (0, -1, 1). Вектор має координати (-1, 1, 1). Скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю і, отже, шуканий кут між прямими DA 1 та BD 1 дорівнює 90о.
Відповідь. 90о.
1.3 . Перше рішення. Позначимо Dі F 1 відповідно середини ребер ACі A 1B 1.
Прямі DC 1 та DF 1 будуть відповідно паралельні прямим AD 1 та CE 1. Отже, кут між прямими AD 1 та CE 1 дорівнювати куту C 1DF 1. Трикутник C 1DF 1 рівнобедрений, DC 1 = DF 1 = , C 1F 1 = . Використовуючи теорему косінусів, отримуємо 
.
Друге рішення. Введемо систему координат, вважаючи початком координат точку A, як показано на малюнку. Крапка Cмає координати D 1 має координати , точка E 1 має координати. Вектор має координати. Вектор має координати 
. Косинус кута між прямими AD 1 та CE 1 дорівнює косинус кута між векторами і . Скористаємося формулою знаходження косинуса кута між векторами. Отримаємо.
Відповідь. 0,7.
Тренувальна робота 1. Кут між прямими
1.
У кубі A…D 1 знайдіть косинус кута між прямими ABі CA 1.
2. У правильному тетраедрі ABCDкрапка E- середина ребра CD. Знайдіть косинус кута між прямими BCі AE.
3. У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими ABі CA 1.
4.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD E- середина ребра SD SBі AE.
5.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими ABі FE 1.
6. У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 та BC 1.
7. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF SBі AE.
8. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть косинус кута між прямими SBі AD.
Розв'язання задач 2.1 – 2.3 діагностичної роботи
2.1. Рішення.Нехай O– центр нижньої основи призми. Пряма BOпаралельна AF. Так як площині ABCі BCC 1 перпендикулярні, то шуканим кутом буде кут OBC. Оскільки трикутник OBCрівносторонній, то цей кут дорівнюватиме 60о.
Відповідь. 60о.
2.2.
Рішення. Так як прямі BB 1 та CC 1 паралельні, то шуканий кут буде дорівнює куту між прямою BB 1 та площиною BDE 1. Пряма BD, через яку проходить площина BDE 1, перпендикулярна площині ABB 1 і, отже, площина BDE 1 перпендикулярна площині ABB 1. Отже, шуканий кут дорівнюватиме куту A 1BB 1, тобто дорівнює 45о.
Відповідь. 45о.
2.3. Рішення. Через вершину Sпроведемо пряму, паралельну до прямої ABі відкладемо на ній відрізок SF, рівний відрізку AB. У тетраедрі SBCFвсі ребра дорівнюють 1 і площину BCFпаралельна площині SAD. Перпендикуляр EH, опущений з точки Eна площину BCF, дорівнює половині висоти тетраедра, тобто дорівнює . Кут між прямою BEта площиною SADдорівнює куту EBH, синус якого дорівнює.
Відповідь. .
Тренувальна робота 2. Кут між прямою та площиною
1.
У кубі A…D 1 знайдіть тангенс кута між прямою AC 1 та площиною
2.
У кубі A…D ABта площиною
CB 1D 1.
3.
У правильному тетраедрі ABCDкрапка E- середина ребра BD. Знайдіть синус кута між прямою AEта площиною
4. У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть тангенс кута між прямою BB 1 та площиною
AB 1C 1.
5. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть синус кута між прямою BDта площиною
6.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF BCта площиною
7. У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AA 1 та площиною
8. У правильній шестикутній призмі A…F BC 1 та площиною
Розв'язання задач 3.1 – 3.3 діагностичної роботи
3.1.
Перше рішення. Оскільки площина FCC 1 паралельна площині DEE AFF 1 та FCC 1. Оскільки площині AFF 1 та FCC 1 перпендикулярні площині ABC AFC, Який дорівнює 60о.
Друге рішення. Оскільки площина AFF 1 паралельна площині BEE 1, то шуканий кут дорівнює куту між площинами BEE 1 та DEE 1. Оскільки площині BEE 1 та DEE 1 перпендикулярні площині ABC, то відповідним лінійним кутом буде кут BED, Який дорівнює 60о.
Відповідь. 60о.
3.2.
Рішення. Оскільки площина ADD 1 паралельна площині BCC 1, то шуканий кут дорівнює куту між площинами BCC 1 та BDC 1. Нехай E- середина відрізка BC 1. Тоді прямі CEі DEбудуть перпендикулярні до прямої BC 1 і, отже, кут CEDбуде лінійним кутом між площинами BCC 1 та BDC 1. Трикутник CEDпрямокутний, катет CDдорівнює 1, катет CEдорівнює. Отже, 
.
3.3. Нехай DE- Лінія перетину даних площин, F- середина відрізка DE, G- середина відрізка A 1C 1. Кут GFB 1 є лінійним кутом між цими площинами. У трикутнику GFB 1 маємо: FG =
FB 1 = , GB 1 = . За теоремою косінусів знаходимо 
.
Відповідь. .
Тренувальна робота 3. Кут між двома площинами
1.
У кубі A…D 1 знайдіть тангенс кута між площинами
ABCі CB 1D 1.
2.
У кубі A…D B
A 1C 1 та AB 1D 1.
3.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C
ABCі CA 1B 1.
4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між площинами S
ADі SBC.
5. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус двогранного кута, утвореного гранями
SBCі SCD.
6.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF
SBCі SEF.
7. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть косинус кута між площинами
SAFі SBC.
8. У правильній шестикутній призмі A… F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть тангенс кута між площинами
ABCі DB 1F 1.
Розв'язання задач 4.1 – 4.3 діагностичної роботи
4.1. Рішення.Оскільки пряма D 1F 1 перпендикулярна площині AFF 1, то відрізок AF 1 буде шуканим перпендикуляром, опущеним з точки Aна пряму D 1F 1. Його довжина дорівнює.
4.2. Перше рішення AHпрямокутного трикутника ABD 1, в якому AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Для площі S . Звідки знаходимо AH = .
Друге рішення. Шуканим перпендикуляром є висота AHпрямокутного трикутника ABD 1, в якому AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Трикутники BAD 1 та BHA AD 1:BD 1 = AH:AB. Звідки знаходимо AH = .
Третє рішення. Шуканим перпендикуляром є висота AHпрямокутного трикутника ABD 1, в якому AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Звідки 
і, отже, 
Відповідь. .
4.3. Шукаюча відстань від точки Fдо прямої BGодно висоті FHтрикутника FBG, в котрому FB = FG = , BG=. За теоремою Піфагора знаходимо FH = .
Тренувальна робота 4. Відстань від точки до прямої
1.
У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Bдо прямої DA 1.
2.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Bдо прямої AC 1.
3. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Sдо прямої BF.
4.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Bдо прямої SA.
5.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Bдо прямої A 1F 1.
6. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Bдо прямої A 1D 1.
7.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Bдо прямої FE 1.
8. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Bдо прямої AD 1.
Розв'язання задач 5.1 – 5.3 діагностичної роботи
5.1.
Перше рішення. Нехай O- середина відрізка BD. Пряма BDперпендикулярна до площини AOA 1. Отже, площині BDA 1 та AOA Aна площину BDA 1, є висота AHпрямокутного трикутника AOA 1, в якому AA 1 = 1, AO = , OA 1 = . Для площі Sцього трикутника мають місце рівності . Звідки знаходимо AH = .
Друге рішення. Нехай O- середина відрізка BD. Пряма BDперпендикулярна до площини AOA 1. Отже, площині BDA 1 та AOA 1 перпендикулярні. Шуканим перпендикуляром, опущеним з точки Aна площину BDA 1, є висота AHпрямокутного трикутника AOA 1, в якому AA 1 = 1, AO = , OA 1 = . Трикутники AOA 1 та HOAподібні до трьох кутів. Отже, AA 1:OA 1 = AH:AO. Звідки знаходимо AH = .
Третє рішення. Нехай O- середина відрізка BD. Пряма BDперпендикулярна до площини AOA 1. Отже, площині BDA 1 та AOA 1 перпендикулярні. Шуканим перпендикуляром, опущеним з точки Aна площину BDA 1, є висота AHпрямокутного трикутника AOA 1, в якому AA 1 = 1, AO = , OA 1 = . Звідки 
і, отже, 
Відповідь. .
5.2.
Перше рішення. Нехай O AOпаралельна прямий BC SBC Oдо площини SBC. Нехай G- середина відрізка BC. Тоді пряма OGперпендикулярна BC Oна площину SBC, є висота OHпрямокутного трикутника SOG. У цьому трикутнику OG = , SG = , SO=. Для площі Sцього трикутника мають місце рівності . Звідки знаходимо OH = .
Друге рішення. Нехай O– центр основи піраміди. Пряма AOпаралельна прямий BCі, отже, паралельна площині SBC. Отже, шукана відстань дорівнює відстані від точки Oдо площини SBC. Нехай G- середина відрізка BC. Тоді пряма OGперпендикулярна BCта шуканим перпендикуляром, опущеним з точки Oна площину SBC, є висота OHпрямокутного трикутника SOG. У цьому трикутнику OG = , SG = , SO=. Трикутники SOGі OHGподібні до трьох кутів. Отже, SO:SG = OH:OG. Звідки знаходимо OH = .
Відповідь. .
5.3. Перше рішення. Нехай Oі O 1 – центри основ призми. Пряма AO 1 паралельна площині BFE 1 і, отже, відстань від точки Aдо площини BFE 1 дорівнює відстані від прямої AO 1 до площини BFE 1. Площина AOO 1 перпендикулярна площині BFE 1 і, отже, відстань від прямої AO 1 до площини BFE 1 дорівнює відстані від прямої AO 1 до лінії перетину GG 1 площин AOO 1 та BFE 1. Трикутник AOO 1 прямокутний, AO =
OO 1 = 1, GG 1 – його середня лінія. Отже, відстань між прямими AO 1 та GG 1 дорівнює половині висоти OHтрикутника AOO 1, тобто рівно.
Друге рішення. Нехай G- Точка перетину прямих ADі BF. Кут між прямою ADта площиною BFE 1 дорівнює куту між прямими BCі BC 1 і дорівнює 45о. Перпендикуляр AH, опущений з точки Aна площину BFE 1, дорівнює . Так як AG = 0,5, то AH = .
Відповідь. .
Тренувальна робота 5. Відстань від точки до площини
1.
У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Aдо площини CB 1D 1.
2.
У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Aдо площини BDC 1.
3.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини BCA 1.
4.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини CA 1B 1.
5. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини SCD.
6. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Aдо площини SDE.
7. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини DEA 1.
8. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини DEF 1.
Розв'язання задач 6.1 – 6.3 діагностичної роботи
6.1. Рішення.Пряма BCпаралельна площині SAD, в якій лежить пряма SA. Отже, відстань між прямими SAі BCдорівнює відстані від прямої BCдо площини SAD.
Нехай Eі Fвідповідно середини ребер ADі BC. Тоді шуканим перпендикуляром буде висота FHтрикутника SEF. У трикутнику SEFмаємо: EF = 1, SE = SF= , висота SOдорівнює. Для площі Sтрикутника SEFмають місце рівності, з яких отримуємо.
6.2.
Рішення. Площини AB 1D 1 та BDC 1, у яких лежать дані прямі, паралельні. Отже, відстань між цими прямими дорівнює відстані між відповідними площинами.
Діагональ CA 1 куб перпендикулярна цим площинам. Позначимо Eі Fточки перетину діагоналі CA 1 відповідно з площинами AB 1D 1 та BDC 1. Довжина відрізка EFдорівнюватиме відстані між прямими AB 1 та BC 1. Нехай Oі O 1 відповідно центри граней ABCDі A 1B 1C 1D 1 куб. У трикутнику ACEвідрізок OFпаралельний AEі проходить через середину AC. Отже, OF ACEі, отже, EF = FC. Аналогічно доводиться, що O 1E- Середня лінія трикутника A 1C 1Fі, отже, A 1E = EF. Таким чином, EFстановить одну третину діагоналі CA 1, тобто. EF = .
Відповідь. .
6.3. Рішення. Відстань між прямими AA 1 та CF 1 дорівнює відстані між паралельними площинами ABB 1 та CFF 1, у яких лежать ці прямі. Воно одно.
Тренувальна робота 6. Відстань між двома прямими
1.
У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими BA 1 та DB 1.
2.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими CC 1 та AB.
3.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими ABі CB 1.
4.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими SBі AC.
5.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими SAі CD.
6.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF SBі AF.
7.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань між прямими SBі AE.
8.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими BB 1 та EF 1.
Діагностична робота 1
1. У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими BA 1 та B 1D 1.
2. У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 та BC 1.
3.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 та DC 1.
4. У кубі A…D 1 знайдіть синус кута між прямою A 1 D 1 та площиною
5. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть синус кута між прямою ABта площиною
6.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть синус кута між прямою AF 1 та площиною
7. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між площинами
ABCі SCD.
8.
У правильній шестикутній призмі A…F
AFF 1 та BCC 1.
9. У кубі A…D 1 знайдіть косинус кута між площинами
AB 1D 1 та CB 1D 1.
10. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Bдо прямої DA 1.
11. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо прямої EB 1.
12.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Aдо прямої SD.
13. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Bдо площини DA 1C 1.
14. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини BFA 1.
15.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Aдо площини SCE.
16.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими AA 1 та BC.
17. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими BB 1 та CD 1.
18. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між прямими AB 1 та BD 1.
Діагностична робота 2
1. У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими AB 1 та BD 1.
2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, точка E- середина ребра SB. Знайдіть тангенс кута між прямими SAі BE.
3. У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть косинус кута між прямими AB 1 та BD 1.
4. У кубі A…D 1 знайдіть синус кута між прямою DD 1 та площиною
5. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть синус кута між прямою AFта площиною
6. У правильній шестикутній призмі A…F 1, всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть синус кута між прямою BC 1 та площиною
7.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть косинус кута між площинами
ABCі SEF.
8.
У правильній шестикутній призмі A…F 1 знайдіть кут між площинами
AFF 1 та BDD 1.
9. У кубі A…D 1 знайдіть тангенс кута між площинами
ABCі DA 1C 1.
10.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо прямої CB 1.
11.
У правильній шестикутній призмі A … F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо прямої BE 1.
12. У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Aдо прямої SC.
13.
У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки Bдо площини AB 1D 1.
14.
У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Aдо площини CEF 1.
15.
У правильній шестикутній піраміді SABCDEF, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють 2, знайдіть відстань від точки Aдо площини SBF.
16.
У правильній трикутній призмі ABCA 1B 1C 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими AA 1 та BC 1.
17. У правильній шестикутній призмі A…F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими BB 1 та FE 1.