8 властивостей функцій. Основні властивості квадратичної функції

Межі та безперервність

Безліч

Під безліччюрозуміється сукупність однорідних об'єктів. Об'єкти, які утворюють безліч, називаються елементамиабо точкамицієї множини. Безліч позначають великими літерами, які елементи – малими. Якщо aє елементом множини A, то використовується запис aÎ A. Якщо bне є елементом множини A, то це записується так: b Ï A. Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожньою множиною і позначається так: Ø.

Якщо безліч Bскладається з частини елементів множини Aабо збігається з ним, то безліч Bназивають підмножиноюмножини і позначають BÌ A.

Дві множини називають рівнимиякщо вони складаються з одних і тих же елементів.

Об'єднаннямдвох множин Aі Bназивається безліч C, Що складається з усіх елементів, що належать хоча б одному з множин: C=AÈ B.

Перетиномдвох множин Aі Bназивається безліч C, Що складається з усіх елементів, що належать кожному з даних множин: C=AÇ B.

Різницямножин Aі Bназивається безліч E A, які не належать безлічі B: .

Доповненнямбезлічі AÌ Bназивається безліч C, Що складається з усіх елементів множини B, що не належать A.

Багато, елементами яких є дійсні числа, називаються числовими:

При цьому NÌ ZÌ QÌ R, IÌ Rі R=IÈ Q.

Безліч X, елементи якого задовольняють нерівності називається відрізком(сегментом) і позначається [ a; b]; нерівності a<x<b – інтерваломі позначається (); нерівностям та - напівінтерваламита позначаються відповідно і . Також часто доводиться мати справу з нескінченними інтервалами та напівінтервалами: , , , і . Усі їх зручно називати проміжками .

Інтервал, тобто. безліч точок, що задовольняють нерівності (де ), називається околицею точки a.

Концепція функції. Основні властивості функції

Якщо кожному елементу xбезлічі Xставиться у відповідність єдиний елемент yбезлічі Y, то кажуть, що на безлічі Xзадана функція y=f(x). При цьому xназивають незалежної змінноїабо аргументом, а y – залежною змінноюабо функцією, а fпозначає закон відповідності. Безліч Xназивають областю визначенняфункції, а безліч Y – областю значеньфункції.

Існує кілька способів завдання функцій.

1) Аналітичний метод – функція задається формулою виду y=f(x).

2) Табличний спосіб – функція задається таблицею, що містить значення аргументу та відповідні їм значення функції y=f(x).

3) Графічний метод – зображення графіка функції, тобто. безлічі точок ( x; y) координатної площини, абсциси яких представляють значення аргументу , а ординати – відповідні значення функції y=f(x).

4) Словесний метод – функція описується правилом її складання. Наприклад, функція Діріхле набуває значення 1, якщо x– раціональне число та 0, якщо x- Ірраціональне число.

Вирізняють такі основні властивості функцій.

1 Парність та непарністьФункція y=f(x) називається парноїякщо для будь-яких значень xв галузі її визначення виконується f(–x)=f(x), та непарною, якщо f(–x)=–f(x). Якщо не виконується жодна з перерахованих рівностей, то y=f(x) називається функцією загального вигляду. Графік парної функції симетричний щодо осі Ой, А графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

2 МонотонністьФункція y=f(x) називається зростаючою (спадаючою) на проміжку Xякщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції. Нехай x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Тоді функція зростає на проміжку X, якщо f(x 2)>f(x 1), і зменшується, якщо f(x 2)<f(x 1).

Поряд із зростаючими та спадними функціями розглядають незменшуючі та незростаючі функції. Функція називається невпадаючою (незростаючою), якщо при x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 виконується нерівність f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Зростаючі та спадні функції, а також незростаючі та незменшувальні функції називають монотонними.

3 ОбмеженістьФункція y=f(x) називається обмеженою на проміжку Xякщо існує таке позитивне число M>0, що | f(x)|≤Mдля будь-кого xÎ X. В іншому випадку функція називається необмеженою на X.

4 ПеріодичністьФункція y=f(x) називається періодичною з періодом T≠0, якщо для будь-яких xз області визначення функції f(x+T)=f(x). Надалі під періодом розумітимемо найменший позитивний період функції.

Функція називається явнийякщо вона задана формулою виду y=f(x). Якщо функція задана рівнянням F(x, y)=0, не дозволеним щодо залежної змінної y, то її називають неявний.

Нехай y=f(x) є функція від незалежної змінної , визначена на множині Xз областю значень Y. Поставимо у відповідність кожному yÎ Yєдине значення xÎ X, за якого f(x)=y. Тоді отримана функція x=φ (y), визначена на безлічі Yз областю значень X, називається зворотнійі позначається y=f –1 (x). Графіки взаємно зворотних функцій симетричні щодо бісектриси першої та третьої координатних чвертей.

Нехай функція y=f(u) є функція змінної u, визначеної на безлічі Uз областю значень Y, а змінна uу свою чергу є функцією u=φ (x), визначеної на безлічі Xз областю значень U. Тоді задана на безлічі Xфункція y=f(φ (x)) називається складною функцією(Композицією функцій, суперпозицією функцій, функцією від функції).

Елементарні функції

До основних елементарних функцій відносять:

• статечну функцію y=x n; y=x – nі y=x 1/ n;
• показову функцію y=a x;
• логарифмічну функцію y=log a x;
• тригонометричні функції y=sin x, y=cos x, y=tg xі y=ctg x;
• зворотні тригонометричні функції y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg xі y= arcctg x.

З основних елементарних функцій нові функції можуть бути отримані за допомогою дій алгебри і суперпозицією функцій.

Функції, побудовані з основних елементарних функцій за допомогою кінцевого числа дій алгебри та кінцевого числа операцій суперпозиції, називаються елементарними.

Алгебраїчноїназивається функція, в якій над аргументом проводиться кінцеве число дій алгебри. До алгебраїчних функцій відносяться:

· Ціла раціональна функція (багаточлен або поліном)

· Дробально-раціональна функція (відношення двох багаточленів)

· Ірраціональна функція (якщо у складі операцій над аргументом є вилучення кореня).

Будь-яка неалгебраїчна функція називається трансцендентної. До трансцендентних функцій відносяться показова, логарифмічна, тригонометричні, зворотні тригонометричні функції.

Наведено довідкові дані щодо показової функції - основні властивості, графіки та формули. Розглянуто такі питання: область визначення, безліч значень, монотонність, зворотна функція, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Показова функція- це узагальнення добутку n чисел, рівних a :
y (n) = a n = a·a·a···a,
на безліч дійсних чисел x :
y (x) = a x.
Тут a – фіксоване дійсне число, яке називають основою показової функції.
Показову функцію з основою a також називають експонентою на підставі a.

Узагальнення виконується в такий спосіб.
При натуральному x = 1, 2, 3,... , показова функція є твором x множників:
.
При цьому вона має властивості (1.5-8) (), які випливають із правил множення чисел. При нульовому та негативних значеннях цілих чисел показову функцію визначають за формулами (1.9-10). При дробових значеннях x = m/n раціональних чисел, її визначають за формулою (1.11). Для дійсних , показову функцію визначають як межу послідовності:
,
де - довільна послідовність раціональних чисел, що сходить до x: .
При такому визначенні, показова функція визначена всім , і задовольняє властивостям (1.5-8), як й у натуральних x .

Суворе математичне формулювання визначення показової функції та доказ її властивостей наводиться на сторінці «Визначення та доказ властивостей показової функції».

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має наступні властивості на безлічі дійсних чисел () :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . 1 Видно, що за a > 0 < a < 1 Показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a, тим сильніше зростання. При

показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим більше сильне спадання.

Зростання, спадання

	Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = a x ,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область визначення	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Область значень	Монотонність	монотонно зростає
монотонно зменшується 0	Нулі, y =	Нулі, y =
ні 0	Точки перетину з віссю ординат, x = 1	Точки перетину з віссю ординат, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y =

Зворотня функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .
.
Якщо то
.

Якщо то

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e, застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.
Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
.

і формулу з таблиці похідних:
.
Нехай задана показова функція:

Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді
.
З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.

За правилом диференціювання складної функції:

.
Похідна показової функції
.
Похідна n-го порядку:

Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції
Точки перетину з віссю ординат, x = Знайти похідну функції

3 5 x

Рішення
Виразимо основу показової функції через число e.
Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну
.
3 = e ln 3
.
Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Вводимо змінну
.
З таблиці похідних знаходимо: Оскільки 5ln 3
.
- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.

За правилом диференціювання складної функції маємо:

Відповідь

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; 2 = - 1 .
i
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну


.
a = r e i φ
φ = φ Аргумент φ визначено неоднозначно. Загалом,
0 + 2 πn де n – ціле. Тому функція f(z)
.

також не однозначна. Часто розглядають її головне значення

.

Розкладання в ряд
Використана література:

І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.Визначення

: Числовою функцією називається відповідність, яка кожному числу х із деякої заданої множини зіставляє однину y.

Позначення:

де x - незалежна змінна (аргумент), y - залежна змінна (функція). Безліч значень x називається областю визначення функції (позначається D(f)). Безліч значень y називається областю значень функції (позначається E(f)). Графіком функції називається безліч точок площини з координатами (x, f(x))

1. Способи завдання функції.
2. аналітичний метод (за допомогою математичної формули);
3. табличний спосіб (за допомогою таблиці);
4. описовий спосіб (за допомогою словесного опису);

графічний метод (за допомогою графіка).

Основні характеристики функції.

1. Парність та непарність
Функція називається парною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля

f(-x) = f(x) Графік парної функції симетричний щодо осі

0y
Функція називається непарною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля – для будь-якого х з області визначення

f(-x) = -f(x)

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

2.Періодичність Функція f(x) називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого х з області визначення .

f(x) = f(x+Т) = f(x-Т)

Графік періодичної функції складається з однакових фрагментів, що необмежено повторюються.

3. Монотонність (зростання, спадання)

Функція f(x) зростає на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1

Функція f(x) зменшується на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1 f(x 2) .

4. Екстремуми

Точка Х max називається точкою максимуму функції f(x) якщо для всіх х з деякої околиці Х max виконано нерівність f(х) f(X max).

Значення Ymax = f(Xmax) називається максимумом цієї функції.
Х max – точка максимуму

У max – максимум

Значення Y min = f (X min) називається мінімум цієї функції.

X min – точка мінімуму
Y min – мінімум

X min , Х max – точки екстремуму
Y min , У max – екстремуми.

5. Нулі функції

Нулем функції y = f(x) називається таке значення аргументу х, у якому функція перетворюється на нуль: f(x) = 0.

Х 1 Х 2 Х 3 - нулі функції y = f (x).

Завдання та тести на тему "Основні властивості функції"

• Властивості функцій - Числові функції 9 клас

  Уроків: 2 Задань: 11 Тестів: 1

• Властивості логарифмів - Показова та логарифмічна функції 11 клас

  Уроків: 2 Задань: 14 Тестів: 1

• Функція квадратного кореня, його властивості та графік - функція квадратного кореня. Властивості квадратного кореня 8 клас

  Уроків: 1 Задань: 9 Тестів: 1

• Ступінні функції, їх властивості та графіки - Ступені та коріння. Ступінні функції 11 клас

  Уроків: 4 Задань: 14 Тестів: 1

• Функції - Важливі теми для повторення ЄДІ з математики

  Завдань: 24

Вивчивши цю тему, Ви повинні вміти знаходити область визначення різних функцій, визначати за допомогою графіків проміжки монотонності функції, досліджувати функції на парність та непарність. Розглянемо розв'язання таких завдань на наступних прикладах.

приклади.

1. Знайти область визначення функції.

Рішення:область визначення функції перебуває з умови

Нулі функції
Нулем функції називається те значення х, при якому функція звертається до 0, тобто f(x)=0.

Нулі – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.

Парність функції
Функція називається парною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = f(x)

Парна функція симетрична щодо осі Оу

Непарність функції
Функція називається непарною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).

Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду.

Зростання функції
Функція f(x) називається зростаючою, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції, тобто.

Зменшення функції
Функція f(x) називається спадною, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції, тобто.

Проміжки, на яких функція або лише зменшується, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f(x) має 3 проміжки монотонності:

Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання та зменшення функції

Локальний максимум
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0) > f(x)

Локальний мінімум
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0)< f(x).

Точки локального максимуму та точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму.

точки локального екстремуму

Періодичність функції
Функція f(x) називається періодичною, з періодом Т, якщо для будь-кого хвиконується рівність f(x+T) = f(x).

Проміжки знакостійності
Проміжки, у яких функція або лише позитивна, або лише негативна, називаються проміжками знакопостійності.

Безперервність функції
Функція f(x) називається безперервною в точці x 0 якщо межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто. .

Точки розриву
Точки, в яких порушена умова безперервності, називаються точками розриву функції.

x 0- Точка розриву.

Загальна схема для побудови графіків функцій

1. Знайти область визначення функції D(y).

2. Знайти точки перетину графіка функцій з осями координат.

3. Дослідити функцію на парність чи непарність.

4. Дослідити функцію на періодичність.

5. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції.

6. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.

7. Знайти асимптоти функції.

8. За наслідками дослідження побудувати графік.

Приклад:Дослідити функцію та побудувати її графік: y = x 3 – 3x

1) Функція визначена по всій числовій осі, тобто її область визначення D(y) = (-∞; +∞).

2) Знайдемо точки перетину з осями координат:

з віссю ОХ: розв'яжемо рівняння x 3 – 3x = 0

з віссю ОY: y(0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

3) З'ясуємо, чи не є функція парної чи непарної:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Звідси випливає, що функція є непарною.

4) Функція неперіодична.

5) Знайдемо проміжки монотонності та точки екстремуму функції: y' = 3x 2 - 3.

Критичні точки: 3x2 – 3 = 0, x2 = 1, x = ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Знайдемо проміжки опуклості та точки перегину функції: y'' = 6x

Критичні точки: 6x=0, x=0.

y(0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

7) Функція безперервна, асимптот у неї немає.

8) За результатами дослідження збудуємо графік функції.