Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця.
Абсолютна та умовна збіжність
Щоб зрозуміти приклади цього уроку необхідно добре орієнтуватися в позитивних числових рядах: розуміти, що таке ряд, знати необхідну ознаку збіжності низки, вміти застосовувати ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші. Тему можна порушити практично з нуля, послідовно вивчивши статті Ряди для чайниківі Ознака Даламбер. Ознаки Коші. Логічно цей урок є третім за рахунком, і він дозволить не тільки розібратися в рядах, що знайдуть чергування, а й закріпити вже пройдений матеріал! Якийсь новизни буде небагато, і освоїти ряди, що знак чергуються, не складе великої праці. Все просто та доступно.
Що таке ряд ряд, що чергується?Це зрозуміло чи майже зрозуміло вже із самої назви. Відразу найпростіший приклад.
Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:
А зараз буде вбивчий коментар. У членів ряду, що чергується, чергуються знаки: плюс, мінус, плюс, мінус, плюс, мінус і т.д. до нескінченності.
Знак черга забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне – знак «мінус» (як ви пам'ятаєте ще з уроку про числові послідовності, Ця штуковина називається «мигалкою»). Таким чином, ряд, що чергується, «пізнається» по мінус одиночці в ступені «ен».
У практичних прикладах знак чергування членів низки може забезпечувати як множник , а й його рідні брати: , , , …. Наприклад:
Підводним каменем є «обманки»: , , і т.п. – такі множники не забезпечують зміну знаку. Зрозуміло, що з будь-якому натуральному : , , . Ряди з обманками підсовують не тільки особливо обдарованим студентам, вони іноді виникають «самі собою» в ході рішення функціональних рядів.
Як дослідити ряд, що чергається, на збіжність?Використовувати ознаку Лейбніца. Про німецького гіганта думки Готфріда Вільгельма Лейбніца я розповідати нічого не хочу, оскільки, крім математичних праць, він накотив кілька томів з філософії. Небезпечно для мозку.
Ознака Лейбніца: Якщо члени ряду знакочередующегося монотонноспадають за модулем, то ряд сходиться.
Або у два пункти:
1) Ряд є знакочередним.
2) Члени низки убувають по модулю: , причому, зменшуються монотонно.
Якщо виконані ці умови, то ряд сходиться.
Коротка довідкапро модуль наведено у методичці Гарячі формули шкільного курсу математики, але для зручності ще раз:
Що означає «за модулем»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, "з'їдає" знак "мінус". Повернемося до ряду 
. Подумки зітремо гумкою всі знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступнийчлен ряду меншеніж попередній. Таким чином, наступні фрази позначають те саме:
- Члени ряду без урахування знакуспадають.
- Члени ряду зменшуються за модулем.
- Члени ряду зменшуються по абсолютної величини.
– Модульзагального члена ряду прагне нуля:
// Кінець довідки
Тепер трохи поговоримо про монотонність. Монотонність – це нудна постійність.
Члени ряду суворо монотонноспадають за модулем, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулемМЕНШЕ, ніж попередній: . Для ряду виконано строгу монотонність спадання, її можна розписати докладно: 
А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду за модулемменше, ніж попередній: .
Члени ряду нестрого монотонноспадають по модулю, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього: . Розглянемо ряд із факторіалом: 
Тут має місце нестрога монотонність, тому що перші два члени ряду однакові за модулем. Тобто кожен наступний член ряду за модулемне більше попереднього: .
У разі теореми Лейбніца повинна виконуватися монотонність спадання (неважливо, строга чи нестрога). Крім того, члени ряду можуть навіть деякий час зростати за модулем, але «хвіст» ряду обов'язково має бути монотонно спадаючим.
Не треба лякатися того, що я нагородив, практичні приклади все розставлять на свої місця:
Приклад 1
До загального члена ряду входить множник , і це наштовхує на природну думку перевірити виконання умов ознаки Лейбніца:
1) Перевірка низки на знак чергування. Зазвичай у цьому пункті рішення низку розписують докладно 
і виносять вердикт «Ряд є знакочередним».
2) Чи зменшуються члени ряду по модулю? Тут потрібно вирішити межу, яка найчастіше є дуже простою.
– члени ряду не спадають за модулем, і з цього автоматично випливає його розбіжність – з тієї причини, що межі 
немає *, тобто, не виконаний необхідний ознака збіжності ряду .
Приклад 9
Дослідити ряд на збіжність
Приклад 10
Дослідити ряд на збіжність 
Після якісного опрацювання числових позитивних і знакозмінних рядів із чистою совістю можна перейти до функціональних рядів, які не менш монотонні та одноманітні цікаві.
Якщо для числового ряду, що чергується,
Виконуються дві умови:
1. Члени ряду спадають за модулем u 1>u 2>…>u n>…,
2. 
то ряд (19) сходиться, причому його сума позитивна і перевищує першого члена ряду.
Слідство.Залишок ряду Лейбніца має знак свого першого члена і менше його абсолютної величини, тобто.
Якщо в ряді, що чергається, члени ряду монотонно зменшуються за абсолютними значеннями і imU n =0 (nà∞), то ряд сходиться.
Дано: U 1 >U 2 >U 3 >...; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +... , U i >0
Доказ: S 2 n ¾ парна часткова сума:
S 2n = + U 1 -U 2 + U 3 -U 4 + ... -U 2n;
S 2n =(U 1 -U 2)+(U 3 -U 4)+...+(U 2n-1 -U 2n);
S 2n >0 ¾ збільшується.
S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n ; S 2n 0; imS 2n =S (nà∞)
imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S;
парні та непарні суми з однією межею => ряд сходиться.
1) Зауважимо, що S>0, тобто. знак суми збігається із знаком першого члена.
38.Абсол та умовна збіжність.
О. Ряд виду 
(1)
зв знакочеред-ся.
Ознака Лейбніца(Сх-ть знакочер ряду).
А, щоб ряд (1) сх-ся достатньо, щоб абсол значення спадали і →0 зі зростанням n, тобто.
О. Якщо ряд, склад з абсол значень величин 
сх-ся, то ряд зв абсолютно схожим.
Теорема: Якщо ряд явл абсол сх-ся, то вих ряд сх-ся.
Док-во:восп-ся 1 ознакою порівняння
Розсм-м ряд 
- Ряд з абсол значень величин
Доведена сх-ть за 2-го ознакою порівняння, слід-но ісх ряд сх-ся абсолютно.
Про. Якщо ряд, образ з абсол значень його величин расх-ся, а их ряд сх-ся, він названо умовно сх-ся.
39.Поняття статечного ряду. Область збіжності статечного ряду. Теорема Абеля.
Ряд виду , де - Числа, звані коефіцієнтами ряду, x- Змінна, зв-ся статечним рядом.Інтервал (-R; R) зв інтервалом сх-ти степ ряду. Зауважимо, що для x €(-R;R) ряд сходиться абсолютно, а в точках x=±R статечний ряд може сходитися або розходитися. Для знаходження радіусу збіжності можна скористатися, ознаками Даламбера або Коші. Теорема. Якщо є | a n +1 / a n | = L, то R = 1/L = | a n / a n +1 | (Док-во. Розглянемо ряд a n x n . Застосуємо щодо нього ознака Даламбера. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| ∙|x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд розходиться. Теорема доведена.) Зауважимо, що й L=0, будь-якого | x | то R = ∞. Якщо L=∞ для будь-якого x≠0 , то R=0 . Якщо R=0 , то ряд сходить у єдиній точці x 0 =0; якщо R=∞, то ряд сходить на всій числовій прямій. Отже, інтервал збіжності ряду a n x n є (-R; R). Для знаходження області збіжності ряду треба окремо досліджувати збіжність у точках x=R та x=-R; у зав-ти від рез-тов цього дослід-я обл-ю сх-ти ряду м. б. один із проміжків: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Якщо статечний ряд a n x n сходиться при x=x 0 , він сходиться причому абсолютно всім x , що задовольняють нерівності |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|х 1 |. (Док-во 1)Оскільки числовий ряд a n x 0 n сходиться, то a n x 0 n =0. Це означає, що числова послідовність (a n x 0 n ) обмежена. = n x 0 n (x/x 0) 2 . Розглянемо низку з абсолютних величин. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + | a 2 x 0 2 (x 2 / x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Але тоді згідно з першою частиною теореми, статечний ряд сходиться для всіх | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
Визначення. Знакозмінний ряд називається знакочередним, якщо його сусідні члени мають різні знаки.
Прикладами рядів, що чергуються, можуть служити геометричні прогресії з негативними знаменниками.
Для рядів, що чергуються, є досить загальна, чутлива і практична ознака збіжності, що належить Лейбніцу.
Теорема (ознака збіжності Лейбніца). Якщо абсолютні величини членів знакочередуючого ряду
утворюють монотонно незростаючу послідовність, що прагне нуля, тобто якщо
то ряд (4.32) сходиться.
Доказ. Ми маємо для будь-кого
або, об'єднуючи члени у групи (сума містить лише кінцеве число доданків, і тому основні закони дій справедливі тут без будь-яких обмежень),
З незростання послідовності абсолютних величин членів низки переважають у всіх дужках стоять неотрицательные числа. Отже,
Тому часткові суми ряду (4.32) із парними номерами становлять обмежену послідовність.
З іншого боку, через ту саму монотонність
і тому послідовність часткових сум із парними номерами є незменшною. Отже, ця послідовність має межу
Обидві межі праворуч існують, причому другий з них за умовою дорівнює нулю. Отже, існує і межа зліва, і для нього
Разом з (4.35) це дає нам
що й потрібно.
Слідство. Для ряду, що знак чергою задовольняє ознакою збіжності Лейбніца, залишок можна зверху оцінити за абсолютною величиною:
Справді, залишок можна як суму ряду
яка, як випливає з доведеної теореми, не перевищує абсолютної величини свого першого члена, яким у даному випадку є
приклад. У застосуванні до ряду
ознака Лейбниця дає
що означає збіжність низки. (Безпосередніми викладками ця збіжність встановлена в § 2.)
Ми бачимо, що ознака збіжності Лейбніца є досить широкою за застосовністю, дуже практичним та ідеально чутливим. Це не суперечить сказаному наприкінці § 5 глави 3: умовна збіжність ряду, що знак чергується, є «в середньому», якщо можна так висловитися, ширшим фактом, ніж збіжність ряду з позитивними членами; тому й розпізнати її виявляється у якомусь сенсі легше.
Зауважимо, нарешті, що ознака Лейбніца є не лише достатньою, але й необхідною ознакою збіжності для рядів, що чергаються, з монотонно спадаючими членами: якщо то на підставі необхідної ознаки збіжності з § 6 глави 2 ряд
сходитися не може.
Теорема формулюється в такий спосіб. Знакомий ряд
сходиться, якщо виконуються обидві умови:
Слідство
З теореми Лейбніца випливає слідство, що дозволяє оцінити похибку вичіснення неповної суми ряду:
Залишок схожого знакочередного ряду R n = S − S n буде по модулю менше першого відкинутого доданку:
Джерела
- Бронштейн І. Н., Семендяєв К. А.Довідник з математики. - Вид. 7-ме, стереотипне. – М.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1967. – С. 296.
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитися що таке "Ознака Лейбніца" в інших словниках:
Ознака Дирихле теорема, що вказує на достатні умови збіжності невласних інтегралів і сумісності нескінченних рядів. Названа на честь німецького математика Лежена Діріхле. Зміст … Вікіпедія
Ознака Діні - ознака крапкової збіжності ряду Фур'є. Незважаючи на те, що ряд Фур'є функції збігається до неї в сенсі норми, він не повинен сходитися до неї поточечно (навіть у разі безперервної функції). Тим не менш, за деяких ... Вікіпедія
Ознака порівняння твердження про одночасності розбіжності чи збіжності двох рядів, заснований на порівнянні членів цих рядів. Зміст 1 Формулювання 2 Доказ … Вікіпедія
Ознака збіжності числового ряду, запропонована Лобачевським між 1834 і 1836. Нехай є спадна послідовність позитивних чисел, тоді ряд сходиться або розходиться одночасно з рядом... Вікіпедія
Ознака збіжності рядів Фур'є: якщо періодична функція має обмежену варіацію на відрізку, то її ряд Фур'є сходить у кожній точці до числа; якщо при цьому функція безперервна на відрізку … Вікіпедія
- (Ознака Раабе Дюамеля) ознака збіжності знакопозитивних числових рядів, встановлений Йозефом Людвігом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) та незалежно Жан Марі Дюамелем. Зміст 1 Формулювання 2 Формул … Вікіпедія
Ознака збіжності числових рядів із позитивними членами, встановлений Жозефом Бертраном. Зміст 1 Формулювання 2 Формулювання в граничній формі … Вікіпедія
Загальна ознака збіжності числових рядів з позитивними членами, встановлений в 1812 Карлом Гауссом, при дослідженні збіжності гіпергеометричного ряду. Формулювання Нехай дано ряд та обмежена числова послідовність. Тоді якщо… … Вікіпедія
Ознака збіжності числових рядів із позитивними членами, встановлена Василем Єрмаковим. Його специфіка у тому, що він перевершує всі інші ознаки своєї чутливістю. Ця робота опублікована у статтях: «Загальна теорія… … Вікіпедія
Ознака збіжності числових рядів із позитивними членами, встановлений П'єром Жамэ. Зміст 1 Формулювання 2 Формулювання в граничній формі … Вікіпедія