Salınım teorisinin temelleri. Salınımlı sistemlerin sınıflandırılması

Öğrenciler için ders programı salınım teorisi 4 FACI kursu


Disiplin, klasik genel cebir, adi diferansiyel denklemler teorisi, teorik mekanik ve karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi gibi disiplinlerin sonuçlarına dayanmaktadır. Disiplini çalışmanın bir özelliği de aparatın sık kullanılmasıdır. matematiksel analiz ve diğer ilgili matematik disiplinleri, pratik kullanım önemli örnekler itibaren konu alanı teorik mekanik, fizik, elektrik mühendisliği, akustik.


1. Bir serbestlik derecesine sahip muhafazakar bir sistemde hareketin nitel analizi

  • Faz düzlemi yöntemi
  • Salınım periyodunun genliğe bağımlılığı. Yumuşak ve sert sistemler

2. Duffing denklemi

  • Eliptik fonksiyonlarda Duffing denkleminin genel çözümü için ifade

3. Yarı doğrusal sistemler

  • Van der Pol Değişkenleri
  • Ortalama alma yöntemi

4. Gevşeme salınımları

  • Van der Pol denklemi
  • Tekil olarak tedirgin edilmiş diferansiyel denklem sistemleri

5. Doğrusal olmayan otonom sistemlerin dinamiği genel görünüm bir serbestlik derecesine sahip

  • Dinamik bir sistemin "pürüzlülüğü" kavramı
  • Dinamik sistemlerin çatallanması

6. Floquet teorisinin unsurları

  • Normal çözümler ve çarpanlar doğrusal sistemler periyodik katsayılı diferansiyel denklemler
  • Parametrik rezonans

7. Hill denklemi

  • Floquet teorisinin periyodik katsayılı doğrusal Hamilton sistemlerine uygulanmasının bir örneği olarak Hill tipi bir denklemin çözümlerinin davranışının analizi
  • Mathieu denklemi şu şekilde özel durum Tepe tipi denklemler. Ines-Strett diyagramı

8. Doğrusal olmayan geri çağırma kuvvetine sahip bir sistemde zorlanmış salınımlar

  • Salınımların genliği ile sisteme uygulanan itici kuvvetin büyüklüğü arasındaki ilişki
  • İtici gücün frekansını değiştirirken sürüş modunu değiştirmek. “Dinamik” histerezis kavramı

9. Adyabatik değişmezler

  • Hareket Açısı Değişkenleri
  • Adyabatik değişmezlerin korunumu niteliksel değişim hareketin doğası

10. Çok boyutlu dinamik sistemlerin dinamiği

11. Lorentz denklemleri. Garip çekici

  • Termokonveksiyonun bir modeli olarak Lorentz denklemleri
  • Lorentz denklemlerinin çözümlerinin çatallanması. Kaosa geçiş
  • Garip bir çekicinin fraktal yapısı

12. Tek boyutlu görüntüler. Feigenbaum'un çok yönlülüğü

  • İkinci dereceden haritalama - en basit doğrusal olmayan haritalama
  • Eşlemelerin periyodik yörüngeleri. Periyodik yörüngelerin çatallanması

Edebiyat (ana)

1. Moiseev N.N. Doğrusal olmayan mekaniğin asimptotik yöntemleri. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Salınım ve dalga teorisine giriş. Ed. 2.. Araştırma Merkezi “Düzenli ve Kaotik Dinamikler”, 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Doğrusal olmayan salınımlar teorisinde asimptotik yöntemler. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Doğrusal olmayan salınımlar teorisine giriş. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Sinerjiye giriş. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Salınımlar, dalgalar, yapılar.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Literatür (ek)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Uygulanan yöntemler salınımlar teorisinde. Yayınevi "Bilim", 1988.

8. Stocker J. Mekanik ve elektrik sistemlerde doğrusal olmayan salınımlar. - M.: Yabancı edebiyat, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Doğrusal olmayan salınımların uygulamalı yöntemleri. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Doğrusal olmayan salınımlar fiziksel sistemler. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Salınım teorisi. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Salınım kavramı. Belirli bir sistemi, yani birbirleriyle ve çevreyle belirli bir yasaya göre etkileşime giren bir dizi nesneyi ele alalım. Mekanik bir sistem gibi olabilir maddi noktalar, kesinlikle katılar elastik ve genel olarak deforme olabilen gövdeler vb. ile elektrikli, biyolojik ve karışık (örneğin elektromekanik) sistemler. Sistemin her andaki durumu belirli bir parametreler dizisiyle tanımlansın. Teorinin görevi, sistemin başlangıç ​​durumu ve sistem üzerindeki dış etki göz önüne alındığında, sistemin zaman içindeki gelişimini tahmin etmektir.

Sistemin sayısal parametrelerinden birini ve ile göstererek alalım. Olabilir skaler miktar, bir vektörün veya tensörün bileşenlerinden biri vb. Bu parametredeki değişimi belirli bir süre boyunca ele alalım, örneğin, Bu değişiklik monotonik, monoton olmayan, esasen monoton olmayan olabilir (Şekil 1). ). Son durum çok ilgi çekicidir.

Zaman içinde parametrenin birden fazla dönüşümlü artması ve azalmasıyla karakterize edilen bir parametreyi değiştirme işlemine salınımlı işlem veya basitçe salınımlar denir ve karşılık gelen parametreye salınımlı değer denir.

ayıran net bir sınır oluşturmak imkansızdır. salınımlı süreçler salınımlı olmayanlardan. Örneğin ekonomide Şekil 2'de gösterilen tipte bir süreç. 1b salınımlı süreçlere atfedilebilir. Daha fazlasını formüle etmek mümkün genel tanım salınımlı süreç: parametre gerçekleştirilir verilen bölüm Bu segmentteki fark birçok kez işaret değiştirirse, parametreye göre salınım süresi (ve tam tersi) (Şekil 1d). Örneğin, diskin dönme açısının sabit bir sabit rotasyona göre salınımlı bir değişiminden bahsedebiliriz. açısal hız

Bir sistemin tüm parametreleri veya en önemli parametreleri salınım yapan miktarlar ise, o zaman sistemin salınım yaşadığı söylenir. Belirli koşullar altında salınım yapabilen bir sisteme salınım sistemi denir. Kesin olarak konuşursak, herhangi bir sistem bu tanıma uyar, çünkü herhangi bir sistem için performans göstereceği etkiyi seçmek mümkündür. salınım hareketi. Bu nedenle genellikle daha fazla kullanırlar. dar tanım: Bir sistem, dış etkilerin yokluğunda (yalnızca başlangıçta biriken enerji nedeniyle) salınma yeteneğine sahipse salınımlı olarak adlandırılır.

Salınımlı süreçlerin bilim ve teknolojideki yeri. Doğada ve teknolojide gözlenen süreçlerin çoğu salınımlıdır. Salınımlı süreçler çok çeşitli fenomenleri içerir: beyin ritimleri ve kalp atışlarından yıldızların, bulutsuların ve diğerlerinin titreşimlerine kadar. uzay nesneleri; Bir katı içindeki atom veya moleküllerin titreşimlerinden Dünya'daki iklim değişikliklerine, ses çıkaran bir telin titreşimlerinden depremlere kadar. Tüm akustik ve yayılma olayları elektromanyetik dalgalar, aynı zamanda salınımlı süreçler de eşlik eder.

Pirinç. I. Parametre değişikliği: a - monotonik; b - monoton olmayan; c - esasen monoton olmayan; r - parametrelerdeki göreceli değişiklik

İÇİNDE bu cilt Ağırlıklı olarak mekanik sistemler ele alınacaktır. Bu sistemlerde meydana gelen salınım süreçlerine mekanik salınımlar denir. Teknolojide, özellikle makine mühendisliğinde titreşim terimi de yaygın olarak kullanılmaktadır. Terimlerle neredeyse eşanlamlıdır mekanik titreşimler veya mekanik bir sistemin titreşimleri. Titreşim terimi çoğunlukla titreşimlerin nispeten küçük genliğe sahip olduğu ve frekansın çok düşük olmadığı durumlarda kullanılır (örneğin, bir saat sarkacının salınımları veya bir salınımın salınımı hakkında konuşurken titreşim terimini kabul etmek pek mümkün değildir).

Uygulamalı titreşim teorisi ve titreşim mühendisliği. Titreşimleri karakterize eden büyüklükleri ölçmek için kullanılan yöntemler ve araçlar kümesine vibrometri denir. azaltmak için bir dizi yöntem ve araç zararlı etkilerİnsanlar, cihazlar ve mekanizmalar üzerindeki titreşimlere titreşim koruması denir. Titreşimin hedeflenen kullanımına dayanan bir dizi teknolojik teknik, titreşim işleme olarak adlandırılır ve malzemeleri, ürünleri vb. hareket ettirmek için titreşimin kullanılmasına titreşim taşıma denir. Nesnelerin işlevlerini yerine getirme ve parametreleri sınırlar dahilinde tutma yeteneğini sağlamak yerleşik standartlar ve ayrıca titreşim koşulları altında mukavemeti korumak için, titreşim direnci ve titreşim mukavemeti veya daha genel bir formülasyonla titreşim güvenilirliği için hesaplamalar gereklidir. Titreşim testinin amacı, titreşim koşulları altında nesnelerin titreşim direncini, titreşim gücünü ve verimliliğini incelemek ve ayrıca titreşim korumasının etkinliğini incelemektir; Titreşim teşhisinin görevi, operasyonel veya yapay olarak uyarılan titreşimlerin analizine dayanarak bir nesnenin durumunu incelemektir.

Gelişim modern teknolojiçeşitli yapıların hesaplanması, her türlü makine ve mekanizmanın tasarımı, üretimi ve çalıştırılması ile ilgili mühendislere çok çeşitli görevler yüklemektedir.

Herhangi bir mekanik sistemin davranışının incelenmesi her zaman fiziksel bir modelin seçimiyle başlar. Gerçek bir sistemden fiziksel modeline geçerken, belirli bir problem için önemsiz olan faktörler ihmal edilerek sistem genellikle basitleştirilir. Bu nedenle, bir ip üzerine asılı bir yükten oluşan bir sistem incelenirken yükün boyutu, ipliğin kütlesi ve uyumu, ortamın direnci, askı noktasındaki sürtünme vb. ihmal edilir;

bu, iyi bilinen bir fiziksel model olan matematiksel bir sarkaç üretir. Sınırlama fiziksel modeller araştırmalarda önemli bir rol oynuyor salınım fenomeni

Mekanik sistemlerde. Doğrusal diferansiyel denklem sistemleriyle tanımlanan fiziksel modeller sabit katsayılar

genellikle doğrusal olarak adlandırılır. Seçim doğrusal modeller

Doğrusal diferansiyel denklemleri sabit katsayılarla entegre etmek, matematiksel açıdan temel bir görevdir ve bu nedenle araştırma mühendisi, mümkün olduğunca doğrusal bir model kullanarak sistemin davranışını tanımlamaya çalışır.

Bir sistemin salınımları, eğer sapmalar ve hızlar, sistemdeki noktaların karakteristik boyutları ve hızları ile karşılaştırıldığında birinci dereceden küçüklük miktarları olarak kabul edilebilirse, küçük kabul edilir.

Mekanik bir sistem yalnızca kararlı bir denge konumuna yakın yerlerde küçük salınımlar gerçekleştirebilir. Sistemin dengesi kararlı, kararsız ve kayıtsız olabilir (Şekil 3.8).

Pirinç. 3.8 Çeşitli türler denge

Dengesi çok küçük bir başlangıç ​​sapması ile bozulan sistemin denge konumu kararlıdır. ve/veya küçük başlangıç ​​hızı, bu konumun etrafında bir hareket yapar.

Holonomik ve muhafazakar sistemlerin denge konumunun kararlılığı için kriter sabit bağlantılar sistemin potansiyel enerjisinin genelleştirilmiş koordinatlara bağımlılık türü ile belirlenir. Muhafazakar bir sistem için c
serbestlik dereceleri, denge denklemleri şu şekildedir:

yani
, Nerede
.

Denge denklemlerinin kendisi, denge konumunun kararlılığının veya kararsızlığının doğasını değerlendirmeyi mümkün kılmaz.

Bunlardan yalnızca denge konumunun aşırı bir potansiyel enerji değerine karşılık geldiği sonucu çıkar.

Denge konumu (yeterli) için stabilite koşulu Lagrange-Dirichlet teoremi ile belirlenir: sistemin denge konumunda olması durumunda potansiyel enerji

minimum varsa bu durum stabildir.

.

Herhangi bir fonksiyonun minimumunun koşulu, birinci türevi sıfıra eşit olduğunda ikinci türevinin pozitif olmasıdır. Bu yüzden

,

İkinci türev de sıfırsa, kararlılığı değerlendirmek için ardışık türevleri hesaplamak gerekir. ve eğer ilki olmazsa sıfıra eşit
Türev eşit bir mertebeye sahip ve pozitif ise, bu durumda potansiyel enerji
minimuma sahiptir ve bu nedenle sistemin bu denge konumu kararlıdır.

Bu türevin tek bir sırası varsa, o zaman ne zaman
maksimum veya minimum yoktur. Bir sistemin minimum potansiyel enerjiye sahip olmadığı bir konumdaki denge durumunun değerlendirmesi A. M. Lyapunov tarafından özel teoremlerde verilmiştir. Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı

Ukhta Eyaleti
teknik üniversite

V.K. Khegai, D.N. Levitsky,
O. Kharin, A.S. Popov
Titreşim teorisinin temelleri

mekanik sistemler öğretici Kabul edildi
eğitimsel ve metodolojik dernek
üniversiteler
eğitim olarak yüksek petrol ve gaz eğitiminde

petrol ve gaz üniversitelerinde okuyan öğrenciler için kılavuzlar
uzmanlığa göre 090800, 170200, 553600
Mekanik sistemlerin titreşim teorisinin temelleri / V.K. Khegai,
D.N. Levitsky, O.N. Kharin, A.S. Popov. – Ukhta: USTU, 2002. – 108 s.
ISBN 5-88179-285-8
Ders kitabı, mekanik sistemlerin titreşim teorisinin temellerini inceliyor. genel kurs teorik mekanik. Özel ilgi Lagrange'ın ikinci denklemlerinin uygulanmasına ayrılmıştır
sıra. Kılavuz, her biri belirli bir salınım türüne ayrılmış altı bölümden oluşmaktadır. Bir bölüm, hareket kararlılığı teorisinin ve mekanik sistemlerin dengesinin temellerine ayrılmıştır.
İçin daha iyi gelişme teorik materyal, verilen kılavuzda
teknolojinin çeşitli alanlarından çok sayıda örnek ve problem.
Ders kitabı, teorik mekanik dersini tam olarak inceleyen mekanik uzmanlık öğrencileri için tasarlanmıştır.
diğer uzmanlık öğrencilerine de faydalı olabilir.
Hakemler: St. Petersburg Teorik Mekanik Bölümü
Devlet Ormancılık Akademisi (bölüm başkanı, Teknik Bilimler Doktoru, Profesör Yu.A. Dobrynin); SeverNIPIGaz entegre sondaj departmanı başkanı Ph.D., Doçent Yu.M. Gerzhberg.

© Ukhta Devlet Teknik Üniversitesi, 2002
©Khegai V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
İçindekiler
Önsöz.................................................. ....... ................................................... .................................. 4
Bölüm I. Kısa bilgi analitik mekanikten................................................................ .... 5
1.1 Sistemin potansiyel enerjisi.................................................. ...................... ................................... 5
1.2. Sistemin kinetik enerjisi................................................. ...... .................................... 6
1.3. Enerji tüketen fonksiyon................................................... ................................................................... 8
1.4. Langrange denklemi................................................. ................................................................... 9
1.5. İkinci türden Langrange denklemlerinin oluşturulmasına ilişkin örnekler................................................. 11
Bölüm II. Korunumlu sistemlerin hareket kararlılığı ve dengesi................. 20
2.1. Giriiş................................................. ....... ................................................... ................ ................... 20
2.2. Lyapunov'un işlevleri. Sylvester kriteri.................................................. ................ 21
2.3. Tedirgin hareket denklemi................................................. ...................................... 23
2.4. Lyapunov'un hareket kararlılığı teoremi................................................. ....... .......... 26
2.5. Dengenin kararlılığı üzerine Lagrange teoremi
muhafazakar sistem................................................................ ................................................................... ......... 29
2.6. Korunumlu bir sistemin dengesinin kararlılığı
serbestlik derecesi................................................................ ......... ................................................... .................. .......... 30
2.7. Korunumlu bir sistemin denge kararlılığına örnekler................................................. 31
Bölüm III. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistemin serbest titreşimleri................................................. 39
3.1. Korunumlu bir sistemin serbest salınımları
bir serbestlik derecesine sahip ................................................... ...... ...................................................... .................. 39
3.2. Tek serbestlik derecesine sahip bir sistemin serbest titreşimleri
direnç kuvvetleri, hıza orantılı......................................................... 42
3.3. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistemin serbest salınım örnekleri................................................ 46
Bölüm IV. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistemin zorlanmış salınımları................. 59
4.1. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistemin zorlanmış salınımları
periyodik rahatsız edici kuvvet durumunda.................................................. ......... ................... 59
4.2. Rezonans olgusu.................................................. ................................................................... ......... .... 63
4.3. Dayak olgusu................................................................ ..... ................................................... ....... ........ 66
4.4. Dinamik katsayı.................................................. .................................................... 68
4.5. Örnekler zorunlu salınımlar sistemler
bir serbestlik derecesine sahip ................................................... ...... ...................................................... ................ 70
Bölüm V. İki serbestlik dereceli bir sistemin serbest titreşimleri................................. 78
5.1. İkili bir sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemleri
serbestlik dereceleri ve bunların genel çözüm........................................................................ 78
5.2. Kendi formları.................................................................................................. 80
5.3. İki serbestlik derecesine sahip bir sistemin serbest salınım örnekleri................................ 81
Bölüm VI. İki serbestlik derecesine sahip bir sistemin zorlanmış salınımları.................. 93
6.1. Sistemin zorlanmış salınımlarının diferansiyel denklemleri ve bunların
genel çözüm.................................................. ...................................................................... ................. ................. 93
6.2. Dinamik titreşim sönümleyici................................................. ................................................................... 95
6.3. İki serbestlik derecesine sahip bir sistemin zorlanmış titreşim örnekleri..... 98
Kaynakça.................................................................. ..... ................................... .......107

4
Önsöz
Açık modern sahne gelişim lise Sorunlu ve araştırma formları eğitim.
Makinelerdeki ve mekanizmalardaki dinamik süreçler, hem yeni yapıların tasarım aşamasındaki hesaplamalar hem de işletme sırasındaki teknolojik modların belirlenmesi için belirleyici öneme sahiptir. Olmayacak bir teknoloji alanını adlandırmak zordur.
Elastik titreşimlerin ve mekanik sistemlerin denge ve hareketinin kararlılığının incelenmesine ilişkin güncel problemler. Özel bir durumu temsil ediyorlar
makine mühendisliği, ulaştırma ve teknolojinin diğer alanlarında çalışan makine mühendisleri için önem taşımaktadır.
Kılavuz bazı konuları tartışıyor bireysel sorunlar teoriden
Mekanik sistemlerin titreşimleri ve kararlılığı. Teorik bilgiler
örneklerle anlatıldı.
Bunun asıl amacı metodolojik el kitabı- bağlantı
teorik ve analitik mekaniğin problemli uygulama alanı
makine mühendisi yetiştiren özel bölümler.

5
Bölüm I. ANALİTİKTEN KISA BİLGİ
MEKANİK
I.I. Sistemin potansiyel enerjisi
Serbestlik derecesine sahip bir sistemin potansiyel enerjisi,
konum enerjisi yalnızca genelleştirilmiş koordinatlara bağlıdır

P = P (q1, q2,...., qs) ,
nerede q j

(j = 1, 2,K, s) – sistemin genelleştirilmiş koordinatları.

Sistemin kararlı konumdan küçük sapmaları dikkate alındığında
denge durumunda, genelleştirilmiş koordinatlar qj birinci dereceden küçüklük miktarları olarak düşünülebilir. Sistemin denge konumunu varsayarsak
genelleştirilmiş koordinatların kökenine karşılık geldiğinden, potansiyel enerji P'nin ifadesini qj'nin kuvvetleri cinsinden Maclaurin serisine genişletiyoruz

∂П
1 S S ∂2 P
P = P (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
Q
2
∂
Q
∂
Q
j =1
ben =1 j =1
J
Ben
J
S

Potansiyel enerjinin doğrulukla belirlendiğini akılda tutarak
bir miktar toplamsal sabite kadar, denge konumundaki potansiyel enerji sıfıra eşit alınabilir
P(0) = 0.

Korunumlu kuvvetler durumunda, genelleştirilmiş kuvvetler aşağıdaki formülle belirlenir:

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K, s) .

Kuvvetler sistemi dengede olduğundan beri

(j = 1, 2,K, s) ,

O zaman muhafazakar bir kuvvetler sisteminin denge koşulları şu şekildedir:

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2,K, s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝j

⎞
⎟⎟ qj = 0 .
⎠0

Buradan,
S

6
Daha sonra ikinci dereceden küçüklüğe kadar eşitlik (1.2.) formunu alır

1 S S ⎛ ∂2 P
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟qi qj .
⎠0

Haydi belirtelim

⎛ ∂2 P
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Burada cij genelleştirilmiş sertlik katsayılarıdır.
Potansiyel enerjinin son ifadesi

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 ben =1 j =1

(1.9.)'dan sistemin potansiyel enerjisinin homojen olduğu açıktır. ikinci dereceden fonksiyon genelleştirilmiş koordinatlar
1.2. Sistemin kinetik enerjisi
N maddesel noktadan oluşan bir sistemin kinetik enerjisi
eşit

1n
T = ∑mkvk2 ,
2 bin =1

Burada mk ve vк sistemin k'inci noktasının kütlesi ve hızıdır.
Genelleştirilmiş koordinatlara geçerken şunu aklımızda tutacağız:
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1 , q2 ,..., qs)

Burada rk sistemin k'inci noktasının yarıçap vektörüdür.
−

vk2 = v k ⋅ v k özdeşliğini kullanalım ve hız vektörünü değiştirelim
−

V k değeri
_

∂rk
∂q1

∂rk
∂q2

∂rk
∂q'lar

Daha sonra kinetik enerji ifadesi (1.10) şu şekli alacaktır:

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
N

⎛ _
∂rk
Göt = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
N

⎞
⎛ _
N
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
R
R
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

−1,s = ∑ mk olduğundan
k =1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Bu katsayıların her birini bir Maclaurin serisinde genelleştirilmiş koordinatların kuvvetleri cinsinden genişleterek şunu elde ederiz:

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

İndeks 0, denge konumundaki fonksiyonların değerlerine karşılık gelir. Sistemin konumdan küçük sapmaları dikkate alındığından
dengedeysek (1.14) eşitliğinde kendimizi yalnızca ilk sabit terimlerle sınırlandırırız

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Daha sonra kinetik enerji ifadesi (1.13) şu şekilde olacaktır:
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1,15)
2⎝
⎠

Veya genel olarak

1 S
T= ∑
2 ben=1

aij sabitleri genelleştirilmiş eylemsizlik katsayılarıdır.
(1.16)'dan T sisteminin kinetik enerjisinin homojen olduğu açıktır.
genelleştirilmiş hızların ikinci dereceden fonksiyonu.

8
1.3. Enerji tüketen fonksiyon
İÇİNDE gerçek koşullar sistemin serbest salınımları sönümlenir, böylece
Direnç kuvvetlerinin noktalar üzerinde nasıl etki ettiği. Direnç kuvvetlerinin varlığında mekanik enerji dağılır.
−

Direnç kuvvetlerinin R k (k = 1, 2,..., n) olduğunu varsayalım.
sistemin noktalarına hızlarıyla orantılı olarak
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

µ k orantılılık katsayısıdır.
Holonomik bir sistem için genelleştirilmiş direnç kuvvetleri formüllerle belirlenir.
N

Q j R = ∑ Rk
k =1

∂rk
∂r
= −∑ μ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
N

(j = 1, 2,..., s) .

Çünkü
_

∂rk
∂rk
∂rk
q1 +
q 2 + ... +
QS
∂q1
∂q2
∂qS

∂rk
.
∂q j

(1.18) aklımızda tutarak, genelleştirilmiş direnç kuvvetlerini (1.17) şu şekilde yeniden yazıyoruz:
N

Q = −∑ µκ vκ
R
J

(j = 1, 2,..., s) .

Formülle tanımlanan enerji tüketen bir fonksiyonu tanıtalım.
N

Daha sonra genelleştirilmiş direnç kuvvetleri formüllerle belirlenir.

(j = 1, 2,..., s) .

Enerji tüketen fonksiyon, sistemin kinetik enerjisine benzetilerek homojen ikinci dereceden bir fonksiyon olarak temsil edilebilir.
genelleştirilmiş hızlar

1 S S
Φ = ∑∑ вij q ben q j ,
2 ben =1 j =1

Burada вij genelleştirilmiş dağılım katsayılarıdır.
1.4. İkinci türden Lagrange denklemi
s serbestlik derecesine sahip bir holonomik sistemin konumu, s genelleştirilmiş koordinatlar qj (j = 1, 2,..., s) tarafından belirlenir.
İkinci türden Lagrange denklemlerini türetmek için genel denklemi kullanırız:
dinamik denklem
S

Q иj)δ q j = 0 ,

Burada Qj, j'inci genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen aktif kuvvetlerin genelleştirilmiş kuvvetidir;
Q uj – j'inci genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş atalet kuvveti;
δ q j – j'inci genelleştirilmiş koordinatın artışı.
Tüm δ q j (j = 1, 2,..., s)'nin birbirinden bağımsız olduğunu akılda tutarak,
eşitlik (1.23), yalnızca δ q j için katsayıların her birinin ayrı ayrı olması durumunda geçerli olacaktır. sıfıra eşit yani

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
veya

(j = 1, 2,..., s) .

Q uj'yi sistemin kinetik enerjisi cinsinden ifade edelim.
Genelleştirilmiş kuvvetin tanımı gereği,

Q иj = ∑ Φ k
k =1

∂rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
N

(j = 1, 2,K, s) ,

D vk
burada Φ k = − mk a k = − mk
– Sistemin inci noktasındaki atalet kuvveti.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ rk d ⎜ ∂ rk
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ - vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
∂rk
∂rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs
dt
∂q1
∂q2
∂q'lar
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
D
R
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

(1.27) ve (1.28) değerlerini eşitliğe (1.26) koyarsak, şunu buluruz:
_
⎛_
∂ vk ∂ rk d ⎜
∂vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂vk2
∂
v
D
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
J
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

Eşitliği (1.29) dikkate alarak ifadeyi (1.25) formda yeniden yazıyoruz.

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
Ve
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ qj
N

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
Q
∂
j ⎦
J
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
J
⎝
N

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
N

11
Burada türevlerin toplamının, toplamın türevine eşit olduğu dikkate alınır,
n m v2
ve ∑ k k = T sistemin kinetik enerjisidir.
k =1
2
(1.24) eşitliklerini akılda tutarak, sonunda şunu buluruz:

⎛
d⎜∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
J
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2,K, s) .

Denklemlere (1.30) ikinci türden Lagrange denklemleri denir.
Bu denklemlerin sayısı serbestlik derecesi sayısına eşittir.
Sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerin potansiyeli varsa, o zaman
genelleştirilmiş kuvvetler için formül geçerlidir

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K, s) ,

Burada P sistemin potansiyel enerjisidir.
Dolayısıyla Lagrange denkleminin muhafazakar sistemi için

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM BAKANLIĞI

Kabardey-Balkar Devleti

ÜNİVERSİTE adını almıştır. Kh M. BERBEKOVA

SALINIM TEORİSİNİN TEMELLERİ

TEORİNİN TEMELLERİ, ÖDEV GÖREVLERİ,

ÇÖZÜM ÖRNEKLERİ

Üniversitelerin mekanik uzmanlık öğrencileri için

Nalçik 2003

İnceleyenler:

– Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör, Rusya Bilimler Akademisi Uygulamalı Matematik ve Otomasyon Araştırma Enstitüsü Müdürü, Onur. Rusya Federasyonu bilim adamı, AMAN akademisyeni.

Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör, Kabardey-Balkar Devlet Tarım Akademisi Uygulamalı Matematik Bölüm Başkanı.

Kulterbaev salınım teorisi. Temel teori, ödev problemleri, çözüm örnekleri.

Yüksek teknik eğitim kurumlarının eğitim alanlarında okuyan öğrencileri için ders kitabı sertifikalı uzmanlar 657800 - Tasarım ve teknolojik destek makine yapımı endüstrileri, 655800 Gıda mühendisliği. – Nalçik: KBSU'nun adını taşıyan yayınevi. , 20'ler.

Kitap, doğrusal mekanik sistemlerin salınım teorisinin temellerini özetlemekte ve aynı zamanda çözüm örnekleriyle birlikte ev ödevi problemleri de sunmaktadır. Teorinin içeriği ve ödevler mekanik uzmanlık öğrencilerine yöneliktir.

Hem ayrık hem de dağıtılmış sistemler dikkate alınır. Ev ödevi için uyumsuz seçeneklerin sayısı, bunların geniş bir öğrenci akışı için kullanılmasına olanak tanır.

Yayın aynı zamanda salınım teorisinin uygulamalarıyla ilgilenen öğretmenler, lisansüstü öğrenciler ve bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki uzmanlar için de faydalı olabilir.

© Kabardey-Balkar devlet üniversitesi onlara.

Önsöz

Kitap ders esas alınarak yazılmıştır. yazar tarafından okundu Kabardey-Balkar Devlet Üniversitesi Mühendislik ve Teknoloji Fakültesi'nde mekanik uzmanlık öğrencileri için.

Modern teknolojinin mekanizmaları ve yapıları sıklıkla karmaşık dinamik yükleme koşulları altında çalışır, dolayısıyla titreşim teorisine olan sürekli ilgi pratik ihtiyaçlarla desteklenir. Salınım teorisi ve uygulamaları, önemli sayıda ders kitabı ve öğretim yardımcısını içeren geniş bir bibliyografyaya sahiptir. Bunlardan bazıları bu kılavuzun sonundaki kaynakçada verilmiştir. Mevcut eğitim literatürünün neredeyse tamamı bu dersi okuyan okuyuculara yöneliktir. büyük hacimli ve alanlarda uzmanlaşmış mühendislik faaliyetleriöyle ya da böyle, yapıların dinamikleriyle önemli ölçüde ilişkilidir. Bu arada, şu anda tüm makine mühendisleri, titreşim teorisine oldukça ciddi bir düzeyde hakim olma ihtiyacını hissediyorlar. Bu tür gereklilikleri karşılama çabası, birçok üniversitenin eğitim programlarına küçük ölçekli üniversitelerin dahil edilmesine yol açmaktadır. özel kurslar. Bu ders kitabı tam da bu tür talepleri karşılamak üzere tasarlanmıştır ve teorinin temellerini, ev ödevi problemlerini ve bunların nasıl çözüleceğine dair örnekleri içerir. Bu, ders kitabının sınırlı hacmini, içeriğinin ve başlığının seçimini haklı çıkarmaktadır: "Salınım Teorisinin Temelleri." Aslında ders kitabı disiplinin yalnızca temel konularını ve yöntemlerini özetlemektedir. İlgilenen okuyucu, iyi bilinen bilimsel monografilerden ve öğretim yardımcıları sonunda verildi bu basım, İçin derinlemesine çalışma teorisi ve birçok uygulaması.

Kitap, normal üniversite dersleri kapsamında eğitim alan okuyucuya yöneliktir. yüksek matematik, teorik mekanik ve malzemelerin mukavemeti.

Böyle bir dersin incelenmesinde, ödevler, testler, hesaplama ve tasarım, hesaplama ve grafik çalışmaları ve oldukça fazla zaman gerektiren diğer çalışmalar şeklinde ödevler önemli bir miktar kaplar. Mevcut problem kitapları ve problem çözme yardımcıları bu amaçlara yönelik değildir. Ek olarak, teori ve ödevin tek bir yayında birleştirilmesinin açık bir şekilde tavsiye edilebilirliği vardır. genel içerik, tematik odak ve tamamlayıcı.

Öğrenci ödevlerini tamamlarken ve tamamlarken disiplinin teorik bölümünde belirtilmeyen veya yeterince açıklanmayan birçok soruyla karşı karşıya kalır; Bir problemin çözümündeki ilerlemeyi, alınan kararları gerekçelendirme yollarını, yapılanmayı ve not yazmada zorluk yaşıyor.

Öğretmenler de zorluklar yaşıyor ancak örgütsel nitelikte. Ödevlerin hacmini, içeriğini ve yapısını sık sık gözden geçirmeleri, görevlerin çok sayıda versiyonunu hazırlamaları, uyumsuz görevlerin toplu olarak zamanında teslim edilmesini sağlamaları, çok sayıda istişare, açıklama vb. yürütmeleri gerekir.

Bu kılavuz, diğer hususların yanı sıra, kitlesel eğitim koşullarında sıralanan nitelikteki zorluk ve zorlukları azaltmayı ve ortadan kaldırmayı amaçlamaktadır. Kursun en önemli ve temel konularını kapsayan iki görevi içerir:

1. Tek serbestlik dereceli sistemlerin salınımları.

2. İki serbestlik dereceli sistemlerin salınımları.

Bu görevler kapsam ve içerik itibariyle tam zamanlı öğrenciler için hesaplama ve tasarım çalışması haline gelebilir, yarı zamanlı formlaröğrenciler için eğitim veya testler yazışma formu eğitim.

Okuyuculara kolaylık sağlamak amacıyla, kitapta her paragraftaki formüllerin (denklemlerin) ve şekillerin olağan numaralandırması kullanılarak bağımsız numaralandırması kullanılmaktadır. ondalık sayı parantez içinde. Mevcut paragrafta bir atıf, basitçe böyle bir sayının belirtilmesiyle yapılır. Önceki paragrafların formülüne başvurmak gerekiyorsa, paragrafın numarasını ve ardından bir noktayla ayırarak formülün numarasını belirtin. Dolayısıyla, örneğin, (3.2.4) gösterimi bu bölümün 3.2. paragrafındaki formül (4)'e karşılık gelir. Önceki bölümlerin formülüne atıf aynı şekilde ancak bölüm numarası ve noktası ilk sırada belirtilerek yapılmıştır.

Kitap ihtiyaçları karşılamaya yönelik bir girişimdir. mesleki eğitim belirli yönlerdeki öğrenciler. Yazar, görünüşe göre eksikliklerden arınmış olmayacağının bilincindedir ve bu nedenle sonraki baskıları geliştirmek için okuyucuların olası eleştirilerini ve yorumlarını minnetle kabul edecektir.

Kitap aynı zamanda salınım teorisinin uygulamalarla ilgilenen uzmanlar için de yararlı olabilir. çeşitli alanlar fizik, teknoloji, inşaat ve diğer bilgi ve üretim faaliyetleri.

BölümBEN

GİRİİŞ

1. Titreşim teorisinin konusu

Belirli bir sistem uzayda hareket eder, böylece t zamanının her anında durumu belirli bir parametreler dizisiyle tanımlanır: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height = "23 src =">.gif" width = "48" height = "24"> ve dış etkiler. Ve sonra görev tahmin etmektir daha fazla evrim zaman içindeki sistemler: (Şekil 1).

Sistemin değişen özelliklerinden biri , olsun. Farklı olabilir karakteristik çeşitler zaman içindeki değişimleri: monotonik (Şekil 2), monotonik olmayan (Şekil 3), önemli ölçüde monoton olmayan (Şekil 4).

Zaman içinde parametrenin birden fazla dönüşümlü artış ve azalışlarıyla karakterize edilen bir parametreyi değiştirme işlemine denir. salınım süreci ya da sadece dalgalanmalar. Salınımlar doğada, teknolojide ve insan faaliyeti: Beynin ritimleri, sarkacın salınımları, kalbin atışı, yıldızların titreşimleri, atom ve moleküllerin titreşimleri, akım gücündeki dalgalanmalar elektrik devresi, hava sıcaklığındaki dalgalanmalar, gıda fiyatlarındaki dalgalanmalar, sesin titreşimi, bir müzik aletinin tellerinin titreşimi.

Çalışma konusu bu kurs mekanik titreşimlerdir, yani mekanik sistemlerdeki titreşimlerdir.

2. Sınıflandırma salınım sistemleri

İzin vermek sen(X, t) – sistem durum vektörü, F(X, t) – sistem üzerindeki dışarıdan etkilerin vektörü çevre(Şekil 1). Sistemin dinamiği operatör denklemi ile tanımlanır.

L sen(X, t) = F(X, t), (1)

burada operatör L salınım denklemleri ile verilir ve ek koşullar(sınır, başlangıç). Böyle bir denklemde u ve f aynı zamanda skaler büyüklükler de olabilir.

En basit sınıflandırma salınımlı sistemler özelliklerine göre üretilebilir serbestlik derecesi sayısı. Serbestlik derecesi sayısı, herhangi bir t anında sistemin konfigürasyonunu benzersiz şekilde belirleyen bağımsız sayısal parametrelerin sayısıdır. Bu özelliğe dayanarak salınımlı sistemler üç sınıftan birinde sınıflandırılabilir:

1)Tek serbestlik dereceli sistemler.

2)Sistemler sonlu sayı serbestlik dereceleri. Genellikle aynı zamanda denir ayrık sistemler.

3)Sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler (sürekli, dağıtılmış sistemler).

Şek. Şekil 2'de sınıfların her biri için bir dizi açıklayıcı örnek verilmektedir. Her şema için serbestlik derecesi sayısı dairelerle gösterilir. Açık son şema dağıtılmış bir sistem elastik deforme olabilen bir kiriş şeklinde sunulur. Konfigürasyonunu açıklamak için bir u(x, t) fonksiyonu gereklidir, yani. sonsuz küme değerlerin.

Her salınım sistemi sınıfının kendine ait matematiksel model. Örneğin, bir serbestlik derecesine sahip bir sistem, ikinci dereceden bir adi diferansiyel denklemle, sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler - bir adi diferansiyel denklem sistemi, dağıtılmış sistemler - ile tanımlanır. diferansiyel denklemler kısmi türevlerde.

Model (1)'deki L operatörünün tipine bağlı olarak salınımlı sistemler aşağıdakilere ayrılır: doğrusal ve doğrusal olmayan. Sistem düşünülüyor doğrusal, eğer ona karşılık gelen operatör doğrusalsa, yani koşulu karşılıyorsa

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width = "20 height=24" height = "24">.jpg" width = "569" height = "97">
Lineer sistemler için geçerlidir süperpozisyon ilkesi(kuvvetlerin eyleminin bağımsızlığı ilkesi). Bir örnek kullanarak bunun özü (Fig..gif" width="36" height="24 src="> aşağıdaki gibidir..gif" width="39" height="24 src=">..gif" genişlik = "88" yükseklik = "24">.

Sabit ve sabit olmayan sistemler. sen sabit sistemler Söz konusu zaman dilimi içerisinde özellikler zamanla değişmez. İÇİNDE aksi takdirde sistem denir sabit olmayan. Sonraki iki şekil bu tür sistemlerdeki salınımları açıkça göstermektedir. Şek. Şekil 4, sabit bir sistemdeki kararlı durumdaki salınımları göstermektedir. 5 - Durağan olmayan bir sistemdeki salınımlar.

Sabit sistemlerdeki süreçler, katsayıları zaman içinde sabit olan, durağan olmayan sistemlerde ise değişken katsayılı diferansiyel denklemlerle tanımlanır.

Otonom ve otonom olmayan sistemler.İÇİNDE otonom sistemler hiçbir dış etki yoktur. İçlerindeki salınımlı süreçler yalnızca aşağıdaki nedenlerden dolayı meydana gelebilir: iç kaynaklar enerji veya sisteme verilen enerji nedeniyle başlangıç ​​anı zaman. Operatör denkleminde (1), o zaman sağ taraf zamana bağlı değildir, yani. F(X, t) = F(X). Geriye kalan sistemler ise özerk değildir.

Korunumlu ve korunumlu olmayan sistemler. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align = "left hspace=12" width = "144" height = "55"> Serbest titreşimler. Serbest titreşimler dışarıdan bir enerji akışı olmaksızın, değişken dış etkilerin yokluğunda gerçekleşir. Bu tür salınımlar yalnızca otonom sistemlerde meydana gelebilir (Şekil 1).

Zorlanmış titreşimler. Bu tür dalgalanmalar otonom olmayan sistemlerde meydana gelir ve bunların kaynakları değişken dış etkilerdir (Şekil 2).

Parametrik salınımlar. Salınım sisteminin parametreleri zamanla değişebilir ve bu bir salınım kaynağı haline gelebilir. Bu tür salınımlara denir parametrik.Üst askı noktası fiziksel sarkaç(Fig..gif" width="28" height="23 src=">, enine parametrik titreşimlerin oluşmasına neden olur (Şekil 5).

Kendi kendine salınımlar(kendinden heyecanlı salınımlar). Bu tür salınımların kaynakları salınımlı olmayan bir yapıya sahiptir ve kaynakların kendisi salınımlı sisteme dahil edilmiştir. Şek. Şekil 6, hareketli bir bant üzerinde duran bir yay üzerindeki kütleyi göstermektedir. Üzerine iki kuvvet etki eder: sürtünme kuvveti ve yayın elastik çekme kuvveti ve bunlar zamanla değişir. Birincisi kayışın hızları ile kütle arasındaki farka, ikincisi ise yayın deformasyonunun büyüklüğüne ve işaretine bağlıdır, dolayısıyla kütle sola veya sağa yönlendirilmiş bir bileşke kuvvetin etkisi altındadır. ve salınım yapar.

İkinci örnekte (Şekil 7), yayın sol ucu sağa doğru hareket eder. sabit hız v, bunun sonucunda yay yükü sabit bir yüzey boyunca hareket ettirir. Önceki durumda anlatılana benzer bir durum ortaya çıkar ve yük salınmaya başlar.

4. Periyodik salınımlı süreçlerin kinematiği

Sürecin tek bir skaler değişkenle, örneğin yer değiştirmeyle karakterize edilmesine izin verin. O halde - hız, - ivme..gif" width="11 height=17" height="17"> koşulu karşılanır

,

o zaman salınımlar çağrılır periyodik(Şekil 1). Bu durumda bu sayıların en küçüğüne denir. salınım periyodu. Salınım periyodu için ölçüm birimi çoğunlukla saniyedir ve s veya sn olarak gösterilir. Diğer ölçüm birimleri dakika, saat vb. cinsinden kullanılır. Periyodik salınım sürecinin bir diğer önemli özelliği de salınım frekansı

nicelikselleştirme tam döngüler 1 birim zaman başına salınımlar (örneğin saniyede). Bu frekans Hertz (Hz) cinsinden ölçülür, yani bir saniyede 5 tam salınım döngüsü anlamına gelir. Salınım teorisinin matematiksel hesaplamalarında daha uygun olduğu ortaya çıkıyor açısal frekans

,

https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24"> cinsinden ölçülmüştür.

Periyodik salınımların en basitidir ancak inşaat için son derece önemlidir teorik temel salınım teorisi, yasalara göre değişen harmonik (sinüzoidal) salınımlardır

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" genişlik = "17" yükseklik = "17 src = "> – genlik, - salınım aşaması, - başlangıç ​​aşaması..gif" genişlik = "196" yükseklik = "24">,

ve ardından hızlanma

(1) yerine alternatif bir gösterim sıklıkla kullanılır

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width = "80" height = "21 src = ">. Açıklamalar (1) ve (2) ayrıca formda da sunulabilir

(1), (2), (3) formüllerindeki sabitler arasında kolayca kanıtlanabilen ilişkiler vardır.

Karmaşık değişkenlerin fonksiyonları teorisinin yöntem ve kavramlarının kullanılması, salınımların tanımını büyük ölçüde basitleştirir. Merkezi konum bu durumda alır Euler'in formülü

.

İşte https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

Formüller (1) ve (2), (4)'te yer almaktadır. Örneğin sinüzoidal salınımlar (1), hayali bir bileşen (4) olarak temsil edilebilir

ve (2) - gerçek bir bileşen biçiminde

Çok harmonik salınımlar.İki toplamı harmonik titreşimler aynı frekanslarda aynı frekansta harmonik bir salınım olacaktır

Terimlerin farklı sıklıkları olabilir

O zaman toplam (5) şöyle olacaktır: periyodik fonksiyon nokta ile yalnızca , ve tam sayı ise ve indirgenemez kesir, rasyonel sayı. Genel olarak, iki veya daha fazla harmonik salınımın aşağıdaki oranlarda frekansları varsa rasyonel kesirler ise toplamları periyodiktir ancak harmonik salınımlar değildir. Bu tür salınımlara denir çok harmonik.

Eğer periyodik salınımlar Harmonik değil, bunları harmonik salınımların toplamı olarak temsil etmek hala çoğu zaman avantajlıdır. Fourier serisi

Burada https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width = "15" height = "19">, sapmaların ortalama değerini karakterize eden harmonik sayıdır, https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – ilk, temel harmonik, (https://pandia.ru/text/78/502/ resimler/image080_11.gif" width="207" height="24"> formlar frekans spektrumu tereddüt.

Not. Teorik gerekçe Bir salınımlı sürecin fonksiyonunu Fourier serisiyle temsil etme olasılığı, periyodik bir fonksiyon için Dirichlet teoremidir:

Bir fonksiyon bir parça üzerinde verilmişse ve parçalı olarak sürekli, parçalı monoton ve sınırlıysa, o zaman Fourier serisi parçanın tüm noktalarında yakınsar https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " genişlik = "28" yükseklik = "23 src = "> – miktar trigonometrik seri Fourier fonksiyonu f(t), o zaman bu fonksiyonun sürekliliğinin tüm noktalarında

ve tüm süreksizlik noktalarında

.

Ayrıca,

.

Gerçek salınımlı süreçlerin Dirichlet teoreminin koşullarını sağladığı açıktır.

Frekans spektrumunda, her frekans Ak genliğine ve başlangıç ​​​​fazına karşılık gelir https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33">, .

Onlar oluştururlar genlik spektrumu https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" genişlik = "35" yükseklik = "24">. Görsel temsil hakkında genlik spektrumu pirinç verir 2.

Frekans spektrumunun ve Fourier katsayılarının belirlenmesine denir spektral analiz . Fourier serisi teorisinden aşağıdaki formüller bilinmektedir: