Kesri daha fazla azaltmak için kesirleri azaltmak gerekir. basit görünümörneğin bir ifadenin çözülmesi sonucunda elde edilen cevapta.
Kesirlerin azaltılması, tanımı ve formülü.
Kesirleri azaltmak nedir? Bir kesri azaltmak ne anlama gelir?
Tanım:
Kesirlerin Azaltılması- bu, bir kesrin pay ve paydasının aynı şeye bölünmesidir pozitif sayı Olumsuz sıfıra eşit ve bir. Azaltma sonucunda, önceki kesire eşit, pay ve paydası daha küçük olan bir kesir elde edilir.
Kesirleri azaltma formülü ana mülk rasyonel sayılar.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Bir örneğe bakalım:
\(\frac(9)(15)\) kesirini azaltın
Çözüm:
Kesri genişletebiliriz asal faktörler ve ortak faktörleri azaltın.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(kırmızı) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Cevap: İndirgeme sonrasında \(\frac(3)(5)\) kesirini elde ettik. Rasyonel sayıların temel özelliğine göre orijinal kesirler ile elde edilen kesirler eşittir.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Kesirler nasıl azaltılır? Bir kesrin indirgenemez formuna indirgenmesi.
Sonucu alabilmemiz için indirgenemez kesir, gerek en büyüğünü bul ortak bölen(NOD) kesrin payı ve paydası için.
Sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasını kullanacağımız örnekte GCD'yi bulmanın birkaç yolu vardır;
İndirgenemez kesri \(\frac(48)(136)\) alın.
Çözüm:
OBEB(48, 136)'yı bulalım. 48 ve 136 sayılarını asal çarpanlarına yazalım.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
OBEB(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(kırmızı) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(kırmızı) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\renk(kırmızı) (6) \times 2 \times 3)(\renk(kırmızı) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Bir kesri indirgenemez bir forma indirgeme kuralı.
- Pay ve paydanın en büyük ortak bölenini bulmanız gerekir.
- İndirgenemez bir kesir elde etmek için pay ve paydayı en büyük ortak bölene bölmeniz gerekir.
Örnek:
\(\frac(152)(168)\) kesrini azaltın.
Çözüm:
OBEB(152, 168)'i bulalım. 152 ve 168 sayılarını asal çarpanlara yazalım.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
OBEB(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\renk(kırmızı) (6) \times 19)(\color(kırmızı) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Cevap: \(\frac(19)(21)\) indirgenemez bir kesirdir.
Uygunsuz kesirlerin azaltılması.
Nasıl kesilir uygunsuz kesir?
Kesirleri azaltma kuralları, doğru ve yanlış kesirler için aynıdır.
Bir örneğe bakalım:
Uygunsuz kesri \(\frac(44)(32)\) azaltın.
Çözüm:
Pay ve paydayı basit çarpanlara yazalım. Daha sonra ortak faktörleri azaltacağız.
\(\frac(44)(32)=\frac(\renk(kırmızı) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(kırmızı) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Karışık fraksiyonların azaltılması.
Karışık kesirler sıradan kesirlerle aynı kurallara tabidir. Tek farkımız bunu yapabilmemiz tüm parçaya dokunmayın, ancak kesirli kısım azaltmak veya karışık fraksiyon uygunsuz bir kesire dönüştürür, azaltır ve tekrar uygun bir kesre dönüştürür.
Bir örneğe bakalım:
Karışık kesri \(2\frac(30)(45)\) iptal edin.
Çözüm:
Bunu iki şekilde çözelim:
İlk yol:
Kesirli kısmı basit çarpanlara yazalım ama tamamına dokunmayacağız.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5 \times 3))(3 \times \color(kırmızı) (5 \times 3))=2\ kesir(2)(3)\)
İkinci yol:
Önce bileşik kesire dönüştürelim, sonra asal çarpanlara yazıp azaltalım. Ortaya çıkan bileşik kesri düzgün kesre çevirelim.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \renk(kırmızı) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
İlgili sorular:
Toplama veya çıkarma yaparken kesirleri azaltabilir misiniz?
Cevap: hayır, önce kesirleri kurallara göre eklemeli veya çıkarmalısınız, ancak daha sonra azaltmalısınız. Bir örneğe bakalım:
\(\frac(50+20-10)(20)\) ifadesini değerlendirin.
Çözüm:
Sık sık kısaltma hatasına düşüyorlar aynı sayılar Bizim durumumuzda pay ve payda 20 rakamına sahiptir, ancak toplama ve çıkarma işlemi tamamlanmadan bunlar azaltılamaz.
\(\frac(50+\color(kırmızı) (20)-10)(\color(kırmızı) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Bir kesri hangi sayılarla azaltabilirsiniz?
Cevap: Bir kesri en büyük ortak faktöre veya pay ve paydanın ortak bölenine göre azaltabilirsiniz. Örneğin, \(\frac(100)(150)\) kesri.
100 ve 150 sayılarını asal çarpanlarına yazalım.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
En büyük ortak bölen OBEB(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 sayısı olacaktır
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
İndirgenemez kesri \(\frac(2)(3)\) elde ettik.
Ancak her zaman gcd'ye bölmek gerekli değildir; indirgenemez bir kesir her zaman gerekli değildir; kesri pay ve paydanın basit bir böleni ile azaltabilirsiniz. Örneğin 100 ve 150 sayılarının ortak böleni 2'dir. \(\frac(100)(150)\) kesrini 2'ye indirelim.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
İndirgenebilir kesri \(\frac(50)(75)\) elde ettik.
Hangi kesirler azaltılabilir?
Cevap: Pay ve paydası ortak bölen olan kesirleri azaltabilirsiniz. Örneğin, \(\frac(4)(8)\) kesri. 4 ve 8 sayılarının her ikisinin de bölünebildiği bir sayı vardır - 2 sayısı. Bu nedenle böyle bir kesir 2 sayısına indirgenebilir.
Örnek:
İki kesri \(\frac(2)(3)\) ve \(\frac(8)(12)\) karşılaştırın.
Bu iki kesir eşittir. \(\frac(8)(12)\) kesrine daha yakından bakalım:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Buradan şunu elde ederiz: \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
İki kesir ancak ve ancak bunlardan biri diğer kesirin indirgenmesiyle elde edilirse eşittir ortak çarpan pay ve payda.
Örnek:
Mümkünse aşağıdaki kesirleri azaltın: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Çözüm:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5) \times 3 \times 3)(\color(kırmızı) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\renk(kırmızı) (3 \times 3) \times 3)(\color(kırmızı) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) indirgenemez kesir
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(kırmızı) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ çarpı 5)=\frac(2)(5)\)
Yani bir kesrin pay ve paydasının aynı sayıyla çarpılıp bölünebileceğini zaten biliyoruz, kesir değişmeyecek. Üç yaklaşımı ele alalım:
Birine yaklaş.
Azaltmak için pay ve paydayı ortak bir bölene bölün. Örneklere bakalım:
Kısaltalım:
Verilen örneklerde indirgeme için hangi bölenlerin alınması gerektiğini hemen görüyoruz. İşlem basittir - 2,3,4,5 vb. üzerinden geçiyoruz. Çoğu okul dersi örneğinde bu oldukça yeterlidir. Ama eğer kesirli ise:
Burada bölenleri seçme süreci uzun zaman alabilir;). Elbette bu tür örnekler okul müfredatının dışındadır ancak bunlarla baş edebilmeniz gerekir. Aşağıda bunun nasıl yapıldığına bakacağız. Şimdilik küçültme sürecine geri dönelim.
Yukarıda tartıştığımız gibi bir kesri azaltmak için belirlediğimiz ortak bölen(ler)e böldük. Her şey doğru! Yalnızca sayıların bölünebilirliğine ilişkin işaretler eklemek gerekir:
-Sayı çift ise 2'ye bölünür.
- Son iki basamaktan oluşan bir sayı 4'e bölünüyorsa sayının kendisi de 4'e bölünür.
— sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3'e bölünüyorsa sayının kendisi de 3'e bölünebilir. Örneğin, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. On iki 3'e bölünebildiği için 123031 de 3'e bölünebilir.
- Sayı 5 veya 0 ile bitiyorsa sayı 5'e bölünür.
— sayıyı oluşturan rakamların toplamı 9'a bölünüyorsa sayının kendisi de 9'a bölünür. Örneğin, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. On sekiz, 9'a bölünebilir, bu da 623032'nin 9'a bölünebileceği anlamına gelir.
İkinci yaklaşım.
Kısaca söylemek gerekirse, aslında tüm iş pay ve paydayı çarpanlara ayırmak ve ardından pay ve paydadaki eşit çarpanları azaltmaktan ibarettir (bu yaklaşım ilk yaklaşımın bir sonucudur):
Görsel olarak, karışıklığı ve hataları önlemek için eşit faktörlerin üzeri çizilir. Soru – Bir sayı nasıl çarpanlara ayrılır? Arama yaparak tüm bölenleri belirlemek gerekir. Bu ayrı bir konudur, karmaşık değildir, bilgileri bir ders kitabından veya internetten arayın. Okul kesirlerinde bulunan sayıları çarpanlarına ayırma konusunda büyük sorunlarla karşılaşmazsınız.
İndirgeme ilkesi resmi olarak şu şekilde yazılabilir:
Üçe yaklaş.
İşte ileri düzeydekiler ve ileri düzeyde olmak isteyenler için en ilginç şey. 143/273 kesrini azaltalım. Kendiniz deneyin! Peki nasıl bu kadar çabuk oldu? Şimdi bak!
Ters çeviririz (pay ve paydanın yerlerini değiştiririz). Ortaya çıkan kesri bir köşeye bölün ve dönüştürün karışık sayı yani parçanın tamamını seçiyoruz:
Zaten daha kolay. Pay ve paydanın 13'e kadar azaltılabileceğini görüyoruz:
Şimdi kesri tekrar ters çevirmeyi unutmayın, tüm zinciri yazalım:
İşaretli - bölenleri aramak ve kontrol etmekten daha az zaman alır. İki örneğimize dönelim:
Birinci. Bir köşeyle böleriz (hesap makinesinde değil), şunu elde ederiz:
Bu kesir elbette daha basittir, ancak indirgeme yine bir sorundur. Şimdi 1273/1463 kesrini ayrı ayrı analiz edip çevireceğiz:
Burada daha kolay. 19 gibi bir bölen sayabiliriz. Gerisi uygun değil, bu açık: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Yaşasın! Hadi yazalım:
Sonraki örnek. 88179/2717'yi kısaltalım.
Bölünce şunu elde ederiz:
Ayrı olarak, 1235/2717 fraksiyonunu analiz edip çeviriyoruz:
13 gibi bir bölen düşünebiliriz (13'e kadar uygun değildir):
Pay 247:13=19 Payda 1235:13=95
*İşlem sırasında 19'a eşit bir bölen daha gördük. Çıktı:
Şimdi orijinal numarayı yazıyoruz:
Ve kesirde neyin daha büyük olduğu önemli değil - pay veya payda, eğer payda ise, o zaman onu ters çevirip anlatıldığı gibi hareket ederiz. Bu şekilde herhangi bir kesri azaltabiliriz; üçüncü yaklaşıma evrensel denilebilir.
Yukarıda bahsettiğimiz iki örnek elbette basit örnekler değil. Bu teknolojiyi daha önce ele aldığımız "basit" kesirler üzerinde deneyelim:
İki çeyrek.
Yetmiş iki altmışlı. Pay paydadan büyüktür; onu tersine çevirmeye gerek yoktur:
Elbette bu tür durumlarda üçüncü yaklaşım uygulandı. basit örnekler sadece bir alternatif olarak. Yöntem, daha önce de belirtildiği gibi, evrenseldir, ancak tüm kesirler için, özellikle basit olanlar için uygun ve doğru değildir.
Kesirlerin çeşitliliği harika. İlkeleri anlamanız önemlidir. Kesirlerle çalışmanın katı bir kuralı yoktur. Baktık, harekete geçmenin nasıl daha uygun olacağını düşündük ve ilerledik. Pratik yaptıkça beceri gelecek ve onları tohum gibi kıracaksınız.
Çözüm:
Pay ve payda için ortak bir bölen(ler) görürseniz, azaltmak için bunları kullanın.
Bir sayıyı hızlı bir şekilde nasıl çarpanlara ayıracağınızı biliyorsanız, payı ve paydayı çarpanlara ayırın, ardından azaltın.
Ortak böleni belirleyemiyorsanız üçüncü yaklaşımı kullanın.
*Kesirleri azaltmak için indirgeme ilkelerine hakim olmak, kesirin temel özelliğini anlamak, çözüm yaklaşımlarını bilmek ve hesaplama yaparken son derece dikkatli olmak önemlidir.
Ve unutma! Bir kesri durana kadar azaltmak, yani ortak bir bölen olduğu sürece azaltmak gelenekseldir.
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Kesirlerin azaltılmasının ne olduğunu, kesirlerin neden ve nasıl azaltılacağını anlayalım, kesirleri azaltma kuralını ve kullanım örneklerini vereceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
"Kesirleri azaltmak" nedir
Bir kesri azaltınBir kesri azaltmak, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı ortak bir faktöre bölmektir.
Bu işlem sonucunda orijinal kesire eşit, yeni pay ve paydaya sahip bir kesir elde edilecektir.
Örneğin, alalım ortak kesir 6 24 ve kısaltın. Payı ve paydayı 2'ye bölün, sonuçta 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 elde edilir. Bu örnekte orijinal kesri 2 azalttık.
Kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi
Önceki örnekte 6 24 kesirini 2 azaltıp 3 12 kesirini elde ettik. Bu oranın daha da azaltılabileceğini görmek kolaydır. Tipik olarak kesirleri azaltmanın amacı indirgenemez bir kesir elde etmektir. Bir kesir nasıl dönüştürülür indirgenemez form?
Bu, pay ve paydayı en büyük ortak faktöre (GCD) göre azaltarak yapılabilir. O zaman en büyük ortak bölenin özelliği gereği pay ve payda karşılıklı olacaktır. asal sayılar ve kesir indirgenemez olacaktır.
a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek
Bir kesri indirgenemez bir forma indirmek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmeniz gerekir.
İlk örnekten 6 24 kesrine dönelim ve indirgenemez formuna getirelim. 6 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır. Kesri azaltalım:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Büyük sayılarla çalışmamak için kesirlerin azaltılmasının kullanılması uygundur. Genel olarak matematikte söylenmemiş bir kural vardır: Herhangi bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, bunu yapmanız gerekir. Bir kesri azaltmak çoğu zaman onu indirgenemez bir forma indirgemek anlamına gelir ve onu basitçe pay ve paydanın ortak böleniyle azaltmak anlamına gelmez.
Kesirleri azaltma kuralı
Kesirleri azaltmak için iki adımdan oluşan kuralı hatırlamanız yeterlidir.
Kesirleri azaltma kuralı
Bir kısmı azaltmak için ihtiyacınız olan:
- Pay ve paydanın gcd'sini bulun.
- Pay ve paydayı gcd'lerine bölün.
Pratik örneklere bakalım.
Örnek 1. Kesri azaltalım.
182 195 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.
Pay ve paydanın gcd'sini bulalım. Bunu yapmak için bu durumdaÖklid algoritmasını kullanmak en uygunudur.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 NOD (182, 195) = 13
Pay ve paydayı 13'e bölün. Şunu elde ederiz:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Hazır. Orijinal kesire eşit indirgenemez bir kesir elde ettik.
Kesirleri başka nasıl azaltabilirsiniz? Bazı durumlarda pay ve paydayı basit çarpanlara ayırmak ve ardından üst ve alt parçalar kesirlerde tüm ortak faktörleri kaldırın.
Örnek 2. Kesri azaltın
360 2940 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.
Bunu yapmak için orijinal kesri şu şekilde hayal edin:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Pay ve paydadaki ortak faktörlerden kurtulalım, sonuçta:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Son olarak kesirleri azaltmanın başka bir yoluna bakalım. Bu sözde sıralı azalmadır. Bu yöntemi kullanarak indirgeme, her birinde fraksiyonun bazı bariz ortak faktörlerle azaltıldığı birkaç aşamada gerçekleştirilir.
Örnek 3. Kesri azaltın
2000 4400 kesrini azaltalım.
Pay ve paydanın ortak 100 çarpanına sahip olduğu hemen anlaşılıyor. Kesri 100'e indiririz ve şunu elde ederiz:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Ortaya çıkan sonucu tekrar 2 oranında azaltıyoruz ve indirgenemez bir kesir elde ediyoruz:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Birçok öğrenci kesirlerle çalışırken aynı hataları yapar. Ve bunların hepsi temel kuralları unuttukları için aritmetik. Bugün bu kuralları tekrarlayacağız. belirli görevler derslerimde verdiğim.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan herkese önerdiğim görev şu:
Görev. Bir yunus günde 150 gram yiyecek yer. Ama büyüdü ve %20 daha fazla yemeye başladı. Domuz şu anda kaç gram yem yiyor?
Olumsuz doğru karar. Bu, denklemle özetlenen bir yüzde problemidir:
Çoğu (çok fazla), bir kesrin pay ve paydasındaki 100 sayısını azaltır:
Bu, öğrencimin bu makaleyi yazdığı gün yaptığı hatadır. Kesilen sayılar kırmızıyla işaretlenmiştir.
Cevabın yanlış olduğunu söylemeye gerek yok. Kendinize hakim olun: domuz 150 gram yedi, ancak 3150 gram yemeye başladı. Artış %20 değil 21 kat yani. %2000 oranında.
Bu tür yanlış anlamaları önlemek için temel kuralı unutmayın:
Yalnızca çarpanlar azaltılabilir. Şartlar azaltılamaz!
Yani doğru karar önceki görevşuna benziyor:
Pay ve paydada kısaltılmış sayılar kırmızıyla işaretlenmiştir. Gördüğünüz gibi pay çarpım, payda ise sıradan sayı. Bu nedenle indirim tamamen yasaldır.
Oranlarla çalışmak
Bir diğer sorun alanı ise oranlar. Özellikle değişken her iki tarafta olduğunda. Örneğin:
Görev. Denklemi çözün:
Yanlış çözüm - bazı insanlar kelimenin tam anlamıyla her şeyi m kadar kısaltmak için can atıyor:
Azaltılmış değişkenler kırmızıyla gösterilmiştir. 1/4 = 1/5 ifadesi tam bir saçmalık olarak ortaya çıkıyor, bu sayılar hiçbir zaman eşit olmuyor.
Ve şimdi - doğru karar. Aslında sıradan doğrusal denklem . Tüm elemanları bir tarafa taşıyarak veya orantı temel özelliğiyle çözülebilir:
Pek çok okuyucu şöyle itiraz edecek: “İlk çözümde hata nerede?” Peki, öğrenelim. Denklemlerle çalışmanın kuralını hatırlayalım:
Herhangi bir denklem herhangi bir sayıya bölünebilir ve çarpılabilir, sıfır olmayan.
Hileyi kaçırdın mı? Yalnızca sayılara bölebilirsiniz sıfır olmayan. Özellikle m değişkenine yalnızca m != 0 ise bölebilirsiniz. Peki ya m = 0 ise? Değiştirip kontrol edelim:
Doğru anladım sayısal eşitlik yani m = 0 denklemin köküdür. Geriye kalan m != 0 için 1/4 = 1/5 şeklinde bir ifade elde ederiz ki bu doğal olarak yanlıştır. Dolayısıyla sıfırdan farklı kökler yoktur.
Sonuç: hepsini bir araya getirmek
Yani çözmek için kesirli rasyonel denklemlerüç kuralı unutmayın:
- Yalnızca çarpanlar azaltılabilir. Eklemeler mümkün değildir. Bu nedenle pay ve paydayı çarpanlara ayırmayı öğrenin;
- Oranın ana özelliği: aşırı elemanların çarpımı ortadakilerin çarpımına eşittir;
- Denklemler yalnızca sıfır dışındaki k sayılarıyla çarpılıp bölünebilir. k = 0 durumu ayrıca kontrol edilmelidir.
Bu kuralları unutmayın ve hata yapmayın.