Bu yazıda nasıl yapılacağına ayrıntılı olarak bakacağız. kesirlerin azaltılması. Öncelikle kesrin azaltılması denilen şeye değinelim. Bundan sonra indirgenebilir bir kesrin indirgenemez forma indirgenmesinden bahsedelim. Daha sonra kesirleri azaltma kuralını elde edeceğiz ve son olarak bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Bir kesri azaltmak ne demektir?
Sıradan kesirlerin indirgenebilir ve indirgenemez kesirlere bölündüğünü biliyoruz. İndirgenebilir kesirlerin indirgenebileceğini, ancak indirgenemez kesirlerin indirgenemeyeceğini isimlerinden tahmin edebilirsiniz.
Bir kesri azaltmak ne demektir? Bir kesri azaltın- bu, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı olanlarına bölmek anlamına gelir. Aldığımız kesirin azaltılmasının bir sonucu olarak açıktır. yeni kesir pay ve paydası daha küçük olan ve kesirin temel özelliğinden dolayı ortaya çıkan kesir orijinal kesire eşittir.
Örneğin ortak kesri 8/24'ü pay ve paydasını 2'ye bölerek azaltalım. Yani 8/24 kesrini 2'ye indirelim. 8:2=4 ve 24:2=12 olduğundan, bu indirgeme 4/12 kesiriyle sonuçlanır, bu da orijinal kesir olan 8/24'e eşittir (bkz. eşit ve eşit olmayan kesirler). Sonuç olarak elimizde.
Sıradan kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi
Genellikle nihai hedef Bir fraksiyonun azaltılması, orijinal indirgenebilir fraksiyona eşit indirgenemez bir fraksiyon elde etmektir. Bu amaca, orijinal indirgenebilir kesirin pay ve paydası kadar azaltılmasıyla ulaşılabilir. Böyle bir indirgemenin sonucunda her zaman indirgenemez bir kesir elde edilir. Aslında bir kesir 
indirgenemez olduğu bilindiğinden 
Ve 
- . Burada bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin, bu kesrin azaltılabileceği en büyük sayı olduğunu söyleyeceğiz.
Bu yüzden, Ortak bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek orijinal indirgenebilir fraksiyonun pay ve paydasının gcd'lerine bölünmesinden oluşur.
8/24 kesrine geri döndüğümüz ve onu 8 ve 24 sayılarının 8'e eşit olan en büyük ortak böleniyle indirgediğimiz bir örneğe bakalım. 8:8=1 ve 24:8=3 olduğundan indirgenemez kesir 1/3'e geliyoruz. Bu yüzden, .
"Bir kesri azaltmak" ifadesinin çoğunlukla orijinal kesri indirgenemez formuna indirgemek anlamına geldiğini unutmayın. Başka bir deyişle, bir kesri azaltmak çoğu zaman pay ve paydayı (herhangi bir ortak faktör yerine) en büyük ortak faktöre bölmek anlamına gelir.
Bir kesir nasıl azaltılır? Kesirleri azaltma kuralları ve örnekleri
Geriye kalan tek şey, nasıl azaltılacağını açıklayan kesirleri azaltma kuralına bakmaktır. verilen kesir.
Kesirleri azaltma kuralı iki adımdan oluşur:
- öncelikle kesrin pay ve paydasının gcd'si bulunur;
- ikinci olarak, kesrin payı ve paydası gcd'lerine bölünür; bu da şunu verir: indirgenemez kesir, orijinaline eşit.
Hadi halledelim bir kesri azaltma örneği belirtilen kurala göre.
Örnek.
182/195 fraksiyonunu azaltın.
Çözüm.
Bir kesri azaltma kuralının öngördüğü her iki adımı da uygulayalım.
İlk önce GCD(182, 195)'i buluyoruz. Öklid algoritmasını kullanmak en uygunudur (bkz.): 195=182·1+13, 182=13·14, yani GCD(182, 195)=13.
Şimdi 182/195 kesirinin pay ve paydasını 13'e böleriz ve orijinal kesre eşit olan indirgenemez kesir 14/15'i elde ederiz. Bu, fraksiyonun azaltılmasını tamamlar.
Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .
Cevap:
Kesirleri azaltmayı burada bitirebiliriz. Ancak resmi tamamlamak için, genellikle kolay durumlarda kullanılan kesirleri azaltmanın iki yoluna daha bakalım.
Bazen kesrin pay ve paydasının indirgenmesi zor değildir. Bu durumda bir kesri azaltmak çok basittir: pay ve paydadaki tüm ortak faktörleri kaldırmanız yeterlidir.
Pay ve paydanın tüm ortak asal faktörlerinin çarpımı, en büyük ortak bölenlerine eşit olduğundan, bu yöntemin doğrudan kesirleri azaltma kuralından kaynaklandığını belirtmekte fayda var.
Örneğin çözümüne bakalım.
Örnek.
Kesiri 360/2 940 azaltın.
Çözüm.
Pay ve paydayı genişletelim asal faktörler: 360=2·2·2·3·3·5 ve 2 940=2·2·3·5·7·7. Böylece, 
.
Şimdi kolaylık olması açısından pay ve paydadaki ortak çarpanlardan kurtuluyoruz, bunların üzerini çiziyoruz: 
.
Son olarak kalan çarpanları çarpıyoruz: ve kesrin indirgenmesi tamamlanıyor.
İşte çözümün kısa bir özeti: 
.
Cevap:
Sıralı indirgeme içeren bir kesri azaltmanın başka bir yolunu düşünelim. Burada, her adımda kesir, pay ve paydanın bazı ortak bölenleri tarafından azaltılır; bu, ya açık ya da kullanılarak kolayca belirlenebilir.
Temel özelliklerine dayanmaktadır: Bir kesrin payı ve paydası sıfır olmayan aynı polinomla bölünürse, eşit bir kesir elde edilecektir.
Yalnızca çarpanları azaltabilirsiniz!
Polinomların üyeleri kısaltılamaz!
Kısaltmak cebirsel kesir için pay ve paydadaki polinomlar öncelikle çarpanlara ayrılmalıdır.
Kesirleri azaltma örneklerine bakalım.
Kesrin payı ve paydası tek terimler içerir. Temsil ediyorlar iş(sayılar, değişkenler ve bunların kuvvetleri), çarpanlar azaltabiliriz.
Sayıları en büyük ortak bölenlerine göre azaltırız, yani en büyük sayı, bu sayıların her biri ona bölünür. 24 ve 36 için bu 12'dir. İndirgemeden sonra 24'ten 2, 36'dan 3 kalır.
Dereceleri en düşük endekse sahip derece kadar azaltıyoruz. Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı bölene bölüp üsleri çıkarmak anlamına gelir.
a² ve a⁷ a²'ye indirgenir. Bu durumda a²'nin payında bir kalır (sadece indirgeme sonrasında başka çarpan kalmadığında 1 yazarız. 24'ten 2 kalır, dolayısıyla a²'den kalan 1'i yazmayız). a⁷'dan indirgeme sonrasında a⁵ kalır.
b ve b, b ile azaltılır; elde edilen birimler yazılmaz.
c³° ve c⁵, c⁵ olarak kısaltılmıştır. C³º'den geriye kalan c²⁵, c⁵'den ise birdir (bunu yazmıyoruz). Böylece,
Bu cebirsel kesrin payı ve paydası polinomlardır. Polinomların terimlerini iptal edemezsiniz! (örneğin 8x² ve 2x'i azaltamazsınız!). Bu oranı azaltmak için ihtiyacınız var. Pay var ortak çarpan 4x. Parantez içinden çıkaralım:
Hem pay hem de payda aynı faktöre sahiptir (2x-3). Kesri bu faktörle azaltıyoruz. Payda 4x, paydada - 1 elde ettik. Cebirsel kesirlerin 1 özelliğine göre kesir 4x'e eşittir.
Yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz (bu kesri 25x² azaltamazsınız!). Bu nedenle kesrin pay ve paydasındaki polinomların çarpanlara ayrılması gerekir.
Payda - mükemmel kare Toplamlarda payda kareler farkıdır. Kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak ayrıştırıldıktan sonra şunu elde ederiz:
Kesri (5x+1) kadar azaltıyoruz (bunu yapmak için paydaki iki rakamın üzerini üs olarak çizin ve (5x+1)² (5x+1) bırakın):
Payın ortak çarpanı 2'dir, bunu parantezlerden çıkaralım. Payda küplerin farkının formülüdür:
Açılım sonucunda pay ve payda aynı çarpanı aldı (9+3a+a²). Kesri bununla azaltıyoruz:
Paydaki polinom 4 terimden oluşur. birinci terimi ikinciyle, üçüncüyü dördüncüyle ve ilk parantezdeki x² ortak faktörünü çıkarın. Paydayı küplerin toplamı formülünü kullanarak ayrıştırıyoruz:
Payda ortak çarpanı (x+2) parantezlerden çıkaralım:
Kesri (x+2) kadar azaltın:
Kesirler ve indirgenmeleri 5. sınıfta başlayan konulardan bir diğeridir. Burada bu eylemin temeli oluşturulur ve daha sonra bu beceriler bir iplik tarafından içine çekilir. yüksek matematik. Öğrenci anlamıyorsa cebirde sorun yaşayabilir. Bu nedenle, birkaç kuralı kesin olarak anlamak daha iyidir. Ayrıca bir yasağı da hatırlayın ve onu asla ihlal etmeyin.
Kesir ve indirgenmesi
Her öğrenci bunun ne olduğunu bilir. Arasında bulunan herhangi iki rakam yatay çizgi hemen bir kesir olarak algılanır. Ancak herkes herhangi bir sayının bu hale gelebileceğini anlamıyor. Eğer bu bir tam sayıysa, o zaman her zaman bire bölünebilir ve sonra uygunsuz bir kesir elde edersiniz. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.
Başlangıç her zaman basittir. İlk önce nasıl kısaltılacağını bulmanız gerekir. doğru kesir. Yani payı paydasından küçük olan. Bunu yapmak için kesrin temel özelliğini hatırlamanız gerekir. Payını ve paydasını aynı anda çarparken (aynı zamanda bölerken) şunu belirtir: aynı numara orijinaline eşdeğer bir kesir olduğu ortaya çıkıyor.
Bu mülk üzerinde gerçekleştirilen ve azalmayla sonuçlanan bölme işlemleri. Yani mümkün olduğu kadar basitleştirmek. Çizginin üstünde ve altında ortak çarpanlar olduğu sürece bir kesir azaltılabilir. Artık orada olmadıklarında, azalma imkansızdır. Ve bu kesrin indirgenemez olduğunu söylüyorlar.
İki yol
1.Adım adım azalma. Her iki sayının öğrencinin fark ettiği minimum ortak faktöre bölündüğü bir tahmin yöntemi kullanır. İlk daralmadan sonra bunun son olmadığı anlaşılırsa bölünme devam eder. Kesir indirgenemez hale gelinceye kadar.
2. En büyüğünü bulma ortak bölen pay ve paydada. Bu en çok rasyonel yol kesirler nasıl azaltılır. Pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmayı içerir. Bunların arasında daha sonra aynı olanları seçmeniz gerekir. Bunların çarpımı kesrin indirgendiği en büyük ortak faktörü verecektir.
Bu yöntemlerin her ikisi de eşdeğerdir. Öğrencinin bu konularda uzmanlaşması ve en çok hoşuna gideni kullanması teşvik edilir.
Harfler ve toplama-çıkarma işlemleri varsa ne olur?
Sorunun ilk kısmı az çok açıktır. Harfler de sayılar gibi kısaltılabilir. Önemli olan çarpan görevi görmeleridir. Ancak birçok insanın ikincisiyle sorunları var.
Hatırlanması önemli! Yalnızca faktör olan sayıları azaltabilirsiniz. Eğer bunlar bir özetse, bu imkansızdır.
Formun kesirlerinin nasıl azaltılacağını anlamak için cebirsel ifade, kuralı öğrenmeniz gerekiyor. Öncelikle pay ve paydayı çarpım olarak ifade edelim. Daha sonra ortak faktörler ortaya çıkarsa azaltabilirsiniz. Bunu çarpanlar biçiminde temsil etmek için aşağıdaki teknikler faydalıdır:
- gruplama;
- basamaklama;
- kısaltılmış çarpma özdeşliklerinin uygulanması.
Dahası son yöntemçarpanlar şeklinde terimlerin anında elde edilmesini mümkün kılar. Bu nedenle her zaman bilinen bir desen görünüyorsa kullanılmalıdır.
Ancak bu henüz korkutucu değil, sonra dereceleri ve kökleri olan görevler ortaya çıkıyor. İşte o zaman cesaret kazanmanız ve birkaç yeni kural öğrenmeniz gerekir.
Derece ile ifade
Kesir. Pay ve payda çarpımdır. Harfler ve rakamlar var. Ve aynı zamanda terimlerden veya faktörlerden oluşan bir güce de yükseltilirler. Korkacak bir şey var.
Kesirlerin kuvvetleriyle nasıl azaltılacağını anlamak için iki şeyi öğrenmeniz gerekecek:
- üs bir toplam içeriyorsa, o zaman üsleri orijinal terimler olacak olan faktörlere ayrıştırılabilir;
- fark varsa, o zaman temettü ve bölen, ilkinin eksi kuvvetine, ikincisinin çıkanına sahip olacaktır.
Bu adımları tamamladıktan sonra toplam çarpanlar görünür hale gelir. Bu tür örneklerde tüm kuvvetlerin hesaplanmasına gerek yoktur. Aynı üsler ve tabanlarla dereceleri azaltmak yeterlidir.
Nihayet kesirlerin kuvvetlerle nasıl azaltılacağını öğrenmek için çok fazla pratik yapmanız gerekir. Birkaç benzer örnekten sonra eylemler otomatik olarak gerçekleştirilecektir.
Peki ya ifade bir kök içeriyorsa?
Ayrıca kısaltılabilir. Ancak yine kurallara uyarak. Üstelik yukarıda anlatılanların hepsi doğrudur. Genel olarak, soru bir kesirin köklerle nasıl azaltılacağı ise, o zaman bölmeniz gerekir.
Açık irrasyonel ifadeler da bölünebilir. Yani, eğer pay ve payda kök işareti altında aynı faktörlere sahipse, bunlar güvenli bir şekilde azaltılabilir. Bu, ifadeyi basitleştirecek ve görevi tamamlayacaktır.
İndirgemeden sonra irrasyonellik kesir çizgisinin altında kalırsa, ondan kurtulmanız gerekir. Başka bir deyişle pay ve paydayı onunla çarpın. Bu operasyon sonrasında ortak faktörler ortaya çıkarsa bunların tekrar azaltılması gerekecektir.
Bu muhtemelen kesirlerin nasıl azaltılacağıyla ilgilidir. Birkaç kural var, ancak yalnızca bir yasak var. Şartları asla kısaltmayın!
Bir kesirin nasıl azaltılacağını bilmeden ve çözmede tutarlı bir beceriye sahip olmadan benzer örnekler Okulda cebir okumak çok zordur. Ne kadar uzağa gidersen o kadar çok temel bilgi sıradan kesirlerin azaltılması hakkında empoze edilir yeni bilgi. Önce kuvvetler ortaya çıkar, sonra faktörler ortaya çıkar ve bunlar daha sonra polinom haline gelir.
Burada kafanızın karışmasını nasıl önleyebilirsiniz? Önceki konulardaki becerileri iyice pekiştirin ve yıldan yıla daha karmaşık hale gelen bir kesirin nasıl azaltılacağına ilişkin bilgiye yavaş yavaş hazırlanın.
Temel bilgi
Onlar olmadan hiçbir seviyedeki görevlerle baş edemezsiniz. Anlamak için ikisini anlamalısınız basit anlar. Birincisi: yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz. Bu nüansın, pay veya paydada polinomlar göründüğünde çok önemli olduğu ortaya çıkar. O zaman çarpanın nerede olduğunu ve toplamanın nerede olduğunu açıkça ayırt etmeniz gerekir.
İkinci nokta, herhangi bir sayının faktörler biçiminde temsil edilebileceğini söylüyor. Üstelik azaltmanın sonucu, payı ve paydası artık azaltılamayan bir kesirdir.
Ortak kesirleri azaltma kuralları
Öncelikle payın paydaya bölünüp bölünemediğini veya tam tersini kontrol etmelisiniz. O zaman azaltılması gereken tam da bu sayıdır. Bu en basit seçenektir.
İkincisi ise analiz dış görünüş sayılar. Her ikisi de bir veya daha fazla sıfırla bitiyorsa 10, 100 veya bin kısaltılabilir. Burada sayıların çift olup olmadığını görebilirsiniz. Cevabınız evet ise, güvenli bir şekilde ikiye bölebilirsiniz.
Bir kesri azaltmanın üçüncü kuralı pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmaktır. Şu anda sayıların bölünebilirliğinin işaretleri hakkındaki tüm bilginizi aktif olarak kullanmanız gerekiyor. Bu ayrıştırmadan sonra geriye tekrar edenlerin tümünü bulup çarpmak ve elde edilen sayıyla azaltmak kalıyor.
Bir kesirde cebirsel bir ifade varsa ne olur?
İlk zorlukların ortaya çıktığı yer burasıdır. Çünkü faktörlerle aynı olabilecek terimlerin ortaya çıktığı yer burasıdır. Bunları gerçekten azaltmak istiyorum ama yapamıyorum. Cebirsel bir kesri indirgemeden önce, çarpanları olacak şekilde dönüştürülmesi gerekir.
Bunu yapmak için birkaç adımı uygulamanız gerekecektir. Bunların hepsini gözden geçirmeniz gerekebilir veya belki ilki size uygun bir seçenek sunacaktır.
Pay ve paydanın veya bunlardaki herhangi bir ifadenin işarete göre farklı olup olmadığını kontrol edin. Bu durumda, eksi bir tanesini parantezlerin dışına çıkarmanız yeterlidir. Bu azaltılabilecek eşit faktörler üretir.
Ortak faktörü polinomdan parantezlerin dışına çıkarmanın mümkün olup olmadığına bakın. Belki bu, kısaltılabilen bir parantezle sonuçlanacaktır veya tek terimli bir sayı kaldırılacaktır.
Daha sonra onlara ortak bir faktör eklemek için tek terimlileri gruplandırmaya çalışın. Bundan sonra azaltılabilecek faktörlerin ortaya çıkabileceği veya yine ortak unsurların parantezlenmesinin tekrarlanabileceği ortaya çıkabilir.
Kısaltılmış çarpma formüllerini yazılı olarak değerlendirmeye çalışın. Onların yardımıyla polinomları kolayca faktörlere dönüştürebilirsiniz.
Üssü olan kesirlerle işlem sırası
Bir kesrin kuvvetlerle nasıl azaltılacağı sorusunu kolayca anlamak için, onlarla ilgili temel işlemleri kesin olarak hatırlamanız gerekir. Bunlardan ilki güçlerin çarpımı ile ilgilidir. Bu durumda bazlar aynı ise göstergelerin eklenmesi gerekir.
İkincisi bölünmedir. Yine aynı nedenlere sahip olanlar için göstergelerin çıkarılması gerekecektir. Üstelik temettüdeki sayıdan çıkarmanız gerekir, tersi değil.
Üçüncüsü ise üstelleştirmedir. Bu durumda göstergeler çoğalır.
Başarılı azaltma aynı zamanda dereceleri azaltma yeteneğini de gerektirecektir. aynı gerekçelerle. Yani dördün ikinin karesi olduğunu görmek. Veya 27 - üçün küpü. Çünkü 9'un karesi ve 3'ün küpünü küçültmek zordur. Ancak ilk ifadeyi (3 2) 2 olarak dönüştürürsek indirgeme başarılı olacaktır.
497'yi 4'e bölmemiz gerekirse, bölerken 497'nin 4'e tam olarak bölünemediğini görürüz. bölümün geri kalanı kalır. Bu gibi durumlarda tamamlandı denir. kalanla bölme ve çözüm şu şekilde yazılır:
497: 4 = 124 (1 kalan).
Eşitliğin sol tarafındaki bölme bileşenlerine kalansız bölme işleminde olduğu gibi aynı ad verilir: 497 - temettü, 4 - bölücü. Bir kalana bölündüğünde elde edilen sonuca denir tamamlanmamış özel. Bizim durumumuzda bu 124 sayısıdır. Ve son olarak, burada yer almayan son bileşen. sıradan bölüm, - kalan. Kalanın olmadığı durumlarda bir sayının diğerine bölündüğü söylenir. iz bırakmadan veya tamamen. Böyle bir bölünmeyle geri kalanın olduğuna inanılıyor. sıfıra eşit. Bizim durumumuzda kalan 1'dir.
Geriye kalan her zaman bölenden daha az.
Bölme çarpma ile kontrol edilebilir. Örneğin, 64: 32 = 2 eşitliği varsa, kontrol şu şekilde yapılabilir: 64 = 32 * 2.
Çoğu zaman kalanla bölme işleminin yapıldığı durumlarda eşitliği kullanmak uygundur.
a = b * n + r,
burada a bölünen, b bölen, n kısmi bölüm, r ise kalandır.
Doğal sayıların bölümü kesir olarak yazılabilir.
Bir kesrin payı böleni, paydası ise böleni ifade eder.
Bir kesrin payı bölen, paydası da bölen olduğuna göre; kesir çizgisinin bölme eylemi anlamına geldiğine inanıyorum. Bazen bölme işlemini ":" işaretini kullanmadan kesir olarak yazmak daha uygun olur.
Doğal sayıların m ve n bölümünün bölümü bir kesir \(\frac(m)(n) \) olarak yazılabilir; burada m payı bölendir ve payda n de bölendir:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Aşağıdaki kurallar doğrudur:
\(\frac(m)(n)\) kesrini elde etmek için birini n'ye bölmeniz gerekir. eşit parçalar(paylaş) ve bu tür parçaları al.
\(\frac(m)(n)\) kesrini elde etmek için m sayısını n sayısına bölmeniz gerekir.
Bir bütünün parçasını bulmak için bütüne karşılık gelen sayıyı paydaya bölüp çıkan sonucu bu parçayı ifade eden kesrin payı ile çarpmanız gerekir.
Parçasından bir bütün bulmak için bu parçaya karşılık gelen sayıyı paya bölüp çıkan sonucu bu parçayı ifade eden kesrin paydasıyla çarpmanız gerekir.
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıyla (sıfır hariç) çarpılırsa kesrin değeri değişmez:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıya (sıfır hariç) bölünürse kesrin değeri değişmez:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Bu özelliğe denir bir kesrin temel özelliği.
İki son dönüşüm isminde bir fraksiyonu azaltmak.
Kesirlerin aynı paydaya sahip kesirler olarak temsil edilmesi gerekiyorsa bu işleme denir. kesirlerin azaltılması ortak payda .
Doğru ve yanlış kesirler. Karışık sayılar
Bir bütünü eşit parçalara bölerek ve bu parçalardan birkaçını alarak bir kesrin elde edilebileceğini zaten biliyorsunuz. Örneğin, \(\frac(3)(4)\) kesri birin dörtte üçü anlamına gelir. Önceki paragraftaki problemlerin çoğunda kesirler bir bütünün parçalarını temsil etmek için kullanıldı. Sağduyu parçanın her zaman bütünden daha az olması gerektiğini öne sürüyor, peki ya \(\frac(5)(5)\) veya \(\frac(8)(5)\) gibi kesirler ne olacak? Bunun artık birimin bir parçası olmadığı açıktır. Muhtemelen payı paydadan büyük veya paydaya eşit olan kesirlere bu nedenle denilmektedir. uygunsuz kesirler. Kalan kesirler, yani payı paydadan daha az, isminde kesirleri düzelt.
Bildiğiniz gibi herhangi ortak kesir Hem doğru hem de yanlış, payın paydaya bölünmesi sonucu düşünülebilir. Bu nedenle matematikte farklı olarak sıradan dil, "uygunsuz kesir" terimi yanlış bir şey yaptığımız anlamına gelmez, yalnızca bu kesrin payının paydadan büyük veya ona eşit olduğu anlamına gelir.
Bir sayı bir tam sayı ve bir kesirden oluşuyorsa, o zaman kesirlere karışık denir.
Örneğin:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 tam sayı kısmıdır ve \(\frac(2)(3) \) kesirli kısımdır.
\(\frac(a)(b) \) kesirinin payı bir n doğal sayısıyla bölünebiliyorsa, bu kesri n'ye bölmek için payının bu sayıya bölünmesi gerekir:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
\(\frac(a)(b) \) kesirinin payı bir n doğal sayısıyla bölünemiyorsa, bu kesri n'ye bölmek için paydasını bu sayıyla çarpmanız gerekir:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Pay n'ye bölünebildiğinde ikinci kuralın da geçerli olduğunu unutmayın. Bu nedenle, bir kesrin payının n'ye bölünüp bölünemediğini ilk bakışta belirlemenin zor olduğu durumlarda bunu kullanabiliriz.
Kesirli eylemler. Kesirlerin eklenmesi.
Kesirli sayılarla, doğal sayılarda olduğu gibi şunları yapabilirsiniz: aritmetik işlemler. Önce kesirleri toplamaya bakalım. Kesirleri kolayca ekleyin aynı paydalar. Örneğin \(\frac(2)(7)\) ve \(\frac(3)(7)\) toplamını bulalım. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) olduğunu anlamak kolaydır
Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Harfleri kullanarak, paydaları benzer olan kesirleri toplama kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Kesirleri eklemeniz gerekiyorsa farklı paydalar o zaman öncelikle ortak bir paydaya getirilmeleri gerekir. Örneğin:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Kesirler için, doğal sayılarda olduğu gibi, değişmeli ve ilişkisel özellikler ek.
Karışık kesirlerin eklenmesi
\(2\frac(2)(3)\) gibi gösterimlere denir karışık kesirler. Bu durumda 2 sayısı çağrılır. bütün kısım karışık kesir ve \(\frac(2)(3)\) sayısı onun kesirli kısım. \(2\frac(2)(3)\) girdisi şu şekilde okunur: “iki ve iki üçte biri.”
8 sayısını 3 sayısına böldüğünüzde iki cevap alabilirsiniz: \(\frac(8)(3)\) ve \(2\frac(2)(3)\). Aynı kesirli sayıyı ifade ederler, yani \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Dolayısıyla, uygunsuz kesir \(\frac(8)(3)\) karışık bir kesir \(2\frac(2)(3)\) olarak temsil edilir. Böyle durumlarda söylenir ki uygunsuz kesir tüm kısmı vurguladım.
Kesirlerde çıkarma (kesirli sayılar)
Çıkarma kesirli sayılar doğal olanlar gibi, toplama eylemine göre belirlenir: bir sayıdan bir başkasını çıkarmak, ikinciye eklendiğinde birinciyi veren bir sayı bulmak anlamına gelir. Örneğin:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) çünkü \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Paydaları benzer olan kesirleri çıkarma kuralı, bu tür kesirleri toplama kuralına benzer:
Paydaları aynı olan kesirler arasındaki farkı bulmak için birinci kesrin payından ikincinin payını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Harfler kullanılarak bu kural şu şekilde yazılır:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Kesirlerin Çarpılması
Bir kesri bir kesirle çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinciyi payda olarak yazmanız gerekir.
Harfleri kullanarak kesirleri çarpma kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Formüle edilmiş kuralı kullanarak, bir kesri doğal bir sayıyla, karışık bir kesirle çarpabilir ve ayrıca karışık kesirleri çarpabilirsiniz. Bunu yapmak için doğal sayıyı paydası 1 olan kesir olarak, karışık kesri ise bileşik kesir olarak yazmanız gerekir.
Çarpmanın sonucu, kesir azaltılarak ve bileşik kesrin tamamı izole edilerek (mümkünse) basitleştirilmelidir.
Doğal sayılarda olduğu gibi kesirler için de çarpmanın değişme ve birleşimsel özellikleri ile çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği geçerlidir.
Kesirlerin bölünmesi
\(\frac(2)(3)\) kesrini alalım ve pay ve paydayı değiştirerek onu "çevirelim". \(\frac(3)(2)\) kesirini elde ederiz. Bu kesir denir tersi kesirler \(\frac(2)(3)\).
Şimdi \(\frac(3)(2)\) kesirini “tersine çevirirsek”, orijinal kesir \(\frac(2)(3)\) elde ederiz. Bu nedenle \(\frac(2)(3)\) ve \(\frac(3)(2)\) gibi kesirlere denir karşılıklı ters.
Örneğin, \(\frac(6)(5) \) ve \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ve \(\frac (18) kesirleri )(7)\).
Harflerin karşılıklı kullanılması karşılıklı kesirlerşu şekilde yazılabilir: \(\frac(a)(b) \) ve \(\frac(b)(a) \)
Açıktır ki karşılıklı kesirlerin çarpımı 1'e eşittir. Örneğin: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Karşılıklı kesirleri kullanarak kesirlerin bölünmesini çarpmaya azaltabilirsiniz.
Bir kesri bir kesre bölme kuralı şudur:
Bir kesri diğerine bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.
Harfleri kullanarak kesirleri bölme kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Temettü veya bölen ise doğal sayı veya karışık fraksiyon, o zaman kesirleri bölme kuralını kullanabilmek için öncelikle bunun uygunsuz bir kesir olarak temsil edilmesi gerekir.