Abaküs nasıl çalışır? Hesaplara güveniyoruz

İÇİNDE Sovyet dönemi Rus aritmetik abaküsü gibi bir cihaz, hemen hemen tüm mağazalardaki satıcıların yanı sıra bankalardaki finansörler, kasiyerler, muhasebeciler ve diğer meslek temsilcileri tarafından kullanıldı. Ancak günümüzde abaküs sayımının yerini daha modern cihazlar aldığı için herkesin abaküs sayımı konusunda fikri yoktur.

Bir abaküse nasıl güvenilir: temel ilkeler

Tüm domino taşları kenarla aynı hizada olduğunda sağ taraf, bu hesapların sıfıra ayarlandığı anlamına gelir. Abaküs üzerinde toplam 8 (veya 10) satır vardır ve bunların her biri belirli bir sayı sınıfını temsil eder - birimlerden onbinlere (veya abaküs 10 satıra sahipse yüzler ve milyonlara kadar). Yani, en üstteki satır onbinleri, ikinci - üstten - binleri, üçüncü - yüzleri, dördüncü - onlukları, beşinci - birimleri, altıncı (yalnızca dört domino var) - çeyrekleri, yedinci - onda birini ( 0,1) ve sekizinci - yüzde birler (0,01).

Abaküs üzerinde nasıl çalışılır: Herhangi bir sayıyı çevirmek için ilgili sayı sınıfının dominolarını sola kaydırmanız gerekir. Örneğin, 5,844,75 sayısını çevirmek için 5 bin, 8 yüz, 4 onluk, 4 birim ve dörtte üçü (veya 7 onda biri ve 5 yüzde biri) hareket ettirmeniz gerekir. Eğer hala nasıl sayılacağı belli değilse yazımızı okumanızı tavsiye ederiz.

Hesaplarda aritmetik işlemler

Bağımsız olarak veya nasıl yapılacağını bilen birinin rehberliğinde abaküse güvenmeyi öğrenebilirsiniz. Abaküs eklemek çok basittir: önce domino ile ilk sayıyı çevirmeli, ardından ikinci sayıyı kalan dominolardan sağdan sola hareket ettirmelisiniz. Yeterli sayıda yoksa, bir domino taşını bir sınıf yukarı taşımanız gerekir ve ekleme her zaman alt sıralardan başlar.

Çıkarma - ters süreç, yalnızca üst satırlardan çıkarmaya başlamanız gerekir. Bu durumda elbette daha küçük olan sayı büyük sayıdan çıkarılır ve herhangi bir satırda yeterli sayıda domino yoksa daha düşük sınıftan biri çıkarılır.

Hesap makinesi gibi bir abaküse güvenmek için çok fazla deneyime sahip olmanız gerekir. Bu nedenle, Rus abaküsünde çarpma ve bölme, en basit ve en hızlı işlem olmaktan uzaktır. Örneğin herhangi bir sayıyı ikiyle çarpmak için bu sayıyı aynı sayının ikinci bir sayısıyla toplamanız gerekir, aynı şey üçle çarpma için de geçerlidir. 4 ile çarpmak, bir sayıyı 2 ile çarpıp tekrar 2 ile çarpmaktır.

Bir sayıyı 5 ile çarpmak için sayıyı 2'ye bölüp 10 ile çarpmanız gerekir (10 ile çarpmak için domino taşlarını bir üst seviyeye taşımanız gerekir). 5'ten büyük sayılarla çarpma, açıklanan yöntemlerin bir kombinasyonu kullanılarak gerçekleştirilir.

Bölmeye gelince, bunu sayma yoluyla yapmak oldukça zordur ve çoğu zaman rasyonel değildir.

Tarihe meraklı olan ve sayma konusunda insanın ilk becerilerini öğrenmek isteyenlerin yazımızı okuması faydalı olacaktır.

Ansiklopedik YouTube

1 / 2

Zihinsel aritmetik: Ders 1 "Abaküse giriş, doğrudan sayma"

Kendimize bir abaküs yapalım! Abaküs için zihinsel aritmetik kendi ellerinle!

Altyazılar

Hikaye

Hesaplardan bilinen ilk söz, 1658'de derlenen ve "hesaplar" olarak adlandırılan "Patrik Nikon'un Hanehalkı Hazinesi Nüfus Sayımı Kitabı"nda bulunur.

Sayı sistemi ve kodlama sistemi

Rus abaküsü, her basamakta konumsal olmayan tekli kodlamayla konumsal ondalık sayı sistemi kullanır.

Her bir domino sırası, dört dominolu bir iğneden yukarıya doğru birimlerden yüzbinlere çıkan, aşağıya doğru onda birlerden binde birlere doğru azalan sayısal bir rakamı temsil eder. Her satırın maksimum değeri rakamın ağırlığının on katıdır (birler rakamı için) maksimum değer- 10, eğer tüm dominolar soldaysa, onlar için - 100 vb.). Bir numarayı "çevirmek", domino taşlarını çubuğun sağ kenarından sola doğru hareket ettirerek yapılır.

Üzerinde sadece 4 domino taşı bulunan çubuk, yarım kabuklardaki hesaplamalar için kullanıldı. Yarısı bir paranın yarısına, yani çeyrek kuruşa eşitti. Buna göre dört domino bir kopek yaptı. Bu çubuk aynı zamanda poundları puda dönüştürmek için de kullanıldı (1 pud = 40 pound). Bu çubuk aynı zamanda bütün ile arasında ayırıcı görevi de görebilir. kesirli parçalar abaküs üzerine yazılan ve hesaplamalarda kullanılmayan sayı.

Böylece, maksimum sayı Yedi satır tam sayı içeren bir abaküs üzerine yazılabilen , 11 ′ 111 ′ 111 , 110 (\displaystyle 11"111"111,110).

Onuncu domino taşının bir rakamını dokuz dominoya ekledikten sonra, üç eylemden oluşan bir sonraki domino taşına transfer birimi yazma işlemi gerçekleştirilir:

bir domino taşını sola kaydırdığınızda dokuz dominoya onuncu bir domino eklenir;
on dominonun tamamı sağa kaydırıldığında önceki rakam sıfırlanır;
Bir domino taşını sola kaydırdığınızda bir sonraki basamağa bir taşıma birimi yazılır.

Bu kural takip edilerek sayıların belirsiz temsili ortadan kaldırılır. Sayı sistemleri teorisi açısından bakıldığında, üstel birim kodlu ondalık konumsal sayı sistemindeki eylemler için Ya. I. Perelman'ın da yazdığı gibi dokuz domino yeterlidir ve bir taşıma birimi yazma işlemi gerçekleştirilecektir. üç eylem yerine iki eylemde:

bir domino taşını sola kaydırarak bir sonraki basamağa bir taşıma birimi yazılır;
dokuz dominoyu sağa kaydırmak önceki rakamı sıfıra temizler;

ancak saymanın kolaylığı için (özellikle çıkarma sırasında rakamları aktarmak için gerekli olan 10'a eklemeyi uygun bir şekilde elde etmek için), Rus abaküsünde domino sayısı ona eşit olarak seçildi, resmi olarak birim kodlu 11'li sayı sistemine karşılık gelir [ ] .

Hesap Kuralları

Genel notlar

Abaküs yardımıyla kapasiteleri dahilinde tüm temel işlemleri gerçekleştirebilirsiniz. aritmetik işlemler: toplama, çıkarma, çarpma, bölme. Ancak pratikte yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılması uygun ve hızlıdır: ile çarpma işlemi keyfi sayı oldukça karmaşıktır ve bölümlere ayrılmıştır. genel görünüm büyük olasılıkla aynı işlemi "uzun bölme" kullanarak kağıt üzerinde yapmaktan daha fazla zaman alacaktır. Ancak yeterince var büyük sayı Abaküsün çarpma ve bölme için oldukça uygun olduğu özel durumlar.

Ayrıca aşağıdaki hususların da dikkate alınması gerekir:

Prensip olarak hesaplar manipülasyon amaçlı değildir. negatif sayılar. Bu nedenle, herhangi bir işlem pozitif sayılara dönüştürülmeli ve gerekirse işaret ayrı ayrı dikkate alınmalıdır.
Çarpma ve bölme işlemlerinde her iki işlenen için de ondalık ayırıcının konumunu dikkate almak oldukça sakıncalıdır. Sonuç olarak çarpma ve bölme işlemi yapılırken ondalık sayılar ya yalnızca ikinci işlenen ya da her ikisi de bir tamsayıya dönüştürülür, yani içlerindeki ondalık ayırıcı basitçe göz ardı edilir. İşlem tamamlandıktan sonra ondalık ayırıcının konumu manuel olarak geri yüklenir.

Numaraları "çevirmek"

Sayıların abaküs üzerindeki gösterimi ve çevrilme sırası yukarıda açıklanmıştır. Pratik hesaplamalarda sayı basamaklarının tellerdeki konumu (yani birim basamağı mutlaka dört kemikli telin önüne yerleştirmek) kuralına uymanın çoğu zaman gerekli olmadığına dikkat etmek gerekir. Dahası, hesaplama sürecinde bazen sayıyı yeniden yazmak yerine tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını zihinsel olarak başka bir yere taşımak bazen uygun olabilir.

Bazı abaküs kılavuzları aşağıdaki "iyileştirmeyi" tavsiye eder: Soldaki abaküs çerçevesinde, teller arasındaki boşlukların karşısında bir dizi küçük delik açın. Hesaplamalar yapılırken, boşluğun karşısındaki deliğe bir nesne - örneğin bir çivi veya bükülmemiş bir ataş - yerleştirilir. şu anda Birimleri ve ondalıkları ayırıyoruz. Bu sayede virgülün konumu istenildiği zaman açıkça işaretlenir ve kolayca değiştirilebilir.

Ek

Birine göre olası yollar abaküs üzerinde ekleme “aşağıdan yukarıya” (küçükten büyüğe) yapılır. İlk terim abaküs üzerine "yazılır" ve ardından, en az önemli olandan en önemli olana kadar yavaş yavaş aşağıdaki eylemler gerçekleştirilir:

sol ikinci terimin karşılık gelen rakamındaki birim sayısı kadar tohum.
Tel üzerinde ilk eylemi gerçekleştirmek için yeterli taş yoksa, soldaki telde yeterli kemik olmadığı kadar kemik kalır ve bir sonraki (daha yüksek) telde sola bir taş atılır.
Eylem sonucunda (hem birinci hem de ikinci ve bu), telin sol tarafında 10 fayans varsa, bu teldeki tüm fayanslar sağa ve bir sonraki (daha yükseğe) atılır. tel sola ek bir kiremit atılır.

Tüm rakamlarla yapılan işlemler tamamlandıktan sonra abaküs üzerine yazılan sayı toplama sonucu olacaktır.

Başka bir yol daha var: yüksekten düşüğe ekleme - animasyona bakın.

Çıkarma

Hesaplarda çıkarma işlemi “yukarıdan aşağıya” yani en önemli basamaktan en az anlamlı haneye doğru yapılır. Abaküsün negatif sayılarla çalışamaması nedeniyle her zaman daha büyük bir pozitif sayıdan daha küçük bir pozitif sayıyı çıkarmanız gerekir. Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayı çıkarmanız gerekiyorsa, sayıların yerleri değiştirilmeli ve “aklınızda” işareti bırakılmalıdır.

Eksi abaküs üzerine "yazılır", ardından en önemli basamaktan en az anlamlı basamağa kadar aşağıdaki eylemler azar azar gerçekleştirilir:

Boşalmaya karşılık gelen tel üzerine atılır SağÇıkarılanın karşılık gelen yerindeki birim sayısı kadar karo.
Tel üzerinde ilk eylemi gerçekleştirmek için yeterli taş yoksa sıralama aktarılır: (10 - n) taşlar solda bırakılır, burada n "eksik" taş sayısıdır (ikinciyi yapmamak için) Kafanızda çıkarma işlemi yaparak, belirli bir teldeki on taşın tamamını sola taşıyabilirsiniz, ardından eksik sayıdaki taşı atabilirsiniz) ve yukarıdaki teldeki taşlardan biri sağa atılır.
Transfer sırasında en yüksek kategoriye karşılık gelen tel üzerinde yeterli sayıda tohum yoksa, bir sonraki (hatta daha yüksek) kategoriye transfer yapılır ve tellerden birinde yeterli sayıda taş kalana kadar bu şekilde devam edilir. Yani, örneğin (1001 - 3) çıkarıldığında, önce düşük dereceli tel üzerinde 8 taş kalacak ve ikinci kategoriye, sonra üçüncüye ve ancak bundan sonra yeterli olacak. Operasyonu tamamlamak için dördüncü sıradaki telin üzerindeki taşlar.

Çarpma

Çarpma tek haneli sayı V genel durumçarpımı uygun sayıda kendisine ekleyerek değiştirilebilir. Tüm çok basamaklı sayılar"sütun çarpımına" benzer şekilde bit düzeyinde çarpılır:

Çarpan, sıfırdan farklı basamakları daha fazla içeren iki sayıdan biri olacak şekilde seçilir.
Çarpan, çarpanın alt (birinci) rakamındaki birim sayısı kadar kendisine eklenir.
Çarpanın sonraki her basamağı için çarpan, hesaplarda zaten bulunan sayıya karşılık gelen sayıda eklenir, ancak bir basamak yukarı kaydırılır. Yani, onlar basamağı için toplama bir basamak, yüzler - iki basamak vb. kaydırılır.
Çarpanın karşılık gelen basamağında sıfır varsa, o zaman doğal olarak hiçbir ekleme yapılmaz, yalnızca bir tel yukarı kaydırma ve bir sonraki basamağa geçiş yapılır.
Çarpanın sıfırdan farklı tüm rakamları için toplama yapıldığında abaküs üzerinde çarpma sonucu elde edilecektir. Ondalık ayırıcının konumu, ilk eklemeler sırasında olduğu konumda dikkate alınmalıdır (yani, ondalık ayırıcının kaymaları yalnızca ara işlemlerde dikkate alınır).

Tam sayı olmayan sayılar çarpılırsa, işlem tamamen aynı şekilde gerçekleştirilir (tamsayılarla hesaplamalar yapılır, ondalık ayırıcılar basitçe göz ardı edilir). Sonuç kaydedilirken ondalık ayırıcı manuel olarak doğru konuma yerleştirilir.

Algoritmanın hantal doğasına rağmen, beceri geliştirildiğinde kağıt üzerindeki hesaplamalara kıyasla zaman kazancı önemli olabilir.

Bölüm

Genel olarak bölme işleminin yerini çıkarma işlemi alır. Tam sayıları bölmek için genel algoritma aşağıdaki gibidir:

Temettü, alttaki abaküs üzerine yazılır.
Bölünmenin en yüksek rakamlarından, oluşturduğu sayı bölenden daha büyük olacak büyüklükte bir grup seçilir, ancak bölenden daha az, on ile çarpılır. Ondalık ayırıcı zihinsel olarak bu grubun en az anlamlı basamağının ötesine taşınır.
Yazılan sayıdan (sağlanan ayırıcı dikkate alınarak), eksilen bölenden küçük olana kadar bölen çıkarılır. Üst teldeki her başarılı çıkarma işleminde sayım bir kemik sola kaydırılır.
Çıkarma işlemi tamamlandığında, virgül zihinsel olarak bir tel aşağı kaydırılır. Daha sonra, yeni eksilen için bölenin çıkarılması tekrarlanır ve sonuç bir sonraki (ikinci, sonra üçüncü vb.) kabloya kaydedilir.
Abaküs üzerinde çevrilen numara bitene veya numara alınana kadar önceki paragraf tekrarlanır. doğru numara sonuç numaraları.
Tüm işlemler tamamlandıktan sonra üst tellere bölme sonucu yazılacaktır. Ondalık ayırıcının konumu bölüştürücünün konumuyla aynıdır.

Bölen bölenin katı ise işlem küçük sayıya ulaştığında sona erer. ondalık basamak temettü ve sonucun biriktiği hariç tüm karolar sağda olacaktır. Değilse, bölümün geri kalanına karşılık gelen sayı abaküs üzerinde kalacaktır. Gerekirse, abaküs üzerinde yeterli sayıda kablo olduğu sürece kesirli sonucun ondalık basamaklarını elde edebilirsiniz (ondalık ayırıcıyı aşağı hareket ettirecek yer olmadığında, bölmeye devam etmek için biriken kalanı yapay olarak daha yükseğe taşıyabilirsiniz; bu şekilde) sonucun en fazla 7-8 basamağını alabilirsiniz).

Örneğin 715/31'i hesaplayalım:

Çarpmada olduğu gibi, ondalık sayıları bölerken bağımsız değişkenlerin yerini tam sayılar alır ve hesaplamalar tam olarak aynı sırada gerçekleştirilir ve ondalık ayırıcı sonunda doğru yer manuel olarak.

Basitleştirilmiş çarpma ve bölme teknikleri

Abaküs üzerinde keyfi çarpma ve özellikle bölme işlemi pek uygun değildir. Ancak bu işlemlerin çok daha basit olduğu bazı özel durumlar da vardır:

10'a çarpma ve bölme işlemi, sayının bir basamak yukarı veya aşağı taşınmasıyla değiştirilir. Bu durumda, kaydı aktarmaya fiilen gerek yoktur - sayının tamsayı ve kesirli kısımlarının ayırıcısını zihinsel olarak sırasıyla bir tel aşağı veya yukarı hareket ettirmek yeterlidir. Abaküs hesaplamaları ile ilgili kılavuzlarda, hesaplamalar yaparken sol elinizin parmağını abaküs çerçevesinde, birimlere ve onda birine karşılık gelen teller arasındaki boşluğun karşısında tutmanız veya ondalık ayırıcının mevcut konumunu bazı doğaçlamalarla işaretlemeniz önerildi. anlamına gelir (düğme, çerçeve deliğine özel olarak yapılmış abaküs içine yerleştirilen çivi vb.).
2 ile çarpmak, sayının kendisine eklenmesiyle değiştirilir: 39 ∗ 2 = 39 + 39 = 78 (\displaystyle 39*2=39+39=78).
3 ile çarpmak - kendisiyle iki kez eklemek: 39 ∗ 3 = 39 + 39 + 39 = 117 (\displaystyle 39*3=39+39+39=117).
4 ile çarpmak - iki katına çıkarmak: 18 ∗ 4 = (18 + 18) ∗ 2 = 36 + 36 = 72 (\displaystyle 18*4=(18+18)*2=36+36=72).
5 ile çarpma - 10 ile çarpma ve 2'ye bölme: 26 ∗ 5 = 26 ∗ 10 2 = 260 / 2 = 130 (\displaystyle 26*5=(\tfrac (26*10)(2))=260/2=130).
6 ile çarpmak - 5 ile çarpmak ve orijinal sayıyı eklemek: 26 ∗ 6 = 26 ∗ 5 + 26 = 26 ∗ 10 2 + 26 = 130 + 26 = 156 (\displaystyle 26*6=26*5+26=(\tfrac (26*10)(2))+26= 130+26=156).
7 ile çarpmak - orijinal sayıyı üç kez ikiye katlamak ve çıkarmak: 13 ∗ 7 = 26 ∗ 2 ∗ 2 − 13 = 52 ∗ 2 − 13 = 104 − 13 = 91 (\displaystyle 13*7=26*2*2-13=52*2-13=104- 13=91).
8 ile çarpmak - üç kez ikiye katlamak: 13 ∗ 8 = 13 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 26 ∗ 2 ∗ 2 = 52 ∗ 2 = 104 (\displaystyle 13*8=13*2*2*2=26*2*2=52*2=104)
9 ile çarpma - 10 ile çarpma ve orijinal sayıyı çıkarma: 23 ∗ 9 = 23 ∗ 10 − 23 = 230 − 23 = 207 (\displaystyle 23*9=23*10-23=230-23=207).
2'ye bölme işlemi en az anlamlıdan en anlamlıya doğru yapılır. Her telde mevcut tohumların yarısı atılır. Tel üzerinde tek sayıda karo varsa, o zaman “fazladan” karo da atılır ve aşağıdaki telde (en az önemli sırada) beş karo daha sola aktarılır. Örneğin, 57'yi 2'ye bölerken, birler basamağında tek bir sayı var, bu nedenle 4 taş atılacak (kalan 3) ve onuncu basamağa 5 eklenecek, ardından beş taştan onlar basamağına eklenecek. atılır, iki tane bırakılır ve birler basamağına bir tane daha eklenirse 5 eklenirse 8 olur. Dolayısıyla doğru cevap: 28, 5 (\displaystyle 28,5).
3'e bölme, orijinal sayının 3 ile çarpılması ve sonucun sırayla kendisine eklenmesi ve sonuçta ihtiyaç duyulan rakam sayısı kadar aşağı kaydırılmasıyla değiştirilir. “Hesapların dışına” kaydırırken eklenen sayı yuvarlanır. Toplamanın sonucu 10'a bölünmelidir. (Şu gerçeği kullanıyoruz: x / 3 = 0,3 (3) ⋅ x = 3,3 (3) ⋅ x 10 (\displaystyle x/3=(0,3(3))\cdot (x)=(\tfrac (3,3(3)\cdot x)( 10)))).
4'e bölmek, 2'ye iki kez bölmek demektir.
5'e bölmek, 10'a bölüp 2 ile çarpmak demektir.
6'ya bölme - 2 ve 3'e sıralı bölme.
7'ye bölme işlemi şu şekilde yapılır: genel algoritma(yediden bit bazında çıkarma).
8'e bölme, üç kez 2'ye bölmeyle değiştirilir.
9'a bölme, sonuçta gerekli basamak sayısı kadar ardışık bitsel kaydırmayla sayının kendisine eklenmesiyle gerçekleştirilir. Toplama sonucu 10'a bölünür. (Oran kullanılır. x / 9 = 0 , 1 (1) ⋅ x = 1 , 1 (1) ⋅ x 10 (\displaystyle x/9=(0,1(1))\cdot (x)=(\tfrac ((1, 1( 1))\cdot (x))(10))))).
İkinin herhangi bir kuvvetiyle çarpma ve bölme, sırasıyla ardışık ikiye katlama veya 2'ye bölmeyle gerçekleştirilir.
İkiden iki basamaklı bir sayıyla çarpmak aynı sayılar"NN" (11, 22, 33, 44, vb.) çarpma ve kaydırma toplama ile değiştirilir:

İlk olarak orijinal değer uygun bir şekilde N ile çarpılır.
Ondalık ayırıcı daha sonra rakama taşınır aşağı ve çarpmanın sonucu kendisine eklenir, ancak bir kaydırmayla aşağı bir tel başına (aşağı doğru kaydırmayla eklemek daha uygundur, çünkü ekleme aşağıdan yukarıya doğru yapılır ve eklenen tohum sayısı her zaman bir tel yukarıda görünür - hiçbir şeyi hatırlamaya gerek yoktur).

Basit manipülasyonların yardımıyla hesaplanan işlemi özel çarpma ve bölme durumlarının bir kombinasyonuna indirgemek çoğu zaman mümkündür. Örneğin, 25 ile çarpma işlemi, 100 ile çarpılıp 2'ye iki kez bölünerek değiştirilebilir. Bir veya her iki işlenen, hesaplamalar için "uygun" sayılara yakın olduğunda, özel çarpma ve bölme durumlarını toplama ve çıkarma ile birleştirebilirsiniz. Ancak bu tür hilelerin olasılığı büyük ölçüde bilgisayarın eğitim düzeyine bağlıdır. Aslında abaküs üzerinde hesaplama sanatı, gerekli herhangi bir hesaplamayı kolayca sayılabilir öğelerin bir kombinasyonuna indirgeme yeteneğinde yatmaktadır. x (\displaystyle x) mavi kumaş miktarıdır ve y (\displaystyle y)

- siyah, aşağıdaki denklem sistemini oluşturabilirsiniz:

( x + y = 138 5 x + 3 y = 540 . (\displaystyle (\begin(case)x+y=138\\5x+3y=540\,\,.\end(case))) Bunu çözdükten sonra şu cevabı alıyoruz: y = 75 , x = 63 (\displaystyle y=75,\ x=63)

yani 75 arşin siyah kumaş ve 63 arşin mavi kumaş. Fakat benzer çözüm

bu görev onun iç mantığının kaybolmasına yol açar. Çocuğun babası, emekli eyalet sekreteri Udodov, farklı bir çözüm gösterdi:
Udodov elini abaküs'e uzatıp iç çekerek "Cebir olmadan da çözebilirsin" diyor. - İşte, lütfen bakarsan...
Abaküs'e tıklıyor ve 75 ve 63 çıkıyor, ihtiyacı olan da buydu.

- İşte bu... bizim tarzımızda, bilim dışı bir şekilde. Hikayede "bilimsel olmayan" çözümün kendisi Çehov tarafından verilmemiştir, ancak problemin mantığa dayalı ve altı aritmetik işlemin gerçekleştirilmesinden oluşan standart bir aritmetik çözümü olduğundan kolayca yeniden yapılandırılabilir. Satın alınan tüm kumaşların mavi olduğunu varsayalım. O zaman 138 arshinlik bir parti 690 rubleye mal olacak ( 5 ⋅ 138 (\displaystyle 5\cdot 138) ). Ama bu 150 ruble () 690 − 540 (\displaystyle 690-540) Dahası aslında ne ödendi. 150 rublelik "aşırı harcama", partinin daha ucuz, siyah kumaş içerdiğini gösteriyor - arshin başına 3 ruble. Bu kumaştan o kadar çok var ki iki rublelik farktan ( 5 − 3 (\displaystyle 5-3) ) 150 "ekstra" ruble ortaya çıkıyor. Yani 75 arshin ( 150/2 (\displaystyle 150/2) ) siyah kumaş. Artık mavi kumaşın miktarını bulabiliriz: 63 arshin ().

138 − 75 (\displaystyle 138-75)

Daha önce satıcılar, muhasebeciler ve kasiyerler için en gerekli cihaz abaküstü. Onların yardımıyla küçük ve büyük sayılarla çok çeşitli hesaplama işlemleri gerçekleştirilir. Kısa süre sonra bunların yerini hesap makineleri ve diğer cihazlar aldı. Ancak buna rağmen abaküs saymayı öğrenmek günümüzde hala faydalıdır. Bunun nasıl yapılacağına dair bir fikir edinmek istiyorsanız, temel muhasebe işlemlerini gözden geçirerek ilerleyin ve genel prensipler sayıyorum.

Öne Çıkanlar

İlk önce abaküsü düşünün. Farklı boyutlarda olabilirler. Parmak eklemleri iki renktedir: kenarları açık, ortası koyu. Ancak eklemlerin başka renkleri ve yerleri de olabilir. Bugün bile böyle bir cihazı satın alabilirsiniz.

Başlangıçta, tüm domino taşları sağ tarafta kenarla hizalanmalıdır. Bu konum, hesapların sıfır konumda olduğu anlamına gelir. Hesapların türüne bağlı olarak 8 veya 10 satıra sahip olabilirler. Her biri belirli bir sayı sınıfını karakterize eder. Burada sadece binlerce ve yüzlerce değil, aynı zamanda onbinleri de kastediyoruz. Gerekirse oldukça önemli değerler hesaplayabilirsiniz. Sekiz satırla en üstteki satır onbinleri temsil edecek. İkinci sıra binler, üçüncü sıra ise yüzler anlamına gelir. Dördüncü sırada onlarcayı, beşinci sırada ise birleri sayabilirsiniz. Daha sonra altıncı sırada çeyrekler, yedinci sırada ondalıklar (0,1) ve sekizinci sırada yüzde birlikler (0,01) vardır. Bu en çok hesaplamak için gereklidir farklı sayılar. Satıcılar bu tür hesaplarda ruble ve kopekleri kolaylıkla sayabilirler.

Hesaplar üzerinde nasıl çalışılır

Abaküs üzerinde ihtiyacınız olan numarayı çevirmek için istediğiniz sayı sınıfına karşılık gelecek dominolara ihtiyacınız olacaktır. Sağdan sola hareket ettirilmeleri gerekir. Anlamanızı kolaylaştırmak için tüm bunları şu adreste düşünebilirsiniz: açık örnek. Yani 4.733.64'ü çevirmeniz gerektiğini düşünün. Bunu yapmak için önce 4 dominoyu en üst sıraya taşıyın, bu da 4 bin anlamına gelecektir. Bundan sonra ikinci sırada 7 yüze eşdeğer olacak 7 domino sayın. Üçüncü sırada 3 domino sayın, yani. düzinelerce. Dördüncü sıradan 3 birim hareket ettirin. Daha sonra ayrıca 6 onda birini ve 4 yüzde birini de kaldırmanız gerekir.

Zaten bir abaküsünüz varsa, bu sayma yöntemini uygulamaya koymayı deneyin. Bu şekilde bu bilime daha hızlı hakim olabilirsiniz. Bunu anlamak aslında zor değil. Sadece pratik yapmalısın.

Hesaplarda aritmetik işlemler

Saymanın temel ilkelerine hakim olduktan ve sayıları temsil eden domino taşlarını doğru şekilde nasıl sayacağınızı öğrendikten sonra, aritmetik işlemlerde uzmanlaşmaya geçebilirsiniz. Bunu yapmak oldukça kolaydır. Eklemeyle başlayın. Bunu yapmak için önce parmak eklemlerindeki bir numarayı çevirin, ardından ikinci numarayı sağdan sola hareket ettirmeniz gerekir. Sayılar oldukça büyükse, yeterli sayıda domino olmayabilir. Bu durumda domino taşını bir sınıf yukarıya taşıyın. Kolaylık sağlamak için katlama her zaman alt sıralardan başlamalıdır. Hesaplarınız üzerinde işlem yapmaya çalışın. Bu şekilde konuyu daha hızlı kavrayacaksınız.

Hesaplamalı işlemler yapmanız gerekiyorsa, aynısını yapmalısınız, ancak ters sıra. Burada dominoların soldan sağa doğru hareket ettirilmesi gerekiyor. Çıkarmanın doğru yolu üst satırlardan başlamaktır. Büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarmanız yeterlidir. Yeterli domino yoksa, alt sınıftan birini almanız yeterlidir. Birisi size tüm bunların nasıl yapıldığını daha ayrıntılı olarak anlatsa ve bu konuda nasıl ustalaşacağınızı gösterse iyi olurdu. kişisel örnek nasıl yapıldığını.

Eğer iyi öğrenirsen aritmetik işlemler abaküs üzerinde daha karmaşık derslere geçebilirsiniz - abaküs üzerinde çarpma ve bölme.

Abaküs üzerinde çarpma

Abaküs üzerinde çarpma işlemi en zor eylemlerden biri olarak görülse de, uygulanmasında ustalaşmak oldukça mümkündür. Bunu yeni öğreniyorsanız, küçük değerlere hakim olmaya başlamak daha iyidir. Göz önünde bulundurabileceğiniz birkaç basit çarpma seçeneği vardır.

Bir sayıyı ikiyle çarpmak için, onu abaküs üzerine yazmanız ve ardından aynı sayıdan başka bir sayı eklemeniz yeterlidir. Bir sayıyı üçle çarpmanız gerekiyorsa sayıyı tekrar eklemelisiniz. 4 ile çarpmayı kolaylaştırmak için, daha önce açıklandığı gibi önce sayıyı 2 ile çarpmanız, ardından tekrar 2 ile çarpmanız gerekir. Bir sayıyı 5 ile çarpmak istiyorsanız önce onu 2'ye bölüp sonra ile çarpmalısınız. 10. Bu artık zor değil, sadece dominoları daha yüksek bir seviyeye taşımanız gerekiyor. Bunlar başlangıçta yapmayı öğrenebileceğiniz çarpma işlemlerinden sadece birkaçıdır.

Hesaplardaki bölünme

Abaküs üzerinde bölme işlemi yapmak çok zordur. Bununla ancak en karmaşık işlemleri kolaylıkla gerçekleştirebilen deneyimli muhasebeciler başa çıkabilir. Herhangi bir basit sayıyı 2'ye bölmek istiyorsanız bunu yapabilirsiniz, ancak harika örnekler daha fazlasına güvenmek daha iyi modern cihazlar hatta zihninizde.

Abaküs'te yavaş yavaş ustalaşın. İlk önce en çok saymayı deneyin asal sayılar ancak yavaş yavaş daha karmaşık olanlara geçin. Aslında bunu anlamak oldukça kolaydır.

Rus abaküsü, beş yüzyıldan fazla bir süredir insanlara özenle hizmet ederek basit aritmetik işlemleri daha hızlı yapmalarına yardımcı oldu. Kolayca ve hızlı bir şekilde geliri toplayın ve giderleri bunlardan çıkarın. Çarpmayı basitleştiren teknikler herkese verilmedi ve çoğu zaman bunların yerini olağan toplama işlemi aldı; bölme işlemi "seçilenlerin" işiydi ve kağıt üzerinde yapılması çok daha hızlıydı.

Prensip olarak abaküs yalnızca pozitif sayılar ve giderlerin gelir üzerindeki fazlalığının (zararlar) dikkate alınması gerekiyorsa, sayının modülo hesaplamaları yapılır. İlgili işaret hatırlanır veya kağıda yazılır ve gerekli anda sayıya eklenir. Çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştirirken, 4 kemikli bir iplik (tel, çubuk, çubuk) - kesirlerle çalışmak zorunda olsanız bile (bunlar tam sayılara dönüştürülür) yer ayırıcı (bundan sonra RR olarak anılacaktır) dikkate alınmaz. ve hesaplamaların bitiminden sonra ters prosedür gerçekleştirilir) .

Rus abaküsü - tarih

Peki nedir bu? Rus abaküsü hesaplamaları gerçekleştirmek için en basit mekanik cihazdır. Bunlar toplama, çıkarma, bölme ve çarpmadır. Rus'ta saymanın ortaya çıkışıyla ilgili iki teori var:

MS 14. yüzyılda Tatar-Moğolların temsil ettiği aracılar aracılığıyla Çinlilerden ödünç alınıyor. Ahşap abaküs “atalarımız” Çin'de ortaya çıkmadan sadece bir yüzyıl önce, sayma cihazı olarak son şeklini aldı. Doğru, 5 ve 2 oranında bir bölümle ayrılmış on değil 8 parmakları ve 7 kemikleri vardı. Ancak bir Rus'un bir şeyi iyileştirmesine izin verin - iyileştirmenin sonucu, cennet ve dünya gibi kaynaktan farklı olacaktır.
Başka bir teoriye göre basit abaküs doğrudur Rus icadı. Bunlar, tam olarak, 16. yüzyıldan itibaren parasal alana yayılanlar da dahil olmak üzere, Moskova eyaletinde ortaya çıkan ondalık sayı sistemine (o sırada Çin'de beşli sayı sistemi kabul edildi) dayanmaktadır. “Tahta sayımına” (16. yüzyıl) ilişkin belgelenmiş referanslar vardır.

Tarih bunun gerçekte nasıl olduğu konusunda sessiz. Ancak "tahta" sayısı 17. yüzyılın ortaları yüzyılda (kazanana kadar) ile yarıştı Avrupa sistemi abaküs gibi çizgili tahtalarda çakıl taşları veya özel jetonlar yardımıyla yapılan hesaplar vardı.

Nasıl sayılır?

Numune eski bir örnektir. On eklemli 12 enine filmaşin (PP üst 8'i alt 3'ten ayırır) içerir. beyaz 11 tanesinin ortasındaki iki siyah hariç (RR - 4 dominoda). Böylece Rus abaküsü 10 milyona kadar herhangi bir sayıyı kaydedebilir. Ve eğer RR'yi hariç tutarsak, o zaman 10 milyara kadar.

Peki abaküs'e nasıl güvenirsiniz? Domino taşları sağdan sola doğru hareket ettirilerek sayılar bir kenara konur ve soldan 10 taşı çevirdiğinizde sayılar bir kenara kaldırılır. başlangıç pozisyonu. Bir sonraki taburculukta sadece bir kemik sol pozisyona taşınır. RR, tam sayıları (yukarıda) sırasıyla onda bir, yüzde bir ve binde birlerden ayırır ve hesaplamalara katılmaz (daha önce ½ “para” ya da ¼ kopek'e eşit olan “polushki”yi hesaba katmak için kullanılıyordu).

Muhasebe hesapları

Yaygınlaştılar XIX-XX yüzyıllar, yerini bilgisayarlar (elektronik klavyeler) alana kadar. Bu arada, çok daha hızlı sayılan makineler bunu yapamadı, ancak bunlar üzerinde çalışmak, aritmometrelerin aksine, üzerinde çalışma becerilerine hakim olmak için özel ve oldukça karmaşık bir eğitim gerektiriyordu. çok daha kolay ve hızlı çalışmanın öğretilmesi gerekiyordu.

Aslında muhasebe hesapları üzerinde çalışma sanatı, genel işlemleri belirli, daha kolay işlemlere ayırarak eylemlerin kesin sonucunu elde etmenin tüm yollarını bilmekten ibarettir. Örneğin, 25 ile çarpmanın yerini 100 ile çarpma ve sonucun 2 ile çift ardışık bölünmesi alır. Veya 2 sayısının herhangi bir kuvvetiyle hem çarpma hem de bölme, sayısı buna eşit olan ardışık karşılık gelen eylemlerle gerçekleştirilir. güç.

Bir abaküs nasıl sayılır? Başka bir örnek. Aynı basamaklı “AA” (11, 22 vb.) iki basamaklı bir sayı ile çarpma, “A” ile çarpma ile değiştirilir, sonuç bir basamak yukarı taşınır (10 ile çarpılır) ve bu miktar önceki sayıya eklenir. bir. Hesaplamaların hızı ve özel tekniklerin kullanılması, hesaplar üzerinde çalışan kişinin deneyimine ve eğitimine, eğitim yöntemine bağlıdır.

Ek

Abaküs eklemek en kolay işlemdir. İlk numara çevrilir, ardından üçüncüyü belirten dominolar eklenir ve bu şekilde devam eder. Yalnızca bir koşulun karşılanması gerekir. Bunları sol sıraya taşımak için yeterli taş yoksa, bu, bu satırda bırakılması gereken taş sayısıdır ve ardından üst çubukta bir domino taşını sola doğru hareket ettirin. Uygulama yukarıdan aşağıya doğru gerçekleşir (uzmanlar bunun tersini yapabilir) ve yalnızca eşit rakamlar eklenir (birler ile birler, onlar ile onlar, vb.).

Çıkarma

Hesaplarda çıkarma işlemi nasıl yapılır? Negatif sayılarda abaküsün işe yaramadığını hatırlayarak çıkarma işleminin büyük sayıdan yapıldığını her zaman aklınızda tutmalısınız. Ve tam tersini yapmanız gerekiyorsa, o zaman küçük olan yine de büyük olandan çıkarılır ve işaret hatırlanır veya yazılır. Rus hesaplarında çıkarma işlemi yukarıdan aşağıya, yani daha yüksek rütbeler alttakilere. İlgili tel üzerinde sağa doğru gerekli sayıda taş atılır ve yeterli değilse en üst sıradaki bir taş sağa aktarılır ve bu tel üzerinde her şey sola ve gerekli olana aktarılır. numara onlardan sağ tarafa kaldırılır.

Çarpma

Şimdi abaküs üzerinde çarpma işlemine geçelim. Eski abaküs, aynı eylemleri kağıt üzerinde gerçekleştirme hızını önemli ölçüde aşan çarpma işlemlerinin hızını artırmaya yardımcı olur. Uygulamada çarpma, istenilen değerin kendisine tekrar tekrar eklenmesidir. sayısal olarak. Bazı ipuçları:

Daha büyük bir sayıyı temel almak daha iyidir, o zaman daha az işlem gerçekleştirilecektir. Çarpma işlemi en küçük rakamdan başlar ve yukarı doğru gider.
Bu rakamın “anladığı” kadar sayı kendisine eklenir (bu bölümün sonunda bu işlemlerin sayısını azaltmanın yollarından bahsedeceğiz). Bir sonraki rakama geçerken sonuç bir çubuk daha yükseğe aktarılır (10 ile çarpılır). Ve yine aynı prosedür. Rakam “0” ise, kıdemli çubuğa transfer gerçekleşir, ancak toplama yapılmaz ve daha sonraki çarpma işlemine geçmek gerekir.
Kesirli sayılar tam sayı olarak çarpılır ve kağıt üzerinde yapılan tüm manuel işlemlerin sonuna karşılık gelen ayırıcı yerleştirilir.

Çarpma işlemini basitleştirmenin yolları:

4'te - çift ikiye katlama.
5'e kadar - bir sıra daha yükseğe çıkıp sonucu 2'ye bölmek.
6 ile - 5 ile çarpma artı başlangıç numarası.
7'de - üçlü ikiye katlama ve eksi ilk sayı.

Bölüm

Çarpmanın yerini tekrar tekrar toplamanın alması gibi, abaküsteki bölme de sürekli bir çıkarma işlemidir. Her şey yukarıdan başlıyor ve aşağıya doğru gidiyor. Bölene eşit olan karo sayısı sağa aktarılır (en üstteki telde mümkün olduğu için her seferinde bir karo sola aktarılır), solda bu sayıdan daha az karo kalmayıncaya kadar bölme yapılıyor (bölen).

Daha sonra bir sonraki bit sürece bağlanır. Ve eğer önceki telde kemik kalmışsa, bölen bundan çıkarılır. çift haneli sayı. Değilse, daha önce olduğu gibi. En düşük rakamda çıkarma işlemi solda taş kalmayacak şekilde yapılıyorsa, bölme işlemi kalansız olarak gerçekleştirilir. Kemikler solda kalırsa, sonunda isteğe bağlı bir makbuz olması durumunda kesirli sayı- kalan kısım göz ardı edilir ve elde edilmesi gerekiyorsa, PP'nin altındaki çubuklarda çıkarma işlemi gerekli doğrulukta devam eder ve kağıt üzerinde kesirli ayırıcıyı gösterir. İki basamaklı, üç basamaklı (vb.) sayılara bölme benzer şekilde gerçekleştirilir, yalnızca önce karşılık gelen iki, üç vb. daha yüksek basamaklardan çıkarma yapılır.

Bölmeyi nasıl basitleştiririz?

Bölme işlemini basitleştirmenin yolları:

2'de - süreç ters sırada - aşağıdan yukarıya doğru ilerler. Her çubukta, tohumların yarısı atılır ve "fazlalık" tohumlar atılır. tek sayı, ayrıca atılır. Bunun için alt sıradaki 5 kare sola kaydırılır.
4'e - iki kez 2'ye bölme.
5'e göre - sayının tamamını bir çubuktan aşağıya doğru hareket ettirin (10'a bölerek) ve 2 ile çarparak.
8'e göre - üç kez 2'ye bölünme.
9'a kadar - bir basamak yukarıya doğru ilerleyin ve başlangıç numarasını çıkarın.

Gelişim

Abaküsün popülaritesinin ve pratik gerekliliğinin çeyrek bin yıl boyunca, Rus abaküsünü geliştirmek için defalarca (çoğunlukla başarıyla sonuçlanan) girişimlerde bulunuldu. Bunlardan sadece birine odaklanalım. 1828'de Tümgeneral F. M. Svobodsky, ilgili otoriteye yalnızca Ruslar için olağan sayma işlemlerini gerçekleştirmekle kalmayıp aynı zamanda hızlı bir şekilde geri alınan bir hesaplama cihazı sundu. küp kökleri, sayıların üslerine yükseltilmiş, hesaplanan bileşik faiz ve benzeri. Bu, yalnızca ara sonuçların kaydedildiği toplama ve çıkarma yöntemleriyle başarıldı. özel alan kontrol etmek. Ancak istenilen sonuca ulaşma hızı komisyonu o kadar şaşırttı ki, üretim ve tanıtım için bu cihazı önerdi. özel kurs askeri tesislerde. Ancak mesele kararın fiilen uygulanmasına gelmedi.

Şu anda Rusya'da abaküsler yalnızca müze sergisi veya aile yadigarı olarak kullanılıyor. Çok nadiren, birinin evinde varsa, genç nesil tarafından yerde yuvarlanmak için veya yaşlı nesiller tarafından bacaklarına veya sırtına masaj yapmak için kullanılabilir. Ama boşuna! İÇİNDE modern ÇinÖğrencilere "Xuanpan" öğretiliyor genç sınıflarıÇünkü bu sayma yöntemine hakim olan bir çocuğun, bu eski cihazla çalışmayı öğrenmemiş olsa bile daha iyi ve daha hızlı geliştiğine inanılıyor.

Tarih öncesi çağlarda bile insanın ihtiyacı vardı sayıları toplama ve çıkarma. Diyelim ki bir komşunuzdan ok uçları aldınız ve toplamda kaç adet ok ucunuz olduğunu bilmek istiyorsunuz. Veya diyelim ki koyununuz birkaç kuzu doğurdu - bu eklemeden sonra sürünüzde kaç baş olduğunu bilmeniz gerekir.

En kolay yol saymaktır. Diyelim ki beş bahşişiniz vardı ve iki tane daha satın aldınız. Bunları toplarsınız, sayarsınız ve yedi tane elde edersiniz. Ama yavaş yavaş sayma konusunda deneyim kazanırsınız, zaten beş artı ikinin yedi olduğunu bilirsiniz.

Ancak hafızamız sınırsız değildir ve gerektiğinde katlamak büyük sayılar örneğin yirmi üç ve elli dört gibi soruların cevabını bulmak çok daha zordur. Sürüsünde elli dört koyunu olan ve sonra yirmi üç koyunu daha ekleyen eski bir çobanı hayal edin. Ve böylece onları uzun uzun ve bıktırıcı bir şekilde sayıyor, kayboluyor, yeniden başlıyor, yeniden kayboluyor... ve kendi güçsüzlüğüne öfkeleniyor. Belki de bu yöntemle hesap yapan bir kişiden uzak durmak daha iyidir.

Burası kurtarmaya gelebilecekleri yer. Bu, herhangi bir özel entelektüel çaba harcamadan bu iki sayının toplamını hesaplamanıza yardımcı olan çok kullanışlı bir cihazdır. Artık yerinde duramayan ve sürekli hareket eden bu aptal koyunların yakınında olmanıza gerek yok. Eve girip orada sayabilirsiniz.

Eğer yirmi üçü elli dörde toplamamız gerekiyorsa önce alt sıradaki yani birler satırındaki abaküs üzerine dördü bir kenara koyarız. Bir sonraki satırda, onlar satırında beş tane var. Şimdi alt sıraya üç, sonraki sıraya iki tane daha koyuyoruz. Ve sonuç yetmiş yedi. Doğru, sayarken toplam asla on veya daha fazlasına eşit olmuyordu.

Aynı şekilde çok büyük sayıları da sorunsuz bir şekilde ekleyebilirsiniz. Örneğin iki yüz elli üç bin yüz on iki ile yüz yirmi altı bin sekiz yüz otuz bir'i toplamamız gerekiyor. Üç yüz yetmiş dokuz bin dokuz yüz kırk üçe eşit olan miktarı abaküs yardımıyla kolaylıkla tespit edebiliriz. Bununla birlikte, bu kolaylık kısmen tek bir satır toplama işleminde ondan büyük bir sayı elde edemediğimiz gerçeğiyle belirlenir.

Şimdi hesaplarda neye ihtiyaç duyulduğunu hayal edin yedi ve sekizi ekle. Garip bir şekilde bu, az önce yaptığımız birkaç yüz bini toplayarak toplam tutarı elde etmekten bile daha zor.

Resme bakın. İlk olarak alt sırada sekiz dominoyu sağa doğru hareket ettiriyorsunuz. Şimdi bunlara yedi tane daha eklememiz gerekiyor ama alt sırada sadece iki serbest dominomuz var. Ne yapalım? Çok basit. Önce kalan ikisini hareket ettirin. Artık tam on numaranız var. Alt sıradaki on dominoyu bir sonraki sıradaki bir domino ile değiştirerek, yani onlar sırasına bir on koyarak, yerine koyarsınız. Artık ekleme işlemini tamamlayabilirsiniz çünkü birim sıranız serbesttir. Yedi dominoyu taşımak zorunda kaldık. Zaten iki tanesini taşıdık. Bu, taşınacak beş kişinin daha kaldığı anlamına geliyor. Alt sıradaki beş dominoyu sola doğru hareket ettirin ve sonucu alıyoruz: bir on ve beş bir, yani on beş.

On domino taşının bir sonraki üst sıradaki bir taşla değiştirilmesi tüm sıralar için uygundur. On onluk yüzle, on yüz binle vb. değiştirilebilir.

Böylece abaküs kullandığımızda ondan fazla domino taşı saymamıza gerek kalmaz. Aslında beşe kadar saymak yeterli. Sonuçta, beşten fazla domino taşını sağa doğru hareket ettirdiyseniz, yalnızca sol taraftaki domino sayısını saymanız gerekir; sağ tarafta kaç tane domino olduğunu bulmak için her zaman beşten az domino olacaktır. Diyelim ki solda bir domino kaldıysa sağda dokuz tane var.

Beş veya daha az domino olduğunda saymadan, bir bakışta sayılarını belirlemek bizim için kolaydır. Bu nedenle sürekli abaküse güvenmek zorunda kalan deneyimli bir işçi üretebilirdi toplama ve çıkarma işlemleri büyük bir hızla, bundan çok daha hızlı bir şekilde, alışılagelmiş yöntem kullanılarak, kağıt üzerinde, bir sütunda toplama ve çıkarma yapılarak yapılır. En seçkin abaküs uzmanları, elektrikli masaüstü toplama makinelerini bile geride bırakmayı başardılar.

Bir abaküs kullanarak bunu kolayca gösterebilirsiniz. terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplam değişmez. İlk önce hangi numarayı gönderdiğiniz önemli değil. Önce yediyi, sonra sekizi bir kenara koyabilirsiniz ya da tam tersi miktar aynı kalır. Bu on beş. O halde şu kuralı iyi hatırlayın: Terimlerin yerlerini değiştirmek toplamı değiştirmez. Hatta modern dünya, eğer emlakla ilgileniyorsanız, artık herkes hesap makinesi veya bilgisayar programları kullanıyor olsa da, bunları bir evin veya alanının fiyatını hesaplamak için kullanabilirsiniz.