Çözülmesi gereken bir doğrusal cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini eşitliğe dönüştüren bilinmeyen xi değerlerini bulun).
Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:
1) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Tek bir çözümünüz olsun.
Hatırladığımız gibi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda Cramer kuralı ve matris yöntemi uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, Hangi her durumda bizi cevaba götürecek! Yöntem algoritmasının kendisi her üç durumda da aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yöntemini uygulamak için yalnızca aritmetik işlemler bilgisine ihtiyacınız vardır, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.
Artırılmış matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından ve serbest terimlerden oluşan bir sütundan oluşan bir matris) Gauss yöntemindeki doğrusal cebirsel denklem sistemleri:
1) İle troki matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde.
2) matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar görünüyorsa (veya mevcutsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir.
3) dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman da olmalıdır silmek.
4) matrisin bir satırı olabilir çarpmak (bölmek) sıfırdan başka herhangi bir sayıya.
5) matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı.
Gauss yönteminde elemanter dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.
Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:
- "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" adım formuna getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin elemanları sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket). Örneğin, bu türe:
Bunu yapmak için aşağıdaki adımları izleyin:
1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'in katsayısı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürüyoruz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenler için katsayılar), her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsayısına bölüyoruz ve K ile çarpıyoruz. Bundan sonra birinciyi ikinciden çıkarıyoruz denklem (bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayılar). İkinci denklemde x 1 için 0 katsayısını elde ederiz. Dönüştürülen üçüncü denklemden, bilinmeyen x 1 için birinci dışındaki tüm denklemler 0 katsayısına sahip olana kadar birinci denklemi çıkarırız.
2) Bir sonraki denkleme geçelim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsayısı M'ye eşit olsun. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda anlatıldığı gibi devam ediyoruz. Böylece bilinmeyen x 2'nin “altında” tüm denklemlerde sıfırlar olacaktır.
3) Bir sonraki denkleme geçin ve son bir bilinmeyene ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar devam edin.
- Gauss yönteminin “tersine hareketi”, doğrusal cebirsel denklemler sistemine (“aşağıdan yukarıya” hareket) bir çözüm elde etmektir.
Son “alt” denklemden bir birinci çözüm elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak için A * x n = B temel denklemini çözüyoruz. Yukarıda verilen örnekte x 3 = 4. Bulunan değeri bir sonraki "üst" denklemin yerine koyuyoruz ve bir sonraki bilinmeyene göre çözüyoruz. Örneğin x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. Tüm bilinmeyenleri bulana kadar böyle devam ederiz.
Örnek.
Bazı yazarların tavsiye ettiği gibi, doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözelim:
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:
Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Hadi şunu yapalım:
1 adım
. İlk satıra ikinci satırı –1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.
Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir işlem yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin). . İlk satır 5 ile çarpılarak ikinci satıra eklendi. İlk satır 3 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.
3. Adım . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.
4. Adım . Üçüncü satır, ikinci satıra 2 ile çarpılarak eklendi.
Adım 5 . Üçüncü satır 3'e bölündü.
Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha az sıklıkla bir yazım hatası) "kötü" bir sonuçtur. Yani, aşağıda (0 0 11 |23) gibi bir şey elde edersek ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 olursa, o zaman yüksek bir olasılıkla ilkokulda bir hata yapıldığını söyleyebiliriz. dönüşümler.
Bunun tersini yapalım; örneklerin tasarımında sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınır." Size hatırlatırım, ters hareket aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Bu örnekte sonuç bir hediyeydi:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolayısıyla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Cevap:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. Aldık
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
İkinci denklemi 5'e, üçüncüsünü ise 3'e bölün. Şunu elde ederiz:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarparsak şunu elde ederiz:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarırsak:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
İkinciyi üçüncü denklemden çıkararak "adımlı" bir genişletilmiş matris elde ederiz:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Böylece hesaplamalar sırasında oluşan hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yaklaşık 1 elde ederiz.
x 2 = 3 ve x 1 = –1.
Bu şekilde çözdüğünüzde hesaplamalarda hiçbir zaman kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.
Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmenin bu yöntemi kolayca programlanabilir ve bilinmeyenler için katsayıların belirli özelliklerini hesaba katmaz çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.
Size başarılar diliyorum! Sınıfta görüşürüz! Öğretmen Dmitry Aystrakhanov.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin en basit yollarından biri, determinantların hesaplanmasına dayanan bir tekniktir ( Cramer kuralı). Avantajı, çözümü anında kaydetmenize olanak sağlamasıdır; özellikle sistemin katsayılarının sayı değil, bazı parametreler olduğu durumlarda kullanışlıdır. Dezavantajı, çok sayıda denklem olması durumunda hesaplamaların zahmetli olmasıdır; ayrıca Cramer kuralı, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla çakışmadığı sistemlere doğrudan uygulanamaz. Bu gibi durumlarda genellikle kullanılır Gauss yöntemi.
Çözüm kümeleri aynı olan lineer denklem sistemlerine denir. eş değer. Açıkçası, herhangi bir denklem değiştirilirse, denklemlerden biri sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsa veya bir denklem diğerine eklenirse, doğrusal bir sistemin çözüm kümesi değişmeyecektir.
Gauss yöntemi (bilinmeyenlerin sıralı eliminasyonu yöntemi) temel dönüşümlerin yardımıyla sistemin adım tipinde eşdeğer bir sisteme indirgenmesidir. İlk olarak 1. denklemi kullanarak ortadan kaldırırız. X Sistemin sonraki tüm denklemlerinden 1'i. Daha sonra 2. denklemi kullanarak ortadan kaldırırız. X 3. ve sonraki tüm denklemlerden 2. Bu süreç adı verilir doğrudan Gauss yöntemi, son denklemin sol tarafında tek bir bilinmeyen kalana kadar devam eder xn. Bundan sonra yapılır Gauss yönteminin tersi– son denklemi çözerek şunu buluruz: xn; bundan sonra, bu değeri kullanarak hesapladığımız sondan bir önceki denklemden xn–1 vb. Sonuncuyu buluyoruz Xİlk denklemden 1.
Gauss dönüşümlerini, denklemlerin kendisiyle değil, katsayılarının matrisleri ile dönüşümler gerçekleştirerek gerçekleştirmek uygundur. Matrisi düşünün:
isminde sistemin genişletilmiş matrisi,çünkü sistemin ana matrisine ek olarak bir de serbest terimler sütunu içerir. Gauss yöntemi, sistemin genişletilmiş matrisinin temel satır dönüşümlerini (!) kullanarak sistemin ana matrisini üçgen forma (veya kare olmayan sistemlerde yamuk forma) indirgemeye dayanır.
Örnek 5.1. Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve ilk satırı kullanarak ardından kalan elemanları sıfırlayacağız:
ilk sütunun 2., 3. ve 4. satırlarında sıfırlar alıyoruz:
Şimdi 2. satırın altındaki ikinci sütundaki tüm elemanların sıfıra eşit olmasına ihtiyacımız var. Bunun için ikinci satırı –4/7 ile çarpıp 3. satıra ekleyebilirsiniz. Ancak kesirlerle uğraşmamak için ikinci sütunun 2. satırında bir birim oluşturalım ve sadece
Şimdi üçgen bir matris elde etmek için 3. sütunun dördüncü satırının elemanını sıfırlamanız gerekir; bunun için üçüncü satırı 8/54 ile çarpıp dördüncüye ekleyebilirsiniz. Ancak kesirlerle uğraşmamak için 3. ve 4. satırları ve 3. ve 4. sütunları değiştireceğiz ve ancak bundan sonra belirtilen elemanı sıfırlayacağız. Sütunları yeniden düzenlerken karşılık gelen değişkenlerin yer değiştirdiğini ve bunun hatırlanması gerektiğini unutmayın; sütunlarla diğer temel dönüşümler (bir sayıyla toplama ve çarpma) gerçekleştirilemez!
Son basitleştirilmiş matris, orijinaline eşdeğer bir denklem sistemine karşılık gelir:
Buradan Gauss yönteminin tersini kullanarak dördüncü denklemi buluruz. X 3 = –1; üçüncüden X 4 = –2, ikinciden itibaren X 2 = 2 ve ilk denklemden X 1 = 1. Matris formunda cevap şu şekilde yazılır:
Sistemin kesin olduğu durumu değerlendirdik, yani. tek bir çözüm olduğunda. Bakalım sistem tutarsız veya belirsiz olursa ne olacak?
Örnek 5.2. Gauss yöntemini kullanarak sistemi keşfedin:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıp dönüştürüyoruz
Basitleştirilmiş bir denklem sistemi yazıyoruz:
Burada son denklemde 0=4 olduğu ortaya çıkıyor, yani. çelişki. Sonuç olarak sistemin bir çözümü yoktur, yani. o uyumsuz. à
Örnek 5.3. Gauss yöntemini kullanarak sistemi keşfedin ve çözün:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve dönüştürüyoruz:
Dönüşümler sonucunda son satırda yalnızca sıfırlar yer alıyor. Bu, denklem sayısının bir azaldığı anlamına gelir:
Böylece basitleştirmelerden sonra geriye iki denklem ve dört bilinmeyen kalıyor; iki bilinmeyen "ekstra". Bırakın "gereksiz" olsunlar, ya da dedikleri gibi, serbest değişkenler, irade X 3 ve X 4. Daha sonra
İnanmak X 3 = 2A Ve X 4 = B, alıyoruz X 2 = 1–A Ve X 1 = 2B–A; veya matris formunda
Bu şekilde yazılan çözüme denir genelçünkü parametreleri vermek A Ve B Farklı değerler, sistemin tüm olası çözümlerini tanımlayabilir. A
16. ve 18. yüzyılların başlarından bu yana matematikçiler yoğun bir şekilde fonksiyonları incelemeye başladılar ve bu sayede hayatımızda pek çok şey değişti. Bu bilgi olmadan bilgisayar teknolojisi var olamazdı. Karmaşık problemleri, doğrusal denklemleri ve fonksiyonları çözmek için çeşitli kavramlar, teoremler ve çözüm teknikleri oluşturulmuştur. Doğrusal denklemleri ve sistemlerini çözmek için kullanılan evrensel ve rasyonel yöntem ve tekniklerden biri de Gauss yöntemiydi. Matrisler, sıralamaları, determinantları - her şey karmaşık işlemler kullanılmadan hesaplanabilir.
SLAU nedir?
Matematikte, doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem olan SLAE kavramı vardır. O nasıl biri? Bu, genellikle x, y, z veya x 1, x 2 ... x n veya diğer sembollerle gösterilen, gerekli n bilinmeyen niceliğe sahip m denklem kümesidir. Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmek, tüm bilinmeyen bilinmeyenleri bulmak anlamına gelir. Eğer bir sistem aynı sayıda bilinmeyene ve denkleme sahipse buna n'inci dereceden sistem denir.
SLAE'leri çözmek için en popüler yöntemler
Ortaöğretimin eğitim kurumlarında bu tür sistemleri çözmek için çeşitli yöntemler incelenmektedir. Çoğu zaman bunlar iki bilinmeyenden oluşan basit denklemlerdir, dolayısıyla bunlara cevap bulmak için mevcut herhangi bir yöntem fazla zaman almayacaktır. Bu, bir denklemden bir başkasının türetildiği ve orijinaline ikame edildiği bir ikame yöntemine benzeyebilir. Veya terim terim çıkarma ve toplama yöntemi. Ancak Gauss yöntemi en kolay ve en evrensel yöntem olarak kabul edilir. Herhangi bir sayıda bilinmeyen içeren denklemlerin çözülmesini mümkün kılar. Bu özel teknik neden rasyonel kabul ediliyor? Çok basit. Matris yönteminin iyi yanı, gereksiz sembollerin bilinmeyenler olarak birkaç kez yeniden yazılmasını gerektirmemesidir; katsayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmanız yeterlidir - ve güvenilir bir sonuç elde edersiniz.
SLAE'ler pratikte nerede kullanılır?
SLAE'lerin çözümü, fonksiyonların grafiklerindeki doğruların kesişme noktalarıdır. Yüksek teknolojili bilgisayar çağımızda, oyunların ve diğer programların geliştirilmesiyle yakından ilgilenen kişilerin bu tür sistemleri nasıl çözeceklerini, neyi temsil edeceklerini ve ortaya çıkan sonucun doğruluğunu nasıl kontrol edeceklerini bilmeleri gerekiyor. Çoğu zaman programcılar, bir doğrusal denklem sistemi de içeren özel doğrusal cebir hesap makinesi programları geliştirirler. Gauss yöntemi mevcut tüm çözümleri hesaplamanıza olanak tanır. Diğer basitleştirilmiş formüller ve teknikler de kullanılmaktadır.
SLAU uyumluluk kriteri
Böyle bir sistem ancak uyumlu olması durumunda çözülebilir. Açıklık sağlamak için SLAE'yi Ax=b formunda temsil edelim. Rang(A), rang(A,b)'ye eşitse bir çözümü vardır. Bu durumda (A,b), A matrisinden serbest terimlerle yeniden yazılarak elde edilebilecek genişletilmiş formlu bir matristir. Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklemleri çözmenin oldukça kolay olduğu ortaya çıktı.
Belki bazı semboller tam olarak net değildir, bu yüzden her şeyi bir örnekle ele almak gerekir. Diyelim ki şöyle bir sistem var: x+y=1; 2x-3y=6. Sadece 2 bilinmeyenin olduğu iki denklemden oluşur. Sistem ancak matrisinin rütbesi genişletilmiş matrisin rütbesine eşitse bir çözüme sahip olacaktır. Rütbe nedir? Bu, sistemin bağımsız hatlarının sayısıdır. Bizim durumumuzda matrisin rütbesi 2'dir. A matrisi bilinmeyenlerin yakınında bulunan katsayılardan oluşacaktır ve “=” işaretinin arkasında yer alan katsayılar da genişletilmiş matrise sığacaktır.
SLAE'ler neden matris biçiminde temsil edilebilir?
Kanıtlanmış Kronecker-Capelli teoremine göre uyumluluk kriterine dayanarak, bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde temsil edilebilir. Gauss basamaklama yöntemini kullanarak matrisi çözebilir ve tüm sistem için tek bir güvenilir cevap alabilirsiniz. Sıradan bir matrisin sıralaması, genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse ancak bilinmeyenlerin sayısından azsa, sistemin sonsuz sayıda cevabı vardır.
Matris dönüşümleri
Matrisleri çözmeye geçmeden önce, onların elemanları üzerinde hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini bilmeniz gerekir. Birkaç temel dönüşüm vardır:
- Sistemi matris formunda yeniden yazıp çözerek serinin tüm elemanlarını aynı katsayı ile çarpabilirsiniz.
- Matrisin kanonik forma dönüştürülmesi için iki paralel satırın yerini değiştirebilirsiniz. Kanonik form, ana köşegen boyunca yer alan tüm matris elemanlarının bir, geri kalanların ise sıfır olduğunu ifade eder.
- Matrisin paralel sıralarının karşılık gelen elemanları birbirine eklenebilir.
Jordan-Gauss yöntemi
Gauss yöntemini kullanarak doğrusal homojen ve homojen olmayan denklem sistemlerini çözmenin özü, bilinmeyenleri kademeli olarak ortadan kaldırmaktır. Diyelim ki iki bilinmeyenin olduğu iki denklemli bir sistemimiz var. Bunları bulmak için sistemin uyumluluğunu kontrol etmeniz gerekir. Denklem Gauss yöntemiyle çok basit bir şekilde çözülür. Her bilinmeyenin yakınında bulunan katsayıları matris formunda yazmak gerekir. Sistemi çözmek için genişletilmiş matrisi yazmanız gerekecektir. Denklemlerden biri daha az sayıda bilinmeyen içeriyorsa eksik elemanın yerine “0” konulmalıdır. Bilinen tüm dönüştürme yöntemleri matrise uygulanır: çarpma, bir sayıya bölme, serinin karşılık gelen elemanlarını birbirine ekleme ve diğerleri. Her satırda bir değişkenin "1" değerinde bırakılması gerektiği, geri kalanının sıfıra ayarlanması gerektiği ortaya çıktı. Daha kesin bir anlayış için Gauss yöntemini örneklerle ele almak gerekir.
2x2 sistemini çözmenin basit bir örneği
Başlangıç olarak, 2 bilinmeyenin olacağı basit bir cebirsel denklem sistemini ele alalım.
Bunu genişletilmiş bir matriste yeniden yazalım.
Bu doğrusal denklem sistemini çözmek için yalnızca iki işlem gereklidir. Ana köşegen boyunca birer tane olacak şekilde matrisi kanonik forma getirmemiz gerekiyor. Böylece matris formundan sisteme geri dönersek, 1x+0y=b1 ve 0x+1y=b2 denklemlerini elde ederiz; burada b1 ve b2, çözüm sürecinde ortaya çıkan yanıtlardır.
- Genişletilmiş bir matrisi çözerken ilk eylem şu olacaktır: ikinci denklemdeki bir bilinmeyenden kurtulmak için ilk satırın -7 ile çarpılması ve ikinci satıra karşılık gelen elemanların eklenmesi gerekir.
- Denklemlerin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi, matrisin kanonik forma indirgenmesini içerdiğinden, aynı işlemleri birinci denklem için de yapmak ve ikinci değişkeni çıkarmak gerekir. Bunu yapmak için ikinci satırı birinciden çıkarırız ve gerekli cevabı - SLAE'nin çözümünü - alırız. Veya şekilde görüldüğü gibi ikinci satırı -1 katıyla çarpıp ikinci satırın elemanlarını birinci satıra ekliyoruz. Aynı şey.
Görüldüğü üzere sistemimiz Jordan-Gauss metodu ile çözülmüştür. İstenilen biçimde yeniden yazıyoruz: x=-5, y=7.
3x3 SLAE çözümü örneği
Daha karmaşık bir doğrusal denklem sistemimiz olduğunu varsayalım. Gauss yöntemi, en kafa karıştırıcı görünen sistemin bile cevabını hesaplamayı mümkün kılar. Bu nedenle hesaplama metodolojisini daha derinlemesine incelemek için üç bilinmeyenli daha karmaşık bir örneğe geçebilirsiniz.
Önceki örnekte olduğu gibi sistemi genişletilmiş matris formunda yeniden yazıp kanonik formuna getirmeye başlıyoruz.
Bu sistemi çözmek için önceki örnekte olduğundan çok daha fazla işlem yapmanız gerekecektir.
- Öncelikle ilk sütunu bir birim eleman ve geri kalanını sıfır yapmanız gerekir. Bunu yapmak için ilk denklemi -1 ile çarpın ve ikinci denklemi buna ekleyin. İlk satırı orijinal haliyle, ikincisini değiştirilmiş biçimde yeniden yazdığımızı hatırlamak önemlidir.
- Daha sonra, üçüncü denklemden aynı ilk bilinmeyeni çıkarıyoruz. Bunu yapmak için ilk satırın elemanlarını -2 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin. Şimdi birinci ve ikinci satırlar orijinal hallerinde ve üçüncü satırlarda değişikliklerle yeniden yazılıyor. Sonuçtan da görebileceğiniz gibi matrisin ana köşegeninin başındaki birinciyi ve kalan sıfırları elde ettik. Birkaç adım daha attığınızda Gauss yöntemine göre denklem sistemi güvenilir bir şekilde çözülecektir.
- Artık satırların diğer öğeleri üzerinde işlem yapmanız gerekiyor. Üçüncü ve dördüncü eylemler tek bir eylemde birleştirilebilir. Köşegendeki eksilerden kurtulmak için ikinci ve üçüncü satırları -1'e bölmemiz gerekiyor. Zaten üçüncü satırı gerekli forma getirdik.
- Daha sonra ikinci satırı kanonik forma getiriyoruz. Bunun için üçüncü satırın elemanlarını -3 ile çarpıp matrisin ikinci satırına ekliyoruz. Sonuçtan ikinci satırın da ihtiyacımız olan forma indirgendiği açıktır. Geriye birkaç işlem daha yapmak ve bilinmeyenlerin katsayılarını ilk satırdan çıkarmak kalıyor.
- Bir satırın ikinci elemanından 0 elde etmek için üçüncü satırı -3 ile çarpıp ilk satıra eklemeniz gerekir.
- Bir sonraki belirleyici adım, ikinci sıranın gerekli elemanlarını ilk sıraya eklemek olacaktır. Bu şekilde matrisin kanonik formunu ve buna bağlı olarak cevabı elde ederiz.
Gördüğünüz gibi Gauss yöntemini kullanarak denklemleri çözmek oldukça basittir.
4x4 denklem sistemini çözme örneği
Bazı daha karmaşık denklem sistemleri, bilgisayar programları kullanılarak Gauss yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bilinmeyenler için katsayıların mevcut boş hücrelere girilmesi gerekir ve programın kendisi, her eylemi ayrıntılı olarak açıklayarak gerekli sonucu adım adım hesaplayacaktır.
Böyle bir örneği çözmek için adım adım talimatlar aşağıda açıklanmaktadır.
İlk adımda boş hücrelere bilinmeyenler için serbest katsayılar ve sayılar girilir. Böylece manuel olarak yazdığımız genişletilmiş matrisin aynısını elde ederiz.
Ve genişletilmiş matrisi kanonik formuna getirmek için gerekli tüm aritmetik işlemler gerçekleştirilir. Bir denklem sisteminin cevabının her zaman tam sayılar olmadığını anlamak gerekir. Bazen çözüm kesirli sayılardan olabilir.
Çözümün doğruluğunun kontrol edilmesi
Jordan-Gauss yöntemi sonucun doğruluğunu kontrol etmeyi sağlar. Katsayıların doğru hesaplanıp hesaplanmadığını bulmak için sonucu orijinal denklem sistemine koymanız yeterlidir. Denklemin sol tarafı eşittir işaretinin arkasındaki sağ tarafla eşleşmelidir. Cevaplar eşleşmiyorsa, sistemi yeniden hesaplamanız veya sizin bildiğiniz SLAE'leri çözmek için ikame veya terim bazında çıkarma ve toplama gibi başka bir yöntem uygulamaya çalışmanız gerekir. Sonuçta matematik çok sayıda farklı çözüm yöntemine sahip bir bilimdir. Ancak unutmayın: Hangi çözüm yöntemini kullanırsanız kullanın sonuç her zaman aynı olmalıdır.
Gauss yöntemi: SLAE'leri çözerken en yaygın hatalar
Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, çoğu zaman katsayıların matris formuna yanlış aktarılması gibi hatalar meydana gelir. Denklemlerden birinde bazı bilinmeyenlerin eksik olduğu ve verileri genişletilmiş bir matrise aktarırken bunların kaybolabileceği sistemler vardır. Sonuç olarak bu sistemi çözerken sonuç gerçek sonuçla örtüşmeyebilir.
Bir diğer büyük hata, nihai sonucun yanlış yazılması olabilir. İlk katsayının sistemden ilk bilinmeyene, ikincisinin ikinciye vb. karşılık geleceğini açıkça anlamak gerekir.
Gauss yöntemi, doğrusal denklemlerin çözümünü ayrıntılı olarak açıklar. Bu sayede gerekli işlemleri yapmak ve doğru sonucu bulmak kolaydır. Ayrıca bu, her türlü karmaşıklıktaki denklemlere güvenilir bir yanıt bulmak için evrensel bir araçtır. Belki de SLAE'leri çözerken bu kadar sık kullanılmasının nedeni budur.
Burada bir doğrusal denklem sistemini ücretsiz çözebilirsiniz Gauss yöntemi çevrimiçiçok detaylı bir çözümle karmaşık sayılarda büyük boyutlar. Hesap makinemiz, sonsuz sayıda çözümü olan Gauss yöntemiyle hem olağan belirli hem de belirsiz doğrusal denklem sistemlerini çevrimiçi olarak çözebilir. Bu durumda, cevapta bazı değişkenlerin diğer serbest değişkenlere bağımlılığını alacaksınız. Gauss çözümünü kullanarak denklem sisteminin tutarlılığını çevrimiçi olarak da kontrol edebilirsiniz.
Yöntem hakkında
Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çevrimiçi çözerken aşağıdaki adımlar gerçekleştirilir.
- Genişletilmiş matrisi yazıyoruz.
- Aslında çözüm Gauss yönteminin ileri ve geri adımlarına bölünmüştür. Gauss yönteminin doğrudan adımı, bir matrisin aşamalı forma indirgenmesidir. Gauss yönteminin tersi, bir matrisin özel bir adım adım forma indirgenmesidir. Ancak pratikte, söz konusu öğenin hem üstünde hem de altında bulunanları hemen sıfırlamak daha uygundur. Hesap makinemiz tam olarak bu yaklaşımı kullanıyor.
- Gauss yöntemini kullanarak çözerken, matriste sıfır OLMAYAN bir sağ tarafa sahip en az bir sıfır satırın (serbest terimler sütunu) varlığının sistemin uyumsuzluğunu gösterdiğine dikkat etmek önemlidir. Bu durumda doğrusal sistemin çözümü mevcut değildir.
Gauss algoritmasının çevrimiçi olarak nasıl çalıştığını en iyi şekilde anlamak için herhangi bir örnek girin, “çok ayrıntılı çözüm”ü seçin ve çözümünü çevrimiçi olarak görüntüleyin.
Doğrusal cebirsel sistemleri çözmenin evrensel ve etkili yöntemlerinden biri Gauss yöntemi bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.
İki sistemin çağrıldığını hatırlayın eş değer (eşdeğer) eğer çözümlerinin kümeleri çakışıyorsa. Başka bir deyişle, sistemlerden birinin çözümü diğerinin çözümü ise veya tam tersi ise sistemler eşdeğerdir. Eşdeğer sistemler şu durumlarda elde edilir: temel dönüşümler sistemin denklemleri:
denklemin her iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;
bir denkleme, başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarının sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi;
iki denklemin yeniden düzenlenmesi.
Bir denklem sistemi verilsin
Bu sistemin Gauss yöntemi kullanılarak çözülmesi süreci iki aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada (doğrudan hareket), temel dönüşümleri kullanan sistem şuna indirgenir: adım adım , veya üçgen şeklindedir ve ikinci aşamada (tersi), son değişken sayısından başlayarak, ortaya çıkan adım sisteminden bilinmeyenlerin belirlenmesi sıralıdır.
Bu sistemin katsayısının 
aksi takdirde sistemde ilk satır başka herhangi bir satırla değiştirilebilir, böylece katsayı 
sıfırdan farklıydı.
Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak sistemi dönüştürelim 
İlki hariç tüm denklemlerde. Bunu yapmak için ilk denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: 
ve sistemin ikinci denklemiyle terim terim ekleyin. Daha sonra ilk denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: 
ve bunu sistemin üçüncü denklemine ekleyin. Bu işleme devam ederek eşdeğer sistemi elde ediyoruz.
Burada 
– ilk adımdan sonra elde edilen yeni katsayı değerleri ve serbest terimler.
Benzer şekilde, ana unsur göz önüne alındığında 
, bilinmeyenleri hariç tut 
Birinci ve ikinci hariç sistemin tüm denklemlerinden. Bu süreci mümkün olduğu kadar devam ettirelim ve sonuç olarak adım adım bir sistem elde edeceğiz.
,
Nerede 
,
,…,
– sistemin ana unsurları 
.
Sistemi aşamalı bir forma indirgeme sürecinde denklemler, yani formun eşitlikleri ortaya çıkarsa 
, herhangi bir sayı kümesi tarafından karşılandıkları için atılırlar 
. 
Eğer
Çözümü olmayan bir denklem ortaya çıkarsa, bu sistemin uyumsuzluğunu gösterir. 
Ters vuruş sırasında, ilk bilinmeyen, dönüştürülmüş adım sisteminin son denkleminden ifade edilir. 
diğer tüm bilinmeyenler aracılığıyla bunlara denir
.
özgür 
Daha sonra değişken ifadesi 
sistemin son denkleminden sondan bir önceki denkleme ikame edilir ve değişken bundan ifade edilir 
. Değişkenler benzer şekilde sırayla tanımlanır 
. Değişkenler Serbest değişkenlerle ifade edilenlere denir
temel
(bağımlı). Sonuç, doğrusal denklem sisteminin genel bir çözümüdür. Bulmak için
özel çözüm 
sistemler, ücretsiz bilinmiyor 
.
genel çözümde isteğe bağlı değerler atanır ve değişkenlerin değerleri hesaplanır
.
Sistem denklemlerinin kendisini değil, sistemin genişletilmiş matrisini temel dönüşümlere tabi tutmak teknik olarak daha uygundur. 
Gauss yöntemi, yalnızca kareyi değil aynı zamanda bilinmeyenlerin sayısının olduğu dikdörtgen sistemleri de çözmenize olanak tanıyan evrensel bir yöntemdir. 
.
Bu yöntemin avantajı aynı zamanda, genişletilmiş matrisi verdikten sonra, çözme sürecinde sistemi uyumluluk açısından eşzamanlı olarak incelememizdir. 
adım adım oluşturmak için matrisin sıralarını belirlemek kolaydır 
ve genişletilmiş matris 
ve uygula Kronecker-Capelli teoremi
.
Örnek 2.1 Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün
Çözüm. Denklem sayısı 
ve bilinmeyenlerin sayısı 
.
Matrisin sağına katsayılar atayarak sistemin genişletilmiş matrisini oluşturalım. 
ücretsiz üyeler sütunu 
.
Matris'i sunalım 
üçgen bir görünüme; Bunu yapmak için temel dönüşümleri kullanarak ana köşegendeki elemanların altında “0” elde edeceğiz.
İlk sütunun ikinci konumundaki "0"ı elde etmek için ilk satırı (-1) ile çarpıp ikinci satıra ekleyin.
Bu dönüşümü ilk satırın karşısına (-1) rakamı olarak yazıp, birinci satırdan ikinci satıra giden bir okla gösteriyoruz.
İlk sütunun üçüncü konumunda "0" elde etmek için ilk satırı (-3) ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin; Bu eylemi birinci satırdan üçüncü satıra giden bir ok kullanarak gösterelim.
.
Sonuçta ortaya çıkan matris zincirinde ikinci olarak yazılan matriste üçüncü sıradaki ikinci sütunda “0” elde ederiz. Bunun için ikinci satırı (-4) ile çarpıp üçüncüye ekledik. Ortaya çıkan matriste ikinci satırı (-1) ile çarpın ve üçüncüyü (-8)'e bölün. Bu matrisin köşegen elemanlarının altında bulunan tüm elemanları sıfırdır.
Çünkü , sistem işbirliğine dayalıdır ve tanımlanmıştır.
Son matrise karşılık gelen denklem sistemi üçgen bir forma sahiptir:
Son (üçüncü) denklemden 
. İkinci denklemde yerine koyarız ve 
.
Hadi değiştirelim 
Ve 
ilk denklemde şunu buluruz: 
.