En küçük ortak katı bulmanın üç yoluna bakalım.
Çarpanlara ayırma yoluyla bulma
İlk yöntem, verilen sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.
Diyelim ki 99, 30 ve 28 sayılarının LCM'sini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için bu sayıların her birini asal çarpanlara ayıralım:
İstenilen sayının 99, 30 ve 28'e bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarını içermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak için bu sayıların tüm asal çarpanlarını mümkün olan en büyük kuvvete alıp bunları birbiriyle çarpmamız gerekir:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Dolayısıyla LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860'tan küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28'e bölünemez.
Verilen sayıların en küçük ortak katını bulmak için, bunları asal çarpanlarına ayırırsınız, ardından her asal çarpanı göründüğü en büyük üsle alırsınız ve bu çarpanları birbiriyle çarparsınız.
Nispeten asal sayıların ortak asal çarpanları bulunmadığından en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin üç sayı: 20, 49 ve 33 aralarında asaldır. Bu yüzden
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Çeşitli asal sayıların en küçük ortak katını bulurken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Seçime göre bulma
İkinci yöntem ise seçim yaparak en küçük ortak katı bulmaktır.
Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü verilen başka bir sayıya bölündüğünde, bu sayıların LCM'si en büyüğüne eşittir. Örneğin dört sayı verilmiştir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a bölünebilir, dolayısıyla:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Diğer durumlarda en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:
- Verilen sayılardan en büyük sayıyı belirleyiniz.
- Daha sonra en büyük sayının katları olan sayıları artan sırada doğal sayılarla çarparak buluyoruz ve elde edilen çarpımın kalan sayılara bölünüp bölünemediğini kontrol ediyoruz.
Örnek 2. 24, 3 ve 18 olmak üzere üç sayı verilmiştir. Bunların en büyüğünü belirleriz - bu 24 sayısıdır. Daha sonra, her birinin 18 ve 3'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederek 24'ün katları olan sayıları buluruz:
24 · 1 = 24 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.
24 · 2 = 48 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.
24 · 3 = 72 - 3 ve 18'e bölünebilir.
Böylece LCM (24, 3, 18) = 72 olur.
LCM'yi sırayla bularak bulma
Üçüncü yöntem, LCM'yi sırayla bularak en küçük ortak katı bulmaktır.
Verilen iki sayının LCM'si, bu sayıların çarpımının en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.
Örnek 1. Verilen iki sayının LCM'sini bulun: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu sayıları çarpın:
Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:
Böylece LCM (12, 8) = 24 olur.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:
- Öncelikle bu sayılardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
- Daha sonra bulunan en küçük ortak katın ve verilen üçüncü sayının LCM'si.
- Daha sonra, elde edilen en küçük ortak katın ve dördüncü sayının LCM'si vb.
- Böylece LCM arayışı sayılar olduğu sürece devam eder.
Örnek 2. Verilen üç sayının LCM'sini bulalım: 12, 8 ve 9. Önceki örnekte 12 ve 8 sayılarının LCM'sini zaten bulduk (bu 24 sayısıdır). Geriye 24 sayısının ve verilen üçüncü sayının - 9'un en küçük ortak katını bulmak kalır. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBE (24, 9) = 3. LCM'yi 9 sayısıyla çarpın:
Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:
Böylece LCM (12, 8, 9) = 72 olur.
Ortaokul 5. sınıfta “Çoklu Sayılar” konusu işleniyor. Amacı yazılı ve sözlü matematiksel hesaplama becerilerini geliştirmektir. Bu derste yeni kavramlar tanıtılıyor - “katlı sayılar” ve “bölenler”, bir doğal sayının bölenlerini ve katlarını bulma tekniği ve LCM'yi çeşitli yollarla bulma yeteneği uygulanmaktadır.
Bu konu çok önemlidir. Kesirli örnekleri çözerken bu bilgi uygulanabilir. Bunu yapmak için en küçük ortak katı (LCM) hesaplayarak ortak paydayı bulmanız gerekir.
A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir tamsayıdır.
Her doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. Kendisi en küçük olarak kabul edilir. Kat, sayının kendisinden küçük olamaz.
125 sayısının 5 sayısının katı olduğunu kanıtlamanız gerekiyor. Bunun için ilk sayıyı ikinciye bölmeniz gerekiyor. 125, 5'e kalansız bölünüyorsa cevap evettir.
Bu yöntem küçük sayılar için geçerlidir.
LOC hesaplanırken özel durumlar vardır.
1. Biri (80) diğerine (20) bölünebilen 2 sayının (örneğin 80 ve 20) ortak katını bulmanız gerekiyorsa, bu sayı (80) bunların en küçük katıdır. iki sayı.
LCM(80, 20) = 80.
2. Eğer ikisinin ortak böleni yoksa, onların LCM'lerinin bu iki sayının çarpımı olduğunu söyleyebiliriz.
LCM(6, 7) = 42.
Son örneğe bakalım. 6 ve 7'nin 42 ile ilişkisi bölenlerdir. Bir sayının katlarını kalansız bölerler.
Bu örnekte 6 ve 7 eşleştirilmiş faktörlerdir. Çarpımları en çok çarpan sayıya (42) eşittir.
Bir sayı yalnızca kendisine veya 1'e (3:1=3; 3:3=1) bölünebiliyorsa asal sayı olarak adlandırılır. Geri kalanına kompozit denir.
Başka bir örnek, 9'un 42'nin böleni olup olmadığının belirlenmesini içerir.
42:9=4 (kalan 6)
Cevap: 9, 42'nin böleni değildir çünkü cevabın bir kalanı vardır.
Bölen, doğal sayıların bölündüğü sayı olması ve katın kendisinin de bu sayıya bölünebilmesi açısından bir çokludan farklıdır.
Sayıların en büyük ortak böleni A Ve B, en küçük katlarıyla çarpıldığında sayıların çarpımını verir A Ve B.
Yani: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Daha karmaşık sayıların ortak katları aşağıdaki şekilde bulunur.
Örneğin 168, 180, 3024'ün LCM'sini bulun.
Bu sayıları asal çarpanlara ayırıp kuvvetlerin çarpımı olarak yazıyoruz:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
İkinci sayı: b=
Bin ayırıcı Boşluk ayırıcı olmadan "'
Sonuç:
En büyük ortak bölen GCD( A,B)=6
LCM'nin en küçük ortak katı( A,B)=468
a ve b sayılarına kalansız bölünebilen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak böleni(GCD) bu sayıların. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) veya hcf(a,b) ile gösterilir.
En küçük ortak Katİki a ve b tam sayısının LCM'si, a ve b'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. LCM(a,b) veya lcm(a,b) ile gösterilir.
a ve b tam sayılarına denir karşılıklı olarak asal+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.
En büyük ortak böleni
İki pozitif sayı verilsin A 1 ve A 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekiyor yani. böyle bir numara bul λ sayıları bölen A 1 ve A 2 aynı anda. Algoritmayı açıklayalım.
1) Bu yazıda sayı kelimesi tam sayı olarak anlaşılacaktır.
İzin vermek A 1 ≥ A 2 ve izin ver
Nerede M 1 , A 3 bazı tam sayılardır, A 3 <A 2 (bölmenin geri kalanı A başına 1 A 2 daha az olmalı A 2).
Öyleymiş gibi yapalım λ böler A 1 ve A 2 o zaman λ böler M 1 A 2 ve λ böler A 1 −M 1 A 2 =A 3 ("Sayıların bölünebilirliği. Bölünebilirlik testi" makalesinin 2. ifadesi). Buradan her ortak bölenin A 1 ve A 2 ortak bölendir A 2 ve A 3. Bunun tersi de geçerliyse λ ortak bölen A 2 ve A 3 o zaman M 1 A 2 ve A 1 =M 1 A 2 +A 3 de bölünebilir λ . Bu nedenle ortak bölen A 2 ve A 3 aynı zamanda bir ortak bölendir A 1 ve A 2. Çünkü A 3 <A 2 ≤A 1 ise sayıların ortak bölenini bulma probleminin çözümünü söyleyebiliriz. A 1 ve A 2 sayıların ortak bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgenmiştir A 2 ve A 3 .
Eğer A 3 ≠0 ise bölebiliriz A 2 açık A 3. Daha sonra
,
Nerede M 1 ve A 4 bazı tam sayılardır, ( A Bölmeden kalan 4 A 2 açık A 3 (A 4 <A 3)). Benzer akıl yürütmeyle sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. A 3 ve A 4, sayıların ortak bölenleriyle çakışır A 2 ve A 3 ve ayrıca ortak bölenlerle A 1 ve A 2. Çünkü A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sürekli azalan sayılardır ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğundan A 2 ve 0, sonra bir adımda N, bölümün geri kalanı A hayır A n+1 sıfıra eşit olacaktır ( A n+2 =0).
.
Her ortak bölen λ sayılar A 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların bölenidir A 2 ve A 3 , A 3 ve A 4 , .... A n ve A n+1 . Bunun tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri A n ve A n+1 aynı zamanda sayıların bölenleridir A n−1 ve A N , .... , A 2 ve A 3 , A 1 ve A 2. Ancak sayıların ortak böleni A n ve A n+1 bir sayıdır A n+1 çünkü A n ve A n+1 şunlara bölünebilir: A n+1 (unutmayın A n+2 =0). Buradan A n+1 aynı zamanda sayıların bölenidir A 1 ve A 2 .
Numaraya dikkat edin A n+1 sayıların en büyük böleni A n ve A n+1 , en büyük bölenden beri A n+1 kendisidir A n+1 . Eğer A n+1 tam sayıların çarpımı olarak gösterilebilirse bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. A 1 ve A 2. Sayı A n+1 denir en büyük ortak böleni sayılar A 1 ve A 2 .
Sayılar A 1 ve A 2 pozitif ya da negatif sayı olabilir. Sayılardan biri sıfıra eşitse bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımsızdır.
Yukarıdaki algoritma denir Öklid algoritmasıİki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için
İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği
630 ve 434 numaralı iki sayının en büyük ortak bölenini bulun.
- Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Geri kalan 196'dır.
- Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Geri kalan 42 olur.
- Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Geri kalan 28'dir.
- Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Geri kalan 14'tür.
- Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Geri kalan 0'dır.
5. adımda bölmeden kalan 0 olur. Dolayısıyla 630 ve 434 sayılarının en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7 sayılarının aynı zamanda 630 ve 434 sayılarının da bölenleri olduğuna dikkat edin.
Eş asal sayılar
Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun A 1 ve A 2 bire eşittir. Daha sonra bu numaralar çağrılır eş asal sayılar, ortak böleni yoktur.
Teorem 1. Eğer A 1 ve A 2 eş asal sayı ve λ bir sayı, ardından sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların ortak bölenidir λ Ve A 2 .
Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını düşünün A 1 ve A 2 (yukarıya bakın).
.
Teoremin koşullarına göre sayıların en büyük ortak böleni şu şekildedir: A 1 ve A 2 ve bu nedenle A n ve A n+1 eşittir 1. Yani A n+1 =1.
Bütün bu eşitlikleri şununla çarpalım: λ , Daha sonra
.
Ortak bölen olsun A 1 λ Ve A 2 evet δ . Daha sonra δ çarpan olarak dahil edilir A 1 λ , M 1 A 2 λ ve A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (santimetre. "Sayıların bölünebilirliği", Açıklama 2). Daha öte δ çarpan olarak dahil edilir A 2 λ Ve M 2 A 3 λ ve bu nedenle bir faktör olarak dahil edilmiştir. A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .
Bu şekilde akıl yürüterek, şuna ikna olduk: δ çarpan olarak dahil edilir A n−1 λ Ve M n−1 A N λ ve bu nedenle A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Çünkü A n+1 =1 ise δ çarpan olarak dahil edilir λ . Bu nedenle sayı δ sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .
Teorem 1'in özel durumlarını ele alalım.
Sonuçlar 1. İzin vermek A Ve C Asal sayılar görecelidir B. Daha sonra onların ürünü AC göre bir asal sayıdır B.
Gerçekten mi. Teorem 1'den AC Ve B aynı ortak bölenlere sahip C Ve B. Ama sayılar C Ve B nispeten basit, yani tek bir ortak böleni var 1. Sonra AC Ve B ayrıca tek bir ortak bölen 1 var. Bu nedenle AC Ve B karşılıklı olarak basit.
Sonuçlar 2. İzin vermek A Ve B eş asal sayılar ve izin ver B böler tamam. Daha sonra B böler ve k.
Gerçekten mi. Onay koşulundan tamam Ve B ortak bir böleni var B. Teorem 1'e göre, B ortak bölen olmalı B Ve k. Buradan B böler k.
Sonuç 1 genelleştirilebilir.
Sonuçlar 3. 1. Sayıları bırakın A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sayıya göre asaldır B. Daha sonra A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.
2. İki satırlık sayılarımız olsun
Öyle ki, birinci serideki her sayı, ikinci serideki her sayının oranında asaldır. Daha sonra ürün
Bu sayıların her birine bölünebilen sayıları bulmanız gerekir.
Bir sayı bölünebiliyorsa A 1, o zaman formu var sa 1 nerede S bir miktar. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni A 1 ve A 2, o zaman
Nerede S 1 bir tam sayıdır. Daha sonra
dır-dir sayıların en küçük ortak katları A 1 ve A 2 .
A 1 ve A 2 aralarında asalsa sayıların en küçük ortak katıdır A 1 ve A 2:
Bu sayıların en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor.
Yukarıdakilerden herhangi bir sayının katları olduğu sonucu çıkar A 1 , A 2 , A 3 sayının katı olmalı ε Ve A 3 ve geri. sayıların en küçük ortak katı olsun ε Ve A 3 evet ε 1. Daha sonra sayıların katları A 1 , A 2 , A 3 , A 4 sayının katı olmalı ε 1 ve A 4. sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve A 4 evet ε 2. Böylece sayıların tüm katlarının olduğunu öğrendik. A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m belirli bir sayının katlarıyla çakışıyor ε n'ye verilen sayıların en küçük ortak katı denir.
Sayıların olduğu özel durumda A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m göreceli olarak asaldır, bu durumda sayıların en küçük ortak katıdır A 1 , AŞekil 2, yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Sonraki, beri A Sayılara göre 3 asal A 1 , A 2 o zaman A 3 asal sayı A 1 · A 2 (Sonuç 1). Sayıların en küçük ortak katı anlamına gelir A 1 ,A 2 ,A 3 bir sayıdır A 1 · A 2 · A 3. Benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki ifadelere ulaşıyoruz.
İfade 1. Eş asal sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m onların çarpımına eşittir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.
İfade 2. Eş asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m aynı zamanda çarpımlarına da bölünebilir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.
“LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler” bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat hakkındaki sohbete devam edelim. Bu konu başlığımızda üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın yollarına bakacağız ve negatif bir sayının LCM'si nasıl bulunur sorusuna bakacağız.
Yandex.RTB R-A-339285-1
GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması
En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurmuştuk. Şimdi GCD aracılığıyla LCM'nin nasıl belirleneceğini öğrenelim. Öncelikle pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.
Tanım 1
LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) formülünü kullanarak en küçük ortak katı en büyük ortak bölenden bulabilirsiniz.
örnek 1
126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.
Çözüm
a = 126, b = 70'i alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için değerleri formüle koyalım.
70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .
LCM'yi hesaplayalım: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Cevap: LCM(126, 70) = 630.
Örnek 2
68 ve 34 sayısını bulun.
Çözüm
Bu durumda GCD'yi bulmak zor değil çünkü 68 34'e bölünebilir. En küçük ortak katı şu formülü kullanarak hesaplayalım: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Cevap: LCM(68, 34) = 68.
Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.
Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma
Şimdi sayıları asal çarpanlara ayırmaya dayanan LCM'yi bulma yöntemine bakalım.
Tanım 2
En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:
- LCM'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal faktörlerinin çarpımını oluştururuz;
- tüm asal faktörleri bunların ortaya çıkan ürünlerinden hariç tutuyoruz;
- ortak asal faktörleri çıkardıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.
En küçük ortak katı bulmanın bu yöntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasına katılan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda, iki sayının gcd'si, verilen iki sayının çarpanlara ayrılmasında aynı anda mevcut olan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.
Örnek 3
75 ve 210 olmak üzere iki sayımız var. Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını oluşturursanız şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.
Hem 3 hem de 5 sayılarının ortak çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir çarpım elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürünümüz 75 ve 210 numaralar için LCM olacaktır.
Örnek 4
Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz.
Çözüm
Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.
Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin çarpımı şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak faktörleri bulalım. Bu 7 numara. Bunu toplam üründen hariç tutalım: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.
Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin başka bir formülasyonunu verelim.
Tanım 3
Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısını hariç tutuyorduk. Şimdi bunu farklı şekilde yapacağız:
- Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
- birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
- iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.
Örnek 5
Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri topluyor 2 Ve 7 Sayılar 210. Şunu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.
Örnek 6
84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.
Çözüm
Koşuldaki sayıları basit çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Çarpıma 2, 2, 3 ve 3 çarpanlarını ekleyelim. 7
sayı 84'te 2, 3, 3 ve 3'ün çarpanları eksik
3
648 numara. Ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.
Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: iki sayının LCM'sini sırayla bulacağız. Bu durum için bir teorem var.
Teorem 1
Tamsayılarımız olduğunu varsayalım a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu sayılar sırasıyla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesaplanarak bulunur.
Şimdi teoremin belirli problemleri çözmek için nasıl uygulanabileceğine bakalım.
Örnek 7
140, 9, 54 ve 4 sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .
Çözüm
Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının OBEB'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını uygulayalım: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 · 9: OBEB (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Dolayısıyla m2 = 1.260.
Şimdi aynı algoritmayı kullanarak hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.
Tek yapmamız gereken m4 = LCM (m3, a 4) = LCM (3 780, 250) hesaplamaktır. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.
Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.
Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça emek yoğun. Zamandan tasarruf etmek için başka bir yola gidebilirsiniz.
Tanım 4
Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:
- tüm sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz;
- birinci sayının çarpanlarının çarpımına ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekliyoruz;
- önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının vb. eksik faktörlerini ekliyoruz;
- ortaya çıkan çarpım, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.
Örnek 8
84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmanız gerekiyor.
Çözüm
Beş sayının tümünü asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal sayılar yani 7 sayısı asal faktörlere dahil edilemez. Bu sayılar asal faktörlere ayrıştırılmalarıyla örtüşmektedir.
Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alıp bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle bunları atlıyoruz.
Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. Asal çarpanları 2 ile 2'nin çarpımından aldığımız 48 sayısına geçelim. Daha sonra dördüncü sayıdan 7'nin asal çarpanını ve beşincinin 11 ve 13'ünün çarpanlarını toplarız. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.
Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma
Negatif sayıların en küçük ortak katını bulmak için öncelikle bu sayıların ters işaretli sayılar ile değiştirilmesi, ardından yukarıdaki algoritmalar kullanılarak hesaplamaların yapılması gerekir.
Örnek 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ve LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Bu tür eylemlere izin verilir çünkü eğer bunu kabul edersek A Ve - bir– zıt sayılar,
daha sonra bir sayının katları kümesi A bir sayının katları kümesiyle eşleşir - bir.
Örnek 10
Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 Ve − 45 .
Çözüm
Sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirleyerek LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305'i hesaplıyoruz.
Sayıların LCM'sinin -145 olduğunu anlıyoruz ve − 45 eşittir 1 305 .
Cevap: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.