Kuru matematik dilinde kesir, birin parçası olarak temsil edilen bir sayıdır. Kesirler insan yaşamında yaygın olarak kullanılır: Kesirleri mutfak tariflerinde oranları belirtmek, yarışmalarda ondalık puanlar vermek veya mağazalardaki indirimleri hesaplamak için kullanırız.
Kesirlerin gösterimi
Bir kesirli sayıyı yazmanın en az iki biçimi vardır: ondalık biçimde veya sıradan bir kesir biçiminde. Ondalık biçimde sayılar 0,5 gibi görünür; 0,25 veya 1,375. Bu değerlerden herhangi birini sıradan bir kesir olarak temsil edebiliriz:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
Ve 0,5 ve 0,25'i sıradan bir kesirden ondalık sayıya ve geriye kolayca dönüştürürsek, o zaman 1,375 sayısı durumunda her şey açık değildir. Herhangi bir ondalık sayıyı hızlı bir şekilde kesire nasıl dönüştürebilirim? Üç basit yol var.
Virgülden kurtulmak
En basit algoritma, bir sayıyı paydaki virgül kaybolana kadar 10 ile çarpmayı içerir. Bu dönüşüm üç adımda gerçekleştirilir:
1. Adım: Başlangıç olarak ondalık sayıyı “sayı/1” kesri olarak yazıyoruz, yani 0,5/1 elde ediyoruz; 0,25/1 ve 1,375/1.
2. Adım: Bundan sonra yeni kesirlerin pay ve paydasını paylardaki virgül kaybolana kadar çarpın:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
3. Adım: Ortaya çıkan fraksiyonları sindirilebilir bir forma indiriyoruz:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
1.375 sayısını üç kez 10 ile çarpmak gerekiyordu ki bu artık pek kullanışlı değil ama 0.000625 sayısını dönüştürmemiz gerekirse ne yapmamız gerekiyor? Bu durumda kesirleri dönüştürmek için aşağıdaki yöntemi kullanırız.
Virgüllerden kurtulmak daha da kolay
İlk yöntem, ondalık sayıdan virgülün "kaldırılmasına" ilişkin algoritmayı ayrıntılı olarak açıklar, ancak bu süreci basitleştirebiliriz. Yine üç adımı takip ediyoruz.
1. Adım: Virgülden sonra kaç rakam olduğunu sayarız. Örneğin, 1,375 sayısının üç rakamı vardır ve 0,000625 sayısının altı rakamı vardır. Bu miktarı n harfiyle göstereceğiz.
2. Adım: Şimdi kesri C/10 n biçiminde temsil etmemiz gerekiyor; burada C kesirin anlamlı rakamlarıdır (varsa sıfır olmadan) ve n, ondalık noktadan sonraki basamak sayısıdır. Örneğin:
- 1.375 sayısı için C = 1375, n = 3, 1375/103 = 1375/1000 formülüne göre son kesir;
- 0,000625 sayısı için C = 625, n = 6, 625/10 6 = 625/1000000 formülüne göre son kesir.
Temel olarak, 10n, n sıfırlı bir 1'dir, bu nedenle on'un üssünü yükseltmenize gerek yoktur - yalnızca n sıfırlı 1'dir. Bundan sonra, sıfırlar açısından bu kadar zengin bir kesirin azaltılması tavsiye edilir.
3. Adım: Sıfırları azaltıp nihai sonucu elde ederiz:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
11/8 kesri bileşik bir kesirdir çünkü payı paydasından büyüktür, bu da tüm parçayı ayırabileceğimiz anlamına gelir. Bu durumda 8/8'in tamamını 11/8'den çıkarıp kalan 3/8'i elde ederiz, dolayısıyla kesir 1 ve 3/8 gibi görünür.
Kulak yoluyla dönüştürme
Ondalık sayıları doğru okuyabilenler için bunları dönüştürmenin en kolay yolu kulaktır. 0,025'i "sıfır, sıfır, yirmi beş" olarak değil de "binde 25" olarak okursanız ondalık sayıları kesre çevirmede sorun yaşamazsınız.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Böylece, bir ondalık sayıyı doğru okumak, onu hemen kesir olarak yazmanıza ve gerekirse azaltmanıza olanak tanır.
Kesirlerin günlük hayatta kullanımına örnekler
İlk bakışta, sıradan kesirler pratikte günlük yaşamda veya işte kullanılmamaktadır ve okul görevleri dışında ondalık bir kesri normal bir kesire dönüştürmeniz gereken bir durumu hayal etmek zordur. Birkaç örneğe bakalım.
İş
Yani bir şekerci dükkanında çalışıyorsunuz ve helvayı kiloyla satıyorsunuz. Ürünün satışını kolaylaştırmak için helvayı kilogram briketlere bölersiniz, ancak çok az alıcı bir kilogramın tamamını satın almaya hazırdır. Bu nedenle ikramı her seferinde parçalara bölmeniz gerekir. Ve bir sonraki alıcı sizden 0,4 kg helva isterse, ona gerekli kısmı sorunsuzca satarsınız.
0,4 = 4/10 = 2/5
Hayat
Örneğin bir modeli istediğiniz tonda boyamak için %12’lik solüsyon yapmanız gerekiyor. Bunu yapmak için boyayı ve solventi karıştırmanız gerekir, ancak bu nasıl doğru şekilde yapılır? %12, 0,12'lik bir ondalık kesirdir. Sayıyı ortak bir kesre dönüştürün ve şunu elde edin:
0,12 = 12/100 = 3/25
Kesirleri bilmek, malzemeleri doğru şekilde karıştırmanıza ve istediğiniz rengi elde etmenize yardımcı olacaktır.
Çözüm
Kesirler günlük yaşamda yaygın olarak kullanılır; bu nedenle, ondalık sayıları sık sık kesirlere dönüştürmeniz gerekiyorsa, sonucunuzu anında azaltılmış kesir olarak alabilecek bir çevrimiçi hesap makinesi kullanmak isteyeceksiniz.
Kesirlerin olduğunu daha önce söylemiştik. sıradan Ve ondalık. Bu noktada kesirler hakkında biraz bilgi sahibi olduk. Düzenli ve bileşik olmayan kesirlerin olduğunu öğrendik. Ayrıca ortak kesirlerin azaltılabileceğini, eklenebileceğini, çıkarılabileceğini, çarpılabileceğini ve bölünebileceğini de öğrendik. Ayrıca bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşan karışık sayıların olduğunu da öğrendik.
Henüz ortak kesirleri tam olarak keşfetmedik. Tartışılması gereken birçok incelik ve detay var ama bugün çalışmaya başlayacağız ondalık kesirler, çünkü sıradan ve ondalık kesirlerin sıklıkla birleştirilmesi gerekir. Yani problemleri çözerken her iki kesir türünü de kullanmanız gerekir.
Bu ders karmaşık ve kafa karıştırıcı görünebilir. Bu oldukça normaldir. Bu tür derslerin yüzeysel olarak gözden geçirilmesini değil, üzerinde çalışılmasını gerektirir.
Ders içeriğiBüyüklüklerin kesirli biçimde ifade edilmesi
Bazen bir şeyi kesirli biçimde göstermek uygun olur. Örneğin, bir desimetrenin onda biri şu şekilde yazılır:
Bu ifade, bir desimetrenin on parçaya bölündüğü ve bu on parçadan bir parçanın alındığı anlamına gelir:
Şekilde gördüğünüz gibi desimetrenin onda biri bir santimetredir.
Aşağıdaki örneği düşünün. 6 cm ve diğer 3 mm'yi santimetre cinsinden kesirli biçimde gösterin.
Yani 6 cm ve 3 mm'yi santimetre cinsinden ancak kesirli olarak ifade etmeniz gerekiyor. Zaten 6 tam santimetremiz var:
ama hala 3 milimetre kaldı. Bu 3 milimetreyi santimetre cinsinden nasıl gösterebilirim? Kesirler kurtarmaya geliyor. 3 milimetre santimetrenin üçüncü kısmıdır. Ve santimetrenin üçüncü kısmı cm olarak yazılır
Kesir, bir santimetrenin on eşit parçaya bölündüğü ve bu on parçadan üç parçanın (ondan üçü) alındığı anlamına gelir.
Sonuç olarak, elimizde altı tam santimetre ve bir santimetrenin onda üçü var:
Bu durumda 6 tam santimetre sayısını, kesir ise kesirli santimetre sayısını gösterir. Bu kesir şu şekilde okunur "altı virgül üç santimetre".
Paydasında 10, 100, 1000 sayıları bulunan kesirler paydasız yazılabilir. Önce tam kısmı, sonra kesirli kısmın payını yazın. Tamsayı kısmı kesirli kısmın payından virgülle ayrılır.
Mesela payda olmadan yazalım. Bunun için öncelikle parçanın tamamını yazalım. Tamsayı kısmı 6 sayısıdır. Öncelikle bu sayıyı yazıyoruz:
Parçanın tamamı kayıt ediliyor. Tamamını yazdıktan hemen sonra virgül koyuyoruz:
Şimdi kesirli kısmın payını yazıyoruz. Tam sayılarda kesirli kısmın payı 3'tür. Virgülden sonra üç yazıyoruz:
Bu formda temsil edilen herhangi bir sayıya denir ondalık.
Bu nedenle, ondalık kesir kullanarak 6 cm ve 3 mm'yi santimetre cinsinden gösterebilirsiniz:
6,3 cm
Şunun gibi görünecek:
Aslında ondalık sayılar sıradan kesirler ve karışık sayılarla aynıdır. Bu tür kesirlerin özelliği, kesirli kısımlarının paydasının 10, 100, 1000 veya 10000 sayılarını içermesidir.
Karışık bir sayı gibi, ondalık kesrin de bir tamsayı kısmı ve bir kesirli kısmı vardır. Örneğin bir tam sayının tam kısmı 6, kesirli kısmı ise dır.
6.3 ondalık kesirinde tamsayı kısım 6 rakamı, kesirli kısım ise kesrin payı yani 3 rakamıdır.
Ayrıca paydasında 10, 100, 1000 sayılarının tamsayı kısmı olmadan verildiği sıradan kesirler de olur. Örneğin bir kesir tam kısmı olmadan veriliyor. Böyle bir kesri ondalık sayı olarak yazmak için önce 0 yazın, ardından virgül koyup kesrin payını yazın. Paydası olmayan bir kesir aşağıdaki gibi yazılacaktır:
Gibi okur "sıfır nokta beş".
Karışık sayıları ondalık sayılara dönüştürme
Payda olmadan karışık sayılar yazdığımızda onları ondalık kesirlere dönüştürürüz. Kesirleri ondalık sayılara çevirirken bilmeniz gereken birkaç şey var, şimdi bunlardan bahsedeceğiz.
Parçanın tamamı yazıldıktan sonra kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısını saymak gerekir, çünkü kesirli kısmın sıfır sayısı ve ondalık kesirde virgülden sonraki basamak sayısı olmalıdır. Aynı. Bu ne anlama geliyor? Aşağıdaki örneği düşünün:
Başta
Ve kesirli kısmın payını hemen yazabilirsiniz ve ondalık kesir hazırdır, ancak kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısını mutlaka saymanız gerekir.
Yani karışık bir sayının kesirli kısmındaki sıfır sayısını sayıyoruz. Kesirli kısmın paydasında bir sıfır vardır. Bu, ondalık kesirde virgülden sonra bir rakam olacağı ve bu rakamın karışık sayının kesirli kısmının payı yani 2 sayısı olacağı anlamına gelir.
Böylece ondalık kesre dönüştürüldüğünde karışık sayı 3,2 olur.
Bu ondalık kesir şu şekilde okunur:
"Üç nokta iki"
“Onluk” çünkü 10 sayısı bir tam sayının kesirli kısmındadır.
Örnek 2. Karışık bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürün.
Tamamını yazın ve virgül koyun:
Ve kesirli kısmın payını hemen yazabilir ve 5.3 ondalık kesirini elde edebilirsiniz, ancak kural, ondalık noktadan sonra, karışık sayının kesirli kısmının paydasındaki sıfır sayısı kadar rakam olması gerektiğini söylüyor. Ve kesirli kısmın paydasının iki sıfır olduğunu görüyoruz. Bu, ondalık kesirimizin virgülden sonra bir değil iki haneli olması gerektiği anlamına gelir.
Bu gibi durumlarda kesirli kısmın payının biraz değiştirilmesi gerekir: payın önüne, yani 3 rakamının önüne bir sıfır ekleyin.
Artık bu karışık sayıyı ondalık kesre dönüştürebilirsiniz. Tamamını yazın ve virgül koyun:
Ve kesirli kısmın payını yazın:
5.03 ondalık kesri şu şekilde okunur:
"Beş nokta üç"
“Yüzlerce” çünkü karışık bir sayının kesirli kısmının paydası 100 sayısını içerir.
Örnek 3. Karışık bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürün.
Önceki örneklerden, karışık bir sayıyı başarılı bir şekilde ondalık sayıya dönüştürmek için kesrin payındaki basamak sayısı ile paydadaki sıfır sayısının aynı olması gerektiğini öğrendik.
Karışık bir sayıyı ondalık kesre dönüştürmeden önce, kesirli kısmın biraz değiştirilmesi gerekir, yani kesirli kısmın payındaki basamak sayısının ve kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısının eşit olduğundan emin olun. Aynı.
Öncelikle kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısına bakıyoruz. Üç sıfır olduğunu görüyoruz:
Görevimiz kesirli kısmın payındaki üç rakamı düzenlemek. Zaten bir rakamımız var - bu 2 sayısıdır. Geriye iki rakam daha eklemek kalır. İki sıfır olacak. Bunları 2 sayısının önüne ekleyin. Sonuç olarak paydadaki sıfır sayısı ile paydaki rakam sayısı aynı olacaktır:
Artık bu karışık sayıyı ondalık kesre dönüştürmeye başlayabilirsiniz. Öncelikle kısmın tamamını yazıp virgül koyuyoruz:
ve hemen kesirli kısmın payını yazın
3,002
Tam sayının kesirli kısmının paydasındaki virgülden sonraki basamak sayısı ile sıfır sayısının aynı olduğunu görüyoruz.
3.002 ondalık kesri şu şekilde okunur:
"Üç nokta iki binde bir"
“Bininci” çünkü karışık sayının kesirli kısmının paydası 1000 sayısını içeriyor.
Kesirleri ondalık sayılara dönüştürme
Paydası 10, 100, 1000 veya 10000 olan ortak kesirler de ondalık sayılara dönüştürülebilir. Sıradan bir kesrin tam sayı kısmı bulunmadığından önce 0'ı yazıp ardından virgül koyup kesirli kısmın payını yazın.
Burada da paydadaki sıfır sayısı ile paydaki rakam sayısının aynı olması gerekir. Bu nedenle dikkatli olmalısınız.
Örnek 1.
Tamamı eksik olduğundan önce 0 yazıp virgül koyuyoruz:
Şimdi paydadaki sıfırların sayısına bakıyoruz. Bir sıfırın olduğunu görüyoruz. Ve payın bir rakamı var. Bu, virgülden sonra 5 sayısını yazarak ondalık kesir işlemine güvenle devam edebileceğiniz anlamına gelir.
Ortaya çıkan 0,5 ondalık kesirde, virgülden sonraki basamak sayısı ile kesrin paydasındaki sıfır sayısı aynıdır. Bu, kesirin doğru çevrildiği anlamına gelir.
0,5 ondalık kesri şu şekilde okunur:
"Sıfır nokta beş"
Örnek 2. Bir kesri ondalık sayıya dönüştürün.
Bütün bir parça eksik. Önce 0 yazıp virgül koyuyoruz:
Şimdi paydadaki sıfırların sayısına bakıyoruz. İki sıfır olduğunu görüyoruz. Ve payın yalnızca bir rakamı var. Basamak sayısını ve sıfır sayısını aynı yapmak için paya 2 rakamının önüne bir sıfır ekleyin. Daha sonra kesir formunu alacaktır. Artık paydadaki sıfır sayısı ile paydaki rakam sayısı aynıdır. Böylece ondalık kesirlere devam edebilirsiniz:
Ortaya çıkan 0,02 ondalık kesirde, virgülden sonraki basamak sayısı ile kesrin paydasındaki sıfır sayısı aynıdır. Bu, kesirin doğru çevrildiği anlamına gelir.
0,02 ondalık kesri şu şekilde okunur:
"Sıfır nokta iki."
Örnek 3. Bir kesri ondalık sayıya dönüştürün.
0 yazın ve virgül koyun:
Şimdi kesrin paydasındaki sıfır sayısını sayıyoruz. Beş sıfırın olduğunu ve payda sadece bir rakamın olduğunu görüyoruz. Paydadaki sıfır sayısı ile paydaki rakam sayısını aynı yapmak için payda 5 rakamının önüne dört sıfır eklemeniz gerekir:
Artık paydadaki sıfır sayısı ile paydaki rakam sayısı aynıdır. Böylece ondalık kesirle devam edebiliriz. Kesrin payını virgülden sonra yazın
Ortaya çıkan 0,00005 ondalık kesirde, virgülden sonraki basamak sayısı ile kesrin paydasındaki sıfır sayısı aynıdır. Bu, kesirin doğru çevrildiği anlamına gelir.
0,00005 ondalık kesri şu şekilde okunur:
"Sıfır noktası beş yüz binde bir."
Uygunsuz Kesirleri Ondalık Sayılara Dönüştürme
Uygunsuz kesir, payın paydadan büyük olduğu kesirdir. Paydasının 10, 100, 1000 veya 10000 rakamlarını içerdiği uygunsuz kesirler vardır. Bu tür kesirler ondalık sayılara dönüştürülebilir. Ancak ondalık kesire dönüştürmeden önce bu tür kesirlerin tam parçaya ayrılması gerekir.
Örnek 1.
Kesir uygunsuz bir kesirdir. Böyle bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için önce onun tamamını seçmelisiniz. Uygunsuz kesirlerin tamamının nasıl izole edileceğini hatırlayalım. Eğer unuttuysanız, geri dönüp incelemenizi tavsiye ederiz.
Öyleyse, yanlış kesirdeki tüm kısmı vurgulayalım. Kesirin bölme anlamına geldiğini hatırlayın; bu durumda 112 sayısını 10 sayısına bölmek
Bu resme bakalım ve çocuk inşaat seti gibi yeni bir karma sayı oluşturalım. 11 sayısı tam sayı kısmı, 2 sayısı kesirli kısmın payı, 10 sayısı ise kesirli kısmın paydası olacaktır.
Karışık bir sayı aldık. Bunu ondalık kesre çevirelim. Ve bu tür sayıları ondalık kesirlere nasıl dönüştüreceğimizi zaten biliyoruz. Öncelikle bölümün tamamını yazın ve virgül koyun:
Şimdi kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısını sayıyoruz. Bir sıfırın olduğunu görüyoruz. Ve kesirli kısmın payı tek rakamlıdır. Bu, kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısı ile kesirli kısmın payındaki rakam sayısının aynı olduğu anlamına gelir. Bu bize ondalık noktadan sonra kesirli kısmın payını hemen yazma fırsatı verir:
Ortaya çıkan ondalık kesir 11.2'de virgülden sonraki basamak sayısı ile kesrin paydasındaki sıfır sayısı aynıdır. Bu, kesirin doğru çevrildiği anlamına gelir.
Bu, uygunsuz bir kesrin ondalık sayıya dönüştürüldüğünde 11,2 olacağı anlamına gelir.
Ondalık kesir 11.2 şu şekilde okunur:
"On bir nokta iki."
Örnek 2. Uygunsuz kesri ondalık sayıya dönüştürün.
Pay paydadan büyük olduğundan uygunsuz bir kesirdir. Ancak payda 100 sayısını içerdiğinden ondalık kesre dönüştürülebilir.
Öncelikle bu kesrin tam kısmını seçelim. Bunu yapmak için 450'yi 100'e bir köşeyle bölün:
Yeni bir karışık sayı toplayalım - elde ederiz. Karışık sayıları ondalık kesirlere nasıl dönüştüreceğimizi zaten biliyoruz.
Tamamını yazın ve virgül koyun:
Şimdi kesirli kısmın paydasındaki sıfır sayısını ve kesirli kısmın payındaki rakam sayısını sayıyoruz. Paydadaki sıfır sayısı ile paydaki rakam sayısının aynı olduğunu görüyoruz. Bu bize ondalık noktadan sonra kesirli kısmın payını hemen yazma fırsatı verir:
Ortaya çıkan 4,50 ondalık kesirde virgülden sonraki basamak sayısı ile kesrin paydasındaki sıfır sayısı aynıdır. Bu, kesirin doğru çevrildiği anlamına gelir.
Bu, uygunsuz bir kesrin ondalık sayıya dönüştürüldüğünde 4,50 olacağı anlamına gelir.
Problem çözerken ondalık kesrin sonunda sıfır varsa bunlar atılabilir. Cevabımızdaki sıfırı da bırakalım. O zaman 4,5 elde ederiz
Ondalık sayılarla ilgili ilginç şeylerden biri de budur. Bir kesrin sonunda yer alan sıfırların bu kesire herhangi bir ağırlık vermemesi gerçeğinde yatmaktadır. Başka bir deyişle 4,50 ve 4,5 ondalık sayıları eşittir. Aralarına eşittir işareti koyalım:
4,50 = 4,5
Soru ortaya çıkıyor: bu neden oluyor? Sonuçta 4,50 ile 4,5 farklı kesirlere benziyor. Bütün sır, daha önce incelediğimiz kesirlerin temel özelliğinde yatmaktadır. 4,50 ve 4,5 ondalık kesirlerinin neden eşit olduğunu kanıtlamaya çalışacağız, ancak "ondalık kesri tam sayıya dönüştürme" adı verilen bir sonraki konuyu inceledikten sonra çalışacağız.
Ondalık sayıyı karışık sayıya dönüştürme
Herhangi bir ondalık kesir tekrar karışık sayıya dönüştürülebilir. Bunu yapmak için ondalık kesirleri okuyabilmek yeterlidir. Örneğin 6,3'ü karışık sayıya dönüştürelim. 6,3 altı virgül üç eder. İlk önce altı tam sayı yazıyoruz:
ve onda üçe yakın:
Örnek 2. Ondalık 3.002'yi karışık sayıya dönüştürün
3.002 üç tam ve iki binde birdir. İlk önce üç tam sayı yazıyoruz
ve yanına iki binde birini yazıyoruz:
Örnek 3. 4,50 ondalık sayıyı karışık sayıya dönüştürün
4,50 dört virgül ellidir. Dört tam sayıyı yazın
ve sonraki elli yüzde birlik:
Bu arada bir önceki konunun son örneğini de hatırlayalım. 4,50 ve 4,5 ondalık sayıları eşittir demiştik. Sıfırın atılabileceğini de söylemiştik. 4,50 ve 4,5 ondalık sayılarının eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Bunu yapmak için her iki ondalık kesri de karışık sayılara dönüştürüyoruz.
Karışık bir sayıya dönüştürüldüğünde, ondalık 4,50 olur ve ondalık 4,5 olur
İki karışık sayımız var ve . Bu karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:
Şimdi elimizde iki kesir var ve . Artık bir kesrin temel özelliğini hatırlamanın zamanı geldi; bu, bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarptığınızda (veya böldüğünüzde), kesrin değerinin değişmediğini söyler.
İlk kesri 10'a bölelim
Aldık ve bu ikinci kesir. Bu, her ikisinin de birbirine eşit ve aynı değere eşit olduğu anlamına gelir:
Hesap makinesi kullanarak önce 450'yi 100'e, sonra da 45'i 10'a bölmeyi deneyin. Bu komik bir şey olacaktır.
Ondalık kesri kesire dönüştürme
Herhangi bir ondalık kesir tekrar kesire dönüştürülebilir. Bunun için yine ondalık kesirleri okuyabilmek yeterlidir. Örneğin 0,3'ü ortak bir kesire dönüştürelim. 0,3 sıfır nokta üçtür. İlk önce sıfır tamsayıları yazıyoruz:
ve onda üçe yakın 0. Sıfır geleneksel olarak yazılmaz, bu nedenle nihai cevap 0 değil, sadece olacaktır.
Örnek 2. 0,02 ondalık kesirini kesire dönüştürün.
0,02 sıfır nokta ikidir. Sıfırı yazmayız, bu yüzden hemen iki yüzde birini yazarız
Örnek 3. 0,00005'i kesire dönüştürün
0,00005 sıfır virgül beştir. Sıfırı yazmayız, bu yüzden hemen beş yüz binde birini yazarız
Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın
Kesirli Sayıyı Ondalık Sayıya Dönüştürme
Diyelim ki 11/4 kesirini ondalık sayıya dönüştürmek istiyoruz. Bunu yapmanın en kolay yolu şudur:
|
2∙2∙5∙5 |
Başarılı olduk çünkü bu durumda paydanın asal çarpanlara ayrıştırılması yalnızca ikilerden oluşuyor. Bu açılımı iki tane daha beşle tamamladık, 10 = 2∙5 olmasından yararlanarak ondalık kesir elde ettik. Böyle bir prosedür, ancak ve ancak paydanın asal çarpanlara ayrıştırılmasının ikiler ve beşlerden başka bir şey içermemesi durumunda mümkün olabilir. Paydanın açılımında başka bir asal sayı varsa, bu kesir ondalık sayıya dönüştürülemez. Yine de bunu yapmaya çalışacağız, ancak yalnızca farklı bir şekilde, aynı 11/4 kesir örneğini kullanarak tanışacağız. 11'i "köşe" kullanarak 4'e bölelim:
Yanıt satırında (2) kısmının tamamını aldık ve geri kalanına da (3) sahibiz. Daha önce burada bölmeyi sonlandırmıştık ama artık zihinsel olarak bölenin (11) sağına bir virgül ve birkaç sıfır ekleyebileceğimizi biliyoruz. Ondalık noktadan sonra onuncu basamak gelir. Bu rakamdaki payda görünen sıfırı, elde edilen kalana (3) ekliyoruz:
Artık hiçbir şey olmamış gibi bölünme devam edebilir. Cevap satırında tüm kısımdan sonra virgül koymayı hatırlamanız yeterli:
Şimdi bölenin yüzde birlik basamağında yer alan kalana (2) bir sıfır ekleyip bölme işlemini tamamlıyoruz:
Sonuç olarak, daha önce olduğu gibi,
Şimdi aynı şekilde 27/11 kesirinin neye eşit olduğunu hesaplamaya çalışalım:
Cevap satırında 2,45 sayısını, kalan satırında ise 5 sayısını aldık. Ancak daha önce de böyle bir kalıntıyla karşılaşmıştık. Dolayısıyla hemen söyleyebiliriz ki, bölme işlemimize bir “köşe” ile devam edersek, cevap satırındaki bir sonraki sayı 4 olacak, sonra 5 sayısı gelecek, sonra tekrar 4 ve yine 5 olacak ve bu böyle sonsuza kadar devam edecek. :
27 / 11 = 2,454545454545...
Sözdeyi aldık periyodik periyodu 45 olan bir ondalık kesir. Bu tür kesirler için, dönemin yalnızca bir kez yazıldığı ancak parantez içine alındığı daha kompakt bir gösterim kullanılır:
2,454545454545... = 2,(45).
Genel olarak konuşursak, bir doğal sayıyı bir “köşe” ile diğerine bölersek, cevabı ondalık kesir şeklinde yazarsak, o zaman yalnızca iki sonuç mümkündür: (1) er ya da geç, kalan satırında sıfır elde edeceğiz. , (2) veya orada daha önce karşılaştığımız böyle bir kalan olacaktır (olası kalanlar kümesi sınırlıdır, çünkü hepsi açıkça bölenden küçüktür). İlk durumda, bölmenin sonucu sonlu bir ondalık kesirdir, ikinci durumda ise periyodiktir.
Periyodik ondalık sayıyı kesire dönüştürün
Bize sıfır tamsayı kısmı olan pozitif bir periyodik ondalık kesir verilsin, örneğin:
A = 0,2(45).
Bu kesri tekrar ortak kesire nasıl dönüştürebilirim?
Bunu 10 ile çarpalım k, Nerede k virgül ile noktanın başlangıcını gösteren açılış parantezi arasındaki rakam sayısıdır. Bu durumda k= 1 ve 10 k = 10:
A∙ 10 k = 2,(45).
Sonucu 10 ile çarpın N, Nerede N- dönemin "uzunluğu", yani parantez içindeki rakam sayısı. Bu durumda N= 2 ve 10 N = 100:
A∙ 10 k ∙ 10 N = 245,(45).
Şimdi farkı hesaplayalım
A∙ 10 k ∙ 10 N − A∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımları aynı olduğundan, farkın kesirli kısmı sıfıra eşit olur ve basit bir denklem elde ederiz. A:
A∙ 10 k ∙ (10 N − 1) = 245 − 2.
Bu denklem aşağıdaki dönüşümler kullanılarak çözülür:
A∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
A∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Hesaplamaları kasıtlı olarak henüz tamamlamıyoruz, böylece bu sonucun ara argümanları atlayarak nasıl hemen yazıya geçirilebileceği açıkça görülebiliyor. Paydaki (245) eksi sayının kesirli kısmıdır
A = 0,2(45)
eğer onun girişindeki parantezleri silerseniz. Payda (2) çıkan, sayının periyodik olmayan kısmıdır A, virgül ile açılış parantezi arasında yer alır. Paydadaki (10) ilk faktör, periyodik olmayan kısımdaki rakam sayısı kadar sıfırın atandığı bir birimdir ( k). Paydadaki ikinci faktör (99), noktadaki rakam sayısı kadar dokuzdur ( N).
Artık hesaplamalarımızı tamamlayabiliriz:
Burada pay noktayı içerir ve payda noktadaki rakam sayısı kadar dokuz içerir. 9 azaltıldıktan sonra elde edilen kesir şuna eşittir:
Aynı şekilde,
Görünüşe göre ondalık kesri normal kesire dönüştürmek temel bir konudur, ancak birçok öğrenci bunu anlamıyor! Bu nedenle, bugün birkaç algoritmaya aynı anda ayrıntılı bir göz atacağız ve bunun yardımıyla herhangi bir kesri sadece bir saniyede anlayacaksınız.
Aynı kesri yazmanın en az iki şekli olduğunu hatırlatmama izin verin: ortak ve ondalık. Ondalık kesirler 0,75 formundaki her türlü yapıdır; 1.33; ve hatta -7,41. Aynı sayıları ifade eden sıradan kesirlerin örnekleri:
Şimdi çözelim: ondalık gösterimden normal gösterime nasıl geçilir? Ve en önemlisi: Bunu mümkün olan en kısa sürede nasıl yapmalı?
Temel algoritma
Aslında en az iki algoritma var. Şimdi ikisine de bakacağız. İlkiyle başlayalım - en basit ve en anlaşılır olanı.
Ondalık sayıyı kesire dönüştürmek için üç adımı izlemeniz gerekir:
Negatif sayılarla ilgili önemli bir not. Orijinal örnekte ondalık kesrin önünde bir eksi işareti varsa, çıktıda da sıradan kesirin önünde bir eksi işareti bulunmalıdır. İşte birkaç örnek daha:
Kesirlerin ondalık gösteriminden sıradan olanlara geçiş örnekleri Son örneğe özellikle dikkat etmek istiyorum. Gördüğünüz gibi 0,0025 kesri virgülden sonra birçok sıfır içeriyor. Bu nedenle pay ve paydayı 10 ile 4 kere çarpmanız gerekiyor. Bu durumda algoritmayı bir şekilde basitleştirmek mümkün mü?
Elbette yapabilirsin. Şimdi alternatif bir algoritmaya bakacağız; anlaşılması biraz daha zor, ancak biraz pratik yaptıktan sonra standart olandan çok daha hızlı çalışıyor.
Daha hızlı yol
Bu algoritmanın da 3 adımı vardır. Ondalık sayıdan kesir elde etmek için aşağıdakileri yapın:
- Virgülden sonra kaç rakam olduğunu sayın. Örneğin, 1,75 kesrinin iki rakamı vardır ve 0,0025'in dört rakamı vardır. Bu miktarı $n$ harfiyle gösterelim.
- Orijinal sayıyı $\frac(a)(((10)^(n)))$ formunun bir kesri olarak yeniden yazın; burada $a$ orijinal kesrin tüm rakamlarıdır (üzerindeki "başlangıç" sıfırları olmadan) varsa) ve $n$, ilk adımda hesapladığımız ondalık noktadan sonraki basamak sayısıyla aynı sayıdadır. Başka bir deyişle, orijinal kesrin rakamlarını bire ve ardından $n$ sıfıra bölmeniz gerekir.
- Mümkünse ortaya çıkan fraksiyonu azaltın.
İşte bu! İlk bakışta bu şema öncekinden daha karmaşıktır. Ama aslında hem daha basit hem de daha hızlı. Kendiniz karar verin:
Gördüğünüz gibi 0,64 kesirinde virgülden sonra iki rakam var - 6 ve 4. Bu nedenle $n=2$. Soldaki virgül ve sıfırları kaldırırsak (bu durumda sadece bir sıfır) 64 sayısını elde ederiz. İkinci adıma geçelim: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Bu nedenle payda tam olarak yüzdür. O zaman geriye kalan tek şey pay ve paydayı azaltmak :)
Başka bir örnek:
Burada her şey biraz daha karmaşık. İlk olarak, virgülden sonra zaten 3 sayı var, yani. $n=3$, yani $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$'a bölmeniz gerekir. İkinci olarak, ondalık gösterimden virgülü çıkarırsak şunu elde ederiz: 0,004 → 0004. Soldaki sıfırların kaldırılması gerektiğini unutmayın, yani aslında 4 sayısını elde ederiz. O zaman her şey basit: böl, azalt ve elde et cevap.
Son olarak son örnek:
Bu fraksiyonun özelliği bir bütünün varlığıdır. Bu nedenle elde ettiğimiz çıktı 47/25'in yanlış bir kesridir. Elbette 47'yi 25'e bir kalanla bölmeyi deneyebilir ve böylece tüm parçayı tekrar izole edebilirsiniz. Peki bu dönüşüm aşamasında yapılabiliyorsa neden hayatınızı karmaşıklaştırasınız ki? Peki, hadi çözelim.
Parçanın tamamıyla ne yapmalı
Aslında her şey çok basit: Eğer uygun bir kesir elde etmek istiyorsak, dönüşüm sırasında parçanın tamamını ondan çıkarmamız ve ardından sonucu aldığımızda onu kesir çizgisinin öncesine tekrar eklememiz gerekir. .
Örneğin aynı sayıyı ele alalım: 1,88. Birer birer (tüm kısım) puanlayalım ve 0,88 kesrine bakalım. Kolayca dönüştürülebilir:
Sonra “kayıp” birimi hatırlıyoruz ve öne ekliyoruz:
\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]
İşte bu! Yanıt, geçen sefer tüm parçayı seçtikten sonraki yanıtla aynı çıktı. Birkaç örnek daha:
\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\bit(hizala)\]
Matematiğin güzelliği budur: Hangi yöne giderseniz gidin, tüm hesaplamalar doğru yapılırsa cevap her zaman aynı olacaktır :)
Sonuç olarak, birçok kişiye yardımcı olan bir teknik daha düşünmek istiyorum.
“Kulağa göre” dönüşümler
Ondalık sayının ne olduğunu düşünelim. Daha doğrusu nasıl okuyoruz. Örneğin 0,64 sayısını "sıfır noktası 64 yüzde bir" olarak okuyoruz, değil mi? Peki ya da sadece “64 yüzde biri”. Buradaki anahtar kelime “yüzlerce”, yani. 100 numara.
Peki ya 0,004? Bu “sıfır noktası 4 binde biri” veya kısaca “dörtte biri”. Öyle ya da böyle, anahtar kelime “binlerce”, yani. 1000.
Peki önemli olan ne? Ve gerçek şu ki, algoritmanın ikinci aşamasında paydalarda en sonunda “ortaya çıkanlar” bu sayılardır. Onlar. 0,004 "binde dört" veya "4 bölü 1000"dir:
Kendiniz pratik yapmaya çalışın; çok basit. Önemli olan orijinal kesri doğru okumaktır. Örneğin 2,5 “2 tam, 5 ondalık”tır, yani
Ve 1,125'in bir kısmı "1 tam, 125 binde biri"dir, yani
Son örnekte elbette birisi 1000'in 125'e bölünebileceğinin her öğrenci için açık olmadığını söyleyerek itiraz edecektir. Ancak burada 1000 = 10 3 ve 10 = 2 ∙ 5 olduğunu hatırlamanız gerekir, dolayısıyla bu nedenle
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]
Böylece, on'un herhangi bir kuvveti yalnızca 2 ve 5 faktörlerine ayrıştırılır - payda aranması gereken bu faktörlerdir, böylece sonunda her şey azalır.
Bu, dersi sonlandırıyor. Daha karmaşık bir ters işleme geçelim - bkz. "
Kesir, bir veya daha fazla birimden oluşan bir sayıdır. Matematikte üç tür kesir vardır: ortak, karışık ve ondalık.
Ortak kesirler
Sıradan bir kesir, payın sayıdan kaç parça alındığını, paydanın ise birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterdiği bir oran olarak yazılır. Pay, paydadan küçükse, uygun bir kesirimiz olur. Örneğin: ½, 3/5, 8/9.
Pay, paydaya eşit veya ondan büyükse, bileşik kesirle karşı karşıyayız demektir. Örneğin: 5/5, 9/4, 5/2 Payı bölmek sonlu bir sayıyla sonuçlanabilir. Örneğin, 40/8 = 5. Bu nedenle herhangi bir tam sayı, sıradan bileşik kesir veya bu kesirlerin bir dizisi olarak yazılabilir. Aynı sayının girişlerini birkaç farklı sayı biçiminde ele alalım.
- Karışık kesirler
Genel olarak, karışık bir kesir aşağıdaki formülle temsil edilebilir: 
Böylece, karışık bir kesir bir tam sayı ve sıradan bir uygun kesir olarak yazılır ve böyle bir gösterim, bütünün ve onun kesirli kısmının toplamı olarak anlaşılır.
- Ondalık Sayılar
Ondalık sayı, paydanın 10'un katı olarak gösterilebildiği özel bir kesir türüdür. Sonsuz ve sonlu ondalık sayılar vardır. Bu tür kesir yazarken önce tamamı gösterilir, ardından kesirli kısım ayırıcı (nokta veya virgül) aracılığıyla kaydedilir.
Kesirli bir parçanın gösterimi her zaman boyutuna göre belirlenir. Ondalık gösterim şuna benzer: 
Farklı kesir türleri arasında dönüştürme kuralları
- Karışık bir kesri ortak bir kesire dönüştürme
Karışık bir kesir yalnızca uygunsuz bir kesire dönüştürülebilir. Çeviri yapmak için tam kısmı kesirli kısım ile aynı paydaya getirmek gerekir. Genel olarak şöyle görünecek: 
Belirli örnekler kullanarak bu kuralın kullanımına bakalım:
- Ortak bir kesri karışık kesire dönüştürme
Uygunsuz bir kesir, basit bir bölme işlemiyle karışık bir kesire dönüştürülebilir, bu da tam kısım ve kalan kısım (kesirli kısım) ile sonuçlanır.
Örneğin 439/31 kesrini karışık kesre dönüştürelim: 
- Kesirleri dönüştürme
Bazı durumlarda bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek oldukça basittir. Bu durumda, kesirin temel özelliği uygulanır: böleni 10'un gücüne getirmek için pay ve payda aynı sayıyla çarpılır.
Örneğin:
Bazı durumlarda bölümü köşelere bölerek veya hesap makinesi kullanarak bulmanız gerekebilir. Ve bazı kesirler son ondalık sayıya indirgenemez. Örneğin, bölündüğünde 1/3 kesri hiçbir zaman nihai sonucu vermez.