Mekanikte cisimlerin öteleme ve dönme hareketlerinin yanı sıra salınım hareketleri de büyük ilgi görmektedir. Mekanik titreşimler eşit zaman aralıklarında tam olarak (veya yaklaşık olarak) tekrarlanan vücut hareketleridir. Salınım yapan bir cismin hareket kanunu, zamanın belirli bir periyodik fonksiyonu kullanılarak belirlenir. X = F (T). Bu fonksiyonun grafiksel temsili, salınım sürecinin zaman içindeki seyrinin görsel bir temsilini verir.
Basit salınım sistemlerine örnek olarak bir yay üzerindeki yük veya matematiksel bir sarkaç verilebilir (Şekil 2.1.1).
Diğer fiziksel nitelikteki salınımlı süreçler gibi mekanik titreşimler de özgür Ve zoraki. Serbest titreşimler etkisi altında işlenir Iç kuvvetler Sistem dengeden çıktıktan sonra sistem. Bir yayın üzerindeki ağırlığın salınımları veya bir sarkacın salınımları serbest salınımlardır. Etki altında meydana gelen titreşimler harici periyodik olarak değişen kuvvetlere denir zoraki .
Salınım sürecinin en basit türü basittir harmonik titreşimler denklemle açıklanan
|
X = X mcos(ω T + φ 0). |
Burada X- Vücudun denge konumundan yer değiştirmesi, X m - salınımların genliği, yani. denge konumundan maksimum yer değiştirme, ω - döngüsel veya dairesel frekans tereddüt, T- zaman. Kosinüs işaretinin altındaki miktar φ = ω T+ φ 0 denir faz harmonik süreç. Şu tarihte: T= 0 φ = φ 0 olduğundan φ 0 denir başlangıç aşaması. Bir vücut hareketinin tekrarlandığı minimum zaman aralığına denir salınım periyodu T. Salınım periyodunun tersi olan fiziksel miktara denir titreşim frekansı:
Salınım frekansı F 1 saniyede kaç salınım meydana geldiğini gösterir. Frekans birimi - hertz(Hz). Salınım frekansı F döngüsel frekans ω ve salınım periyoduyla ilgili T oranlar:
İncirde. 2.1.2 harmonik titreşimler sırasında vücudun eşit zaman aralıklarındaki konumlarını gösterir. Böyle bir resim, salınan bir cismin kısa periyodik ışık flaşlarıyla aydınlatılmasıyla deneysel olarak elde edilebilir ( flaş aydınlatma). Oklar vücudun farklı zamanlardaki hız vektörlerini temsil etmektedir.
Pirinç. 2.1.3, salınımların genliği değiştiğinde harmonik bir sürecin grafiğinde meydana gelen değişiklikleri gösterir. X m veya dönem T(veya frekans F) veya başlangıç aşaması φ 0.
Bir cisim düz bir çizgi boyunca salındığında (eksen ÖKÜZ) hız vektörü her zaman bu düz çizgi boyunca yönlendirilir. Hız υ = υ X vücut hareketi ifadeyle belirlenir
Matematikte, bir oranın Δ noktasındaki limitini bulma prosedürü T→ 0'a fonksiyonun türevinin hesaplanması denir X (T) zamanla T ve olarak veya olarak gösterilir X"(T) veya son olarak gibi . Harmonik hareket yasası için türevin hesaplanması aşağıdaki sonuca yol açar:
Kosinüs argümanında + π / 2 teriminin ortaya çıkması, başlangıç fazında bir değişiklik olduğu anlamına gelir. Hızın maksimum mutlak değerleri υ = ω X m, vücudun denge pozisyonlarından geçtiği anlarda elde edilir ( X= 0). Hızlanma benzer şekilde belirlenir A = AX Harmonik titreşimler sırasında cisimler:
dolayısıyla ivme Aυ fonksiyonunun türevine eşittir ( T) zamanla T veya fonksiyonun ikinci türevi X (T). Hesaplamalar şunları verir:
Bu ifadedeki eksi işareti ivmenin olduğu anlamına gelir. A (T) her zaman yer değiştirme işaretinin tersi işarete sahiptir X (T) ve dolayısıyla Newton'un ikinci yasasına göre, cismin harmonik salınımlar yapmasına neden olan kuvvet her zaman denge konumuna doğru yönlendirilir ( X = 0).
(lat. genlik- büyüklük), salınan bir cismin denge konumundan en büyük sapmasıdır.
Bir sarkaç için bu, topun denge konumundan uzaklaştığı maksimum mesafedir (aşağıdaki şekil). Küçük genlikli salınımlar için, 01 veya 02 yayının uzunluğu ve bu bölümlerin uzunlukları gibi bir mesafe alınabilir.
Salınımların genliği uzunluk birimleri (metre, santimetre vb.) cinsinden ölçülür. Salınım grafiğinde genlik, sinüzoidal eğrinin maksimum (modülo) ordinatı olarak tanımlanır (aşağıdaki şekle bakın).
Salınım süresi.
Salınım periyodu- Bu, salınım yapan bir sistemin, keyfi olarak seçilen, zamanın ilk anında bulunduğu aynı duruma tekrar döndüğü en kısa süredir.
Başka bir deyişle, salınım periyodu ( T) tam bir salınımın meydana geldiği zamandır. Örneğin aşağıdaki şekilde sarkaç bobunun en sağ noktadan denge noktasına kadar hareket etmesi için geçen süredir. HAKKINDA en soldaki noktaya ve noktadan geriye doğru HAKKINDA yine en sağa.
Böylece vücut, tam bir salınım periyodu boyunca dört genliğe eşit bir yol kat eder. Salınım periyodu zaman birimleri (saniye, dakika vb.) cinsinden ölçülür. Salınım periyodu, iyi bilinen bir salınım grafiğinden belirlenebilir (aşağıdaki şekle bakınız).
Kesin olarak konuşursak, "salınım periyodu" kavramı, yalnızca salınım miktarının değerleri belirli bir süre sonra tam olarak tekrarlandığında, yani harmonik salınımlar için geçerlidir. Ancak bu kavram aynı zamanda yaklaşık olarak tekrarlanan büyüklükler için de geçerlidir; örneğin: sönümlü salınımlar.
Salınım frekansı.
Salınım frekansı- bu, örneğin 1 saniyede birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısıdır.
SI frekans biriminin adı hertz(Hz.) Alman fizikçi G. Hertz'in (1857-1894) onuruna. Salınım frekansı ( v) eşittir 1 Hz. Bu, her saniyede bir salınım olduğu anlamına gelir. Salınımların sıklığı ve periyodu ilişkilerle ilişkilidir:
Salınım teorisinde de bu kavramı kullanıyorlar döngüsel, veya dairesel frekans ω . Normal frekansla ilgilidir v ve salınım periyodu T oranlar:
.
Döngüsel frekans başına gerçekleştirilen salınım sayısıdır 2π saniye
Harmonik salınım, argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusudur. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:
burada x değişen miktarın değeridir, t zamandır, geri kalan parametreler sabittir: A salınımların genliğidir, ω salınımların döngüsel frekansıdır, salınımların tam fazıdır, salınımların başlangıç fazıdır.
Diferansiyel formda genelleştirilmiş harmonik salınım
(Bu diferansiyel denklemin önemsiz olmayan herhangi bir çözümü, döngüsel frekansa sahip harmonik bir salınımdır)
Titreşim türleri
Sistem denge konumundan çıkarıldıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında serbest titreşimler meydana gelir. Serbest salınımların harmonik olması için, salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve içinde enerji kaybı olmaması gerekir (ikincisi zayıflamaya neden olur).
Zorlanmış titreşimler, harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında meydana gelir. Harmonik olmaları için, salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve dış kuvvetin kendisinin zaman içinde harmonik bir salınım olarak değişmesi (yani bu kuvvetin zamana bağımlılığının sinüzoidal olması) yeterlidir. .
Harmonik Denklem
|
Denklem (1)
|
dalgalanan S değerinin t zamanına bağımlılığını verir; bu açık biçimde serbest harmonik salınımların denklemidir. Ancak titreşim denklemi genellikle bu denklemin diferansiyel formda farklı bir temsili olarak anlaşılır. Kesinlik için denklem (1)'i şu şekilde alalım:
Zamana göre iki kez türevini alalım:
Aşağıdaki ilişkinin geçerli olduğu görülebilir:
buna serbest harmonik salınımların denklemi denir (diferansiyel formda). Denklem (1), diferansiyel denklem (2)'nin bir çözümüdür. Denklem (2) ikinci dereceden bir diferansiyel denklem olduğundan, tam bir çözüm elde etmek için iki başlangıç koşuluna ihtiyaç vardır (yani, denklem (1)'de yer alan A ve sabitlerinin belirlenmesi); örneğin, salınım sisteminin t = 0'daki konumu ve hızı.
Matematiksel bir sarkaç, ağırlıksız, uzayamaz bir iplik üzerinde veya tekdüze bir yerçekimi kuvvetleri alanında ağırlıksız bir çubuk üzerinde bulunan maddi bir noktadan oluşan mekanik bir sistem olan bir osilatördür. Serbest düşme ivmesi g ile düzgün bir yerçekimi alanında hareketsiz olarak asılı duran l uzunluğundaki matematiksel bir sarkacın küçük doğal salınımlarının periyodu şuna eşittir:
ve sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı değildir.
Fiziksel bir sarkaç, bu cismin kütle merkezi olmayan bir noktaya veya kuvvetlerin hareket yönüne dik sabit bir eksene göre herhangi bir kuvvet alanında salınan katı bir cisim olan bir osilatördür. bu cismin kütle merkezinden geçiyor.
Bu, hareketi karakterize eden koordinat, hız ve ivmenin sinüs veya kosinüs kanununa göre değiştiği periyodik bir salınımdır. Harmonik salınım denklemi, vücut koordinatlarının zamana bağımlılığını belirler
Kosinüs grafiği ilk anda maksimum değere sahiptir ve sinüs grafiği başlangıç anında sıfır değerine sahiptir. Salınımı denge konumundan incelemeye başlarsak, o zaman salınım bir sinüzoidi tekrarlayacaktır. Salınımı maksimum sapma konumundan dikkate almaya başlarsak, o zaman salınım bir kosinüs ile tanımlanacaktır. Veya böyle bir salınım, başlangıç fazlı sinüs formülüyle açıklanabilir.
Matematik sarkaç
|
Matematiksel bir sarkacın salınımları. |
|
|
Matematik sarkaç - ağırlıksız, uzamayan bir iplik üzerinde asılı duran maddi bir nokta (fiziksel model). |
|
|
Sarkacın hareketini sapma açısının küçük olması koşuluyla ele alacağız, o zaman açıyı radyan cinsinden ölçersek aşağıdaki ifade doğrudur: . |
|
|
Yer çekimi kuvveti ve ipliğin gerginliği vücuda etki eder. Bu kuvvetlerin sonucunun iki bileşeni vardır: ivmeyi büyüklükte değiştiren teğetsel ve ivmeyi yönde değiştiren normal (merkezcil ivme, cisim bir yay şeklinde hareket eder). |
|
|
Çünkü açı küçükse, teğetsel bileşen yerçekiminin yörüngeye teğet üzerindeki izdüşümüne eşittir: . Radyan cinsinden açı, yay uzunluğunun yarıçapa (dişin uzunluğu) oranına eşittir ve yay uzunluğu yaklaşık olarak yer değiştirmeye eşittir ( x ≈ s): | |
|
Ortaya çıkan denklemi salınım hareketi denklemiyle karşılaştıralım. Matematiksel bir sarkacın salınımları sırasındaki döngüsel frekansın bu olduğu görülebilir. | |
|
Salınım periyodu veya (Galileo formülü). |
Galileo'nun formülü |
|
En önemli sonuç: Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu vücudun kütlesine bağlı değildir! | |
|
Benzer hesaplamalar enerjinin korunumu kanunu kullanılarak da yapılabilir. Yerçekimi alanındaki bir cismin potansiyel enerjisinin eşit olduğunu ve toplam mekanik enerjinin maksimum potansiyele veya kinetik enerjiye eşit olduğunu dikkate alalım: |
|
|
Enerjinin korunumu yasasını yazalım ve denklemin sol ve sağ taraflarının türevini alalım: . Çünkü sabit bir değerin türevi sıfıra eşittir, bu durumda . Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir: ve. | |
|
Bu nedenle: ve dolayısıyla. | |
.
|
İdeal gaz hal denklemi (Mendeleev-Clapeyron denklemi). |
|
|
Durum denklemi, fiziksel bir sistemin parametrelerini ilişkilendiren ve durumunu benzersiz bir şekilde belirleyen bir denklemdir. 1834 yılında Fransız fizikçi B. Clapeyron St.Petersburg'da uzun süre çalışan, sabit bir gaz kütlesi için ideal bir gazın durum denklemini türetti. 1874'te D. I. Mendeleev rastgele sayıda molekül için bir denklem türetmiştir. | |
|
MCT ve ideal gaz termodinamiğinde makroskopik parametreler şunlardır: p, V, T, m. Biz biliyoruz ki | |
|
Sabit miktarların çarpımı sabit bir miktardır, dolayısıyla: |
|
|
Böylece elimizde: Durum denklemi (Mendeleev-Clapeyron denklemi). | |
|
İdeal bir gazın durum denklemini yazmanın diğer biçimleri. |
|
|
1. 1 mol madde için denklem. Eğer n=1 mol ise, bir mol V m'nin hacmini ifade ederek şunu elde ederiz: . Normal koşullar için şunu elde ederiz: |
|
|
2. Denklemin yoğunluk üzerinden yazılması: - yoğunluk sıcaklığa ve basınca bağlıdır! | |
|
3. Clapeyron denklemi. Gazın miktarının değişmediği halde durumunun değiştiği (m=sabit) ve kimyasal reaksiyonların yokluğunda (M=sabit) bir durumu araştırmak genellikle gereklidir. Bu, madde miktarının n=sabit olduğu anlamına gelir. Daha sonra: | |
|
Bu giriş şu anlama gelir: belirli bir gazın belirli bir kütlesi için eşitlik doğrudur: | |
|
İdeal bir gazın sabit kütlesi için, belirli bir durumda basınç ve hacim ürününün mutlak sıcaklığa oranı sabit bir değerdir: . | |
|
Gaz yasaları. |
|
|
1. Avogadro yasası. Aynı dış koşullar altında eşit hacimdeki farklı gazlar aynı sayıda molekül (atom) içerir. Koşul: V 1 =V 2 =...=V n; p 1 =p 2 =…=p n ; T 1 =T 2 =…=T n | |
|
Kanıt: Sonuç olarak aynı koşullar altında (basınç, hacim, sıcaklık) molekül sayısı gazın doğasına bağlı değildir ve aynıdır. | |
|
2. Dalton yasası. Bir gaz karışımının basıncı, her bir gazın kısmi (özel) basınçlarının toplamına eşittir. Kanıtlayın: p=p 1 +p 2 +…+p n Kanıt: | |
|
3. Pascal yasası. Bir sıvı ya da gaza uygulanan basınç değişmeden her yöne iletilir. | |
. Buradan,. Hesaba katıldığında 
, şunu elde ederiz:.
- evrensel gaz sabiti (evrenseldir, çünkü tüm gazlar için aynıdır).
İdeal bir gazın durum denklemi. Gaz yasaları.
Serbestlik derecesi sayısı: Sistemin uzaydaki konumunu tamamen belirleyen bağımsız değişkenlerin (koordinatların) sayısıdır. Bazı problemlerde, tek atomlu bir gazın bir molekülü (Şekil 1, a), üç derece öteleme hareketi serbestliği verilen maddi bir nokta olarak kabul edilir. Bu durumda dönme hareketinin enerjisi dikkate alınmaz. Mekanikte, iki atomlu bir gazın bir molekülü, ilk yaklaşıma göre, deforme olmayan bir bağla sıkı bir şekilde bağlanan iki maddi noktadan oluşan bir dizi olarak kabul edilir (Şekil 1, b). Üç dereceli öteleme hareketi serbestliğine ek olarak, bu sistemin iki dönme hareketi serbestliği derecesi daha vardır. Her iki atomdan geçen üçüncü bir eksen etrafında dönmenin anlamı yoktur. Bu, iki atomlu bir gazın beş serbestlik derecesine sahip olduğu anlamına gelir ( Ben= 5). Triatomik (Şekil 1c) ve çok atomlu doğrusal olmayan bir molekülün altı serbestlik derecesi vardır: üçü öteleme ve üçü dönme. Atomlar arasında katı bir bağlantı olmadığını varsaymak doğaldır. Bu nedenle gerçek moleküller için titreşim hareketinin serbestlik derecelerinin de dikkate alınması gerekir.
Belirli bir molekülün herhangi bir sayıdaki serbestlik derecesi için, üç serbestlik derecesi her zaman ötelemedir. Öteleme serbestlik derecelerinin hiçbirinin diğerlerine göre bir avantajı yoktur, bu da her birinin ortalama olarak aynı enerjiye, yani değerin 1/3'üne eşit olduğu anlamına gelir.<ε 0 >(moleküllerin öteleme hareketinin enerjisi): 
İstatistiksel fizikte türetilir Boltzmann'ın moleküllerin serbestlik dereceleri üzerinde enerjinin düzgün dağılımına ilişkin yasası: Termodinamik denge durumunda olan bir istatistiksel sistem için, her öteleme ve dönme serbestlik derecesi kT/2'ye eşit bir ortalama kinetik enerjiye sahiptir ve her titreşim serbestlik derecesi kT'ye eşit bir ortalama enerjiye sahiptir. Titreşim derecesi iki kat daha fazla enerjiye sahiptir, çünkü hem kinetik enerjiyi (öteleme ve dönme hareketlerinde olduğu gibi) hem de potansiyeli hesaba katar ve potansiyel ve kinetik enerjinin ortalama değerleri aynıdır. Bu, bir molekülün ortalama enerjisinin 
Nerede Ben- molekülün öteleme sayısı, dönme sayısı ve titreşim serbestlik derecesinin iki katı sayısının toplamı: Ben=Ben yayınla + Ben+2 döndür Ben titreşimler Klasik teoride atomlar arasında katı bağlar bulunan moleküller dikkate alınır; onlar için Ben Molekülün serbestlik derecesi sayısı ile çakışır. İdeal bir gazda, moleküller arasındaki etkileşimin karşılıklı potansiyel enerjisi sıfır olduğundan (moleküller birbirleriyle etkileşime girmez), bir mol gazın iç enerjisi, moleküllerin N A kinetik enerjilerinin toplamına eşit olacaktır: (1 ) Herhangi bir m gaz kütlesi için iç enerji. burada M molar kütledir, ν
- madde miktarı.
Herhangi bir miktardaki değişiklikler sinüs veya kosinüs yasaları kullanılarak tanımlanır, bu tür salınımlara harmonik denir. Bir kapasitör (devreye dahil edilmeden önce şarj edilmiş) ve bir indüktörden oluşan bir devreyi düşünelim (Şekil 1).
Resim 1.
Harmonik titreşim denklemi şu şekilde yazılabilir:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
burada $t$ zamandır; $q$ ücret, $q_0$-- değişiklikler sırasında ücretin ortalama (sıfır) değerinden maksimum sapması; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- salınım aşaması; $(\alpha )_0$- başlangıç aşaması; $(\omega )_0$ - döngüsel frekans. Dönem boyunca faz 2 $\pi $ kadar değişir.
Formun denklemi:
Aktif direnç içermeyecek bir salınım devresi için diferansiyel formdaki harmonik salınımların denklemi.
Her türlü periyodik salınım, harmonik seri adı verilen harmonik salınımların toplamı olarak doğru bir şekilde temsil edilebilir.
Bir bobin ve bir kapasitörden oluşan bir devrenin salınım periyodu için Thomson formülünü elde ederiz:
İfadenin (1) zamana göre türevini alırsak, $I(t)$ fonksiyonunun formülünü elde edebiliriz:
Kapasitör üzerindeki voltaj şu şekilde bulunabilir:
Formüller (5) ve (6)'dan, akım gücünün kapasitördeki voltajın $\frac(\pi )(2) kadar önünde olduğu sonucu çıkar.
Harmonik salınımlar hem denklemler, fonksiyonlar hem de vektör diyagramları şeklinde temsil edilebilir.
Denklem (1) serbest sönümsüz salınımları temsil eder.
Sönümlü Salınım Denklemi
Direnç (Şekil 2) dikkate alınarak devredeki kapasitör plakalarındaki yükteki değişiklik ($q$), aşağıdaki formdaki diferansiyel denklemle tanımlanacaktır:
Şekil 2.
Devrenin parçası olan direnç $R\
burada $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ döngüsel salınım frekansıdır. $\beta =\frac(R)(2L)-$sönüm katsayısı. Sönümlü salınımların genliği şu şekilde ifade edilir:
$t=0$'da kondansatörün yükü $q=q_0$'a eşitse ve devrede akım yoksa, o zaman $A_0$ için şunu yazabiliriz:
Zamanın ilk anında ($(\alpha )_0$) salınımların fazı şuna eşittir:
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ olduğunda yükteki değişiklik bir salınım olmadığında, kapasitörün deşarjına periyodik olmayan denir.
örnek 1
Egzersiz yapmak: Maksimum ücret değeri $q_0=10\ C$'dır. $T= 5 s$ periyodunda harmonik olarak değişmektedir. Mümkün olan maksimum akımı belirleyin.
Çözüm:
Sorunu çözmek için temel olarak kullanıyoruz:
Akım gücünü bulmak için ifade (1.1)'in zamana göre farklılaştırılması gerekir:
burada mevcut gücün maksimumu (genlik değeri) şu ifadedir:
Sorunun koşullarından yükün genlik değerini biliyoruz ($q_0=10\ C$). Salınımların doğal frekansını bulmalısınız. Bunu şu şekilde ifade edelim:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
Bu durumda istenilen değer (1.3) ve (1.2) denklemleri kullanılarak şu şekilde bulunacaktır:
Problem koşullarındaki tüm miktarlar SI sisteminde sunulduğundan hesaplamaları yapacağız:
Cevap:$I_0=12,56\ A.$
Örnek 2
Egzersiz yapmak: Bir indüktör $L=1$H ve bir kondansatör içeren bir devrede, devredeki akım gücü şu yasaya göre değişirse, salınımın periyodu nedir: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Kapasitörün kapasitansı nedir?
Çözüm:
Sorunun koşullarında verilen mevcut dalgalanmalar denkleminden:
$(\omega )_0=20\pi $ olduğunu görüyoruz, dolayısıyla Salınım periyodunu aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
\ \
Bir indüktör ve bir kapasitör içeren bir devre için Thomson'un formülüne göre elimizde:
Kapasiteyi hesaplayalım:
Cevap:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$