Ili ndege moja itolewe kupitia pointi tatu katika nafasi, ni muhimu kwamba pointi hizi hazilala kwenye mstari sawa sawa.
Fikiria pointi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) kwa ujumla. Mfumo wa Cartesian kuratibu
Ili hatua ya kiholela M (x, y, z) kulala katika ndege moja na pointi M 1, M 2, M 3, ni muhimu kwamba vectors kuwa coplanar.
Ufafanuzi 2.1.
Mistari miwili katika nafasi inaitwa sambamba ikiwa imelala kwenye ndege moja na hawana pointi za kawaida.
Ikiwa mistari miwili a na b ni sambamba, basi, kama ilivyo katika planimetry, andika || b. Katika nafasi, mistari inaweza kuwekwa ili wasiingiliane au ni sawa. Kesi hii ni maalum kwa stereometry.
Ufafanuzi 2.2.
Mistari ambayo haina pointi za kawaida na si sambamba inaitwa intersecting.
Nadharia 2.1.
Kupitia hatua nje ya mstari uliopewa, mtu anaweza kuchora mstari sambamba na uliyopewa, na moja tu.
| Ishara ya mistari inayofanana |
| Mistari miwili angani inaitwa sambamba ikiwa imelala kwenye ndege moja na haiingiliani. Kupitia hatua nje ya mstari uliopewa unaweza kuchora mstari wa moja kwa moja sambamba na mstari huu wa moja kwa moja, na moja tu. Kauli hii inapunguza kwa axiom ya usawa katika ndege. Nadharia. Mistari miwili sambamba na mstari wa tatu ni sambamba. Acha mistari b na c ilingane na mstari a. Hebu tuthibitishe kwamba b || Na. Kesi wakati mistari iliyonyooka a, b na kulala kwenye ndege moja inazingatiwa katika upangaji wa ramani; tunaiacha. Wacha tuchukue kuwa a, b na c hazilala kwenye ndege moja. Lakini kwa kuwa mistari miwili inayofanana iko kwenye ndege moja, tunaweza kudhani kuwa a na b ziko kwenye ndege, na b na c ziko kwenye ndege (Mchoro 61). Kwenye mstari wa c tunaweka alama (yoyote) M na kupitia mstari b na kumweka M tunachora ndege . Yeye, , hukatiza kwa mstari ulionyooka l. Mstari wa moja kwa moja l hauingii ndege, kwa kuwa ikiwa l imeingiliana, basi hatua ya makutano yao lazima iwe kwenye a (a na l iko kwenye ndege moja) na juu ya b (b na l ni katika ndege moja). Kwa hivyo, sehemu moja ya makutano l na lazima iwe kwenye mstari a na mstari b, ambayo haiwezekani: a || b. Kwa hivyo, || , l | a, l | b. Kwa kuwa a na l hulala kwenye ndege moja, basi l inapatana na mstari c (kwa axiom ya usawa), na kwa hiyo na || b. Nadharia imethibitishwa. |
25.Ishara ya usawa kati ya mstari na ndege
Nadharia
Ikiwa mstari ambao sio wa ndege ni sawa na mstari fulani katika ndege hii, basi ni sambamba na ndege yenyewe.
Ushahidi
Hebu α iwe ndege, mstari usiolala ndani yake, na a1 mstari katika ndege α sambamba na mstari a. Wacha tuchore ndege α1 kupitia mistari a na a1. Ndege α na α1 hukatiza kwenye mstari wa moja kwa moja a1. Ikiwa panga mstari wa ndege iliyokatizwa α, basi sehemu ya makutano itakuwa ya mstari a1. Lakini hii haiwezekani, kwani mistari a na a1 inafanana. Kwa hiyo, mstari a haukati ndege α, na kwa hiyo ni sambamba na ndege α. Nadharia imethibitishwa.
27.Kuwepo kwa ndege sambamba na ndege fulani
Nadharia
Kupitia hatua nje ya ndege iliyotolewa inawezekana kuteka ndege sambamba na ile iliyotolewa, na moja tu.
Ushahidi
Wacha tuchore kwenye ndege hii α mistari yoyote miwili inayokatiza a na b. Kupitia hatua hii Wacha tuchore mistari A1 na b1 sambamba nayo. Ndege β inayopita kwenye mistari a1 na b1, kulingana na nadharia ya ulinganifu wa ndege, inafanana na ndege α.
Tuseme kwamba ndege nyingine β1 inapita kwa uhakika A, pia sambamba na ndegeα. Wacha tuweke alama C kwenye ndege β1 ambayo haipo kwenye ndege β. Hebu tuchore ndege γ kupitia pointi A, C na baadhi ya uhakika B ya ndege α. Ndege hii itakatiza ndege α, β na β1 pamoja na mistari iliyonyooka b, a na c. Mistari a na c haiingiliani na mstari b, kwani haiingiliani na ndege α. Kwa hiyo, zinalingana na mstari b. Lakini katika ndege ya γ ni mstari mmoja tu sambamba na mstari b unaoweza kupita kwa uhakika A. ambayo inapingana na dhana. Nadharia imethibitishwa.
28.Mali ya ndege sambamba th
29. 
Mistari ya perpendicular katika nafasi. Mistari miwili iliyonyooka katika nafasi inaitwa perpendicular ikiwa pembe kati yao ni digrii 90. c. m. k. k. m. c. k. Kukatiza. Ufugaji mseto.
| Nadharia 1 ISHARA YA UTENDAJI WA MSTARI NA NDEGE. Ikiwa mstari unaoingiliana na ndege ni sawa na mistari miwili katika ndege hii inayopitia hatua ya makutano ya mstari huu na ndege, basi ni perpendicular kwa ndege. | |
| Uthibitisho: Acha mstari uwe sawa kwa mistari b na c kwenye ndege. Kisha mstari a hupitia hatua A ya makutano ya mistari b na c. Hebu tuthibitishe kwamba mstari wa moja kwa moja a ni perpendicular kwa ndege. Wacha tuchore mstari wa kiholela x kupitia hatua A kwenye ndege na tuonyeshe kuwa ni ya kawaida kwa mstari a. Wacha tuchore mstari wa kiholela kwenye ndege ambayo haipiti hatua A na inaingiliana na mistari b, c na x. Hebu pointi za makutano ziwe B, C na X. Hebu tupange a kwenye mstari wa moja kwa moja kutoka kwa uhakika A hadi pande tofauti makundi sawa AA 1 na AA 2. Pembetatu A 1 CA 2 ni isosceles, kwani sehemu ya AC ni urefu kulingana na theorem na wastani kwa ujenzi (AA 1 = AA 2) Kwa sababu hiyo hiyo, pembetatu A 1 BA 2 pia ni isosceles. Kwa hiyo, pembetatu A 1 BC na A 2 BC ni sawa kwa pande tatu. Kutoka kwa usawa wa pembetatu A 1 BC na A 2 BC, inafuata kwamba pembe A 1 BC na A 2 BC ni sawa na, kwa hiyo, pembetatu A 1 BC na A 2 BC ni sawa kwa pande mbili na angle kati yao. . Kutoka kwa usawa wa pande A 1 X na A 2 X ya pembetatu hizi, tunahitimisha kuwa pembetatu A 1 XA 2 ni isosceles. Kwa hivyo XA yake ya wastani pia ni urefu wake. Na hii ina maana kwamba mstari x ni perpendicular kwa a. Kwa ufafanuzi, mstari wa moja kwa moja ni perpendicular kwa ndege. Nadharia imethibitishwa. |
| Nadharia ya 2 MALI YA 1 YA MISTARI INAYOENDELEA NA NDEGE. Ikiwa ndege ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine. |  |
| Uthibitisho: Acha 1 na 2 - 2 ziwe mistari sambamba na ndege inayolingana na mstari wa 1. Wacha tuthibitishe kuwa ndege hii ni ya kawaida kwa mstari wa 2. Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja wa kiholela x 2 kwenye ndege kupitia hatua A 2 ya makutano ya mstari wa moja kwa moja 2 na ndege. Wacha tuchore kwenye ndege kupitia hatua A 1 makutano ya mstari 1 na mstari x 1 sambamba na mstari x 2. Kwa kuwa mstari wa 1 ni perpendicular kwa ndege, basi mistari 1 na x 1 ni perpendicular. Na kwa nadharia ya 1, mistari inayoingiliana inayofanana nao, 2 na x 2, pia ni ya kawaida. Kwa hivyo, mstari wa 2 ni perpendicular kwa mstari wowote x 2 kwenye ndege. Na hii (kwa ufafanuzi) ina maana kwamba mstari wa moja kwa moja 2 ni perpendicular kwa ndege. Nadharia imethibitishwa. Angalia pia tatizo la kumbukumbu №2. | |
| Nadharia ya 3 MALI YA 2 YA MISTARI INAYOENDELEA NA NDEGE. Mistari miwili inayoendana na ndege moja ni sambamba. |  |
| Uthibitisho: Acha a na b iwe mistari 2 iliyonyooka, ndege za perpendicular. Tuchukulie kuwa mistari a na b haiwiani. Wacha tuchague alama C kwenye mstari b ambayo hailala kwenye ndege. Wacha tuchore mstari b 1 kupitia hatua C, sambamba na mstari a. Mstari b 1 ni perpendicular kwa ndege kulingana na Theorem 2. Hebu B na B 1 ziwe pointi za makutano ya mistari b na b 1 na ndege. Kisha mstari wa moja kwa moja BB 1 ni sawa kwa mistari inayokatiza b na b 1. Na hili haliwezekani. Tumefika kwenye utata. Nadharia imethibitishwa. |
33.Perpendicular, iliyopunguzwa kutoka kwa hatua fulani kwenye ndege iliyotolewa, ni sehemu inayounganisha hatua fulani na uhakika kwenye ndege na kulala kwenye mstari wa moja kwa moja kwa ndege. Mwisho wa sehemu hii iliyo kwenye ndege inaitwa msingi wa perpendicular.
Imeelekezwa inayotolewa kutoka sehemu fulani hadi ndege fulani ni sehemu yoyote inayounganisha sehemu fulani na ncha kwenye ndege ambayo si ya kawaida kwa ndege. Mwisho wa sehemu iliyolala kwenye ndege inaitwa msingi ulioelekezwa. Sehemu inayounganisha misingi ya kipenyo kwa ile iliyoelekezwa inayotolewa kutoka sehemu hiyo hiyo inaitwa. makadirio ya oblique.
AB ni perpendicular kwa α ndege.
AC - oblique, CB - makadirio.
Taarifa ya theorem
Ikiwa mstari wa moja kwa moja uliochorwa kwenye ndege kupitia msingi wa mstari ulioelekezwa ni sawa kwa makadirio yake, basi ni ya kawaida kwa ile iliyoelekezwa.
Ushahidi
Hebu AB- perpendicular kwa ndege α, A.C.- kutega na c- mstari wa moja kwa moja katika ndege ya α kupita kwenye uhakika C Na perpendicular kwa makadirio B.C.. Wacha tufanye moja kwa moja CK sambamba na mstari AB. Moja kwa moja CK ni perpendicular kwa ndege α (kwani ni sambamba AB), na kwa hivyo mstari wowote wa moja kwa moja wa ndege hii, kwa hivyo, CK perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja c. Wacha tuchore kupitia mistari inayofanana AB Na CK ndege β (mistari sambamba inafafanua ndege, na moja tu). Moja kwa moja c perpendicular kwa mistari miwili inayoingiliana iliyo kwenye ndege β, hii ni B.C. kulingana na hali na CK kwa ujenzi, inamaanisha kuwa ni sawa kwa mstari wowote wa ndege hii, ambayo inamaanisha kuwa ni ya kawaida kwa mstari. A.C..
Tuseme tunahitaji kupata equation ya ndege inayopitia pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari huo huo. Kuashiria vekta za radius na vekta ya sasa ya radius kwa , tunaweza kupata mlingano unaohitajika kwa urahisi katika fomu ya vector. Kwa kweli, vectors lazima coplanar (wote uongo katika ndege taka). Kwa hivyo, bidhaa ya vekta-scalar ya vekta hizi lazima iwe sawa na sifuri:
Hii ni equation ya ndege inayopitia pointi tatu zilizopewa, katika fomu ya vector.
Kuendelea kwenye kuratibu, tunapata equation katika kuratibu:
Ikiwa alama tatu zilizopewa ziko kwenye mstari huo huo, basi vekta zingekuwa collinear. Kwa hiyo, vipengele vinavyolingana vya hizo mbili mistari ya mwisho kibainishi katika mlinganyo (18) kinaweza kuwa sawia na kibainishi ni sawa sawa na sifuri. Kwa hivyo, equation (18) ingefanana kwa thamani zozote za x, y na z. Kijiometri, hii ina maana kwamba kupitia kila hatua katika nafasi kunapita ndege ambayo pointi tatu zilizopewa ziko.
Rekea 1. Tatizo sawa linaweza kutatuliwa bila kutumia vekta.
Kuashiria kuratibu za alama tatu zilizopewa, mtawaliwa, tutaandika equation ya ndege yoyote inayopitia hatua ya kwanza:
Ili kupata equation ya ndege inayotaka, ni muhimu kuhitaji kwamba equation (17) itimizwe na kuratibu za pointi nyingine mbili:
Kutoka kwa equations (19), inahitajika kuamua uwiano wa coefficients mbili hadi ya tatu na kuingiza maadili yaliyopatikana katika equation (17).
Mfano 1. Andika equation kwa ndege inayopita kwenye pointi.
Equation ya ndege inayopita katika ya kwanza ya pointi hizi itakuwa:
Masharti ya ndege (17) kupita katika sehemu zingine mbili na nukta ya kwanza ni:
Kuongeza equation ya pili kwa ya kwanza, tunapata:
Kubadilisha equation ya pili, tunapata:
Kubadilisha katika equation (17) badala ya A, B, C, mtawalia, 1, 5, -4 (nambari sawia nao), tunapata:
Mfano 2. Andika equation kwa ndege inayopitia pointi (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).
Mlinganyo wa ndege yoyote inayopita kwenye nukta (0, 0, 0) itakuwa]
Masharti ya kupita kwa ndege hii kupitia alama (1, 1, 1) na (2, 2, 2) ni:
Kupunguza equation ya pili na 2, tunaona kwamba kuamua mbili zisizojulikana, kuna equation moja na
Kutoka hapa tunapata. Sasa tukibadilisha thamani ya ndege kwenye equation, tunapata:
Hii ni equation ya ndege inayotaka; inategemea kiholela
idadi B, C (yaani, kutoka kwa uhusiano i.e. kuna idadi isiyo na kikomo ya ndege zinazopitia alama tatu zilizopewa (alama tatu zilizopewa ziko kwenye mstari sawa).
Kumbuka 2. Tatizo la kuchora ndege kupitia pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo huo hutatuliwa kwa urahisi. mtazamo wa jumla, ikiwa tunatumia viashiria. Kwa hakika, kwa kuwa katika milinganyo (17) na (19) viambajengo A, B, C haviwezi kuwa sawa na sifuri kwa wakati mmoja, basi, kwa kuzingatia milinganyo hii kama. mfumo wa homogeneous na tatu zisizojulikana A, B, C, andika muhimu na hali ya kutosha kuwepo kwa suluhisho kwa mfumo huu zaidi ya sifuri (Sehemu ya 1, Sura ya VI, § 6):
Baada ya kupanua kiashiria hiki katika vipengele vya safu ya kwanza, tunapata equation ya shahada ya kwanza kwa heshima na kuratibu za sasa, ambazo zitaridhika, hasa, na kuratibu za pointi tatu zilizotolewa.
Unaweza pia kuthibitisha hili la mwisho moja kwa moja kwa kubadilisha viwianishi vya mojawapo ya pointi hizi badala ya . Upande wa kushoto tunapata kibainishi ambacho ama vipengele vya safu ya kwanza ni sifuri au kuna safu mbili zinazofanana. Kwa hivyo, equation iliyojengwa inawakilisha ndege inayopitia pointi tatu zilizotolewa.
13.Angle kati ya ndege, umbali kutoka uhakika hadi ndege.
Acha ndege α na β zikatike kwenye mstari ulionyooka c.
Pembe kati ya ndege ni pembe kati ya perpendiculars kwa mstari wa makutano yao inayotolewa katika ndege hizi.
Kwa maneno mengine, katika ndege α tulichora mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa c. Katika ndege β - mstari wa moja kwa moja b, pia perpendicular kwa c. Pembe kati ya ndege α na β sawa na pembe kati ya mistari a na b.
Kumbuka kwamba wakati ndege mbili zinaingiliana, pembe nne zinaundwa. Unawaona kwenye picha? Kama pembe kati ya ndege tunachukua yenye viungo kona.
Ikiwa pembe kati ya ndege ni digrii 90, basi ndege perpendicular,
Huu ndio ufafanuzi wa perpendicularity ya ndege. Wakati wa kutatua matatizo katika sterometry, tunatumia pia ishara ya perpendicularity ya ndege:
Ikiwa ndege $ \ alpha $ inapita kwa njia ya pembeni hadi ndege $ \ beta $, basi ndege $ \ alpha $ na $ \ β ni za kawaida..
umbali kutoka hatua hadi ndege
Fikiria nukta T, iliyofafanuliwa na kuratibu zake:
T = (x 0, y 0, z 0)
Tunazingatia pia ndege α, iliyotolewa na equation:
Ax + By + Cz + D = 0
Kisha umbali L kutoka kwa uhakika T hadi ndege α unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:
Kwa maneno mengine, tunabadilisha kuratibu za uhakika katika equation ya ndege, na kisha kugawanya equation hii kwa urefu wa vector ya kawaida n kwa ndege:
Nambari inayotokana ni umbali. Wacha tuone jinsi nadharia hii inavyofanya kazi katika mazoezi.
Tayari tumepata equations za parametic za mstari wa moja kwa moja kwenye ndege, wacha tupate hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja, ambao umetolewa. mfumo wa mstatili kuratibu katika nafasi tatu-dimensional.
Hebu mfumo wa kuratibu wa mstatili urekebishwe katika nafasi ya tatu-dimensional Oksiz. Hebu tufafanue mstari wa moja kwa moja ndani yake a(tazama sehemu ya njia za kufafanua mstari kwenye nafasi), ikionyesha mwelekeo wa vekta ya mstari 
na kuratibu za hatua fulani kwenye mstari 
. Tutaanza kutoka kwa data hizi wakati wa kuchora milinganyo ya parametric ya mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi.
Hebu iwe hatua ya kiholela katika nafasi ya pande tatu. Ikiwa tunaondoa kutoka kwa kuratibu za uhakika M kuratibu za uhakika zinazolingana M 1, basi tutapata kuratibu za vector (angalia kifungu kutafuta kuratibu za vector kutoka kwa kuratibu za pointi za mwisho na mwanzo wake), yaani, 
.
Kwa wazi, seti ya pointi hufafanua mstari A ikiwa na tu ikiwa vekta na ni collinear.
Hebu tuandike hali ya lazima na ya kutosha kwa collinearity ya vectors 
Na : 
, wapi - baadhi nambari halisi. Equation inayotokana inaitwa vector-parametric equation ya mstari katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oksiz katika nafasi tatu-dimensional. Vector-parametric equation ya mstari wa moja kwa moja katika fomu ya kuratibu ina fomu 
na inawakilisha equations parametric ya mstari a. Jina "parametric" sio ajali, kwani kuratibu za pointi zote kwenye mstari zinatajwa kwa kutumia parameter.
Hebu tupe mfano wa equations ya parametric ya mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oksiz katika nafasi:. Hapa
15.Angle kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege. Hatua ya makutano ya mstari na ndege.
Kila mlinganyo wa shahada ya kwanza kwa heshima na viwianishi x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
inafafanua ndege, na kinyume chake: ndege yoyote inaweza kuwakilishwa na equation (3.1), ambayo inaitwa equation ya ndege.
Vekta n(A, B, C), orthogonal kwa ndege, kuitwa vector ya kawaida ndege. Katika equation (3.1), coefficients A, B, C si sawa na 0 kwa wakati mmoja.
Kesi maalum milinganyo (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ndege hupitia asili.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ndege ni sambamba na mhimili wa Oz.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ndege hupitia mhimili wa Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ndege ni sawa na ndege ya Oyz.
Milinganyo kuratibu ndege: x = 0, y = 0, z = 0.
Mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi unaweza kubainishwa:
1) kama mstari wa makutano ya ndege mbili, i.e. mfumo wa equations:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) kwa pointi zake mbili M 1 (x 1, y 1, z 1) na M 2 (x 2, y 2, z 2), kisha mstari wa moja kwa moja unaopita kati yao hutolewa na equations:
3) uhakika M 1 (x 1, y 1, z 1) mali yake, na vekta a(m, n, p), colinear yake. Kisha mstari wa moja kwa moja umedhamiriwa na hesabu:
. (3.4)
Milinganyo (3.4) inaitwa milinganyo ya kisheria ya mstari.
Vekta a kuitwa mwelekeo vector moja kwa moja.
Milinganyo ya parametric tunapata mstari wa moja kwa moja kwa kusawazisha kila moja ya mahusiano (3.4) kwa paramu t:
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)
Mfumo wa utatuzi (3.2) kama mfumo milinganyo ya mstari kiasi haijulikani x Na y, tunafika kwenye milinganyo ya mstari ndani makadirio au kwa kutokana na milinganyo ya mstari wa moja kwa moja:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Kutoka kwa milinganyo (3.6) tunaweza kwenda kwa milinganyo ya kisheria, kutafuta z kutoka kwa kila equation na kusawazisha maadili yanayotokana:
.
Kutoka kwa hesabu za jumla (3.2) unaweza kwenda kwa zile za kisheria kwa njia nyingine, ikiwa utapata nukta yoyote kwenye mstari huu na vekta ya mwelekeo wake. n= [n 1 , n 2], wapi n 1 (A 1, B 1, C 1) na n 2 (A 2, B 2, C 2) - vectors ya kawaida ya ndege zilizopewa. Ikiwa moja ya madhehebu m, n au R katika equations (3.4) inageuka sawa na sifuri, basi nambari ya sehemu inayofanana lazima iwekwe sawa na sifuri, i.e. mfumo
ni sawa na mfumo 
; mstari wa moja kwa moja kama huo ni sawa kwa mhimili wa Ox.
Mfumo 
ni sawa na mfumo x = x 1, y = y 1; mstari wa moja kwa moja ni sambamba na mhimili wa Oz.
Mfano 1.15. Andika mlinganyo wa ndege, ukijua kwamba nukta A(1,-1,3) hutumika kama msingi wa mlinganyo uliochorwa kutoka asili hadi kwenye ndege hii.
Suluhisho. Kulingana na hali ya shida, vector OA(1,-1,3) ni vekta ya kawaida ya ndege, basi equation yake inaweza kuandikwa kama
x-y+3z+D=0. Kubadilisha viwianishi vya nukta A(1,-1,3), mali ya ndege, tunapata D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Kwa hivyo x-y+3z-11=0.
Mfano 1.16. Andika mlinganyo wa ndege inayopita kwenye mhimili wa Oz na kuunda pembe ya 60° na ndege 2x+y-z-7=0.
Suluhisho. Ndege inayopita kwenye mhimili wa Oz inatolewa na mlinganyo Ax+By=0, ambapo A na B hazipotei kwa wakati mmoja. Wacha B asifanye
ni sawa na 0, A/Bx+y=0. Kwa kutumia fomula ya cosine kwa pembe kati ya ndege mbili
.
Kuamua mlinganyo wa quadratic 3m 2 + 8m - 3 = 0, pata mizizi yake
m 1 = 1/3, m 2 = -3, kutoka ambapo tunapata ndege mbili 1/3x+y = 0 na -3x+y = 0.
Mfano 1.17. Tunga milinganyo ya kisheria ya mstari:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Suluhisho.Milinganyo ya kisheria mistari iliyonyooka ina fomu:
Wapi m, n, uk- kuratibu za vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja, x 1 , y 1 , z 1- kuratibu za sehemu yoyote ya mstari. Mstari wa moja kwa moja hufafanuliwa kama mstari wa makutano ya ndege mbili. Ili kupata uhakika wa mstari, moja ya kuratibu ni fasta (njia rahisi ni kuweka, kwa mfano, x=0) na mfumo kusababisha kutatuliwa kama mfumo wa equations linear na mbili haijulikani. Kwa hivyo, acha x=0, kisha y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, kwa hivyo y=-1, z=1. Tulipata kuratibu za uhakika M(x 1, y 1, z 1) za mstari huu: M (0,-1,1). Vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja ni rahisi kupata, kujua vectors ya kawaida ya ndege ya awali n 1 (5,1,1) na n 2 (2,3,-2). Kisha
Milinganyo ya kisheria ya mstari ina fomu: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Mfano 1.18. Katika boriti iliyoelezwa na ndege 2x-y+5z-3=0 na x+y+2z+1=0, pata ndege mbili za perpendicular, moja ambayo hupitia hatua ya M (1,0,1).
Suluhisho. Mlinganyo wa boriti unaofafanuliwa na ndege hizi una umbo u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, ambapo u na v hazipotei kwa wakati mmoja. Wacha tuandike tena usawa wa boriti kwa njia ifuatayo:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Ili kuchagua ndege kutoka kwa boriti inayopitia hatua M, tunabadilisha kuratibu za uhakika M kwenye equation ya boriti. Tunapata:
(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, au v = - u.
Kisha tunapata equation ya ndege iliyo na M kwa kubadilisha v = - u kwenye equation ya boriti:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Kwa sababu u¹0 (vinginevyo v=0, na hii inakinzana na ufafanuzi wa boriti), basi tuna mlingano wa ndege x-2y+3z-4=0. Ndege ya pili ya boriti lazima iwe perpendicular yake. Wacha tuandike hali ya usawa wa ndege:
(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, au v = - 19/5u.
Hii inamaanisha kuwa equation ya ndege ya pili ina fomu:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 au 9x +24y + 13z + 34 = 0
Unaweza kuweka njia tofauti(pointi moja na vector, pointi mbili na vector, pointi tatu, nk). Ni kwa kuzingatia hili kwamba equation ya ndege inaweza kuwa aina tofauti. Pia, kulingana na hali fulani, ndege zinaweza kuwa sambamba, perpendicular, intersecting, nk. Tutazungumza juu ya hili katika makala hii. Tutajifunza jinsi ya kuunda equation ya jumla ya ndege na zaidi.
Aina ya kawaida ya equation
Wacha tuseme kuna nafasi R 3 ambayo ina mfumo wa kuratibu wa XYZ wa mstatili. Hebu tufafanue vector α, ambayo itatolewa kutoka kwa hatua ya awali O. Kupitia mwisho wa vector α tunachora ndege P, ambayo itakuwa perpendicular yake.
Wacha tuonyeshe sehemu ya kiholela kwenye P kama Q = (x, y, z). Wacha tutie saini vekta ya radius ya uhakika Q na herufi p. Katika kesi hii, urefu wa vekta α ni sawa na р=IαI na Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Hii vekta ya kitengo, ambayo imeelekezwa kwa upande, kama vekta α. α, β na γ ni pembe zinazoundwa kati ya vekta Ʋ na maelekezo chanya ya shoka za nafasi x, y, z, mtawalia. Makadirio ya nukta yoyote QϵП kwenye vekta Ʋ ni thamani ya kudumu, ambayo ni sawa na p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Mlinganyo ulio hapo juu unaeleweka wakati p=0. Jambo pekee ni kwamba ndege P katika kesi hii itaingiliana na hatua O (α=0), ambayo ni asili ya kuratibu, na vector ya kitengo Ʋ iliyotolewa kutoka kwa uhakika O itakuwa perpendicular kwa P, licha ya mwelekeo wake, ambayo. inamaanisha kuwa vekta Ʋ imebainishwa kwa usahihi wa ishara. Equation ya awali ni equation ya ndege yetu P, iliyoonyeshwa kwa fomu ya vector. Lakini katika kuratibu itaonekana kama hii:
P hapa ni kubwa kuliko au sawa na 0. Tumepata equation ya ndege katika nafasi katika hali ya kawaida.
Mlinganyo wa jumla
Ikiwa tutazidisha mlinganyo katika viwianishi kwa nambari yoyote ambayo si sawa na sifuri, tunapata mlinganyo sawa na hii, ikifafanua ndege hiyohiyo. Itakuwa kama hii:
Hapa A, B, C ni nambari ambazo ni tofauti kwa wakati mmoja na sifuri. Mlinganyo huu unaitwa mlinganyo wa jumla wa ndege.
Equations za ndege. Kesi maalum
Equation katika fomu ya jumla inaweza kubadilishwa ikiwa iko masharti ya ziada. Hebu tuangalie baadhi yao.
Hebu tuchukulie kwamba mgawo A ni 0. Hii ina maana kwamba kupewa ndege sambamba na mhimili uliopewa Ox. Katika kesi hii, fomu ya equation itabadilika: Ву+Cz+D=0.
Vile vile, fomu ya equation itabadilika chini ya masharti yafuatayo:
- Kwanza, ikiwa B = 0, basi equation itabadilika kuwa Ax + Cz + D = 0, ambayo itaonyesha usawa kwa mhimili wa Oy.
- Pili, ikiwa C=0, basi equation itabadilishwa kuwa Ax+By+D=0, ambayo itaonyesha ulinganifu wa mhimili uliopewa wa Oz.
- Tatu, ikiwa D=0, mlinganyo utaonekana kama Ax+By+Cz=0, ambayo itamaanisha kuwa ndege inakatiza O (asili).
- Nne, ikiwa A=B=0, basi equation itabadilika hadi Cz+D=0, ambayo itathibitika kuwa sambamba na Oxy.
- Tano, ikiwa B=C=0, basi equation inakuwa Ax+D=0, ambayo ina maana kwamba ndege kwenda Oyz ni sambamba.
- Sita, ikiwa A=C=0, basi equation itachukua fomu Ву+D=0, yaani, itaripoti ulinganifu kwa Oxz.
Aina ya equation katika sehemu
Katika kesi wakati nambari A, B, C, D ni tofauti na sifuri, fomu ya equation (0) inaweza kuwa kama ifuatavyo:
x/a + y/b + z/c = 1,
ambamo a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Tunapata kama matokeo.Inafaa kukumbuka kuwa ndege hii itakatiza mhimili wa Ox kwa hatua yenye viwianishi (a,0,0), Oy - (0,b,0), na Oz - (0,0,c )
Kwa kuzingatia equation x/a + y/b + z/c = 1, si vigumu kuibua kufikiria uwekaji wa ndege kuhusiana na mfumo fulani wa kuratibu.
Kuratibu za vector za kawaida
Vekta ya kawaida n kwa ndege P ina viwianishi ambavyo ni mgawo mlingano wa jumla ya ndege iliyotolewa, yaani, n (A, B, C).
Ili kuamua kuratibu za n ya kawaida, inatosha kujua equation ya jumla ya ndege iliyotolewa.
Wakati wa kutumia equation katika sehemu, ambayo ina fomu x/a + y/b + z/c = 1, na vile vile wakati wa kutumia equation ya jumla, unaweza kuandika kuratibu za vector yoyote ya kawaida ya ndege fulani: (1) /a + 1/b + 1/ Pamoja).
Ni muhimu kuzingatia kwamba vector ya kawaida husaidia kutatua kazi mbalimbali. Ya kawaida ni pamoja na matatizo ambayo yanahusisha kuthibitisha perpendicularity au usawa wa ndege, matatizo ya kutafuta pembe kati ya ndege au pembe kati ya ndege na mistari ya moja kwa moja.
Aina ya equation ya ndege kulingana na kuratibu za uhakika na vector ya kawaida
Nonzero vekta n perpendicular kwa ndege fulani inaitwa kawaida kwa ndege fulani.
Wacha tufikirie kuwa katika nafasi ya kuratibu (mfumo wa kuratibu wa mstatili) Oxyz wamepewa:
- uhakika Mₒ na viwianishi (xₒ,yₒ,zₒ);
- vekta sifuri n=A*i+B*j+C*k.
Ni muhimu kuunda equation kwa ndege ambayo itapita kwa uhakika Mₒ perpendicular kwa kawaida n.
Tunachagua sehemu yoyote ya kiholela katika nafasi na kuiashiria M (x y, z). Acha vekta ya kipenyo cha sehemu yoyote ya M (x,y,z) iwe r=x*i+y*j+z*k, na vekta ya radius ya uhakika Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Pointi M itakuwa ya ndege fulani ikiwa vekta MₒM ni ya kawaida kwa vekta n. Wacha tuandike hali ya orthogonality kwa kutumia bidhaa ya scalar:
[MₒM, n] = 0.
Kwa kuwa MₒM = r-rₒ, equation ya vekta ya ndege itaonekana kama hii:
Mlinganyo huu unaweza kuwa na namna nyingine. Kwa kufanya hivyo, mali ya bidhaa ya scalar hutumiwa, na mabadiliko ni upande wa kushoto milinganyo = -. Ikiwa tunaashiria kama c, tunapata equation ifuatayo: - c = 0 au = = c, ambayo inaonyesha uthabiti wa makadirio kwenye vekta ya kawaida ya vekta za radius ya pointi fulani ambazo ni za ndege.
Sasa unaweza kupata mwonekano wa kuratibu wa rekodi mlinganyo wa vekta ndege yetu = 0. Kwa kuwa r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, na n = A*i+B*j+C*k, sisi tuna:
Inabadilika kuwa tunayo equation ya ndege inayopita kwenye sehemu ya kawaida ya n:
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Aina ya equation ya ndege kulingana na kuratibu za pointi mbili na collinear ya vector kwa ndege
Hebu tufafanue pointi mbili za kiholela M′ (x′,y′,z′) na M″ (x″,y″,z″), pamoja na vekta a (a′,a″,a‴).
Sasa tunaweza kuunda mlinganyo wa ndege fulani ambayo itapitia alama zilizopo M′ na M″, na vile vile nukta yoyote M yenye viwianishi (x, y, z) sambamba na vekta a.
Katika hali hii, vekta M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) na M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) lazima zilingane na vekta. a=(a′,a″,a‴), ambayo ina maana kwamba (M′M, M″M, a)=0.
Kwa hivyo, equation ya ndege yetu katika nafasi itaonekana kama hii:
Aina ya equation ya ndege inayokatiza pointi tatu
Hebu tuseme tuna pointi tatu: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ambazo si za mstari mmoja. Ni muhimu kuandika equation ya ndege inayopita kwa kupewa pointi tatu. Nadharia ya jiometri inadai kwamba aina hii ya ndege ipo, lakini ndiyo pekee na ya kipekee. Kwa kuwa ndege hii inakatiza nukta (x′,y′,z′), muundo wa mlinganyo wake utakuwa kama ifuatavyo:
Hapa A, B, C ni tofauti na sifuri kwa wakati mmoja. Pia, ndege iliyotolewa huvuka pointi mbili zaidi: (x″,y″,z″) na (x‴,y‴,z‴). Katika suala hili, masharti yafuatayo lazima yakamilishwe:
Sasa tunaweza kuunda mfumo wa homogeneous na haijulikani u, v, w:
Katika yetu kesi x,y au z inajitokeza hatua ya kiholela, ambayo inakidhi equation (1). Kwa kuzingatia equation (1) na mfumo wa milinganyo (2) na (3), mfumo wa milinganyo iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu inaridhika na vekta N (A,B,C), ambayo sio ndogo. Ndiyo maana kibainishi cha mfumo huu ni sawa na sifuri.
Equation (1) ambayo tumepata ni equation ya ndege. Inapita kwa pointi 3 hasa, na hii ni rahisi kuangalia. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupanua kibainishi chetu katika vipengele katika safu ya kwanza. Kutoka mali zilizopo kiashiria inafuata kwamba ndege yetu inakatiza kwa wakati mmoja pointi tatu zilizotolewa mwanzo (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴). Hiyo ni, tumetatua kazi tuliyopewa.
Pembe ya dihedral kati ya ndege
Pembe ya dihedral inawakilisha anga takwimu ya kijiometri, inayoundwa na nusu-ndege mbili zinazotoka kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja. Kwa maneno mengine, hii ni sehemu ya nafasi ambayo imepunguzwa na ndege hizi za nusu.
Wacha tuseme tuna ndege mbili zilizo na hesabu zifuatazo:
Tunajua kwamba vekta N=(A,B,C) na N¹=(A¹,B¹,C¹) ni za pembeni kulingana na kupewa ndege. Katika suala hili, angle φ kati ya vectors N na N¹ ni sawa na angle (dihedral) ambayo iko kati ya ndege hizi. Bidhaa ya Scalar ina fomu:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
haswa kwa sababu
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Inatosha kuzingatia kwamba 0≤φ≤π.
Kwa kweli, ndege mbili zinazoingiliana huunda pembe mbili (dihedral): φ 1 na φ2. Jumla yao ni sawa na π (φ 1 + φ 2 = π). Kama kwa cosines, maadili yao kamili ni sawa, lakini yanatofautiana kwa ishara, ambayo ni, cos φ 1 = -cos φ 2. Ikiwa katika equation (0) tunabadilisha A, B na C na nambari -A, -B na -C, mtawaliwa, basi equation tunayopata itaamua ndege sawa, moja pekee, angle φ in. cos equationφ=NN 1 /|N||N 1 | itabadilishwa na π-φ.
Equation ya ndege perpendicular
Ndege kati ya ambayo angle ni digrii 90 huitwa perpendicular. Kutumia nyenzo zilizowasilishwa hapo juu, tunaweza kupata equation ya ndege perpendicular kwa mwingine. Hebu tuseme tuna ndege mbili: Ax+By+Cz+D=0 na A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Tunaweza kusema kwamba zitakuwa perpendicular ikiwa cosφ=0. Hii ina maana kwamba NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Mlinganyo wa ndege sambamba
Ndege mbili ambazo hazina pointi za kawaida huitwa sambamba.
Hali (milinganyo yao ni sawa na in aya iliyotangulia) ni kwamba vekta N na N¹, ambazo ni za kawaida kwao, ni collinear. Na hii ina maana kwamba yanatimizwa masharti yafuatayo uwiano:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Masharti ya uwiano yakiongezwa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
hii inaashiria kuwa ndege hizi zinaendana. Hii ina maana kwamba milinganyo Ax+By+Cz+D=0 na A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 inaelezea ndege moja.
Umbali kwa ndege kutoka uhakika
Wacha tuseme tuna ndege P, ambayo inatolewa na equation (0). Inahitajika kupata umbali wake kutoka kwa sehemu iliyo na viwianishi (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuleta equation ya ndege P katika fomu ya kawaida:
(ρ,v)=р (р≥0).
KATIKA kwa kesi hiiρ (x,y,z) ni kivekta kipenyo cha nukta yetu Q iliyoko kwenye P, p ni urefu wa P ya perpendicular ambayo ilitolewa kutoka. pointi sifuri, v ni vekta ya kitengo, ambayo iko katika mwelekeo a.
Tofauti ρ-ρº radius vekta ya sehemu fulani Q = (x, y, z), inayomilikiwa na P, na vile vile vekta ya radius ya sehemu fulani Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ni vekta kama hiyo, thamani kamili ambao makadirio yake kwenye v ni sawa na umbali d, ambao unahitaji kupatikana kutoka Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) hadi P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, lakini
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Kwa hiyo inageuka
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
Kwa hivyo tutapata thamani kamili usemi unaotokana, yaani, taka d.
Kutumia lugha ya parameta, tunapata dhahiri:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Kama kuweka uhakika Q 0 iko upande wa pili wa ndege P, kama asili ya kuratibu, basi kati ya vekta ρ-ρ 0 na v kwa hivyo iko:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
Katika kesi wakati hatua Q 0, pamoja na asili ya kuratibu, iko upande huo huo wa P, basi pembe iliyoundwa ni ya papo hapo, ambayo ni:
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
Kama matokeo, inageuka kuwa katika kesi ya kwanza ( ρ 0,v)>р, kwa pili (ρ 0,v)<р.
Ndege ya Tangent na mlinganyo wake
Ndege ya tanjiti kwenye sehemu ya mguso ya Mº ni ndege iliyo na mikondo yote inayowezekana kwa mipinde inayochorwa kupitia sehemu hii kwenye uso.
Na aina hii ya mlinganyo wa uso F(x,y,z)=0, mlinganyo wa ndege ya tanjiti katika hatua ya tanjiti Mº(xº,yº,zº) utaonekana kama hii:
F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Ukibainisha uso katika umbo dhahiri z=f (x,y), basi tanjiti itaelezewa na mlinganyo:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).
Makutano ya ndege mbili
Katika mfumo wa kuratibu (mstatili) Oxyz iko, ndege mbili П′ na П″ zinatolewa, ambazo zinaingiliana na hazifanani. Kwa kuwa ndege yoyote iliyo katika mfumo wa kuratibu wa mstatili huamuliwa na mlinganyo wa jumla, tutachukulia kwamba P′ na P″ zimetolewa na milinganyo Ax+B′y+C′z+D′=0 na A″x. +B″y+ С″z+D″=0. Katika hali hii, tuna n′ (A′,B′,C′) ya kawaida ya ndege P′ na n″ ya kawaida (A″,B″,C″) ya ndege P″. Kwa kuwa ndege zetu hazilingani na hazilingani, vekta hizi sio collinear. Kwa kutumia lugha ya hisabati, tunaweza kuandika hali hii kama ifuatavyo: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Acha mstari ulionyooka ulio kwenye makutano ya P′ na P″ ubainishwe kwa herufi a, katika kesi hii a = P′ ∩ P″.
a ni mstari ulionyooka unaojumuisha seti ya pointi zote za ndege (ya kawaida) P′ na P″. Hii ina maana kwamba viwianishi vya sehemu yoyote ya mstari a lazima vikidhi milinganyo Ax+B′y+Cz+D′=0 na A″x+B″y+C″z+D″=0. . Hii inamaanisha kuwa kuratibu za nukta itakuwa suluhisho la sehemu ya mfumo ufuatao wa hesabu:
Kama matokeo, zinageuka kuwa suluhisho la (jumla) la mfumo huu wa equations litaamua kuratibu za kila moja ya alama za mstari, ambazo zitafanya kama sehemu ya makutano ya P′ na P″, na kuamua mstari wa moja kwa moja. a katika mfumo wa kuratibu wa Oxyz (mstatili) katika nafasi.