Hakiki:
WIZARA YA ELIMU MKOA WA MOSCOW
Taasisi ya Elimu ya Jimbo Shule ya Ufundi ya NPO Na. 37
MRADI:
MILIngano WA ROBO NA KUTOKUWA NA USAWA NA VIGEZO"
Imetekelezwa -
Matuk Galina Nikolaevna,
Mwalimu wa Hisabati, Taasisi ya Elimu ya Serikali NPO
shule ya ufundi namba 37 MO.
G.Noginsk, 2011
1. Utangulizi
4. Mbinu ya kutatua milinganyo ya quadratic chini ya hali ya awali.
6. Mbinu ya kutatua kutofautiana kwa quadratic na vigezo kwa fomu ya jumla.
7. Mbinu ya kutatua usawa wa quadratic chini ya hali ya awali.
8. Hitimisho.
9.Fasihi.
- Utangulizi.
Kazi kuu ya kufundisha hisabati katika shule ya ufundi ni kuhakikisha ustadi wa nguvu na ufahamu wa wanafunzi wa mfumo wa maarifa na ustadi wa hisabati muhimu katika maisha ya kila siku na kazini, ya kutosha kwa kusoma taaluma zinazohusiana na elimu ya kuendelea, na vile vile katika shughuli za kitaalam. zinahitaji utamaduni wa juu wa hisabati wa kutosha.
Mafunzo ya hesabu ya wasifu hufanywa kupitia kutatua shida zinazotumika zinazohusiana na fani ya ufundi chuma, kazi ya ufungaji wa umeme, na utengenezaji wa mbao. Kwa maisha katika jamii ya kisasa, ni muhimu kuendeleza mtindo wa mawasiliano ya hisabati, ambayo inajidhihirisha katika ujuzi fulani wa akili. Matatizo na vigezo yana thamani ya uchunguzi na ubashiri. Kwa msaada wao, unaweza kujaribu ujuzi wako wa sehemu kuu za hisabati ya msingi, kiwango cha kufikiri kimantiki, na ujuzi wa awali wa utafiti.
Kazi za kufundisha zilizo na vigezo zinahitaji wanafunzi kuwa na juhudi kubwa za kiakili na za hiari, umakini uliokuzwa, na ukuzaji wa sifa kama vile shughuli, mpango wa ubunifu, na kazi ya pamoja ya utambuzi. Shida zilizo na vigezo zimeelekezwa kwa masomo wakati wa marudio ya jumla katika mwaka wa 2 katika maandalizi ya udhibitisho wa mwisho wa serikali na katika mwaka wa 3 katika madarasa ya ziada katika maandalizi kwa wanafunzi ambao wameonyesha hamu ya kuchukua mitihani ya mwisho kwa njia ya Mtihani wa Jimbo la Umoja. .
Mwelekeo kuu wa kisasa wa elimu ya hisabati ni maendeleo ya taratibu za udhibitisho wa mwisho kupitia kuanzishwa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja. Katika miaka ya hivi karibuni, matatizo na vigezo yameletwa katika kazi za hisabati. Kazi kama hizo zinahitajika kwa mitihani ya kuingia chuo kikuu. Kuonekana kwa shida kama hizo ni muhimu sana, kwani kwa msaada wao wanajaribu ustadi wa mwombaji wa fomula za hesabu za kimsingi, njia za kutatua hesabu na usawa, uwezo wa kujenga mlolongo wa kimantiki wa hoja, na kiwango cha mawazo ya kimantiki ya mwombaji. . Uchambuzi wa matokeo ya awali ya Mitihani ya Jimbo la Umoja katika miaka kadhaa iliyopita unaonyesha kuwa wahitimu wana ugumu mkubwa wa kutatua kazi kama hizo, na wengi hata hawazianzishi. Wengi ama hawawezi kukabiliana na kazi kama hizo hata kidogo, au kutoa mahesabu magumu. Sababu ya hii ni ukosefu wa mfumo wa kazi juu ya mada hii katika vitabu vya shule. Katika suala hili, kulikuwa na haja ya kufanya mada maalum katika vikundi vya wahitimu katika maandalizi ya mitihani ya kutatua matatizo na vigezo na matatizo ya asili kutumika kuhusiana na mwelekeo wa kitaaluma.
Utafiti wa mada hizi unakusudiwa wanafunzi wa mwaka wa 3 ambao wanataka kujifunza jinsi ya kutatua shida za kiwango cha kuongezeka cha utata katika aljebra na mwanzo wa uchambuzi. Kutatua shida kama hizo huwaletea shida kubwa. Hii ni kutokana na ukweli kwamba kila equation au usawa na vigezo inawakilisha darasa zima la equations kawaida na kutofautiana, kwa kila mmoja ambayo ufumbuzi lazima kupatikana.
Katika mchakato wa kutatua matatizo na vigezo, safu ya mbinu na mbinu za kufikiri ya binadamu kwa kawaida ni pamoja na introduktionsutbildning na kupunguzwa, jumla na vipimo, uchambuzi, uainishaji na systematization, na mlinganisho. Kwa kuwa mtaala katika shule za ufundi hutoa mashauriano katika hisabati, ambayo yanajumuishwa katika ratiba ya madarasa, kwa wanafunzi ambao wana mafunzo ya kutosha ya hisabati, wanaonyesha kupendezwa na somo linalosomwa, na wana lengo zaidi la kuingia chuo kikuu, inashauriwa. kutumia saa maalum kutatua matatizo na vigezo vya kuandaa olympiads, mashindano ya hisabati, aina mbalimbali za mitihani, hasa Mtihani wa Jimbo la Umoja. Suluhisho la shida kama hizo ni muhimu sana kwa madhumuni ya kutumika na ya vitendo, ambayo yatasaidia katika kufanya tafiti mbali mbali.
2. Malengo, kazi kuu, mbinu, teknolojia, mahitaji ya ujuzi.
Malengo ya mradi:
- Uundaji wa uwezo na ustadi katika kutatua shida na vigezo, ambavyo vinajitokeza kwenye masomo ya hesabu za quadratic na usawa.
- Kuunda shauku katika somo, kukuza uwezo wa kihesabu, kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja.
- Kupanua uelewa wa hisabati wa mbinu na mbinu za kutatua milinganyo na usawa.
- Maendeleo ya kufikiri kimantiki na ujuzi wa utafiti.
- Kushiriki katika shughuli za ubunifu, utafiti na elimu.
- Kutoa masharti ya kazi ya ubunifu ya kujitegemea.
- Kukuza juhudi za kiakili na za hiari za wanafunzi, ukuzaji wa umakini, shughuli, mpango wa ubunifu, na ujuzi wa kazi ya pamoja ya utambuzi.
Malengo makuu ya mradi:
- Kuwapa wanafunzi fursa ya kutambua maslahi yao katika hisabati na fursa za kibinafsi kwa maendeleo yake.
- Kukuza upatikanaji wa maarifa na ujuzi wa ukweli.
- Onyesha umuhimu wa vitendo wa shida na vigezo katika uwanja wa utafiti uliotumika.
- Fundisha mbinu za kutatua milinganyo ya kawaida na isiyo ya kawaida na ukosefu wa usawa.
- Kukuza maarifa katika hisabati, kutoa kwa ajili ya malezi ya maslahi endelevu katika somo.
- Tambua na kukuza uwezo wa hisabati wa wanafunzi.
- Kutoa maandalizi ya kuingia vyuo vikuu.
- Kutoa maandalizi ya shughuli za kitaaluma zinazohitaji utamaduni wa juu wa hisabati.
- Kuandaa shughuli za utafiti na mradi zinazokuza ukuzaji wa ujuzi wa kiakili na mawasiliano.
Njia zinazotumiwa wakati wa madarasa:
- Hotuba - kuwasilisha nyenzo za kinadharia, ikifuatana na mazungumzo na wanafunzi.
- Semina - kuunganisha nyenzo juu ya nadharia ya kujadili.
- Warsha - kwa ajili ya kutatua matatizo ya hisabati.
- Majadiliano - kutoa hoja kwa ajili ya ufumbuzi wako.
- Aina mbalimbali za shughuli za kikundi na mtu binafsi.
- Shughuli za utafiti, ambazo zimepangwa kupitia: kazi na nyenzo za didactic, utayarishaji wa ujumbe, utetezi wa muhtasari na kazi za ubunifu.
- Mihadhara - mawasilisho kwa kutumia kompyuta na projekta.
Teknolojia zinazotumika:
- Mfumo wa mafunzo ya mihadhara-semina.
- Teknolojia ya habari na mawasiliano.
- Mbinu ya utafiti katika ufundishaji inayolenga kukuza uwezo wa kufikiri.
- Kujifunza kwa msingi wa shida, ambayo hutoa motisha kwa utafiti kwa kuibua shida, kujadili chaguzi mbali mbali za shida.
- Teknolojia ya mbinu ya shughuli ambayo husaidia kukuza masilahi ya utambuzi ya wanafunzi.
Mahitaji ya maarifa ya wanafunzi.
Kama matokeo ya kusoma njia anuwai za kutatua hesabu za quadratic na usawa na vigezo, wanafunzi wanapaswa kupata ujuzi:
- Shikilia kwa uthabiti dhana ya kigezo katika mlinganyo wa quadratic na usawa wa quadratic;
- Kuwa na uwezo wa kutatua milinganyo ya quadratic na vigezo.
- Kuwa na uwezo wa kutatua usawa wa quadratic na vigezo.
- Pata mizizi ya kazi ya quadratic.
- Jenga grafu za utendaji wa quadratic.
- Gundua quadratic trinomial.
- Tumia mbinu za busara za mabadiliko ya utambulisho.
- Tumia mbinu zinazotumiwa zaidi za heuristic.
- Kuwa na uwezo wa kutumia ujuzi uliopatikana wakati wa kufanya kazi kwenye kompyuta binafsi.
Fomu za udhibiti.
- Masomo - tathmini binafsi na tathmini ya wandugu.
- Uwasilishaji wa miradi ya elimu.
- Kupima.
- Ukadiriaji - meza.
- Matatizo ya kazi za nyumbani kutoka kwa makusanyo ya Mitihani ya Jimbo la Umoja wa miaka iliyopita.
- Karatasi za mtihani.
3. Mbinu ya kutatua equations za quadratic na vigezo katika fomu ya jumla.
Usiogope matatizo na vigezo. Kwanza kabisa, wakati wa kusuluhisha hesabu na kukosekana kwa usawa na vigezo, unahitaji kufanya kile kinachofanywa wakati wa kusuluhisha usawa wowote na usawa - punguza hesabu uliyopewa au usawa kwa fomu rahisi, ikiwezekana: tengeneza usemi wa busara, punguza, weka kipengele nje ya mabano, nk. .d. Kuna matatizo ambayo yanaweza kugawanywa katika madarasa mawili makubwa.
Darasa la kwanza ni pamoja na mifano ambayo inahitajika kutatua equation au usawa kwa maadili yote yanayowezekana ya paramu.
Darasa la pili ni pamoja na mifano ambayo inahitajika kupata sio suluhisho zote zinazowezekana, lakini zile tu zinazokidhi hali zingine za ziada. Darasa la shida kama hizo haliwezi kumalizika.
Njia inayoeleweka zaidi kwa wanafunzi kutatua shida kama hizo ni kwanza kutafuta suluhisho zote na kisha kuchagua zile zinazokidhi masharti ya ziada.
Wakati wa kutatua shida na vigezo, wakati mwingine ni rahisi kuunda grafu kwenye ndege ya kawaida (x, y), na wakati mwingine ni bora kuzingatia grafu kwenye ndege (x, a), ambapo x ni tofauti inayojitegemea na "a" ni kigezo. Hii inawezekana kimsingi katika shida ambapo lazima utengeneze grafu za msingi zinazojulikana: mistari iliyonyooka, parabolas, miduara, n.k. Kwa kuongeza, michoro za grafu wakati mwingine husaidia kuona wazi "maendeleo" ya suluhisho.
Wakati wa kutatua hesabu f (x, a) = 0 na kukosekana kwa usawa f (x, a) › 0, lazima tukumbuke kwamba kwanza kabisa suluhisho linazingatiwa kwa maadili hayo ya paramu ambayo mgawo uko juu zaidi. nguvu x ya utatu wa mraba f (x ,a), na hivyo kupunguza kiwango. Mlinganyo wa quadratic A(a) x 2 + B(a) x + C(a) = 0 kwa A(a) = 0 hubadilika kuwa mstari ikiwa B(a) ≠ 0, na mbinu za kutatua milinganyo ya robo na mstari ni tofauti.
Wacha tukumbuke kanuni za msingi za kufanya kazi na hesabu za quadratic.
Mlinganyo wa fomu ah 2 + katika + c = 0, ambapo x R hazijulikani, a, b, c ni misemo ambayo inategemea tu vigezo, na ≠ 0 inaitwa equation ya quadratic, na D = b 2 – 4ac inaitwa kibaguzi cha quadratic trinomial.
Ikiwa D
Ikiwa D> 0, basi equation ina mizizi miwili tofauti
x 1 = , x 2 =, na kisha shoka 2 + katika + c = a (x – x 1) (x – x 2).
Mizizi hii inahusiana kupitia coefficients ya equation na fomula za Vieta
Ikiwa D = 0, basi equation ina mizizi miwili inayofanana x 1 = x 2 = , na kisha shoka 2 + katika + c = a (x – x 1) 2 . Katika kesi hii, equation inasemekana kuwa na suluhisho moja.
Wakati, i.e. = 2k, mizizi ya equation ya quadratic imedhamiriwa na fomula x 1,2 = ,
Ili kutatua mlingano wa quadratic uliopunguzwa x 2 + px + q = 0
Fomula iliyotumika ni x 1,2 = - , pamoja na fomula za Vieta
Mifano. Tatua milinganyo:
Mfano 1. + =
Suluhisho:
Kwa ≠ - 1, x ≠ 2 tunapata x 2 + 2ax - 3b + 4 = 0 na mizizi
x 1 = - a - , x 2 = -a + , iliyopo kwa
A 2 + 2a - 4 0, i.e. katika
Sasa hebu tuangalie ikiwa kuna vile ambavyo ama x 1 au x 2 ni sawa na 2. Badilisha x = 2 kwenye equation ya quadratic, na tunapata = - 8.
Mzizi wa pili katika kesi hii ni sawa na(kulingana na nadharia ya Vieta) na kwa = - 8 ni sawa na 14.
Jibu: kwa = - 8, suluhisho pekee ni x = 14;
Ikiwa (- ∞; - 8) (- 8; - 4) (1; + ∞) - mizizi miwili x 1 na x 2;
Ikiwa = - suluhisho pekee x =kwa mtiririko huo;
Ikiwa a (- 4; 1), basi x .
Wakati mwingine milinganyo yenye maneno ya sehemu hupunguzwa hadi ya quadratic. Fikiria mlinganyo ufuatao.
Mfano 2. - =
Suluhisho: Wakati a = 0 haina maana, thamani x lazima itimize masharti: x -1, x -2. Kuzidisha masharti yote ya mlingano kwa (x + 1) (x +2) 0,
Tunapata x 2 - 2 (a - 1) x + a 2 - 2a - 3 = 0, sawa na hii. Mizizi yake:
x 1 = a + 1, x 2 = - 3. Hebu tuchague mizizi ya nje kutoka kwenye mizizi hii, i.e. zile ambazo ni sawa na - 1 na - 2:
X 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, lakini kwa = - 2 x 2 = - 5;
X 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, lakini kwa = - 3 x 2 = - 6;
X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, lakini kwa = 2 x 1 = 3;
X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, lakini kwa = 1 x 1 = 2.
Jibu: kwa ≠ 0, a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a - 3;
Wakati a = - 2 x = - 5; wakati a = - 3 x = - 6.
4. Mbinu ya kutatua milinganyo ya quadratic chini ya hali ya awali.
Masharti ya milinganyo ya quadratic parametric ni tofauti. Kwa mfano, unahitaji kupata thamani ya parameter ambayo mizizi ni: chanya, hasi, ina ishara tofauti, kubwa au chini ya idadi fulani, nk. Ili kuzitatua, unapaswa kutumia mali ya mizizi ya shoka ya equation ya quadratic 2 + katika + c = 0.
Ikiwa D> 0, a> 0, basi equation ina mizizi miwili tofauti, ishara ambazo kwa c> 0 ni sawa na kinyume na ishara ya mgawo b, na kwa c.
Ikiwa D = 0, a > 0, basi equation ina mizizi halisi na sawa, ishara ambayo ni kinyume na ishara ya mgawo b.
Ikiwa D 0, basi equation haina mizizi halisi.
Vile vile, tunaweza kuanzisha mali ya mizizi ya equation ya quadratic kwa a
- Ikiwa katika equation ya quadratic tunabadilisha coefficients a na c, tunapata equation ambayo mizizi yake ni kinyume cha mizizi ya moja iliyotolewa.
- Ikiwa katika equation ya quadratic tunabadilisha ishara ya mgawo b, tunapata equation ambayo mizizi yake ni kinyume na mizizi ya moja iliyotolewa.
- Ikiwa katika equation ya quadratic coefficients a na c ina ishara tofauti, basi ina mizizi halisi.
- Ikiwa a > 0 na D = 0, basi upande wa kushoto wa equation ya quadratic ni mraba kamili, na kinyume chake, ikiwa upande wa kushoto wa equation ni mraba kamili, basi > 0 na D = 0.
- Ikiwa coefficients zote za equation ni za busara na ubaguzi unaonyesha mraba kamili, basi mizizi ya equation ni ya busara.
- Ikiwa tunazingatia eneo la mizizi kuhusiana na sifuri, basi tunatumia nadharia ya Vieta.
Uteuzi wa mizizi ya trinomial ya quadratic kulingana na hali na eneo la sufuri za kazi ya quadratic kwenye mstari wa nambari.
Acha f (x) = shoka 2 + katika + c, a 0, mizizi x 1 ˂ x 2, ˂ .
Mahali pa mizizi kwenye mstari wa nambari. | Hali ya lazima na ya kutosha. |
|
x 1, x 2 | na f ( ) > 0, D 0, x 0 |
|
x 1, x 2 > | na f ( ) > 0, D 0, x 0 > |
|
x 1 2 | na f () |
|
1, x 2 . | na f ( ) > 0, D 0, na f ( ) > 0 0 . |
|
1 2 | na f ( ) > 0, na f () |
|
x 1 2 | na f () ) > 0 |
|
x 1 2 | na f () ) |
Mfano 3. Amua ni maadili gani ya equation
x 2 - 2 (a - 1) x + 2a + 1 = 0
- haina mizizi:
hali ya lazima na ya kutosha D
D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a
- ina mizizi:
D 0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1 0, a
- ina mizizi moja:
- ina mizizi miwili:
D > 0, i.e. a
- ina mizizi chanya:
2(a – 1) > 0 a 4
Ikiwa swali ni "ina mizizi miwili nzuri," basi mfumo unapaswa kuchukua nafasi D > 0;
- ina mizizi hasi:
2 (a - 1)
- ina mizizi ya ishara tofauti, i.e. moja ni chanya na nyingine ni hasi:
a ;
Hali Sio lazima kuitumia, x inatosha 1 x 2
- ina moja ya mizizi sawa na 0:
hali ya kutosha ya lazima ni kwamba muda wa bure wa equation ni sawa na sifuri, i.e. 2a + 1 = 0, a = -1/2.
Ishara ya mzizi wa pili imedhamiriwa ama kwa kubadilisha = -1/2 kwenye equation ya asili, au, kwa urahisi zaidi, na theorem ya Vieta x. 1 + x 2 = 2 (a - 1), na baada ya kubadilisha = -1/2 tunapata x 2 = - 3, i.e. kwa = -1/2 mizizi miwili: x 1 = 0, x 2 = - 3.
Mfano 4 . Ni kwa maadili gani ya parameta a hufanya equation
(a-2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0 ina suluhu ya kipekee inayokidhi ukosefu wa usawa x
Suluhisho.
Kibaguzi 2 - (a - 2) (3 - 2a)
4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6
Tangu 49 - 144 = - 95 na mgawo wa kwanza ni 6 kisha 6a 2 – 7a + 6 kwa wote x R.
Kisha x 1.2 = .
Kulingana na hali ya shida x2, basi tunapata usawa
Tuna:
kweli kwa wote R.
6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a - 10 2
A 1.2 = 1/12 (7 17), na 1 = 2, na 2 = - 5/6.
Kwa hiyo -5/6
Jibu:-
5. Parameta kama kigezo sawa.
Katika kazi zote zilizochambuliwakigezo kilichukuliwa kama nambari maalum lakini isiyojulikana. Wakati huo huo, kutoka kwa mtazamo rasmi, parameter ni kutofautiana, na "sawa" kwa wengine waliopo katika mfano. Kwa mfano, kwa mtazamo huu wa parameter ya fomu f (x; a), kazi hazifafanuliwa na moja (kama hapo awali), lakini kwa vigezo viwili. Tafsiri kama hiyo kawaida huunda aina nyingine (au tuseme, njia ya suluhisho ambayo inafafanua aina hii) ya shida na vigezo. Hebu tuonyeshe ufumbuzi wa uchambuzi wa aina hii.
Mfano 5. Kwenye ndege ya xy, onyesha pointi zote ambazo hakuna mikunjo ya familia y = x inapita. 2 - 4рх + 2р 2 - 3, ambapo p ni kigezo.
Suluhisho: Ikiwa (x 0;y 0 ) ni hatua ambayo hakuna mikunjo ya familia fulani hupita, basi viwianishi vya hatua hii havikidhi mlingano wa asili. Kwa hivyo, shida iliongezeka hadi kupata uhusiano kati ya x na y hivi kwamba equation iliyotolewa katika hali isingekuwa na suluhisho. Ni rahisi kupata utegemezi unaohitajika kwa kuzingatia si kwa vigezo x na y, lakini kwa parameter p. Katika kesi hii, wazo lenye tija hutokea: zingatia mlinganyo huu kama quadratic kwa heshima na uk. Tuna
2 kwa 2 - 4рх+ x 2 – y – 3 = 0. Mbaguzi= 8x2 + 8y + 24 lazima iwe hasi. Kuanzia hapa tunapata y ˂ - x 2 - 3, kwa hiyo, seti inayohitajika ni pointi zote za ndege ya kuratibu iliyo "chini" ya parabola y = - x 2 – 3.
Jibu: y 2 – 3
6. Mbinu ya kutatua kutofautiana kwa quadratic na vigezo
Kwa ujumla.
Ukosefu wa usawa wa quadratic (mkali na usio mkali) wa fomu
Thamani zinazokubalika ni zile thamani za parameta ambazo a, b, c ni halali. Ni rahisi kutatua usawa wa quadratic ama uchambuzi au graphically. Kwa kuwa grafu ya kazi ya quadratic ni parabola, basi kwa > 0 matawi ya parabola huelekezwa juu, kwa a.
Nafasi tofauti za parabola f (x) = shoka 2 + in + s, a 0 kwa > 0 imeonyeshwa kwenye Mchoro 1
A) b) c)
a) Ikiwa f (x) > 0 na D R;
b) Ikiwa f (x) > 0 na D = 0, basi x ;
c) Ikiwa f (x) > 0 na D > 0, basi x (- ; x 1) (x 2; + ).
Nafasi za parabola zinazingatiwa vivyo hivyo kwa a
Kwa mfano, moja ya kesi tatu wakati
kwa 0 na f (x) > 0 x (x 1; x 2);
kwa 0 na f (x) (- ; x 1 ) (x 2; + ).
Kwa mfano, fikiria kutatua ukosefu wa usawa.
Mfano 6. Tatua ukosefu wa usawa x 2 + 2x + a > 0.
Acha D awe mbaguzi wa trinomial x 2 + 2x + a > 0. Kwa D = 0, kwa = 1, ukosefu wa usawa unachukua fomu:
(x + 1) 2 > 0
Ni kweli kwa maadili yoyote halisi ya x isipokuwa x = - 1.
Kwa D > 0, i.e. kwa x, trinomia x 2 + 2x + a ina mizizi miwili: - 1 - Na
1 + na suluhisho la ukosefu wa usawa ni muda
(- ; - 1 – ) (- 1 + ; + )
Ukosefu huu wa usawa ni rahisi kutatua graphically. Ili kufanya hivyo, hebu tuwakilishe kwa fomu
X 2 + 2x > - a
na ujenge grafu ya kazi y = x 2 + 2x
Abscissas ya pointi za makutano ya grafu hii na mstari y = - a ni mizizi ya equation x 2 + 2x = - a.
Jibu:
kwa -a > - 1, i.e. kwa a, x (- ; x 1) (x 2 ;+ );
saa - a = - 1, i.e. kwa = 1, x ni nambari yoyote halisi isipokuwa - 1;
kwa -a , yaani, kwa > 1, x ni nambari yoyote halisi.
Mfano 7 . Tatua ukosefu wa usawa cx 2 – 2 (sek – 1)x + (s + 2)
Wakati c = 0 inachukua fomu: 2x + 2suluhisho litakuwa x
Hebu tuanzishe nukuu f (x) = cx 2 – 2 (sek – 1)x + (s + 2) ambapo c ≠ 0.
Katika kesi hii ukosefu wa usawa f(x)
Acha D awe mbaguzi wa f(x). 0.25 D = 1 - 4s.
Ikiwa D > 0, i.e. ikiwa na> 0.25, basi ishara ya f (x) inaambatana na ishara ya c kwa maadili yoyote halisi ya x, i.e. f(x)> 0 kwa x yoyote R, ambayo ina maana kwa c > 0.25 ukosefu wa usawa f(x)
Ikiwa D = 0, i.e. c = 0.25, kisha f (x) = (0.25 x + 1.5) 2, yaani. f (x) 0 kwa yoyote
X R. Kwa hivyo, kwa c = 0.25 ukosefu wa usawa f (x)
Fikiria kisa D 0). f (x) = 0 kwa maadili mawili halisi ya x:
x 1 = (c – 1 – ) na x 2 = (c – 1 + ).
Kesi mbili zinaweza kutokea hapa:
Tatua ukosefu wa usawa f(x)
f(x) sanjari na ishara ya c. Ili kujibu swali hili, kumbuka kuwa - , i.e. s – 1 – ˂ s – 1 + , lakini kwa kuwa s (s - 1 - ) (s - 1 + ) na kwa hivyo suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa:
(- ; (s – 1 – )) ( (s – 1 + ); + ).
Sasa, ili kutatua ukosefu wa usawa, inatosha kuonyesha maadili ya c ambayo ishara ya f (x) ni kinyume na ishara ya c. Tangu saa 01 2, kisha x (x 1; x 2).
Jibu: wakati c = 0 x R;
Na (- ; x 2) (x 1; + );
Saa 0 (x 1; x 2);
Kwa c 0.25 hakuna ufumbuzi.
Mtazamo wa kigezo kama kigezo sawa unaonyeshwa katika mbinu za kielelezo za kutatua na kutofautiana kwa quadratic. Kwa kweli, kwa kuwa parameter ni "sawa katika haki" kwa kutofautiana, ni kawaida kwamba inaweza "kutengwa" kwa mhimili wake wa kuratibu. Kwa hivyo, ndege ya kuratibu (x; a) inatokea. Maelezo madogo kama vile kuacha chaguo la kitamaduni la herufi x na y kuashiria shoka huamua mojawapo ya njia bora zaidi za kutatua shida na vigezo.
Ni rahisi wakati shida inahusisha parameta moja a na moja ya kutofautisha x. Mchakato wa suluhisho yenyewe unaonekana kimkakati kama hii. Kwanza, picha ya mchoro hujengwa, kisha, kuingiliana na grafu inayosababisha na mistari ya moja kwa moja kwa mhimili wa parametric, "tunaondoa" habari muhimu.
Kukataliwa kwa chaguo la jadi la herufi x na y kuteua shoka huamua moja ya njia bora zaidi za kutatua shida na vigezo - "njia ya kikoa"
- Mbinu ya kutatua usawa wa quadratic chini ya hali ya awali.
Hebu tuchunguze suluhisho la uchambuzi kwa usawa wa quadratic na vigezo, matokeo ambayo yanazingatiwa kwenye mstari wa nambari.
Mfano 8.
Pata maadili yote ya x, kwa kila moja ambayo usawa
(2x)a 2 +(x 2 -2x+3)a-3x≥0
imeridhika kwa thamani yoyote ya mali ya muda [-3;0].
Suluhisho. Wacha tubadilishe upande wa kushoto wa ukosefu huu wa usawa kama ifuatavyo:
(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=shoka 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =
Shoka (x - a)-2a(x - a)- 3(x-a) = (x - a)(shoka- 2a - 3).
Ukosefu huu wa usawa utachukua fomu: (x - a) (shoka - 2a - 3) ≥ 0.
Ikiwa a = 0, tunapata - Zx ≥ 0 x ≤ 0.
Ikiwa ≠ 0, basi -3 a
Kwa sababu A 0, basi suluhisho la usawa huu litakuwa muda wa mhimili wa nambari ulio kati ya mizizi ya equation inayolingana na usawa.
Wacha tujue msimamo wa jamaa wa nambari a na , kwa kuzingatia hali - 3 ≤ a
3 ≤a
A = -1.
Wacha tuwasilishe katika hali zote zinazozingatiwa suluhisho la ukosefu huu wa usawa kulingana na maadili ya parameta:
Tunapata kuwa x = -1 pekee ndio suluhisho la ukosefu huu wa usawa kwa thamani yoyote ya parameta a .
Jibu: -1
- Hitimisho.
Kwa nini nilichagua mradi kwenye mada "Maendeleo ya mapendekezo ya mbinu ya kutatua hesabu za quadratic na usawa na vigezo"? Kwa kuwa wakati wa kusuluhisha milinganyo yoyote ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, ukosefu wa usawa, mifumo, mara nyingi sisi huzingatia wakati mwingine milinganyo ya mstari, na mara nyingi quadratic na ukosefu wa usawa. Wakati wa kutatua matatizo magumu na vigezo, kazi nyingi hupunguzwa, kwa kutumia mabadiliko sawa, kwa uchaguzi wa ufumbuzi wa aina: a (x - a) (x - c) > 0 (
Tulikagua msingi wa kinadharia wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic na ukosefu wa usawa kwa kutumia vigezo. Tulikumbuka kanuni na mabadiliko muhimu, tuliangalia mipangilio tofauti ya grafu ya kazi ya quadratic kulingana na thamani ya kibaguzi, kwa ishara ya mgawo wa kuongoza, kwenye eneo la mizizi na wima ya parabola. Tuligundua mpango wa kutatua na kuchagua matokeo na tukakusanya meza.
Mradi unaonyesha mbinu za uchanganuzi na za picha za kutatua milinganyo ya quadratic na ukosefu wa usawa. Wanafunzi katika shule ya ufundi wanahitaji mtazamo wa kuona wa nyenzo kwa uigaji bora wa nyenzo. Inaonyeshwa jinsi variable x inaweza kubadilishwa na kigezo kukubaliwa kama thamani sawa.
Kwa ufahamu wazi wa mada hii, ufumbuzi wa matatizo 8 na vigezo huzingatiwa, 1 - 2 kwa kila sehemu. Kwa mfano nambari 1, idadi ya suluhisho kwa maadili anuwai ya parameta inazingatiwa; kwa mfano nambari 3, suluhisho la equation ya quadratic inachambuliwa chini ya hali tofauti za awali. Mchoro wa mchoro umefanywa ili kutatua usawa wa quadratic. Kwa mfano Nambari 5, njia ya kuchukua nafasi ya parameter kama thamani sawa hutumiwa. Mradi unajumuisha kuzingatia mfano wa Nambari 8 kutoka kwa kazi zilizojumuishwa katika sehemu C kwa ajili ya maandalizi ya kina ya kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja.
Kwa mafunzo ya hali ya juu ya wanafunzi katika kutatua shida na vigezo, inashauriwa kutumia kikamilifu teknolojia za media titika, yaani: tumia mawasilisho ya mihadhara, vitabu vya kiada na vitabu vya elektroniki, na maendeleo yako mwenyewe kutoka kwa maktaba ya media. Masomo ya binary katika hisabati + sayansi ya kompyuta yanafaa sana. Mtandao ni msaidizi wa lazima kwa walimu na wanafunzi. Uwasilishaji unahitaji vitu vilivyoagizwa kutoka kwa rasilimali zilizopo za elimu. Rahisi zaidi na inayokubalika kufanya kazi nayo ni kituo cha "Kutumia Ofisi ya Microsoft Shuleni".
Ukuzaji wa mapendekezo ya kimbinu juu ya mada hii yatawezesha kazi ya waalimu wachanga wanaokuja kufanya kazi shuleni, itaongeza kwenye kwingineko ya mwalimu, itatumika kama mfano wa masomo maalum, na suluhisho za sampuli zitasaidia wanafunzi kukabiliana na kazi ngumu.
- Fasihi.
1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Matatizo na vigezo. "Ilexa", "Gymnasium", Moscow - Kharkov, 2002.
2. Balayan E.N. Mkusanyiko wa shida katika hisabati kwa kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja na Olympiads. 9-11 darasa. "Phoenix", Rostov-on-Don, 2010.
3. Yastrebinetsky G.A. Matatizo na vigezo. M., "Mwangaza", 1986.
4. Kolesnikova S.I. Hisabati. Kutatua matatizo magumu ya Mtihani wa Jimbo la Umoja. M. "IRIS - vyombo vya habari", 2005.
5. Rodionov E.M., Sinyakova S.L. Hisabati. Mwongozo kwa waombaji kwa vyuo vikuu. Kituo cha mafunzo "Orientir" MSTU jina lake baada ya. N.E. Bauman, M., 2004.
6. Skanavi M.I. Mkusanyiko wa shida katika hisabati kwa wale wanaoingia vyuo vikuu: Katika vitabu 2. Kitabu cha 1, M., 2009.
Aina ya kazi: 18
Hali
Ni kwa maadili gani ya parameta a hufanya usawa
\logi_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 imeridhika kwa maadili yote ya x?
Onyesha suluhishoSuluhisho
Ukosefu huu wa usawa ni sawa na ukosefu wa usawa mara mbili 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \dhambi^(2)x-1) \leq 5 .
Wacha \sin x=t , basi tupate usawa:
4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , ambayo lazima itekelezwe kwa thamani zote za -1 \leq t \leq 1 . Ikiwa a=0, basi ukosefu wa usawa (*) unashikilia kwa t\in yoyote [-1;1] .
Acha \neq 0 . Chaguo za kukokotoa f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t huongezeka kwa muda [-1;1] , kwa kuwa kibadala f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 kwa thamani zote za t \katika \mathbb(R) na \neq 0 (kibaguzi D< 0 и старший коэффициент больше нуля).
Kutokuwepo kwa usawa (*) kutatoshelezwa kwa t \ katika [-1;1] chini ya masharti
\anza(kesi) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \mwisho(kesi)\: \Mshale wa kushoto \anza(kesi) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \mwisho(kesi)\: \Mshale wa kushoto \anza(kesi) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .
Kwa hivyo, hali inaridhika wakati -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .
Jibu
\kushoto [ -\frac(2)(5); 0\kulia ]
Chanzo: “Hisabati. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2016. Kiwango cha wasifu." Mh. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Aina ya kazi: 18
Mada: Kutokuwepo kwa usawa kwa kigezo
Hali
Pata maadili yote ya parameta a, kwa kila moja ambayo usawa
x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a
ina suluhisho la kipekee.
Onyesha suluhishoSuluhisho
Kukosekana kwa usawa ni sawa na seti ya mifumo ya usawa
\kushoto[\!\!\anza(safu)(l) \anza(kesi) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \mwisho(kesi) \\ \anza(kesi)x
Katika mfumo wa kuratibu wa Oxa, tutaunda grafu za kazi a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.
Seti inayotokana imeridhika na pointi zilizofungwa kati ya grafu za kazi a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x kwa muda x\in (eneo lenye kivuli).
Kutoka kwa grafu tunaamua: usawa wa asili una suluhisho la kipekee la a=-4 na a=5, kwa kuwa katika eneo lenye kivuli kutakuwa na nukta moja yenye kuratibu sawa na -4 na sawa na 5.
suluhisho la usawa katika hali mtandaoni suluhisho karibu ukosefu wowote wa usawa mtandaoni. Hisabati ukosefu wa usawa mtandaoni kutatua hisabati. Tafuta haraka suluhisho la usawa katika hali mtandaoni. Tovuti ya www.site inakuwezesha kupata suluhisho karibu yoyote iliyotolewa algebra, trigonometric au ukosefu wa usawa mtandaoni. Wakati wa kusoma karibu tawi lolote la hisabati katika hatua tofauti unapaswa kuamua ukosefu wa usawa mtandaoni. Ili kupata jibu mara moja, na muhimu zaidi jibu sahihi, unahitaji rasilimali ambayo inakuwezesha kufanya hivyo. Shukrani kwa tovuti www.site kutatua ukosefu wa usawa mtandaoni itachukua dakika chache. Faida kuu ya www.site wakati wa kutatua hisabati ukosefu wa usawa mtandaoni- hii ni kasi na usahihi wa majibu yaliyotolewa. Tovuti ina uwezo wa kutatua yoyote usawa wa aljebra mtandaoni, usawa wa trigonometric mtandaoni, kukosekana kwa usawa kwa njia ya mtandao, na ukosefu wa usawa na vigezo visivyojulikana katika hali mtandaoni. Kutokuwa na usawa hutumika kama kifaa chenye nguvu cha hisabati ufumbuzi matatizo ya vitendo. Kwa msaada usawa wa hisabati inawezekana kueleza ukweli na mahusiano ambayo yanaweza kuonekana kuwa ya kutatanisha na magumu kwa mtazamo wa kwanza. Idadi isiyojulikana ukosefu wa usawa inaweza kupatikana kwa kuunda shida ndani hisabati lugha katika umbo ukosefu wa usawa Na kuamua kupokea kazi katika hali mtandaoni kwenye tovuti www.site. Yoyote usawa wa algebra, usawa wa trigonometric au ukosefu wa usawa zenye kupita maumbile vipengele unaweza kwa urahisi kuamua mtandaoni na upate jibu kamili. Unaposoma sayansi ya asili, bila shaka hukutana na hitaji ufumbuzi wa kutofautiana. Katika kesi hii, jibu lazima liwe sahihi na lazima lipatikane mara moja katika hali mtandaoni. Kwa hivyo kwa kutatua usawa wa hisabati mtandaoni tunapendekeza tovuti www.site, ambayo itakuwa kikokotoo chako cha lazima kutatua usawa wa aljebra mtandaoni, usawa wa trigonometric mtandaoni, na kukosekana kwa usawa kwa njia ya mtandao au ukosefu wa usawa na vigezo visivyojulikana. Kwa shida za vitendo za kutafuta suluhisho mkondoni kwa anuwai usawa wa hisabati rasilimali www.. Kutatua ukosefu wa usawa mtandaoni mwenyewe, ni muhimu kuangalia jibu lililopokelewa kwa kutumia suluhisho la usawa mtandaoni kwenye tovuti www.site. Unahitaji kuandika usawa kwa usahihi na kupata mara moja suluhisho la mtandaoni, baada ya hapo kilichobaki ni kulinganisha jibu na suluhisho lako kwa usawa. Kuangalia jibu haitachukua zaidi ya dakika moja, inatosha kutatua ukosefu wa usawa mtandaoni na kulinganisha majibu. Hii itakusaidia kuepuka makosa katika uamuzi na kurekebisha jibu kwa wakati kutatua usawa mtandaoni ama algebra, trigonometric, kupita maumbile au ukosefu wa usawa na vigezo visivyojulikana.
Kutatua usawa na parameter.
Ukosefu wa usawa ambao una fomu ya shoka > b, shoka< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются usawa wa mstari.
Kanuni za kutatua usawa wa mstari na parameta ni sawa na kanuni za kutatua hesabu za mstari na parameta.
Mfano 1.
Tatua ukosefu wa usawa 5x - a > shoka + 3.
Suluhisho.
Kwanza, wacha tubadilishe ukosefu wa usawa wa asili:
5x - shoka > a + 3, hebu tutoe x kutoka kwenye mabano upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa:
(5 – a) x > a + 3. Sasa zingatia hali zinazowezekana kwa kigezo a:
Ikiwa a > 5, basi x< (а + 3) / (5 – а).
Ikiwa a = 5, basi hakuna suluhisho.
Ikiwa a< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).
Suluhisho hili litakuwa jibu la usawa.
Mfano 2.
Tatua ukosefu wa usawa x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a kwa ≠ 1.
Suluhisho.
Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa wa asili:
x (a - 2) / (a - 1) - 2x ≤ 2a/3 - a;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa (-1), tunapata:
shoka/(a – 1) ≥ a/3. Wacha tuchunguze kesi zinazowezekana za parameta:
Kesi 1. Acha a/(a – 1) > 0 au € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Kisha x ≥ (a – 1)/3.
Kesi ya 2. Hebu a/(a – 1) = 0, i.e. a = 0. Kisha x ni nambari yoyote halisi.
Kesi ya 3. Acha a/(a-1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Jibu: x € [(a – 1)/3; +∞) kwa € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] kwa € (0; 1);
x € R kwa = 0.
Mfano 3.
Tatua ukosefu wa usawa |1 + x| ≤ shoka kuhusiana na x.
Suluhisho.
Inafuata kutoka kwa hali kwamba upande wa kulia wa shoka la usawa lazima usiwe hasi, i.e. shoka ≥ 0. Kwa kanuni ya kufichua moduli kutoka kwa ukosefu wa usawa |1 + x| ≤ shoka tuna usawa maradufu
Shoka ≤ 1 + x ≤ shoka. Wacha tuandike tena matokeo katika mfumo wa mfumo:
(shoka ≥ 1 + x;
(-shoka ≤ 1 + x.
Wacha tuibadilishe kuwa:
((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.
Tunasoma mfumo unaosababisha kwa vipindi na kwa pointi (Kielelezo 1):
Kwa ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].
Saa -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
Wakati a = 0 x = -1.
Saa 0< а ≤ 1 решений нет.
Njia ya mchoro ya kutatua usawa
Kupanga grafu hurahisisha sana utatuzi wa milinganyo iliyo na kigezo. Kutumia njia ya picha wakati wa kutatua usawa na parameta ni wazi zaidi na inafaa zaidi.
Utatuzi wa usawa wa fomu f(x) ≥ g(x) unamaanisha kupata thamani za mabadiliko x ambayo grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) iko juu ya grafu ya chaguo za kukokotoa g(x). Ili kufanya hivyo, daima ni muhimu kupata pointi za makutano ya grafu (ikiwa zipo).
Mfano 1.
Tatua ukosefu wa usawa |x + 5|< bx.
Suluhisho.
Tunaunda grafu za utendaji y = |x + 5| na y = bx (Kielelezo 2). Suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa zile maadili za mabadiliko x ambayo grafu ya chaguo la kukokotoa y = |x + 5| itakuwa chini ya grafu ya chaguo za kukokotoa y = bx. 
Picha inaonyesha:
1) Kwa b > 1 mistari inakatiza. Abscissa ya hatua ya makutano ya grafu za kazi hizi ni suluhisho la equation x + 5 = bx, wapi x = 5 / (b - 1). Grafu y = bx iko juu ya x kutoka kwa muda (5/(b - 1); +∞), ambayo inamaanisha seti hii ndiyo suluhisho la ukosefu wa usawa.
2) Vile vile tunapata kwamba kwa -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) Kwa b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) Kwa 0 ≤ b ≤ 1, grafu haziingiliani, ambayo ina maana kwamba usawa hauna ufumbuzi.
Jibu: x € (-∞; 5/(b – 1)) kwa b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) kwa -1< b < 0;
hakuna ufumbuzi kwa 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) kwa b > 1.
Mfano 2.
Tatua ukosefu wa usawa a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).
Suluhisho.
1) Wacha tupate maadili ya "kudhibiti" kwa parameta: a 1 = 0, na 2 = -1.
2) Wacha tusuluhishe ukosefu huu wa usawa kwenye kila kitengo kidogo cha nambari halisi: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).
a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
b) a = -1, basi usawa huu utachukua fomu 0 x > 0 - hakuna ufumbuzi;
c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, basi usawa huu una fomu 0 x > 4 - hakuna ufumbuzi;
e) a > 0, kutokana na ukosefu huu wa usawa inafuata kwamba x > (a + 4)/a.
Mfano 3.
Tatua ukosefu wa usawa |2 – |x||< a – x.
Suluhisho.
Tunaunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = |2 – |x|| (Kielelezo 3) na fikiria kesi zote zinazowezekana za eneo la mstari wa moja kwa moja y = -x + a. 
Jibu: ukosefu wa usawa hauna suluhisho kwa ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) kwa € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) kwa > 2.
Wakati wa kutatua matatizo mbalimbali, equations na kutofautiana na vigezo, idadi kubwa ya mbinu za heuristic hugunduliwa, ambazo zinaweza kutumika kwa mafanikio katika matawi mengine yoyote ya hisabati.
Matatizo na vigezo vina jukumu muhimu katika malezi ya kufikiri kimantiki na utamaduni wa hisabati. Ndio sababu, ukiwa umejua njia za kutatua shida na vigezo, utafanikiwa kukabiliana na shida zingine.
Bado una maswali? Sijui jinsi ya kutatua ukosefu wa usawa?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
Somo la kwanza ni bure!
blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.