Nadhani unastahili zaidi ya hii. Hapa kuna ufunguo wangu wa trigonometry:

• Chora dome, ukuta na dari
• Vitendaji vya Trigonometric si chochote ila asilimia ya aina hizi tatu.

Sitiari ya sine na kosine: kuba

Badala ya kuangalia pembetatu zenyewe, wazia zikitenda kwa kutafuta baadhi mfano maalum kutoka kwa maisha.

Fikiria uko katikati ya jumba na unataka kunyongwa skrini ya projekta ya filamu. Unaonyesha kidole chako kwenye dome kwa pembe fulani "x", na skrini inapaswa kusimamishwa kutoka kwa hatua hii.

Pembe unayoelekeza huamua:

• sine(x) = sin(x) = urefu wa skrini (kutoka sakafu hadi sehemu ya kupachika kuba)
• cosine(x) = cos(x) = umbali kutoka kwako hadi kwenye skrini (kwa sakafu)
• hypotenuse, umbali kutoka kwako hadi juu ya skrini, daima ni sawa, sawa na radius ya kuba.

Je! ungependa skrini iwe kubwa iwezekanavyo? Itundike moja kwa moja juu yako.

Je! ungependa skrini kuning'inia mbali na wewe iwezekanavyo? Ining'inie moja kwa moja kwa pembe. Skrini itakuwa na urefu wa sifuri katika nafasi hii na itaning'inia mbali zaidi, kama ulivyouliza.

Urefu na umbali kutoka kwa skrini ni sawia: kadiri skrini inavyoning'inia, ndivyo urefu wake unavyoongezeka.

Sine na cosine ni asilimia

Hakuna mtu katika miaka yangu ya masomo, ole, alinielezea kuwa kazi za trigonometric sine na cosine sio zaidi ya asilimia. Thamani zao huanzia +100% hadi 0 hadi -100%, au kutoka kiwango cha juu chanya hadi sifuri hadi kiwango cha juu hasi.

Wacha tuseme nililipa ushuru wa rubles 14. Hujui ni kiasi gani. Lakini ukisema kwamba nililipa 95% ya ushuru, utaelewa kuwa nilikimbia tu.

Urefu kamili haimaanishi chochote. Lakini ikiwa thamani ya sine ni 0.95, basi ninaelewa kuwa TV inaning'inia karibu juu ya kuba lako. Hivi karibuni atafika urefu wa juu katikati ya dome, na kisha huanza kupungua tena.

Tunawezaje kuhesabu asilimia hii? Ni rahisi sana: kugawanya urefu wa skrini ya sasa kwa upeo unaowezekana (radius ya dome, pia inaitwa hypotenuse).

Ndiyo maana tunaambiwa kwamba "cosine = upande kinyume / hypotenuse." Yote ni juu ya kupata riba! Ni bora kufafanua sine kama "asilimia ya urefu wa sasa kutoka kwa upeo unaowezekana." (Sine inakuwa hasi ikiwa pembe yako inaelekeza “chini ya ardhi.” Kosine inakuwa hasi ikiwa pembe inaelekeza kwenye ncha ya kuba nyuma yako.)

Wacha turahisishe mahesabu kwa kudhani tuko katikati mduara wa kitengo(radius = 1). Tunaweza kuruka mgawanyiko na kuchukua tu sine sawa na urefu.

Kila duara kimsingi ni kitengo, kilichopanuliwa au kupunguzwa kwa kiwango ukubwa sahihi. Kwa hivyo tambua miunganisho ya mduara wa kitengo na utumie matokeo kwa saizi yako maalum ya duara.

Jaribio: chukua pembe yoyote na uone nini asilimia urefu hadi upana inaonyesha:

Grafu ya ukuaji wa thamani ya sine sio tu mstari wa moja kwa moja. Digrii 45 za kwanza hufunika 70% ya urefu, lakini digrii 10 za mwisho (kutoka 80 ° hadi 90 °) hufunika 2% tu.

Hii itafanya iwe wazi kwako: ikiwa unatembea kwenye mduara, kwa 0 ° unainuka karibu wima, lakini unapokaribia juu ya dome, urefu hubadilika kidogo na kidogo.

Tangent na secant. Ukuta

Siku moja jirani alijenga ukuta karibu na kila mmoja kwa kuba yako. Ililia maoni yako kutoka kwa dirisha na bei nzuri ya kuuza tena!

Lakini inawezekana kwa namna fulani kushinda katika hali hii?

Bila shaka ndiyo. Je, ikiwa tutatundika skrini ya filamu kwenye ukuta wa jirani yetu? Unalenga pembe (x) na kupata:

• tan(x) = tan(x) = urefu wa skrini ukutani
• umbali kutoka kwako hadi ukutani: 1 (hii ni eneo la kuba yako, ukuta hausogei popote kutoka kwako, sivyo?)
• secant(x) = sec(x) = "urefu wa ngazi" kutoka kwako ukisimama katikati ya kuba hadi juu ya skrini iliyosimamishwa

Hebu tufafanue pointi kadhaa kuhusu tangent, au urefu wa skrini.

• huanza saa 0, na inaweza kwenda juu sana. Unaweza kunyoosha skrini juu na juu zaidi ukutani ili kuunda turubai isiyoisha ya kutazama filamu yako uipendayo! (Kwa kubwa kama hiyo, kwa kweli, italazimika kutumia pesa nyingi).
• tangent ni toleo kubwa zaidi la sine! Na wakati ongezeko la sine linapungua kasi unaposogea kuelekea juu ya kuba, tangent inaendelea kukua!

Sekansu pia ana kitu cha kujivunia:

• Sekanti huanza saa 1 (ngazi iko kwenye sakafu, kutoka kwako hadi ukutani) na huanza kuinuka kutoka hapo.
• Sekanti daima ni ndefu kuliko tanjenti. Ngazi iliyoinama unayotumia kuning'inia skrini yako inapaswa kuwa ndefu kuliko skrini yenyewe, sivyo? (Kwa ukubwa usio halisi, wakati skrini ni ndefu sana na ngazi inahitaji kuwekwa karibu na wima, ukubwa wao ni karibu sawa. Lakini hata hivyo secant itakuwa ndefu kidogo).

Kumbuka, maadili ni asilimia. Ukiamua kuning'iniza skrini kwa pembe ya digrii 50, tan(50)=1.19. Skrini yako ni kubwa kwa 19% kuliko umbali wa ukutani (radius ya kuba).

(Ingiza x=0 na uangalie angavu yako - tan(0) = 0 na sec(0) = 1.)

Cotangent na cosecant. Dari

Kwa kushangaza, jirani yako sasa ameamua kujenga paa juu ya kuba yako. (Ana shida gani? Inaelekea hataki umpeleleze huku anazunguka uani akiwa uchi...)

Kweli, ni wakati wa kujenga njia ya kutoka kwa paa na kuzungumza na jirani yako. Unachagua pembe ya mwelekeo na uanze ujenzi:

• umbali wa wima kati ya paa na sakafu daima ni 1 (radius ya dome)
• cotangent(x) = kitanda(x) = umbali kati ya sehemu ya juu ya kuba na sehemu ya kutokea
• cosecant(x) = csc(x) = urefu wa njia yako kwenye paa

Tangent na secant huelezea ukuta, na COtangent na COsecant huelezea dari.

Hitimisho letu angavu wakati huu ni sawa na zile zilizopita:

• Ikiwa unachukua angle sawa na 0 °, kuondoka kwako kwenye paa kutaendelea milele, kwani haitaweza kufikia dari. Tatizo.
• "Ngazi" fupi zaidi kwenye paa itapatikana ikiwa utaijenga kwa pembe ya digrii 90 hadi sakafu. Cotangent itakuwa sawa na 0 (hatusogei kando ya paa hata kidogo, tunatoka kwa usawa), na cosecant itakuwa sawa na 1 ("urefu wa ngazi" itakuwa ndogo).

Taswira miunganisho

Ikiwa kesi zote tatu zimechorwa kwa mchanganyiko wa dari-ukuta, matokeo yatakuwa yafuatayo:

Naam, bado ni pembetatu sawa, imeongezeka kwa ukubwa ili kufikia ukuta na dari. Tuna pande za wima (sine, tangent), pande za usawa (cosine, cotangent) na "hypotenuses" (secant, cosecant). (Kwa mishale unaweza kuona ambapo kila kipengele kinafikia. Kosecant ni umbali wa jumla kutoka kwako hadi paa).

Uchawi kidogo. Pembetatu zote zina usawa sawa:

Kutoka kwa nadharia ya Pythagorean (a 2 + b 2 = c 2) tunaona jinsi pande za kila pembetatu zimeunganishwa. Kwa kuongeza, uwiano wa "urefu hadi upana" unapaswa pia kuwa sawa kwa pembetatu zote. (Rudi nyuma kutoka sana pembetatu kubwa kwa chini. Ndio, saizi imebadilika, lakini uwiano wa vipengele utabaki sawa).

Kujua ni upande gani katika kila pembetatu ni sawa na 1 (radius ya dome), tunaweza kuhesabu kwa urahisi kwamba "sin/cos = tan/1".

Siku zote nimejaribu kukumbuka ukweli huu kupitia taswira rahisi. Katika picha unaona wazi tegemezi hizi na kuelewa zinatoka wapi. Mbinu hii ni nyingi bora kuliko kukariri fomula kavu.

Usisahau kuhusu pembe zingine

Psst... Usikwama kwenye grafu moja, ukifikiri kwamba tangent daima ni chini ya 1. Ikiwa unaongeza angle, unaweza kufikia dari bila kufikia ukuta:

Viunganisho vya Pythagorean daima hufanya kazi, lakini saizi za jamaa inaweza kuwa tofauti.

(Unaweza kuwa umegundua kuwa uwiano wa sine na kosine huwa mdogo zaidi kwa sababu unapatikana ndani ya kuba).

Kwa muhtasari: tunahitaji kukumbuka nini?

Kwa wengi wetu, ningesema hii itatosha:

• trigonometry inaelezea anatomia ya vitu vya hisabati kama vile miduara na vipindi vya kurudia
• Ulinganisho wa kuba/ukuta/paa unaonyesha uhusiano kati ya kazi tofauti za trigonometriki
• matokeo kazi za trigonometric ni asilimia ambazo tunatumia kwa hati yetu.

Huhitaji kukariri fomula kama vile 1 2 + cot 2 = csc 2 . Wanafaa tu kwa mitihani ya kijinga, ambapo ujuzi wa jambo fulani hupitishwa kuwa kuuelewa. Chukua dakika kuteka semicircle kwa namna ya dome, ukuta na paa, lebo ya vipengele, na kanuni zote zitakuja kwako kwenye karatasi.

Maombi: Kazi Inverse

Chaguo za kukokotoa za trigonometriki huchukua pembe kama kigezo cha kuingiza data na kurejesha matokeo kama asilimia. dhambi(30) = 0.5. Hii ina maana kwamba angle ya digrii 30 inachukua 50% ya urefu wa juu.

Kitendaji kinyume cha trigonometriki kimeandikwa kama sin -1 au arcsin. Pia mara nyingi huandikwa asin ndani lugha mbalimbali kupanga programu.

Ikiwa urefu wetu ni 25% ya urefu wa kuba, angle yetu ni ipi?

Katika meza yetu ya uwiano unaweza kupata uwiano ambapo secant imegawanywa na 1. Kwa mfano, secant na 1 (hypotenuse kwa usawa) itakuwa sawa na 1 iliyogawanywa na cosine:

Hebu sema secant yetu ni 3.5, i.e. 350% ya radius ya mduara wa kitengo. Thamani hii inalingana na pembe gani ya mwelekeo kwa ukuta?

Nyongeza: Baadhi ya mifano

Mfano: Tafuta sine ya pembe x.

Kazi ya kuchosha. Wacha tuchanganye banal "pata sine" kuwa "Je! ni urefu gani kama asilimia ya kiwango cha juu (hypotenuse)?"

Kwanza, angalia kwamba pembetatu imezungushwa. Hakuna ubaya kwa hilo. Pembetatu pia ina urefu, imeonyeshwa kwa kijani kwenye takwimu.

Je, hypotenuse ni sawa na nini? Kulingana na nadharia ya Pythagorean, tunajua kwamba:

3 2 + 4 2 = hypotenuse 2 25 = hypotenuse 2 5 = hypotenuse

Sawa! Sine ni asilimia ya urefu wa upande mrefu zaidi wa pembetatu, au hypotenuse. Katika mfano wetu, sine ni 3/5 au 0.60.

Bila shaka, tunaweza kwenda kwa njia kadhaa. Sasa tunajua kuwa sine ni 0.60, tunaweza kupata arcsine:

Asin(0.6)=36.9

Hapa kuna mbinu nyingine. Kumbuka kuwa pembetatu "inakabiliwa na ukuta," kwa hivyo tunaweza kutumia tanjenti badala ya sine. Urefu ni 3, umbali wa ukuta ni 4, hivyo tangent ni ¾ au 75%. Tunaweza kutumia arctangent kwenda kutoka kwa asilimia ya thamani kurudi kwenye pembe:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Mfano: Je, utaogelea hadi ufukweni?

Uko kwenye mashua na una mafuta ya kutosha kusafiri kilomita 2. Sasa uko kilomita 0.25 kutoka pwani. Je, unaweza kuogelea kwa pembe gani hadi ufukweni ili uwe na mafuta ya kutosha? Nyongeza kwa taarifa ya tatizo: tunayo tu jedwali la maadili ya arc cosine.

Tuna nini? ukanda wa pwani inaweza kuwakilishwa kama "ukuta" katika pembetatu yetu maarufu, na "urefu wa ngazi" iliyowekwa kwenye ukuta ni umbali wa juu unaowezekana wa kufunikwa na mashua hadi ufukweni (km 2). Sekant inaonekana.

Kwanza, unahitaji kwenda kwa asilimia. Tuna 2 / 0.25 = 8, yaani, tunaweza kuogelea umbali ambao ni mara 8 umbali wa moja kwa moja kwenye pwani (au kwa ukuta).

Swali linatokea: "Secant ya 8 ni nini?" Lakini hatuwezi kujibu, kwani tunayo arc cosines tu.

Tunatumia vitegemezi vyetu vilivyotolewa awali ili kuhusisha sekanti na kosine: “sec/1 = 1/cos”

Sehemu ya 8 sawa na cosine⅛. Pembe ambayo kosini yake ni ⅛ ni sawa na acos(1/8) = 82.8. Na hii ndiyo pembe kubwa zaidi tunaweza kumudu kwenye mashua na kiasi maalum cha mafuta.

Sio mbaya, sawa? Bila mlinganisho wa kuba-ukuta-dari, ningepotea katika rundo la fomula na hesabu. Kuona tatizo hurahisisha sana utafutaji wa suluhisho, na pia inavutia kuona ni kazi gani ya trigonometric itasaidia hatimaye.

Fikiria wakati wa kutatua kila shida kwa njia ifuatayo: Je, ninavutiwa na kuba (sin/cos), ukuta (tan/sec) au dari (cot/csc)?

Na trigonometry itakuwa ya kufurahisha zaidi. Mahesabu rahisi kwako!

Somo juu ya mada "Sine, cosine na tangent angle ya papo hapo pembetatu ya kulia"

Malengo ya somo:

elimu - kuanzisha dhana ya sine, cosine, tangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia, kuchunguza utegemezi na uhusiano kati ya kiasi hiki;

kukuza - malezi ya dhana ya sine, cosine, tangent kama kazi za pembe, kikoa cha ufafanuzi wa kazi za trigonometric, ukuzaji. kufikiri kimantiki, maendeleo ya hotuba sahihi ya hisabati;

elimu - maendeleo ya ujuzi wa kazi ya kujitegemea, utamaduni wa tabia, usahihi katika utunzaji wa kumbukumbu.

Maendeleo ya somo:

1. Wakati wa kuandaa

"Elimu sio idadi ya masomo yaliyochukuliwa, lakini idadi ya kueleweka. Kwa hivyo, ikiwa unataka kwenda mbele, basi fanya haraka polepole na uwe mwangalifu."

2. Motisha ya somo.

Mtu mmoja mwenye hekima alisema: “ Udhihirisho wa hali ya juu roho ni akili. Udhihirisho wa juu wa sababu ni jiometri. Kiini cha jiometri ni pembetatu. Haina mwisho kama Ulimwengu. Mduara ni roho ya jiometri. Jua mduara, na hautajua tu roho ya jiometri, lakini utainua roho yako.

Tutajaribu kufanya utafiti mdogo pamoja nawe. Hebu tushiriki mawazo yako yanayokuja akilini mwako, na usiogope kufanya makosa, mawazo yoyote yanaweza kutupa mwelekeo mpya wa kutafuta. Mafanikio yetu yanaweza yasionekane kuwa makubwa kwa mtu, lakini yatakuwa mafanikio yetu wenyewe!

3. Kusasisha maarifa ya kimsingi.

Ni pembe gani zinaweza kuwa?

Pembetatu ni nini?

Ni mambo gani kuu ambayo hufafanua pembetatu?

Ni aina gani za pembetatu zipo kulingana na pande?

Ni aina gani za pembetatu zipo kulingana na pembe?

Mguu ni nini?

Je, hypotenuse ni nini?

Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje?

Je, unajua uhusiano gani kati ya pande na pembe za pembetatu hii?

Kwa nini unahitaji kujua uhusiano kati ya pande na pembe?

Ni kazi gani maishani zinaweza kusababisha hitaji la kuhesabu vyama visivyojulikana katika pembetatu?

Neno "hypotenuse" linatokana na neno la Kigiriki"hypoinouse", maana yake "kunyoosha juu ya kitu", "mkataba". Neno hilo linatokana na taswira ya vinubi vya kale vya Uigiriki, ambavyo nyuzi hizo zimenyoshwa kwenye ncha za miisho miwili ya pande zote. Neno "cathetus" linatokana na neno la Kigiriki "kathetos", ambalo linamaanisha mwanzo wa "line ya bomba", "perpendicular".

Euclid alisema: "Miguu ni pande zinazofunga pembe ya kulia."

KATIKA Ugiriki ya Kale njia ya kujenga pembetatu ya kulia juu ya ardhi ilikuwa tayari inajulikana. Kwa kufanya hivyo, walitumia kamba ambayo vifungo 13 vilifungwa, kwa umbali sawa kutoka kwa kila mmoja. Wakati wa ujenzi wa piramidi huko Misri, pembetatu za kulia zilifanywa kwa njia hii. Labda ndiyo sababu pembetatu ya kulia na pande 3,4,5 na kuitwa pembetatu ya Misri.

4. Kusoma nyenzo mpya.

Katika nyakati za kale, watu walitazama nyota na, kulingana na uchunguzi huu, waliweka kalenda, kuhesabu tarehe za kupanda, na wakati wa mafuriko ya mto; meli baharini na misafara juu ya nchi kavu navigated safari yao kwa nyota. Yote hii ilisababisha hitaji la kujifunza jinsi ya kuhesabu pande katika pembetatu, mbili ambazo wima ziko chini, na ya tatu inawakilishwa na hatua kwenye anga ya nyota. Kulingana na hitaji hili, sayansi ya trigonometry iliibuka - sayansi inayosoma uhusiano kati ya pande za pembetatu.

Je, unafikiri mahusiano tunayoyajua tayari yanatosha kutatua matatizo hayo?

Madhumuni ya somo la leo ni kuchunguza uhusiano mpya na utegemezi, ili kupata mahusiano, kwa kutumia ambayo katika masomo ya jiometri ijayo utaweza kutatua matatizo hayo.

Wacha tujisikie kama tuko kwenye jukumu wafanyakazi wa kisayansi na kufuata fikra za kale Thales, Euclid, Pythagoras twende njia tafuta ukweli.

Kwa hili tunahitaji msingi wa kinadharia.

Angazia pembe A na mguu BC kwa rangi nyekundu.

Kuonyesha kijani mguu AC.

Wacha tuhesabu ni sehemu gani upande wa pili kwa pembe ya papo hapo A kwa hypotenuse yake, kwa hili tunaunda uwiano. upande kinyume kwa hypotenuse:

Uhusiano huu una jina maalum - kwamba kila mtu katika kila sehemu ya sayari anaelewa hilo tunazungumzia kuhusu nambari inayowakilisha uwiano wa upande kinyume wa pembe ya papo hapo kwa hypotenuse. Neno hili ni sine. Iandike. Kwa kuwa neno sine bila jina la pembe hupoteza maana yote, nukuu ya hisabati ni kama ifuatavyo.

Sasa tunga uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse kwa pembe ya papo hapo A:

Uwiano huu unaitwa cosine. Nukuu yake ya hisabati:

Hebu fikiria uhusiano mwingine kwa angle ya papo hapo A: uwiano wa upande kinyume na mguu wa karibu:

Uwiano huu unaitwa tangent. Nukuu yake ya hisabati:

5. Kuunganishwa kwa nyenzo mpya.

Hebu tuunganishe uvumbuzi wetu wa kati.

Sine ni...

Cosine ni...

Tangenti ni...

dhambi A =	dhambi KUHUSU =	dhambi A 1 =
maana A =	cos KUHUSU =	kwani A 1 =
tani A =	tg KUHUSU =	tani A 1 =

Tatua kwa mdomo Nambari 88, 889, 892 (fanya kazi kwa jozi).

Kutumia maarifa yaliyopatikana kutatua tatizo la vitendo:

“Kutoka kwenye mnara wa mnara wa taa, urefu wa m 70, meli inaonekana kwa pembe ya 3° hadi upeo wa macho. Ni nini

umbali kutoka kwa mnara wa taa hadi meli?

Tatizo linatatuliwa mbele. Wakati wa majadiliano, tunafanya kuchora na maelezo muhimu kwenye ubao na katika daftari.

Wakati wa kutatua tatizo, meza za Bradis hutumiwa.

Fikiria suluhisho la tatizo uk.175.

Suluhisha nambari 902 (1).

6. Zoezi kwa macho.

Bila kugeuza kichwa chako, angalia kuzunguka ukuta wa darasa kuzunguka mzunguko wa saa, ubao kuzunguka mzunguko kinyume cha saa, pembetatu inayoonyeshwa kwenye stendi kwa mwendo wa saa na pembetatu sawa kinyume cha saa. Pindua kichwa chako upande wa kushoto na uangalie mstari wa upeo wa macho, na sasa kwenye ncha ya pua yako. Funga macho yako, hesabu hadi 5, fungua macho yako na ...

Tutaweka mikono yetu kwa macho yetu,
Wacha tueneze miguu yetu yenye nguvu.
Kugeukia kulia
Wacha tuangalie pande zote kwa utukufu.
Na unahitaji kwenda kushoto pia
Angalia kutoka chini ya mikono yako.
Na - kulia! Na zaidi
Juu ya bega lako la kushoto!
Sasa tuendelee kufanya kazi.

7. Kazi ya kujitegemea wanafunzi.

Suluhisha nambari.

8. Muhtasari wa somo. Tafakari. D/z.

Umejifunza mambo gani mapya? Katika somo:

umezingatia...

umechambua...

Umepokea…

umehitimisha...

umejaza leksimu masharti yafuatayo...

Sayansi ya ulimwengu ilianza na jiometri. Mtu hawezi kweli kuendeleza kitamaduni na kiroho ikiwa hajasoma jiometri shuleni. Jiometri iliibuka sio tu kutoka kwa vitendo, lakini pia kutoka kwa mahitaji ya kiroho ya mwanadamu.

Hivi ndivyo alivyoelezea kwa ushairi mapenzi yake kwa jiometri

Ninapenda jiometri ...

Ninafundisha jiometri kwa sababu ninaipenda

Tunahitaji jiometri, bila hiyo hatuwezi kufika popote.

Sine, cosine, mduara - kila kitu ni muhimu hapa,

Kila kitu kinahitajika hapa

Unahitaji tu kujifunza na kuelewa kila kitu kwa uwazi,

Kamilisha kazi na majaribio kwa wakati.

Acha mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili na mstari wa moja kwa moja upewe . Hebu Na - ndege mbili tofauti zikikatiza kwenye mstari ulionyooka na kutolewa ipasavyo na milinganyo. Equations hizi mbili kwa pamoja hufafanua mstari wa moja kwa moja ikiwa na tu ikiwa hazifanani na haziendani na kila mmoja, i.e. vekta za kawaida.
Na
ndege hizi sio colinear.

Ufafanuzi. Ikiwa coefficients ya equations

si sawia, basi milinganyo hii inaitwa milinganyo ya jumla mstari wa moja kwa moja, unaofafanuliwa kama mstari wa makutano ya ndege.

Ufafanuzi. Vekta yoyote isiyo ya sifuri inayofanana na mstari inaitwa mwongozo wa vector mstari ulionyooka huu.

Wacha tupate equation ya mstari wa moja kwa moja kupita katika hatua fulani
nafasi na kuwa na vekta ya mwelekeo fulani
.

Hebu uhakika
- hatua ya kiholela kwenye mstari wa moja kwa moja . Hatua hii iko kwenye mstari ikiwa na tu ikiwa vekta
, kuwa na kuratibu
, collinear kwa vekta ya mwelekeo
moja kwa moja. Kulingana na (2.28), hali ya collinearity ya vekta
Na inaonekana kama

. (3.18)

Milinganyo (3.18) inaitwa milinganyo ya kisheria mstari wa moja kwa moja kupita kwa uhakika
na kuwa na vekta ya mwelekeo
.

Ikiwa moja kwa moja inatolewa na equations ya jumla (3.17), kisha vector ya mwelekeo mstari huu ni wa orthogonal kwa vekta za kawaida
Na
ndege zilizoainishwa na milinganyo. Vekta
kulingana na mali ya bidhaa ya vekta, ni ya orthogonal kwa kila vekta Na . Kulingana na ufafanuzi, kama vekta ya mwelekeo moja kwa moja unaweza kuchukua vector
, i.e.
.

Ili kupata uhakika
kuzingatia mfumo wa milinganyo
. Kwa kuwa ndege zilizofafanuliwa na equations hazifanani na hazifanani, basi angalau moja ya usawa haishiki.
. Hii inasababisha ukweli kwamba angalau moja ya viashiria ,
,
tofauti na sifuri. Kwa uhakika, tutafikiria hivyo
. Kisha, kuchukua thamani ya kiholela , tunapata mfumo wa milinganyo kwa wasiojulikana Na :

.

Kulingana na nadharia ya Cramer, mfumo huu una suluhisho la kipekee linalofafanuliwa na fomula

,
. (3.19)

Ikiwa unachukua
, kisha mstari wa moja kwa moja unaotolewa na equations (3.17) hupitia hatua
.

Kwa hivyo, kwa kesi wakati
, milinganyo ya kisheria mistari iliyonyooka (3.17) ina fomu

.

Milinganyo ya kisheria ya mstari ulionyooka (3.17) imeandikwa vivyo hivyo kwa kesi wakati kiangazi ni nonzero.
au
.

Ikiwa mstari unapitia pointi mbili tofauti
Na
, basi milinganyo yake ya kisheria ina umbo

. (3.20)

Hii inafuata kutokana na ukweli kwamba mstari wa moja kwa moja unapita kwa uhakika
na ina vekta ya mwelekeo.

Hebu tuzingatie milinganyo ya kisheria (3.18) ya mstari ulionyooka. Wacha tuchukue kila moja ya uhusiano kama paramu , i.e.
. Moja ya madhehebu ya sehemu hizi sio sifuri, na nambari inayolingana inaweza kuchukua dhamana yoyote, kwa hivyo parameta. inaweza kuchukua maadili yoyote halisi. Kwa kuzingatia kwamba kila uwiano ni sawa , tunapata equations parametric moja kwa moja:

,
,
. (3.21)

Wacha ndege inatolewa na equation ya jumla, na mstari wa moja kwa moja - equations parametric
,
,
. Nukta
makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege lazima wakati huo huo iwe ya ndege na mstari. Hii inawezekana tu ikiwa parameter inakidhi equation, i.e.
. Kwa hivyo, hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege ina kuratibu

,

,

.

Mfano 32. Andika milinganyo ya parametric kwa mstari unaopita kwenye pointi
Na
.

Suluhisho. Kwa vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja tunachukua vector

. Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua , kwa hiyo, kwa mujibu wa formula (3.21), milinganyo ya mstari wa moja kwa moja inayohitajika ina fomu
,
,
.

Mfano 33. Vipeo vya pembetatu
kuwa na kuratibu
,
Na
kwa mtiririko huo. Tunga milinganyo ya kigezo cha wastani inayochorwa kutoka kwenye kipeo .

Suluhisho. Hebu
- katikati ya upande
, Kisha
,
,
. Kama vector ya mwongozo wa wastani, tunachukua vekta
. Kisha hesabu za parametric za wastani zina fomu
,
,
.

Mfano 34. Tunga milinganyo ya kisheria ya mstari unaopita kwenye nukta
sambamba na mstari
.

Suluhisho. Mstari wa moja kwa moja hufafanuliwa kama mstari wa makutano ya ndege na vekta za kawaida
Na
. Kama vector ya mwongozo chukua vekta ya mstari huu
, i.e.
. Kulingana na (3.18), mlinganyo unaohitajika una fomu
au
.

3.8. Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye nafasi. Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege

Acha mistari miwili iliyonyooka Na katika nafasi hutolewa kwa milinganyo yao ya kisheria
Na
. Kisha moja ya pembe kati ya mistari hii sawa na pembe kati ya veta zao za mwelekeo
Na
. Kwa kutumia fomula (2.22), kuamua pembe tunapata formula

. (3.22)

Kona ya pili kati ya mistari hii ni sawa
Na
.

Masharti ya mistari sambamba Na ni sawa na hali ya collinearity ya vekta
Na
na iko katika uwiano wa viwianishi vyake, i.e. hali ya mistari sambamba ina umbo.

. (3.23)

Ikiwa moja kwa moja Na ni perpendicular, basi mwelekeo wao vectors ni orthogonal, i.e. hali ya perpendicularity imedhamiriwa na usawa

. (3.24)

Fikiria ndege , iliyotolewa na equation ya jumla, na mstari wa moja kwa moja , iliyotolewa na milinganyo ya kisheria
.

Kona kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege ni nyongeza kwa pembe kati ya vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja na vector ya kawaida ya ndege, i.e.
Na
, au

. (3.24)

Masharti ya usambamba wa mstari na ndege ni sawa na hali ya kwamba vector ya mwelekeo wa mstari na vector ya kawaida ya ndege ni perpendicular, yaani, bidhaa ya scalar ya vectors hizi lazima iwe sawa na sifuri:

Ikiwa mstari ni perpendicular kwa ndege, basi vector ya mwelekeo wa mstari na vector ya kawaida ya ndege lazima iwe collinear. Katika kesi hii, kuratibu za vectors ni sawia, i.e.

. (3.26)

Mfano 35. Tafuta angle butu kati ya mistari iliyonyooka
,
,
Na
,
,
.

Suluhisho. Vekta za mwelekeo wa mistari hii zina kuratibu
Na
. Kwa hivyo kona moja kati ya mistari ya moja kwa moja imedhamiriwa na uwiano, i.e.
. Kwa hiyo, hali ya tatizo ni kuridhika na angle ya pili kati ya mistari, sawa na
.

3.9. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari katika nafasi

Hebu
 uhakika katika nafasi na viwianishi
, mstari ulionyooka unaotolewa na milinganyo ya kisheria
. Hebu tupate umbali kutoka kwa uhakika
kwa mstari ulionyooka .

Wacha tutumie vekta ya mwongozo
kwa uhakika
. Umbali kutoka kwa uhakika
kwa mstari ulionyooka ni urefu wa parallelogram iliyojengwa kwenye vekta Na
. Wacha tupate eneo la parallelogram kwa kutumia bidhaa ya msalaba:

Upande mwingine, . Kutoka kwa usawa wa pande za mkono wa kulia wa mahusiano mawili ya mwisho inafuata hiyo

. (3.27)

3.10. Ellipsoid

Ufafanuzi. Ellipsoid ni uso wa mpangilio wa pili, ambao katika mfumo fulani wa kuratibu hufafanuliwa na equation

. (3.28)

Mlinganyo (3.28) unaitwa mlinganyo wa kisheria wa ellipsoid.

Kutoka kwa equation (3.28) inafuata kwamba ndege za kuratibu ni ndege za ulinganifu wa ellipsoid, na asili ya kuratibu ni katikati ya ulinganifu. Nambari
huitwa nusu-shoka za duaradufu na huwakilisha urefu wa sehemu kutoka asili hadi makutano ya ellipsoid na shoka za kuratibu. Ellipsoid ni uso ulio na mipaka uliofungwa kwa parallelepiped
,
,
.

Hebu tuanzishe fomu ya kijiometri ya ellipsoid. Ili kufanya hivyo, hebu tujue sura ya mistari ya makutano ya ndege zake sambamba na axes za kuratibu.

Ili kuwa maalum, fikiria mistari ya makutano ya ellipsoid na ndege
, sambamba na ndege
. Mlinganyo wa makadirio ya mstari wa makutano kwenye ndege
hupatikana kutoka (3.28) ikiwa tutaweka ndani yake
. Mlinganyo wa makadirio haya ni

. (3.29)

Kama
, basi (3.29) ni mlinganyo wa duaradufu ya kufikirika na pointi za makutano ya duaradufu na ndege.
Hapana. Inafuata hiyo
. Kama
, kisha mstari (3.29) hupungua kwa pointi, yaani ndege
kugusa ellipsoid katika pointi
Na
. Kama
, Hiyo
na unaweza kutambulisha nukuu

,
. (3.30)

Kisha equation (3.29) inachukua fomu

, (3.31)

yaani makadirio kwenye ndege
mistari ya makutano ya ellipsoid na ndege
ni duaradufu yenye mihimili-nusu, ambayo huamuliwa na usawa (3.30). Kwa kuwa mstari wa makutano ya uso na ndege sambamba na ndege za kuratibu ni makadirio "yaliyoinuliwa" hadi urefu. , basi mstari wa makutano yenyewe ni duaradufu.

Wakati wa kupunguza thamani mashimo ya axle Na kuongezeka na kufikia thamani yao kuu
, yaani katika sehemu ya ellipsoid na ndege ya kuratibu
duaradufu kubwa zaidi yenye shoka nusu hupatikana
Na
.

Wazo la ellipsoid linaweza kupatikana kwa njia nyingine. Fikiria kwenye ndege
familia ya duaradufu (3.31) yenye shoka nusu Na , iliyofafanuliwa na mahusiano (3.30) na kutegemea . Kila duaradufu kama hiyo ni safu ya kiwango, ambayo ni, mstari katika kila nukta ambayo thamani yake sawa. "Kuinua" kila duaradufu kama hiyo kwa urefu , tunapata mtazamo wa anga wa ellipsoid.

Picha inayofanana inapatikana wakati uso uliopewa unaingiliana na ndege zinazofanana na ndege za kuratibu
Na
.

Kwa hivyo, ellipsoid ni uso wa mviringo uliofungwa. Lini
Ellipsoid ni tufe.

Mstari wa makutano ya ellipsoid na ndege yoyote ni duaradufu, kwa kuwa mstari huo ni mstari mdogo wa utaratibu wa pili, na mstari wa pekee wa utaratibu wa pili ni duaradufu.

Kozi ya video ya "Pata A" inajumuisha mada zote unazohitaji kukamilika kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati kwa alama 60-65. Kabisa matatizo yote 1-13 Uchunguzi wa Jimbo Umoja wa Wasifu hisabati. Inafaa pia kwa kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 kwa dakika 30 na bila makosa!

Kozi ya maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa darasa la 10-11, na pia kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua Sehemu ya 1 ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na Tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja, na hakuna mwanafunzi wa alama 100 au mwanafunzi wa kibinadamu anayeweza kufanya bila wao.

Wote nadharia muhimu. Njia za haraka suluhisho, mitego na siri za Mtihani wa Jimbo la Umoja. Majukumu yote ya sasa ya sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya Kazi ya FIPI yamechanganuliwa. Kozi hiyo inatii kikamilifu mahitaji ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2018.

Kozi hiyo ina 5 mada kubwa, saa 2.5 kila moja. Kila mada inatolewa kutoka mwanzo, kwa urahisi na kwa uwazi.

Mamia ya majukumu ya Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Matatizo ya maneno na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algoriti za kutatua matatizo. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za Mitihani ya Jimbo Moja. Stereometry. Suluhisho za hila, shuka muhimu za kudanganya, ukuzaji mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo hadi tatizo 13. Kuelewa badala ya kubana. Maelezo ya kuona dhana tata. Aljebra. Mizizi, nguvu na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa suluhisho kazi ngumu Sehemu 2 za Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa.