Njia za kunyoosha haraka. Kuweka Nambari katika Microsoft Excel

*mraba hadi mamia

Ili usiweke mraba nambari zote kwa kutumia fomula, unahitaji kurahisisha kazi yako iwezekanavyo na sheria zifuatazo.

Sheria ya 1 (inapunguza nambari 10)

Kwa nambari zinazoisha kwa 0.
Ikiwa nambari itaisha kwa 0, kuzidisha sio ngumu zaidi kuliko nambari ya nambari moja. Unahitaji tu kuongeza zero kadhaa.
70 * 70 = 4900.
Imewekwa alama nyekundu kwenye meza.

Sheria ya 2 (inapunguza nambari 10)

Kwa nambari zinazoishia na 5.
Ili mraba nambari ya tarakimu mbili inayoishia na 5, unahitaji kuzidisha tarakimu ya kwanza (x) na (x+1) na kuongeza "25" kwa matokeo.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Imetiwa alama ya kijani kwenye meza.

Sheria ya 3 (inapunguza nambari 8)

Kwa nambari kutoka 40 hadi 50.
XX * XX = 1500 + 100 * tarakimu ya pili + (10 - tarakimu ya pili)^2
Ngumu ya kutosha, sawa? Hebu tuangalie mfano:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Katika meza wao ni alama ya machungwa mwanga.

Sheria ya 4 (inapunguza nambari 8)

Kwa nambari kutoka 50 hadi 60.
XX * XX = 2500 + 100 * tarakimu ya pili + (tarakimu ya pili)^2
Pia ni ngumu sana kuelewa. Hebu tuangalie mfano:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Katika meza wao ni alama katika giza machungwa.

Sheria ya 5 (inapunguza nambari 8)

Kwa nambari kutoka 90 hadi 100.
XX * XX = 8000+ 200 * tarakimu ya pili + (10 - tarakimu ya pili)^2
Sawa na sheria ya 3, lakini kwa coefficients tofauti. Hebu tuangalie mfano:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Katika meza wao ni alama katika giza giza machungwa.

Kanuni ya 6 (inapunguza nambari 32)

Unahitaji kukariri miraba ya nambari hadi 40. Inaonekana ni ya kichaa na ngumu, lakini kwa kweli watu wengi wanajua miraba hadi 20. 25, 30, 35 na 40 zinakubalika kwa fomula. Na jozi 16 tu za nambari zimebaki. Tayari zinaweza kukumbukwa kwa kutumia kumbukumbu (ambazo pia nataka kuzizungumzia baadaye) au kwa njia nyingine yoyote. Kama meza ya kuzidisha :)
Imewekwa alama ya bluu kwenye meza.

Unaweza kukumbuka sheria zote, au unaweza kukumbuka kwa kuchagua; kwa hali yoyote, nambari zote kutoka 1 hadi 100 zinatii kanuni mbili. Sheria zitasaidia, bila kutumia kanuni hizi, kuhesabu haraka zaidi ya 70% ya chaguzi. Hapa kuna fomula mbili:

Fomula (zimesalia siku 24)

Kwa nambari kutoka 25 hadi 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Kwa mfano:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Kwa nambari kutoka 50 hadi 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Kwa mfano:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Kwa kweli, usisahau kuhusu formula ya kawaida ya upanuzi wa mraba wa jumla (kesi maalum ya binomial ya Newton):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

UPDATE
Bidhaa za nambari karibu na 100, na haswa mraba wao, zinaweza pia kuhesabiwa kwa kutumia kanuni ya "hasara hadi 100":

Kwa maneno: kutoka kwa nambari ya kwanza tunaondoa "hasara" ya pili hadi mia moja na kuwapa bidhaa ya tarakimu mbili ya "hasara".

Kwa mraba, ipasavyo, ni rahisi zaidi.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(kutoka sielover)

Squaring inaweza kuwa kitu muhimu zaidi katika shamba. Hutakumbuka mara moja kesi wakati unaweza kuhitaji mraba nambari. Lakini uwezo wa kufanya kazi haraka na nambari na kutumia sheria zinazofaa kwa kila nambari huendeleza kikamilifu kumbukumbu na "uwezo wa kompyuta" wa ubongo wako.

Kwa njia, nadhani wasomaji wote wa Habra wanajua kuwa 64^2 = 4096, na 32^2 = 1024.
Miraba mingi ya nambari hukaririwa katika kiwango cha ushirika. Kwa mfano, nilikumbuka kwa urahisi 88^2 = 7744 kwa sababu ya nambari sawa. Kila mmoja wao labda atakuwa na sifa zake.

Kwanza nilipata fomula mbili za kipekee katika kitabu “hatua 13 za kuwa na akili,” ambacho hakihusiani sana na hisabati. Ukweli ni kwamba hapo awali (labda hata sasa) uwezo wa kipekee wa kompyuta ulikuwa moja ya nambari katika uchawi wa hatua: mchawi angesimulia hadithi juu ya jinsi alivyopokea nguvu kubwa na, kama uthibitisho wa hii, mara moja huweka nambari hadi mia moja. Kitabu pia kinaonyesha njia za ujenzi wa mchemraba, njia za kuondoa mizizi na mizizi ya mchemraba.

Ikiwa mada ya kuhesabu haraka ni ya kuvutia, nitaandika zaidi.
Tafadhali andika maoni kuhusu makosa na marekebisho katika PM, asante mapema.

Kuweka nambari za nambari tatu ni kazi ya kuvutia ya uchawi wa kiakili. Vile vile kuweka nambari yenye tarakimu mbili kunahusisha kuizungusha juu au chini ili kupata kizidishio cha 10, kuweka nambari yenye tarakimu tatu kunahitaji kuizungusha juu au chini ili kupata kizidishio cha 100. Hebu tuweke mraba nambari 193.

Kwa kuzungusha 193 hadi 200 (sababu ya pili ikawa 186), shida ya 3 kwa 3 ikawa rahisi 3 kwa 1, kwani 200 x 186 ni 2 x 186 = 372 na sufuri mbili mwishoni. Karibu kumaliza! Sasa unachotakiwa kufanya ni kuongeza 7 2 = 49 na kupata jibu - 37,249.

Wacha tujaribu squaring 706.

Unapozungusha nambari 706 hadi 700, lazima pia ubadilishe nambari hiyo hiyo hadi 6 ili kupata 712.

Tangu 712 x 7 = 4984 (tatizo rahisi 3 kwa 1), 712 x 700 = 498,400. Kuongeza 6 2 = 36 inatoa 498,436.

Mifano ya mwisho sio ya kutisha kwa sababu haijumuishi nyongeza kama hiyo. Kwa kuongeza, unajua kwa moyo nini 6 2 na 7 2 ni sawa. Ni ngumu zaidi kuweka mraba nambari ambayo iko zaidi ya vitengo 10 kutoka kwa kizidishio cha 100. Jaribu mkono wako kwa 314 2.

Katika mfano huu, 314 imepunguzwa kwa 14 hadi 300 na kuongezeka kwa 14 hadi 328. Zidisha 328 x 3 = 984 na kuongeza sufuri mbili mwishoni ili kupata 98,400. Kisha ongeza mraba wa 14. Ikiwa hiyo inakuja akilini mara moja. (shukrani kwa kumbukumbu au mahesabu ya haraka) kwamba 14 2 = 196, basi uko katika hali nzuri. Ifuatayo, ongeza 98,400 + 196 ili kupata jibu la mwisho la 98,596.

Ikiwa unahitaji muda wa kuhesabu 14 2, rudia "98,400" mara kadhaa kabla ya kuendelea. Vinginevyo, unaweza kuhesabu 14 2 = 196 na usahau ni nambari gani unahitaji kuongeza bidhaa.

Ikiwa una hadhira ambayo ungependa kuvutia, unaweza kusema "279,000" kwa sauti kubwa kabla ya kupata 292. Lakini hii haitafanya kazi kwa kila tatizo unalosuluhisha.

Kwa mfano, jaribu squaring 636.

Sasa ubongo wako unafanya kazi kweli, sivyo?

Kumbuka kurudia "403,200" kwako mara kadhaa unapoweka mraba 36 kwa njia ya kawaida ili kupata 1296. Sehemu ngumu zaidi ni kuongeza 1296 + 403,200. Fanya tarakimu hii moja kwa wakati mmoja, kutoka kushoto kwenda kulia, na utapata jibu 404,496 Ninaahidi kwamba mara tu unapofahamiana zaidi na kuweka nambari za nambari mbili, shida na nambari za nambari tatu zitakuwa rahisi zaidi.

Hapa kuna mfano ngumu zaidi: 863 2 .

Shida ya kwanza ni kuamua ni nambari gani za kuzidisha. Bila shaka, mmoja wao atakuwa 900, na mwingine atakuwa zaidi ya 800. Lakini ni yupi? Hii inaweza kuhesabiwa kwa njia mbili.

1. Njia ngumu: tofauti kati ya 863 na 900 ni 37 (kamilisho ya 63), toa 37 kutoka 863 na upate 826.

2. Njia rahisi: mara mbili nambari 63, tunapata 126, sasa tunaongeza tarakimu mbili za mwisho za nambari hii kwa nambari 800, ambayo hatimaye inatoa 826.

Hivi ndivyo njia rahisi inavyofanya kazi. Kwa kuwa nambari zote mbili zina tofauti sawa na nambari 863, jumla yao lazima iwe sawa na mara mbili ya nambari 863, ambayo ni, 1726. Moja ya nambari ni 900, ambayo inamaanisha nyingine itakuwa sawa na 826.

Kisha tunafanya mahesabu yafuatayo.

Ikiwa unatatizika kukumbuka nambari 743,400 baada ya kuzidisha nambari 37, usijali. Katika sura zifuatazo utajifunza mfumo wa mnemonic na kujifunza jinsi ya kukumbuka nambari kama hizo.

Jaribu mkono wako kwenye kazi ngumu zaidi hadi sasa - kupeana nambari 359.

Ili kupata 318, ama toa 41 (kamilisho ya 59) kutoka 359, au zidisha 2 x 59 = 118 na utumie tarakimu mbili za mwisho. Ifuatayo, zidisha 400 x 318 = 127,200. Kuongeza 412 = 1681 kwa nambari hii inatoa jumla ya 128,881. Ni hayo tu! Ikiwa ulifanya kila kitu sawa mara ya kwanza, wewe ni mzuri!

Hebu tumalize sehemu hii kwa kazi kubwa lakini rahisi: kuhesabu 987 2 .

MAZOEZI: KUPATA NAMBA TATU

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Nini nyuma ya mlango namba 1?

Mtazamo wa hisabati ambao ulimkwaza kila mtu mwaka wa 1991 ulikuwa makala ya Marilyn Savant - mwanamke mwenye IQ ya juu zaidi duniani (kama ilivyosajiliwa katika Kitabu cha Kumbukumbu cha Guinness) - katika jarida la Parade. Kitendawili hiki kimejulikana kama shida ya Ukumbi wa Monty, na huenda kama ifuatavyo.

Uko kwenye kipindi cha Monty Hall Let's Make a Deal. Mwenyeji anakupa fursa ya kuchagua moja ya milango mitatu, nyuma ya moja ambayo ni tuzo kubwa, nyuma ya wengine wawili ni mbuzi. Tuseme umechagua mlango namba 2. Lakini kabla ya kuonyesha kile kilichofichwa nyuma ya mlango huu, Monty anafungua mlango namba 3. Kuna mbuzi. Sasa, kwa njia yake ya kudhihaki, Monty anakuuliza: unataka kufungua mlango #2 au ujihatarishe kuona kilicho nyuma ya mlango #1? Unapaswa kufanya nini? Kwa kudhani kwamba Monty atakuambia ambapo tuzo kuu sio, atafungua kila wakati moja ya milango ya "faraja". Hii inakuacha na chaguo: mlango mmoja na tuzo kubwa, na mwingine na tuzo ya faraja. Sasa nafasi yako ni 50/50, sivyo?

Lakini hapana! Nafasi uliyochagua kwa usahihi mara ya kwanza bado ni 1 kati ya 3. Nafasi ya kuwa zawadi kubwa itakuwa nyuma ya mlango mwingine huongezeka hadi 2/3, kwa sababu ni lazima uwezekano ujumuishwe hadi 1.

Kwa hivyo, kwa kubadilisha chaguo lako, utaongeza nafasi zako za kushinda mara mbili! (Tatizo linafikiri kwamba Monty atampa mchezaji chaguo jipya kila wakati kwa kuonyesha mlango "usio kushinda", na, wakati chaguo lako la kwanza ni sahihi, itafungua mlango "usioshinda" bila mpangilio.) Fikiri kuhusu mchezo. na milango kumi. Baada ya chaguo lako la kwanza, mruhusu mwenyeji afungue milango minane "isiyo ya kushinda". Hapa ndipo silika yako itawezekana kubadili mlango. Kwa kawaida watu hufanya makosa kufikiri kwamba ikiwa Monty Hall hajui tuzo kuu iko wapi na kufungua mlango namba 3, ambao unageuka kuwa mbuzi (ingawa kunaweza kuwa na zawadi), basi mlango namba 1 una 50. asilimia ya nafasi ya kuwa mmoja sahihi. Mawazo kama haya yanapingana na akili ya kawaida, lakini Marilyn Savant alipokea marundo ya barua (nyingi kutoka kwa wanasayansi, hata wanahisabati) zikimwambia kwamba hakupaswa kuandika juu ya hisabati. Bila shaka, watu hawa wote walikosea.

Wacha sasa tuzingatie mgawanyiko wa binomial na, kwa kutumia maoni ya hesabu, tutazungumza juu ya mraba wa jumla, i.e. (a + b)², na mraba wa tofauti ya nambari mbili, i.e. (a - b) ².

Kwa kuwa (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

kisha tunapata: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², i.e.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ni muhimu kukumbuka matokeo haya katika mfumo wa usawa ulioelezewa hapo juu na kwa maneno: mraba wa jumla ya nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza pamoja na bidhaa ya mbili kwa nambari ya kwanza na ya pili. nambari, pamoja na mraba wa nambari ya pili.

Kujua matokeo haya, tunaweza kuandika mara moja, kwa mfano:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Hebu tuangalie ya pili ya mifano hii. Tunahitaji mraba wa jumla ya nambari mbili: nambari ya kwanza ni 3ab, ya pili 1. Matokeo yanapaswa kuwa: 1) mraba wa nambari ya kwanza, yaani (3ab)², ambayo ni sawa na 9a²b²; 2) bidhaa ya mbili kwa nambari ya kwanza na ya pili, yaani 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) mraba wa nambari ya 2, i.e. 1² = 1 - maneno haya yote matatu lazima yaongezwe pamoja.

Pia tunapata fomula ya kugawanya tofauti ya nambari mbili, i.e. kwa (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

i.e. mraba wa tofauti ya nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza, ukiondoa bidhaa ya mbili kwa nambari ya kwanza na ya pili, pamoja na mraba wa nambari ya pili.

Kujua matokeo haya, tunaweza kufanya mara moja squaring ya binomials, ambayo, kutoka kwa mtazamo wa hesabu, inawakilisha tofauti ya namba mbili.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, nk.

Hebu tueleze mfano wa 2. Hapa tuna katika mabano tofauti ya nambari mbili: nambari ya kwanza ni 5ab 3 na nambari ya pili ni 3a 2 b. Matokeo yanapaswa kuwa: 1) mraba wa nambari ya kwanza, i.e. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) bidhaa ya mbili kwa nambari ya 1 na ya 2, i.e. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 na 3) mraba wa nambari ya pili, yaani (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; Masharti ya kwanza na ya tatu lazima yachukuliwe na kuongeza, na ya 2 na minus, tunapata 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Ili kuelezea mfano wa 4, tunaona tu kwamba 1) (n-1)2 = 2n-2 ... kielelezo lazima kizidishwe na 2 na 2) bidhaa ya mbili kwa nambari ya 1 na kwa 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n.

Ikiwa tunachukua mtazamo wa aljebra, basi usawa zote mbili: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² na 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² zinaelezea kitu kimoja, yaani: mraba wa binomial ni sawa na mraba wa muhula wa kwanza, pamoja na bidhaa ya nambari (+2) kwa muhula wa kwanza na wa pili, pamoja na mraba wa muhula wa pili. Hii ni wazi kwa sababu usawa wetu unaweza kuandikwa upya kama:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

Katika hali nyingine, ni rahisi kutafsiri usawa unaosababishwa kwa njia hii:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Hapa tunaweka mraba wa binomial ambao muhula wake wa kwanza = -4a na wa pili = -3b. Kisha tunapata (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² na hatimaye:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Pia itawezekana kupata na kukumbuka fomula ya squaring trinomial, quadrinomial, au polynomial yoyote kwa ujumla. Walakini, hatutafanya hivi, kwa sababu sisi mara chache hatuhitaji kutumia fomula hizi, na ikiwa tunahitaji mraba wa polynomial yoyote (isipokuwa binomial), tutapunguza suala hilo kwa kuzidisha. Kwa mfano:

31. Wacha tutumie usawa 3 uliopatikana, ambao ni:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

kwa hesabu.

Hebu iwe 41 ∙ 39. Kisha tunaweza kuwakilisha hii kwa fomu (40 + 1) (40 - 1) na kupunguza suala hilo kwa usawa wa kwanza - tunapata 40² - 1 au 1600 - 1 = 1599. Shukrani kwa hili, ni rahisi kuzidisha kama 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, nk.

Hebu iwe 41 ∙ 41; ni sawa na 41² au (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Pia 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ikiwa unahitaji 37 ∙ 37, ∙ 37 basi hii ni sawa na (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Kuzidisha vile (au squaring nambari za tarakimu mbili) ni rahisi kufanya, kwa ujuzi fulani, katika kichwa chako.

*mraba hadi mamia

Ili usiweke mraba nambari zote kwa kutumia fomula, unahitaji kurahisisha kazi yako iwezekanavyo na sheria zifuatazo.

Sheria ya 1 (inapunguza nambari 10)

Sheria ya 2 (inapunguza nambari 10)

Sheria ya 3 (inapunguza nambari 8)

Sheria ya 4 (inapunguza nambari 8)

Sheria ya 5 (inapunguza nambari 8)

Kanuni ya 6 (inapunguza nambari 32)

Fomula (zimesalia tarakimu 24)

Kwa nambari kutoka 25 hadi 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Kwa mfano:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Kwa nambari kutoka 50 hadi 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Kwa mfano:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Kwa kweli, usisahau kuhusu formula ya kawaida ya upanuzi wa mraba wa jumla (kesi maalum ya binomial ya Newton):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Ikiwa mada ya kuhesabu haraka ni ya kuvutia, nitaandika zaidi.
Tafadhali andika maoni kuhusu makosa na marekebisho katika PM, asante mapema.

Leo tutajifunza jinsi ya kuongeza haraka maneno makubwa bila calculator. Kwa ujumla, ninamaanisha nambari kuanzia kumi hadi mia moja. Maneno makubwa ni nadra sana katika shida za kweli, na tayari unajua jinsi ya kuhesabu maadili chini ya kumi, kwa sababu hii ni meza ya kuzidisha ya kawaida. Nyenzo katika somo la leo zitakuwa muhimu kwa wanafunzi wenye uzoefu, kwa sababu wanafunzi wanaoanza hawatathamini kasi na ufanisi wa mbinu hii.

Kwanza, hebu tuone kile tunachozungumzia kwa ujumla. Kama mfano, ninapendekeza kuunda usemi wa nambari kiholela, kama kawaida. Wacha tuseme 34. Tunaiinua kwa kuizidisha yenyewe na safu:

\[((34)^(2))=\nyakati \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 ni mraba 34.

Shida na njia hii inaweza kuelezewa katika nukta mbili:

1) inahitaji nyaraka zilizoandikwa;

2) ni rahisi sana kufanya makosa wakati wa mchakato wa hesabu.

Leo tutajifunza jinsi ya kuzidisha haraka bila calculator, kwa mdomo na bila makosa yoyote.

Basi hebu tuanze. Ili kufanya kazi, tunahitaji fomula ya mraba wa jumla na tofauti. Hebu tuandike:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Je, hii inatupa nini? Ukweli ni kwamba thamani yoyote katika safu kutoka 10 hadi 100 inaweza kuwakilishwa kama nambari $a$, ambayo inaweza kugawanywa na 10, na nambari $b$, ambayo ni salio la mgawanyiko na 10.

Kwa mfano, 28 inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

\[\anza(linganisha)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\malizia(panga)\]

Tunatoa mifano iliyobaki kwa njia ile ile:

\[\anza(linganisha)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(panga)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\malizia(panga)\]

Wazo hili linatuambia nini? Ukweli ni kwamba kwa jumla au tofauti, tunaweza kutumia mahesabu yaliyoelezwa hapo juu. Bila shaka, ili kufupisha mahesabu, kwa kila kipengele unapaswa kuchagua kujieleza kwa muda mdogo wa pili. Kwa mfano, kutoka kwa chaguo $20+8$ na $30-2$, unapaswa kuchagua chaguo $30-2$.

Vile vile tunachagua chaguzi kwa mifano iliyobaki:

\[\anza(linganisha)&((28)^(2)) \\& 30-2 \\\malizia(patanisha)\]

\[\anza(linganisha)&(51)^(2)) \\& 50+1 \\\malizia(patanisha)\]

\[\anza(linganisha)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\malizia(patanisha)\]

\[\anza(panga)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)&((26)^(2)) \\& 30-4 \\\malizia(patanisha)\]

\[\anza(linganisha)&(39)^(2)) \\& 40-1 \\\malizia(panga)\]

\[\anza(linganisha)&((81)^(2)) \\& 80+1 \\\malizia(panga)\]

Kwa nini tujitahidi kupunguza muhula wa pili tunapozidisha haraka? Yote ni juu ya mahesabu ya awali ya mraba wa jumla na tofauti. Ukweli ni kwamba neno $2ab$ lenye plus au minus ndilo gumu zaidi kukokotoa wakati wa kutatua matatizo halisi. Na ikiwa kipengele $a$, kizidishio cha 10, kila mara huzidishwa kwa urahisi, basi kwa kipengele $b$, ambayo ni nambari inayoanzia moja hadi kumi, wanafunzi wengi huwa na matatizo mara kwa mara.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Kwa hivyo katika dakika tatu tulifanya kuzidisha kwa mifano minane. Hiyo ni chini ya sekunde 25 kwa kila usemi. Kwa kweli, baada ya mazoezi kidogo, utahesabu haraka zaidi. Itakuchukua si zaidi ya sekunde tano hadi sita kukokotoa usemi wowote wa tarakimu mbili.

Lakini si hivyo tu. Kwa wale ambao mbinu iliyoonyeshwa haionekani kwa kasi ya kutosha na ya kutosha, napendekeza njia ya kuzidisha haraka zaidi, ambayo, hata hivyo, haifanyi kazi kwa kazi zote, lakini tu kwa wale ambao hutofautiana na moja kutoka kwa wingi wa 10. somo letu kuna maadili manne kama haya: 51, 21, 81 na 39.

Inaweza kuonekana haraka zaidi; tayari tunazihesabu katika mistari michache. Lakini, kwa kweli, inawezekana kuharakisha, na hii inafanywa kama ifuatavyo. Tunaandika thamani ambayo ni nyingi ya kumi, ambayo ni karibu na kile tunachohitaji. Kwa mfano, hebu tuchukue 51. Kwa hiyo, kwa kuanzia, hebu tujenge hamsini:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Multiple ya kumi ni rahisi zaidi kwa mraba. Na sasa tunaongeza hamsini na 51 kwa usemi asilia. Jibu litakuwa sawa:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Na hivyo kwa nambari zote ambazo hutofautiana kwa moja.

Ikiwa thamani tunayotafuta ni kubwa kuliko ile tunayohesabu, basi tunaongeza nambari kwenye mraba unaosababisha. Ikiwa nambari inayotakiwa ni ndogo, kama ilivyo kwa 39, basi wakati wa kufanya kitendo, unahitaji kuondoa thamani kutoka kwa mraba. Wacha tufanye mazoezi bila kutumia kihesabu:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Kama unaweza kuona, katika hali zote majibu ni sawa. Aidha, mbinu hii inatumika kwa maadili yoyote ya karibu. Kwa mfano:

\[\anza(panga)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\malizia(panga)\]

Wakati huo huo, hatuhitaji kukumbuka mahesabu ya mraba ya jumla na tofauti na kutumia calculator. Kasi ya kazi ni zaidi ya sifa. Kwa hivyo, kumbuka, fanya mazoezi na utumie katika mazoezi.

Pointi muhimu

Kutumia mbinu hii, unaweza kuzidisha nambari yoyote ya asili kwa urahisi kutoka 10 hadi 100. Zaidi ya hayo, mahesabu yote yanafanywa kwa mdomo, bila calculator na hata bila karatasi!

Kwanza, kumbuka miraba ya maadili ambayo ni mafungu ya 10:

\[\anza(linganisha)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\mwisho(linganisha)\]

\[\anza(linganisha)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\mwisho(linganisha)\]

\[\anza(linganisha)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\mwisho(linganisha)\]

Jinsi ya kuhesabu hata haraka zaidi

Lakini si hayo tu! Kwa kutumia maneno haya, unaweza mara moja mraba nambari "karibu" na zile za kumbukumbu. Kwa mfano, tunajua 152 (thamani ya kumbukumbu), lakini tunahitaji kupata 142 (nambari iliyo karibu ambayo ni moja chini ya thamani ya kumbukumbu). Hebu tuandike:

\[\anza(linganisha)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\mwisho(linganisha)\]

Tafadhali kumbuka: hakuna fumbo! Mraba wa nambari ambazo hutofautiana na 1 hupatikana kwa kuzidisha nambari za marejeleo peke yao kwa kutoa au kuongeza maadili mawili:

\[\anza(linganisha)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\mwisho(linganisha)\]

Kwa nini hii inatokea? Wacha tuandike fomula ya mraba wa jumla (na tofauti). Acha $n$ iwe thamani yetu ya marejeleo. Kisha huhesabiwa kama hii:

\[\anza(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\malizia(align)\]

- hii ni formula.

\[\anza(align)&(((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\malizia(align)\]

- formula sawa ya nambari kubwa kuliko 1.

Natumai mbinu hii itakuokoa wakati kwenye majaribio na mitihani yako ya hesabu ya hali ya juu. Na hiyo ni kwa ajili yangu tu. Baadaye!