Persamaan logaritma. Dari yang mudah kepada yang kompleks.
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apakah persamaan logaritma?
Ini adalah persamaan dengan logaritma. Saya terkejut, kan?) Kemudian saya akan menjelaskan. Ini ialah persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya ditemui logaritma dalam. Dan hanya di sana! Ia penting.
Berikut adalah beberapa contoh persamaan logaritma:
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Nah, anda faham... )
Catatan! Ungkapan yang paling pelbagai dengan X terletak secara eksklusif dalam logaritma. Jika, tiba-tiba, X muncul di suatu tempat dalam persamaan luar, Sebagai contoh:
log 2 x = 3+x,
ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka buat masa ini. By the way, terdapat persamaan di mana di dalam logaritma nombor sahaja. Sebagai contoh:
Apa yang boleh saya katakan? Anda bertuah jika anda terjumpa ini! Logaritma dengan nombor ialah beberapa nombor. Itu sahaja. Adalah cukup untuk mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikan persamaan sedemikian. Pengetahuan tentang peraturan khas, teknik yang disesuaikan khusus untuk penyelesaian persamaan logaritma, tidak diperlukan di sini.
Jadi, apakah persamaan logaritma- kami telah mengetahuinya.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma?
Penyelesaian persamaan logaritma- perkara itu sebenarnya tidak begitu mudah. Jadi bahagian kami adalah empat... Sebilangan besar pengetahuan tentang semua jenis topik berkaitan diperlukan. Di samping itu, terdapat ciri khas dalam persamaan ini. Dan ciri ini sangat penting sehingga ia boleh dipanggil dengan selamat sebagai masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Kami akan menangani masalah ini secara terperinci dalam pelajaran seterusnya.
Buat masa ini, jangan risau. Kami akan pergi ke jalan yang betul daripada mudah kepada kompleks. hidup contoh khusus. Perkara utama adalah untuk menyelidiki perkara yang mudah dan jangan malas untuk mengikuti pautan, saya meletakkannya di sana atas alasan... Dan semuanya akan berfungsi untuk anda. Semestinya.
Mari kita mulakan dengan persamaan yang paling asas dan paling mudah. Untuk menyelesaikannya, adalah dinasihatkan untuk mempunyai idea tentang logaritma, tetapi tidak lebih. Cuma tiada idea logaritma, mengambil keputusan logaritma persamaan - entah bagaimana janggal... Sangat berani, saya akan katakan).
Persamaan logaritma termudah.
Ini adalah persamaan bentuk:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Proses penyelesaian sebarang persamaan logaritma terdiri daripada peralihan daripada persamaan dengan logaritma kepada persamaan tanpanya. Dalam persamaan termudah peralihan ini dijalankan dalam satu langkah. Itulah sebabnya mereka adalah yang paling mudah.)
Dan persamaan logaritma sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan. Lihatlah sendiri.
Mari selesaikan contoh pertama:
log 3 x = log 3 9
Untuk menyelesaikan contoh ini, anda tidak perlu mengetahui hampir apa-apa, ya... Intuisi semata-mata!) Apa yang kita perlukan terutamanya tidak suka contoh ini? Apa-apa... Saya tidak suka logaritma! Betul. Jadi mari kita singkirkan mereka. Kita melihat dengan teliti contoh itu, dan keinginan semula jadi timbul dalam diri kita... Benar-benar tidak dapat ditolak! Ambil dan buang logaritma sama sekali. Dan apa yang baik ialah itu boleh buat! Matematik membenarkan. Logaritma hilang jawapannya ialah:
Hebat kan? Ini boleh (dan harus) sentiasa dilakukan. Menghapuskan logaritma Dengan cara yang sama- salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Dalam matematik operasi ini dipanggil potensiasi. Sudah tentu, terdapat peraturan untuk pembubaran sedemikian, tetapi ia adalah sedikit. Ingat:
Anda boleh menghapuskan logaritma tanpa rasa takut jika ia mempunyai:
a) asas berangka yang sama
c) logaritma dari kiri ke kanan adalah tulen (tanpa sebarang pekali) dan berada dalam pengasingan yang sangat baik.
Biar saya jelaskan perkara terakhir. Dalam persamaan, katakan
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
Logaritma tidak boleh dialih keluar. Dua di sebelah kanan tidak membenarkannya. Pekali, anda tahu... Dalam contoh
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Ia juga mustahil untuk mempotensikan persamaan. Tiada logaritma tunggal di sebelah kiri. Terdapat dua daripada mereka.
Ringkasnya, anda boleh mengalih keluar logaritma jika persamaan kelihatan seperti ini dan hanya seperti ini:
log a (.....) = log a (.....)
Dalam kurungan, di mana terdapat elipsis, mungkin ada sebarang ungkapan. Mudah, super kompleks, semua jenis. Apa-apa sahajalah. Perkara penting ialah selepas menghapuskan logaritma yang kita tinggalkan persamaan yang lebih mudah. Sudah tentu, diandaikan bahawa anda sudah tahu cara menyelesaikan persamaan linear, kuadratik, pecahan, eksponen dan lain-lain tanpa logaritma.)
Kini anda boleh menyelesaikan contoh kedua dengan mudah:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Sebenarnya, ia diputuskan dalam fikiran. Kita kuatkan, kita dapat:
Nah, adakah ia sangat sukar?) Seperti yang anda lihat, logaritma sebahagian daripada penyelesaian persamaan ialah hanya dalam menghapuskan logaritma... Dan kemudian datang penyelesaian kepada persamaan yang tinggal tanpa mereka. Perkara remeh.
Mari kita selesaikan contoh ketiga:
log 7 (50x-1) = 2
Kami melihat bahawa terdapat logaritma di sebelah kiri:
Mari kita ingat bahawa logaritma ini ialah nombor yang asasnya mesti dinaikkan (iaitu tujuh) untuk mendapatkan ungkapan sublogaritma, i.e. (50x-1).
Tetapi nombor ini adalah dua! Menurut Pers. Itu dia:
Itu pada dasarnya semua. Logaritma hilang, Apa yang tinggal ialah persamaan tidak berbahaya:
Kami menyelesaikan persamaan logaritma ini hanya berdasarkan makna logaritma. Adakah masih lebih mudah untuk menghapuskan logaritma?) Saya bersetuju. Dengan cara ini, jika anda membuat logaritma daripada dua, anda boleh menyelesaikan contoh ini melalui penyingkiran. Sebarang nombor boleh dijadikan logaritma. Lebih-lebih lagi, cara yang kita perlukan. sangat helah yang berguna dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan (terutamanya!) ketaksamaan.
Tidak tahu cara membuat logaritma daripada nombor!? Tidak mengapa. Bahagian 555 menerangkan teknik ini secara terperinci. Anda boleh menguasainya dan menggunakannya sepenuhnya! Ia sangat mengurangkan bilangan ralat.
Persamaan keempat diselesaikan dengan cara yang sama sekali (mengikut definisi):
Itu sahaja.
Mari kita ringkaskan pelajaran ini. Kami melihat penyelesaian persamaan logaritma termudah menggunakan contoh. Ianya sangat penting. Dan bukan sahaja kerana persamaan tersebut muncul dalam ujian dan peperiksaan. Hakikatnya ialah walaupun persamaan yang paling jahat dan rumit semestinya dikurangkan kepada yang paling mudah!
Sebenarnya, persamaan yang paling mudah adalah bahagian akhir penyelesaian mana-mana persamaan. Dan bahagian akhir ini mesti difahami dengan ketat! Dan seterusnya. Pastikan anda membaca halaman ini hingga akhir. Ada kejutan di sana...)
Sekarang kita tentukan sendiri. Mari menjadi lebih baik, kononnya...)
Cari punca (atau jumlah punca, jika terdapat beberapa) persamaan:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0.5x-1.5) = 0.25
log 0.2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Jawapan (sudah tentu berantakan): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
Apa, tidak semuanya berjaya? berlaku. jangan risau! Seksyen 555 menerangkan penyelesaian kepada semua contoh ini dengan cara yang jelas dan terperinci. Anda pasti akan memikirkannya di sana. Anda juga akan mempelajari teknik praktikal yang berguna.
Semuanya berjaya!? Semua contoh "tinggal satu"?) Tahniah!
Sudah tiba masanya untuk mendedahkan kebenaran pahit kepada anda. Penyelesaian yang berjaya bagi contoh-contoh ini tidak menjamin kejayaan dalam menyelesaikan semua persamaan logaritma lain. Malah yang paling mudah seperti ini. Malangnya.
Hakikatnya ialah penyelesaian kepada mana-mana persamaan logaritma (walaupun yang paling asas!) terdiri daripada dua bahagian yang sama. Menyelesaikan persamaan dan bekerja dengan ODZ. Kami telah menguasai satu bahagian - menyelesaikan persamaan itu sendiri. Ia tidak begitu sukar betul tak?
Untuk pelajaran ini, saya memilih contoh khas di mana DL tidak menjejaskan jawapan dalam apa jua cara. Tetapi tidak semua orang baik seperti saya, bukan?...)
Oleh itu, adalah penting untuk menguasai bahagian yang lain. ODZ. Ini adalah masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Dan bukan kerana ia sukar - bahagian ini lebih mudah daripada yang pertama. Tetapi kerana orang lupa tentang ODZ. Atau mereka tidak tahu. Atau kedua-duanya). Dan mereka tiba-tiba jatuh...
Dalam pelajaran seterusnya kita akan menangani masalah ini. Kemudian anda boleh membuat keputusan dengan yakin mana-mana persamaan logaritma mudah dan mendekati tugasan yang agak kukuh.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Arahan
Tulis ungkapan logaritma yang diberi. Jika ungkapan menggunakan logaritma 10, maka tatatandanya dipendekkan dan kelihatan seperti ini: lg b ialah logaritma perpuluhan. Jika logaritma mempunyai nombor e sebagai asasnya, maka tulis ungkapan: ln b – logaritma asli. Difahamkan bahawa hasil mana-mana adalah kuasa yang mana nombor asas mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.
Apabila mencari jumlah dua fungsi, anda hanya perlu membezakannya satu demi satu dan menambah keputusan: (u+v)" = u"+v";
Apabila mencari terbitan hasil darab dua fungsi, adalah perlu untuk mendarabkan terbitan bagi fungsi pertama dengan kedua dan menambah terbitan bagi fungsi kedua didarab dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Untuk mencari terbitan hasil bagi dua fungsi, adalah perlu untuk menolak daripada hasil darab terbitan dividen yang didarab dengan fungsi pembahagi hasil darab terbitan pembahagi didarab dengan fungsi dividen, dan bahagikan. semua ini dengan fungsi pembahagi kuasa dua. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jika diberi fungsi kompleks, maka adalah perlu untuk mendarabkan terbitan bagi fungsi dalaman dan terbitan dari luar. Biarkan y=u(v(x)), kemudian y"(x)=y"(u)*v"(x).
Menggunakan hasil yang diperoleh di atas, anda boleh membezakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Terdapat juga masalah yang melibatkan pengiraan derivatif pada satu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, anda perlu mencari nilai fungsi pada titik x=1.
1) Cari terbitan bagi fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kira nilai fungsi dalam titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8
Video mengenai topik
Ketahui jadual terbitan asas. Ini akan menjimatkan masa dengan ketara.
Sumber:
- terbitan pemalar
Jadi, apa bezanya persamaan rasional dari rasional? Jika pembolehubah yang tidak diketahui berada di bawah tanda punca kuasa dua, maka persamaan itu dianggap tidak rasional.
Arahan
Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut ialah kaedah membina kedua-dua belah persamaan ke dalam segi empat sama. Namun begitu. ini adalah semula jadi, perkara pertama yang anda perlu lakukan ialah menyingkirkan tanda itu. Kaedah ini tidak sukar secara teknikal, tetapi kadangkala ia boleh membawa kepada masalah. Sebagai contoh, persamaan ialah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah anda mendapat 2x-5=4x-7. Menyelesaikan persamaan sedemikian tidak sukar; x=1. Tetapi nombor 1 tidak akan diberikan persamaan. kenapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukannya nilai x. Dan bahagian kanan dan kiri akan mengandungi ungkapan yang tidak masuk akal, iaitu. Nilai ini tidak sah untuk punca kuasa dua. Oleh itu 1 ialah akar luar, dan oleh itu persamaan yang diberikan tidak mempunyai akar.
Jadi, persamaan tidak rasional diselesaikan menggunakan kaedah kuasa dua bahagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, adalah perlu untuk memotong akar luar. Untuk melakukan ini, gantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan asal.
Pertimbangkan satu lagi.
2х+vх-3=0
Sudah tentu, persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan persamaan yang sama seperti yang sebelumnya. Gerakkan Sebatian persamaan, yang tidak mempunyai punca kuasa dua, ke sebelah kanan dan kemudian gunakan kaedah kuasa dua. selesaikan persamaan dan punca rasional yang terhasil. Tetapi juga satu lagi, lebih elegan. Masukkan pembolehubah baharu; vх=y. Sehubungan itu, anda akan menerima persamaan bentuk 2y2+y-3=0. Iaitu, yang biasa persamaan kuadratik. Cari akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Seterusnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai punca; daripada yang pertama kita dapati bahawa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.
Menyelesaikan identiti agak mudah. Untuk melakukan ini anda perlu lakukan transformasi identiti sehingga matlamat tercapai. Oleh itu, dengan bantuan yang paling mudah operasi aritmetik tugas di tangan akan diselesaikan.
Anda perlu
- - kertas;
- - pen.
Arahan
Penjelmaan yang paling mudah ialah pendaraban singkatan algebra (seperti kuasa dua jumlah (perbezaan), perbezaan kuasa dua, jumlah (perbezaan), kubus hasil tambah (perbezaan)). Di samping itu, terdapat banyak dan rumus trigonometri, yang pada asasnya adalah identiti yang sama.
Sesungguhnya kuasa dua hasil tambah dua sebutan sama dengan segi empat sama tambah pertama dua kali ganda hasil darab yang pertama dengan yang kedua dan tambah kuasa dua kedua, iaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Permudahkan kedua-duanya
Prinsip umum penyelesaian
Ulang mengikut buku teks analisis matematik atau matematik yang lebih tinggi, yang merupakan kamiran pasti. Seperti yang diketahui, penyelesaiannya kamiran pasti terdapat fungsi yang terbitannya memberikan kamiran. Fungsi ini dipanggil antiderivatif. Oleh prinsip ini dan membina kamiran utama.Tentukan dengan bentuk kamiran dan kamiran jadual yang manakah sesuai dalam kes ini. Ia tidak selalu mungkin untuk menentukan ini dengan segera. Selalunya, bentuk jadual menjadi ketara hanya selepas beberapa transformasi untuk memudahkan integrand.
Kaedah Penggantian Pembolehubah
Jika fungsi integrand ialah fungsi trigonometri, yang hujahnya mengandungi beberapa polinomial, kemudian cuba gunakan kaedah penggantian pembolehubah. Untuk melakukan ini, gantikan polinomial dalam hujah integrand dengan beberapa pembolehubah baharu. Berdasarkan hubungan antara pembolehubah baharu dan lama, tentukan had pengamiran baharu. Dengan membezakan ungkapan ini, cari pembezaan baharu dalam . Jadi anda akan dapat jenis baru daripada kamiran sebelumnya, hampir atau sepadan dengan mana-mana satu jadual.Menyelesaikan kamiran jenis kedua
Jika kamiran ialah kamiran jenis kedua, bentuk vektor kamiran, maka anda perlu menggunakan peraturan untuk peralihan daripada kamiran ini kepada kamiran berskala. Satu peraturan sedemikian ialah hubungan Ostrogradsky-Gauss. Undang-undang ini membolehkan anda beralih daripada fluks pemutar beberapa fungsi vektor kepada kamiran tiga kali ganda atas perbezaan medan vektor tertentu.Penggantian had integrasi
Selepas mencari antiterbitan, adalah perlu untuk menggantikan had penyepaduan. Mula-mula gantikan nilai had atas menjadi ungkapan untuk antiterbitan. Anda akan mendapat beberapa nombor. Seterusnya, tolak daripada nombor yang terhasil nombor lain yang diperoleh daripada had bawah ke dalam antiterbitan. Jika salah satu had integrasi ialah infiniti, maka apabila menggantikannya menjadi fungsi antiderivatif adalah perlu untuk pergi ke had dan mencari apa yang diperjuangkan oleh ungkapan itu.Jika kamiran adalah dua dimensi atau tiga dimensi, maka anda perlu mewakili had kamiran secara geometri untuk memahami cara menilai kamiran. Malah, dalam kes, katakan, kamiran tiga dimensi, had penyepaduan boleh menjadi keseluruhan satah yang mengehadkan isipadu yang disepadukan.
Bersedia untuk ujian akhir dalam matematik termasuk bahagian penting - "Logaritma". Tugasan daripada topik ini semestinya terkandung dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu. Pengalaman dari tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa persamaan logaritma menyebabkan kesukaran kepada ramai pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar dengan tahap yang berbeza persiapan.
Lulus ujian pensijilan dengan jayanya menggunakan portal pendidikan Shkolkovo!
Semasa membuat persediaan untuk peperiksaan negeri bersatu, graduan sekolah menengah memerlukan sumber yang boleh dipercayai yang menyediakan maklumat yang paling lengkap dan tepat untuk keputusan yang berjaya masalah ujian. Walau bagaimanapun, buku teks tidak selalu di tangan, dan mencari peraturan yang diperlukan dan formula di Internet sering mengambil masa.
Portal pendidikan Shkolkovo membolehkan anda bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu di mana-mana sahaja pada bila-bila masa. Laman web kami menawarkan pendekatan yang paling mudah untuk mengulang dan mengasimilasikan sejumlah besar maklumat tentang logaritma, serta dengan satu dan beberapa yang tidak diketahui. Mulakan dengan persamaan mudah. Jika anda menghadapinya tanpa kesukaran, teruskan kepada yang lebih kompleks. Jika anda menghadapi masalah menyelesaikan ketidaksamaan tertentu, anda boleh menambahkannya pada Kegemaran anda supaya anda boleh kembali kepadanya kemudian.
Cari formula yang diperlukan Untuk menyelesaikan tugas, anda boleh mengulangi kes dan kaedah khas untuk mengira punca persamaan logaritma piawai dengan melihat bahagian "Bantuan Teoritis". Guru Shkolkovo mengumpul, menyusun dan menggariskan semua yang diperlukan berjaya disiapkan bahan dalam bentuk yang paling mudah dan boleh difahami.
Untuk menangani tugas dengan mudah dalam sebarang kerumitan, di portal kami, anda boleh membiasakan diri dengan penyelesaian beberapa persamaan logaritma standard. Untuk melakukan ini, pergi ke bahagian "Katalog". Kami mempersembahkan sejumlah besar contoh, termasuk persamaan tahap profil Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.
Pelajar dari sekolah di seluruh Rusia boleh menggunakan portal kami. Untuk memulakan kelas, hanya mendaftar dalam sistem dan mula menyelesaikan persamaan. Untuk menyatukan keputusan, kami menasihati anda untuk kembali ke laman web Shkolkovo setiap hari.
Dengan video ini saya memulakan siri pelajaran panjang tentang persamaan logaritma. Sekarang anda mempunyai tiga contoh di hadapan anda, berdasarkan yang kami akan belajar untuk menyelesaikannya tugasan mudah, yang dipanggil begitu - protozoa.
log 0.5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa persamaan logaritma termudah adalah seperti berikut:
log a f (x) = b
Dalam kes ini, adalah penting bahawa pembolehubah x hadir hanya di dalam hujah, iaitu, hanya dalam fungsi f (x). Dan nombor a dan b hanyalah nombor, dan tidak sekali-kali adalah fungsi yang mengandungi pembolehubah x.
Kaedah penyelesaian asas
Terdapat banyak cara untuk menyelesaikan struktur sedemikian. Sebagai contoh, kebanyakan guru di sekolah menawarkan kaedah ini: Ungkapkan dengan segera fungsi f (x) menggunakan formula f ( x ) = a b . Iaitu, apabila anda menemui pembinaan yang paling mudah, anda boleh segera beralih kepada penyelesaian tanpa tindakan dan pembinaan tambahan.
Ya, sudah tentu, keputusan itu akan betul. Walau bagaimanapun, masalah dengan formula ini ialah kebanyakan pelajar tidak faham, dari mana asalnya dan mengapa kita menaikkan huruf a kepada huruf b.
Akibatnya, saya sering melihat kesilapan yang sangat menjengkelkan apabila, sebagai contoh, surat ini ditukar. Formula ini anda perlu sama ada memahami atau menjejalkan, dan kaedah kedua membawa kepada kesilapan pada saat yang paling tidak sesuai dan paling penting: dalam peperiksaan, ujian, dsb.
Itulah sebabnya saya mencadangkan kepada semua pelajar saya untuk meninggalkan formula sekolah standard dan menggunakan pendekatan kedua untuk menyelesaikan persamaan logaritma, yang, seperti yang anda mungkin meneka dari namanya, dipanggil bentuk kanonik.
Idea di sebalik bentuk kanonik adalah mudah. Mari kita lihat masalah kita sekali lagi: di sebelah kiri kita mempunyai log a, dan dengan huruf a kita maksudkan nombor, dan dalam keadaan apa pun fungsi yang mengandungi pembolehubah x. Akibatnya, surat ini tertakluk kepada semua sekatan yang dikenakan pada asas logaritma. iaitu:
1 ≠ a > 0
Sebaliknya, dari persamaan yang sama kita melihat bahawa logaritma mestilah sama dengan nombor b , dan tiada sekatan dikenakan ke atas surat ini, kerana ia boleh mengambil mana-mana nilai - baik positif dan negatif. Semuanya bergantung pada nilai yang diambil oleh fungsi f(x).
Dan di sini kita ingat peraturan indah kita bahawa sebarang nombor b boleh diwakili sebagai logaritma kepada asas a a kepada kuasa b:
b = log a a b
Bagaimana untuk mengingati formula ini? Ya, sangat mudah. Mari kita tulis pembinaan berikut:
b = b 1 = b log a a
Sudah tentu, dalam kes ini semua sekatan yang kami tulis pada mulanya timbul. Sekarang mari kita gunakan sifat asas logaritma dan perkenalkan pengganda b sebagai kuasa a. Kita mendapatkan:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Akibatnya, persamaan asal akan ditulis semula seperti berikut:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Itu sahaja. Ciri baharu tidak lagi mengandungi logaritma dan boleh diselesaikan menggunakan teknik algebra piawai.
Sudah tentu, seseorang kini akan membantah: mengapa perlu menghasilkan beberapa jenis formula kanonik sama sekali, mengapa melakukan dua langkah tambahan yang tidak perlu jika mungkin untuk segera beralih dari reka bentuk asal kepada formula akhir? Ya, jika hanya kerana kebanyakan pelajar tidak memahami dari mana formula ini datang dan, akibatnya, kerap melakukan kesilapan semasa mengaplikasikannya.
Tetapi urutan tindakan ini, yang terdiri daripada tiga langkah, membolehkan anda menyelesaikan persamaan logaritma asal, walaupun anda tidak faham dari mana datangnya formula akhir. By the way, formula kanonik Entri ini dipanggil:
log a f (x) = log a a b
Kemudahan bentuk kanonik juga terletak pada fakta bahawa ia boleh digunakan untuk menyelesaikan kelas persamaan logaritma yang sangat luas, dan bukan hanya yang paling mudah yang sedang kita pertimbangkan hari ini.
Contoh penyelesaian
Sekarang mari kita lihat contoh sebenar. Jadi, mari kita putuskan:
log 0.5 (3x − 1) = −3
Mari kita tulis semula seperti ini:
log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3
Ramai pelajar tergesa-gesa dan cuba segera menaikkan angka 0.5 kepada kuasa yang datang kepada kita dari masalah asal. Sesungguhnya, apabila anda sudah terlatih dalam menyelesaikan masalah sedemikian, anda boleh segera melakukan langkah ini.
Walau bagaimanapun, jika anda kini baru mula mempelajari topik ini, adalah lebih baik untuk tidak tergesa-gesa ke mana-mana untuk mengelakkan melakukan kesilapan yang menyinggung perasaan. Jadi, kita mempunyai bentuk kanonik. Kami ada:
3x − 1 = 0.5 −3
Ini bukan lagi persamaan logaritma, tetapi linear berkenaan dengan pembolehubah x. Untuk menyelesaikannya, mari kita lihat nombor 0.5 kepada kuasa −3. Perhatikan bahawa 0.5 ialah 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Semua perpuluhan tukar kepada yang biasa apabila anda menyelesaikan persamaan logaritma.
Kami menulis semula dan mendapat:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Itu sahaja, kami mendapat jawapannya. Masalah pertama telah diselesaikan.
Tugasan kedua
Mari kita beralih kepada tugas kedua:
Seperti yang kita lihat, persamaan ini bukan lagi yang paling mudah. Jika hanya kerana terdapat perbezaan di sebelah kiri, dan tidak satu logaritma untuk satu pangkalan.
Oleh itu, entah bagaimana kita perlu menyingkirkan perbezaan ini. Dalam kes ini, semuanya sangat mudah. Mari kita lihat lebih dekat pada pangkalan: di sebelah kiri ialah nombor di bawah akar:
Cadangan am: dalam semua persamaan logaritma, cuba hapuskan radikal, iaitu, daripada entri dengan akar dan teruskan ke fungsi kuasa, semata-mata kerana eksponen kuasa ini mudah dikeluarkan daripada tanda logaritma dan, akhirnya, tatatanda sedemikian memudahkan dan mempercepatkan pengiraan dengan ketara. Mari kita tuliskan seperti ini:
Sekarang kita ingat harta yang indah logaritma: kuasa boleh diperoleh daripada hujah, dan juga dari asas. Dalam kes alasan, perkara berikut berlaku:
log a k b = 1/k loga b
Dalam erti kata lain, nombor yang berada dalam kuasa asas dibawa ke hadapan dan pada masa yang sama songsang, iaitu ia menjadi nombor timbal balik. Dalam kes kami, darjah asas ialah 1/2. Oleh itu, kita boleh mengeluarkannya sebagai 2/1. Kita mendapatkan:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Sila ambil perhatian: dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyingkirkan logaritma pada langkah ini. Ingat matematik gred 4-5 dan susunan operasi: pendaraban dilakukan terlebih dahulu, dan kemudian penambahan dan penolakan. Dalam kes ini, kita tolak satu daripada unsur yang sama daripada 10 unsur:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Sekarang persamaan kita kelihatan seperti sepatutnya. Ini adalah pembinaan yang paling mudah, dan kami menyelesaikannya menggunakan bentuk kanonik:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Itu sahaja. Masalah kedua telah selesai.
Contoh ketiga
Mari kita beralih kepada tugas ketiga:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Izinkan saya mengingatkan anda tentang formula berikut:
log b = log 10 b
Jika atas sebab tertentu anda keliru dengan log notasi b , maka apabila melakukan semua pengiraan anda boleh menulis log 10 b . Anda boleh bekerja dengan logaritma perpuluhan dengan cara yang sama seperti yang lain: ambil kuasa, tambah dan mewakili sebarang nombor dalam bentuk lg 10.
Ciri-ciri inilah yang kini akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah, kerana ia bukanlah yang paling mudah yang kita tulis pada awal pelajaran kita.
Pertama, ambil perhatian bahawa faktor 2 di hadapan lg 5 boleh ditambah dan menjadi kuasa asas 5. Di samping itu, sebutan bebas 3 juga boleh diwakili sebagai logaritma - ini sangat mudah diperhatikan dari notasi kami.
Nilailah sendiri: sebarang nombor boleh diwakili sebagai log ke pangkalan 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Mari kita tulis semula masalah asal dengan mengambil kira perubahan yang diperoleh:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000
Kami mempunyai bentuk kanonik di hadapan kami sekali lagi, dan kami mendapatnya tanpa melalui peringkat transformasi, iaitu persamaan logaritma yang paling mudah tidak muncul di mana-mana.
Inilah yang saya bincangkan pada awal pelajaran. Bentuk kanonik membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang lebih luas daripada yang standard formula sekolah, yang diberikan oleh kebanyakan guru sekolah.
Itu sahaja, mari kita buang tanda itu logaritma perpuluhan, dan kami mendapat pembinaan linear yang mudah:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Semua! Masalah selesai.
Nota mengenai skop
Di sini saya ingin membuat teguran penting berkenaan dengan skop definisi. Pasti sekarang akan ada pelajar dan guru yang akan berkata: "Apabila kita menyelesaikan ungkapan dengan logaritma, kita mesti ingat bahawa hujah f (x) mesti lebih besar daripada sifar!" Dalam hal ini, persoalan logik timbul: mengapa kita tidak memerlukan ketidaksamaan ini untuk dipenuhi dalam mana-mana masalah yang dipertimbangkan?
Jangan risau. tiada akar tambahan tidak akan berlaku dalam kes ini. Dan ini adalah satu lagi helah hebat yang membolehkan anda mempercepatkan penyelesaian. Hanya ketahui bahawa jika dalam masalah pembolehubah x berlaku hanya di satu tempat (atau lebih tepat, dalam satu hujah tunggal logaritma tunggal), dan tidak ada tempat lain dalam kes kami pembolehubah x muncul, kemudian tuliskan domain definisi tidak perlu, kerana ia akan dilaksanakan secara automatik.
Nilaikan sendiri: dalam persamaan pertama kita mendapat bahawa 3x − 1, iaitu hujah hendaklah sama dengan 8. Ini secara automatik bermakna 3x − 1 akan lebih besar daripada sifar.
Dengan kejayaan yang sama kita boleh menulis bahawa dalam kes kedua x harus sama dengan 5 2, iaitu ia pasti lebih besar daripada sifar. Dan dalam kes ketiga, di mana x + 3 = 25,000, iaitu, sekali lagi, jelas lebih besar daripada sifar. Dalam erti kata lain, skop dipenuhi secara automatik, tetapi hanya jika x berlaku hanya dalam hujah satu logaritma sahaja.
Itu sahaja yang anda perlu tahu untuk menyelesaikan masalah paling mudah. Peraturan ini sahaja, bersama dengan peraturan transformasi, akan membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang sangat luas.
Tetapi mari kita jujur: untuk akhirnya memahami teknik ini, untuk mempelajari cara menggunakan bentuk kanonik persamaan logaritma, tidak cukup untuk hanya menonton satu pelajaran video. Jadi muat turun pilihan sekarang untuk keputusan bebas, yang dilampirkan pada pelajaran video ini dan mula menyelesaikan sekurang-kurangnya satu daripada dua karya bebas ini.
Ia akan membawa anda secara literal beberapa minit. Tetapi kesan latihan sedemikian akan menjadi lebih tinggi daripada jika anda hanya menonton pelajaran video ini.
Saya harap pelajaran ini akan membantu anda memahami persamaan logaritma. Gunakan bentuk kanonik, ringkaskan ungkapan menggunakan peraturan untuk bekerja dengan logaritma - dan anda tidak akan takut dengan sebarang masalah. Itu sahaja yang saya ada untuk hari ini.
Mengambil kira domain definisi
Sekarang mari kita bercakap tentang domain definisi fungsi logaritma, serta bagaimana ini mempengaruhi penyelesaian persamaan logaritma. Pertimbangkan pembinaan borang
log a f (x) = b
Ungkapan sedemikian dipanggil yang paling mudah - ia mengandungi hanya satu fungsi, dan nombor a dan b hanyalah nombor, dan dalam keadaan apa pun fungsi yang bergantung pada pembolehubah x. Ia boleh diselesaikan dengan sangat mudah. Anda hanya perlu menggunakan formula:
b = log a a b
Formula ini adalah salah satu sifat utama logaritma, dan apabila menggantikan ungkapan asal kami, kami mendapat yang berikut:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Ini adalah formula biasa dari buku teks sekolah. Ramai pelajar mungkin akan mempunyai soalan: memandangkan dalam ungkapan asal fungsi f (x) berada di bawah tanda log, sekatan berikut dikenakan ke atasnya:
f(x) > 0
Had ini terpakai kerana logaritma bagi nombor negatif tidak wujud. Jadi, mungkin, akibat daripada had ini, semakan pada jawapan perlu diperkenalkan? Mungkin mereka perlu dimasukkan ke dalam sumber?
Tidak, dalam persamaan logaritma yang paling mudah, pemeriksaan tambahan tidak diperlukan. Dan itulah sebabnya. Lihat formula akhir kami:
f (x) = a b
Hakikatnya ialah nombor a dalam apa jua keadaan lebih besar daripada 0 - keperluan ini juga dikenakan oleh logaritma. Nombor a ialah asas. Dalam kes ini, tiada sekatan dikenakan ke atas bilangan b. Tetapi ini tidak penting, kerana tidak kira apa darjat yang kita naikkan nombor positif, kita masih akan mendapat nombor positif pada output. Oleh itu, keperluan f (x) > 0 dipenuhi secara automatik.
Apa yang benar-benar bernilai diperiksa ialah domain fungsi di bawah tanda log. Mungkin terdapat struktur yang agak kompleks, dan anda pasti perlu memerhatikannya semasa proses penyelesaian. Jom tengok.
Tugas pertama:
Langkah pertama: tukarkan pecahan di sebelah kanan. Kita mendapatkan:
Kami menyingkirkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan tidak rasional biasa:
Daripada akar yang diperolehi, hanya yang pertama sesuai dengan kita, kerana punca kedua adalah kurang daripada sifar. Satu-satunya jawapan ialah nombor 9. Itu sahaja, masalah selesai. Tiada semakan tambahan diperlukan untuk memastikan bahawa ungkapan di bawah tanda logaritma adalah lebih besar daripada 0, kerana ia bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi mengikut keadaan persamaan ia adalah sama dengan 2. Oleh itu, keperluan "lebih besar daripada sifar ” berpuas hati secara automatik.
Mari kita beralih kepada tugas kedua:
Semuanya sama di sini. Kami menulis semula pembinaan, menggantikan triple:
Kami menyingkirkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan tidak rasional:
Kami menyebelahi kedua-dua belah pihak dengan mengambil kira sekatan dan mendapatkan:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil melalui diskriminasi:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Tetapi x = −6 tidak sesuai dengan kita, kerana jika kita menggantikan nombor ini ke dalam ketidaksamaan kita, kita mendapat:
−6 + 4 = −2 < 0
Dalam kes kami, ia dikehendaki lebih besar daripada 0 atau, dalam kes yang melampau, sama. Tetapi x = −1 sesuai dengan kita:
−1 + 4 = 3 > 0
Satu-satunya jawapan dalam kes kami ialah x = -1. Itulah penyelesaiannya. Mari kita kembali ke permulaan pengiraan kita.
Pengambilan utama daripada pelajaran ini ialah anda tidak perlu menyemak kekangan pada fungsi dalam persamaan logaritma mudah. Kerana semasa proses penyelesaian semua kekangan dipenuhi secara automatik.
Walau bagaimanapun, ini sama sekali tidak bermakna anda boleh melupakan tentang menyemak sama sekali. Dalam proses mengusahakan persamaan logaritma, ia mungkin bertukar menjadi tidak rasional, yang akan mempunyai sekatan dan keperluannya sendiri untuk bahagian kanan, yang telah kita lihat hari ini dalam dua contoh berbeza.
Jangan ragu untuk menyelesaikan masalah sedemikian dan berhati-hati terutamanya jika terdapat akar dalam hujah.
Persamaan logaritma dengan asas yang berbeza
Kami terus mengkaji persamaan logaritma dan melihat dua lagi teknik yang agak menarik yang sesuai untuk menyelesaikan lebih banyak reka bentuk yang kompleks. Tetapi pertama-tama, mari kita ingat bagaimana masalah paling mudah diselesaikan:
log a f (x) = b
Dalam entri ini, a dan b ialah nombor, dan dalam fungsi f (x) pembolehubah x mesti ada, dan hanya di sana, iaitu, x mesti hanya dalam hujah. Kami akan mengubah persamaan logaritma tersebut menggunakan bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, ambil perhatian bahawa
b = log a a b
Lebih-lebih lagi, a b adalah tepat hujah. Mari kita tulis semula ungkapan ini seperti berikut:
log a f (x) = log a a b
Inilah yang kita cuba capai, supaya terdapat logaritma untuk mendasarkan a pada kedua-dua kiri dan kanan. Dalam kes ini, kita boleh, secara kiasan, memotong tanda log, dan dari sudut pandangan matematik kita boleh mengatakan bahawa kita hanya menyamakan hujah:
f (x) = a b
Hasilnya, kami akan mendapat ungkapan baharu yang lebih mudah untuk diselesaikan. Mari kita gunakan peraturan ini untuk masalah kita hari ini.
Jadi, reka bentuk pertama:
Pertama sekali, saya perhatikan bahawa di sebelah kanan adalah pecahan yang penyebutnya ialah log. Apabila anda melihat ungkapan seperti ini, adalah idea yang baik untuk mengingati sifat logaritma yang indah:
Diterjemah ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna sebarang logaritma boleh diwakili sebagai hasil bagi dua logaritma dengan sebarang asas c. Sudah tentu 0< с ≠ 1.
Jadi: formula ini mempunyai satu yang indah kes istimewa, apabila pembolehubah c sama dengan pembolehubah b. Dalam kes ini kita mendapat pembinaan seperti:
Ini betul-betul pembinaan yang kita lihat dari tanda di sebelah kanan dalam persamaan kita. Mari gantikan pembinaan ini dengan log a b , kita dapat:
Dalam erti kata lain, berbanding dengan tugas asal, kami menukar hujah dan asas logaritma. Sebaliknya, kami terpaksa membalikkan pecahan.
Kami ingat bahawa mana-mana ijazah boleh diperolehi daripada asas mengikut peraturan berikut:
Dalam erti kata lain, pekali k, iaitu kuasa asas, dinyatakan sebagai pecahan terbalik. Mari kita jadikannya sebagai pecahan terbalik:
Faktor pecahan tidak boleh dibiarkan di hadapan, kerana dalam kes ini kita tidak akan dapat mewakili entri ini sebagai bentuk kanonik (selepas semua, dalam bentuk kanonik tidak ada faktor tambahan sebelum logaritma kedua). Oleh itu, mari kita tambahkan pecahan 1/4 kepada hujah sebagai kuasa:
Sekarang kita menyamakan hujah yang asasnya sama (dan asas kita benar-benar sama), dan tulis:
x + 5 = 1
x = −4
Itu sahaja. Kami mendapat jawapan kepada persamaan logaritma pertama. Sila ambil perhatian: dalam masalah asal, pembolehubah x muncul dalam satu log sahaja, dan ia muncul dalam hujahnya. Oleh itu, tidak perlu menyemak domain, dan nombor x = −4 kami sememangnya jawapannya.
Sekarang mari kita beralih kepada ungkapan kedua:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Di sini, sebagai tambahan kepada logaritma biasa, kita perlu bekerja dengan log f (x). Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sedemikian? Bagi pelajar yang tidak bersedia, ia mungkin kelihatan seperti ini adalah satu jenis tugas yang sukar, tetapi sebenarnya semuanya boleh diselesaikan dengan cara asas.
Lihat dengan teliti istilah lg 2 log 2 7. Apa yang boleh kita katakan mengenainya? Asas dan hujah log dan lg adalah sama, dan ini sepatutnya memberikan beberapa idea. Mari kita ingat sekali lagi bagaimana kuasa dikeluarkan dari bawah tanda logaritma:
log a b n = nlog a b
Dalam erti kata lain, apakah kuasa b dalam hujah menjadi faktor di hadapan log itu sendiri. Mari gunakan formula ini pada ungkapan lg 2 log 2 7. Jangan takut dengan lg 2 - ini adalah ungkapan yang paling biasa. Anda boleh menulis semula seperti berikut:
Semua peraturan yang digunakan untuk mana-mana logaritma lain adalah sah untuknya. Khususnya, faktor di hadapan boleh ditambah kepada tahap hujah. Mari kita tuliskannya:
Selalunya, pelajar tidak melihat tindakan ini secara langsung, kerana tidak baik untuk memasukkan satu log di bawah tanda yang lain. Sebenarnya, tiada apa-apa jenayah tentang ini. Selain itu, kami mendapat formula yang mudah dikira jika anda mengingati peraturan penting:
Formula ini boleh dianggap sebagai definisi dan sebagai salah satu sifatnya. Walau apa pun, jika anda menukar persamaan logaritma, anda harus mengetahui formula ini sama seperti anda mengetahui perwakilan log sebarang nombor.
Mari kita kembali kepada tugas kita. Kami menulis semula dengan mengambil kira hakikat bahawa sebutan pertama di sebelah kanan tanda sama rata akan sama dengan lg 7. Kami mempunyai:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Mari kita gerakkan lg 7 ke kiri, kita dapat:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Kami menolak ungkapan di sebelah kiri kerana ia mempunyai asas yang sama:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sekarang mari kita lihat lebih dekat pada persamaan yang kita dapat. Ia boleh dikatakan bentuk kanonik, tetapi terdapat faktor −3 di sebelah kanan. Mari tambahkannya pada hujah lg yang betul:
log 8 = log (x + 4) −3
Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita memotong tanda lg dan menyamakan hujah:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Itu sahaja! Kami menyelesaikan persamaan logaritma kedua. Dalam kes ini, tiada semakan tambahan diperlukan, kerana dalam masalah asal x hadir hanya dalam satu hujah.
Saya akan senaraikan lagi perkara utama pelajaran ini.
Formula utama yang diajar dalam semua pelajaran di halaman ini khusus untuk menyelesaikan persamaan logaritma ialah bentuk kanonik. Dan jangan takut dengan fakta bahawa dalam kebanyakan buku teks sekolah anda diajar untuk menyelesaikannya tugasan yang serupa berbeza. Alat ini berfungsi dengan sangat berkesan dan membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang lebih luas daripada yang paling mudah yang kami pelajari pada awal pelajaran kami.
Di samping itu, untuk menyelesaikan persamaan logaritma adalah berguna untuk mengetahui sifat asas. Iaitu:
- Formula untuk berpindah ke satu pangkalan dan kes khas apabila kami membalikkan log (ini sangat berguna kepada kami dalam masalah pertama);
- Formula untuk menambah dan menolak kuasa daripada tanda logaritma. Di sini, ramai pelajar yang terperangkap dan tidak nampak bahawa ijazah yang dikeluarkan dan diperkenalkan itu sendiri boleh mengandungi log f (x). Tidak ada yang salah dengan itu. Kita boleh memperkenalkan satu log mengikut tanda yang lain dan pada masa yang sama memudahkan penyelesaian masalah dengan ketara, yang merupakan apa yang kita perhatikan dalam kes kedua.
Sebagai kesimpulan, saya ingin menambah bahawa tidak perlu menyemak domain definisi dalam setiap kes ini, kerana di mana-mana pembolehubah x hadir hanya dalam satu tanda log, dan pada masa yang sama berada dalam hujahnya. Akibatnya, semua keperluan skop dipenuhi secara automatik.
Masalah dengan asas berubah-ubah
Hari ini kita akan melihat persamaan logaritma, yang bagi kebanyakan pelajar kelihatan tidak standard, jika tidak sepenuhnya tidak dapat diselesaikan. Ia mengenai tentang ungkapan berdasarkan bukan pada nombor, tetapi pada pembolehubah dan juga fungsi. Kami akan menyelesaikan pembinaan tersebut menggunakan teknik standard kami, iaitu melalui bentuk kanonik.
Sebagai permulaan, mari kita ingat bagaimana masalah paling mudah diselesaikan, berdasarkan nombor biasa. Jadi, pembinaan paling mudah dipanggil
log a f (x) = b
Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita boleh menggunakan formula berikut:
b = log a a b
Kami menulis semula ungkapan asal kami dan mendapat:
log a f (x) = log a a b
Kemudian kita menyamakan hujah, iaitu kita menulis:
f (x) = a b
Oleh itu, kami menyingkirkan tanda log dan menyelesaikan masalah biasa. Dalam kes ini, punca-punca yang diperoleh daripada penyelesaian akan menjadi punca-punca persamaan logaritma asal. Di samping itu, rekod apabila kedua-dua kiri dan kanan berada dalam logaritma yang sama dengan tapak yang sama tepat dipanggil bentuk kanonik. Untuk rekod sedemikian, kami akan cuba mengurangkan reka bentuk hari ini. Jadi, mari pergi.
Tugas pertama:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Gantikan 1 dengan log x − 2 (x − 2) 1 . Darjah yang kita perhatikan dalam hujah sebenarnya adalah nombor b yang berdiri di sebelah kanan tanda sama. Oleh itu, mari kita tulis semula ungkapan kita. Kita mendapatkan:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Apa yang kita nampak? Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita boleh menyamakan hujah dengan selamat. Kita mendapatkan:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Tetapi penyelesaiannya tidak berakhir di sana, kerana persamaan ini tidak bersamaan dengan yang asal. Lagipun, pembinaan yang terhasil terdiri daripada fungsi yang ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor, dan logaritma asal kami tidak ditakrifkan di mana-mana dan tidak selalu.
Oleh itu, kita mesti menulis domain definisi secara berasingan. Mari kita tidak membelah rambut dan mula-mula tulis semua keperluan:
Pertama, hujah bagi setiap logaritma mestilah lebih besar daripada 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Kedua, asas bukan sahaja mestilah lebih besar daripada 0, tetapi juga berbeza daripada 1:
x − 2 ≠ 1
Akibatnya, kami mendapat sistem:
Tetapi jangan risau: apabila memproses persamaan logaritma, sistem sedemikian boleh dipermudahkan dengan ketara.
Nilailah sendiri: di satu pihak, kita dikehendaki bahawa fungsi kuadratik lebih besar daripada sifar, dan sebaliknya, fungsi kuadratik ini disamakan dengan yang tertentu. ungkapan linear, yang juga dikehendaki lebih besar daripada sifar.
Dalam kes ini, jika kita memerlukan bahawa x − 2 > 0, maka keperluan 2x 2 − 13x + 18 > 0 akan dipenuhi secara automatik. Oleh itu, kita boleh memotong ketaksamaan yang mengandungi dengan selamat. fungsi kuadratik. Oleh itu, bilangan ungkapan yang terkandung dalam sistem kami akan dikurangkan kepada tiga.
Sudah tentu, kita juga boleh memotong ketaksamaan linear, iaitu, potong x − 2 > 0 dan minta 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tetapi anda mesti bersetuju bahawa menyelesaikan ketaksamaan linear termudah adalah lebih cepat dan lebih mudah daripada kuadratik, walaupun hasil daripada menyelesaikan keseluruhan sistem ini kita akan mendapat akar yang sama.
Secara umum, cuba untuk mengoptimumkan pengiraan apabila boleh. Dan dalam kes persamaan logaritma, potong ketaksamaan yang paling sukar.
Mari kita tulis semula sistem kami:
Berikut ialah sistem tiga ungkapan, dua daripadanya, sebenarnya, telah kita uruskan. Mari kita tulis persamaan kuadratik secara berasingan dan selesaikannya:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Diberikan sebelum kita trinomial kuadratik dan, oleh itu, kita boleh menggunakan formula Vieta. Kita mendapatkan:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sekarang kita kembali ke sistem kita dan mendapati bahawa x = 2 tidak sesuai dengan kita, kerana kita dikehendaki bahawa x lebih besar daripada 2.
Tetapi x = 5 sesuai dengan kita: nombor 5 lebih besar daripada 2, dan pada masa yang sama 5 tidak sama dengan 3. Oleh itu, satu-satunya penyelesaian daripada sistem ini ialah x = 5.
Itu sahaja, masalah selesai, termasuk mengambil kira ODZ. Mari kita beralih kepada persamaan kedua. Pengiraan yang lebih menarik dan bermaklumat menanti kami di sini:
Langkah pertama: seperti dalam kali terakhir, kami membawa keseluruhan perkara ini kepada bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kita boleh menulis nombor 9 seperti berikut:
Anda tidak perlu menyentuh pangkal dengan akar, tetapi lebih baik untuk mengubah hujah. Mari kita pergi dari akar kepada kuasa c penunjuk rasional. Mari kita tulis:
Biarkan saya tidak menulis semula keseluruhan persamaan logaritma besar kami, tetapi hanya segera menyamakan hujah:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Sebelum kita ialah trinomial kuadratik yang baru dikurangkan, mari kita gunakan formula Vieta dan tulis:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Jadi, kami mendapat punca, tetapi tiada siapa yang menjamin kami bahawa ia akan sesuai dengan persamaan logaritma asal. Lagipun, tanda log dikenakan sekatan tambahan(di sini kita sepatutnya menulis sistem, tetapi disebabkan sifat rumit keseluruhan struktur, saya memutuskan untuk mengira domain definisi secara berasingan).
Pertama sekali, ingat bahawa hujah mestilah lebih besar daripada 0, iaitu:
Ini adalah keperluan yang dikenakan oleh skop definisi.
Marilah kita segera ambil perhatian bahawa kerana kita menyamakan dua ungkapan pertama sistem antara satu sama lain, kita boleh memotong mana-mana daripadanya. Mari kita potong yang pertama kerana ia kelihatan lebih mengancam daripada yang kedua.
Di samping itu, ambil perhatian bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan kedua dan ketiga akan menjadi set yang sama (kubus beberapa nombor lebih besar daripada sifar, jika nombor ini sendiri lebih besar daripada sifar; begitu juga, dengan punca darjah ketiga - ketaksamaan ini adalah sama sepenuhnya, jadi kita boleh memotongnya).
Tetapi dengan ketidaksamaan ketiga ini tidak akan berfungsi. Mari kita singkirkan tanda radikal di sebelah kiri dengan menaikkan kedua-dua bahagian menjadi kiub. Kita mendapatkan:
Jadi kami mendapat keperluan berikut:
− 2 ≠ x > −3
Manakah antara punca kita: x 1 = −3 atau x 2 = −1 memenuhi keperluan ini? Jelas sekali, hanya x = −1, kerana x = −3 tidak memenuhi ketaksamaan pertama (kerana ketaksamaan kita adalah ketat). Jadi, kembali kepada masalah kita, kita mendapat satu punca: x = -1. Itu sahaja, masalah selesai.
Sekali lagi, perkara utama tugas ini:
- Jangan ragu untuk menggunakan dan menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan bentuk kanonik. Pelajar yang menulis dengan cara ini, dan bukannya pergi terus dari masalah asal kepada pembinaan seperti log a f (x) = b, benarkan banyak kurang kesilapan daripada mereka yang tergesa-gesa di suatu tempat, melangkau langkah pengiraan pertengahan;
- Sebaik sahaja logaritma muncul asas berubah-ubah, tugas itu tidak lagi menjadi yang paling mudah. Oleh itu, apabila menyelesaikannya, adalah perlu untuk mengambil kira domain definisi: hujah mestilah lebih besar daripada sifar, dan asas bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi ia juga tidak boleh sama dengan 1.
Keperluan akhir boleh digunakan untuk jawapan akhir dengan cara yang berbeza. Sebagai contoh, anda boleh menyelesaikan keseluruhan sistem yang mengandungi semua keperluan untuk domain definisi. Sebaliknya, anda boleh terlebih dahulu menyelesaikan masalah itu sendiri, dan kemudian ingat domain definisi, secara berasingan menyelesaikannya dalam bentuk sistem dan menerapkannya pada akar yang diperolehi.
Kaedah yang manakah untuk dipilih semasa menyelesaikan persamaan logaritma tertentu terpulang kepada anda. Walau apa pun, jawapannya tetap sama.
Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b *a c = a b+c). ini undang-undang matematik telah diperolehi oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual eksponen integer. Merekalah yang berkhidmat untuk pembukaan selanjutnya logaritma. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana anda perlu memudahkan pendaraban yang rumit dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Dalam bahasa yang mudah dan mudah diakses.
Definisi dalam matematik
Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu logaritma sebarang nombor bukan negatif(iaitu, mana-mana positif) "b" dengan asasnya "a" dianggap sebagai kuasa "c" yang mana asas "a" mesti dinaikkan untuk akhirnya memperoleh nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari kuasa supaya dari 2 kepada kuasa yang diperlukan anda mendapat 8. Selepas melakukan beberapa pengiraan dalam kepala anda, kami mendapat nombor 3! Dan itu benar, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan jawapan sebagai 8.
Jenis-jenis logaritma
Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Ada tiga spesies individu ungkapan logaritma:
- Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
- Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
- Logaritma sebarang nombor b hingga asas a>1.
Setiap daripada mereka diputuskan dengan cara yang standard, yang merangkumi pemudahan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.
Peraturan dan beberapa sekatan
Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-kekangan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan merupakan kebenaran. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca genap nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturan mereka sendiri, berikutan anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:
- Asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
- jika a > 0, kemudian a b >0, ternyata “c” juga mestilah lebih besar daripada sifar.
Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?
Sebagai contoh, tugasan diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Ini sangat mudah, anda perlu memilih kuasa dengan menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 = 100.
Sekarang mari kita bayangkan ungkapan ini dalam bentuk logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memasukkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberikan.
Untuk menentukan nilai dengan tepat ijazah yang tidak diketahui anda perlu belajar bagaimana untuk bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:
Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun untuk nilai yang besar anda memerlukan jadual darjah. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu sama sekali tentang kompleks topik matematik. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c yang nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mengandungi nilai nombor yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling benar akan faham!
Persamaan dan ketaksamaan
Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, mana-mana matematik ungkapan berangka boleh ditulis sebagai persamaan logaritma. Sebagai contoh, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai asas 3 logaritma 81 bersamaan dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan melihat contoh dan penyelesaian persamaan di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.
Diberi ungkapan bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki kepada asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.
Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih jawapan khusus. nilai berangka, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan ditakrifkan sebagai rantau nilai yang boleh diterima, dan titik putus fungsi ini. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi sebaliknya siri berterusan atau satu set nombor.
Teorem asas tentang logaritma
Apabila menyelesaikan tugas primitif mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan melihat contoh persamaan kemudian; mari kita lihat setiap sifat dengan lebih terperinci.
- Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia terpakai hanya apabila a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
- Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini prasyarat ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat bagi darjah ), dan kemudian mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorem dalam bentuk formula mengambil pandangan seterusnya: log a q b n = n/q log a b.
Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma." Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik adalah berdasarkan postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.
Biarkan log a b = t, ternyata a t =b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;
tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n, oleh itu log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem telah terbukti.
Contoh masalah dan ketidaksamaan
Jenis masalah yang paling biasa pada logaritma ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Mereka ditemui dalam hampir semua buku masalah, dan juga disertakan dalam bahagian wajib peperiksaan matematik. Untuk kemasukan ke universiti atau lulus peperiksaan kemasukan dalam matematik anda perlu tahu cara menyelesaikan masalah tersebut dengan betul.
Malangnya, tidak ada satu rancangan atau skim untuk menyelesaikan dan menentukan nilai yang tidak diketahui Tiada perkara seperti logaritma, tetapi anda boleh menggunakannya pada setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. peraturan tertentu. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau membawa kepada penampilan umum. Permudahkan yang panjang ungkapan logaritma mungkin jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Jom kenali mereka dengan cepat.
Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, kita mesti menentukan jenis logaritma yang kita ada: ungkapan contoh mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.
Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa mereka perlu menentukan kuasa yang mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi perlu memohon identiti logaritma atau harta mereka. Mari kita lihat penyelesaian dengan contoh masalah logaritma jenis yang berbeza.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem asas tentang logaritma.
- Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan yang perlu dikembangkan sangat penting nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, kami berjaya menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengambil nilai eksponen daripada tanda logaritma.
Tugasan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu
Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu ( peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling kompleks dan banyak). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".
Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil dari rasmi Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.
Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan itu, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrifan logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.
- Adalah lebih baik untuk mengurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
- Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya diambil sebagai pengganda, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.