1. Penentu bagi susunan kedua dan ketiga serta sifatnya 1.1. Konsep matriks dan penentu tertib kedua
Jadual nombor segi empat tepat yang mengandungi nombor arbitrari m
baris dan bilangan lajur yang sewenang-wenangnya dipanggil matriks. Untuk menunjukkan
matriks menggunakan sama ada bar menegak berganda atau yang bulat
kurungan. Sebagai contoh:
28 20 18 28 20 18
Jika bilangan baris sesuatu matriks bertepatan dengan bilangan lajurnya, maka matriks itu
dipanggil segi empat sama. Nombor yang membentuk matriks memanggilnya
elemen.
Pertimbangkan matriks segi empat sama yang terdiri daripada empat unsur:
Penentu tertib kedua sepadan dengan matriks (3.1),
ialah nombor yang sama dengan - dan dilambangkan dengan simbol
Jadi, mengikut definisi
Unsur-unsur yang membentuk matriks penentu yang diberikan biasanya
dipanggil unsur penentu ini.
Pernyataan berikut adalah benar: supaya penentu
adalah pesanan kedua sama dengan sifar, ia adalah perlu dan mencukupi untuk
unsur-unsur barisnya (atau, sepadan dengan lajurnya) ialah
berkadar.
Untuk membuktikan kenyataan ini, cukup untuk diperhatikan bahawa setiap
daripada perkadaran / = / dan / = / adalah bersamaan dengan kesamaan = , dan kesamaan terakhir dalam
daya (3.2) adalah bersamaan dengan lenyapnya penentu.
1.2. Sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui
Mari kita tunjukkan cara penentu tertib kedua digunakan
menyelidik dan mencari penyelesaian kepada sistem dua persamaan linear dengan
dua yang tidak diketahui
(pekali dan terma bebas dipertimbangkan dalam kes ini
diberikan). Ingat bahawa sepasang nombor dipanggil penyelesaian kepada sistem (3.3),
jika penggantian nombor ini di tempat dan di sistem ini menarik kedua-duanya
persamaan (3.3) kepada identiti.
Mendarabkan persamaan pertama sistem (3.3) dengan -, dan yang kedua dengan - dan kemudian
menjumlahkan persamaan yang terhasil, kita dapat
Begitu juga, dengan mendarab persamaan (3.3) dengan - dan sewajarnya
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
= , = , = . (3.6)
Menggunakan tatatanda ini dan ungkapan untuk penentu detik
susunan magnitud, persamaan (3.4) dan (3.5) boleh ditulis semula sebagai:
Penentu terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui
sistem (3.3) biasanya dipanggil penentu sistem ini. perasan, itu
penentu dan diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan
lajur pertama atau kedua, masing-masing, dengan syarat percuma.
Dua kes mungkin timbul: 1) penentu sistem adalah berbeza daripada
sifar; 2) penentu ini sama dengan sifar.
Mari kita pertimbangkan dahulu kes 0. Daripada persamaan (3.7) kita segera memperolehi
formula untuk yang tidak diketahui, dipanggil Formula Cramer:
Formula Cramer (3.8) yang terhasil memberikan penyelesaian kepada sistem (3.7) dan
oleh itu mereka membuktikan keunikan penyelesaian kepada sistem asal (3.3). Dalam sangat
sebenarnya, sistem (3.7) adalah akibat daripada sistem (3.3), oleh itu mana-mana
penyelesaian kepada sistem (3.3) (jika wujud!) mestilah
penyelesaian dan sistem (3.7). Jadi, setakat ini telah terbukti bahawa jika sistem asal
(3.3) terdapat penyelesaian pada 0, maka penyelesaian ini ditentukan secara unik
Formula Cramer (3.8).
Adalah mudah untuk mengesahkan kewujudan penyelesaian, i.e. bahawa pada 0 dua
nombor dan ditakrifkan oleh formula Cramer (3.8). sedang dipakai
letakkan yang tidak diketahui dalam persamaan (3.3), tukarkan persamaan ini menjadi identiti.
(Kami menyerahkan kepada pembaca untuk menulis ungkapan untuk penentu,
dan, dan sahkan kesahihan identiti ini.)
Kami datang ke kepada kesimpulan berikut: jika penentu sistem (3.3)
adalah berbeza daripada sifar, maka wujud, dan, lebih-lebih lagi, satu-satunya penyelesaian untuk ini
sistem yang ditakrifkan oleh formula Cramer (3.8).
Sekarang mari kita pertimbangkan kes apabila penentu sistem adalah sama dengan sifar.
Mereka boleh memperkenalkan diri dua subkes: a) sekurang-kurangnya satu daripada penentu atau,
berbeza daripada sifar; b) kedua-dua penentu dan sama dengan sifar. (jika penentu dan
satu daripada dua penentu adalah sama dengan sifar, kemudian yang lain daripada dua ini
penentu adalah sifar. Malah, biarkan, sebagai contoh, = 0 = 0, i.e. / = /
dan / = /. Kemudian daripada perkadaran ini kita memperoleh bahawa /= /, iaitu = 0).
Dalam huruf kecil a) sekurang-kurangnya satu daripada persamaan ternyata mustahil
(3.7), iaitu sistem (3.7) tidak mempunyai penyelesaian, dan oleh itu tidak mempunyai penyelesaian dan
sistem asal (3.3) (akibatnya ialah sistem (3.7)).
Dalam subhuruf b) sistem asal (3.3) mempunyai set tak terhingga
keputusan. Malah, daripada kesamaan === 0 dan daripada pernyataan di hujung bahagian. 1.1
kita membuat kesimpulan bahawa persamaan kedua sistem (3.3) adalah akibat daripada yang pertama
dan ia boleh dibuang. Tetapi satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui
mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga (sekurang-kurangnya satu daripada pekali, atau
adalah berbeza daripada sifar, dan yang tidak diketahui berkaitan dengannya boleh ditentukan daripada
persamaan (3.9) melalui sewenang-wenangnya tetapkan nilai satu lagi tidak diketahui).
Oleh itu, jika penentu sistem (3.3) adalah sama dengan sifar, maka
sistem (3.3) sama ada tidak mempunyai penyelesaian sama sekali (jika sekurang-kurangnya satu daripada
penentu atau berbeza daripada sifar), atau mempunyai set yang tidak boleh dikira
penyelesaian (dalam kes apabila == 0). DALAM kes yang terakhir dua persamaan (3.3)
boleh digantikan dengan satu dan apabila menyelesaikannya satu yang tidak diketahui boleh ditanya
sewenang-wenangnya.
Komen. Dalam kes di mana sebutan bebas dan sama dengan sifar, linear
sistem (3.3) dipanggil homogen. Perhatikan bahawa sistem homogen
sentiasa mempunyai penyelesaian yang dipanggil remeh: = 0, = 0 (dua nombor ini
kedua-duanya bayar persamaan homogen menjadi identiti).
Jika penentu sistem homogen berbeza daripada sifar, maka ini
sistem hanya mempunyai penyelesaian yang remeh. Jika = 0, maka homogen
sistem mempunyai banyak penyelesaian(memandangkan
sistem homogen, kemungkinan kekurangan penyelesaian dikecualikan). Jadi
cara, sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan sahaja
dalam kes apabila penentunya sama dengan sifar.
1.3. Penentu urutan ketiga
Pertimbangkan matriks segi empat sama yang terdiri daripada sembilan unsur
Penentu urutan ketiga, sepadan dengan matriks (3.10), ialah nombor yang sama dengan:
dan dilambangkan dengan simbol
Jadi, mengikut definisi
Seperti dalam kes penentu tertib kedua, unsur-unsur matriks (3.10) adalah
panggil unsur penentu itu sendiri. Selain itu, mari kita bersetuju
namakan pepenjuru yang dibentuk oleh unsur-unsur dan, utama, dan pepenjuru,
dibentuk oleh unsur-unsur, dan - sebelah.
Untuk mengingati pembinaan istilah yang disertakan dalam ungkapan untuk
penentu (3.11), kami nyatakan peraturan seterusnya, yang tidak memerlukan banyak
tekanan perhatian dan ingatan. Untuk melakukan ini, pergi ke matriks dari mana ia terdiri
penentu, tambahkan lajur pertama dan kemudian lajur kedua ke kanan sekali lagi. DALAM
matriks yang terhasil
garis pepejal menghubungkan tiga kembar tiga sebutan yang diperoleh secara selari
dengan menggerakkan pepenjuru utama dan sepadan dengan tiga istilah yang disertakan dalam
ungkapan (3.11) dengan tanda tambah; tiga disambungkan dengan garis putus-putus
triplet ahli yang lain diterima pemindahan selari sebelah
pepenjuru dan sepadan dengan tiga istilah yang disertakan dalam ungkapan (3.11) dengan
tanda tolak.
1.4. Sifat penentu
Harta 1. Nilai penentu tidak akan berubah jika garis dan
menukar peranan lajur penentu ini, i.e.
Untuk membuktikan sifat ini, cukup dengan menuliskan penentu,
berdiri di sebelah kiri dan kanan (3.13), seperti yang ditunjukkan dalam Bahagian. 1.3 peraturan dan
pastikan terma yang terhasil adalah sama.
Harta 1 set kesaksamaan penuh baris dan lajur. sebab tu
semua sifat lanjut penentu boleh dirumuskan untuk kedua-dua rentetan dan
untuk lajur, dan untuk membuktikan - sama ada hanya untuk baris, atau hanya untuk lajur.
Harta 2. Menyusun semula dua baris (atau dua lajur)
penentu adalah bersamaan dengan mendarabnya dengan nombor -1.
Buktinya juga datang dari peraturan yang dinyatakan sebelum ini
Sifat 3. Jika penentu mempunyai dua rentetan yang sama (atau dua
lajur yang sama), maka ia sama dengan sifar.
Sesungguhnya, apabila menyusun semula dua rentetan yang sama, daripada satu
di satu pihak, penentu tidak akan berubah, tetapi sebaliknya, disebabkan oleh harta 2
ia akan menukar tanda kepada sebaliknya. Oleh itu, = -, i.e. 2 = 0 atau = 0.
Sifat 4. Pendaraban semua unsur beberapa rentetan (atau
beberapa lajur) penentu dengan nombor adalah bersamaan dengan mendarab
penentu untuk nombor ini.
Dalam erti kata lain, faktor sepunya semua elemen rentetan tertentu
(atau beberapa lajur) penentu boleh diambil sebagai tanda ini
penentu.
Sebagai contoh,
Untuk membuktikan harta ini, sudah cukup untuk diperhatikan
penentu dinyatakan sebagai jumlah (3.12), yang mana setiap sebutan
mengandungi satu dan hanya satu elemen dari setiap baris dan satu dan sahaja
satu elemen daripada setiap lajur.
Harta 5. Jika semua elemen beberapa rentetan (atau beberapa
lajur) penentu adalah sama dengan sifar, maka penentu itu sendiri adalah sama dengan sifar.
Harta ini mengikuti daripada yang sebelumnya (dengan = 0).
Sifat 6. Jika elemen ialah dua baris (atau dua lajur)
penentu adalah berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.
Malah, disebabkan harta 4, faktor perkadaran boleh
dibawa keluar di luar tanda penentu, selepas itu penentu kekal dengan dua
garisan yang sama, sama dengan sifar mengikut sifat 3.
Harta 7. Jika semua orang unsur ke-n baris (atau lajur ke-n)
penentu ialah hasil tambah dua sebutan, kemudian penentu
boleh diwakili sebagai hasil tambah dua penentu, yang pertama daripada
yang dia ada dalam baris ke-n(atau dalam lajur ke-) yang pertama daripada yang disebut
istilah dan unsur yang sama seperti penentu asal, dalam selebihnya
baris (lajur), dan penentu kedua mempunyai baris ke-n (dalam baris ke-n
lajur) kedua istilah yang disebut dan unsur yang sama seperti
penentu asal, dalam baris yang tinggal (lajur).
Sebagai contoh,
Untuk membuktikan harta ini, sekali lagi memadai untuk mengambil perhatian bahawa
penentu dinyatakan sebagai jumlah sebutan, setiap satu
mengandungi satu dan hanya satu elemen dari setiap baris dan satu dan hanya satu
elemen daripada setiap lajur.
Harta 8. Jika unsur beberapa rentetan (atau beberapa
lajur) penentu menambah elemen sepadan yang lain
baris (lajur lain) didarab dengan faktor arbitrari, kemudian
nilai penentu tidak akan berubah.
Sesungguhnya, diperolehi hasil daripada penambahan yang ditunjukkan
penentu boleh (berdasarkan harta 7) dibahagikan kepada jumlah dua
penentu, yang pertama bertepatan dengan yang asal, dan yang kedua adalah sama dengan
sifar disebabkan oleh perkadaran unsur dua baris (atau lajur) dan
sifat 6.
1.5. Pelengkap algebra dan minor
Mari kita kumpulkan dalam ungkapan (3.12) untuk penentu istilah yang mengandungi
mana-mana satu elemen penentu ini, dan keluarkan elemen yang ditentukan
di luar kurungan; kuantiti yang tinggal dalam kurungan dipanggil
pelengkap algebra elemen yang ditentukan.
Kami akan menandakan pelengkap algebra bagi unsur tertentu
modal huruf latin nama yang sama dengan unsur, dan
berikan nombor yang sama dengan elemen yang diberikan. Sebagai contoh,
pelengkap algebra unsur akan dilambangkan dengan algebra
penambahan unsur - melalui, dsb.
Secara langsung daripada ungkapan untuk penentu (3.12) dan daripada fakta bahawa
setiap istilah di sebelah kanan (3.12) mengandungi satu dan hanya satu unsur
daripada setiap baris (dari setiap lajur), persamaan berikut berikut:
Kesamaan ini menyatakan sifat penentu berikut:
penentu sama dengan jumlah hasil daripada unsur sebarang rentetan
(mana-mana lajur) kepada penambahan algebra yang sepadan
elemen baris ini (lajur ini).
Persamaan (3.14) biasanya dipanggil pengembangan penentu Oleh
elemen baris pertama, kedua atau ketiga, masing-masing, dan kesamaan
(3.15) - pengembangan penentu mengikut unsur-unsur yang pertama, masing-masing,
lajur kedua atau ketiga.
Sekarang mari kita perkenalkan konsep penting bawah umur unsur penentu ini
kecil daripada unsur tertentu penentu susunan ke-n (dalam kes kami n = 3)
ialah penentu tertib (n-1) yang diperoleh daripada sesuatu yang diberi
penentu dengan memotong baris itu dan lajur itu di persimpangan
yang mana elemen ini berharga.
Pelengkap algebra bagi mana-mana unsur penentu adalah sama dengan
minor unsur ini, diambil dengan "tambah" sedemikian, jika jumlah nombor
baris dan lajur di persimpangan yang mana elemen ini berdiri ialah
nombornya adalah genap, dan dengan tanda tolak - masuk sebaliknya.
Oleh itu, pelengkap algebra yang sepadan dan minor
mungkin berbeza hanya dalam tanda.
Jadual berikut memberikan perwakilan visual tentang betapa akrabnya
pelengkap algebra dan minor yang sepadan adalah berkaitan:
Peraturan yang ditetapkan membenarkan dalam formula (3.14) dan (3.15) pengembangan
penentu ke atas elemen baris dan lajur di mana-mana dan bukannya algebra
tambahan tulis di bawah umur yang sepadan (dengan tanda yang diperlukan).
Jadi, sebagai contoh, formula pertama (3.14), memberikan pengembangan
penentu ke atas unsur-unsur baris pertama mengambil bentuk
Kesimpulannya, mari kita wujudkan sifat asas berikut
penentu.
Harta 9. Jumlah hasil darab unsur mana-mana lajur
penentu kepada pelengkap algebra yang sepadan bagi unsur-unsur
lajur (lain) ini adalah sama dengan nilai penentu ini (sama dengan sifar).
Sudah tentu, sifat yang serupa juga benar apabila digunakan pada rentetan
penentu. Kes apabila penambahan algebra dan unsur
sepadan dengan lajur yang sama, yang telah dibincangkan di atas. Ia kekal untuk membuktikan
bahawa jumlah hasil darab unsur mana-mana lajur dengan yang sepadan
pelengkap algebra bagi unsur-unsur lajur yang satu lagi ialah sifar.
Mari kita buktikan, sebagai contoh, bahawa jumlah hasil darab unsur-unsur pertama atau
lajur ketiga ialah sifar.
Kami akan bermula dari formula ketiga (3.15), yang memberikan pengembangan
penentu oleh unsur-unsur lajur ketiga:
Oleh kerana penambahan algebra dan unsur lajur ketiga tidak
bergantung pada unsur itu sendiri, dan lajur ini, kemudian dalam kesamaan (3.17) nombor, dan
boleh diganti nombor sewenang-wenangnya, dan sambil mengekalkan di sebelah kiri
bahagian (3.17) dua lajur pertama penentu, dan di sebelah kanan - kuantiti,
dan penambahan algebra.
Oleh itu, bagi apa apa, dan kesamaan adalah benar:
Mengambil sekarang dalam kesamaan (3.18) sebagai, dan pertama unsur, dan
lajur pertama, dan kemudian elemen, dan lajur kedua dan diberikan itu
penentu dengan dua lajur bertepatan disebabkan oleh sifat 3 adalah sama dengan
sifar, kita sampai pada persamaan berikut:
Ini membuktikan bahawa jumlah hasil darab unsur-unsur pertama atau
lajur kedua kepada pelengkap algebra yang sepadan bagi unsur-unsur
lajur ketiga adalah sama dengan sifar: Kesamaan dibuktikan dengan cara yang sama:
dan kesamaan sepadan yang berkaitan bukan dengan lajur, tetapi dengan baris:
2. Sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui 2.1. Sistem tiga persamaan linear dalam tiga tidak diketahui dengan
penentu selain sifar.
Sebagai aplikasi teori yang digariskan di atas, pertimbangkan sistem
tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:
(pekali, , dan terma percuma dianggap diberikan).
Rangkap tiga nombor dipanggil penyelesaian kepada sistem (3.19) jika penggantian ini
nombor di tempat, ke dalam sistem (3.19) menukar ketiga-tiga persamaan (3.19) menjadi
identiti.
Empat berikut akan memainkan peranan asas pada masa hadapan:
penentu:
Penentu biasanya dipanggil penentu sistem (3.19) (ia
terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui). Penentu, dan
diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikannya dengan yang bebas
ahli elemen lajur pertama, kedua dan ketiga, masing-masing.
Untuk mengecualikan yang tidak diketahui daripada sistem (3.19), kita darabkan persamaan
(3.19) sesuai dengan pelengkap algebra bagi unsur-unsur yang pertama
lajur penentu sistem, dan kemudian tambahkan hasilnya
persamaan Hasilnya kami mendapat:
Memandangkan jumlah hasil darab unsur-unsur lajur tertentu
penentu kepada pelengkap algebra yang sepadan bagi unsur-unsur
lajur (lain) ini adalah sama dengan penentu (sifar) (lihat sifat 9),
0, ++= 0.
Di samping itu, dengan menguraikan penentu ke dalam unsur-unsur lajur pertama, formula diperoleh:
Menggunakan formula (3.21) dan (3.22), kesamaan (3.20) akan ditulis semula sebagai
dalam bentuk berikut (tidak mengandungi yang tidak diketahui):
Persamaan = dan
Oleh itu, kami telah menetapkan bahawa sistem persamaan = , = , =
adalah akibat daripada sistem asal (3.19).
Pada masa hadapan kita akan mempertimbangkan secara berasingan dua kes:
1) apabila penentu sistem bukan sifar,
2) apabila penentu ini sama dengan sifar.
Jadi, biarkan 0. Kemudian daripada sistem (3.23) kita segera mendapatkan formula untuk yang tidak diketahui, dipanggil Formula Cramer:
Formula Cramer yang kami perolehi memberikan penyelesaian kepada sistem (3.23) dan
oleh itu mereka membuktikan keunikan penyelesaian kepada sistem asal (3.19), kerana
sistem (3.23) adalah akibat daripada sistem (3.19), dan sebarang penyelesaian sistem
(3.19) mestilah penyelesaian kepada sistem (3.23).
Jadi, kami telah membuktikan bahawa jika sistem asal (3.19) wujud untuk
0 penyelesaian, maka penyelesaian ini ditentukan secara unik oleh formula Cramer
Untuk membuktikan bahawa penyelesaian itu benar-benar wujud, kita mesti
gantikan nilainya ke dalam sistem asal (3.19) untuk x, y dan z,
ditakrifkan oleh formula Cramer (3.24), dan pastikan bahawa ketiga-tiga
persamaan (3.19) bertukar menjadi identiti. Mari kita pastikan, sebagai contoh, itu
persamaan pertama (3.19) bertukar menjadi identiti apabila menggantikan nilai x,
y dan z, ditentukan oleh formula Cramer (3.24). Mempertimbangkan itu
kita dapat dengan menggantikan dalam sebelah kiri nilai pertama persamaan (2.19), dan,
ditentukan oleh formula Cramer:
Mengelompokkan istilah relatif kepada A, A2 dan A3 di dalam pendakap kerinting,
kita dapat itu:
Berdasarkan harta 9, dalam persamaan terakhir kedua-duanya dalam kurungan sama rata
sifar, dan kurungan adalah sama dengan penentu. Jadi kita dapat ++
Dan penukaran kepada identiti persamaan pertama sistem (3.19) ditubuhkan.
Begitu juga, penukaran kepada identiti kedua dan ketiga ditubuhkan
persamaan (3.19).
Kami sampai pada kesimpulan berikut: jika penentu sistem (3.19)
adalah berbeza daripada sifar, maka wujud, dan, lebih-lebih lagi, penyelesaian yang unik untuk ini
sistem, ditentukan oleh formula Cramer (3.24).
2.2. Sistem homogen dua persamaan linear dalam tiga tidak diketahui
Dalam bahagian ini dan dalam bahagian ini kita akan membangunkan radas yang diperlukan untuk mempertimbangkan sistem tidak homogen (3.19) dengan penentu sama dengan sifar. Pertama, pertimbangkan sistem homogen dua persamaan linear dengan tiga yang tidak diketahui:
Saya jatuh tiga penentu tertib kedua yang boleh
mengarang daripada matriks
adalah sama dengan sifar, maka berdasarkan kenyataan daripada Bahagian. 1.1 pekali yang pertama daripada
persamaan (3.25) adalah berkadar dengan pekali yang sepadan
kedua daripada persamaan ini. Oleh itu, dalam kes ini persamaan kedua (3.25)
adalah akibat daripada yang pertama, dan boleh dibuang. Tetapi satu persamaan dengan
tiga tidak diketahui ++= 0 secara semula jadi mempunyai nombor tak terhingga
penyelesaian (dua yang tidak diketahui boleh ditetapkan nilai sewenang-wenangnya, A
tentukan ketiga yang tidak diketahui daripada persamaan).
Sekarang mari kita pertimbangkan sistem (3.25) untuk kes apabila sekurang-kurangnya satu daripada
penentu tertib kedua yang terdiri daripada matriks(3.26), cemerlang
daripada sifar. Tanpa kehilangan keluasan, kita akan menganggap bahawa ia berbeza daripada sifar
penentu
0 Kemudian kita boleh menulis semula sistem (3.25) dalam bentuk
dan menegaskan bahawa bagi setiap z terdapat penyelesaian yang unik untuk ini
sistem, ditakrifkan oleh formula Cramer (lihat Bahagian 1.2, formula (3.8)):
baris ketiga penentu:
Oleh kerana keputusan Mazhab. 1.5 tentang perkaitan antara penambahan algebra dan
kanak-kanak bawah umur boleh ditulis
Berdasarkan (3.29), kita boleh menulis semula formula (3.28) dalam bentuk
Untuk mendapatkan penyelesaian dalam bentuk, simetri
relatif kepada semua yang tidak diketahui x, y dan z, kami tetapkan (perhatikan bahawa disebabkan oleh (3.27)
penentu berbeza daripada sifar). Memandangkan z boleh mengambil apa-apa
nilai, maka pembolehubah baru t boleh mengambil sebarang nilai.
Kami sampai pada kesimpulan bahawa dalam kes apabila penentu (3.27) berbeza daripada sifar, sistem homogen (3.25) mempunyai bilangan penyelesaian tak terhingga yang ditakrifkan oleh formula
di mana t mengambil sebarang nilai, dan algebra
tambahan, danditentukan oleh formula (3.29).
2.3. Sistem homogen bagi tiga persamaan linear dalam tiga tidak diketahui
Sekarang mari kita pertimbangkan sistem homogen tiga persamaan dengan tiga
tidak diketahui:
Jelas sekali, sistem ini sentiasa mempunyai apa yang dipanggil remeh
penyelesaian: x = 0, y = 0, z = 0.
Dalam kes di mana penentu sistem, ini adalah penyelesaian yang remeh
adalah unik (disebabkan oleh Bahagian 2.1).
Mari kita buktikan bahawa dalam kes apabila penentu adalah sama dengan sifar, homogen
sistem (3.32) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Jika semua penentu tertib kedua yang boleh terdiri daripada
adalah sama dengan sifar, maka berdasarkan pernyataan daripada Bahagian. 1.1 berkaitan
pekali bagi ketiga-tiga persamaan (3.32) adalah berkadar. Tetapi kemudian yang kedua
dan persamaan ketiga (3.32) adalah akibat daripada yang pertama dan boleh
dibuang, dan satu persamaan ++= 0, seperti yang telah dinyatakan dalam Bahagian. 2.2, mempunyai
penyelesaian yang tidak terkira banyaknya.
Ia kekal untuk mempertimbangkan kes apabila sekurang-kurangnya seorang bawah umur matriks (3.33)
berbeza daripada sifar. Sejak susunan persamaan dan tidak diketahui
berada di tangan kita, maka, tanpa kehilangan sifat umum, kita boleh
bahagian 2.2, sistem dua persamaan pertama (3.32) mempunyai tidak terkira banyaknya
set penyelesaian yang ditakrifkan oleh formula (3.31) (untuk sebarang t).
Ia kekal untuk membuktikan bahawa x, y, z, ditakrifkan oleh formula (3.31) (dengan
sebarang t, persamaan ketiga (3.32) juga diubah menjadi identiti. Menggantikan dalam
sebelah kiri persamaan ketiga (3.32) x, y dan z, ditakrifkan oleh formula
(3.31), kita dapat
Kami mengambil kesempatan daripada fakta bahawa, disebabkan oleh harta 9, ungkapan dalam bulat
dalam kurungan adalah sama dengan penentu sistem (3.32). Tetapi penentu oleh keadaan
adalah sama dengan sifar, dan oleh itu untuk sebarang t kita dapat ++= 0.
Jadi, ia telah terbukti sistem homogen (3.32) dengan penentu A.
sama dengan sifar, mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Jika berbeza dengan sifar
kecil (3.27), maka penyelesaian ini ditentukan oleh formula (3.31) untuk
sewenang-wenangnya diambil t.
Hasil yang diperoleh juga boleh dirumuskan seperti berikut: homogen
sistem (3.32) mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika
apabila penentunya adalah sifar.
2.4. Sistem tak homogen bagi tiga persamaan linear dengan tiga
tidak diketahui dengan penentu sama dengan sifar.
Sekarang kita mempunyai alat untuk mempertimbangkan yang tidak homogen
sistem (3.19) dengan penentu sama dengan sifar. Dua orang boleh memperkenalkan diri mereka
kes: a) sekurang-kurangnya satu daripada penentu, atau - berbeza daripada sifar; b) ketiga-tiganya
penentu dan sama dengan sifar.
Dalam kes a) sekurang-kurangnya satu daripada kesamaan (3.23) ternyata mustahil,
iaitu sistem (3.23) tidak mempunyai penyelesaian, dan oleh itu yang asal
sistem (3.19) (akibatnya ialah sistem (3.23)).
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan kes b), apabila keempat-empat penentu , ,
dan sama dengan sifar. Mari kita mulakan dengan contoh yang menunjukkan bahawa dalam kes ini juga
sistem mungkin tidak mempunyai satu penyelesaian. Pertimbangkan sistem:
Jelas bahawa sistem ini tidak mempunyai penyelesaian. Malah, jika
penyelesaian wujud, maka daripada dua persamaan pertama kita akan dapat, dan
dari sini, mendarabkan kesamaan pertama dengan 2, kita akan mendapat bahawa 2 = 3. Selanjutnya,
adalah jelas bahawa keempat-empat penentu , , dan sama dengan sifar. sungguh,
penentu sistem
mempunyai tiga lajur yang sama, penentu, dan diperoleh dengan menggantikan
satu daripada lajur ini sebagai istilah percuma dan, oleh itu, mempunyai dua
lajur yang sama. Berdasarkan sifat 3, semua penentu ini adalah sama dengan sifar.
Mari kita buktikan sekarang jika sistem (3.19) dengan penentu sama dengan
sifar mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia mempunyai nombor tak terhingga
pelbagai penyelesaian.
Mari kita berpura-pura itu sistem yang ditentukan ada penyelesaiannya, . Kemudian
identiti adalah sah
Menolak identiti (3.34) sebutan dengan sebutan daripada persamaan (3.19), kita perolehi
sistem persamaan
bersamaan sistem (3.19). Tetapi sistem (3.35) adalah homogen
sistem tiga persamaan linear untuk tiga yang tidak diketahui, dan dengan
penentu sama dengan sifar. Mengikut seksyen 2.3 sistem terkini (dan ia menjadi
be, dan sistem (3.19)) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Contohnya, dalam
kes apabila minor (3.27) adalah bukan sifar, kami menggunakan formula (3.31)
kami mendapat perkara berikut set tak terhingga penyelesaian sistem (3.19):
(t boleh mengambil sebarang nilai).
Kenyataan yang dinyatakan telah terbukti dan kita boleh lakukan
kesimpulan berikut: Jika= = = = 0, maka sistem persamaan tak homogen
(3.19) sama ada tidak mempunyai penyelesaian sama sekali atau mempunyai bilangan yang tidak terhingga.
3. Konsep penentu sebarang susunan dan linear
sistem dengan sebarang bilangan yang tidak diketahui Harta yang telah kami tetapkan daripada pengembangan penentu ketiga
susunan sehingga unsur-unsur mana-mana (contohnya, baris pertama) boleh
membentuk asas bagi pengenalan berurutan dengan aruhan penentu
keempat, kelima dan semua pesanan seterusnya.
Mari kita anggap bahawa kita telah pun memperkenalkan konsep penentu pesanan
(n-1), dan pertimbangkan matriks segi empat sama arbitrari yang terdiri daripada
elemen
Mari kita panggil minor mana-mana unsur matriks (3.36) yang telah kita perkenalkan
penentu susunan (n-1), sepadan dengan matriks (3.36), dari mana i-
baris i dan lajur ke-j. Mari kita bersetuju untuk menandakan unsur kecil dengan simbol.
Sebagai contoh, minor mana-mana elemen baris pertama matriks (3.36)
ialah penentu susunan berikut (n-1):
Mari kita panggil penentu susunan n sepadan dengan matriks (3.36) nombor
sama dengan jumlah
dan dilambangkan dengan simbol
= Ambil perhatian bahawa untuk n = 3, pengembangan (3.37) bertepatan dengan pengembangan
(3.16) daripada penentu tertib ketiga dalam baris pertama.
Sekarang mari kita pertimbangkan sistem heterogen n persamaan dengan n yang tidak diketahui:
Penentu susunan n, terdiri daripada pekali pada
sistem yang tidak diketahui (3.39) dan bertepatan dengan penentu daripada kesamaan
(3.38), dipanggil penentu sistem ini Untuk sebarang j bersamaan dengan 1, 2, ...,
n, kita menandakan dengan simbol penentu susunan n yang diperoleh daripada penentu
sistem dengan menggantikan lajur ke-jnya dengan lajur sebutan bebas, ..., .
Dalam analogi lengkap dengan kes n = 3, ternyata begitu
keputusan berikut: jika penentu sistem tidak homogen (3.39)
berbeza daripada sifar, maka sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik,
ditentukan oleh formula Cramer:
sekurang-kurangnya satu daripada penentu, ..., berbeza daripada sifar, maka sistem (3.39) tidak
mempunyai penyelesaian.
Dalam kes jika n > 2 dan semua penentu, ..., adalah sama dengan sifar, sistem itu
(3.39) juga mungkin tidak mempunyai penyelesaian, tetapi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu
penyelesaian, maka dia mempunyai banyak daripada mereka.
4. Mencari penyelesaian sistem linear Kaedah Gaussian Mari kita pertimbangkan sistem tidak homogen (3.39), di mana kita sekarang untuk
Kami akan menyingkatkan notasi dengan menamakan semula istilah percuma, ..., menggunakan untuknya
tatatanda untuk i = 1, 2 ..., n. Mari kita gariskan salah satu kaedah paling mudah
penyelesaian kepada sistem ini, yang terdiri daripada pengecualian yang konsisten
tidak diketahui dan dipanggil Kaedah Gaussian.
Marilah kita memilih daripada pekali untuk yang tidak diketahui pekali yang berbeza
daripada sifar, dan katakan ia terkemuka. Tanpa kehilangan sifat umum, kita akan menganggapnya
apakah pekali sedemikian (jika tidak, kita boleh mengubah susunannya
mengikuti yang tidak diketahui dan persamaan).
Membahagikan semua sebutan bagi persamaan pertama (3.39) dengan, kita memperoleh persamaan pertama yang diberikan
di mana untuk j = 1, 2, ..., (n+1).
Mari kita ingat bahawa, dan, khususnya,.
Untuk menghapuskan yang tidak diketahui, kita tolak daripada persamaan ke-i sistem (3.39)
(i = 2, 3..., n)
didarab dengan persamaan yang diberi (3.40).
Akibatnya, untuk sebarang i = 2, 3, ..., n kita memperoleh persamaan
di mana
untuk j = 2, 3, ..., (n+1).
Oleh itu, kami mendapat sistem yang dipendekkan pertama:
yang pekalinya ditentukan oleh formula (3.41).
Dalam sistem (3.42) kita dapati pekali pendahulu bukan sifar.
Biarkanlah. Kemudian, bahagikan persamaan pertama (3.42) dengan ini
pekali, kita mendapat persamaan kedua yang diberikan dan, menghapuskan c
menggunakan persamaan ini mengikut skema yang diterangkan di atas, yang tidak diketahui, kita sampai di
sistem dipendekkan kedua yang tidak mengandungi i.
Meneruskan penaakulan mengikut skema ini, dipanggil terus kedepan
Kaedah Gauss, kita sama ada akan melengkapkan pelaksanaannya dengan mencapai linear
persamaan yang mengandungi hanya satu yang tidak diketahui, atau kami tidak akan dapat menyelesaikannya
pelaksanaannya (disebabkan oleh fakta bahawa sistem asal (3.39) tidak mempunyai
keputusan). Jika sistem asal (3.39) mempunyai penyelesaian, kita dapat
rantaian persamaan yang diberikan
daripadanya, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, kita dapati secara berturut-turut
tidak diketahui
Kami menekankan bahawa semua operasi dengan lejang terbalik Kaedah Gauss (1.43)
dilaksanakan tanpa pembahagian,
Sebagai contoh, pertimbangkan sistem tidak homogen bagi tiga persamaan
dengan tiga yang tidak diketahui
Sudah tentu, seseorang boleh mengesahkan bahawa penentu sistem (3.44)
adalah berbeza daripada sifar, dan cari menggunakan formula Cramer, tetapi kami akan menggunakan kaedah tersebut
Membahagikan persamaan pertama sistem (3.44) dengan 2, kita memperoleh yang pertama
persamaan yang diberikan:
Menolak daripada persamaan kedua sistem (3.44) persamaan yang diberikan
(3.45), didarab dengan 3, dan ditolak daripada persamaan ketiga sistem (3.44)
diberikan persamaan (3.45), didarab dengan 4, kita mendapat dipendekkan
sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui:
Membahagikan persamaan pertama (3.46) dengan, kita memperoleh kedua diberikan
persamaan:
Menolak persamaan terkurang (3.47) daripada persamaan kedua (3.46),
didarab dengan 8, kita mendapat persamaan:
yang selepas dikurangkan dengan memberi = 3.
Menggantikan nilai ini ke dalam persamaan kedua (3.47), kita perolehi
yang = -2. Akhir sekali, menggantikan nilai yang ditemui = -2 dan = 3 kepada yang pertama
diberikan persamaan (3.45), kita perolehi bahawa = 1.
KESUSASTERAAN 1. Ilyin V.A., Kurkina A.V. – “ Matematik yang lebih tinggi", M.: TK Welby, rumah penerbitan Prospekt,
CAWANGAN KOSTROMA UNIVERSITI TENTERA PERLINDUNGAN RCB
Jabatan Automasi Kawalan Pasukan
Untuk guru sahaja
"Saya meluluskan"
Ketua Jabatan No. 9
Kolonel YAKOVLEV A.B.
"____"________________ 2004
Profesor Madya A.I.SmirNOVA
"KELAYAKAN.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR"
KULIAH Bil 2/1
Dibincangkan dalam mesyuarat jabatan Bil
"____"___________ 2004
No. Protokol___________
Kostroma, 2004.
pengenalan
1. Penentu tertib kedua dan ketiga.
2. Sifat-sifat penentu. Teorem penguraian.
3. Teorem Cramer.
Kesimpulan
kesusasteraan
1. V.E. Schneider et al. Kursus pendek Matematik Tinggi, Jilid I, Bab. 2, perenggan 1.
2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, bab 10, perenggan 2.
PENGENALAN
Kuliah membincangkan penentu bagi susunan kedua dan ketiga serta sifat-sifatnya. Dan juga teorem Cramer, yang membolehkan anda menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan penentu. Penentu juga digunakan kemudian dalam topik "Algebra Vektor" semasa mengira produk vektor vektor.
soalan kajian pertama PENENTU KEDUA DAN KETIGA
PESANAN
Pertimbangkan jadual empat nombor borang
Nombor dalam jadual ditunjukkan dengan huruf dengan dua indeks. Indeks pertama menunjukkan nombor baris, kedua nombor lajur.
DEFINISI 1. Penentu urutan kedua dipanggil ungkapan baik hati :
(1)
Nombor A 11, …, A 22 dipanggil unsur penentu.
pepenjuru, dibentuk oleh unsur A 11 ; A 22 dipanggil yang utama, dan pepenjuru dibentuk oleh unsur-unsur A 12 ; A 21 - sebelah menyebelah.
Oleh itu, penentu tertib kedua adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab unsur pepenjuru utama dan sekunder.
Perhatikan bahawa jawapannya ialah nombor.
CONTOH. Kira:
Sekarang pertimbangkan jadual sembilan nombor, ditulis dalam tiga baris dan tiga lajur:
DEFINISI 2. Penentu urutan ketiga dipanggil ungkapan bentuk :
elemen A 11; A 22 ; A 33 – membentuk pepenjuru utama.
Nombor A 13; A 22 ; A 31 – membentuk pepenjuru sisi.
Mari kita gambarkan secara skematik bagaimana istilah tambah dan tolak dibentuk:
" + " " – "
Tambahnya termasuk: hasil darab unsur pada pepenjuru utama, baki dua sebutan ialah hasil darab unsur yang terletak di bucu segi tiga dengan tapak selari dengan pepenjuru utama.
Sebutan tolak dibentuk mengikut skema yang sama berkenaan dengan pepenjuru sekunder.
Peraturan ini untuk mengira penentu tertib ketiga dipanggil
Peraturan T reugolnikov.
CONTOH. Kira menggunakan peraturan segitiga:
KOMEN. Penentu juga dipanggil penentu.
soalan kajian ke-2 SIFAT-SIFAT PENENTU.
TEOREM PENGEMBANGAN
Harta 1. Nilai penentu tidak akan berubah jika barisnya ditukar dengan lajur yang sepadan.
.
Dengan mendedahkan kedua-dua penentu, kami yakin dengan kesahihan kesaksamaan.
Sifat 1 menetapkan kesamaan baris dan lajur penentu. Oleh itu, kami akan merumuskan semua sifat penentu selanjutnya untuk kedua-dua baris dan lajur.
Harta 2. Apabila dua baris (atau lajur) disusun semula, penentu menukar tanda kepada yang bertentangan, mengekalkan nilai mutlak .
.
Harta 3. Jumlah pengganda elemen garisan (atau lajur)boleh diambil sebagai tanda penentu.
.
Harta benda 4. Jika penentu mempunyai dua baris (atau lajur) yang sama, maka ia sama dengan sifar.
Harta ini boleh dibuktikan melalui pengesahan terus, atau anda boleh menggunakan harta 2.
Mari kita nyatakan penentu oleh D. Apabila dua baris pertama dan kedua yang serupa disusun semula, ia tidak akan berubah, tetapi mengikut sifat kedua ia mesti menukar tanda, i.e.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Harta 5. Jika semua elemen rentetan (atau lajur)adalah sama dengan sifar, maka penentunya adalah sama dengan sifar.
Harta ini boleh dianggap sebagai kes istimewa hartanah 3 di
Harta 6. Jika unsur dua baris (atau lajur)penentu adalah berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.
.
Boleh dibuktikan dengan pengesahan terus atau menggunakan sifat 3 dan 4.
Harta 7. Nilai penentu tidak akan berubah jika elemen yang sepadan bagi baris (atau lajur) lain ditambahkan pada elemen baris (atau lajur), didarab dengan nombor yang sama.
.
Dibuktikan dengan pengesahan langsung.
Permohonan sifat yang ditentukan boleh dalam beberapa kes memudahkan proses pengiraan penentu, terutamanya urutan ketiga.
Untuk yang berikut kita memerlukan konsep pelengkap minor dan algebra. Mari kita pertimbangkan konsep ini untuk menentukan urutan ketiga.
DEFINISI 3. kecil bagi elemen tertentu penentu tertib ketiga dipanggil penentu tertib kedua yang diperoleh daripada elemen tertentu dengan memotong baris dan lajur di persimpangan di mana elemen yang diberi berdiri.
Elemen kecil A i j dilambangkan dengan M i j. Jadi untuk elemen A 11 bawah umur
Ia diperoleh dengan memotong baris pertama dan lajur pertama dalam penentu tertib ketiga.
DEFINISI 4. Pelengkap algebra bagi unsur penentu mereka menyebutnya kecil didarab dengan (-1)k , Di mana k - jumlah nombor baris dan lajur di persimpangan yang elemen ini berdiri.
Pelengkap algebra bagi sesuatu unsur A i j dilambangkan dengan A i j .
Oleh itu, A i j =
.Mari kita tuliskan penambahan algebra bagi unsur-unsur A 11 dan A 12.
.
.
Adalah berguna untuk mengingati peraturan: pelengkap algebra bagi unsur penentu adalah sama dengan minornya yang ditandatangani tambah lagi, jika jumlah nombor baris dan lajur di mana elemen muncul ialah walaupun, dan dengan tanda tolak, jika jumlah ini ganjil .
Matriks ialah jadual segi empat tepat yang terdiri daripada nombor.
Biarkan matriks segi empat sama tertib 2 diberikan:
Penentu (atau penentu) susunan 2 yang sepadan dengan matriks yang diberikan ialah nombor
Penentu tertib ketiga (atau penentu) yang sepadan dengan matriks ialah nombor
Contoh 1: Cari penentu bagi matriks dan
Sistem linear persamaan algebra
Biarkan sistem 3 persamaan linear dengan 3 tidak diketahui diberikan
Sistem (1) boleh ditulis dalam bentuk matriks-vektor
di mana A ialah matriks pekali
B - matriks lanjutan
X ialah vektor komponen yang diperlukan;
Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer
Biarkan sistem persamaan linear dengan dua tidak diketahui diberikan:
Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua dan tiga yang tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Teorem 1. Jika penentu utama sistem adalah berbeza daripada sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian, dan yang unik. Penyelesaian sistem ditentukan oleh formula:
di mana x1, x2 ialah punca-punca sistem persamaan,
Penentu utama sistem, x1, x2 ialah penentu tambahan.
Kelayakan tambahan:
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer.
Biarkan sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan:
Teorem 2. Jika penentu utama sistem adalah berbeza daripada sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian, dan yang unik. Penyelesaian sistem ditentukan oleh formula:
di mana x1, x2, x3 ialah punca-punca sistem persamaan,
Penentu utama sistem,
x1, x2, x3 ialah penentu tambahan.
Penentu utama sistem ditentukan oleh:
Kelayakan tambahan:
- 1. Buat jadual (matriks) pekali untuk yang tidak diketahui dan hitung penentu utama.
- 2. Cari - penentu tambahan bagi x yang diperoleh dengan menggantikan lajur pertama dengan lajur sebutan bebas.
- 3. Cari - penentu tambahan y, diperoleh dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas.
- 4. Cari - penentu tambahan z, diperoleh dengan menggantikan lajur ketiga dengan lajur sebutan bebas. Jika penentu utama sistem tidak sama dengan sifar, maka langkah 5 dilakukan.
- 5. Cari nilai pembolehubah x menggunakan formula x / .
- 6. Cari nilai pembolehubah y menggunakan formula y /.
- 7. Cari nilai pembolehubah z menggunakan formula z / .
- 8. Tuliskan jawapan: x=...; y=…, z=… .
MATRIKS, PENENTU, SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DEFINISI MATRIKS. JENIS-JENIS MATRIKSMatriks bersaiz m× n dipanggil set m·n nombor yang disusun dalam bentuk meja segi empat tepat daripada m garisan dan n lajur. Jadual ini biasanya disertakan dalam kurungan. Sebagai contoh, matriks mungkin kelihatan seperti:Untuk ringkasnya, matriks boleh dilambangkan dengan satu huruf besar, Sebagai contoh, A atau DALAM.DALAM Pandangan umum saiz matriks m× n tulis macam ni
.
Nombor yang membentuk matriks dipanggil unsur matriks. Adalah mudah untuk menyediakan elemen matriks dengan dua indeks a ij: Yang pertama menunjukkan nombor baris dan yang kedua menunjukkan nombor lajur. Sebagai contoh, a 23 – elemen berada di baris ke-2, lajur ke-3 Jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan lajur, maka matriks itu dipanggil. segi empat sama, dan bilangan baris atau lajurnya dipanggil mengikut tertib matriks. Dalam contoh di atas, matriks kedua ialah segi empat sama - susunannya ialah 3, dan matriks keempat ialah susunannya 1. Matriks di mana bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur dipanggil segi empat tepat. Dalam contoh, ini adalah matriks pertama dan yang ketiga Terdapat juga matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu lajur Matriks dengan hanya satu baris dipanggil matriks - baris(atau rentetan), dan matriks dengan hanya satu lajur matriks - lajur.Matriks yang semua unsurnya sama dengan sifar dipanggil null dan dilambangkan dengan (0), atau hanya 0. Contohnya,
.
Matriks segi empat sama di mana semua unsur di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil segi tiga matriks.
.
Matriks segi empat sama di mana semua elemen, kecuali mungkin pada pepenjuru utama, adalah sama dengan sifar, dipanggil pepenjuru matriks. Sebagai contoh, atau Matriks pepenjuru di mana semua unsur pepenjuru adalah sama dengan satu dipanggil bujang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Contohnya, matriks identiti tertib ke-3 mempunyai bentuk 
.TINDAKAN KE ATAS MATRIKSKesamaan matriks. Dua matriks A Dan B dikatakan sama jika mereka mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dan elemen yang sepadan adalah sama a ij = b ij. Jadi kalau 
Dan 
, Itu A=B, Jika a 11
= b 11
, a 12
= b 12
, a 21
= b 21
Dan a 22
= b 22
.Transpose. Pertimbangkan matriks sewenang-wenangnya A daripada m garisan dan n lajur. Ia boleh dikaitkan dengan matriks berikut B daripada n garisan dan m lajur, di mana setiap baris adalah lajur matriks A dengan nombor yang sama (oleh itu setiap lajur ialah baris matriks A dengan nombor yang sama). Jadi kalau 
, Itu 
.Matriks ini B dipanggil dialihkan matriks A, dan peralihan daripada A Kepada B transposisi Oleh itu, transposisi ialah perubahan dalam peranan baris dan lajur matriks. Matriks ditukar kepada matriks A, biasanya dilambangkan A T.Hubungan antara matriks A dan transposenya boleh ditulis dalam bentuk . Sebagai contoh. Cari matriks yang diubah suai bagi yang diberi. 
Penambahan matriks. Biarkan matriks A Dan B mengandungi nombor yang sama baris dan bilangan lajur yang sama, i.e. mempunyai saiz yang sama. Kemudian untuk menambah matriks A Dan B diperlukan untuk elemen matriks A tambah elemen matriks B berdiri di tempat yang sama. Oleh itu, hasil tambah dua matriks A Dan B dipanggil matriks C, yang ditentukan oleh peraturan, contohnya,
Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa penambahan matriks mematuhi undang-undang berikut: komutatif A+B=B+A dan bersekutu ( A+B)+C=A+(B+C).Mendarab matriks dengan nombor. Untuk mendarab matriks A setiap nombor k setiap elemen matriks diperlukan A darab dengan nombor ini. Oleh itu, produk matriks A setiap nombor k Terdapat matriks baru, yang ditentukan oleh peraturan 
atau .Untuk sebarang nombor a Dan b dan matriks A Dan B persamaan berikut dipegang: 
Contoh. 
. 
Matriks C tidak dapat ditemui, kerana matriks A Dan B mempunyai saiz yang berbeza. Pendaraban matriks. Operasi ini dijalankan mengikut undang-undang yang tersendiri. Pertama sekali, kita perhatikan bahawa saiz matriks faktor mestilah konsisten. Anda boleh mendarabkan hanya matriks di mana bilangan lajur matriks pertama bertepatan dengan bilangan baris matriks kedua (iaitu, panjang baris pertama adalah sama dengan ketinggian lajur kedua). Kerja matriks A bukan matriks B dipanggil matriks baharu C=AB, unsur-unsur yang terdiri dengan cara berikut: Oleh itu, sebagai contoh, untuk mendapatkan produk (iaitu dalam matriks C) elemen yang terletak di baris pertama dan lajur ke-3 c 13 , anda perlu mengambil baris pertama dalam matriks pertama, lajur ke-3 dalam matriks ke-2, dan kemudian darabkan elemen baris dengan elemen lajur yang sepadan dan tambahkan produk yang terhasil. Dan unsur-unsur lain dari matriks produk diperoleh menggunakan hasil darab yang sama bagi baris matriks pertama dan lajur matriks kedua. kes am, jika kita darabkan matriks A = (a ij ) saiz m× n kepada matriks B = (b ij ) saiz n× hlm, maka kita mendapat matriks C saiz m× hlm, yang unsur-unsurnya dikira seperti berikut: elemen c ij diperoleh hasil daripada hasil darab unsur i baris ke matriks A kepada elemen yang sepadan j lajur matriks ke- B dan penambahannya. Daripada peraturan ini, anda sentiasa boleh mendarab dua matriks segi empat sama susunan yang sama, hasilnya kita memperoleh matriks segi empat sama susunan yang sama. Khususnya, matriks segi empat sama sentiasa boleh didarab dengan sendirinya, i.e. persegi. Satu lagi kes penting ialah pendaraban matriks baris dengan matriks lajur, dan lebar yang pertama mestilah sama dengan ketinggian kedua, menghasilkan matriks tertib pertama (iaitu, satu elemen). sungguh,
.
Cari elemen c 12
, c 23
Dan c 21
matriks C. - Cari hasil darab matriks.
. 
Cari AB Dan VA. 
Cari AB Dan VA. , B·A- tidak masuk akal. Oleh itu, ini contoh mudah menunjukkan bahawa matriks, secara amnya, tidak berulang-alik antara satu sama lain, i.e. A∙B
≠
B∙A
. Oleh itu, apabila mendarab matriks, anda perlu memantau dengan teliti susunan faktor Anda boleh menyemak bahawa matriks pendaraban mematuhi undang-undang bersekutu dan pengagihan, i.e. (AB)C=A(BC) Dan (A+B)C=AC+BC.Ia juga mudah untuk menyemaknya apabila mendarab matriks segi empat sama A kepada matriks identiti E daripada susunan yang sama kita sekali lagi memperoleh matriks A, dan AE=EA=A Fakta menarik berikut boleh diperhatikan. Seperti yang anda ketahui, hasil darab 2 nombor bukan sifar tidak sama dengan 0. Untuk matriks ini mungkin tidak berlaku, i.e. hasil darab 2 matriks bukan sifar mungkin bertukar menjadi sama dengan matriks sifar. Sebagai contoh, Jika 
, Itu 
.
Jadi, untuk mencari penentu tertib kedua, anda perlu menolak hasil darab unsur sepanjang pepenjuru kedua daripada hasil darab unsur pepenjuru utama. Contoh. Kira penentu tertib kedua. 
Begitu juga, kita boleh mempertimbangkan matriks tertib ketiga dan penentunya yang sepadan. Penentu urutan ketiga, sepadan dengan matriks segi empat sama tertib ketiga, ialah nombor yang dilambangkan dan diperoleh seperti berikut:
.
Oleh itu, formula ini memberikan pengembangan penentu tertib ketiga dari segi unsur-unsur baris pertama a 11
, a 12
, a 13
dan mengurangkan pengiraan penentu tertib ketiga kepada pengiraan penentu tertib kedua. Contoh. Kira penentu susunan ketiga. 
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1
= 4, x 2
= 1. Begitu juga, anda boleh memperkenalkan konsep penentu keempat, kelima, dsb. perintah, menurunkan susunannya dengan berkembang ke dalam elemen baris pertama, manakala tanda “+” dan “–” bagi istilah itu silih berganti Jadi, tidak seperti matriks, iaitu jadual nombor, penentu ialah nombor iaitu dimasukkan ke dalam surat-menyurat dalam matriks cara tertentu.
SIFAT-SIFAT PENENTU
Bukti dijalankan melalui pengesahan, i.e. dengan membandingkan kedua-dua belah kesamaan bertulis. Mari kita hitung penentu di kiri dan kanan: 
- Apabila menyusun semula 2 baris atau lajur, penentu akan menukar tandanya kepada yang bertentangan, mengekalkan nilai mutlak, iaitu, sebagai contoh,
Untuk penentu urutan ketiga, semak sendiri. 
Sesungguhnya, jika kita menyusun semula baris ke-2 dan ke-3 di sini, maka dengan sifat 2 penentu ini harus menukar tanda, tetapi penentu itu sendiri berada dalam dalam kes ini tidak berubah, i.e. kami mendapat | A| = –|A| atau | A| = 0. 
Bukti dijalankan melalui pengesahan, seperti harta 1. (Secara bebas)
- Jika semua elemen mana-mana baris atau lajur penentu adalah sama dengan sifar, maka penentu itu sendiri adalah sama dengan sifar. (Bukti - melalui pengesahan). Jika semua elemen mana-mana baris atau lajur penentu dibentangkan sebagai jumlah 2 sebutan, maka penentu boleh diwakili sebagai jumlah 2 penentu menggunakan formula, contohnya,
.
- Jika pada mana-mana baris (atau lajur) penentu kami menambah elemen sepadan baris (atau lajur) lain, didarab dengan nombor yang sama, maka penentu tidak akan mengubah nilainya. Sebagai contoh,
. Mari kita buktikan kesamaan ini menggunakan sifat penentu sebelumnya. 
Sifat-sifat penentu ini agak kerap digunakan semasa mengira penentu dan dalam pelbagai masalah. KOMPLEMEN ALGEBRA DAN MINOR Marilah kita mempunyai penentu urutan ketiga: 
.kecil, sepadan unsur ini a ij penentu tertib ketiga dipanggil penentu tertib kedua yang diperoleh daripada yang diberikan dengan memadamkan baris dan lajur di persimpangan yang mana elemen yang diberikan berdiri, i.e. i-baris ke- dan j lajur ke. Bawah umur sepadan dengan elemen tertentu a ij kami akan menandakan M ij .Sebagai contoh, kecil M 12
, sepadan dengan elemen a 12
, akan ada penentu 
, yang diperoleh dengan memadamkan baris pertama dan lajur ke-2 daripada penentu yang diberikan Oleh itu, formula yang mentakrifkan penentu tertib ketiga menunjukkan bahawa penentu ini adalah sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur baris pertama dan minor yang sepadan. ; dalam kes ini minor sepadan dengan elemen a 12
, diambil dengan tanda “–”, i.e. kita boleh menulis itu Ia adalah mudah untuk melihat bahawa menggunakan penambahan algebra unsur, formula (1) boleh ditulis dalam bentuk: Begitu juga dengan formula ini, anda boleh mendapatkan pengembangan penentu ke dalam elemen mana-mana baris atau lajur pengembangan penentu ke dalam elemen baris ke-2 boleh diperolehi seperti berikut. Menurut sifat 2 penentu, kita mempunyai: 
Mari kita kembangkan penentu yang terhasil ke dalam elemen baris pertama.
|
|
.
kerana penentu tertib kedua dalam formula (2) adalah minor unsur a 21
, a 22
, a 23
. Oleh itu, i.e. kita telah memperoleh pengembangan penentu ke dalam elemen baris ke-2. Begitu juga, kita boleh mendapatkan pengembangan penentu ke dalam elemen baris ketiga. Dengan menggunakan Sifat 1 penentu (tentang transposisi), kita boleh menunjukkan bahawa pengembangan yang serupa juga sah apabila berkembang dengan unsur lajur Oleh itu, teorem berikut adalah sah. Teorem (tentang pengembangan penentu ke atas baris atau lajur tertentu). Penentu adalah sama dengan hasil tambah unsur bagi mana-mana baris (atau lajur) dan pelengkap algebranya Semua di atas juga benar untuk penentu mana-mana susunan yang lebih tinggi. Contoh. 
- Kirakan penentu menggunakan sifatnya. Sebelum mengembangkan penentu ke dalam elemen mana-mana baris, mengurangkannya kepada penentu tertib ketiga, kami mengubahnya menggunakan sifat 7, menjadikan semua elemen dalam mana-mana baris atau lajur kecuali satu, sama dengan sifar. Dalam kes ini, adalah mudah untuk mempertimbangkan lajur ke-4 atau baris ke-4:
MATRIKS SULANGAN
Konsep matriks songsang diperkenalkan hanya untuk matriks segi empat sama.Jika A ialah matriks segi empat sama, maka terbalik untuk itu matriks ialah matriks, dilambangkan A -1 dan memenuhi syarat. (Takrifan ini diperkenalkan dengan analogi dengan pendaraban nombor) Teorem berikut adalah sah: Teorem. Untuk matriks segi empat sama A mempunyai songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya berbeza daripada sifar. Bukti:- Keperluan. Biarkan untuk matriks A terdapat matriks songsang A -1
. Mari kita tunjukkan bahawa | A| ≠ 0.
. Tetapi dengan cara lain 
. Percanggahan yang terhasil membuktikan bahawa | A| ≠ 0. 
Mari kita tunjukkan bahawa dalam kes ini matriks songsang akan menjadi matriks 
, Di mana A ij pelengkap algebra bagi sesuatu unsur a ij. Jom cari AB=C. Ambil perhatian bahawa semua unsur pepenjuru matriks C akan sama dengan 1. Sesungguhnya, sebagai contoh, Begitu juga, dengan menggunakan teorem mengenai pengembangan penentu ke dalam unsur-unsur rentetan, seseorang boleh membuktikan bahawa c 22
= c 33
= 1. Di samping itu, semua unsur bukan pepenjuru matriks C adalah sama dengan sifar. Sebagai contoh, 
Oleh itu, AB=E. Begitu juga, ia boleh ditunjukkan bahawa BA=E. sebab tu B=A -1
Oleh itu, teorem mengandungi kaedah untuk mencari matriks songsang Jika syarat teorem dipenuhi, maka matriks songsang kepada matriks didapati seperti berikut
,
di mana A ij- penambahan algebra unsur a ij matriks yang diberikan A.Jadi, untuk mencari matriks songsang yang anda perlukan: Begitu juga untuk matriks tertib kedua, songsangan akan menjadi matriks berikut 
.Contoh. |A| = 2. Cari pelengkap algebra bagi unsur matriks A. 
Peperiksaan: 
. Begitu juga A∙A -1
=E. 
. Jom kira | A| = 4. Kemudian 
. 
. 
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui dipanggil sistem bentuk
di mana a ij Dan b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - beberapa nombor yang diketahui, A x 1 ,…,x n– tidak diketahui. Dalam penetapan pekali a ij indeks pertama i menunjukkan nombor persamaan, dan yang kedua j– bilangan yang tidak diketahui di mana pekali ini berdiri Kami akan menulis pekali untuk yang tidak diketahui dalam bentuk matriks, yang akan kami panggil matriks sistem.Nombor di sebelah kanan persamaan ialah b 1 ,…,b m dipanggil ahli percuma. Keseluruhan n nombor c 1 ,…,c n dipanggil keputusan sistem tertentu, jika setiap persamaan sistem menjadi kesamaan selepas menggantikan nombor ke dalamnya c 1 ,…,c n bukannya yang tidak diketahui yang sepadan x 1 ,…,x n.Tugas kami adalah untuk mencari penyelesaian kepada sistem. Dalam kes ini, tiga situasi mungkin timbul: Sistem persamaan linear yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dipanggil sendi. Jika tidak, i.e. jika sistem tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil bukan sendi Mari kita pertimbangkan cara untuk mencari penyelesaian kepada sistem. KAEDAH MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Matriks membolehkan untuk menulis secara ringkas sistem persamaan linear. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:
Pertimbangkan matriks sistem 
dan lajur matriks sebutan yang tidak diketahui dan bebas 
Jom cari kerja
mereka. sebagai hasil daripada hasil darab, kita memperoleh bahagian kiri persamaan sistem ini. Kemudian, menggunakan definisi kesamaan matriks, sistem ini boleh ditulis dalam bentuk 
atau lebih pendek A∙X=B.Berikut ialah matriks A Dan B diketahui, dan matriks X tidak diketahui. Ia perlu mencarinya, kerana... unsur-unsurnya adalah penyelesaian kepada sistem ini. Persamaan ini dipanggil persamaan matriks.Biar penentu matriks berbeza daripada sifar | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan seperti berikut. Darab kedua-dua belah persamaan di sebelah kiri dengan matriks A -1
, songsangan matriks A: . Kerana ia A -1
A=E Dan E∙X = X, barulah kita dapat penyelesaiannya persamaan matriks sebagai X = A
-1
B
Perhatikan bahawa kerana matriks songsang hanya boleh didapati untuk matriks segi empat sama, maka kaedah matriks hanya sistem tersebut boleh diselesaikan di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui. Walau bagaimanapun, rakaman matriks sistem juga mungkin dalam kes apabila bilangan persamaan tidak sama dengan bilangan yang tidak diketahui, maka matriks A tidak akan menjadi segi empat sama dan oleh itu adalah mustahil untuk mencari penyelesaian kepada sistem dalam bentuk X = A -1
B.Contoh. Menyelesaikan sistem persamaan. 
Mari kita cari songsang matriks bagi matriks itu A. , 
Oleh itu, x = 3, y = – 1. 
Jadi, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. 
Mari kita nyatakan matriks yang diperlukan X daripada persamaan yang diberikan. 
Mari cari matriks A -1 . 
Peperiksaan: 
Daripada persamaan yang kita dapat 
. 
Oleh itu, 
PERATURAN CRAMER Pertimbangkan sistem 3 persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:
Penentu tertib ketiga yang sepadan dengan matriks sistem, i.e. terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui,
dipanggil penentu sistem Mari kita susun tiga lagi penentu seperti berikut: gantikan secara berurutan 1, 2 dan 3 lajur dalam penentu D dengan lajur sebutan bebas.
Kemudian kita boleh membuktikan keputusan berikut. Teorem (Peraturan Cramer). Jika penentu sistem Δ ≠ 0, maka sistem yang sedang dipertimbangkan mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian, dan
Mari tambahkan persamaan ini:
Mari kita lihat setiap kurungan dan bahagian kanan persamaan ini. Dengan teorem tentang pengembangan penentu dalam unsur-unsur lajur pertama
Begitu juga, ia boleh ditunjukkan bahawa dan Akhirnya, adalah mudah untuk menyedarinya 
Oleh itu, kita memperoleh kesamaan: .Oleh itu, .Kesamaan dan diperolehi sama, daripada mana pernyataan teorem berikutan Oleh itu, kita perhatikan bahawa jika penentu sistem Δ ≠ 0, maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik dan. sebaliknya. Jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, maka sistem sama ada mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak mempunyai penyelesaian, i.e. tidak serasi. Contoh. Menyelesaikan sistem persamaan 
Jadi, X=1, di=2, z=3. 
Sistem ini mempunyai penyelesaian unik jika Δ ≠ 0. 
. sebab tu . KAEDAH GAUSS Kaedah yang dibincangkan sebelum ini boleh digunakan untuk menyelesaikan hanya sistem di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, dan penentu sistem mestilah berbeza daripada sifar. Kaedah Gauss adalah lebih universal dan sesuai untuk sistem dengan sebarang bilangan persamaan. Ia terdiri daripada menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan daripada persamaan sistem Mari kita pertimbangkan semula sistem dari tiga persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui:
.
Sistem persamaan algebra linear N (SLAE) dengan tidak diketahui diberikan, pekalinya ialah unsur-unsur matriks, dan sebutan bebas ialah nombor.
Indeks pertama di sebelah pekali menunjukkan di mana persamaan pekali terletak, dan yang kedua - di mana yang tidak diketahui ia ditemui.
Jika penentu sesuatu matriks bukan sifar
maka sistem persamaan algebra linear mempunyai penyelesaian yang unik.
Penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ialah satu set nombor tersusun yang mengubah setiap persamaan sistem kepada kesamaan yang betul.
Jika sisi kanan semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar, maka sistem persamaan dipanggil homogen. Dalam kes apabila sesetengah daripada mereka berbeza daripada sifar - heterogen
Jika sistem persamaan algebra linear mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil serasi, jika tidak ia dipanggil tidak serasi.
Jika penyelesaian kepada sistem itu unik, maka sistem persamaan linear dipanggil pasti. Dalam kes di mana penyelesaian kepada sistem gabungan tidak unik, sistem persamaan dipanggil tak tentu.
Dua sistem persamaan linear dipanggil setara (atau setara) jika semua penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian kedua, dan sebaliknya. Kami memperoleh sistem yang setara (atau setara) menggunakan transformasi yang setara.
Transformasi setara SLAE
1) penyusunan semula persamaan;
2) pendaraban (atau pembahagian) persamaan dengan nombor bukan sifar;
3) menambah persamaan lain pada beberapa persamaan, didarab dengan nombor bukan sifar arbitrari.
Penyelesaian kepada SLAE boleh didapati dengan cara yang berbeza.
KAEDAH CRAMER
TEOREM CRAMER. Jika penentu sistem persamaan algebra linear dengan tidak diketahui adalah bukan sifar, maka sistem ini mempunyai penyelesaian unik, yang didapati menggunakan formula Cramer:
— penentu dibentuk dengan menggantikan lajur ke dengan lajur sebutan bebas.
Jika , dan sekurang-kurangnya satu daripadanya berbeza daripada sifar, maka SLAE tidak mempunyai penyelesaian. Jika 
, maka SLAE mempunyai banyak penyelesaian. Mari lihat contoh menggunakan kaedah Cramer.
—————————————————————
Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer
Mari kita cari penentu bagi matriks pekali bagi yang tidak diketahui
Sejak itu sistem yang diberikan persamaan adalah serasi dan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari kita hitung penentu:
Menggunakan formula Cramer kami mencari yang tidak diketahui
Jadi 
satu-satunya penyelesaian kepada sistem.
Satu sistem empat persamaan algebra linear diberikan. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer.
Mari kita cari penentu bagi matriks pekali bagi yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, mari kembangkannya di sepanjang baris pertama.
Mari cari komponen penentu:
Mari kita gantikan nilai yang ditemui ke dalam penentu
Penentu, oleh itu sistem persamaan adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari kita mengira penentu menggunakan formula Cramer:
Marilah kita menguraikan setiap penentu mengikut lajur yang terdapat lebih banyak sifar.
Menggunakan formula Cramer kami dapati
Penyelesaian sistem 
Contoh ini boleh diselesaikan menggunakan kalkulator matematik YukhymCALC. Serpihan program dan keputusan pengiraan ditunjukkan di bawah.
——————————
KAEDAH C R A M E R A
|1,1,1,1|
D=|5,-3,2,-8|
|3,5,1,4|
|4,2,3,1|
D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10
|0,1,1,1|
Dx1=|1,-3,2,-8|
|0,5,1,4|
|3,2,3,1|
Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70
|1,0,1,1|
Dx2=|5,1,2,-8|
|3,0,1,4|
|4,3,3,1|
Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80
|1,1,0,1|
Dx3=|5,-3,1,-8|
|3,5,0,4|
|4,2,3,1|
Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50
|1,1,1,0|
Dx4=|5,-3,2,1|
|3,5,1,0|
|4,2,3,3|
Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60
x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000
x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000
x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000
x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000
Lihat bahan:
(jkomen pada)
Dalam kes umum, peraturan untuk mengira penentu susunan adalah agak rumit. Untuk penentu urutan kedua dan ketiga ada cara yang rasional pengiraan mereka.
Pengiraan penentu tertib kedua
Untuk mengira penentu matriks tertib kedua, anda perlu menolak hasil darab unsur pepenjuru sekunder daripada hasil darab unsur pepenjuru utama:
Contoh
Senaman. Kira penentu tertib kedua
Penyelesaian.
Jawab.
Kaedah untuk mengira penentu peringkat ketiga
Peraturan berikut wujud untuk mengira penentu urutan ketiga.
Peraturan segi tiga
Secara skematik, peraturan ini boleh digambarkan seperti berikut:
Hasil darab unsur dalam penentu pertama yang disambungkan dengan garis lurus diambil dengan tanda tambah; begitu juga, untuk penentu kedua, produk yang sepadan diambil dengan tanda tolak, i.e.
Contoh
Senaman. Pengiraan penentu 
menggunakan kaedah segitiga.
Penyelesaian.
Jawab.
pemerintahan Sarrus
Di sebelah kanan penentu, dua lajur pertama ditambah dan hasil darab unsur pada pepenjuru utama dan pepenjuru yang selari dengannya diambil dengan tanda tambah; dan hasil darab unsur pepenjuru sekunder dan pepenjuru selari dengannya, dengan tanda tolak:
Contoh
Senaman. Pengiraan penentu menggunakan peraturan Sarrus.
Penyelesaian.
Jawab.
Mengembangkan penentu mengikut baris atau lajur
Penentu adalah sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur baris penentu dan pelengkap algebranya.
Biasanya baris/lajur yang mengandungi sifar dipilih. Baris atau lajur di mana penguraian dijalankan akan ditunjukkan dengan anak panah.
Contoh
Senaman. Mengembangkan sepanjang baris pertama, hitung penentu
Penyelesaian.
Jawab.
Kaedah ini membolehkan pengiraan penentu dikurangkan kepada pengiraan penentu susunan yang lebih rendah.
Contoh
Senaman. Pengiraan penentu
Penyelesaian. Mari kita lakukan transformasi berikut pada baris penentu: dari baris kedua kita tolak empat yang pertama, dan dari baris ketiga baris pertama didarab dengan tujuh, sebagai hasilnya, mengikut sifat penentu, kita memperoleh penentu. sama dengan yang diberikan.
Penentunya ialah sifar kerana baris kedua dan ketiga adalah berkadar.
Jawab.
Untuk mengira penentu tertib keempat dan lebih tinggi, sama ada pengembangan baris/lajur atau pengurangan kepada pandangan segi tiga, atau menggunakan teorem Laplace.
Mengurai penentu kepada unsur-unsur baris atau lajur
Contoh
Senaman. Pengiraan penentu 
, menguraikannya kepada elemen beberapa baris atau beberapa lajur.
Penyelesaian. Mari kita mula-mula melakukan transformasi asas pada baris penentu, membuat sebanyak sifar yang mungkin sama ada dalam baris atau dalam lajur. Untuk melakukan ini, mula-mula tolak sembilan pertiga daripada baris pertama, lima pertiga daripada baris kedua, dan tiga pertiga daripada baris keempat, kita dapat:
Marilah kita menguraikan penentu yang terhasil kepada unsur-unsur lajur pertama:
Kami juga akan mengembangkan penentu tertib ketiga yang terhasil ke dalam elemen baris dan lajur, setelah memperoleh sifar sebelum ini, sebagai contoh, dalam lajur pertama.
Untuk melakukan ini, tolak dua baris kedua dari baris pertama, dan yang kedua dari baris ketiga:
Jawab.
Komen
Penentu terakhir dan terakhir tidak dapat dikira, tetapi segera membuat kesimpulan bahawa ia sama dengan sifar, kerana ia mengandungi baris berkadar.
Mengurangkan penentu kepada bentuk segi tiga
Dengan menggunakan transformasi asas di atas baris atau lajur, penentu dikurangkan kepada bentuk segi tiga dan kemudian nilainya, mengikut sifat penentu, adalah sama dengan hasil darab unsur yang berdiri pada pepenjuru utama.
Contoh
Senaman. Pengiraan penentu 
membawanya kepada bentuk segi tiga.
Penyelesaian. Mula-mula kita membuat sifar dalam lajur pertama di bawah pepenjuru utama.
4. Sifat-sifat penentu. Penentu hasil darab matriks.
Semua penjelmaan akan menjadi lebih mudah untuk dilakukan jika elemen adalah sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar lajur pertama dan kedua penentu, yang, mengikut sifat penentu, akan menyebabkan ia menukar tandanya kepada bertentangan:
Seterusnya, kita mendapat sifar dalam lajur kedua sebagai ganti unsur-unsur di bawah pepenjuru utama. Sekali lagi, jika unsur pepenjuru adalah sama dengan , maka pengiraan akan menjadi lebih mudah. Untuk melakukan ini, kami menukar baris kedua dan ketiga (dan pada masa yang sama bertukar kepada tanda bertentangan penentu):
Jawab.
Teorem Laplace
Contoh
Senaman. Dengan menggunakan teorem Laplace, hitung penentunya 
Penyelesaian. Jom pilih masuk penentu ini susunan kelima dua baris - yang kedua dan ketiga, maka kita dapat (kita meninggalkan istilah yang sama dengan sifar):
Jawab.
PERSAMAAN LINEAR DAN KETIDAKSAMAAN I
§ 31 Kes apabila penentu utama sistem persamaan adalah sama dengan sifar, dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu tambahan berbeza daripada sifar
Teorem.Jika penentu utama sistem persamaan
(1)
adalah sama dengan sifar, dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu tambahan adalah berbeza daripada sifar, maka sistem itu tidak konsisten.
Secara formal, pembuktian teorem ini tidak sukar diperoleh melalui percanggahan. Mari kita andaikan bahawa sistem persamaan (1) mempunyai penyelesaian ( x 0 , y 0). Kemudian, seperti yang ditunjukkan dalam perenggan sebelumnya,
Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)
Tapi mengikut syarat Δ = 0, dan sekurang-kurangnya satu daripada penentu Δ x Dan Δ y berbeza daripada sifar. Oleh itu, kesamaan (2) tidak boleh dipenuhi secara serentak. Teorem telah terbukti.
Walau bagaimanapun, nampaknya menarik untuk mengetahui dengan lebih terperinci mengapa sistem persamaan (1) tidak konsisten dalam kes yang sedang dipertimbangkan.
bermakna pekali bagi yang tidak diketahui dalam sistem persamaan (1) adalah berkadar. Biarkan, sebagai contoh,
a 1 =ka 2 ,b 1 = kb 2 .
bermakna bahawa pekali untuk di dan sebutan bebas bagi persamaan sistem (1) adalah tidak berkadar. Kerana ia b 1 = kb 2, kemudian c 1 =/= kc 2 .
Oleh itu, sistem persamaan (1) boleh ditulis dalam bentuk berikut:
Dalam sistem ini, pekali untuk yang tidak diketahui adalah berkadar, masing-masing, tetapi pekali untuk di (atau bila X ) dan syarat percuma tidak berkadar. Sistem sedemikian, sudah tentu, tidak serasi. Sesungguhnya, jika dia mempunyai penyelesaian ( x 0 , y 0), maka kesamaan berangka akan dipegang
k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1
a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .
Tetapi satu daripada persamaan ini bercanggah dengan yang lain: lagipun, c 1 =/= kc 2 .
Kami hanya mempertimbangkan kes itu apabila Δ x =/= 0. Kes boleh dianggap sama apabila Δ y =/= 0."
Teorem terbukti boleh dirumuskan dengan cara ini.
Jika pekali bagi yang tidak diketahui X Dan di dalam sistem persamaan (1) adalah berkadar, tetapi pekali untuk mana-mana yang tidak diketahui ini dan sebutan bebas adalah tidak berkadar, maka sistem persamaan ini tidak konsisten.
Adalah mudah, sebagai contoh, untuk memastikan bahawa setiap sistem ini tidak serasi:
Kaedah Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
Formula Cramer
Kaedah Cramer adalah berdasarkan penggunaan penentu dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Ini mempercepatkan proses penyelesaian dengan ketara.
Kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sebanyak mana yang tidak diketahui dalam setiap persamaan.
kaedah Cramer. Aplikasi untuk sistem persamaan linear
Jika penentu sistem tidak sama dengan sifar, maka kaedah Cramer boleh digunakan dalam penyelesaian, tetapi jika ia sama dengan sifar, maka ia tidak boleh. Selain itu, kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian unik.
Definisi. Penentu yang terdiri daripada pekali untuk tidak diketahui dipanggil penentu sistem dan dilambangkan (delta).
Penentu
diperoleh dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui yang sepadan dengan istilah bebas:
;
.
Teorem Cramer. Jika penentu sistem adalah bukan sifar, maka sistem persamaan linear mempunyai satu penyelesaian unik, dan yang tidak diketahui adalah sama dengan nisbah penentu. Penyebut mengandungi penentu sistem, dan pengangka mengandungi penentu yang diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui ini dengan sebutan bebas. Teorem ini berlaku untuk sistem persamaan linear bagi sebarang susunan.
Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear:
mengikut Teorem Cramer kami ada:
Jadi, penyelesaian kepada sistem (2):
Tiga kes apabila menyelesaikan sistem persamaan linear
Seperti yang jelas daripada Teorem Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kes boleh berlaku:
Kes pertama: sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik
(sistem adalah konsisten dan pasti)
* 
Kes kedua: sistem persamaan linear mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga
(sistem adalah konsisten dan tidak pasti)
** 
,
mereka. pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah berkadar.
Kes ketiga: sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian
(sistem tidak konsisten)
Jadi sistem m persamaan linear dengan n dipanggil pembolehubah bukan sendi, jika dia tidak mempunyai penyelesaian tunggal, dan sendi, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem sendi persamaan yang hanya mempunyai satu penyelesaian dipanggil pasti, dan lebih daripada satu – tidak pasti.
Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer
Biar sistem diberikan
.
Berdasarkan teorem Cramer
………….
,
di mana 
—
penentu sistem. Kami memperoleh penentu yang tinggal dengan menggantikan lajur dengan pekali pembolehubah yang sepadan (tidak diketahui) dengan istilah bebas:
Contoh 2.
.
Oleh itu, sistem itu pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu
Menggunakan formula Cramer kami dapati:
Jadi, (1; 0; -1) ialah satu-satunya penyelesaian kepada sistem.
Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian, kaedah yang menentukan Kramer.
Jika dalam sistem persamaan linear tidak ada pembolehubah dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam penentu unsur-unsur yang sepadan adalah sama dengan sifar! Ini adalah contoh seterusnya.
Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:
.
Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:
Lihat dengan teliti pada sistem persamaan dan pada penentu sistem dan ulangi jawapan kepada soalan di mana satu atau lebih elemen penentu adalah sama dengan sifar. Jadi, penentu tidak sama dengan sifar, oleh itu sistem adalah pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui
Menggunakan formula Cramer kami dapati:
Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (2; -1; 1).
Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.
Bahagian atas halaman
Ambil ujian pada Sistem Persamaan Linear
Seperti yang telah disebutkan, jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, dan penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, sistem itu tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:
Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:
Penentu sistem adalah sama dengan sifar, oleh itu, sistem persamaan linear adalah sama ada tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, iaitu, tidak mempunyai penyelesaian. Untuk menjelaskan, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui
Penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, oleh itu, sistem tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian.
Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.
Dalam masalah yang melibatkan sistem persamaan linear, terdapat juga yang, sebagai tambahan kepada huruf yang menunjukkan pembolehubah, terdapat juga huruf lain. Huruf ini mewakili nombor, selalunya nyata. Dalam amalan, masalah carian membawa kepada persamaan dan sistem persamaan tersebut sifat am sebarang fenomena atau objek. Iaitu, adakah anda telah mencipta sebarang bahan baru atau peranti, dan untuk menerangkan sifatnya, yang biasa tanpa mengira saiz atau bilangan contoh, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear, di mana bukannya beberapa pekali untuk pembolehubah terdapat huruf. Anda tidak perlu melihat jauh untuk contoh.
Contoh berikut adalah untuk masalah yang sama, hanya bilangan persamaan, pembolehubah dan huruf yang menunjukkan nombor nyata tertentu meningkat.
Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:
Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:
Mencari penentu untuk yang tidak diketahui
Menggunakan formula Cramer kami dapati:
,
,
.
Dan akhirnya, sistem empat persamaan dengan empat yang tidak diketahui.
Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:
.
Perhatian! Kaedah untuk mengira penentu urutan keempat tidak akan diterangkan di sini. Untuk ini, pergi ke bahagian tapak yang sesuai. Tetapi akan ada beberapa komen kecil. Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:
Komen kecil. Dalam penentu asal, unsur-unsur baris keempat telah ditolak daripada unsur-unsur baris kedua, unsur-unsur baris keempat, didarab dengan 2, telah ditolak daripada unsur-unsur baris ketiga, dan unsur-unsur baris pertama, didarab dengan 2, daripada unsur-unsur baris keempat Transformasi penentu asal dengan tiga yang pertama tidak diketahui dihasilkan mengikut skema yang sama. Mencari penentu untuk yang tidak diketahui
Untuk mengubah penentu bagi yang tidak diketahui keempat, unsur-unsur baris keempat telah ditolak daripada unsur-unsur baris pertama.
Menggunakan formula Cramer kami dapati:
Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (1; 1; -1; -1).
Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.
Yang paling prihatin mungkin menyedari bahawa artikel itu tidak mengandungi contoh penyelesaian sistem yang tidak menentu persamaan linear. Dan semua kerana adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem sedemikian menggunakan kaedah Cramer, seseorang hanya boleh menyatakan bahawa sistem itu tidak pasti. Penyelesaian kepada sistem sedemikian disediakan oleh kaedah Gauss.
Tiada masa untuk mendalami penyelesaiannya? Anda boleh memesan kerja!
Bahagian atas halaman
Ambil ujian pada Sistem Persamaan Linear
Lain-lain mengenai topik "Sistem persamaan dan ketaksamaan"
Kalkulator - menyelesaikan sistem persamaan dalam talian
Pelaksanaan perisian kaedah Cramer dalam C++
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penggantian dan penambahan
Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss
Keadaan ketekalan untuk sistem persamaan linear.
Teorem Kronecker-Capelli
Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah matriks (matriks songsang)
Sistem ketaksamaan linear Dan set cembung mata
Permulaan topik "Algebra Linear"
Penentu
Dalam artikel ini kita akan berkenalan dengan sangat konsep penting daripada bahagian algebra linear, yang dipanggil penentu.
Saya ingin segera ambil perhatian perkara penting: konsep penentu hanya sah untuk matriks segi empat sama (bilangan baris = bilangan lajur), matriks lain tidak memilikinya.
Penentu bagi matriks segi empat sama(penentu) - ciri berangka matriks.
Penetapan penentu: |A|, det A, ∆ A.
Penentu perintah "n" dipanggil jumlah algebra semua kemungkinan produk unsur-unsurnya memenuhi keperluan berikut:
1) Setiap produk sedemikian mengandungi elemen "n" yang tepat (iaitu, penentu urutan ke-2 - 2 elemen).
2) Dalam setiap produk terdapat wakil setiap baris dan setiap lajur sebagai faktor.
3) Mana-mana dua faktor dalam setiap produk tidak boleh tergolong dalam baris atau lajur yang sama.
Tanda produk ditentukan oleh susunan selang-seli nombor lajur, jika elemen dalam produk disusun dalam susunan nombor baris menaik.
Mari kita pertimbangkan beberapa contoh mencari penentu matriks:
Untuk matriks tertib pertama (iaitu.
Persamaan linear. Menyelesaikan sistem persamaan linear. kaedah Cramer.
hanya terdapat 1 unsur), penentunya adalah sama dengan unsur ini:
2. Pertimbangkan matriks segi empat sama tertib kedua:
3. Pertimbangkan matriks segi empat sama tertib ketiga (3×3):
4. Sekarang mari kita lihat contoh dengan nombor nyata:
Peraturan segi tiga.
Peraturan segitiga ialah cara mengira penentu matriks, yang melibatkan mencarinya mengikut skema berikut:
Seperti yang telah anda fahami, kaedah itu dipanggil peraturan segi tiga kerana fakta bahawa unsur-unsur yang didarab matriks membentuk segi tiga pelik.
Untuk memahami perkara ini dengan lebih baik, mari lihat contoh:
Sekarang mari kita lihat pengiraan penentu matriks dengan nombor nyata menggunakan peraturan segi tiga:
Untuk menyatukan bahan yang telah kami bincangkan, mari selesaikan satu lagi contoh praktikal:
Sifat penentu:
1. Jika unsur-unsur baris atau lajur adalah sama dengan sifar, maka penentunya adalah sama dengan sifar.
2. Penentu akan menukar tanda jika ada 2 baris atau lajur ditukar. Mari kita lihat ini dengan contoh kecil:
3. Penentu matriks terpindah adalah sama dengan penentu matriks asal.
4. Penentu adalah sama dengan sifar jika elemen satu baris sama dengan elemen sepadan baris lain (untuk lajur juga). Contoh paling mudah bagi sifat penentu ini ialah:
5. Penentu adalah sama dengan sifar jika 2 barisnya adalah berkadar (juga untuk lajur). Contoh (baris 1 dan 2 adalah berkadar):
6. Faktor sepunya baris (lajur) boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.
7) Penentu tidak akan berubah jika elemen sepadan baris lain (lajur) ditambah pada elemen baris (lajur), didarab dengan nilai yang sama. Mari kita lihat ini dengan contoh:
Pandangan: 57258
Penentu (aka penentu) hanya terdapat dalam matriks persegi. Penentu tidak lebih daripada nilai yang menggabungkan semua elemen matriks, yang dikekalkan apabila menukar baris atau lajur. Ia boleh dilambangkan sebagai det(A), |A|, Δ(A), Δ, di mana A boleh sama ada matriks atau huruf yang menandakannya. Anda boleh menemuinya menggunakan kaedah yang berbeza:
Kesemua kaedah yang dicadangkan di atas akan dianalisis pada matriks bersaiz tiga dan ke atas. Penentu matriks dua dimensi didapati menggunakan tiga asas operasi matematik, oleh itu, mencari penentu bagi matriks dua dimensi tidak akan dimasukkan dalam mana-mana kaedah. Nah, kecuali sebagai tambahan, tetapi lebih lanjut mengenainya kemudian.
Mari kita cari penentu bagi matriks 2x2:
Untuk mencari penentu matriks kita, kita perlu menolak hasil darab nombor satu pepenjuru daripada yang lain, iaitu,
Contoh mencari penentu matriks tertib kedua
Penguraian baris/lajur
Pilih mana-mana baris atau lajur dalam matriks. Setiap nombor dalam baris yang dipilih didarab dengan (-1) i+j di mana (i,j ialah nombor baris, lajur nombor itu) dan didarab dengan penentu tertib kedua, terdiri daripada elemen yang tinggal selepas memotong. i - baris dan j - lajur. Mari lihat matriks
- Pilih baris/lajur
Sebagai contoh, mari kita ambil baris kedua.
Catatan: Jika tidak dinyatakan secara eksplisit baris mana yang hendak digunakan untuk mencari penentu, pilih garis yang mempunyai sifar. Pengiraan akan menjadi lebih sedikit.
- Mari kita membuat ekspresi
Tidak sukar untuk menentukan bahawa tanda nombor berubah setiap masa. Oleh itu, bukannya unit, anda boleh menggunakan jadual berikut:
- Jom tukar tanda nombor kita
- Mari kita cari penentu matriks kita
- Mari kita kira semuanya
Penyelesaiannya boleh ditulis seperti ini:
Contoh mencari penentu dengan pengembangan baris/lajur:
Kaedah pengurangan kepada bentuk segi tiga (menggunakan transformasi asas)
Penentu ditemui dengan mengurangkan matriks kepada bentuk segi tiga (langkah) dan mendarab unsur-unsur pada pepenjuru utama
Matriks segi tiga ialah matriks yang unsur-unsurnya pada satu sisi pepenjuru adalah sama dengan sifar.
Apabila membina matriks, anda harus ingat tiga peraturan mudah:
- Setiap kali baris bertukar, penentu menukar tanda kepada yang bertentangan.
- Apabila mendarab/membahagi satu rentetan dengan tidak nombor sifar, ia harus dibahagikan (jika didarab)/didarab (jika dibahagikan) dengannya, atau tindakan ini harus dilakukan dengan penentu yang terhasil.
- Apabila menambah satu rentetan didarab dengan nombor ke rentetan lain, penentu tidak berubah (rentetan yang didarab mengambil nilai asalnya).
Mari cuba dapatkan sifar dalam lajur pertama, kemudian dalam lajur kedua.
Mari kita lihat matriks kami:
Soooo. Untuk membuat pengiraan lebih menyeronokkan, saya ingin melakukannya nombor tutup atas. Anda boleh meninggalkannya, tetapi jangan. Okay, kita ada dua di baris kedua, dan empat di baris pertama.
Mari kita tukar dua baris ini.
Kami menukar garisan, kini kami mesti menukar tanda satu baris, atau pada akhirnya menukar tanda penentu.
Penentu. Pengiraan penentu (halaman 2)
Kami akan lakukan ini kemudian.
Sekarang, untuk mendapatkan sifar dalam baris pertama, darab baris pertama dengan 2.
Mari kita tolak baris pertama daripada baris kedua.
Mengikut peraturan ke-3 kami, kami mengembalikan rentetan asal ke kedudukan asalnya.
Sekarang mari kita buat sifar dalam baris ke-3. Kita boleh mendarabkan baris pertama dengan 1.5 dan menolak daripada yang ketiga, tetapi bekerja dengan pecahan membawa sedikit kesenangan. sebab tu jom cari nombor, yang mana kedua-dua rentetan boleh dikurangkan ialah 6.
Darab baris ke-3 dengan 2.
Sekarang mari kita darab baris pertama dengan 3 dan tolak daripada baris ke-3.
Mari kita kembalikan barisan pertama kita.
Jangan lupa bahawa kita mendarabkan baris ke-3 dengan 2, jadi kemudian kita akan membahagikan penentu dengan 2.
Terdapat satu lajur. Sekarang, untuk mendapatkan sifar pada baris kedua - lupakan tentang baris pertama - kami bekerja dengan baris ke-2. Darabkan baris kedua dengan -3 dan tambahkannya pada baris ketiga.
Jangan lupa kembalikan baris kedua.
Jadi kami telah membina matriks segi tiga. Apa yang tinggal untuk kita? Yang tinggal hanyalah mendarab nombor pada pepenjuru utama, itulah yang akan kita lakukan.
Nah, perlu diingat bahawa kita mesti membahagikan penentu kita dengan 2 dan menukar tanda.
Peraturan Sarrus (Peraturan segi tiga)
Peraturan Sarrus hanya terpakai untuk matriks segi empat sama pesanan ketiga.
Penentu dikira dengan menambah dua lajur pertama di sebelah kanan matriks, mendarab unsur pepenjuru matriks dan menambahnya, dan menolak hasil tambah pepenjuru yang bertentangan. Kurangkan yang ungu daripada pepenjuru oren.
Peraturan segi tiga adalah sama, cuma gambar sahaja yang berbeza.
Teorem Laplace lihat Penguraian Baris/Lajur