Sissejuhatus
Reaalsed protsessidümbritseva maailmaga seostatakse tavaliselt suur summa muutujad ja nendevahelised sõltuvused. Neid sõltuvusi saab kirjeldada funktsioonide abil. Funktsiooni mõiste on mänginud ja mängib jätkuvalt suur roll tunnetuses päris maailm. Funktsioonide omaduste tundmine võimaldab mõista käimasolevate protsesside olemust, ennustada nende arengu kulgu ja neid juhtida. Õppimisfunktsioonid on asjakohane Alati.
Sihtmärk: tuvastada seos trigonomeetriliste funktsioonide ja ümbritseva maailma nähtuste vahel ning näidata, et neid funktsioone kasutatakse elus laialdaselt.
ülesandeid:
1. Uurige projektiteemalist kirjandust ja kaugjuurdepääsu ressursse.
2. Uuri välja, milliseid loodusseadusi väljendavad trigonomeetrilised funktsioonid.
3. Leidke näiteid trigonomeetriliste funktsioonide kasutamisest välismaailmas.
4. Analüüsida ja süstematiseerida olemasolevat materjali.
5. Valmistada ette projekteeritud materjal vastavalt nõuetele teabeprojekt.
6. Töötada välja elektrooniline esitlus vastavalt projekti sisule.
7. Rääkige konverentsil tehtud töö tulemustega.
Ettevalmistavas etapis Leidsin sellel teemal materjali ja lugesin seda, püstitasin hüpoteese ja sõnastasin oma projekti eesmärgi. Hakkasin otsima vajalikku teavet, õppisin kirjandust minu teemal ja materjale kaugjuurdepääsu ressurssidest.
Pealaval, valiti ja koguti teemakohast infot ning analüüsiti leitud materjale. Sain teada trigonomeetriliste funktsioonide peamised rakendused. Kõik andmed võeti kokku ja süstematiseeriti. Seejärel töötati välja teabeprojekti põhjalik lõppversioon ja koostati uurimisteemat käsitlev ettekanne.
Viimasel etapil Analüüsiti konkursi töö esitlust. Selles etapis oodati tegevusi ka kõigi määratud ülesannete elluviimiseks, tulemuste summeerimiseks ehk oma tegevuse hindamiseks.
Päikesetõus ja loojang, Kuu faaside vaheldumine, aastaaegade vaheldumine, südamelöögid, tsüklid keha elus, ratta pöörlemine, mere looded ja mõõnad – nende erinevate protsesside mudeleid kirjeldavad trigonomeetrilised funktsioonid.
Trigonomeetria füüsikas.
Tehnoloogias ja meid ümbritsevas maailmas peame sageli tegelema perioodiliste (või peaaegu perioodiliste) protsessidega, mis korduvad korrapäraste ajavahemike järel. Selliseid protsesse nimetatakse võnkuvateks. Võnkuvad nähtused mitmesugused füüsiline olemus kuuletuma üldised mustrid. Näiteks voolu kõikumised sisse elektriahel ja matemaatilise pendli võnkumisi saab kirjeldada identsed võrrandid. Võnkumismustrite ühtsus võimaldab vaadelda erineva iseloomuga võnkeprotsesse ühest vaatenurgast. Koos progressiivse ja pöörlevad liigutused Kehade mehaanikas pakuvad märkimisväärset huvi ka võnkuvad liikumised.
Mehaanilised vibratsioonid on kehade liikumised, mis korduvad täpselt (või ligikaudu) võrdsete ajavahemike järel. Keha võnkumise liikumisseadus määratakse kindlaks teatud perioodilise aja funktsiooni x = f(t) abil. Graafiline pilt see funktsioon annab visuaalne esitus voolu kohta võnkeprotsessõigel ajal. Sellise laine näiteks on lained, mis liiguvad mööda venitatud kummipaela või nööri.
Näited lihtsatest võnkesüsteemid võib toimida vedrukoormusena või matemaatiline pendel(Joonis 1).
Joonis 1. Mehaanilised võnkesüsteemid.
Mehaanilised vibratsioonid, nagu mis tahes muu füüsikalise iseloomuga võnkeprotsessid, võivad olla vabad ja sunnitud. Mõju all tekivad vabad vibratsioonid sisemised jõud süsteem pärast seda, kui süsteem on tasakaalust välja viidud. Vedru koormuse või pendli võnkumised on vabad vibratsioonid. Võnkumisi, mis tekivad perioodiliselt muutuvate välisjõudude mõjul, nimetatakse sunnitud.
Joonisel 2 on kujutatud sooritava keha koordinaatide, kiiruse ja kiirenduse graafikud harmoonilised vibratsioonid.
Lihtsaim võnkeprotsessi tüüp on lihtsad harmoonilised võnkumised, mida kirjeldatakse võrrandiga:
x = m cos (ωt + f 0).
Joonis 2 – koordinaatide x(t), kiiruse υ(t) graafikud
ja harmoonilisi võnkumisi sooritava keha kiirendus a(t).
Helilained või lihtsalt heli on inimkõrvaga tajutavate lainete nimi.
Kui tahkes, vedelas või gaasilises keskkonnas ergastatakse osakeste vibratsioone suvalises kohas, siis keskkonna aatomite ja molekulide vastasmõju tõttu hakkavad vibratsioonid kanduma ühest punktist teise. terminali kiirus. Vibratsioonide levimise protsessi keskkonnas nimetatakse laineks.
Lihtsad harmoonilised või siinuslained pakuvad praktikas märkimisväärset huvi. Neid iseloomustab osakeste vibratsiooni amplituud A, sagedus f ja lainepikkus λ. Sinusoidsed lained levivad homogeenses keskkonnas kindla konstantse kiirusegaυ.
Kui inimese nägemisel oleks võime näha heli, elektromagnetilisi ja raadiolaineid, siis näeksime enda ümber arvukalt igasuguseid sinusoide.
Kindlasti on igaüks korduvalt täheldanud nähtust, kui vette lastud objektid muudavad koheselt oma suurust ja proportsioone. Huvitav nähtus, kastad käe vette ja see muutub kohe mõne teise inimese käeks. Miks see juhtub? Vastus sellele küsimusele ja üksikasjalik selgitus Seda nähtust, nagu alati, pakub füüsika – teadus, mis suudab seletada peaaegu kõike, mis meid selles maailmas ümbritseb.
Nii et tegelikult ei muuda objektid vette sukeldades loomulikult ei oma suurust ega piirjooni. See on lihtsalt optiline efekt, see tähendab, et me tajume seda objekti visuaalselt erinevalt. See juhtub vara tõttu valguskiir. Selgub, et valguse levimise kiirust mõjutavad suuresti nn optiline tihedus keskkond. Mida tihedam on see optiline meedium, seda aeglasemalt valguskiir levib.
Kuid isegi valguskiire kiiruse muutus ei selgita täielikult seda nähtust, mida me käsitleme. On veel üks tegur. Seega, kui valguskiir läbib vähem tiheda optilise keskkonna (nt õhu) ja tihedama optilise keskkonna (nt vee) piiri, ei tungi osa valguskiirt sisemusse. uus keskkond, vaid peegeldub selle pinnalt. Teine osa valgusvihust tungib sisse, kuid muutes suunda.
Seda nähtust nimetatakse valguse murdumiseks ja teadlased on pikka aega suutnud mitte ainult jälgida, vaid ka täpselt arvutada selle murdumise nurga. Selgus, et kõige lihtsamad trigonomeetrilised valemid ning teadmised langemisnurga ja murdumisnurga siinusest võimaldavad välja selgitada konstantne koefitsient murdumine valguskiire üleminekuks ühest konkreetsest keskkonnast teise. Näiteks õhu murdumisnäitaja on äärmiselt väike ja ulatub 1,0002926-ni, vee murdumisnäitaja on veidi kõrgem - 1,332986, teemant murrab valgust koefitsiendiga 2,419 ja räni - 4,010.
See nähtus on aluseks nn Vikerkaareteooriad. Vikerkaareteooria pakkus esmakordselt välja 1637. aastal Rene Descartes. Ta selgitas vikerkaart kui nähtust, mis on seotud valguse peegelduse ja murdumisega vihmapiiskades.
Vikerkaared tekivad seetõttu päikesevalgus murdub õhus hõljuvates veepiiskades vastavalt murdumisseadusele:
kus n 1 =1, n 2 ≈1,33 on vastavalt õhu ja vee murdumisnäitajad, α on langemisnurk ja β on valguse murdumisnurk.
Trigonomeetria rakendamine kunstis ja arhitektuuris.
Alates ajast, mil inimene maa peal eksisteeris, on teadusest saanud igapäevaelu ja muude eluvaldkondade parandamise alus. Kõige inimese loodud alus on erinevaid suundi loodus- ja matemaatikateadustes. Üks neist on geomeetria. Arhitektuur pole ainus teadusvaldkond, kus kasutatakse trigonomeetrilisi valemeid. Suurem osa kompositsiooniotsustest ja jooniste konstrueerimisest toimus täpselt geomeetria abil. Kuid teoreetilised andmed tähendavad vähe. Vaatleme näidet ühe skulptuuri ehitamisest ühe prantsuse kunsti kuldajastu meistri poolt.
Proportsionaalne suhe kuju ehitamisel oli ideaalne. Kui aga kuju kõrgele postamendile tõsteti, nägi see kole välja. Skulptor ei arvestanud, et perspektiivis, horisondi poole, vähenevad paljud detailid ja alt üles vaadates ei teki enam muljet selle ideaalsusest. Paljud arvutused viidi läbi nii, et joonis koos suur kõrgus nägi välja proportsionaalne. Need põhinesid peamiselt vaatlusmeetodil, st ligikaudsel silmaga mõõtmisel. Teatud proportsioonide erinevuste koefitsient võimaldas aga figuuri ideaalilähedasemaks muuta. Seega, teades ligikaudset kaugust kujust vaatepunktini, nimelt kuju tipust inimese silmadeni ja kuju kõrgust, saame tabeli abil välja arvutada vaate langemisnurga siinuse, leides seeläbi vaatepunkti (joonis 4).
Joonisel 5 olukord muutub, kuna kuju tõstetakse kõrgusele AC ja NS suureneb, saame arvutada nurga C koosinuse väärtused ja tabelist leiame pilgu langemisnurga. Selle käigus saate arvutada nii AN kui ka nurga C siinuse, mis võimaldab teil tulemusi kontrollida põhi trigonomeetriline identiteet cos 2 a+ sin 2 a = 1.
Võrreldes AN mõõtmisi esimesel ja teisel juhul, saab leida proportsionaalsuse koefitsiendi. Seejärel saame joonise ja seejärel skulptuuri, tõstmisel on figuur ideaalile visuaalselt lähemal
Ikoonilised hooned üle kogu maailma kujundati tänu matemaatikale, mida võib pidada arhitektuuri geeniuseks. Mõned kuulsad näited sellised hooned: Gaudi lastekool Barcelonas, Mary Axe pilvelõhkuja Londonis, Bodegas Isios veinitehas Hispaanias, restoran Los Manantialeses Argentinas. Nende hoonete projekteerimisel kasutati trigonomeetriat.
Trigonomeetria bioloogias.
Eluslooduse üks põhiomadusi on enamiku selles toimuvate protsesside tsüklilisus. Liikumise vahel taevakehad ja elusorganismide vahel Maal on seos. Elusorganismid mitte ainult ei püüa kinni Päikese ja Kuu valgust ja soojust, vaid neil on ka erinevad mehhanismid, mis määravad täpselt Päikese asukoha, reageerivad loodete rütmile, Kuu faasidele ja meie planeedi liikumisele.
Bioloogilised rütmid, biorütmid, on enam-vähem korrapärased muutused bioloogiliste protsesside olemuses ja intensiivsuses. Võimalus selliseid elutegevuses muudatusi teha on päritud ja seda leidub peaaegu kõigil elusorganismidel. Neid võib täheldada üksikutes rakkudes, kudedes ja elundites, tervetes organismides ja populatsioonides. Biorütmid jagunevad füsioloogiline, mille perioodid on sekundi murdosadest mitme minutini ja keskkonna, kestus langeb kokku mis tahes rütmiga keskkond. Nende hulka kuuluvad igapäevased, hooajalised, aastased, loodete ja kuu rütmid. Peamine maapealne rütm on igapäevane, mille määrab Maa pöörlemine ümber oma telje, seetõttu on peaaegu kõik elusorganismis toimuvad protsessid igapäevase perioodilisusega.
Trobikond keskkonnategurid meie planeedil muutuvad selle pöörlemise mõjul loomulikult eelkõige valgusrežiim, temperatuur, õhurõhk ja -niiskus, atmosfääri- ja elektromagnetväli, mere looded.
Oleme seitsekümmend viis protsenti vett ja kui täiskuu hetkel kerkivad maailmamere veed 19 meetrit üle merepinna ja algab mõõn, siis tormab vesi ka meie kehasse ülemised sektsioonid meie keha. Ja inimesed koos kõrge vererõhk Nendel perioodidel täheldatakse sageli haiguse ägenemisi ja ravimtaimi koguvad loodusteadlased teavad täpselt, millises kuufaasis tuleb koguda "pealseid - (vilju)" ja millises - "juuri".
Kas olete märganud, et teatud perioodidel teeb teie elu seletamatuid hüppeid? Äkitselt, tühjalt kohalt, löövad emotsioonid üle. Tundlikkus suureneb, mis võib ootamatult muutuda täielik apaatia. Loomingulised ja viljatud päevad, rõõmsad ja õnnetud hetked, äkilised meeleolumuutused. Märgitakse, et võimalused Inimkeha perioodiliselt muuta. Need teadmised on "kolme biorütmi teooria" aluseks.
Füüsiline biorütm – reguleerib kehaline aktiivsus. Füüsilise tsükli esimesel poolel on inimene energiline ja saavutab parimad tulemused oma tegevuses (teine pool - energia annab teed laiskusele).
Emotsionaalne rütm- selle tegevuse perioodidel suureneb tundlikkus ja paraneb meeleolu. Inimene muutub erutavaks erinevate väliste katastroofide suhtes. Kui tal on hea tuju, ta ehitab õhulosse, unistab armumisest ja armub. Kui emotsionaalne biorütm väheneb, toimub langus vaimne tugevus, soov ja rõõmus meeleolu kaovad.
Intellektuaalne biorütm - see kontrollib mälu, õppimisvõimet, loogiline mõtlemine. Aktiivsuse faasis toimub tõus ja teises faasis langus loominguline tegevus, õnne ja edu puudumine.
Kolme rütmi teooria.
· 
Füüsiline tsükkel-23 päeva. Määrab energia, jõu, vastupidavuse, liigutuste koordinatsiooni
· Emotsionaalne tsükkel – 28 päeva. osariik närvisüsteem ja tuju
· Intellektuaalne tsükkel – 33 päeva. Määratleb loovus isiksused
Trigonomeetriat esineb ka looduses. Kalade liikumine vees toimub siinuse või koosinuse seaduse järgi, kui fikseerida punkt sabal ja seejärel arvestada liikumise trajektoori. Ujumisel võtab kala keha kõvera kuju, mis meenutab funktsiooni y=tgx graafikut.
Kui lind lendab, moodustab lehvitavate tiibade trajektoor sinusoidi.
Trigonomeetria meditsiinis.
Iraani Shirazi ülikooli üliõpilase Vahid-Reza Abbasi läbiviidud uuringute tulemusena said arstid esimest korda korrastada elektriline aktiivsus süda ehk teisisõnu elektrokardiograafia.
Teherani nimelist valemit esitleti üldisele teadlaskonnale 14. geograafilise meditsiini konverentsil ja seejärel 28. konverentsil arvutitehnoloogia kasutamisest kardioloogias, mis toimus Hollandis.
See valem on keerukas algebralis-trigonomeetriline võrrand, mis koosneb 8 avaldisest, 32 koefitsiendist ja 33 põhiparameetrist, sealhulgas mitmest täiendavast arütmia korral arvutamiseks kasutatavast parameetrist. Arstide sõnul hõlbustab see valem oluliselt südametegevuse peamiste parameetrite kirjeldamise protsessi, kiirendades seeläbi diagnoosimist ja ravi alustamist.
Paljud inimesed peavad tegema südame kardiogrammi, kuid vähesed teavad, et inimese südame kardiogramm on siinus- või koosinusgraafik.
Trigonomeetria aitab meie ajul määrata kaugust objektideni. Ameerika teadlased väidavad, et aju hindab kaugust objektidest, mõõtes maa tasapinna ja nägemistasandi vahelist nurka. See järeldus tehti pärast mitmeid katseid, milles osalejatel paluti vaadata maailm läbi prismade, mis seda nurka suurendavad.
See moonutus tõi kaasa asjaolu, et eksperimentaalsed prismakandjad tajusid kaugeid objekte lähemal ja ei saanud hakkama kõige lihtsamate testidega. Mõned katsetes osalejad kaldusid isegi ettepoole, püüdes oma keha valesti kujutletud maapinnaga risti joondada. 20 minuti pärast aga harjusid moonutatud taju ja kõik probleemid kadusid. See asjaolu näitab mehhanismi paindlikkust, mille abil aju kohandab visuaalset süsteemi muutuvate välistingimustega. Huvitav on märkida, et pärast prismade eemaldamist jälgiti seda mõnda aega vastupidine efekt- kauguse ülehindamine.
Uue uuringu tulemused, nagu arvata võib, pakuvad huvi inseneridele, kes projekteerivad robotite jaoks navigatsioonisüsteeme, aga ka spetsialistidele, kes tegelevad kõige realistlikumate virtuaalmudelite loomisega. Võimalikud rakendused ka meditsiinivaldkonnas, teatud ajupiirkondade kahjustusega patsientide taastusravis.
Järeldus
Praegu trigonomeetrilised arvutused kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Suur tähtsus on triangulatsioonitehnika, mis võimaldab mõõta kaugusi lähedalasuvate tähtedeni astronoomias, maamärkide vahel geograafias ja juhtida satelliitnavigatsioonisüsteeme. Tähelepanu väärivad ka trigonomeetria rakendused sellistes valdkondades nagu muusikateooria, akustika, optika, finantsturgude analüüs, elektroonika, tõenäosusteooria, statistika, meditsiin (sh ultraheli ja kompuutertomograafia), farmaatsia, keemia, arvuteooria, seismoloogia, meteoroloogia, okeanoloogia , kartograafia, paljud füüsikaharud, topograafia ja geodeesia, arhitektuur, majandus, elektroonikatehnika, masinaehitus, arvutigraafika, kristallograafia.
Järeldused:
· Saime teada, et trigonomeetria tekkis vajadusest mõõta nurki, kuid aja jooksul arenes see trigonomeetriliste funktsioonide teaduseks.
· Oleme tõestanud, et trigonomeetria on tihedalt seotud füüsika, bioloogiaga ning seda leidub looduses, arhitektuuris ja meditsiinis.
· Arvame, et trigonomeetria peegeldub meie elus ja valdkondades, kus see mängib oluline roll, laieneb.
Kirjandus
1. Alimov Sh.A. jt “Algebra ja analüüsi algus” Õpik 10.–11. õppeasutused, M., Haridus, 2010.
2. Vilenkin N.Ya. Funktsioonid looduses ja tehnikas: Raamat. kooliväliseks näidud IX-XX klass. – 2. väljaanne, parandatud – M: Valgustus, 1985.
3. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis: IX-X klass. - M.: Haridus, 1983.
4. Maslova T.N. "Matemaatika juhend õpilastele"
5. Rybnikov K.A. Matemaatika ajalugu: õpik. - M.: Moskva Riikliku Ülikooli kirjastus, 1994.
6. Ucheba.ru
7. Math.ru "raamatukogu"
Trigonomeetria ajalugu on lahutamatult seotud astronoomiaga, sest just selle teaduse probleemide lahendamiseks hakkasid iidsed teadlased uurima erinevate suuruste seoseid kolmnurgas.
Tänapäeval on trigonomeetria matemaatika mikroharu, mis uurib kolmnurkade nurkade väärtuste ja külgede pikkuste vahelisi seoseid ning tegeleb ka trigonomeetriliste funktsioonide algebraliste identiteetide analüüsiga.
Mõiste "trigonomeetria"
Mõiste ise, mis andis sellele matemaatikaharule oma nime, avastati esmakordselt saksa matemaatiku Pitiscuse 1505. aastal kirjutatud raamatu pealkirjas. Sõnal "trigonomeetria" on Kreeka päritolu ja tähendab "kolmnurga mõõtmist". Täpsemalt siis me räägime mitte selle joonise sõna otseses mõõtmises, vaid selle lahenduses, st selle tundmatute elementide väärtuste määramises teadaolevate elementide abil.
Üldine teave trigonomeetria kohta
Trigonomeetria ajalugu algas rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi. Algselt seostati selle tekkimist vajadusega selgitada kolmnurga nurkade ja külgede vahelisi seoseid. Uurimise käigus selgus, et matemaatiline avaldis Need seosed nõuavad spetsiaalsete trigonomeetriliste funktsioonide kasutuselevõttu, mis olid algselt kujundatud numbriliste tabelitena.
Paljude matemaatikaga seotud teaduste jaoks oli arengu tõukejõuks trigonomeetria ajalugu. Nurkade (kraadide) mõõtühikute päritolu, mis on seotud teadlaste uurimistööga Vana Babülon, põhineb kuuekümnendarvu süsteemil, millest sündis kaasaegne kümnendarvusüsteem, mida kasutatakse paljudes rakendusteadustes.
Eeldatakse, et trigonomeetria eksisteeris algselt astronoomia osana. Siis hakati seda arhitektuuris kasutama. Ja aja jooksul selle teaduse rakendamise otstarbekus erinevaid valdkondi inimtegevus. Need on eelkõige astronoomia, mere- ja õhunavigatsioon, akustika, optika, elektroonika, arhitektuur jt.
Trigonomeetria esimestel sajanditel
Säilinud teaduslike säilmete andmetest juhindudes jõudsid teadlased järeldusele, et trigonomeetria ajalugu on seotud Kreeka astronoomi Hipparkhose töödega, kes mõtles esmalt (sfääriliste) kolmnurkade lahendamise viiside leidmisele. Tema tööd pärinevad 2. sajandist eKr.
Samuti üks neist tähtsamad saavutused need ajad on jalgade ja hüpotenuusi vahelise suhte määramine täisnurksetes kolmnurkades, mis hiljem sai tuntuks Pythagorase teoreemina.
Trigonomeetria arengu ajalugu aastal Vana-Kreeka seotud astronoom Ptolemaiose nimega – enne Kopernikut valitsenud geotsentrilise teooria autoriga.
Kreeka astronoomid ei tundnud siinusi, koosinust ega puutujat. Nad kasutasid tabeleid, mis võimaldasid neil leida kaare abil ringi kõõlu väärtust. Akordide mõõtmise ühikud olid kraadid, minutid ja sekundid. Üks kraad oli võrdne raadiuse kuuekümnendikuga.
Ka iidsete kreeklaste uurimine edendas arengut sfääriline trigonomeetria. Eelkõige esitab Eukleides oma "Põhimõttes" teoreemi sfääride mahtude vaheliste seoste seaduste kohta. erineva läbimõõduga. Tema teosed selles valdkonnas said omamoodi tõuke arenguks seotud valdkonnad teadmisi. See on eelkõige astronoomiliste instrumentide tehnoloogia, kaardiprojektsioonide teooria, süsteem taevased koordinaadid jne.
Keskaeg: India teadlaste uuringud
India keskaegsed astronoomid saavutasid märkimisväärset edu. Antiikteaduse surm 4. sajandil viis matemaatika arengukeskuse liikumiseni Indiasse.
Trigonomeetria kui matemaatikaõpetuse eraldiseisva osa tekkelugu sai alguse keskajal. Siis asendasid teadlased akordid siinuste vastu. See avastus võimaldas juurutada külgede ja nurkade uurimisega seotud funktsioone ehk siis hakkas trigonomeetria eralduma astronoomiast, muutudes matemaatika haruks.
Aryabhatal olid esimesed siinuste tabelid; need olid tõmmatud läbi 3 o, 4 o, 5 o. Hiljem ilmusid tabelite üksikasjalikud versioonid: eelkõige esitas Bhaskara siinuste tabeli 1 o.
Esimene trigonomeetria spetsiaalne traktaat ilmus 10.-11. Selle autor oli Kesk-Aasia teadlane Al-Biruni. Ja oma põhiteoses "Mas'udi kaanon" (III raamat) läheb keskaegne autor trigonomeetriasse veelgi sügavamale, esitades siinuste tabeli (15-tolliste sammudega) ja puutujate tabeli (1° sammuga). ).
Trigonomeetria arengu ajalugu Euroopas
Pärast araabia traktaatide ladina keelde tõlkimist (XII-XIII sajand) laenati enamik India ja Pärsia teadlaste ideid. Euroopa teadus. Esimesed mainimised trigonomeetria kohta Euroopas pärinevad 12. sajandist.
Teadlaste sõnul on Euroopa trigonomeetria ajalugu seotud Wallingfordi inglase Richardi nimega, kellest sai essee “Neli traktaadi sirgetest ja ümberpööratud akordidest” autor. Just tema tööst sai esimene täielikult trigonomeetriale pühendatud töö. 15. sajandiks mainisid paljud autorid oma töödes trigonomeetrilisi funktsioone.
Trigonomeetria ajalugu: uusaeg
Tänapäeval hakkas enamik teadlasi mõistma trigonomeetria ülimat tähtsust mitte ainult astronoomias ja astroloogias, vaid ka muudes eluvaldkondades. Need on ennekõike suurtükivägi, optika ja navigatsioon pikkadel merereisidel. Seetõttu huvitas see teema 16. sajandi teisel poolel paljusid silmapaistvad inimesed tolle aja, sealhulgas Nicolaus Copernicus, Francois Vieta. Kopernik pühendas oma traktaadis "Pöörlemisest" trigonomeetriale mitu peatükki. taevasfäärid"(1543). Veidi hiljem, 16. sajandi 60ndatel, tsiteeris Koperniku õpilane Rheticus oma töös “Astronoomia optiline osa” viieteistkümnekohalisi trigonomeetrilisi tabeleid.
„Matemaatilises kaanonis” (1579) annab ta tasapinnalise ja sfäärilise trigonomeetria üksikasjaliku ja süstemaatilise, kuigi tõestamata kirjelduse. Ja Albrecht Durerist sai see, tänu kellele siinuslaine sündis.
Leonhard Euleri teened
Trigonomeetriale kaasaegse sisu ja vormi andmine oli Leonhard Euleri teene. Tema traktaat "Introduction to the Analysis of Infinites" (1748) sisaldab mõiste "trigonomeetrilised funktsioonid" definitsiooni, mis on samaväärne tänapäevaga. Seega suutis see teadlane kindlaks teha, kuid see pole veel kõik.
Trigonomeetriliste funktsioonide määratlemine tervel arvujoonel sai võimalikuks tänu Euleri uuringutele mitte ainult lubatud negatiivsete nurkade, vaid ka nurkade puhul, mis on suuremad kui 360°. Tema oli see, kes esmakordselt tõestas oma töödes, et koosinus ja puutuja täisnurk negatiivne. Koosinuse ja siinuse täisarvude laiendamine oli samuti selle teadlase teene. Üldine teooria trigonomeetrilised seeriad ja saadud ridade konvergentsi uurimine ei olnud Euleri uurimise objektid. Samas tegi ta sellega seotud probleemidega tegeledes palju avastusi. Just tänu tema tööle jätkus trigonomeetria ajalugu. Oma töödes puudutas ta põgusalt sfäärilise trigonomeetria küsimusi.
Trigonomeetria rakendused
Trigonomeetria ei kehti rakendusteadused, päriselt Igapäevane elu selle ülesandeid rakendatakse harva. Kuid see asjaolu ei vähenda selle tähtsust. Väga oluline on näiteks triangulatsiooni tehnika, mis võimaldab astronoomidel täpselt mõõta kaugust lähedalasuvate tähtedeni ja jälgida satelliitnavigatsioonisüsteeme.
Trigonomeetriat kasutatakse ka navigatsioonis, muusikateoorias, akustikas, optikas, finantsturgude analüüsis, elektroonikas, tõenäosusteoorias, statistikas, bioloogias, meditsiinis (näiteks ultraheliuuringute dekodeerimisel, ultraheli- ja kompuutertomograafias), farmaatsias, keemias, arvuteoorias, seismoloogia, meteoroloogia, okeanoloogia, kartograafia, paljud füüsikaharud, topograafia ja geodeesia, arhitektuur, foneetika, majandus, elektroonikatehnoloogia, masinaehitus, arvutigraafika, kristallograafia jne. Trigonomeetria ajalugu ja selle rolli loodus- ja matemaatikateaduste uurimisel uuritakse tänapäevani. Võib-olla on tulevikus selle rakendusvaldkondi veelgi rohkem.
Põhimõistete tekkelugu
Trigonomeetria tekkimise ja arengu ajalugu ulatub enam kui ühe sajandi taha. Selle jaotise aluseks olevate mõistete tutvustus matemaatikateadus, ei olnud ka silmapilkne.
Seega on siinuse mõistel väga pikk ajalugu. Kolmnurkade ja ringide segmentide vahel on mainitud mitmesuguseid seoseid teaduslikud tööd, mis pärineb 3. sajandist eKr. Selliste suurte iidsete teadlaste nagu Euclid, Archimedes ja Apollonius Perga teosed sisaldavad juba esimesi uuringuid nende suhete kohta. Uued avastused nõudsid teatud terminoloogilisi täpsustusi. Nii annab India teadlane Aryabhata akordile nime "jiva", mis tähendab "vibu nööri". Kui araabia matemaatilised tekstid tõlgiti ladina keelde, asendati see termin sarnase tähendusega sine (s.o "painutada").
Sõna "koosinus" ilmus palju hiljem. Mõiste on lühendatud versioon ladinakeelsest väljendist "täiendav siinus".
Puutujate tekkimine on seotud varju pikkuse määramise probleemi dešifreerimisega. Mõiste “puutuja” võttis 10. sajandil kasutusele araabia matemaatik Abu-l-Wafa, kes koostas esimesed tabelid puutujate ja kotangentide määramiseks. Kuid Euroopa teadlased ei teadnud nendest saavutustest. Saksa matemaatik ja astronoom Regimontanus avastas need mõisted uuesti 1467. aastal. Tangensiteoreemi tõestus on tema teene. Ja see termin on tõlgitud kui "seoses".
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetrilisi funktsioone kasutatakse erinevate nurkade, kolmnurkade ja perioodilised funktsioonid. Trigonomeetria õppimine aitab teil neid omadusi mõista. Koolitegevus ja iseseisev töö aitab teil omandada trigonomeetria põhitõdesid ja mõista paljusid perioodilisi protsesse.
Sammud
Õppige trigonomeetria põhitõdesid
- hüpotenuus - pikim külg täisnurkne kolmnurk;
- nürinurk - nurk üle 90 kraadi;
- teravnurk - nurk alla 90 kraadi.
-
Õppige konstrueerima ühikuringi.Ühikring võimaldab konstrueerida suvalise täisnurkse kolmnurga nii, et hüpotenuus on võrdne ühega. See on kasulik trigonomeetriliste funktsioonidega, nagu siinus ja koosinus, töötamisel. Kui olete ühikringi selgeks õppinud, saate hõlpsalt leida teatud nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja lahendada nende nurkade kolmnurkade probleeme.
- Näide 1. 30-kraadise nurga siinus on 0,50. See tähendab, et pikkus vastupidine see nurk jalg võrdub poolega hüpotenuusi pikkusest.
- Näide 2. Kasutades antud suhe saate arvutada kolmnurga hüpotenuusi pikkuse, mille nurk on 30 kraadi ja selle nurga vastas oleva jala pikkus on 7 sentimeetrit. Sel juhul on hüpotenuusi pikkus 14 sentimeetrit.
-
Tutvuge trigonomeetriliste funktsioonidega. On kuus põhilist trigonomeetrilist funktsiooni, mida peate trigonomeetria õppimisel teadma. Need funktsioonid esindavad suhteid erinevate osapoolte poolt täisnurkne kolmnurk ja aitab mõista mis tahes kolmnurga omadusi. Need kuus funktsiooni on järgmised:
- siinus (patt);
- koosinus (cos);
- puutuja(tg);
- sekant(sek);
- kosekant (cosec);
- kotangent (ctg).
-
Pidage meeles funktsioonide vahelisi seoseid. Trigonomeetria õppimisel on äärmiselt oluline mõista, et kõik trigonomeetrilised funktsioonid on omavahel seotud. Kuigi siinus-, koosinus-, puutuja- ja muid funktsioone kasutatakse erineval viisil, kasutatakse neid laialdaselt, kuna nende vahel on teatud seosed. Neid seoseid on ühikuringi kasutades lihtne mõista. Õppige kasutama üksuse ring, ja selles kirjeldatud suhete abil saate lahendada palju probleeme.
Trigonomeetria rakendamine
-
Siit saate teada peamiste trigonomeetriat kasutavate teadusvaldkondade kohta. Trigonomeetria on kasulik paljudes matemaatika ja muudes valdkondades täppisteadused. Trigonomeetria abil saate leida nurkade ja sirgete segmentide väärtused. Lisaks võivad trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldada mis tahes tsükliline protsess.
- Näiteks vedru võnkumisi saab kirjeldada siinusfunktsiooniga.
-
Mõelge partiiprotsessidele. Mõnikord abstraktsed mõisted matemaatika ja muud täppisteadused on raskesti mõistetavad. Kuid nad on meid ümbritsevas maailmas olemas ja see võib muuta nende mõistmise lihtsamaks. Vaadake lähemalt ümbritsevaid perioodilisi nähtusi ja proovige neid seostada trigonomeetriaga.
- Kuul on ennustatav tsükkel, mis kestab umbes 29,5 päeva.
-
Kujutage ette, kuidas saaksite uurida looduslikke tsükleid. Kui mõistate, et looduses toimub palju perioodilisi protsesse, mõelge, kuidas saate neid protsesse uurida. Kujutage vaimselt ette, kuidas sellised protsessid graafikul välja näevad. Graafikut kasutades saate luua võrrandi, mis kirjeldab vaadeldavat nähtust. Siin tulevad kasuks trigonomeetrilised funktsioonid.
- Kujutage ette mõõna ja mõõna mererannas. Tõusu ajal tõuseb vesi kuni teatud tase, ja siis mõõn kustub ja veetase langeb. Pärast mõõna järgneb taas mõõn ja veetase tõuseb. See tsükliline protsess võib kesta lõputult. Seda saab kirjeldada trigonomeetrilise funktsiooniga, näiteks koosinusega.
Tutvuge materjaliga eelnevalt
-
Lugege vastavat jaotist. Mõnel inimesel on trigonomeetria mõistetest esimest korda raske aru saada. Kui tutvud enne tundi vastava materjaliga, saad sellest paremini aru. Proovi õpitavat ainet sagedamini korrata – nii avastad rohkem omavahelisi seoseid erinevad mõisted ja trigonomeetria mõisted.
- Lisaks võimaldab see eelnevalt tuvastada ebaselged punktid.
-
Tee märkmeid. Kuigi õpiku sirvimine on parem kui mitte midagi, nõuab trigonomeetria õppimine aeglast ja läbimõeldud lugemist. Mis tahes jaotist uurides tehke üksikasjalikke märkmeid. Pidage meeles, et trigonomeetria teadmised kogunevad järk-järgult ja uus materjal tugineb varem õpitule, nii et juba õpitu kohta märkmete tegemine aitab teil edasi liikuda.
- Muuhulgas kirjutage üles kõik küsimused, mis teil on, et saaksite küsida oma õpetajalt.
-
Lahenda õpikus toodud ülesandeid. Isegi kui trigonomeetria on teie jaoks lihtne, peate ikkagi probleeme lahendama. Veendumaks, et saate õpitud materjalist tõesti aru, proovige enne tundi lahendada mõned probleemid. Kui teil on sellega probleeme, otsustate, mida täpselt peate tunni ajal välja mõtlema.
- Paljud õpikud annavad probleemidele vastused lõpus. Nende abiga saate kontrollida, kas lahendasite probleemid õigesti.
-
Võtke klassi kaasa kõik vajalik.Ärge unustage oma märkmeid ja probleemide lahendusi. Need käepärast olevad materjalid aitavad teil värskendada mälu juba käsitletu kohta ja materjali uurimisel edasi liikuda. Täpsustage ka kõiki õpiku eellugemisel tekkinud küsimusi.
Muud jaotised
Sõna "trigonomeetria" esmakordselt leitud (1505) saksa teoloogi ja matemaatiku Pitiscuse raamatu pealkirjas. Selle sõna päritolu on kreeka keel: xpiyrovov - kolmnurk, tsetreso - mõõt. Teisisõnu, trigonomeetria on kolmnurkade mõõtmise teadus. Kuigi nimi tekkis suhteliselt hiljuti, olid paljud trigonomeetriaga seotud mõisted ja faktid teada juba kaks tuhat aastat tagasi.
Kontseptsioonil on pikk ajalugusinus Tegelikult erinevad suhted kolmnurga ja ringi lõigud (ja sisuliselt trigonomeetrilised funktsioonid) leiti juba 3. sajandil. eKr e. Vana-Kreeka suurte matemaatikute – Eukleidese, Archimedese, Perga Apolloniose – töödes. Rooma ajal uuris neid suhteid üsna süstemaatiliselt juba Menelaus (1. sajand pKr), kuigi nad ei saanud erilist nime.
Järgneval perioodil matemaatika pikka aega kõige aktiivsemalt välja töötanud India ja Araabia teadlased. IV-V sajandil. Eelkõige ilmus spetsiaalne termin India suure teadlase Aryabhata (476 - ca 550) astronoomiaalastesse töödesse, kelle järgi sai nime esimene India satelliit Maa peal. Ta nimetas segmenti ardhajivaks.
Hiljem rohkem kui lühike nimi jiva. Araabia matemaatikud 9. sajandil. sõna jiva (või jiba) asendati sõnaga araabia sõna jibe (punn). Araabia keele tõlkimisel matemaatilised tekstid 12. sajandil see sõna on asendatud ladinakeelsegasinus (siinus - painutus, kumerus).
Sõna koosinus on palju noorem.Koosinus on lühend ladinakeelsest väljendist Complementy sinus, st "lisasiinus" (või muul viisil "lisakaare siinus"; pidage meeles, cos a = sin (90° - a)).Puutujad tekkis seoses varju pikkuse määramise probleemi lahendamisega. Tangens (nagu ka kotangent, sekant ja kosekant) võeti kasutusele 10. sajandil. Araabia matemaatik Abul-Wafa, kes koostas esimesed tabelid puutujate ja kotangentide leidmiseks. Need avastused jäid aga Euroopa teadlastele pikaks ajaks tundmatuks ja puutujad taasavastati 14. sajandil. algul inglise teadlase T. Braverdini poolt ja hiljem Saksa matemaatik, astronoom Regiomontanus (1467).
Nimetus "puutuja", mis tuleneb ladinakeelsest sõnast tanger (puudutada), ilmus aastal 1583. Tangens on tõlgitud kui "puudutav" (puutuja on ühikuringi puutuja).
Kaasaegsed nimetusedarcsin ja arctg ilmuvad 1772. aastal Viini matemaatiku Scherferi ja kuulsa prantsuse teadlase Lagrange'i töödes, kuigi mõnevõrra varem oli neid käsitlenud juba erinevat sümboolikat kasutav J. Bernoulli. Kuid need sümbolid said üldtunnustatud alles aastal XVIII lõpp sajandite jooksul. Eesliide "kaar" pärineb ladina keelest arcus(vibu, kaar), mis on üsna kooskõlas mõiste tähendusega: näiteks arcsin x on nurk (ja võib öelda ka kaar), mille siinus võrdub x-ga.
Pikka aega arenes trigonomeetria geomeetria osana. Vahest suurimad stiimulid trigonomeetria arendamiseks tekkisid seoses astronoomiaülesannete lahendamisega, mis pakkusid suurt praktilist huvi (näiteks laeva asukoha määramise ülesannete lahendamiseks, varjutuste ennustamiseks jne).
Astronoomid tundsid huvi sfääriliste kolmnurkade külgede ja nurkade vahel, mis koosnevad suured ringid, lamades keral.
Igal juhul sisse geomeetriline kuju paljud trigonomeetria valemid avastasid ja taasavastasid Vana-Kreeka, India ja Araabia matemaatikud. (Tõsi, trigonomeetriliste funktsioonide erinevuse valemid said tuntuks alles 17. sajandil – need tuletas inglise matemaatik Napier, et lihtsustada arvutusi trigonomeetriliste funktsioonidega. Ja esimene siinuslaine joonis ilmus 1634. aastal.)
Põhimõttelise tähtsusega oli C. Ptolemaiose esimese siinuste tabeli koostamine (pikka aega nimetati seda akorditabeliks): ilmus praktiline vahend seeria lahendamiseks. rakendatud probleemid ja eelkõige astronoomia ülesandeid.Trigonomeetria tänapäevase vormi andis suurim matemaatik XVIII sajand L . Euler(1707-1783), sünnilt šveitslane, pikki aastaid töötas Venemaal ja oli liige Peterburi Akadeemia Sci. Euler oli see, kes esmakordselt tutvustas tuntud määratlused trigonomeetrilisi funktsioone, hakkas arvestama suvalise nurga funktsioone ja sai redutseerimisvalemid. Kõik see on väike osa sellest pikk eluiga Euler suutis matemaatikas palju ära teha: ta jättis üle 800 töö, tõestas paljusid, millest on saanud klassikalised teoreemid, mis on seotud kõige rohkem erinevad valdkonnad matemaatika. (Hoolimata asjaolust, et Euler kaotas 1776. aastal nägemise, ta viimased päevad dikteeris üha uusi ja uusi teoseid.)
Pärast Eulerit omandas trigonomeetria arvutuse vormi: erinevaid fakte hakati tõestama trigonomeetria valemite formaalse rakendamise kaudu, tõestused muutusid palju kompaktsemaks ja lihtsamaks.
Trigonomeetria ulatus hõlmab kõige rohkem erinevad valdkonnad matemaatika, mõned loodusteaduste ja tehnika osad.
Trigonomeetriat on mitut tüüpi:
Sfääriline trigonomeetria tegeleb sfääriliste kolmnurkade uurimisega.
Sirgjooneline või tasapinnaline trigonomeetria uurib tavaliselt kolmnurki.
Vana-Kreeka ja hellenistlikud teadlased arendasid trigonomeetriat märkimisväärselt. Eukleidese ja Archimedese töödes on trigonomeetria aga esitatud aastal geomeetriline vorm. Akordi pikkuse teoreeme rakendatakse siinuste seadustele. Ja Archimedese akordide jagamise teoreem vastab nurkade summa ja erinevuse siinuste valemitele.Praegu kasutavad matemaatikud tuntud teoreemide uut tähistust, näiteks sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.
Oletatavasti koostati esimesed trigonomeetrilised tabelid Nikaia Hipparkhos, keda peetakse õigustatult "trigonomeetria isaks". Teda tunnustatakse nurkade seeria kaare ja kõõlude suurusjärkude kokkuvõtliku tabeli loomise eest. Veelgi enam, Nikaia Hipparkhos hakkas esmakordselt kasutama 360° ringi.
Claudius Ptolemaios arendas ja laiendas oluliselt Hipparkhose õpetusi. Ptolemaiose teoreem loeb: toodete summa vastasküljed tsüklilise nelinurga korrutis on võrdne tema diagonaalide korrutisega. Ptolemaiose teoreemi tagajärg oli siinuse ja koosinuse nelja summa- ja erinevusvalemi samaväärsuse mõistmine. Lisaks tuletas Ptolemaios valemi poolnurk. Ptolemaios kasutas kõiki oma tulemusi trigonomeetriliste tabelite koostamisel. Kahjuks mitte ühtegi ehtsat trigonomeetriline tabel Hipparkhos ja Ptolemaios pole tänapäevani säilinud.
Trigonomeetrilised arvutused on leidnud oma rakenduse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades.
Trigonomeetria (triangulatsioonitehnika) abil saate mõõta tähtede vahelisi kaugusi, geograafia orientiiride vahel ning juhtida satelliitnavigatsioonisüsteeme.
Trigonomeetriat kasutatakse edukalt navigatsioonitehnikas, muusikateoorias, akustikas, optikas, finantsturgude analüüsis, elektroonikas, tõenäosusteoorias, statistikas, bioloogias ja meditsiinis, keemias ja arvuteoorias (krüptograafia), seismoloogias, meteoroloogias, okeanoloogias, kartograafias, topograafias ja geodeesia, arhitektuur ja foneetika, masinaehitus ja arvutigraafika e.- Korrata trigonomeetria põhivalemeid ja kinnistada oma teadmisi harjutuste käigus;
- Arendada enesekontrollioskusi ja oskust töötada arvutiesitlusega.
- Soodustada vastutustundlikku suhtumist akadeemilisse töösse, tahet ja pealehakkamist lõpptulemuste saavutamiseks.
Varustus: Arvutid, arvutiesitlus.
Oodatud Tulemus:
- Iga õpilane peaks teadma trigonomeetria valemeid ja oskama neid teisendamiseks rakendada trigonomeetrilised avaldised nõutavate tulemuste tasemel.
- Teadke nende valemite tuletamist ja oskate neid rakendada trigonomeetriliste avaldiste teisendamiseks.
- Tunneb trigonomeetria valemeid, oskab neid valemeid tuletada ja rakendada keerukamatele trigonomeetrilistele avaldistele.
Tunni peamised etapid:
- Tunni teema, eesmärgi, eesmärkide ja õppetegevuse motivatsiooni edastamine.
- Sõnaline loendamine
- Sõnum matemaatika ajaloost
- Trigonomeetria valemite kordamine (alates 9. klassist) kasutades arvutiesitlus
- Rakendus trigonomeetrilised valemid väljenduse teisendamiseks
- Testi käivitamine
- Õppetunni kokkuvõte
- Kodutööde ülesannete seadmine
Tundide ajal
I. Aja organiseerimine.
Tunni teema, eesmärgi, eesmärkide ja õppetegevuse motivatsiooni edastamine
II. Suuline töö(ülesanded on igale õpilasele eelnevalt trükitud):
Kolmnurga kahe nurga radiaanmõõt on võrdne ja . Leidke kolmnurga iga nurga kraadimõõt. Vastus: 60, 30, 90
Leidke kolmnurga nurkade radiaanmõõt, kui nende väärtused on suhtes 2:3:4. Vastus: , ,
Kas koosinus võib olla võrdne: a) , b) , c), d) , e) -2? Vastus: a) jah; b) ei; c) ei; d) jah; d) jah.
Kas siinus võib olla võrdne: a) –3,7 b) , c)? Vastus: a) ei; b) jah; c) ei.
Milliste a ja b väärtuste korral kehtivad järgmised võrdsused: a) cos x = ; b)sin x=; c) cos x= ; d) tan x= ; e) sin x = a? Vastus: a) /a/ 7; b) /a/ ; c) 0 d) b – suvaline arv; d) -
III. Sõnum trigonomeetria ajaloost (lühike ajalooline taust):
Trigonomeetria tekkis ja arenes antiikajal ühe astronoomia haruna, selle arvutusseadmena, mis vastab inimese praktilistele vajadustele.
Osa trigonomeetrilist teavet teadsid muistsed babüloonlased ja egiptlased, kuid selle teaduse alused pandi paika Vana-Kreekas.
Kreeka astronoom Hipparkhos 2. sajandil. eKr e. koostas tabeli arvväärtusi akordid sõltuvalt nende allutatud kaare suurusest. Täielikum teave trigonomeetria kohta on Ptolemaiose kuulsas "Almagestis". Tehtud arvutused võimaldasid Ptolemaiosel koostada tabeli, mis sisaldas akorde vahemikus 0 kuni 180.
Siinus- ja koosinusliinide nimed võtsid esmakordselt kasutusele India teadlased. Nad koostasid ka esimesed siinuste tabelid, kuigi vähem täpsed kui Ptolemaiose omad.
Indias hakati sisuliselt uurima trigonomeetrilisi suurusi, mida hiljem nimetati goniomeetriaks (sõnast "gonia" - nurk ja "metrio" - mõõt).
17. sajandi lävel. Trigonomeetria arendamisel saab alguse uus suund – analüütiline.
Trigonomeetria annab vajaliku meetodi paljude mõistete ja meetodite väljatöötamiseks füüsikas, mehaanikas, astronoomias, geodoosias, kartograafias ja teistes teadustes tekkivate reaalsete probleemide lahendamiseks. Lisaks on trigonomeetria suureks abiks stereomeetriliste ülesannete lahendamisel.
IV. Arvutites esitlusega töötamine:
"Trigonomeetria põhivalemid" (1. lisa)
Tuletage ette ettevaatusabinõud informaatikaruumis.
- Põhilised trigonomeetrilised identiteedid.
- Lisamise valemid.
- Vähendamise valemid
- Siinuste (koosinuste) summa ja vahe valemid.
- Topeltargumendi valemid.
- Poolargumendi valemid.
V. Trigonomeetriliste valemite rakendamine avaldiste teisendamiseks.
a) Üks õpilane täidab tahvli tagaküljel oleva ülesande, ülejäänud kontrollivad oma kohalt ja tõstavad signaalikaardid (õige – “+”, valesti – “-”) oma kohalt.
Valige vastus.
Lihtsustage väljendit 7 cos - 5.
a) 1+cos; b) 2; kell 12; d) 12
Lihtsusta avaldist 5 – 4 si n
a) 1; b) 9; c) 1+8sin; d) 1+cos.
-
Tutvuge kolmnurga mõistega. Põhimõtteliselt on trigonomeetria uurimine erinevad suhted kolmnurkades. Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka. Iga kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. Trigonomeetria õppimisel peate tutvuma kolmnurkade ja nendega seotud mõistetega, näiteks: