Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid lahendatakse reeglina valemite abil. Lubage mul teile meelde tuletada, et kõige lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x on leitav nurk,
a on suvaline arv.
Ja siin on valemid, mille abil saate nende lihtsamate võrrandite lahendid kohe kirja panna.
Siinuse jaoks:
Koosinuse jaoks:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Tangensi jaoks:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Kotangensi jaoks:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Tegelikult on see kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise teoreetiline osa. Pealegi kõike!) Üldse mitte midagi. Selle teema vigade arv on aga lihtsalt edetabelitest väljas. Eriti kui näide mallist veidi kõrvale kaldub. Miks?
Jah, kuna paljud inimesed kirjutavad need kirjad üles, nende tähendust üldse mõistmata! Ta kirjutab üles ettevaatlikult, et midagi ei juhtuks...) See tuleb lahendada. Trigonomeetria inimestele või inimesed trigonomeetria jaoks!?)
Mõtleme selle välja?
Üks nurk on võrdne arccos a, teine: -arccos a.
Ja see läheb alati nii. Iga A.
Kui te mind ei usu, hõljutage kursorit pildi kohal või puudutage pilti oma tahvelarvutis.) Muutsin numbrit A millelegi negatiivsele. Igatahes saime ühe nurga arccos a, teine: -arccos a.
Seetõttu saab vastuse alati kirjutada kahe juurte seeriana:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ühendame need kaks seeriat üheks:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ja ongi kõik. Oleme saanud üldvalemi lihtsaima koosinusega trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks.
Kui mõistate, et see pole mingi üliteaduslik tarkus, vaid vaid kahe vastuse seeria lühendatud versioon, Samuti saad hakkama ülesannetega “C”. Ebavõrdsustega, juurte valimisega antud intervallist... Seal pluss/miinus vastus ei tööta. Aga kui käsitlete vastust asjalikult ja jagate selle kaheks erinevaks vastuseks, siis kõik laheneb.) Tegelikult see on põhjus, miks me seda uurime. Mida, kuidas ja kus.
Kõige lihtsamas trigonomeetrilises võrrandis
sinx = a
saame ka kaks seeriat juuri. Alati. Ja neid kahte sarja saab ka salvestada ühes reas. Ainult see rida on keerulisem:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Kuid olemus jääb samaks. Matemaatikud koostasid lihtsalt valemi, et teha juurte seeriate jaoks kahe kirje asemel üks. See on kõik!
Kontrollime matemaatikuid? Ja kunagi ei tea...)
Eelmises õppetükis käsitleti üksikasjalikult siinuse trigonomeetrilise võrrandi lahendust (ilma valemiteta):
Vastus andis tulemuseks kaks juurte seeriat:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Kui lahendame sama võrrandi valemiga, saame vastuse:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Tegelikult on see lõpetamata vastus.) Õpilane peab seda teadma arcsin 0,5 = π /6. Täielik vastus oleks:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
See tõstatab huvitava küsimuse. Vasta kaudu x 1; x 2 (see on õige vastus!) ja läbi üksildase X (ja see on õige vastus!) - kas need on samad asjad või mitte? Saame nüüd teada.)
Asendame vastuses sõnaga x 1 väärtused n =0; 1; 2; jne, loendame, saame juurte jada:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ja nii edasi.
Sama asendusega vastuseks x 2 , saame:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ja nii edasi.
Nüüd asendame väärtused n (0; 1; 2; 3; 4...) ühekordse üldvalemisse X . See tähendab, et tõstame miinus ühe nullvõimsusele, seejärel esimesele, teisele jne. Muidugi, me asendame 0 teise liikmega; 1; 2 3; 4 jne. Ja me loeme. Saame sarja:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ja nii edasi.
See on kõik, mida näete.) Üldvalem annab meile täpselt samad tulemused nagu ka kaks vastust eraldi. Lihtsalt kõik korraga, järjekorras. Matemaatikud ei lasknud end petta.)
Samuti saab kontrollida tangensi ja kotangensiga trigonomeetriliste võrrandite lahendamise valemeid. Aga me ei tee seda.) Need on juba lihtsad.
Kirjutasin kogu selle asendamise ja kontrolli konkreetselt välja. Siin on oluline mõista ühte lihtsat asja: elementaarsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on valemid, vaid lühike kokkuvõte vastustest. Selle lühiduse huvides pidime koosinuslahusesse sisestama pluss/miinus ja siinuslahendusse (-1) n.
Need lisad ei sega kuidagi ülesannetesse, kus tuleb lihtsalt elementaarvõrrandi vastus kirja panna. Aga kui teil on vaja lahendada ebavõrdsus või siis vastusega midagi ette võtta: valida intervalli juured, kontrollida ODZ-d jne, võivad need sisestused inimese kergesti häirida.
Mida ma siis tegema peaksin? Jah, kas kirjuta vastus kahes seerias või lahenda võrrand/võrratus trigonomeetrilise ringi abil. Siis need sisestused kaovad ja elu muutub lihtsamaks.)
Võime kokkuvõtte teha.
Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on valmis vastusevalemid. Neli tükki. Need sobivad võrrandi lahendi koheseks kirjutamiseks. Näiteks peate lahendama võrrandid:
sinx = 0,3
Lihtsalt: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Pole probleemi: x = ± kaared 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lihtsalt: x = arctaan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Üks jäänud: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Kui te, teadmistest särades, kirjutate kohe vastuse:
x= ± kaared 1,8 + 2π n, n ∈ Z
siis sa juba särad, see... see... lombist.) Õige vastus: lahendusi pole. Ei saa aru, miks? Loe, mis on kaarekoosinus. Lisaks, kui algse võrrandi paremal küljel on siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi tabeliväärtused, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ja nii edasi. - vastus läbi kaare jääb lõpetamata. Kaared tuleb teisendada radiaanideks.
Ja kui puutute kokku ebavõrdsusega, nagu
siis vastus on:
x πn, n ∈ Z
seal on haruldane jama, jah...) Siin tuleb lahendada trigonomeetrilise ringi abil. Mida me vastavas teemas teeme.
Neile, kes neid ridu kangelaslikult ette loevad. Ma lihtsalt ei saa jätta hindamata teie titaanlikke pingutusi. Boonus teile.)
Boonus:
Ärevust tekitavas lahinguolukorras valemeid üles kirjutades satuvad isegi kogenud nohikud sageli segadusse, kus πn, Ja kus 2π n. Siin on teile lihtne nipp. sisse kõik valemid väärt πn. Välja arvatud ainus kaarekoosinusega valem. See seisab seal 2πn. Kaks peen. Märksõna - kaks. Selles samas valemis on olemas kaks märk alguses. Pluss ja miinus. Siin-seal - kaks.
Nii et kui sa kirjutasid kaks märk enne kaarekoosinust, siis on lihtsam meeles pidada, mis lõpus juhtub kaks peen. Ja see juhtub ka vastupidi. Inimene jääb märgist ilma ± , jõuab lõpuni, kirjutab õigesti kaks Pien, ja ta tuleb mõistusele. Midagi on ees kaks märk! Inimene naaseb algusesse ja parandab vea! Nagu nii.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Paljude lahendamisel matemaatilisi probleeme, eriti need, mis toimuvad enne 10. klassi, on eesmärgini viivate tegevuste järjekord selgelt määratletud. Selliste probleemide hulka kuuluvad näiteks lineaar- ja ruutvõrrandid, lineaar- ja ruutvõrratused, murdvõrrandid ja ruutvõrrandid. Iga mainitud probleemi eduka lahendamise põhimõte on järgmine: peate kindlaks määrama, millist tüüpi probleemi te lahendate, jätke meelde vajalik toimingute jada, mis viib soovitud tulemuseni, s.t. vastake ja järgige neid samme.
On ilmne, et konkreetse probleemi lahendamise õnnestumine või ebaõnnestumine sõltub peamiselt sellest, kui õigesti on lahendatava võrrandi tüüp määratud, kui õigesti reprodutseeritakse selle lahendamise kõigi etappide jada. Loomulikult on sel juhul vaja oskusi teha identseid teisendusi ja arvutusi.
Olukord on erinev trigonomeetrilised võrrandid. Pole sugugi raske kindlaks teha, et võrrand on trigonomeetriline. Raskused tekivad õige vastuseni viivate toimingute jada kindlaksmääramisel.
Mõnikord on võrrandi välimuse põhjal raske selle tüüpi määrata. Ja võrrandi tüüpi teadmata on peaaegu võimatu valida õige mitmekümne trigonomeetrilise valemi hulgast.
Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks peate proovima:
1. viia kõik võrrandis sisalduvad funktsioonid “samade nurkade alla”;
2. viige võrrand "identsete funktsioonide" juurde;
3. koefitsiendi võrrandi vasak pool jne.
Mõelgem trigonomeetriliste võrrandite lahendamise põhimeetodid.
I. Taandamine lihtsaimateks trigonomeetrilisteks võrranditeks
Lahendusskeem
Samm 1. Väljendage trigonomeetrilist funktsiooni tuntud komponentide kaudu.
2. samm. Leidke funktsiooni argument valemite abil:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctaan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
3. samm. Leidke tundmatu muutuja.
Näide.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Lahendus.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Vastus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Muutuv asendus
Lahendusskeem
Samm 1. Taandage võrrand ühe trigonomeetrilise funktsiooni suhtes algebraliseks vormiks.
2. samm. Märgistage saadud funktsiooni muutujaga t (vajadusel seadke t-le sisse piirangud).
3. samm. Kirjutage üles ja lahendage saadud algebraline võrrand.
4. samm. Tehke vastupidine asendus.
5. samm. Lahendage lihtsaim trigonomeetriline võrrand.
Näide.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Lahendus.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Olgu sin (x/2) = t, kus |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 või e = -3/2, ei täida tingimust |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Vastus: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Võrrandi järjekorra vähendamise meetod
Lahendusskeem
Samm 1. Asendage see võrrand lineaarsega, kasutades astme vähendamise valemit:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. samm. Lahendage saadud võrrand meetodite I ja II abil.
Näide.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Lahendus.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Vastus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogeensed võrrandid
Lahendusskeem
Samm 1. Taandage see võrrand vormile
a) a sin x + b cos x = 0 (esimese astme homogeenne võrrand)
või vaatele
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (teise astme homogeenne võrrand).
2. samm. Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
ja hankige tan x võrrand:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
3. samm. Lahendage võrrand tuntud meetoditega.
Näide.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Lahendus.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Olgu siis tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 või t = -4, mis tähendab
tg x = 1 või tg x = -4.
Esimesest võrrandist x = π/4 + πn, n Є Z; teisest võrrandist x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Vastus: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Võrrandi teisendamise meetod trigonomeetriliste valemite abil
Lahendusskeem
Samm 1. Kasutades kõiki võimalikke trigonomeetrilisi valemeid, taandage see võrrand võrrandiks, mis on lahendatud meetoditega I, II, III, IV.
2. samm. Lahendage saadud võrrand tuntud meetoditega.
Näide.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Lahendus.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 või 2cos x + 1 = 0;
Esimesest võrrandist 2x = π/2 + πn, n Є Z; teisest võrrandist cos x = -1/2.
Meil on x = π/4 + πn/2, n Є Z; teisest võrrandist x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Selle tulemusena x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Vastus: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskus ja oskus on väga 
oluline, nende arendamine nõuab märkimisväärset pingutust nii õpilaselt kui ka õpetajalt.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega on seotud paljud stereomeetria, füüsika jm probleemid. Selliste ülesannete lahendamise protsess kätkeb endas paljusid teadmisi ja oskusi, mis omandatakse trigonomeetria elemente uurides.
Trigonomeetrilistel võrranditel on oluline koht matemaatika õppimise ja isikliku arengu protsessis üldiselt.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!
Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tan x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja nende valemeid käsitleme edasi.
Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame üles igaühe juurvalemid.
1. Võrrand "sin x=a".
„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.
Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Võrrand „cos x=a”.
`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole sellel reaalarvude hulgas lahendeid.
Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes. 
3. Võrrand „tg x=a”.
Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Võrrand „ctg x=a”.
Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid
Siinuse jaoks: 
Koosinuse jaoks: 
Tangensi ja kotangensi jaoks: 
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid
Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:
- selle lihtsaimaks muutmise abil;
- lahendage ülalpool kirjutatud juurvalemite ja tabelite abil saadud lihtsaim võrrand.
Vaatame näidete abil peamisi lahendusviise.
Algebraline meetod.
See meetod hõlmab muutuja asendamist ja selle asendamist võrdsusega.
Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",
leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:
1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktoriseerimine.
Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.
Lahendus. Liigutame kõik võrdsuse liikmed vasakule: `sin x+cos x-1=0`. Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:
"sin x — 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Taandamine homogeenseks võrrandiks
Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi taandama ühele kahest vormist:
`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).
Seejärel jagage mõlemad osad väärtusega „cos x \ne 0” (esimesel juhul) ja „cos^2 x \ne 0” teise puhul. Saame `tg x` võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb teadaolevate meetoditega lahendada.
Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame selle vasaku ja parema külje `cos^2 x \ne 0`-ga, saame:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Tutvustame asendust „tg x=t”, mille tulemuseks on „t^2 + t – 2=0”. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:
- „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
- „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.
Liikumine poolnurgale
Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Lahendus. Rakendame topeltnurga valemeid, mille tulemuseks on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.
Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:
- „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
- „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Abinurga tutvustus
Trigonomeetrilises võrrandis 'a sin x + b cos x =c', kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagage mõlemad pooled väärtusega "sqrt (a^2+b^2)".
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".
Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt on nende ruutude summa võrdne 1-ga ja nende moodulid ei ole suuremad kui 1. Tähistame neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, siis:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Vaatame lähemalt järgmist näidet:
Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.
Lahendus. Jagage võrdsuse mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)-ga, saame:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.
Tähistame `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, siis võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:
„sin (x+\varphi)=2/5”,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid
Need on võrdsused murdudega, mille lugejad ja nimetajad sisaldavad trigonomeetrilisi funktsioone.
Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Lahendus. Korrutage ja jagage võrdsuse parem külg arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0
Arvestades, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Võrdlustame murru lugeja nulliga: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Seejärel „sin x=0” või „1-sin x=0”.
- „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
- „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.
Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.
Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".
Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppimine algab 10. klassist, ühtse riigieksami jaoks on alati ülesandeid, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need on teile kindlasti kasulikud!
Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata seda tuletada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.
Nõuab teadmisi trigonomeetria põhivalemitest – siinuse ja koosinuse ruutude summast, siinuse ja koosinuse kaudu puutuja väljendamisest jm. Neile, kes on need unustanud või ei tea, soovitame lugeda artiklit "".
Niisiis, me teame põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, on aeg neid praktikas kasutada. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamineõige lähenemisega on see päris põnev tegevus, nagu näiteks Rubiku kuubiku lahendamine.
Nime enda põhjal on selge, et trigonomeetriline võrrand on võrrand, milles tundmatu on trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.
On olemas nn lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Need näevad välja sellised: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mõelgem kuidas selliseid trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada, selguse huvides kasutame juba tuttavat trigonomeetrilist ringi.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
võrevoodi x = a
Iga trigonomeetriline võrrand lahendatakse kahes etapis: taandame võrrandi lihtsaimale kujule ja seejärel lahendame selle lihtsa trigonomeetrilise võrrandina.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on 7 peamist meetodit.
Muutuja asendamine ja asendusmeetod
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine faktoriseerimise teel
Taandamine homogeenseks võrrandiks
Võrrandite lahendamine poolnurgale ülemineku kaudu
Abinurga tutvustus
Lahendage võrrand 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Redutseerimisvalemeid kasutades saame:
2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0
Asendage cos(x + /6) y-ga, et lihtsustada ja saada tavaline ruutvõrrand:
2 a 2 – 3 a + 1 + 0
Mille juured on y 1 = 1, y 2 = 1/2
Nüüd läheme vastupidises järjekorras
Asendame y leitud väärtused ja saame kaks vastusevarianti:
Kuidas lahendada võrrandit sin x + cos x = 1?
Liigutame kõik vasakule, nii et 0 jääks paremale:
sin x + cos x – 1 = 0
Võrrandi lihtsustamiseks kasutame ülalpool käsitletud identiteete:
sin x – 2 sin 2 (x/2) = 0
Tegutseme:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Saame kaks võrrandit
Võrrand on siinuse ja koosinuse suhtes homogeenne, kui kõik selle liikmed on sama nurga sama astme siinuse ja koosinuse suhtes. Homogeense võrrandi lahendamiseks toimige järgmiselt.
a) viivad kõik oma liikmed vasakule küljele;
b) võta sulgudest välja kõik levinud tegurid;
c) võrdsusta kõik tegurid ja sulud 0-ga;
d) sulgudes saadakse madalama astme homogeenne võrrand, mis omakorda jagatakse kõrgema astme siinus- või koosinusteks;
e) lahendage saadud võrrand tg jaoks.
Lahendage võrrand 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Kasutame valemit sin 2 x + cos 2 x = 1 ja vabaneme paremalt avatud kahest:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Jagage cos x-iga:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Asendage tan x y-ga ja saate ruutvõrrandi:
y 2 + 4y +3 = 0, mille juured on y 1 =1, y 2 = 3
Siit leiame algsele võrrandile kaks lahendust:
x 2 = arctan 3 + k
Lahendage võrrand 3sin x – 5cos x = 7
Liigume edasi x/2 juurde:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Liigutame kõik vasakule:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Jagage cos-iga (x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0
Vaatlemiseks võtame võrrandi kujul: a sin x + b cos x = c,
kus a, b, c on suvalised koefitsiendid ja x on tundmatu.
Jagame võrrandi mõlemad pooled järgmisega:
Nüüd on võrrandi kordajatel trigonomeetriliste valemite järgi omadused sin ja cos, nimelt: nende moodul ei ole suurem kui 1 ja ruutude summa = 1. Tähistame neid vastavalt kui cos ja sin, kus - see on nn abinurk. Siis saab võrrand järgmise kuju:
cos * sin x + sin * cos x = C
või sin(x + ) = C
Selle lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi lahendus on
x = (-1) k * arcsin C - + k, kus
Tuleb märkida, et tähised cos ja sin on omavahel asendatavad.
Lahendage võrrand sin 3x – cos 3x = 1
Selle võrrandi koefitsiendid on järgmised:
a = , b = -1, seega jagage mõlemad pooled = 2-ga
Tund ja ettekanne teemal: "Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?
3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.
Mis on trigonomeetrilised võrrandid?
Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arktangentsi ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.
Trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.
Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:
1) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:
3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk
5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk
Kõigi valemite puhul on k täisarv
Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: T(kx+m)=a, T on mingi trigonomeetriline funktsioon.
Näide.Lahendage võrrandid: a) sin(3x)= √3/2
Lahendus:
A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:
Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Pöördume tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.
Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.
Lahendage võrrandid: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Lahendus:
A) Liigume seekord otse võrrandi juurte arvutamise juurde:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk
Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.
B) Kirjutame selle kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.
Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendist kõik juured.
Lahendus:
Lahendame oma võrrandi üldkujul: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X = ± π/16+ πk/2;
Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Punktis k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis.
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabame uuesti.
K=2 puhul x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et suure k puhul me ilmselgelt ka ei taba.
Vastus: x= π/16, x= 9π/16
Kaks peamist lahendusmeetodit.
Vaatasime lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, kuid on ka keerulisemaid. Nende lahendamiseks kasutatakse uue muutuja sisseviimise meetodit ja faktoriseerimise meetodit. Vaatame näiteid.Lahendame võrrandi:
Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mis tähistab: t=tg(x).
Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0
Leiame ruutvõrrandi juured: t=-1 ja t=1/3
Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saame lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Näide võrrandi lahendamisest
Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0
Lahendus:
Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Meie võrrand on kujul: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2
Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.
Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.
Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Vastus: x= ±2π/3 + 2πk
Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
Definitsioon: võrrandeid kujul a sin(x)+b cos(x) nimetatakse esimese astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks.Vormi võrrandid
teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagage see cos(x)-ga: 
Koosinusega ei saa jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii ei oleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei ole korraga võrdsed nulliga, saame vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.
Lahendage võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0
Lahendus:
Võtame välja ühisteguri: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:
Cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 juures x= π/2 + πk;
Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk
Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, järgige alati neid reegleid!
1. Vaata millega võrdub koefitsient a, kui a=0, siis saab meie võrrand kujul cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), mille lahenduse näide on eelmisel slaidil
2. Kui a≠0, siis peate jagama võrrandi mõlemad pooled koosinuse ruuduga, saame:
Muudame muutujat t=tg(x) ja saame võrrandi:
Lahenda näide nr:3
Lahendage võrrand:Lahendus:
Jagame võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga: 
Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Leiame ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1
Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk
Lahenda näide nr:4
Lahendage võrrand:Lahendus:
Muudame oma väljendit:
Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk
Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk
Lahenda näide nr.:5
Lahendage võrrand:Lahendus:
Muudame oma väljendit:
Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2
Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Probleemid iseseisvaks lahendamiseks.
1) Lahenda võrrandA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Lahendage võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].
3) Lahendage võrrand: võrevoodi 2 (x) + 2 võrevoodi (x) + 1 =0
4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)