የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ህጎች። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ

የሚባሉትን የሚቆጣጠሩት የሕጎች ትምህርት. የዘፈቀደ ክስተቶች. መዝገበ ቃላት የውጭ ቃላት, በሩሲያ ቋንቋ ውስጥ ተካትቷል. Chudinov A.N., 1910 የሩሲያ ቋንቋ የውጭ ቃላት መዝገበ-ቃላት

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ- - [L.G. Sumenko. በመረጃ ቴክኖሎጂ ላይ እንግሊዝኛ-ሩሲያኛ መዝገበ-ቃላት። ም.፡ የስቴት ኢንተርፕራይዝ TsNIIS, 2003.] ርዕሶች መረጃ ቴክኖሎጂበአጠቃላይ የ EN ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ የችሎታ ስሌት ንድፈ ሀሳብ ... የቴክኒክ ተርጓሚ መመሪያ

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ- በተለያዩ ክስተቶች (ፕሮባቢሊቲ እና ስታቲስቲክስ ይመልከቱ) መካከል ያለውን ግንኙነት የሚያጠና የሂሳብ ክፍል ነው። ከዚህ ሳይንስ ጋር የተያያዙ በጣም አስፈላጊ የሆኑትን ንድፈ ሃሳቦች እንዘርዝር. ከብዙዎቹ የአንዱ የመሆን እድሉ የጋራ ክስተቶችእኩል ነው....... ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላትኤፍ. ብሮክሃውስ እና አይ.ኤ. ኤፍሮን

ፕሮባብሊቲ ቲዎሪ- የሂሳብ ከአንዳንድ የዘፈቀደ ክስተቶች እድሎች (ተመልከት) የሚፈቅድ ሳይንስ ከ k.l ጋር የተያያዙ የዘፈቀደ ክስተቶችን እድሎች ለማግኘት። መንገድ ከመጀመሪያዎቹ ጋር. ዘመናዊ ቲ.ቪ. በአክሲዮማቲክስ (የአክሲዮማቲክ ዘዴን ይመልከቱ) በ A. N. Kolmogorov. በላዩ ላይ… … የሩሲያ ሶሺዮሎጂካል ኢንሳይክሎፔዲያ

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ- ለአንዳንድ የዘፈቀደ ክስተቶች በተሰጡት እድሎች ላይ በመመስረት ፣ ከመጀመሪያው ጋር በተያያዙ መንገዶች የሌሎች ክስተቶች እድሎች የተገኙበት የሂሳብ ቅርንጫፍ። የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እንዲሁ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን እና የዘፈቀደ ሂደቶችን ያጠናል። ከዋና ዋናዎቹ አንዱ....... ጽንሰ-ሐሳቦች ዘመናዊ የተፈጥሮ ሳይንስ. የመሠረታዊ ቃላት መዝገበ-ቃላት

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: english. ፕሮባቢሊቲ ንድፈ vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ፣ f pranc. théorie des probabilités፣ f … ፊዚኮስ ተርሚናል ዞዲናስ

ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ- ... ዊኪፔዲያ

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ- የዘፈቀደ ክስተቶችን ንድፎች የሚያጠና የሂሳብ ትምህርት... የዘመናዊ የተፈጥሮ ሳይንስ ጅምር

ፕሮባብሊቲ ቲዎሪ- (የይቻላል ቲዎሪ) ይመልከቱ ፕሮባቢሊቲ... ትልቅ ገላጭ ሶሺዮሎጂካል መዝገበ ቃላት

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳብ እና አፕሊኬሽኖቹ- (“የይቻላል ጽንሰ-ሀሳብ እና አፕሊኬሽኖቹ” ፣) ሳይንስ መጽሔትየዩኤስኤስአር የሳይንስ አካዳሚ የሂሳብ ክፍል. ኦሪጅናል ጽሑፎችን እና አጭር መልዕክቶችእንደ ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሀሳብ ፣ አጠቃላይ ጉዳዮችየሂሳብ ስታቲስቲክስ እና አፕሊኬሽኖቻቸው በተፈጥሮ ሳይንስ እና ...... ትልቅ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ

መጽሐፍት።

• ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. , ቬንትዘል ኢ.ኤስ.
• ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. , ቬንተዝል ኢ.ኤስ. መጽሐፉ በመደበኛ ወሰን ውስጥ የሂሳብ እውቀት ላላቸው ሰዎች የታሰበ የመማሪያ መጽሐፍ ነው።

የዝግጅቶች ምደባ ወደ በተቻለ ፣ ሊቻል እና በዘፈቀደ። ቀላል እና ውስብስብ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ጽንሰ-ሀሳቦች. በክስተቶች ላይ ክዋኔዎች. ክላሲክ ትርጉምየዘፈቀደ ክስተት እና ባህሪያቱ የመሆን እድሉ። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ የማጣመር አካላት። የጂኦሜትሪክ ዕድል. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞች።

የክስተት ምደባ

ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች አንዱ የአንድ ክስተት ጽንሰ-ሀሳብ ነው። ስር ክስተትበተሞክሮ ወይም በፈተና ምክንያት ሊከሰት የሚችለውን ማንኛውንም እውነታ ይረዱ። ስር ልምድ, ወይም ፈተና, የተወሰኑ ቅድመ ሁኔታዎችን መተግበርን ያመለክታል.

የክስተቶች ምሳሌዎች፡-

- ከጠመንጃ ሲተኮሱ ኢላማውን መምታት (ልምድ - ተኩሶ መሥራት ፣ ክስተት - ኢላማውን መምታት);
- አንድ ሳንቲም ሶስት ጊዜ ሲወረውር ሁለት ምልክቶችን ማጣት (ልምድ - ሳንቲም ሦስት ጊዜ መወርወር; ክስተት - ሁለት ምልክቶች መጥፋት);
- ክልሉን ወደ ዒላማ በሚለካበት ጊዜ በተወሰኑ ገደቦች ውስጥ የመለኪያ ስህተት መታየት (ተሞክሮ - ክልል መለካት ፣ ክስተት - የመለኪያ ስህተት)።

ስፍር ቁጥር የሌላቸው አሉ። ተመሳሳይ ምሳሌዎች. ዝግጅቶች ተመድበዋል። በትላልቅ ፊደላት የላቲን ፊደልወዘተ.

መለየት የጋራ ክስተቶችእና የማይጣጣም. የአንደኛው መከሰት የሌላውን መከሰት ካላስቀረ ክንውኖች የጋራ ይባላሉ። ውስጥ አለበለዚያክስተቶች ተኳሃኝ ያልሆኑ ተብለው ይጠራሉ. ለምሳሌ, ሁለት ዳይስ ይጣላሉ. ክስተት - በመጀመሪያው ላይ ሦስት ነጥቦችን ማግኘት ዳይስ, ክስተቱ በሁለተኛው ሞት ላይ ሶስት ነጥቦችን ማጣት ነው. እና - የጋራ ክስተቶች. መደብሩ ተመሳሳይ ዘይቤ እና መጠን ያላቸውን የጫማዎች ስብስብ ይቀበል ፣ ግን የተለያየ ቀለም. ክስተት - በዘፈቀደ የተወሰደ ሣጥን ጥቁር ጫማዎችን ይይዛል, ክስተት - ሳጥኑ ጫማዎችን ይይዛል ብናማ, እና የማይጣጣሙ ክስተቶች ናቸው.

ክስተቱ ተጠርቷል። አስተማማኝ, በተሰጠው ሙከራ ሁኔታዎች ውስጥ መከሰቱ እርግጠኛ ከሆነ.

በተሰጠው ልምድ ሁኔታዎች ውስጥ ሊከሰት ካልቻለ አንድ ክስተት የማይቻል ይባላል. ለምሳሌ, አንድ መደበኛ ክፍል ከመደበኛ ክፍሎች ስብስብ የሚወሰድበት ሁኔታ አስተማማኝ ነው, መደበኛ ያልሆነ ክፍል ግን የማይቻል ነው.

ክስተቱ ተጠርቷል። ይቻላል, ወይም በዘፈቀደ, በተሞክሮ ምክንያት ሊታይ ይችላል, ግን ላይታይ ይችላል. የዘፈቀደ ክስተት ምሳሌ በምድብ ፍተሻ ወቅት የምርት ጉድለቶችን መለየት ነው። የተጠናቀቁ ምርቶች, በተቀነባበረው ምርት መጠን እና በተጠቀሰው መካከል ያለው ልዩነት, የአንዱ ማገናኛ አለመሳካት አውቶማቲክ ስርዓትአስተዳደር.

ክስተቶቹ ተጠርተዋል እኩል ይቻላል, በፈተና ሁኔታዎች መሰረት, ከእነዚህ ክስተቶች ውስጥ አንዳቸውም ቢሆኑ ከሌሎቹ የበለጠ ሊሆኑ አይችሉም. ለምሳሌ፣ አንድ መደብር በብርሃን አምፖሎች (እና በ እኩል መጠን) በርካታ የማምረቻ ፋብሪካዎች. ከእነዚህ ፋብሪካዎች ውስጥ አምፖል መግዛትን የሚያካትቱ ክስተቶች እኩል ሊሆኑ ይችላሉ.

አንድ አስፈላጊ ጽንሰ-ሐሳብ ነው ሙሉ የክስተቶች ቡድን. በዚህ የሙከራ ቅጽ ውስጥ ያሉ በርካታ ክስተቶች ሙሉ ቡድን, ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ በሙከራው ምክንያት እንደሚታይ እርግጠኛ ከሆነ. ለምሳሌ, ሽንት አሥር ኳሶችን ይይዛል, ከነሱ ውስጥ ስድስቱ ቀይ, አራቱ ነጭ እና አምስት ኳሶች ቁጥር አላቸው. - አንድ ስዕል ያለው ቀይ ኳስ መልክ, - መልክ ነጭ ኳስ, - ቁጥር ያለው ኳስ መልክ. ክስተቶች የተሟላ የጋራ ክስተቶች ቡድን ይመሰርታሉ።

የአንድ ተቃራኒ ወይም ተጨማሪ ክስተት ጽንሰ-ሀሳብ እናስተዋውቅ። ስር ተቃራኒአንድ ክስተት አንዳንድ ክስተት ካልተከሰተ የግድ መከሰት ያለበት ክስተት እንደሆነ ተረድቷል። ተቃራኒ ክስተቶች ተኳሃኝ አይደሉም እና ሊሆኑ የሚችሉት ብቻ። የተሟላ የክስተቶች ቡድን ይመሰርታሉ። ለምሳሌ ፣የተመረቱ ምርቶች ስብስብ ጥሩ እና ጉድለት ያለባቸውን ምርቶች ያካተተ ከሆነ ፣ከዚያ አንድ ምርት ሲወገድ ጥሩ - ክስተት ወይም ጉድለት ያለበት ክስተት ሊሆን ይችላል።

በክስተቶች ላይ ክዋኔዎች

በአጋጣሚ ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ የዘፈቀደ ክስተቶችን ለማጥናት መሳሪያ እና ዘዴን ሲያዘጋጁ የክስተቶች ድምር እና ውጤት ጽንሰ-ሀሳብ በጣም አስፈላጊ ነው።

የበርካታ ክንውኖች ድምር ወይም ህብረት ከእነዚህ ክስተቶች ቢያንስ አንዱን ያቀፈ ክስተት ነው።

የክስተቶች ድምር እንደሚከተለው ተጠቁሟል።

ለምሳሌ, አንድ ክስተት ዒላማውን በመጀመሪያ ሾት እየመታ ከሆነ, አንድ ክስተት - ከሁለተኛው ጋር, ከዚያም ክስተቱ በአጠቃላይ ኢላማውን እየመታ ነው, የትኛውን ጥይት - የመጀመሪያው, ሁለተኛ ወይም ሁለቱም ምንም አይደለም.

የበርካታ ክስተቶች ምርት ወይም መገናኛው የእነዚህ ሁሉ ክስተቶች የጋራ መከሰትን ያቀፈ ክስተት ነው።

የክስተቶች ምርት ይጠቁማል

ለምሳሌ ዝግጅቱ ኢላማው በመጀመርያ ጥይት የተመታ ከሆነ፣ ክስተቱ ኢላማው በሁለተኛው ጥይት ተመቷል፣ ከዚያም ክስተቱ ኢላማው በሁለቱም ጥይቶች ተመቷል ማለት ነው።

የክስተቶች ድምር እና ምርት ጽንሰ-ሀሳቦች ግልጽ የሆነ የጂኦሜትሪክ ትርጉም አላቸው. ዝግጅቱ አንድ ነጥብ ወደ ክልሉ መግባትን ያካትታል፣ ዝግጅቱ ወደ ክልሉ መግባትን ያካትታል፣ ከዚያም ዝግጅቱ ነጥቡን ወደ ክልል ውስጥ መግባቱን ያካትታል በምስል። 1፣ እና ክስተቱ በምስል ጥላ ስር ያለውን ቦታ አንድ ነጥብ ሲመታ ነው። 2.

የዘፈቀደ ክስተት ዕድል ክላሲክ ፍቺ

ክስተቶችን እንደየመከሰት እድሉ መጠን በመጠን ለማነፃፀር የቁጥር ልኬት ገብቷል ፣ እሱም የአንድ ክስተት ዕድል ተብሎ ይጠራል።

የክስተቱ ዕድል የአንድ ክስተት መከሰት ተጨባጭ ሁኔታን የሚገልጽ ቁጥር ነው።

የአንድ ክስተት ዕድል በምልክቱ ይገለጻል።

የአንድ ክስተት ዕድል ለእሱ ተስማሚ ከሆኑ ጉዳዮች ብዛት ጥምርታ ጋር እኩል ነው ፣ ከጠቅላላው ልዩ ሊሆኑ ከሚችሉ ፣ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና የማይጣጣሙ ጉዳዮች ፣ ከቁጥሩ ጋር እኩል ነው።ማለትም

ይህ ክላሲክ የይቻላል ፍቺ ነው። ስለዚህ የአንድን ክስተት ዕድል ለማግኘት የፈተናውን የተለያዩ ውጤቶች ከግምት ውስጥ በማስገባት በልዩ ሁኔታ የሚቻሉትን በእኩል የሚቻሉ እና የማይጣጣሙ ጉዳዮችን ለማግኘት አጠቃላይ ቁጥራቸውን ያሰሉ ፣ ለተጠቀሰው ምቹ የሆኑ ጉዳዮችን ቁጥር ያሰሉ ። ክስተት, እና ከዚያም ቀመር (1.1) በመጠቀም ስሌቱን ያከናውኑ.

ከቀመር (1.1) የሚከተለው የክስተት ዕድል ነው። አሉታዊ ያልሆነ ቁጥርእና ምቹ የጉዳዮች ብዛት ከጠቅላላው የጉዳይ ብዛት በምን ያህል መጠን ላይ በመመስረት ከዜሮ ወደ አንድ ሊለያይ ይችላል፡

የይሆናልነት ባህሪያት

ንብረት 1. ሁሉም ጉዳዮች ለአንድ ክስተት ተስማሚ ከሆኑ ይህ ክስተት መከሰቱ አይቀርም። በዚህ ምክንያት, በጥያቄ ውስጥ ያለው ክስተት አስተማማኝ ነው, እና የመከሰቱ ዕድል, በዚህ ሁኔታ ውስጥ ስለሆነ.

ንብረት 2. ለአንድ ክስተት ተስማሚ የሆነ አንድ ነጠላ ጉዳይ ከሌለ, ይህ ክስተት በተሞክሮ ምክንያት ሊከሰት አይችልም. በዚህ ምክንያት ፣ በጥያቄ ውስጥ ያለው ክስተት የማይቻል ነው ፣ እና የመከሰቱ ዕድል በዚህ ሁኔታ ውስጥ ስለሆነ

ንብረት 3. የተሟላ ቡድን የሚፈጥሩ ክስተቶች የመከሰት እድላቸው ከአንድ ጋር እኩል ነው።

ንብረት 4. የተቃራኒው ክስተት የመከሰቱ እድል ልክ እንደ ክስተቱ የመከሰት እድል በተመሳሳይ መንገድ ይወሰናል.

ለተቃራኒ ክስተት መከሰት ተስማሚ የሆኑ ጉዳዮች ብዛት የት ነው. ስለዚህ ተቃራኒው ክስተት የመከሰት እድሉ በአንድነት እና በክስተቱ የመከሰት እድል መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው፡

የክስተቱ ዕድል ክላሲካል ፍቺ ጠቃሚ ጠቀሜታ በእሱ እርዳታ የክስተት እድልን ወደ ልምድ ሳይጠቀሙ ነገር ግን በሎጂክ አመክንዮ ላይ የተመሠረተ መሆኑ ነው።

ምሳሌ 1. ስልክ ቁጥር ሲደውል ተመዝጋቢው አንድ አሃዝ ረስቶ በዘፈቀደ ደውሎታል። ትክክለኛው ቁጥር የመደወል እድሉን ያግኙ።

መፍትሄ። አስፈላጊው ቁጥር የተደወለበትን ክስተት እንጠቁም. ተመዝጋቢው ከ10 አሃዞች ውስጥ ማንኛውንም መደወል ይችላል።ጠቅላላ ቁጥር

ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ከ 10 ጋር እኩል ናቸው. እነዚህ ውጤቶች ብቸኛ ሊሆኑ የሚችሉ ናቸው (ከቁጥሮች ውስጥ አንዱ መግባት አለበት) እና በተመሳሳይ ሁኔታ (ቁጥሩ በዘፈቀደ መግባት አለበት). አንድ ውጤት ብቻ ክስተቱን ይደግፋል (አንድ አስፈላጊ ቁጥር ብቻ ነው). የሚፈለገው ዕድል ለክስተቱ ተስማሚ ከሆኑ የውጤቶች ብዛት እና የሁሉም ውጤቶች ብዛት ጥምርታ ጋር እኩል ነው።

የተዋሃዱ ንጥረ ነገሮች በፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ, ምደባዎች, ማዛመጃዎች እና ጥምረት ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ስብስብ ከተሰጠ, ከዚያአቀማመጥ (ጥምር) ከኤለመንቶች መካከል የትኛውም የታዘዘ (ያልታዘዘ) የስብስቡ አካላት ንዑስ ስብስብ ነው። ሲቀመጥ ይባላልእንደገና ማደራጀት

ከኤለመንቶች.

ለምሳሌ አንድ ስብስብ እንስጥ. የዚህ የሁለት ስብስብ ሶስት አካላት አቀማመጥ,,,,,,,; ጥምረት -,,,.

ሁለት ጥምሮች ቢያንስ በአንድ አካል ይለያያሉ, እና ምደባዎች በእራሳቸው ንጥረ ነገሮች ወይም በሚታየው ቅደም ተከተል ይለያያሉ. የንጥረ ነገሮች ጥምር ብዛት በቀመር ይሰላል

የንጥረ ነገሮች አቀማመጥ ብዛት ነው; - ንጥረ ነገሮች permutations ብዛት.

ምሳሌ 2. በ 10 ክፍሎች ውስጥ 7 መደበኛ ክፍሎች አሉ. በዘፈቀደ ከተወሰዱ 6 ክፍሎች መካከል በትክክል 4 መደበኛ ክፍሎች ሊኖሩ እንደሚችሉ ይፈልጉ።

መፍትሄ።

ሊሆኑ የሚችሉ የፈተና ውጤቶች አጠቃላይ ቁጥር 6 ክፍሎች ከ 10 የሚወጡበት መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ ከ 10 ንጥረ ነገሮች ጥምረት ብዛት ጋር እኩል ነው። የተወሰዱ ክፍሎች በትክክል 4 መደበኛ ናቸው) የሚወሰነው እንደሚከተለው ነው-4 መደበኛ ክፍሎች ከ 7 መደበኛ ክፍሎች በተለያየ መንገድ ሊወሰዱ ይችላሉ; በዚህ ሁኔታ, የተቀሩት ክፍሎች መደበኛ ያልሆኑ መሆን አለባቸው; ከመደበኛ ባልሆኑ ክፍሎች 2 መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎችን ለመውሰድ መንገዶች አሉ. ስለዚህ, ምቹ የሆኑ ውጤቶች ብዛት እኩል ነው. የመጀመርያው ዕድል ለክስተቱ ተስማሚ ከሆኑ የውጤቶች ብዛት እና የሁሉም ውጤቶች ብዛት ጥምርታ ጋር እኩል ነው። የፕሮባቢሊቲ እስታቲስቲካዊ ፍቺየክስተቶች እድሎች ልምድ ወደ ጉዳዮች ንድፍ ሲቀንስ ብቻ ነው። በተግባር ፣የይሁንታ የሚለው ክላሲካል ፍቺ ብዙውን ጊዜ በሁለት ምክንያቶች ተፈጻሚነት የለውም፡- በመጀመሪያ ደረጃ፣ ፕሮባቢሊቲ ክላሲካል ፍቺ አጠቃላይ የጉዳይ ብዛት ውሱን መሆን እንዳለበት ይገምታል። እንደ እውነቱ ከሆነ, ብዙውን ጊዜ አይገደብም. በሁለተኛ ደረጃ, ብዙውን ጊዜ የሙከራ ውጤቶችን በእኩል እና በማይጣጣሙ ክስተቶች መልክ ለማቅረብ የማይቻል ነው.

በተደጋጋሚ ሙከራዎች ወቅት የክስተቶች መከሰት ድግግሞሽ በተወሰነ ቋሚ እሴት ዙሪያ የማረጋጋት አዝማሚያ አለው። ስለዚህ, አንዳንዶቹ ቋሚ እሴት, በየትኞቹ ድግግሞሾች ዙሪያ የተከፋፈሉ እና ሙከራዎች በሚደረጉባቸው ሁኔታዎች ስብስብ እና በክስተቱ መካከል ያለው የዓላማ ግንኙነት ባህሪ ነው።

የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድሉ የሙከራዎች ብዛት ሲጨምር የዚህ ክስተት ድግግሞሾች የተመደቡበት ቁጥር ነው።

ይህ የአቅም ፍቺ ይባላል ስታቲስቲካዊ.

ጥቅም የስታቲስቲክስ ዘዴየአቅም ፍቺው በእውነተኛ ሙከራ ላይ የተመሰረተ ነው. ሆኖም ግን, ጉልህ የሆነ ጉዳቱ ለማከናወን አስፈላጊ የሆነውን እድል ለመወሰን ነው ትልቅ ቁጥርበጣም ብዙ ጊዜ የሚዛመዱ ልምዶች የቁሳቁስ ወጪዎች. የክስተቱ ዕድል እስታቲስቲካዊ ፍቺ ምንም እንኳን የዚህን ጽንሰ-ሃሳብ ይዘት ሙሉ በሙሉ ቢገልጽም ፣ ዕድሉን በትክክል ለማስላት አያደርገውም።

ክላሲክ የይቻላል ትርጉም ሙሉውን ቡድን ይመለከታል የመጨረሻ ቁጥርእኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች. በተግባር ፣ የፈተና ውጤቶች ብዛት ብዙውን ጊዜ ማለቂያ የለውም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ, የችሎታ ክላሲካል ፍቺ ተግባራዊ አይሆንም. ነገር ግን, አንዳንድ ጊዜ እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ላይ የመሆን እድልን ለማስላት ሌላ ዘዴ መጠቀም ይችላሉ. ለትክክለኛነት, እራሳችንን በሁለት አቅጣጫዊ ጉዳይ ላይ እንገድባለን.

ሌላ ክልል የያዘው የተወሰነ ክልል በአውሮፕላን ላይ ይስጥ (ምሥል 3)። አንድ ነጥብ በዘፈቀደ ወደ አካባቢው ይጣላል። አንድ ነጥብ በክልሉ ውስጥ የመውደቅ እድሉ ምን ያህል ነው? በዘፈቀደ የሚወረወረው ነጥብ በክልሉ ውስጥ የትኛውንም ነጥብ ሊመታ ይችላል ተብሎ ይታሰባል ፣ እናም የትኛውንም የክልሉን ክፍል የመምታት እድሉ ከክፍሉ አካባቢ ጋር ተመጣጣኝ እና በቦታው እና ቅርፅ ላይ የተመሠረተ አይደለም። በዚህ ሁኔታ, ወደ አካባቢው የመግባት እድል

ስለዚህ ፣ በ አጠቃላይ ጉዳይ, በአንድ የተወሰነ ቦታ ውስጥ በአንድ ቀጥተኛ መስመር ፣ አውሮፕላን ወይም በጠፈር ላይ ያለ የዘፈቀደ መልክ የነጥብ የመታየት እድሉ የሚወሰነው በዚህ አካባቢ አቀማመጥ እና ወሰኖቹ ላይ ሳይሆን በመጠን ፣ ማለትም በርዝመት ፣ በቦታ ወይም በድምጽ ብቻ ከሆነ ፣ ከዚያም የመምታት ዕድል የዘፈቀደ ነጥብበአንድ የተወሰነ አካባቢ ውስጥ የዚህ አካባቢ መጠን እና ሊታዩበት ከሚችሉት የጠቅላላው አካባቢ መጠን ጥምርታ ይገለጻል የተሰጠው ነጥብ. እዚያ ነው። የጂኦሜትሪክ ትርጉምዕድሎች.

ምሳሌ 3. ክብ ኢላማ ከቋሚ ጋር ይሽከረከራል የማዕዘን ፍጥነት. ከዓላማው ውስጥ አንድ አምስተኛው አረንጓዴ ቀለም የተቀቡ ሲሆን የተቀረው ደግሞ ነጭ ነው (ምስል 4). ኢላማውን መምታት አስተማማኝ ክስተት እንዲሆን በሚያስችል መንገድ ዒላማው ላይ ጥይት ይተኩሳል። የታለመውን ዘርፍ ቀለም የመምታት እድልን መወሰን ያስፈልጋል አረንጓዴ ቀለም.

መፍትሄ።

“ተኩሱ በዘርፉ አረንጓዴ ቀለም ያለው” የሚለውን እንጥቀስ። ከዚያም. ዕድሉ የሚገኘው በአረንጓዴ የተቀባው የዒላማው ክፍል ስፋት ከጠቅላላው የዒላማው ክፍል ጋር ያለው ጥምርታ ነው ፣ ምክንያቱም በማንኛውም የዒላማው ክፍል ላይ መምታት በተመሳሳይ መልኩ ይቻላል ።

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞች ከስታቲስቲካዊ ፍቺ

የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድሉ የአንድ ክስተት ዕድል በሙከራ የተመለከቱት የዚህ ክስተት ድግግሞሾች በቡድን የተሰባሰቡበት ቁጥር ነው። ስለዚህ የአንድ ክስተት ዕድል የድግግሞሽ መሰረታዊ ባህሪያት እንዲኖረው የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞች ገብተዋል። አክሲዮም 1. እያንዳንዱ ክስተት ይዛመዳልየተወሰነ ቁጥር

, ሁኔታውን በማርካት እና የእሱን ዕድል ይባላል.

እማማ ክፈፉን ታጠበችው የረጅም ጊዜ መጨረሻ ላይየበጋ በዓላት ወደ ከፍተኛ ሂሳብ ቀስ በቀስ የምንመለስበት እና አዲስ ክፍል መፍጠር ለመጀመር ባዶውን የቬርዶቭ ፋይል በክብር የምንከፍትበት ጊዜ ነው። እቀበላለሁ, የመጀመሪያዎቹ መስመሮች ቀላል አይደሉም, ግን የመጀመሪያው እርምጃ ግማሽ መንገድ ነው, ስለዚህ ሁሉም ሰው በጥንቃቄ እንዲያጠና ሀሳብ አቀርባለሁየመግቢያ ጽሑፍ , ከዚያ በኋላ ርዕሱን መቆጣጠር 2 ጊዜ ቀላል ይሆናል! በፍፁም አላጋነንኩም። በሚቀጥለው ሴፕቴምበር 1 ዋዜማ አንደኛ ክፍል እና የመጀመሪያ ደረጃ ትዝ ይለኛል። ፊደላት ወደ ቃላቶች, ቃላቶች በቃላት, በቃላት ይዘጋጃሉአጫጭር ዓረፍተ ነገሮች - እማማ ክፈፉን ታጠበ. ተርቨርን መቋቋም እናየሂሳብ ስታቲስቲክስ ማንበብ መማር ያህል ቀላል! ሆኖም, ለዚህ ቁልፍ ቃላትን, ጽንሰ-ሐሳቦችን እና ስያሜዎችን, እንዲሁም አንዳንዶቹን ማወቅ ያስፈልግዎታልየተወሰኑ ደንቦች

, ይህ ትምህርት የተሰጠበት. መጀመሪያ ግን እንኳን ደስ ያለኝን በጅማሬ ተቀበል (መቀጠል ፣ ማጠናቀቅ ፣ እንደአስፈላጊነቱ ማስታወሻ)የትምህርት ዘመን እና ስጦታውን ይቀበሉ. በጣም ጥሩው ስጦታ መጽሐፍ ነው, እና ለገለልተኛ ሥራ

1) የሚከተሉትን ጽሑፎች እመክራለሁ። ፕሮባቢሊቲ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ ጽንሰ-ሐሳብ

አፈ ታሪክ አጋዥ ስልጠናከአስር በላይ ህትመቶችን ያለፈው። እሱ በአስተዋይነቱ እና እጅግ በጣም ቀላል በሆነ የቁሱ አቀራረብ ተለይቷል ፣ እና የመጀመሪያዎቹ ምዕራፎች ሙሉ በሙሉ ተደራሽ ናቸው ብዬ አስባለሁ ፣ ቀድሞውኑ ከ6-7 ኛ ክፍል ላሉ ተማሪዎች።

2) የሚከተሉትን ጽሑፎች እመክራለሁ። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ችግሮችን የመፍታት መመሪያ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ

ዝርዝር ምሳሌዎች እና ችግሮች ያሉት በዚሁ ቭላድሚር ኢፊሞቪች የመፍትሄ መጽሐፍ።

የግድሁለቱንም መጽሃፎች ከበይነመረቡ ያውርዱ ወይም የወረቀት ኦርጅናቸውን ያግኙ! የ 60 ዎቹ እና 70 ዎቹ ስሪት እንዲሁ ይሠራል ፣ ይህም ለዳሚዎች እንኳን የተሻለ ነው። ምንም እንኳን ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል በአንደኛ ደረጃ የተገደበ ስለሆነ “የመሆኑን ንድፈ ሃሳብ ለዱሚዎች” የሚለው ሐረግ በጣም አስቂኝ ይመስላል። የሂሳብ ስራዎች. በቦታዎች ግን ይዘላሉ ተዋጽኦዎችእና ጥረዛዎችነገር ግን ይህ በቦታዎች ላይ ብቻ ነው.

ተመሳሳይ የአቀራረብ ግልጽነት ለማግኘት እሞክራለሁ፣ ግን ኮርሴ ያነጣጠረ መሆኑን ማስጠንቀቅ አለብኝ ችግር ፈቺእና ቲዎሬቲካል ስሌቶች በትንሹ ይቀመጣሉ. ስለዚህ፣ ዝርዝር ንድፈ ሃሳብ፣ የንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጫዎች (ቲዎረም-ቲዎሬም!) ከፈለጉ እባክዎን የመማሪያ መጽሃፉን ይመልከቱ። ደህና, ማን ይፈልጋል ችግሮችን መፍታት ይማሩበፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና በሂሳብ ስታቲስቲክስ ቢበዛ አጭር ጊዜ ፣ ተከተለኝ!

ለመጀመር ያህል በቂ ነው =)

ጽሑፎቹን በሚያነቡበት ጊዜ እራስዎን (ቢያንስ በአጭሩ) በደንብ እንዲያውቁት ይመከራል ተጨማሪ ተግባራትግምት ውስጥ ያሉ ዝርያዎች. በገጹ ላይ ለከፍተኛ ሂሳብ ዝግጁ-የተዘጋጁ መፍትሄዎችየመፍትሄ ምሳሌዎች ያላቸው ተዛማጅ ፒዲኤፍዎች ይለጠፋሉ። ከፍተኛ እገዛም ይደረጋል IDZ 18.1 Ryabushko(ቀላል) እና በ Chudesenko ስብስብ መሰረት IDZ ተፈትቷል(ይበልጥ አስቸጋሪ)።

1) መጠንሁለት ክስተቶች እና ክስተቱ ይባላል ይህም የሚሆነው ወይምክስተት ወይምክስተት ወይምሁለቱም ክስተቶች በተመሳሳይ ጊዜ. በተከሰቱት ሁኔታዎች የማይጣጣም, የመጨረሻው አማራጭይጠፋል, ማለትም, ሊከሰት ይችላል ወይምክስተት ወይምክስተት .

ደንቡም ይሠራል ትልቅ መጠንውሎች, ለምሳሌ, ክስተት የሚሆነው ይሆናል። ቢያንስ አንድከክስተቶች , ኤ ክስተቶች የማይጣጣሙ ከሆነ – ከዚያም አንድ ነገር እና አንድ ነገር ብቻክስተት ከዚህ መጠን፡- ወይምክስተት፣ ወይምክስተት፣ ወይምክስተት፣ ወይምክስተት፣ ወይምክስተት .

ብዙ ምሳሌዎች አሉ፡-

ክስተቶች (ዳይስ ሲጣሉ 5 ነጥብ አይታይም) የሚታየው ነው። ወይም 1, ወይም 2, ወይም 3, ወይም 4, ወይም 6 ነጥብ።

ክስተት (ይወርዳል) በቃሁለት ነጥቦች) 1 ብቅ ይላል ወይም 2ነጥቦች.

ክስተት ( ፈቃድ ሙሉ ቁጥርነጥቦች) የሚሽከረከረው ነው ወይም 2 ወይም 4 ወይም 6 ነጥብ።

ክስተቱ ከመርከቡ ላይ ቀይ ካርድ (ልብ) ይሳላል ወይምአታሞ), እና ክስተቱ - "ሥዕሉ" እንደሚወጣ (ጃክ ወይምእመቤት ወይምንጉሥ ወይም ace)።

ትንሽ ይበልጥ አስደሳች የሆነው የጋራ ክስተቶች ጉዳይ ነው-

ክስተቱ አንድ ክለብ ከመርከቡ ይሳባል ወይምሰባት ወይምሰባት ክለቦች ከላይ በተገለጸው ትርጓሜ መሠረት. ቢያንስ አንድ ነገር- ወይም ማንኛውም ክለብ ወይም ማንኛውም ሰባት ወይም የእነሱ "መገናኛ" - ሰባት ክለቦች. ይህ ክስተት ከ12 የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች (9 የክለብ ካርዶች + 3 ቀሪ ሰባት) ጋር እንደሚዛመድ ለማስላት ቀላል ነው።

ዝግጅቱ ነገ በ12፡00 ይመጣል ከተጠቃለሉ የጋራ ክንውኖች ቢያንስ አንድማለትም፡-

- ወይም ዝናብ ብቻ ይሆናል / ብቻ ነጎድጓድ / ብቻ ፀሐይ;
- ወይም አንዳንድ ጥንድ ክስተቶች ብቻ ይከሰታሉ (ዝናብ + ነጎድጓድ / ዝናብ + ጸሀይ / ነጎድጓድ + ጸሐይ);
- ወይም ሦስቱም ክስተቶች በአንድ ጊዜ ይታያሉ።

ማለትም ክስተቱ 7 ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን ያካትታል።

ሁለተኛው የክስተቶች አልጀብራ ምሰሶ፡-

2) ስራውሁለት ክስተቶች እና እነዚህ ክስተቶች በጋራ መከሰት ውስጥ አንድ ክስተት ይደውሉ, በሌላ አነጋገር, ማባዛት ማለት በአንዳንድ ሁኔታዎች ውስጥ ይሆናል ማለት ነው. እናክስተት፣ እናክስተት . ተመሳሳይ መግለጫ ለብዙ ክስተቶች እውነት ነው, ለምሳሌ, አንድ ሥራ በተወሰኑ ሁኔታዎች ውስጥ እንደሚከሰት ያመለክታል እናክስተት፣ እናክስተት፣ እናክስተት፣…፣ እናክስተት .

ሁለት ሳንቲሞች የሚጣሉበትን ፈተና አስቡበት እና የሚከተሉት ክስተቶች:

- ራሶች በ 1 ኛ ሳንቲም ላይ ይታያሉ;
- 1 ኛ ሳንቲም ራሶችን ያርፋል;
- ራሶች በሁለተኛው ሳንቲም ላይ ይታያሉ;
- 2 ኛው ሳንቲም ራሶችን ያርፍበታል.

ከዚያም፡-
እናበ 2 ኛ) ራሶች ይታያሉ;
- ክስተቱ በሁለቱም ሳንቲሞች (በ 1 ኛ እናበ 2 ኛ) ራሶች ይሆናሉ;
- ክስተቱ 1 ኛ ሳንቲም ራሶችን ያርፍበታል እና 2 ኛ ሳንቲም ጭራዎች;
- ክስተቱ 1 ኛ ሳንቲም ራሶችን ያርፍበታል እናበ 2 ኛው ሳንቲም ላይ ንስር አለ.

ክስተቶችን ማየት ቀላል ነው። የማይጣጣም (ምክንያቱም ለምሳሌ በአንድ ጊዜ 2 ጭንቅላት እና 2 ጭራ መውደቅ አይችልም)እና ቅጽ ሙሉ ቡድን (ግምት ውስጥ ከገባ በኋላ ሁሉምሁለት ሳንቲሞችን የመወርወር ውጤት). እነዚህን ክስተቶች ጠቅለል አድርገን እንመልከታቸው፡. ይህን ግቤት እንዴት መተርጎም ይቻላል? በጣም ቀላል - ማባዛት ማለት ነው ምክንያታዊ ግንኙነት እናእና መደመር - ወይም. ስለዚህ መጠኑ ለማንበብ ቀላል እና ለመረዳት የሚቻል ነው የሰው ቋንቋ: "ሁለት ራሶች ይታያሉ ወይምሁለት ራሶች ወይም 1ኛው ሳንቲም ራሶችን ያርፍበታል እናበ 2 ኛ ጭራዎች ላይ ወይም 1ኛው ሳንቲም ራሶችን ያርፍበታል እናበሁለተኛው ሳንቲም ላይ ንስር አለ"

ይህ መቼ ምሳሌ ነበር በአንድ ፈተና ውስጥብዙ ነገሮች ይሳተፋሉ ፣ በዚህ ጉዳይ ላይ- ሁለት ሳንቲሞች. ሌላው የተለመደ ውስጥ ተግባራዊ ችግሮችወይ ሥዕላዊ መግለጫው ነው። እንደገና መሞከር , ለምሳሌ, ተመሳሳይ ዳይ በተከታታይ 3 ጊዜ ሲንከባለል. እንደ ማሳያ፣ የሚከተሉትን ክስተቶች አስቡባቸው፡-

- በ 1 ኛ ውርወራ ውስጥ 4 ነጥቦችን ያገኛሉ ።
- በ 2 ኛ መወርወር 5 ነጥቦችን ያገኛሉ ።
- በ 3 ኛ መወርወር 6 ነጥቦችን ያገኛሉ ።

ከዚያም ክስተቱ በ1ኛው ውርወራ 4 ነጥብ ታገኛለህ እናበ 2 ኛ መወርወር 5 ነጥቦችን ያገኛሉ እናበ 3 ኛ ጥቅል ላይ 6 ነጥቦችን ያገኛሉ. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው በአንድ ኪዩብ ውስጥ ሳንቲም ከምንወረውር ይልቅ በጣም ብዙ ጥምረት (ውጤቶች) ይኖራሉ።

... ምናልባት በደንብ እንዳልገባቸው ተረድቻለሁ አስደሳች ምሳሌዎች, ነገር ግን እነዚህ ብዙውን ጊዜ በችግሮች ውስጥ የሚያጋጥሟቸው ነገሮች ናቸው እና ከእነሱ ማምለጥ አይችሉም. ከሳንቲም ፣ ኪዩብ እና የመርከቧ ካርዶች ፣ ባለብዙ ቀለም ኳሶች ፣ ብዙ ማንነታቸው ያልታወቁ ሰዎች ኢላማ ላይ ሲተኩሱ እና አንዳንድ ዝርዝሮችን ያለማቋረጥ የሚፈጭ ደከመኝ ሰለቸኝ የማይል ሰራተኛ ይጠብቀዎታል =)

የክስተቱ ዕድል

የክስተቱ ዕድል የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ማዕከላዊ ፅንሰ-ሀሳብ ነው። ... ገዳይ አመክንዮአዊ ነገር፣ ግን የሆነ ቦታ መጀመር ነበረብን =) ለትርጉሙ በርካታ አቀራረቦች አሉ።

;
የፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺ ;
የፕሮባቢሊቲ እስታቲስቲካዊ ፍቺ .

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በትምህርታዊ ተግባራት ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ በሚውለው የችሎታ ክላሲካል ፍቺ ላይ አተኩራለሁ ።

ስያሜዎች. የአንዳንድ ክስተት ዕድል ከፍተኛ እንደሆነ ይጠቁማል የላቲን ፊደል, እና ክስተቱ እራሱ እንደ ክርክር አይነት ሆኖ ወደ ቅንፍ ይወሰዳል. ለምሳሌ፥

እንዲሁም ትንሿ ፊደል የመቻል እድልን ለማመልከት በሰፊው ይሠራበታል። በተለይም, የክስተቶችን አስቸጋሪ ስያሜዎችን እና እድላቸውን መተው ይችላሉ ለሚከተለው ዘይቤ ሞገስ ::

- ሳንቲም የመወርወር እድሉ ጭንቅላትን ያስከትላል;
- የዳይስ ጥቅል 5 ነጥቦችን ሊያስከትል የሚችልበት ዕድል;
- የክለቡ ልብስ ካርድ ከመርከቡ ላይ የመሳል እድሉ ።

ይህ አማራጭየመፍትሄውን ቀረጻ በከፍተኛ ሁኔታ ለመቀነስ ስለሚያስችል ተግባራዊ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ታዋቂ ነው። ልክ እንደ መጀመሪያው ሁኔታ, እዚህ "ማውራት" ንዑስ ፅሁፎችን / ፅሁፎችን ለመጠቀም ምቹ ነው.

ከላይ የጻፍኳቸውን ቁጥሮች ሁሉም ሰው ከረዥም ጊዜ ጀምሮ ገምቷል ፣ እና አሁን እንዴት እንደነበሩ እናገኘዋለን

ክላሲክ የይቻላል ትርጉም:

በአንድ የተወሰነ ፈተና ውስጥ የመከሰቱ አጋጣሚ ሬሾ ይባላል፡-

- የሁሉም ጠቅላላ ቁጥር እኩል ይቻላል, የመጀመሪያ ደረጃየዚህ ፈተና ውጤቶች, የትኛው ቅርጽ ሙሉ የክስተቶች ቡድን;

- ብዛት የመጀመሪያ ደረጃውጤቶች፣ ተስማሚ ክስተት.

ሳንቲም በሚጥሉበት ጊዜ ጭንቅላት ወይም ጅራት ሊወድቁ ይችላሉ - እነዚህ ክስተቶች ይመሰረታሉ ሙሉ ቡድን, ስለዚህም, አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት; በተመሳሳይ ጊዜ እያንዳንዳቸው የመጀመሪያ ደረጃእና እኩል ይቻላል. ክስተቱ በውጤቱ (ጭንቅላቶች) ተወዳጅ ነው. እንደ ክላሲካል የችሎታ ትርጓሜ፡- .

በተመሳሳይም ሞትን በመወርወር ምክንያት የአንደኛ ደረጃ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ሊታዩ ይችላሉ, የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ, እና ክስተቱ በአንድ ውጤት (በአምስት መጠቅለል) ይመረጣል. ለዛ ነው፥ ይህ ማድረግ ተቀባይነት የለውም (ምንም እንኳን በጭንቅላታችሁ ውስጥ በመቶኛ መገመት ባይከለከልም)።

የአንድ ክፍል ክፍልፋዮችን መጠቀም የተለመደ ነው።, እና ግልጽ በሆነ መልኩ, እድሉ በ ውስጥ ሊለያይ ይችላል. በተጨማሪም ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ ክስተቱ ነው። የማይቻልከሆነ - አስተማማኝ, እና ከሆነ, እንግዲያውስ እየተነጋገርን ነው በዘፈቀደክስተት.

! ማንኛውንም ችግር በሚፈቱበት ጊዜ, ሌላ የይሆናል እሴት ካገኙ, ስህተቱን ይፈልጉ!

በ ክላሲካል አቀራረብዕድልን ለመወሰን እጅግ በጣም ብዙ እሴቶች (ዜሮ እና አንድ) የተገኙት በትክክል በተመሳሳዩ ምክንያት ነው። 10 ቀይ ኳሶችን ከያዘ 1 ኳስ በዘፈቀደ ይሳላል። የሚከተሉትን ክስተቶች አስቡባቸው:

በአንድ ሙከራ ውስጥ ዝቅተኛ-ይቻላል ክስተት አይከሰትም.

የዚህ ክስተት እድል 0.00000001 ከሆነ በሎተሪው ውስጥ ጃክኮውን የማትመቱት ለዚህ ነው። አዎ, አዎ, እርስዎ ነዎት - በአንድ የተወሰነ ስርጭት ውስጥ ካለው ብቸኛ ቲኬት ጋር. ይሁን እንጂ ብዙ ቁጥር ያላቸው ቲኬቶች እና ብዙ ቁጥር ያላቸው ስዕሎች ብዙ አይረዱዎትም. ...ስለዚህ ጉዳይ ለሌሎች ስናገር ሁልጊዜ ማለት ይቻላል በምላሽ እሰማለሁ፡- “ነገር ግን ሰው ያሸንፋል።” እሺ፣ ከዚያ የሚከተለውን ሙከራ እናድርግ፡ እባክዎን ለማንኛውም ሎተሪ ዛሬ ወይም ነገ ትኬት ይግዙ (አትዘግይ!) እና ካሸነፍክ ... ጥሩ, ቢያንስ ከ 10 ኪሎ ሩብል, መመዝገብህን እርግጠኛ ሁን - ይህ ለምን እንደተከሰተ እገልጻለሁ. በመቶኛ ፣ በእርግጥ =) =)

ግን ማዘን አያስፈልግም ፣ ምክንያቱም ተቃራኒ መርህ አለ-የአንዳንድ ክስተት ዕድል ወደ አንድ በጣም ቅርብ ከሆነ ፣ ከዚያ በአንድ ሙከራ ውስጥ በእርግጠኝነት ማለት ይቻላልይሆናል። ስለዚህ, ወደ ሰማይ ከመጥለቅዎ በፊት መፍራት አያስፈልግም, በተቃራኒው ፈገግ ይበሉ! ከሁሉም በላይ ለሁለቱም ፓራሹቶች ውድቀት ሙሉ በሙሉ የማይታሰብ እና ድንቅ ሁኔታዎች መፈጠር አለባቸው.

ምንም እንኳን ይህ ሁሉ ግጥም ቢሆንም, በክስተቱ ይዘት ላይ በመመስረት, የመጀመሪያው መርህ ደስተኛ ሊሆን ይችላል, እና ሁለተኛው - አሳዛኝ; ወይም ሁለቱም ትይዩዎች።

ምናልባት አሁን በክፍል ውስጥ በቂ ነው ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ችግሮችከቀመር ምርጡን እናገኛለን። በዚህ ርዕስ የመጨረሻ ክፍል ላይ አንዱን እንመለከታለን ጠቃሚ ቲዎሪ:

የተሟላ ቡድን የሚፈጥሩ የክስተቶች እድሎች ድምር ከአንድ ጋር እኩል ነው።. በግምት ፣ ክስተቶች የተሟላ ቡድን ከፈጠሩ ፣ ከዚያ በ 100% ዕድል ከመካከላቸው አንዱ ይከሰታል። በጣም ውስጥ ቀላል ጉዳይየተሟላ ቡድን በተቃራኒ ክስተቶች ይመሰረታል ፣ ለምሳሌ-

- በአንድ ሳንቲም መወርወር ምክንያት ራሶች ይታያሉ;
- የሳንቲም ውርወራ ውጤት ራስ ይሆናል.

በንድፈ ሀሳቡ መሰረት፡-

እነዚህ ክስተቶች እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና እድላቸውም ተመሳሳይ መሆኑን ፍጹም ግልጽ ነው .

በፕሮባቢሊቲዎች እኩልነት ምክንያት, እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ብዙ ጊዜ ይጠራሉ እኩል ሊሆን ይችላል። . እና የመመረዝ ደረጃን ለመወሰን የቋንቋ ጠመዝማዛ እዚህ አለ =)

ምሳሌ በኩብ፡ ክስተቶች ተቃራኒዎች ናቸው፣ ስለዚህም .

ከግምት ውስጥ የሚገቡት ቲዎሬም የተቃራኒውን ክስተት እድል በፍጥነት እንዲያገኙ ስለሚያስችል አመቺ ነው. ስለዚህ ፣ አንድ አምስት የመንከባለል እድሉ የሚታወቅ ከሆነ ፣ ያልተጠቀለለበትን ዕድል ለማስላት ቀላል ነው-

ይህ የአምስት የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች እድሎችን ከማጠቃለል የበለጠ ቀላል ነው። በነገራችን ላይ ለአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ይህ ቲዎሪእውነትም:
. ለምሳሌ፣ ተኳሹ ዒላማውን የመምታት እድሉ ከሆነ፣ የማጣት እድሉ ነው።

! በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ, ለሌላ ዓላማዎች ፊደላትን መጠቀም የማይፈለግ ነው.

ለእውቀት ቀን ክብር, እኔ አልጠይቅም የቤት ስራ=) ግን መልስ መስጠት መቻል በጣም አስፈላጊ ነው። የሚቀጥሉት ጥያቄዎች:

- ምን ዓይነት ክስተቶች አሉ?
- የአንድ ክስተት ዕድል እና እኩል ዕድል ምንድነው?
- የክስተቶችን ተኳሃኝነት/ተኳሃኝነትን እንዴት ተረዱ?
- የተሟላ የክስተቶች ቡድን ፣ ተቃራኒ ክስተቶች ምንድነው?
- ክስተቶች መደመር እና ማባዛት ምን ማለት ነው?
- ክላሲካል የፍቺ ዕድል ምንነት ምንድን ነው?
- የተሟላ ቡድን የሚፈጥሩ ክስተቶችን የመጨመር ጽንሰ-ሀሳብ ለምን ጠቃሚ ነው?

አይ፣ ምንም ነገር መጨናነቅ አያስፈልግዎትም፣ እነዚህ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ነገሮች ናቸው - በፍጥነት ወደ ጭንቅላትዎ የሚያስገባ የፕሪመር አይነት። እና ይህ በተቻለ ፍጥነት እንዲከሰት, እራስዎን ከትምህርቶቹ ጋር እንዲተዋወቁ እመክራችኋለሁ

መግቢያ

ብዙ ነገሮች ለእኛ የማይረዱት ጽንሰ-ሀሳቦቻችን ደካማ ስለሆኑ አይደለም;
ነገር ግን እነዚህ ነገሮች በእኛ ጽንሰ-ሀሳቦች ውስጥ ስላልተካተቱ ነው.
Kozma Prutkov

በሁለተኛ ደረጃ ስፔሻላይዝድ የትምህርት ተቋማት ውስጥ የሂሳብ ትምህርትን የማጥናት ዋና ግብ ለተማሪዎች የሂሳብ ዕውቀትን እና ክህሎቶችን በአንድ ዲግሪ ወይም በሌላ ዲግሪ የሚጠቀሙ ሌሎች የፕሮግራም ትምህርቶችን ለማጥናት ፣ ለተግባራዊ ስሌት የመሥራት ችሎታ ፣ ምስረታ እና ልማት። የሎጂክ አስተሳሰብ.

በዚህ ሥራ ውስጥ በፕሮግራሙ እና በስቴት የትምህርት ደረጃዎች ሁለተኛ ደረጃ የሙያ ትምህርት (የሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት ሚኒስቴር. M., 2002) የቀረበው የሂሳብ ክፍል "የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ መሰረታዊ ነገሮች" ሁሉም መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦች ), ያለማቋረጥ ይተዋወቃሉ, ዋናዎቹ ጽንሰ-ሐሳቦች ተቀርፀዋል, አብዛኛዎቹ አልተረጋገጡም. እነሱን ለመፍታት ዋናዎቹ ችግሮች እና ዘዴዎች እና ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት እነዚህን ዘዴዎች ተግባራዊ ለማድረግ ቴክኖሎጂዎች ግምት ውስጥ ይገባል. አቀራረቡ ከዝርዝር አስተያየቶች እና በርካታ ምሳሌዎች ጋር አብሮ ቀርቧል።

ዘዴያዊ መመሪያዎች እየተጠና ያለውን ቁሳቁስ ለመጀመሪያ ጊዜ ለመተዋወቅ ፣ በንግግሮች ላይ ማስታወሻዎችን በሚወስዱበት ጊዜ ፣ ​​ለመዘጋጀት ሊያገለግሉ ይችላሉ ። ተግባራዊ ክፍሎች, የተገኘውን እውቀት, ክህሎቶች እና ችሎታዎች ለማጠናከር. በተጨማሪም መመሪያው ቀደም ሲል ያጠኑትን በፍጥነት እንዲያስታውሱ በማድረግ ለቅድመ ምረቃ ተማሪዎች እንደ ማመሳከሪያ መሳሪያ ጠቃሚ ይሆናል.

በስራው መጨረሻ ላይ ተማሪዎች ራስን በመግዛት ሁነታ ሊያከናውኑ የሚችሉ ምሳሌዎች እና ተግባራት አሉ.

መመሪያዎቹ ለትርፍ ሰዓት እና ለሙሉ ጊዜ ተማሪዎች የታሰቡ ናቸው።

መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ የጅምላ የዘፈቀደ ክስተቶችን ዓላማ ያጠናል. ትሆናለች። የንድፈ ሐሳብ መሠረትየማቲማቲካል ስታቲስቲክስ, እሱም የመሰብሰብ, የመግለጫ እና የመመልከቻ ውጤቶችን ለማስኬድ ዘዴዎችን ማዘጋጀት. በአስተያየቶች (ሙከራዎች, ሙከራዎች), ማለትም. ውስጥ ልምድ ሰፋ ባለ መልኩቃላት, የገሃዱ ዓለም ክስተቶች እውቀት ይከሰታል.

በእሱ ውስጥ ተግባራዊ እንቅስቃሴዎችብዙውን ጊዜ ውጤቶቹ ሊተነብዩ የማይችሉ ክስተቶች ያጋጥሙናል, ውጤቱም በአጋጣሚ ላይ የተመሰረተ ነው.

የዘፈቀደ ክስተት በተከሰቱት ክስተቶች ብዛት እና በሙከራዎች ብዛት ጥምርታ ሊታወቅ ይችላል ፣ በእያንዳንዳቸው ፣ በሁሉም ሙከራዎች ተመሳሳይ ሁኔታዎች ውስጥ ሊከሰት ወይም ሊከሰት ይችላል።

ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ የዘፈቀደ ክስተቶች (ክስተቶች) የሚጠናበት እና በጅምላ ሲደጋገሙ የሚለዩበት የሂሳብ ክፍል ነው።

የሂሳብ ስታቲስቲክስ በሳይንስ ላይ የተመሰረቱ ድምዳሜዎችን ለማግኘት እና ውሳኔዎችን ለመወሰን የስታትስቲክስ መረጃን ለመሰብሰብ ፣ ለማደራጀት ፣ ለማቀናበር እና ለመጠቀም ዘዴዎችን ጥናትን የሚመለከት የሂሳብ ክፍል ነው።

በዚህ ሁኔታ, ስታቲስቲካዊ መረጃ እኛን የሚስቡን በጥናት ላይ ያሉ ነገሮች ባህሪያት የቁጥር ባህሪያትን የሚወክሉ የቁጥሮች ስብስብ ነው. ስታቲስቲካዊ መረጃ የሚገኘው በልዩ ሁኔታ በተዘጋጁ ሙከራዎች እና ምልከታዎች ምክንያት ነው።

የስታቲስቲክስ መረጃ በይዘታቸው በብዙ ላይ የተመሰረተ ነው። የዘፈቀደ ምክንያቶችስለዚህ, የሂሳብ ስታቲስቲክስ ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ጋር በቅርበት ይዛመዳል, እሱም የንድፈ ሃሳቡ መሰረት ነው.

I. ሊሆን ይችላል። የመደመር እና እድሎችን ማባዛት ንድፈ ሃሳቦች

1.1. የማጣመጃዎች መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች

combinatorics ተብሎ በሚጠራው የሂሳብ ቅርንጫፍ ውስጥ ፣ ስብስቦችን ከግምት ውስጥ ከማስገባት እና የእነዚህ ስብስቦች የተለያዩ ውህዶች ስብጥር ጋር የተያያዙ አንዳንድ ችግሮች ተፈትተዋል ። ለምሳሌ 10 የተለያዩ ቁጥሮች 0, 1, 2, 3,:, 9 ወስደን ከነሱ ጋር ከተጣመርን እናገኛለን. የተለያዩ ቁጥሮችለምሳሌ 143፣ 431፣ 5671፣ 1207፣ 43፣ ወዘተ.

ከእነዚህ ውህዶች መካከል አንዳንዶቹ በዲጂቶች ቅደም ተከተል ብቻ እንደሚለያዩ እናያለን (ለምሳሌ 143 እና 431)፣ ሌሎች - በውስጣቸው በተካተቱት አሃዞች (ለምሳሌ 5671 እና 1207) እና ሌሎች ደግሞ በቁጥር ብዛት ይለያያሉ። (ለምሳሌ፡ 143 እና 43)።

ስለዚህ, የተገኙት ጥምሮች የተለያዩ ሁኔታዎችን ያሟላሉ.

በቅንብር ደንቦች ላይ በመመስረት ሶስት ዓይነት ጥምረት ሊለያዩ ይችላሉ- permutations, ምደባዎች, ጥምረት.

በመጀመሪያ ከጽንሰ-ሃሳቡ ጋር እንተዋወቅ ፋብሪካዊ.

የሁሉም ምርት የተፈጥሮ ቁጥሮችከ 1 እስከ n አካታች ይባላሉ n-factorial እና ጻፍ.

አስላ፡ a) ; ለ) ; ቪ)

መፍትሄ። ሀ)

ለ) ጀምሮ , ከዚያ በቅንፍ ውስጥ እናስቀምጠው

ከዚያም እናገኛለን

ቪ) .

ዳግም ዝግጅቶች.

በንጥረ ነገሮች ቅደም ተከተል ብቻ እርስ በርስ የሚለያዩ የ n ንጥረ ነገሮች ጥምረት ፔርሙቴሽን ይባላል.

ፍቃዶች ​​በምልክቱ ይገለጣሉ P n , የት n በእያንዳንዱ permutation ውስጥ የተካተቱ ንጥረ ነገሮች ቁጥር ነው. ( አር- የፈረንሳይኛ ቃል የመጀመሪያ ፊደል መተዛዘን- እንደገና ማደራጀት)።

የቀመርውን በመጠቀም የመተላለፊያዎች ብዛት ሊሰላ ይችላል።

ወይም ፋብሪካን በመጠቀም፡-

ያንን እናስታውስ 0!=1 እና 1!=1።

ምሳሌ 2. ስድስት የተለያዩ መጻሕፍት በአንድ መደርደሪያ ላይ በስንት መንገድ ሊዘጋጁ ይችላሉ?

መፍትሄ። የሚፈለጉት የመንገዶች ብዛት ከ 6 ንጥረ ነገሮች የዝውውር ብዛት ጋር እኩል ነው, ማለትም.

ምደባዎች

ልጥፎች ከ ኤምንጥረ ነገሮች በ nበእያንዳንዳቸው ውስጥ እንደዚህ ያሉ ውህዶች እርስ በእርሳቸው የሚለያዩት በእራሳቸው ንጥረ ነገሮች (ቢያንስ አንድ) ወይም በዝግጅታቸው ቅደም ተከተል ይጠራሉ.

አቀማመጦች በ ምልክት, የት ኤም- ሁሉም የሚገኙ ንጥረ ነገሮች ብዛት; n- በእያንዳንዱ ጥምረት ውስጥ ያሉ ንጥረ ነገሮች ብዛት። ( ሀ -የመጀመሪያ ደብዳቤ የፈረንሳይኛ ቃል ዝግጅት, ትርጉሙም "ማስቀመጥ, በቅደም ተከተል ማስቀመጥ").

በተመሳሳይ ጊዜ, እንደሆነ ይታመናል nm

ቀመሩን በመጠቀም የምደባዎች ብዛት ሊሰላ ይችላል

,

እነዚያ። የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ምደባዎች ብዛት ኤምንጥረ ነገሮች በ nከምርቱ ጋር እኩል ነው። nተከታታይ ኢንቲጀሮች፣ ከነሱም ትልቁ ነው። ኤም.

ይህንን ፎርሙላ በፋብራዊ መልክ እንፃፍ፡-

ምሳሌ 3. ሶስት ቫውቸሮችን ለተለያዩ መገለጫዎች መጸዳጃ ቤቶች ለማከፋፈል ምን ያህል አማራጮች ለአምስት አመልካቾች ሊጠናቀር ይችላል?

መፍትሄ። የሚፈለገው የአማራጮች ቁጥር ከ 5 ኤለመንቶች የ 3 ኤለመንቶች አቀማመጥ ብዛት ጋር እኩል ነው, ማለትም.

.

ጥምረት.

ጥምረት ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ውህዶች ናቸው። ኤምንጥረ ነገሮች በ nቢያንስ በአንድ አካል የሚለያዩት (እዚህ ኤምእና n -የተፈጥሮ ቁጥሮች, እና n ሜ).

የጥምረቶች ብዛት ኤምንጥረ ነገሮች በ nየሚያመለክቱት በ ( ጋር- የፈረንሳይኛ ቃል የመጀመሪያ ፊደል ጥምረት- ጥምረት).

በአጠቃላይ, የ ኤምንጥረ ነገሮች በ nከ የምደባ ብዛት ጋር እኩል ነው። ኤምንጥረ ነገሮች በ n, በ permutations ቁጥር የተከፋፈለ ከ nንጥረ ነገሮች

ለአቀማመጦች እና የመቀየሪያ ቁጥሮች የፋብሪካ ቀመሮችን በመጠቀም፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ምሳሌ 4. በ 25 ሰዎች ቡድን ውስጥ, በአንድ የተወሰነ አካባቢ ለመስራት አራት መመደብ ያስፈልግዎታል. ይህ በምን ያህል መንገዶች ሊከናወን ይችላል?

መፍትሄ። የተመረጡት የአራቱ ሰዎች ቅደም ተከተል ለውጥ ስለሌለው ይህንን ለማድረግ መንገዶች አሉ.

የመጀመሪያውን ቀመር በመጠቀም እናገኛለን

.

በተጨማሪም, ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, የሚከተሉት ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ, የጥምረቶችን መሰረታዊ ባህሪያት ይገልፃሉ.

(በትርጉም እነሱ ይገምታሉ እና);

.

1.2. የተዋሃዱ ችግሮችን መፍታት

ተግባር 1. በፋካሊቲው የተጠኑ 16 የትምህርት ዓይነቶች አሉ። በሰኞ ፕሮግራምዎ ላይ 3 ጉዳዮችን ማስቀመጥ ያስፈልግዎታል። ይህ በምን ያህል መንገዶች ሊከናወን ይችላል?

መፍትሄ። የ 16 እቃዎችን በ 3 ማቀናጀት ስለሚችሉ ከ 16 ውስጥ ሶስት እቃዎችን ለማስያዝ ብዙ መንገዶች አሉ።

ተግባር 2. ከ 15 ነገሮች ውስጥ 10 ነገሮችን መምረጥ ያስፈልግዎታል. ይህ በምን ያህል መንገዶች ሊከናወን ይችላል?

ተግባር 3. በውድድሩ አራት ቡድኖች ተሳትፈዋል። በመካከላቸው መቀመጫዎችን ለማከፋፈል ምን ያህል አማራጮች ሊኖሩ ይችላሉ?

.

ችግር 4. 80 ወታደር እና 3 መኮንኖች ካሉ የሶስት ወታደር እና የአንድ መኮንን ፓትሮል በስንት መንገድ ሊመሰረት ይችላል?

መፍትሄ። በፓትሮል ላይ ወታደር መምረጥ ይችላሉ

መንገዶች, እና መኮንኖች መንገዶች. ማንኛውም መኮንን ከእያንዳንዱ የወታደር ቡድን ጋር አብሮ መሄድ ስለሚችል ብዙ መንገዶች ብቻ አሉ።

ተግባር 5. ከታወቀ አግኝ .

ጀምሮ ፣ እናገኛለን

,

,

በቅንጅት ፍቺው እንደሚከተለው ነው . ያ። .

1.3. የዘፈቀደ ክስተት ጽንሰ-ሀሳብ። የክስተቶች ዓይነቶች. የክስተቱ ዕድል

ማንኛውም ድርጊት፣ ክስተት፣ ከብዙ የተለያዩ ውጤቶች ጋር ምልከታ፣ በተወሰኑ ሁኔታዎች ስብስብ ውስጥ የተገነዘበ፣ ይባላል። ፈተና

የዚህ ድርጊት ወይም ምልከታ ውጤት ይባላል ክስተት .

ክስተቱ ከሆነ የተሰጡ ሁኔታዎችሊከሰት ወይም ላይሆን ይችላል, ይባላል በዘፈቀደ . አንድ ክስተት በእርግጠኝነት ሲከሰት, ይባላል አስተማማኝ እና ግልጽ በሆነ ሁኔታ ሊከሰት በማይችልበት ጊዜ - የማይቻል.

ክስተቶቹ ተጠርተዋል የማይጣጣም , ከመካከላቸው አንዱ ብቻ በእያንዳንዱ ጊዜ ሊታይ የሚችል ከሆነ.

ክስተቶቹ ተጠርተዋል መገጣጠሚያ , በተሰጡት ሁኔታዎች ውስጥ, ከነዚህ ክስተቶች ውስጥ የአንዱ መከሰት በተመሳሳይ ፈተና ወቅት የሌላውን ክስተት ካላስቀረ.

ክስተቶቹ ተጠርተዋል ተቃራኒ በፈተና ሁኔታዎች ውስጥ እነሱ ብቸኛ ውጤቶቹ በመሆናቸው የማይጣጣሙ ከሆኑ።

ክስተቶች ብዙውን ጊዜ በላቲን ፊደላት አቢይ ሆሄያት ይገለፃሉ፡ ኤ ቢ ሲ ዲ፣ : .

የተሟላ የክስተቶች ስርዓት A 1, A 2, A 3,:, A n ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ስብስብ ነው, ቢያንስ አንዱ መከሰት በተሰጠው ፈተና ውስጥ ግዴታ ነው.

አንድ የተሟላ ሥርዓት ሁለት የማይጣጣሙ ክስተቶችን ያካተተ ከሆነ, እንደዚህ ያሉ ክስተቶች ተቃራኒ ይባላሉ እና A እና የተሰየሙ ናቸው.

ለምሳሌ። ሳጥኑ 30 የተቆጠሩ ኳሶችን ይዟል። ከሚከተሉት ክስተቶች ውስጥ የትኞቹ የማይቻል፣ አስተማማኝ ወይም ተቃራኒ እንደሆኑ ይወስኑ።

ቁጥር ያለው ኳስ አወጣ (ሀ);

እኩል ቁጥር ያለው ኳስ አገኘ (IN);

ያልተለመደ ቁጥር ያለው ኳስ አግኝቷል (ጋር);

ቁጥር የሌለው ኳስ አግኝቷል (መ)

ከመካከላቸው የትኛው ነው ሙሉ ቡድን ይመሰርታል?

መፍትሄ . ሀ- አስተማማኝ ክስተት; ዲ- የማይቻል ክስተት;

ውስጥ እና ጋር- ተቃራኒ ክስተቶች.

የተሟላ የክስተቶች ቡድን ያካትታል ሀእና ዲ፣ ቪእና ጋር.

የክስተቱ ዕድል የዘፈቀደ ክስተት የመከሰት ተጨባጭ እድል መለኪያ ተደርጎ ይቆጠራል።

1.4. ክላሲክ የይቻላል ትርጉም

አንድ ክስተት ሊፈጠር የሚችለውን ተጨባጭ ሁኔታ የሚገልጽ ቁጥር ይባላል የመሆን እድል ይህ ክስተት እና በምልክቱ ይገለጻል አር (ኤ)

ፍቺ የዝግጅቱ ዕድል ሀለጥቃቱ ተስማሚ የሆኑ የውጤቶች ብዛት ጥምርታ ይባላል የዚህ ክስተት ሀ, ወደ ቁጥሩ nሁሉም ውጤቶች (ተመጣጣኝ ያልሆኑ, የሚቻሉት ብቻ እና እኩል ሊሆኑ የሚችሉ), ማለትም. .

ስለዚህ የአንድን ክስተት እድል ለማግኘት የፈተናውን የተለያዩ ውጤቶች ግምት ውስጥ በማስገባት ሁሉንም የማይጣጣሙ ውጤቶችን መቁጠር አስፈላጊ ነው. n፣የምንፈልገውን የውጤቶች ብዛት ይምረጡ እና ሬሾውን ያሰሉ ኤምለ n.

የሚከተሉት ንብረቶች ከዚህ ትርጉም ይከተላሉ:

የማንኛውም ፈተና ዕድል ከአንዴ የማይበልጥ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው።

በእርግጥ, የሚፈለጉት ክስተቶች ቁጥር m ውስጥ ነው. ሁለቱንም ክፍሎች በመከፋፈል n, እናገኛለን

2. የአስተማማኝ ክስተት ዕድል ከአንድ ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም .

3. ፕሮባቢሊቲ የማይቻል ክስተትከዜሮ ጋር እኩል ነው ምክንያቱም .

ችግር 1. በ1000 ቲኬቶች ሎተሪ 200 አሸናፊዎች አሉ። አንድ ትኬት በዘፈቀደ ነው የሚወሰደው። ይህ ቲኬት አሸናፊ የመሆኑ እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ። የተለያዩ ውጤቶች ጠቅላላ ቁጥር ነው n=1000. ለማሸነፍ ምቹ የሆኑ የውጤቶች ብዛት m=200 ነው። በቀመርው መሰረት, እናገኛለን

.

ችግር 2. በ 18 ክፍሎች ስብስብ ውስጥ 4 ጉድለቶች አሉ. 5 ክፍሎች በዘፈቀደ ይመረጣሉ. ከእነዚህ 5 ክፍሎች ውስጥ ሁለቱ ጉድለት ያለባቸው ሊሆኑ የሚችሉበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ። የሁሉም እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ገለልተኛ ውጤቶች ብዛት nከ 18 በ 5 የጥምረቶች ብዛት ጋር እኩል ነው ማለትም.

ክስተትን የሚደግፍ ቁጥርን እንቁጠረው ሀ. በዘፈቀደ ከተወሰዱ 5 ክፍሎች መካከል 3 ጥሩ እና 2 ጉድለት ያለባቸው መሆን አለባቸው። ከ 4 ጉድለቶች ውስጥ ሁለት የተበላሹ ክፍሎችን ለመምረጥ የመንገዶች ብዛት ከ 4 በ 2 ጥምር ብዛት ጋር እኩል ነው።

ከ 14 የጥራት ክፍሎች ውስጥ ሶስት ጥራት ያላቸውን ክፍሎች ለመምረጥ መንገዶች ቁጥር እኩል ነው

.

ማንኛውም ጥሩ ክፍሎች ቡድን ከማንኛውም የተበላሹ ክፍሎች ጋር ሊጣመር ይችላል, ስለዚህ አጠቃላይ የጥምረቶች ብዛት ኤምይደርሳል

የሚፈለገው የክስተት ሀ ዕድል ለዚህ ክስተት ምቹ ከሆነው የውጤቶች ብዛት ጥምርታ እና የሁሉም እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ገለልተኛ ውጤቶች ቁጥር ጋር እኩል ነው።

.

የተገደበ የክስተቶች ድምር ቢያንስ የአንዱን ክስተት ያቀፈ ክስተት ነው።

የሁለት ክስተቶች ድምር በምልክት A+B እና በድምሩ ይገለጻል። nክስተቶች A 1 +A 2+: +A n.

ፕሮባቢሊቲ የመደመር ቲዎሬም.

የሁለት የማይጣጣሙ ክስተቶች ድምር ዕድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው።

አስተባባሪ 1. ክስተቱ A 1, A 2,:, A n ቅጽ ከሆነ የተሟላ ሥርዓት, ከዚያም የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር ከአንድ ጋር እኩል ነው.

መግለጫ 2. የተቃራኒ ክስተቶች እድሎች ድምር እና ከአንድ ጋር እኩል ነው.

.

ችግር 1. 100 የሎተሪ ቲኬቶች አሉ. 5 ትኬቶች 20,000 ሩብል፣ 10 ትኬቶች 15,000 ሩብል፣ 15 ትኬቶች 10,000 ሩብልስ፣ 25 ትኬቶች 2,000 ሩብልስ እንደሚያሸንፉ ይታወቃል። እና ለቀሪው ምንም. የተገዛው ትኬት ቢያንስ 10,000 ሩብልስ የማሸነፍ እድል አግኝ።

መፍትሄ። የተገዛው ትኬት እንደቅደም ተከተላቸው 20,000፣ 15,000 እና 10,000 ሩብል እኩል አሸናፊነት መቀበሉን የሚያካትት ኤ፣ ቢ እና ሲ ክስተቶች ይሁኑ። ክስተቶች A፣ B እና C የማይጣጣሙ ስለሆኑ

ተግባር 2. በርቷል ከሥነ ምግባር ውጪ የሆነየቴክኒክ ትምህርት ቤት ከከተሞች የሂሳብ ፈተናዎችን ይቀበላል ኤ፣ ቢእና ጋር. ከከተማው ፈተና የመቀበል እድል ሀከ 0.6 ጋር እኩል ነው, ከከተማው ውስጥ- 0.1. የሚቀጥለውን ዕድል ይፈልጉ ፈተናከከተማው ይመጣል ጋር.

ብዙዎች፣ “የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ” ጽንሰ-ሐሳብ ሲገጥማቸው፣ በጣም የሚያስደንቅ፣ በጣም የተወሳሰበ ነገር እንደሆነ በማሰብ ይፈራሉ። ነገር ግን ሁሉም ነገር በእውነቱ በጣም አሳዛኝ አይደለም. ዛሬ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብን እንመለከታለን እና የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም ችግሮችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ እንማራለን.

ሳይንስ

እንደ “የይቻላል ቲዎሪ” ያለ የሂሳብ ክፍል ምን ያጠናል? ቅጦችን እና መጠኖችን ታስታውሳለች። ሳይንቲስቶች ለመጀመሪያ ጊዜ በዚህ ጉዳይ ላይ ፍላጎት ያደረባቸው በአስራ ስምንተኛው ክፍለ ዘመን, ሲያጠኑ ነው ቁማር መጫወት. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ክስተት ነው። በልምድ ወይም በትዝብት የተመሰረተ ማንኛውም እውነታ ነው። ግን ልምድ ምንድን ነው? ሌላው መሠረታዊ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. ይህ የሁኔታዎች ስብስብ የተፈጠረው በአጋጣሚ ሳይሆን በ የተለየ ዓላማ. ስለ ምልከታ, እዚህ ላይ ተመራማሪው እራሱ በሙከራው ውስጥ አይሳተፍም, ነገር ግን በቀላሉ ለእነዚህ ክስተቶች ምስክር ነው;

ክስተቶች

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ክስተት መሆኑን ተምረናል ነገርግን ምደባውን አላጤንነውም። ሁሉም በሚከተሉት ምድቦች ተከፍለዋል.

• አስተማማኝ።
• የማይቻል።
• በዘፈቀደ.

በተሞክሮው ወቅት ምን አይነት ክስተቶች ቢሆኑ፣ የተስተዋሉ ወይም የተፈጠሩ ቢሆኑም፣ ሁሉም ለዚህ ምድብ ተገዢ ናቸው። ከእያንዳንዱ አይነት ጋር እንዲተዋወቁ እንጋብዝዎታለን.

አስተማማኝ ክስተት

ይህ አስፈላጊው የእርምጃዎች ስብስብ የተወሰደበት ሁኔታ ነው. ምንነቱን የበለጠ ለመረዳት ጥቂት ምሳሌዎችን መስጠት የተሻለ ነው። ፊዚክስ፣ ኬሚስትሪ፣ ኢኮኖሚክስ፣ እና ከፍተኛ የሂሳብ. ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ይህንን ያካትታል ጠቃሚ ጽንሰ-ሐሳብእንደ አስተማማኝ ክስተት. አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ፡-

• እንሰራለን እና ካሳ እንቀበላለን በደመወዝ መልክ።
• ፈተናዎችን በደንብ አልፈናል, ውድድሩን አልፈናል, ለዚህም በመግቢያ መልክ ሽልማት እናገኛለን የትምህርት ተቋም.
• በባንክ ውስጥ ገንዘብ አውጥተናል፣ አስፈላጊ ከሆነም እንመልሰዋለን።

እንደነዚህ ያሉ ክስተቶች አስተማማኝ ናቸው. ሁሉንም ነገር ከጨረስን አስፈላጊዎቹ ሁኔታዎች, ከዚያም በእርግጠኝነት የሚጠበቀውን ውጤት እናገኛለን.

የማይቻሉ ክስተቶች

አሁን የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አካላትን እያጤንን ነው። ወደ ቀጣዩ የዝግጅቱ አይነት ማለትም የማይቻል ወደ ማብራርያ ለመሄድ እንመክራለን. ለመጀመር፣ የበዛውን እንግለጽ አስፈላጊ ህግ- የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው።

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ አንድ ሰው ከዚህ አጻጻፍ ሊወጣ አይችልም. ለማብራራት የእንደዚህ አይነት ክስተቶች ምሳሌዎች እዚህ አሉ

• ውሃው በፕላስ አስር የሙቀት መጠን ቀዘቀዘ (ይህ የማይቻል ነው)።
• የኤሌክትሪክ እጥረት በምንም መልኩ ምርትን አይጎዳውም (ልክ እንደ ቀድሞው ምሳሌ የማይቻል ነው).

ከዚህ በላይ የተገለጹት የዚህን ምድብ ምንነት በግልፅ ስለሚያንፀባርቁ ተጨማሪ ምሳሌዎችን መስጠት ተገቢ አይደለም ። በማንኛውም ሁኔታ በሙከራ ጊዜ የማይቻል ክስተት ፈጽሞ አይከሰትም.

የዘፈቀደ ክስተቶች

የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ አካላትን በማጥናት፣ ልዩ ትኩረትትኩረት ሊሰጠው የሚገባው ይህ ዝርያክስተቶች. የሚያጠናቸው እነዚህ ናቸው። ይህ ሳይንስ. በተሞክሮው ምክንያት የሆነ ነገር ሊከሰትም ላይሆንም ይችላል። በተጨማሪም, ፈተናው ያልተገደበ ቁጥር ሊደረግ ይችላል. ግልጽ ምሳሌዎችማገልገል ይችላል:

• የሳንቲም መወርወር ልምድ ወይም ፈተና ነው, የጭንቅላት ማረፊያ ክስተት ነው.
• ኳስን ከከረጢት ውስጥ በጭፍን ማውጣት ፈተና ነው;

እንደነዚህ ያሉ ምሳሌዎች ያልተገደበ ቁጥር ሊኖሩ ይችላሉ, ግን በአጠቃላይ, ዋናው ነገር ግልጽ መሆን አለበት. ስለ ክስተቶቹ የተገኘውን እውቀት ለማጠቃለል እና ለማደራጀት, ሰንጠረዥ ቀርቧል. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ጥናቶች የቀረቡት የሁሉም የመጨረሻ ዓይነቶች ብቻ ናቸው።

ስም	ትርጉም
አስተማማኝ	አንዳንድ ሁኔታዎች ከተሟሉ በ 100% ዋስትና የሚከሰቱ ክስተቶች.	የመግቢያ ፈተናን በሚገባ በማለፍ ወደ ትምህርት ተቋም መግባት።
የማይቻል	በማንኛውም ሁኔታ ውስጥ ፈጽሞ የማይከሰቱ ክስተቶች.	ከሰላሳ ዲግሪ ሴልሺየስ የአየር ሙቀት ጋር በረዶ እየዘነበ ነው።
በዘፈቀደ	በሙከራ/በሙከራ ጊዜ ሊከሰት ወይም ላይሆን የሚችል ክስተት።	የቅርጫት ኳስ ወደ መቀርቀሪያ ሲወረውሩ መምታት ወይም ማጣት።

ህጎች

ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አንድ ክስተት ሊከሰት የሚችልበትን ሁኔታ የሚያጠና ሳይንስ ነው። እንደ ሌሎቹ, አንዳንድ ደንቦች አሉት. የሚከተሉት የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ሕጎች አሉ፡-

• የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል መቀላቀል።
• የትልቅ ቁጥሮች ህግ.

አንድ ውስብስብ ነገር ሊኖር የሚችልበትን ሁኔታ ሲያሰሉ ቀላል እና ፈጣን በሆነ መንገድ ውጤቱን ለማግኘት የቀላል ክስተቶችን ስብስብ መጠቀም ይችላሉ። አንዳንድ ንድፈ ሃሳቦችን በመጠቀም ሕጎቹ በቀላሉ ሊረጋገጡ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ. በመጀመሪያ ከመጀመሪያው ህግ ጋር እንዲተዋወቁ እንመክራለን.

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል መቀላቀል

በርካታ የመገጣጠም ዓይነቶች እንዳሉ ልብ ይበሉ:

• የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል በፕሮባቢሊቲ ውስጥ ይሰበሰባል።
• ፈጽሞ የማይቻል ነው።
• የአማካይ ካሬ መጋጠሚያ።
• የስርጭት ውህደት.

ስለዚህ, ልክ ከሌሊት ወፍ, ምንነቱን ለመረዳት በጣም አስቸጋሪ ነው. ይህንን ርዕስ ለመረዳት የሚረዱዎት ትርጓሜዎች እዚህ አሉ። በመጀመሪያ እይታ እንጀምር. ቅደም ተከተል ይባላል በፕሮባቢሊቲ ውስጥ convergent፣ ከተገናኘን። ቀጣይ ሁኔታ: n ወደ ወሰንየለሽነት ያቀናል, ቅደም ተከተል ያለው ቁጥር ከዜሮ የሚበልጥ እና ወደ አንድ ቅርብ ነው.

ወደዚህ እንሂድ ቀጣይ እይታ,በእርግጠኝነት ማለት ይቻላል. ቅደም ተከተላቸው ይሰበሰባል ተብሏል። በእርግጠኝነት ማለት ይቻላልወደ አንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ n ወደ ወሰን አልባነት እና P ለአንድነት ቅርብ የሆነ እሴት በመያዝ።

የሚቀጥለው ዓይነት ነው አማካይ የካሬ መጋጠሚያ. SC convergence ሲጠቀሙ, ቬክተር በማጥናት የዘፈቀደ ሂደቶችየተቀናጁ የዘፈቀደ ሂደቶቻቸውን ለማጥናት ይወርዳል።

የመጨረሻው ዓይነት ይቀራል, በቀጥታ ችግሮችን ለመፍታት እንድንችል በአጭሩ እንመልከተው. በስርጭት ውስጥ ያለው ውህደት ሌላ ስም አለው - “ደካማ” ፣ እና ለምን በኋላ ላይ እናብራራለን። ደካማ ውህደትየመገደብ ስርጭት ተግባር በሁሉም ቀጣይነት ቦታዎች ላይ የማከፋፈያ ተግባራት መገጣጠም ነው።

የገባነውን ቃል በእርግጠኝነት እንጠብቃለን፡ ደካማ ውህደት በዛ ውስጥ ከላይ ከተጠቀሱት ሁሉ ይለያል የዘፈቀደ ዋጋበፕሮባቢሊቲው ቦታ ላይ አልተገለጸም. ይህ ሊሆን የቻለው ሁኔታው ​​የተፈጠረው የማከፋፈያ ተግባራትን በመጠቀም ብቻ ስለሆነ ነው.

የትልቅ ቁጥሮች ህግ

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ንድፈ ሃሳቦች፣ እንደ፡-

• የ Chebyshev እኩልነት.
• የ Chebyshev ጽንሰ-ሐሳብ.
• አጠቃላይ የ Chebyshev ጽንሰ-ሐሳብ.
• የማርኮቭ ጽንሰ-ሐሳብ.

እነዚህን ሁሉ ጽንሰ-ሐሳቦች ከተመለከትን, ከዚያም ይህ ጥያቄለበርካታ ደርዘን ሉሆች ሊቆይ ይችላል. የእኛ ዋና ሥራ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብን በተግባር ላይ ማዋል ነው። ይህንን አሁኑኑ እንዲያደርጉ እንመክርዎታለን። ነገር ግን ከዚያ በፊት, የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞችን እንመልከታቸው, ችግሮችን ለመፍታት ዋና ረዳቶች ይሆናሉ.

Axioms

ስለ የማይቻል ክስተት ስንነጋገር ከመጀመሪያው ጋር ተገናኘን. እናስታውስ፡ የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው። በጣም ግልጽ እና የማይረሳ ምሳሌ ሰጥተናል፡ በረዶ በሠላሳ ዲግሪ ሴልሺየስ የአየር ሙቀት ወደቀ።

ሁለተኛው ይሰማል። በሚከተለው መንገድ: አንድ የተወሰነ ክስተት በአጋጣሚ ይከሰታል ፣ ከአንድ ጋር እኩል ነው።. አሁን ይህንን የሂሳብ ቋንቋ በመጠቀም እንዴት እንደሚፃፍ እናሳያለን-P(B)=1.

ሶስተኛ፥ የዘፈቀደ ክስተትሊከሰትም ላይሆንም ይችላል ነገር ግን ዕድሉ ሁልጊዜ ከዜሮ ወደ አንድ ይደርሳል። እንዴት የበለጠ ዋጋ ያለውወደ አንዱ, የበለጠ ዕድሎች; እሴቱ ወደ ዜሮ ከተቃረበ, እድሉ በጣም ዝቅተኛ ነው. ይህንን በሂሳብ ቋንቋ እንፃፍ፡ 0<Р(С)<1.

የመጨረሻውን ፣ አራተኛውን አክሲየም እናስብ ፣ እሱም እንደዚህ ይመስላል-የሁለት ክስተቶች ድምር ዕድል ከእድላቸው ድምር ጋር እኩል ነው። እኛ በሒሳብ ቋንቋ እንጽፋለን፡ P(A+B)=P(A)+P(B)።

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞች ለማስታወስ የማይከብዱ በጣም ቀላሉ ህጎች ናቸው። ባገኘነው እውቀት መሰረት አንዳንድ ችግሮችን ለመፍታት እንሞክር።

የሎተሪ ቲኬት

በመጀመሪያ, ቀላሉን ምሳሌ እንመልከት - ሎተሪ. ለመልካም እድል አንድ የሎተሪ ቲኬት እንደገዛህ አድርገህ አስብ። ቢያንስ ሃያ ሩብልስ የማሸነፍ ዕድሉ ምን ያህል ነው? በአጠቃላይ አንድ ሺህ ትኬቶች በስርጭት ላይ እየተሳተፉ ሲሆን ከነዚህም አንዱ የአምስት መቶ ሩብል ሽልማት ያለው፣ አስሩ እያንዳንዳቸው መቶ ሩብል፣ ሃምሳ ሃያ ሩብል እና አንድ መቶ የአምስት ሽልማት አላቸው። የችግሮች ችግሮች የዕድል እድልን በመፈለግ ላይ የተመሰረቱ ናቸው. አሁን ከላይ ለተጠቀሰው ተግባር መፍትሄውን በጋራ እንመረምራለን ።

የአምስት መቶ ሩብሎችን ድል ለመጠቆም ሀ የሚለውን ፊደል ከተጠቀምን, A የማግኘት እድሉ ከ 0.001 ጋር እኩል ይሆናል. ይህንን እንዴት አገኘን? የ "እድለኛ" ቲኬቶችን ቁጥር በጠቅላላ ቁጥራቸው ማካፈል ብቻ ያስፈልግዎታል (በዚህ ጉዳይ ላይ: 1/1000).

B የአንድ መቶ ሩብሎች ድል ነው, እድሉ 0.01 ይሆናል. አሁን በቀደመው ድርጊት (10/1000) ላይ ባለው ተመሳሳይ መርህ ላይ ሠርተናል

ሐ - አሸናፊዎቹ ሃያ ሩብልስ ናቸው። እድሉን እናገኛለን, ከ 0.05 ጋር እኩል ነው.

የሽልማት ፈንድ በሁኔታው ላይ ከተጠቀሰው ያነሰ ስለሆነ የቀሩትን ቲኬቶች ፍላጎት የለንም ። አራተኛውን አክሱም እንተገብረው፡ ቢያንስ ሃያ ሩብል የማሸነፍ እድሉ P(A)+P(B)+P(C) ነው። ፊደሉ ፒ የአንድ የተወሰነ ክስተት የመከሰት እድልን በቀድሞ ድርጊቶች ውስጥ አግኝተናል. የሚቀረው አስፈላጊውን መረጃ መጨመር ነው, እና ያገኘነው መልስ 0.061 ነው. ይህ ቁጥር ለተግባር ጥያቄው መልስ ይሆናል.

የካርድ ወለል

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ ችግሮች የበለጠ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ, ለምሳሌ የሚከተለውን ተግባር እንውሰድ. ከፊት ለፊትዎ የሰላሳ ስድስት ካርዶች የመርከቧ ወለል አለ። የእርስዎ ተግባር አንድ ቁልል በውዝ ያለ በአንድ ረድፍ ውስጥ ሁለት ካርዶችን መሳል ነው, የመጀመሪያው እና ሁለተኛ ካርዶች aces መሆን አለበት, ጉዳዩ ምንም አይደለም.

በመጀመሪያ ፣ የመጀመሪያው ካርድ ኤሲ የመሆን እድሉን እንፈልግ ፣ ለዚህም አራት ለሰላሳ ስድስት እናካፍላለን። ወደ ጎን አስቀመጡት። ሁለተኛውን ካርድ እናወጣለን, ሶስት ሠላሳ አምስተኛ ሊሆን የሚችል ኤሲ ይሆናል. የሁለተኛው ክስተት ዕድል በመጀመሪያ በምንሳልበት ካርድ ላይ የተመሰረተ ነው, አሴ ነበር ወይስ አይደለም ብለን እናስባለን. ከዚህ በመነሳት ክስተት B በክስተት A ላይ ይወሰናል.

ቀጣዩ እርምጃ በአንድ ጊዜ የመከሰት እድልን መፈለግ ነው ፣ ማለትም ፣ እናባዛቸዋለን ሀ እና ለ. ምርታቸው እንደሚከተለው ይገኛል-የአንደኛውን ክስተት ዕድል በሌላ ሁኔታዊ ዕድል እናባዛለን ፣ እኛ እናሰላለን ፣ የመጀመሪያው እንደሆነ እንገምታለን። ክስተት ተከስቷል፣ ማለትም፣ በመጀመሪያው ካርድ አሴን ሳብን።

ሁሉንም ነገር ግልጽ ለማድረግ፣ ለእንደዚህ አይነት አካል እንደ ክስተቶች ስያሜ እንስጥ። ክስተት ሀ እንደተከሰተ በማሰብ ይሰላል። እንደሚከተለው ይሰላል: P (B / A).

ችግራችንን መፍታት እንቀጥል፡ P(A * B) = P(A) * P(B/A) or P(A *B) = P(B) * P(A/B)። ዕድሉ ከ (4/36) * ((3/35)/(4/36) ጋር እኩል ነው።ወደ መቶኛ በማጠጋጋት እናሰላለን። 0.09 በአንድ ረድፍ ውስጥ ሁለት አሴዎችን የመሳል እድሉ ዘጠኝ መቶኛ ነው, ይህም ማለት የዝግጅቱ እድል በጣም ትንሽ ነው.

የተረሳ ቁጥር

በአቅም ፅንሰ-ሀሳብ የተጠኑትን በርካታ ተጨማሪ ተለዋጮችን ለመተንተን ሀሳብ አቅርበናል። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አንዳንዶቹን የመፍታት ምሳሌዎችን ከዚህ በፊት አይተሃል የሚከተለውን ችግር ለመፍታት እንሞክር፡ ልጁ የጓደኛውን ስልክ ቁጥር የመጨረሻውን አሃዝ ረሳው ነገር ግን ጥሪው በጣም አስፈላጊ ስለነበር ሁሉንም ነገር አንድ በአንድ መደወል ጀመረ። . ከሶስት እጥፍ ያልበለጠ የመደወል እድልን ማስላት ያስፈልገናል. የችግሩ መፍትሔ ቀላል የሚሆነው የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ሕጎች፣ ሕጎች እና አክሶሞች የሚታወቁ ከሆነ ነው።

መፍትሄውን ከመመልከትዎ በፊት, እራስዎን ለመፍታት ይሞክሩ. የመጨረሻው አሃዝ ከዜሮ ወደ ዘጠኝ ማለትም በአጠቃላይ አስር ​​እሴቶች ሊሆን እንደሚችል እናውቃለን. ትክክለኛውን የማግኘት እድሉ 1/10 ነው።

በመቀጠል ለክስተቱ አመጣጥ አማራጮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን, ልጁ በትክክል እንደገመተ እና ወዲያውኑ ትክክለኛውን መተየብ, የዚህ ዓይነቱ ክስተት ዕድል 1/10 ነው. ሁለተኛው አማራጭ፡ የመጀመሪያው ጥሪ ቀርቷል፣ ሁለተኛው ደግሞ ዒላማው ላይ ነው። የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን እናሰላለን፡ 9/10ን በ1/9 ማባዛት እና በውጤቱም 1/10 እናገኛለን። ሦስተኛው አማራጭ: የመጀመሪያው እና ሁለተኛው ጥሪዎች በተሳሳተ አድራሻ ተገለጡ, በሦስተኛው ብቻ ልጁ ወደ ፈለገበት ቦታ ደረሰ. የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን እናሰላለን-9/10 በ 8/9 እና 1/8 ተባዝቷል ፣ ውጤቱም 1/10። እንደ ችግሩ ሁኔታ ሌሎች አማራጮች ፍላጎት የለንም, ስለዚህ የተገኘውን ውጤት ብቻ መደመር አለብን, በመጨረሻ 3/10 አለን. መልስ: ልጁ ከሶስት ጊዜ ያልበለጠ የመደወል እድሉ 0.3 ነው.

ቁጥሮች ያላቸው ካርዶች

ከፊት ለፊትዎ ዘጠኝ ካርዶች አሉ, በእያንዳንዳቸው ላይ ከአንድ እስከ ዘጠኝ ያለው ቁጥር ተጽፏል, ቁጥሮቹ አይደገሙም. በሳጥን ውስጥ ተጭነው በደንብ ተቀላቅለዋል. የዚያን ዕድል ማስላት ያስፈልግዎታል

• እኩል የሆነ ቁጥር ይታያል;
• ባለ ሁለት አሃዝ.

ወደ መፍትሄው ከመሄዳችን በፊት፣ m የተሳካላቸው ጉዳዮች ቁጥር እንደሆነ እና n አጠቃላይ የአማራጮች ብዛት እንደሆነ እንገልፃለን። ቁጥሩ እኩል ሊሆን የሚችልበትን ዕድል እንፈልግ። አራት እኩል ቁጥሮች እንዳሉ ለማስላት አስቸጋሪ አይሆንም, ይህ የእኛ m ይሆናል, በአጠቃላይ ዘጠኝ ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች አሉ, ማለትም m=9. ከዚያም እድሉ 0.44 ወይም 4/9 ነው.

ሁለተኛውን ጉዳይ እናስብ የአማራጮች ቁጥር ዘጠኝ ነው, እና ምንም የተሳካ ውጤት ሊኖር አይችልም, ማለትም, m ከዜሮ ጋር እኩል ነው. የተሳለው ካርድ ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር የመያዝ እድሉም ዜሮ ነው።