አንዳንድ ፕሮግራመሮች በመደበኛ የንግድ አፕሊኬሽኖች ልማት መስክ ከሰሩ በኋላ የማሽን መማርን ስለመቆጣጠር እና የውሂብ ተንታኝ ለመሆን ያስባሉ። አንዳንድ ዘዴዎች ለምን እንደሚሠሩ ብዙውን ጊዜ አይረዱም, እና አብዛኛዎቹ የማሽን የመማር ዘዴዎች እንደ አስማት ይመስላሉ. እንደ እውነቱ ከሆነ የማሽን መማር በሂሳብ ስታቲስቲክስ ላይ የተመሰረተ ነው, እሱም በተራው በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ላይ የተመሰረተ ነው. ስለዚህ, በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ለፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ትኩረት እንሰጣለን-የፕሮባቢሊቲ ፅንሰ-ሀሳቦችን እንነካለን, ስርጭትን እና በርካታ ቀላል ምሳሌዎችን እንመረምራለን.
የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በተለምዶ በ 2 ክፍሎች የተከፈለ መሆኑን ሊያውቁ ይችላሉ. ውሱን የይሁንታ ቲዎሪ በስርጭት ሊገለጹ የሚችሉ ክስተቶችን ያጠናል ውሱን (ወይም ሊቆጠሩ የሚችሉ) ሊሆኑ የሚችሉ የባህሪ አማራጮች (ዳይስ መወርወር፣ ሳንቲሞች)። ቀጣይነት ያለው የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ጥናቶች በአንዳንድ ጥቅጥቅ ያሉ ስብስቦች ላይ ተሰራጭተዋል፣ ለምሳሌ በክፍፍል ወይም በክበብ።
ቀላል ምሳሌን በመጠቀም የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ርዕሰ ጉዳይን ልንመለከት እንችላለን። እራስህን እንደ ተኳሽ ገንቢ አስብ። በዚህ ዘውግ ውስጥ የጨዋታዎች እድገት ዋና አካል የተኩስ ሜካኒክስ ነው። ሁሉም መሳሪያዎች በትክክል የሚተኮሱበት ተኳሽ ለተጫዋቾች ብዙም ፍላጎት እንደማይኖረው ግልፅ ነው። ስለዚህ በጦር መሣሪያዎ ላይ መስፋፋትን መጨመር አስፈላጊ ነው. ነገር ግን በቀላሉ የጦር መሳሪያ ተፅእኖ ነጥቦችን ማስተካከል ጥሩ ማስተካከል አይፈቅድም, ስለዚህ የጨዋታውን ሚዛን ማስተካከል አስቸጋሪ ይሆናል. በተመሳሳይ ጊዜ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን እና ስርጭቶቻቸውን በመጠቀም አንድ መሣሪያ በተሰጠው ስርጭት እንዴት እንደሚሰራ መተንተን እና አስፈላጊውን ማስተካከያ ለማድረግ ይረዳል።
የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ቦታ
ከአንዳንድ የዘፈቀደ ሙከራዎች ብዙ ጊዜ መድገም ከምንችል (ለምሳሌ ሳንቲም መወርወር) አንዳንድ መደበኛ መረጃዎችን ማውጣት እንችላለን (ጭንቅላቶች ወይም ጭራዎች ወጣ) እንበል። ይህ መረጃ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤት ተብሎ ይጠራል, እና ሁሉንም የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ስብስብ ግምት ውስጥ ማስገባት ጠቃሚ ነው, ብዙውን ጊዜ በ Ω (ኦሜጋ) ፊደል ይገለጻል.
የዚህ ቦታ መዋቅር ሙሉ በሙሉ በሙከራው ባህሪ ላይ የተመሰረተ ነው. ለምሳሌ፣ በቂ በሆነ ትልቅ ክብ ኢላማ ላይ መተኮስን ብናስብ፣ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ቦታ ክብ፣ ለምቾት ሲባል፣ ከማዕከሉ ዜሮ ጋር የተቀመጠ፣ እና ውጤቱ በዚህ ክበብ ውስጥ ነጥብ ይሆናል።
በተጨማሪም, የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ስብስቦች - ክስተቶች ግምት ውስጥ ያስገባሉ (ለምሳሌ, አስር ከፍተኛውን መምታት ከዒላማ ጋር የተጣመረ አነስተኛ ራዲየስ ክበብ ነው). በልዩ ሁኔታ ፣ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው-በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶችን ጨምሮ ወይም ሳያካትት ማንኛውንም ክስተት ማግኘት እንችላለን። ቀጣይነት ባለው ሁኔታ ፣ ሁሉም ነገር በጣም የተወሳሰበ ነው ፣ ሊታከሉ ፣ ሊቀንሱ ፣ ሊከፋፈሉ እና ሊባዙ በሚችሉ ቀላል እውነተኛ ቁጥሮች አልጀብራ ተብሎ የሚጠራ አንዳንድ ትክክለኛ ጥሩ የስብስብ ቤተሰብ እንፈልጋለን። በአልጀብራ ውስጥ ያሉ ስብስቦች ሊጣመሩ እና ሊጣመሩ ይችላሉ, እና የቀዶ ጥገናው ውጤት በአልጀብራ ውስጥ ይሆናል. ይህ ከነዚህ ሁሉ ፅንሰ-ሀሳቦች በስተጀርባ ላለው የሂሳብ ትምህርት በጣም አስፈላጊ ንብረት ነው። አነስተኛ ቤተሰብ ሁለት ስብስቦችን ብቻ ያቀፈ ነው - ባዶ ስብስብ እና የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ቦታ።
መለካት እና ዕድል
ፕሮባቢሊቲ በጣም ውስብስብ ነገሮች እንዴት እንደሚሠሩ ሳይረዱ ባህሪን በተመለከተ ግምቶችን የምናደርግበት መንገድ ነው። ስለዚህ ፕሮባቢሊቲ እንደ አንድ ክስተት ተግባር (ከዚያ በጣም ጥሩ የስብስብ ቤተሰብ) ቁጥርን የሚመልስ ነው - በእውነቱ እንደዚህ ያለ ክስተት ምን ያህል ጊዜ ሊከሰት እንደሚችል አንዳንድ ባህሪዎች። በእርግጠኝነት፣ የሂሳብ ሊቃውንት ይህ ቁጥር በዜሮ እና በአንድ መካከል መሆን እንዳለበት ተስማምተዋል። በተጨማሪም, ይህ ተግባር መስፈርቶች አሉት-የማይቻል ክስተት ዕድል ዜሮ ነው, የጠቅላላው የውጤቶች ስብስብ ዕድል አሃድ ነው, እና ሁለት ገለልተኛ ክስተቶችን (የተለያዩ ስብስቦችን) የማጣመር እድሉ ከድምሩ ድምር ጋር እኩል ነው. ሌላው የይሆናልነት ስም የይሆናልነት መለኪያ ነው። ብዙውን ጊዜ የሌብስጌ መለኪያ ጥቅም ላይ ይውላል ፣ እሱም የርዝመት ፣ የአካባቢ ፣ የድምጽ መጠን ለማንኛውም ልኬቶች (n-dimensional volume) ፅንሰ-ሀሳቦችን ያጠቃለለ እና ስለሆነም ለብዙ ስብስቦች ክፍል ተፈጻሚ ይሆናል።
አንድ ላይ፣ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ስብስብ፣ የስብስብ ቤተሰብ እና የፕሮባቢሊቲ መለኪያ ስብስብ ይባላል። ሊሆን የሚችል ቦታ. ኢላማ ላይ ለመተኮስ ምሳሌ የሚሆን የይሆናል ቦታን እንዴት መገንባት እንደምንችል እንመልከት።
ለማምለጥ በማይቻል ራዲየስ R ትልቅ ክብ ኢላማ ላይ መተኮስን አስቡበት። በአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ስብስብ በራዲየስ አር መጋጠሚያዎች መነሻ ላይ ማእከል ያለው ክበብ እናዘጋጃለን። የክስተቱን እድል ለመግለጽ አካባቢን (የ Lebesgue መለኪያ ለባለ ሁለት ገጽታ ስብስቦች) ስለምንጠቀም፣ ሊለካ የሚችል ቤተሰብ (ይህ ልኬት ያለበት) ስብስቦችን እንጠቀማለን።
ማስታወሻ በእውነቱ, ይህ ቴክኒካዊ ነጥብ ነው እና በቀላል ችግሮች ውስጥ መለኪያ እና ስብስቦች ቤተሰብን የመወሰን ሂደት ልዩ ሚና አይጫወትም. ነገር ግን እነዚህ ሁለት ነገሮች መኖራቸውን መረዳት ያስፈልጋል፣ ምክንያቱም በብዙ መጽሐፎች ስለ ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ጽንሰ-ሐሳቦች የሚጀምሩት በሚሉት ቃላት ነው፡ (Ω,Σ,P) የይሆናል ቦታ ይሁን...».
ከላይ እንደተጠቀሰው ፣ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች አጠቃላይ ቦታ እድሉ ከአንድ ጋር እኩል መሆን አለበት። ከትምህርት ቤት በሚታወቀው ቀመር መሰረት የክበብ ቦታ (ሁለት-ልኬት Lebesgue መለኪያ, λ 2 (A) የምንለው, A ክስተት ነው, ከ π * R 2 ጋር እኩል ነው. ከዚያም ፕሮባቢሊቲ P (A) = λ 2 (A) / (π * R 2) ማስተዋወቅ እንችላለን, እና ይህ ዋጋ ቀድሞውኑ በ 0 እና 1 መካከል ለማንኛውም ክስተት A ነው.
በዒላማው ላይ ማንኛውንም ነጥብ መምታት እኩል ሊሆን ይችላል ብለን ከወሰድን ፣የተኳሹን የተወሰነ ቦታ የመምታት እድል ፍለጋ የዚህን ስብስብ ቦታ ለማግኘት ይወርዳል (ከዚህ ልንሆን እንችላለን) አንድ የተወሰነ ነጥብ መምታት ዜሮ ነው, ምክንያቱም የነጥቡ ስፋት ዜሮ ነው).
ለምሳሌ, ተኳሹ አስር ከፍተኛውን የመምታት እድሉ ምን እንደሆነ ለማወቅ እንፈልጋለን (ክስተት A - ተኳሹ የተፈለገውን ስብስብ ይመታል). በእኛ ሞዴል ውስጥ "አስር" በዜሮ እና ራዲየስ r ላይ ማእከል ባለው ክበብ ይወከላል. ከዚያ ወደዚህ ክበብ የመግባት እድሉ P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 ነው።
ይህ በጣም ቀላል ከሆኑት የ "ጂኦሜትሪክ ፕሮባቢሊቲ" ችግሮች አንዱ ነው - አብዛኛዎቹ እነዚህ ችግሮች አካባቢ መፈለግን ይጠይቃሉ.
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶችን ወደ እውነተኛ ቁጥሮች የሚቀይር ተግባር ነው። ለምሳሌ, በተገመተው ችግር ውስጥ, በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ρ (ω) - ከተጽዕኖው ነጥብ እስከ ዒላማው መሃል ያለውን ርቀት ማስተዋወቅ እንችላለን. የአምሳያችን ቀላልነት የአንደኛ ደረጃ ውጤቶችን ቦታ በግልፅ እንድንገልጽ ያስችለናል: Ω = (ω = (x, y) እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . ከዚያም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2.
ከፕሮባቢሊቲ ቦታ የመሳብ ዘዴዎች። የስርጭት ተግባር እና እፍጋት
የቦታው መዋቅር በደንብ በሚታወቅበት ጊዜ ጥሩ ነው, ግን በእውነቱ ይህ ሁልጊዜ አይደለም. የቦታው መዋቅር ቢታወቅም ውስብስብ ሊሆን ይችላል. አገላለጻቸው የማይታወቅ ከሆነ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን ለመግለጽ፣ የስርጭት ተግባር ጽንሰ-ሐሳብ አለ፣ እሱም በF ξ (x) = P (ξ) ይገለጻል።< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
የስርጭት ተግባር በርካታ ባህሪያት አሉት:
- በመጀመሪያ ደረጃ በ 0 እና 1 መካከል ነው.
- በሁለተኛ ደረጃ, የእሱ ክርክር x ሲጨምር አይቀንስም.
- ሦስተኛ፣ ቁጥሩ -x በጣም ትልቅ ሲሆን የማከፋፈያው ተግባር ወደ 0 ይጠጋል፣ እና x ራሱ ትልቅ ሲሆን የማከፋፈያው ተግባር ወደ 1 ይጠጋል።
ምናልባትም, የዚህ ግንባታ ትርጉም በመጀመሪያ ሲነበብ በጣም ግልጽ አይደለም. አንድ ጠቃሚ ንብረት የማከፋፈያው ተግባር አንድ መጠን ከአንድ የጊዜ ክፍተት ዋጋ የሚወስድበትን እድል ለመፈለግ ይፈቅድልዎታል። ስለዚህ፣ ፒ (የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ξ እሴቶችን ከመካከላቸው ይወስዳል) = F ξ (b)-F ξ (a)። በዚህ እኩልነት ላይ በመመስረት፣ የጊዜ ክፍተት a እና b ድንበሮች ከተቃረቡ ይህ እሴት እንዴት እንደሚለወጥ ማጥናት እንችላለን።
ተው d = b-a , ከዚያም b = a+d . እና ስለዚህ, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . ለትንንሽ ዲ ዋጋዎች, ከላይ ያለው ልዩነት ትንሽ ነው (ስርጭቱ ቀጣይ ከሆነ). ጥምርታ p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/መን ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው። በበቂ ሁኔታ አነስተኛ ለሆኑ የ d እሴቶች ይህ ሬሾ ከአንዳንድ ቋሚ p ξ (a) የሚለይ ከሆነ ከ d ነፃ ከሆነ በዚህ ጊዜ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከ p ξ (a) ጋር እኩል የሆነ ጥግግት አለው።
ማስታወሻ ከዚህ ቀደም የመነሻ ጽንሰ-ሐሳብን ያጋጠሙ አንባቢዎች p ξ (a) የተግባር ፍ ξ (x) በነጥብ ሀ መሆኑን ሊያስተውሉ ይችላሉ። ያም ሆነ ይህ በ Mathprofi ድህረ ገጽ ላይ በዚህ ርዕስ ላይ ባለው መጣጥፍ ውስጥ የመነሻ ጽንሰ-ሀሳብን ማጥናት ይችላሉ።
አሁን የማከፋፈያ ተግባሩን ትርጉም በሚከተለው መልኩ ሊገለጽ ይችላል፡ የመነጩ ( density p ξ፣ ከላይ የገለፅነው) በነጥብ ሀ አንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በ ነጥብ ሀ ላይ ባማከለ ትንሽ ክፍተት ውስጥ ምን ያህል ጊዜ እንደሚወድቅ ይገልጻል። ) ከሌሎች ነጥቦች አከባቢዎች ጋር ሲነጻጸር. በሌላ አነጋገር የማከፋፈያው ተግባር በፍጥነት እያደገ በሄደ ቁጥር እንዲህ ያለው ዋጋ በዘፈቀደ ሙከራ ውስጥ የመታየት እድሉ ከፍተኛ ነው።
ወደ ምሳሌው እንመለስ። ለነሲብ ተለዋዋጭ የማከፋፈያ ተግባሩን ማስላት እንችላለን፣ ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2፣ ይህም ከማዕከሉ እስከ ኢላማው ላይ ባለው የዘፈቀደ ምት ነጥብ ያለውን ርቀት ያሳያል። በትርጓሜ፣ F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 የዚህን የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ጥግግት p ρ ማግኘት እንችላለን። ወዲያውኑ ከክፍተቱ ውጭ ዜሮ መሆኑን እናስተውል, ምክንያቱም በዚህ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያለው የስርጭት ተግባር አልተለወጠም. በዚህ የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ እፍጋቱ አልተወሰነም. በክፍተቱ ውስጥ፣ የመነሻዎች ሠንጠረዥ (ለምሳሌ ከ Mathprofi ድህረ ገጽ) እና የመጀመሪያ ደረጃ የልዩነት ህጎችን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል። የ t 2/R 2 አመጣጥ ከ 2t/R 2 ጋር እኩል ነው። ይህ ማለት በእውነተኛ ቁጥሮች ዘንግ ላይ ያለውን ጥግግት አገኘን ማለት ነው። ሌላው ጠቃሚ የ density ንብረት አንድ ተግባር ከአንድ የጊዜ ክፍተት እሴት የሚወስድበት እድል ነው ፣ በዚህ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያለውን የክብደት ዋና አካል በመጠቀም ይሰላል (ይህ በ Mathprofi ላይ ስለ ትክክለኛ ፣ ተገቢ ያልሆኑ እና ያልተወሰነ ውህዶች በጽሁፎቹ ውስጥ ምን እንደሆነ ማወቅ ይችላሉ) ድህረገፅ). በመጀመሪያ ንባብ፣ የ f(x) ተግባር በጊዜ ክፍተት ውስጥ ያለው ውህደት የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ አካባቢ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። ጎኖቹ የኦክስ ዘንግ ቁርጥራጭ፣ ክፍተት (አግድም መጋጠሚያ ዘንግ)፣ ቀጥ ያሉ ክፍሎች የሚያገናኙ ነጥቦች (a፣f(a))፣ (b፣f(b)) በኩርባው ላይ ነጥቦች (a,0) ናቸው። (b,0) በኦክስ ዘንግ ላይ. የመጨረሻው ጎን የተግባሩ ግራፍ ቁራጭ ነው f ከ (a,f (a)) ወደ (b,f (b)) . ስለ ውህደቱ በጊዜ መካከል መነጋገር እንችላለን (-∞; ለ)፣ በበቂ ሁኔታ ትልቅ አሉታዊ እሴቶች ሲኖሩ፣ ሀ፣ ከቁጥሩ ለውጥ ጋር ሲነጻጸር በቸልተኝነት ይቀየራል ሀ. በተመሳሳይ መንገድ ይገለጻል)