Логарифмічні рівняння. Від простого – до складного.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Що таке логарифмічне рівняння?
Це рівняння із логарифмами. Ось здивував, так?) Тоді уточню. Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться всередині логарифмів.І лише там! Це важливо.
Ось вам приклади логарифмічних рівнянь:
log 3 х = log 3 9
log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)
log х +1 (х 2 +3х-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Ну ви зрозуміли... )
Зверніть увагу! Найрізноманітніші вирази з іксами розташовуються виключно усередині логарифмів.Якщо, раптом, у рівнянні виявиться ікс десь зовні, наприклад:
log 2 х = 3+х,
це буде вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. До речі, трапляються рівняння, де всередині логарифмів тільки числа. Наприклад:
Що тут сказати? Пощастило вам, якщо таке трапилося! Логарифм з числами – це якесь число.І все. Достатньо знати властивості логарифмів, щоб вирішити таке рівняння. Знання спеціальних правил, прийомів, пристосованих саме для вирішення логарифмічних рівнянь,тут не потрібно.
Отже, що таке логарифмічне рівняння- Розібралися.
Як розв'язувати логарифмічні рівняння?
Рішення логарифмічних рівнянь- Штука, взагалі-то, не дуже проста. Так і розділ у нас - на четвірку... Потрібний пристойний запас знань з будь-яких суміжних тем. Крім того, існує у цих рівняннях особлива фішка. І фішка це настільки важлива, що її сміливо можна назвати головною проблемою у вирішенні логарифмічних рівнянь. Ми з цією проблемою у наступному уроці детально розберемося.
А зараз – не хвилюйтеся. Ми підемо правильним шляхом, від простого до складного.на конкретні приклади. Головне, вникайте у прості речі і не лінуйтеся ходити за посиланнями, я їх не просто так поставив... І все у вас вийде. Обов'язково.
Почнемо з найпростіших рівнянь. Для їх вирішення бажано мати уявлення про логарифм, але не більше. Просто без поняття логарифма,братися за рішення логарифмічнихрівнянь - якось і ніяково навіть... Дуже сміливо, я б сказав).
Найпростіші логарифмічні рівняння.
Це рівняння виду:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2х-3) = log 7 х
3. log 7 (50х-1) = 2
Процес вирішення будь-якого логарифмічного рівнянняполягає у переході від рівняння з логарифмами до рівняння без них. У найпростіших рівняннях цей перехід здійснюється за один крок. Тому і найпростіші.)
І вирішуються такі логарифмічні рівняння напрочуд просто. Дивіться самі.
Вирішуємо перший приклад:
log 3 х = log 3 9
Для вирішення цього прикладу майже нічого знати і не треба, так... Чисто інтуїція! особливоне подобається у цьому прикладі? Що-що... Логарифми не подобаються! Правильно. От і позбудемося їх. Уважно дивимося на приклад, і у нас виникає природне бажання... Прямо-таки непереборне! Взяти та викинути логарифми взагалі. І, що тішить, це можна, можливозробити! Математика дозволяє. Логарифми зникають,виходить відповідь:
Здорово, правда? Так можна (і треба) робити завжди. Ліквідація логарифмів подібним чином- один з основних способів розв'язання логарифмічних рівнянь та нерівностей. У математиці ця операція називається потенціювання.Є, звісно, свої правила на таку ліквідацію, але їх замало. Запам'ятовуємо:
Ліквідувати логарифми без жодних побоювань можна, якщо вони:
а) однакові числові підстави
в) логарифми зліва-право чисті (без будь-яких коефіцієнтів) і перебувають у гордій самоті.
Поясню останній пункт. У рівнянні, скажімо,
log 3 х = 2log 3 (3х-1)
прибирати логарифми не можна. Двійка справа не дозволяє. Коефіцієнт, розумієш... У прикладі
log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х)
теж не можна потенціювати рівняння. У лівій частині немає самотнього логарифму. Їх там два.
Коротше, прибирати логарифми можна, якщо рівняння виглядає так і тільки так:
log а (.....) = log а (.....)
У дужках, де багатокрапка, можуть бути які завгодно висловлювання.Прості, суперскладні, усілякі. Які завгодно. Важливо, що після ліквідації логарифмів у нас залишається Найпростіше рівняння.Передбачається, звичайно, що вирішувати лінійні, квадратні, дробові, показові та інші рівняння без логарифмів ви вже вмієте.
Тепер легко можна вирішити другий приклад:
log 7 (2х-3) = log 7 х
Власне, в голові вирішується. Потенціюємо, отримуємо:
Ну що, дуже складно?) Як бачите, логарифмічначастина рішення рівняння полягає тільки у ліквідації логарифмів.А далі йде рішення рівняння, що залишилося, вже без них. Пустельна справа.
Вирішуємо третій приклад:
log 7 (50х-1) = 2
Бачимо, що зліва стоїть логарифм:
Згадуємо, що це логарифм - якесь число, у якому треба звести основу (тобто. сім), щоб отримати подлогарифмное вираз, тобто. (50х-1).
Але це число одно двом! За рівнянням. Стало бути:
Ось по суті, і все. Логарифм зник,залишилося невинне рівняння:
Ми вирішили це логарифмічне рівняння, виходячи тільки з сенсу логарифму. Що, ліквідувати логарифми таки простіше?) Згоден. До речі, якщо з двійки логарифм зробити, можна цей приклад і через ліквідацію вирішити. З будь-якого числа можна зробити логарифм. Причому такий, який нам треба. Дуже корисний прийому розв'язанні логарифмічних рівнянь та (особливо!) нерівностей.
Чи не вмієте з числа логарифм робити!? Нічого страшного. У розділі 555 цей прийом докладно описано. Можете освоїти та застосовувати його на повну котушку! Він дуже зменшує кількість помилок.
Абсолютно аналогічно (за визначенням) вирішується і четверте рівняння:
Ось і всі справи.
Підіб'ємо підсумки цього уроку. Ми розглянули на прикладах вирішення найпростіших логарифмічних рівнянь. Це дуже важливо. І не лише тому, що такі рівняння бувають на контрольних-іспитах. Справа в тому, що навіть найзліші та заморочені рівняння обов'язково зводяться до найпростіших!
Власне, найпростіші рівняння – це фінішна частина рішення будь-якихрівнянь. І цю фінішну частину треба розуміти залізно! І ще. Обов'язково дочитайте цю сторінку до кінця. Є там сюрприз...)
Вирішуємо тепер самостійно. Набиваємо руку, так би мовити...)
Знайти корінь (або суму коренів, якщо їх кілька) рівнянь:
ln(7х+2) = ln(5х+20)
log 2 (х 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5х-1,5) = 0,25
log 0,2 (3х-1) = -3
ln(е 2 +2х-3) = 2
log 2 (14х) = log 2 7 + 2
Відповіді (безладно, зрозуміло): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Що, не все виходить? Буває. Не журіться! У розділі 555 рішення всіх цих прикладів розписано зрозуміло та докладно. Там точно розберетеся. Та ще й корисні практичні прийоми опануйте.
Все вийшло!? Усі приклади "однієї лівої"?) Вітаю!
Настав час відкрити вам гірку правду. Успішне вирішення цих прикладів зовсім не гарантує успіх у вирішенні решти всіх логарифмічних рівнянь. Навіть найпростіших, подібних до цих. На жаль.
Річ у тім, що рішення будь-якого логарифмічного рівняння (навіть найпростішого!) складається з двох рівноцінних елементів.Рішення рівняння, та робота з ОДЗ. Одну частину – рішення самого рівняння – ми освоїли. Не так вже й важко,вірно?
Для цього уроку я спеціально підібрав такі приклади, в яких ОДЗ на відповіді ніяк не позначається. Але не всі такі добрі, як я, правда?
Тому треба обов'язково освоїти й іншу частину. ОДЗ. Це і є головна проблема у вирішенні логарифмічних рівнянь. І не тому, що важка – ця частина ще простіше за першу. А тому, що про ОДЗ просто забувають. Або не знають. Або і те, й інше). І падають на рівному місці...
У наступному уроці ми розправимося з цією проблемою. Ось тоді можна буде впевнено вирішувати будь-якінескладні логарифмічні рівняння та підбиратися до цілком солідних завдань.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Інструкція
Запишіть заданий логарифмічний вираз. Якщо у виразі використовується логарифм 10, його запис коротшає і виглядає так: lg b - це десятковий логарифм. Якщо ж логарифм має у вигляді основи число е, записують вираз: ln b – натуральний логарифм. Мається на увазі, що результатом будь-якого є ступінь, в який треба звести число основи, щоб вийшло число b.
При знаходженні від суми двох функцій необхідно просто їх по черзі продиференціювати, а результати скласти: (u+v)" = u"+v";
При знаходженні похідної від добутку двох функцій необхідно похідну від першої функції помножити на другу і додати похідну другої функції, помножену на першу функцію: (u*v)" = u"*v+v"*u;
Для того, щоб знайти похідну від частки двох функцій необхідно, від твору похідної ділимого, помноженої на функцію дільника, відняти твір похідної дільника, помноженої на функцію ділимого, і все це розділити на функцію дільника зведену в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Якщо дана складна функція, то необхідно перемножити похідну від внутрішньої функціїта похідну від зовнішньої. Нехай y=u(v(x)), тоді y"(x)=y"(u)*v"(x).
Використовуючи отримані вище, можна продиференціювати практично будь-яку функцію. Отже, розглянемо кілька прикладів:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Також зустрічаються завдання на обчислення похідної у точці. Нехай задана функція y=e^(x^2+6x+5), необхідно визначити значення функції у точці х=1.
1) Знайдіть похідну функції: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Обчисліть значення функції в заданій точці y"(1)=8*e^0=8
Відео на тему
Вивчіть таблицю елементарних похідних. Це помітно заощадить час.
Джерела:
- похідна константи
Отже, чим відрізняється ір раціональне рівняннявід раціонального? Якщо невідома змінна знаходиться під знаком квадратного кореня, то рівняння вважається ірраціональним.
Інструкція
Основний метод розв'язання таких рівнянь – метод зведення обох частин рівнянняу квадрат. Втім. це природно, насамперед необхідно позбутися знака. Технічно цей метод не складний, але іноді це може спричинити неприємності. Наприклад, рівняння v(2х-5) = v(4х-7). Звівши обидві його сторони квадрат, ви отримаєте 2х-5=4х-7. Таке рівняння вирішити не складе труднощів; х = 1. Але число 1 не буде цього рівняння. Чому? Підставте одиницю в рівняння замість значення х. Таке значення не припустимо квадратного кореня. Тому 1 - сторонній корінь, і отже дане рівнянняне має коріння.
Отже, ірраціональне рівняннявирішується за допомогою методу зведення у квадрат обох його частин. І вирішивши рівняння, необхідно обов'язково, щоб відсікти стороннє коріння. Для цього підставте знайдене коріння в оригінальне рівняння.
Розгляньте ще один.
2х+vх-3=0
Звичайно ж, це рівняння можна вирішити за тим самим, що й попереднє. Перенести складові рівняння, що не мають квадратного кореня, в праву частину і далі використовувати метод зведення в квадрат. вирішити отримане раціональне рівняння та коріння. Але й інший, більш витончений. Введіть нову змінну; vх = y. Відповідно, ви отримаєте рівняння виду 2y2+y-3=0. Тобто звичайне квадратне рівняння. Знайдіть його коріння; y1=1 та y2=-3/2. Далі вирішіть два рівняння vх = 1; vх = -3/2. Друге рівняння коренів немає, з першого знаходимо, що х=1. Не забудьте про необхідність перевірки коренів.
Вирішувати тотожності досить просто. Для цього потрібно здійснювати тотожні перетворення, Поки поставленої мети не буде досягнуто. Таким чином, за допомогою найпростіших арифметичних дійпоставлене завдання буде вирішено.
Вам знадобиться
- - папір;
- - Ручка.
Інструкція
Найпростіший таких перетворень – алгебраїчні скороченого множення (такі як квадрат суми (різниці), різниця квадратів, сума (різниця), куб суми (різниці)). Крім того існує безліч і тригонометричних формул, які за своєю суттю тими самими тотожностями.
Справді, квадрат суми двох доданків дорівнює квадратупершого плюс подвоєний добуток першого на друге і плюс квадрат другого, тобто (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2.
Спростіть обох
Загальні засади рішення
Повторіть за підручником з математичного аналізуабо вищої математики, Що являє собою певний інтеграл. Як відомо, рішення певного інтегралує функція, похідна якої дасть підінтегральний вираз. Ця функціяназивається первісною. за даним принципомта будується основних інтегралів.Визначте за видом підінтегральної функції, який із табличних інтегралів підходить у даному випадку. Не завжди вдається це визначити одразу ж. Часто, табличний вигляд стає помітним лише після кількох перетворень зі спрощення підінтегральної функції.
Метод заміни змінних
Якщо підінтегральною функцією є тригонометрична функція, в аргументі якої є певний багаточлен, то спробуйте використовувати метод заміни змінних. Для того, щоб це зробити, замініть багаточлен, що стоїть в аргументі підінтегральної функції, на деяку нову змінну. За співвідношенням між новою та старою змінною визначте нові межі інтегрування. Диференціюванням даного виразу знайдіть новий диференціал у . Таким чином, ви отримаєте новий видколишнього інтеграла, близький або навіть відповідний будь-якому табличному.Рішення інтегралів другого роду
Якщо інтеграл є інтегралом другого роду, векторний вид підінтегральної функції, то вам буде потрібно скористатися правилами переходу від даних інтегралів до скалярних. Одним із таких правил є співвідношення Остроградського-Гаусса. Цей закондозволяє перейти від потоку ротора деякої векторної функції до потрійного інтеграла дивергенції даного векторного поля.Підстановка меж інтегрування
Після знаходження первинної необхідно підставити межі інтегрування. Спочатку підставте значення верхньої межіу вираз для первісної. Ви отримаєте кілька. Далі відніміть з отриманого числа інше число, отримане нижньої межі первісну. Якщо одна з меж інтегрування є нескінченністю, то при підстановці її в первісну функціюнеобхідно перейти до межі і знайти, чого прагне вираз.Якщо інтеграл є двовимірним або тривимірним, то вам доведеться зображувати геометричні межі інтегрування, щоб розуміти, як розраховувати інтеграл. Адже у випадку, скажімо, тривимірного інтеграла межами інтегрування можуть бути цілі площини, що обмежують обсяг, що інтегрується.
Підготовка до підсумковому тестуваннюз математики включає важливий розділ - «Логарифми». Завдання з цієї теми обов'язково містяться у ЄДІ. Досвід минулих років показує, що логарифмічні рівняння викликали складнощі у багатьох школярів. Тому розуміти, як знайти правильну відповідь, та оперативно справлятися з ними мають учні з різним рівнемпідготовки.
Здайте атестаційне випробування успішно за допомогою освітнього порталу «Школкове»!
Під час підготовки до єдиного державного іспиту випускникам старших класів потрібне достовірне джерело, що надає максимально повну та точну інформацію для успішного вирішення тестових завдань. Однак підручник не завжди виявляється під рукою, а пошук необхідних правилта формул в Інтернеті часто потребує часу.
Освітній портал «Школкове» дозволяє займатися підготовкою до ЄДІ у будь-якому місці у будь-який час. На нашому сайті пропонується найбільш зручний підхід до повторення та засвоєння великої кількості інформації з логарифмів, а також з одним і кількома невідомими. Почніть із легких рівнянь. Якщо ви впоралися з ними легко, переходьте до складніших. Якщо у вас виникли проблеми з вирішенням певної нерівності, ви можете додати її до «Вибраного», щоб повернутися до неї пізніше.
Знайти необхідні формулиДля виконання завдання, повторити окремі випадки та способи обчислення кореня стандартного логарифмічного рівняння ви можете, заглянувши у розділ «Теоретична довідка». Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали всі необхідні для успішної здачіматеріали у максимально простій та зрозумілій формі.
Щоб без проблем справлятися із завданнями будь-якої складності, на нашому порталі ви можете ознайомитися з вирішенням деяких типових логарифмічних рівнянь. Для цього перейдіть до розділу «Каталоги». У нас представлено велика кількістьприкладів, у тому числі з рівняннями профільного рівняЄДІ з математики.
Скористатися нашим порталом можуть учні зі шкіл у всій Росії. Для початку занять просто зареєструйтесь у системі та приступайте до вирішення рівнянь. Для закріплення результатів радимо повертатись на сайт «Школкове» щодня.
Цим відео я починаю довгу серію уроків про логарифмічні рівняння. Зараз перед вами одразу три приклади, на основі яких ми вчитимемося вирішувати самі прості завдання, які так і називаються найпростіші.
log 0,5 (3x − 1) = −3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Нагадаю, що найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:
log a f(x) = b
При цьому важливо, щоб змінна х присутня тільки всередині аргументу, тобто тільки функції f (x ). А числа а і b є саме числами, а в жодному разі не функціями, що містять змінну х.
Основні методи вирішення
Існує безліч способів розв'язання таких конструкцій. Наприклад, більшість вчителів у школі пропонують такий спосіб: Відразу висловити функцію f(x) за формулою f ( x) = a b. Т. е. коли ви зустрічаєте найпростішу конструкцію, відразу без додаткових дій і побудов можете перейти до рішення.
Так, безумовно, рішення вийде правильним. Однак проблема цієї формули полягає в тому, що більшість учнів не розуміютьзвідки вона береться і чому саме букву а ми зводимо в букву b.
В результаті я часто спостерігаю дуже образливі помилки, коли, наприклад, ці літери змінюються місцями. Цю формулуТреба або зрозуміти, або зубрити, причому другий спосіб призводить до помилок у найневідповідніші і найвідповідальніші моменти: на іспитах, контрольних і т. д.
Саме тому всім своїм учням я пропоную відмовитися від стандартної шкільної формули та використати для вирішення логарифмічних рівнянь другий підхід, який, як ви вже напевно здогадалися з назви, називається канонічною формою.
Ідея канонічної форми проста. Давайте ще раз подивимося на наше завдання: ліворуч у нас є log a, при цьому під буквою a мається на увазі саме число, а в жодному разі не функція, що містить змінну х. Отже, на цю літеру поширюються всі обмеження, що накладаються на основу логарифму. а саме:
1 ≠ a > 0
З іншого боку, з того ж рівняння ми бачимо, що логарифм має бути дорівнює числу b , і ось на цю літеру жодних обмежень не накладається, тому що він може набувати будь-яких значень — як позитивних, так і негативних. Все залежить від того, які значення набуває функція f(x).
І ось тут ми згадуємо наше чудове правило, що будь-яке число b може бути представлене у вигляді логарифму на підставі а від ступеня b :
b = log a a b
Як запам'ятати цю формулу? Так, дуже просто. Давайте запишемо таку конструкцію:
b = b · 1 = b · log a a
Вочевидь, що у своїй виникають усі обмеження, які ми записали спочатку. А тепер давайте скористаємося основною властивістю логарифму, і внесемо множник b як ступінь а. Отримаємо:
b = b · 1 = b · log a a = log a a b
У результаті вихідне рівняння перепишеться у такому вигляді:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
От і все. Нова функціявже не містить логарифму і вирішується стандартними прийомами алгебри.
Звичайно, хтось зараз заперечить: а навіщо взагалі було вигадувати якусь канонічну формулу, навіщо виконувати два додаткові непотрібні кроки, якщо можна було одразу перейти від вихідної конструкції до підсумкової формули? Та вже хоча б тому, що більшість учнів не розуміють, звідки береться ця формула і, як наслідок, регулярно припускаються помилок при її застосуванні.
А ось така послідовність дій, що складається з трьох кроків, дозволяє вам вирішити вихідне логарифмічне рівняння, навіть якщо ви не розумієте, звідки береться та сама підсумкова формула. До речі, канонічною формулоюназивається саме цей запис:
log a f(x) = log a a b
Зручність канонічної форми полягає ще й у тому, що її можна застосовувати для вирішення дуже широкого класу логарифмічних рівнянь, а не лише найпростіших, які ми сьогодні розглядаємо.
Приклади рішення
А тепер давайте розглянемо реальні приклади. Отже, вирішуємо:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Давайте перепишемо його так:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Багато учнів поспішають і намагаються одразу звести число 0,5 у ступінь, який прийшов до нас із вихідного завдання. І справді, коли ви вже добре натренуєтеся у вирішенні подібних завдань, ви можете одразу виконувати цей крок.
Однак якщо зараз ви тільки приступаєте до вивчення цієї теми, краще нікуди не поспішати, щоб не допускати образливих помилок. Отже, маємо канонічна форма. Маємо:
3x − 1 = 0,5 −3
Це вже не логарифмічне рівняння, а лінійне щодо змінної x. Щоб розв'язати його, давайте спочатку розберемося з числом 0,5 у ступені −3. Зауважимо, що 0,5 – це 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Усе десяткові дробипереводьте у звичайні, коли ви вирішуєте логарифмічний рівняння.
Переписуємо та отримуємо:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Все, ми отримали відповідь. Перше завдання вирішено.
Друге завдання
Переходимо до другого завдання:
Як бачимо, це рівняння вже не є найпростішим. Вже хоча б тому, що ліворуч стоїть різниця, а не один-єдиний логарифм з однієї основи.
Отже, потрібно якимось чином позбутися цієї різниці. У цьому випадку все дуже просто. Давайте уважно подивимося на підстави: зліва стоїть число під коренем:
Загальна рекомендація: у всіх логарифмічних рівняннях намагайтеся позбавитися радикалів, тобто від записів з корінням і переходити до статечним функціямпросто тому що показники цих ступенів легко виносяться за знак логарифму і в кінцевому рахунку такий запис суттєво спрощує та прискорює обчислення. Ось давайте так і запишемо:
Тепер згадуємо чудова властивістьлогарифма: з аргументу, і навіть з підстави можна виносити ступеня. У разі підстави відбувається таке:
log a k b = 1/k loga b
Інакше кажучи, число, яке стояло ступеня підстави, виноситься вперед і навіть перевертається, т. е. стає зворотним числом. У нашому випадку стояла ступінь основи з показником 1/2. Отже, ми можемо винести її як 2/1. Отримаємо:
5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Зверніть увагу: в жодному разі не можна позбавлятися логарифмів на цьому кроці. Згадайте математику 4—5 класу та порядок дій: спочатку виконується множення, а лише потім — додавання та віднімання. В даному випадку ми з 10 елементів віднімаємо один такий:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Тепер наше рівняння виглядає як слід. Це найпростіша конструкція, і ми вирішуємо її за допомогою канонічної форми:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
От і все. Друге завдання вирішено.
Третій приклад
Переходимо до третього завдання:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Нагадаю таку формулу:
lg b = log 10 b
Якщо вас з якихось причин бентежить запис lg b, то при виконанні всіх обчислень ви можете просто записати log 10 b. З десятковими логарифмами можна працювати так само, як і з іншими: виносити ступеня, складати та подавати будь-які числа у вигляді lg 10.
Ось саме цими властивостями ми зараз і скористаємося для вирішення завдання, оскільки вона не є найпростішою, яку ми записали на початку нашого уроку.
Для початку зауважимо, що множник 2, що стоїть перед lg 5, може бути внесений і стане ступенем основи 5. Крім того, вільний доданок 3 також представимо у вигляді логарифму - це дуже легко спостерігати з нашого запису.
Судіть самі: будь-яке число можна подати у вигляді log на підставі 10:
3 = log 10 10 3 = lg 10 3
Перепишемо вихідне завдання з урахуванням отриманих змін:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000
Перед нами знову канонічна форма, причому ми отримали її, минаючи стадію перетворень, тобто найпростіше логарифмічне рівняння ми ніде не спливало.
Саме про це я й говорив на початку уроку. Канонічна форма дозволяє вирішувати ширший клас завдань, ніж стандартна шкільна формула, яку пропонують більшість шкільних вчителів.
Ну і все, позбавляємося знаку десяткового логарифму, і отримуємо просту лінійну конструкцію:
x + 3 = 25000
x = 24997
Всі! Завдання вирішено.
Зауваження щодо області визначення
Тут би хотілося навести важливе зауваження щодо області визначення. Напевно зараз знайдуться учні та вчителі, які скажуть: «Коли ми вирішуємо висловлювання з логарифмами, необхідно обов'язково пам'ятати, що аргумент f(x) має бути більшим за нуль!» У зв'язку з цим виникає логічне питання: чому в жодному з розглянутих завдань ми не вимагали, щоб ця нерівність виконувалася?
Не хвилюйтесь. Жодних зайвого корінняу таких випадках не виникне. І це ще одна чудова хитрість, що дозволяє прискорити рішення. Просто знайте, що якщо в задачі змінна х зустрічається лише в одному місці (а точніше - в одному-єдиному аргументі одного-єдиного логарифму), і більше ніде в нашому випадку немає змінної х, то записувати область визначення не потрібнотому, що вона буде виконуватися автоматично.
Судіть самі: у першому рівнянні ми отримали, що 3х - 1, тобто аргумент має дорівнювати 8. Це автоматично означає, що 3х - 1 буде більше нуля.
З тим самим успіхом ми можемо записати, що в другому випадку х повинен дорівнювати 5 2 , тобто він свідомо більше за нуль. А в третьому випадку, де х + 3 = 25 000, тобто знову ж таки свідомо більше нуля. Іншими словами, область визначення виконується автоматично, але лише за умови, що х зустрічається лише в аргументі лише одного логарифму.
Ось і все, що потрібно знати для вирішення найпростіших завдань. Вже одне це правило разом із правилами перетворення дозволить вам вирішувати дуже широкий клас завдань.
Але будьмо чесними: для того, щоб остаточно розібратися з цим прийомом, щоб навчитися застосовувати канонічну форму логарифмічного рівняння, недостатньо просто подивитися один відеоурок. Тому прямо зараз завантажте варіанти для самостійного рішення, які додаються до цього відеоуроку та почніть вирішувати хоча б одну з цих двох самостійних робіт.
Часу у вас піде буквально кілька хвилин. А ось ефект від такого навчання буде набагато вищим у порівнянні з тим, якби ви просто переглянули даний відеоурок.
Сподіваюся, цей урок допоможе вам розібратися з логарифмічними рівняннями. Застосовуйте канонічну форму, спрощуйте висловлювання за допомогою правил роботи з логарифмами — і жодні завдання вам не будуть страшні. А в мене сьогодні все.
Облік області визначення
Тепер поговоримо про область визначення логарифмічної функції, а також про те, як це впливає на розв'язання логарифмічних рівнянь. Розглянемо конструкцію виду
log a f(x) = b
Такий вираз називається найпростішим - у ньому лише одна функція, а числа а і b - це саме числа, а в жодному разі не функція, яка залежить від змінної х. Вирішується воно дуже просто. Достатньо лише використати формулу:
b = log a a b
Дана формула є однією з ключових властивостей логарифму, і при підстановці в наш вихідний вираз ми отримаємо наступне:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Це вже знайома формула з шкільних підручників. У багатьох учнів напевно виникне питання: оскільки у вихідному вираженні функція f (x ) стоїть під знаком log, на неї накладаються такі обмеження:
f(х) > 0
Це обмеження діє тому, що логарифм від негативних чиселне існує. То, можливо, внаслідок цього обмеження слід запровадити перевірку на відповіді? Можливо, їх треба підставляти у вихідник?
Ні, у найпростіших логарифмічних рівняннях додаткова перевірка зайва. І ось чому. Погляньте на нашу підсумкову формулу:
f(x) = a b
Справа в тому, що число а в будь-якому випадку більше 0 - це вимога також накладається логарифмом. Число а є основою. При цьому кількість b ніяких обмежень не накладається. Але це й неважливо, бо в який би ступінь ми б не зводили додатне числоНа виході ми все одно отримаємо позитивне число. Таким чином, вимога f(х) > 0 виконується автоматично.
Що дійсно варто перевіряти, то це область визначення функції, що стоїть під знаком log. Там можуть зустрічатися досить складні конструкції, і в процесі вирішення за ними обов'язково потрібно стежити. Давайте подивимося.
Перше завдання:
Перший крок: перетворимо дріб справа. Отримаємо:
Позбавляємося знаку логарифму та отримуємо звичайне ірраціональне рівняння:
З отриманого коріння нас влаштовує лише перший, тому що другий корінь менше нуля. Єдиною відповіддю буде число 9. Все, завдання вирішено. Ніяких додаткових перевірок того, що вираз під знаком логарифму більше 0, не потрібно, тому що воно не просто більше 0, а за умовою рівняння воно дорівнює 2. Отже, вимога більше нуля виконується автоматично.
Переходимо до другого завдання:
Тут все те саме. Переписуємо конструкцію, замінюючи трійку:
Позбавляємося знаків логарифму та отримуємо ірраціональне рівняння:
Зводимо обидві частини квадрат з урахуванням обмежень і отримуємо:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Вирішуємо отримане рівняння через дискримінант:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Але x = −6 нас не влаштовує, тому що якщо ми підставимо це число до нашої нерівності, то отримаємо:
−6 + 4 = −2 < 0
У нашому випадку потрібно, щоб було більше, ніж 0 або в крайньому випадку рівно. А ось x = −1 нам підходить:
−1 + 4 = 3 > 0
Єдиною відповіддю у нашому випадку буде x = −1. Ось і все рішення. Повернімося до самого початку наших обчислень.
Основний висновок із цього уроку: перевіряти обмеження для функції у найпростіших логарифмічних рівняннях не потрібно. Тому що в процесі вирішення всі обмеження виконуються автоматично.
Однак це в жодному разі не означає, що про перевірку можна взагалі забути. У процесі роботи над логарифмічним рівнянням цілком може перейти в ірраціональне, в якому будуть свої обмеження та вимоги до правої частини, в чому ми сьогодні переконалися на двох різних прикладах.
Сміливо вирішуйте такі завдання та будьте особливо уважні, якщо в аргументі стоїть корінь.
Логарифмічні рівняння з різними підставами
Продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо ще два досить цікаві прийоми, за допомогою яких модно вирішувати більше складні конструкції. Але для початку згадаємо, як вирішуються найпростіші завдання:
log a f(x) = b
У цьому записі а і b є саме числами, а функції f (x ) повинна бути змінна х, і тільки там, тобто х повинен знаходитися тільки в аргументі. Перетворювати такі логарифмічні рівняння ми за допомогою канонічної форми. Для цього зауважимо, що
b = log a a b
Причому a b це саме аргумент. Давайте перепишемо цей вислів так:
log a f(x) = log a a b
Ми саме цього і домагаємося, щоб і ліворуч, і праворуч стояв логарифм на підставі а. У цьому випадку ми можемо, образно кажучи, закреслити знаки log, а з точки зору математики ми можемо сказати, що ми прирівнюємо аргументи:
f(x) = a b
В результаті ми отримаємо новий вираз, який вирішуватиметься набагато простіше. Давайте застосуємо це правило до наших сьогоднішніх завдань.
Отже, перша конструкція:
Насамперед, зазначу, що справа стоїть дріб, у знаменнику якого знаходиться log. Коли ви бачите такий вираз, не зайвим буде згадати чудову властивість логарифмів:
Перекладаючи російською мовою, це означає, що будь-який логарифм може бути представлений у вигляді приватного двох логарифмів з будь-якою основою с. Зрозуміло, 0< с ≠ 1.
Так ось: у цієї формули є один чудовий окремий випадок, коли змінна дорівнює змінній b. У цьому випадку ми отримаємо конструкцію виду:
Саме таку конструкцію ми спостерігаємо від знаку праворуч у нашому рівнянні. Давайте замінимо цю конструкцію на log a b, отримаємо:
Іншими словами, у порівнянні з вихідним завданням, ми поміняли місцями аргумент та основу логарифму. Натомість нам довелося перевернути дріб.
Згадуємо, що будь-який ступінь можна виносити з основи за таким правилом:
Іншими словами, коефіцієнт k, який є ступенем основи, виноситься як перевернутий дріб. Давайте винесемо її як перевернутий дріб:
Дробний множник не можна залишати попереду, тому що в цьому випадку ми не зможемо уявити цей записяк канонічну форму (адже в канонічній формі перед другим логарифмом ніякий додатковий множник не вартий). Отже, давайте внесемо дріб 1/4 у аргумент у вигляді ступеня:
Тепер ми прирівнюємо аргументи, підстави яких однакові (а підстави у нас дійсно однакові), та записуємо:
x + 5 = 1
x = −4
От і все. Ми отримали відповідь до першого логарифмічного рівняння. Зверніть увагу: у вихідному завданні змінна х зустрічається лише в одному log, причому стоїть у його аргументі. Отже, перевіряти область визначення не потрібно, і наше число х = −4 є дійсно відповіддю.
Тепер переходимо до другого виразу:
lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)
Тут крім звичайних логарифмів нам доведеться працювати з lg f (x ). Як розв'язувати таке рівняння? Непідготовленому учневі може здатися, що це якась бляха, але насправді все вирішується елементарно.
Уважно подивіться на доданок lg 2 log 2 7. Що ми можемо про нього сказати? Підстави та аргументи log і lg збігаються, і це має наводити на деякі думки. Давайте ще раз пригадаємо, як виносяться ступені з-під знака логарифму:
log a b n = nlog a b
Іншими словами, те, що було ступенем при числі b в аргументі, стає множником перед самим log. Давайте застосуємо цю формулу для вираження lg 2 log 2 7. Нехай вас не лякає lg 2 - це звичайнісінький вираз. Можна переписати його так:
Для нього справедливі всі правила, які діють будь-якого іншого логарифму. Зокрема, множник, що стоїть попереду, можна внести до міри аргументу. Давайте запишемо:
Дуже часто учні впритул не бачать цієї дії, тому що погано вносити один log під знак іншого. Насправді нічого кримінального у цьому немає. Більш того, ми отримуємо формулу, яка легко вважається, якщо пам'ятати важливе правило:
Цю формулу можна розглядати і як визначення, і як одну з його властивостей. У будь-якому випадку, якщо ви перетворюєте логарифмічне рівняння, цю формулу ви повинні знати так само, як і уявлення будь-якого числа у вигляді log.
Повертаємось до нашого завдання. Переписуємо його з урахуванням того факту, що перший доданок праворуч від знака рівності буде дорівнює просто lg 7. Маємо:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Давайте перенесемо lg 7 вліво, отримаємо:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Віднімаємо вирази зліва, тому що вони мають одну й ту саму основу:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Тепер уважно подивимося на рівняння, яке ми отримали. Воно практично є канонічною формою, проте справа є множник −3. Давайте внесемо його в аргумент правого lg:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому викреслюємо знаки lg та прирівнюємо аргументи:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
От і все! Ми вирішили друге логарифмічне рівняння. При цьому жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному завданні х був присутній лише в одному аргументі.
Перелічу ще раз ключові моментицього уроку.
Головна формула, яка вивчається у всіх уроках на цій сторінці, присвяченій розв'язанню логарифмічних рівнянь, – це канонічна форма. І нехай вас не лякає те, що у більшості шкільних підручників вас вчать вирішувати подібні завданняпо іншому. Даний інструмент працює дуже ефективно і дозволяє вирішувати набагато ширший клас завдань, ніж найпростіші, які ми вивчали на початку нашого уроку.
Крім того, для вирішення логарифмічних рівнянь корисно знатиме основні властивості. А саме:
- Формулу переходу до однієї основи та окремий випадок, коли ми перевертаємо log (це дуже знадобилося нам у першому завданні);
- Формулу внесення та винесення ступенів з-під знака логарифму. Тут багато учнів зависають і впритул не бачать, що ступінь, що виноситься і вноситься, сам може містити log f (x ). Нічого страшного у цьому немає. Ми можемо вносити один log на знак іншого і при цьому суттєво спрощувати вирішення задачі, що ми й спостерігаємо у другому випадку.
У висновку хотів би додати, що перевіряти область визначення у кожному з цих випадках не потрібно, тому що скрізь змінна х є тільки в одному знаку log, і при цьому знаходиться в його аргументі. Як наслідок, всі вимоги області визначення виконуються автоматично.
Завдання зі змінною основою
Сьогодні ми розглянемо логарифмічні рівняння, які для багатьох учнів здаються нестандартними, а то й зовсім нерозв'язними. Мова йдепро висловлювання, на основі яких стоять не числа, а змінні і навіть функції. Вирішувати такі конструкції ми за допомогою нашого стандартного прийому, а саме через канонічну форму.
Для початку пригадаємо, як вирішуються найпростіші завдання, на основі яких стоять звичайні числа. Отже, найпростішою називається конструкція виду
log a f(x) = b
Для вирішення таких завдань ми можемо використати таку формулу:
b = log a a b
Переписуємо наш вихідний вираз і отримуємо:
log a f(x) = log a a b
Потім ми прирівнюємо аргументи, тобто записуємо:
f(x) = a b
Таким чином, ми позбавляємося знаку log і вирішуємо вже звичайне завдання. При цьому отримані при розв'язанні корені будуть корінням вихідного логарифмічного рівняння. Крім того, запис, коли і ліворуч, і праворуч стоїть по тому самому логарифму з однією і тією самою підставою, якраз і називається канонічною формою. Саме до такого запису ми намагатимемося звести сьогоднішні конструкції. Тож поїхали.
Перше завдання:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Замінюємо 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Той ступінь, який ми спостерігаємо в аргументу, це, насправді, то число b, яке стояло праворуч від знака рівності. Таким чином, перепишемо наш вираз. Отримаємо:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Що ми бачимо? Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому ми можемо сміливо прирівняти аргументи. Отримаємо:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Але на цьому рішення не закінчується, тому що дане рівняння не рівнозначне вихідному. Адже отримана конструкція складається з функцій, які визначені по всій числовій прямій, а наші вихідні логарифми визначені не скрізь і не завжди.
Тому ми маємо окремо записати область визначення. Давайте не мудруватимемо і для початку запишемо всі вимоги:
По-перше, аргумент кожного з логарифмів повинен бути більшим за 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
По-друге, основа має бути не тільки більше 0, але і відмінно від 1:
x − 2 ≠ 1
У результаті отримаємо систему:
Але ви не лякайтеся: при обробці логарифмічних рівнянь таку систему можна значно спростити.
Судіть самі: з одного боку, від нас потрібно, щоб квадратична функція була більша за нуль, а з іншого боку — ця квадратична функція прирівнюється до когось лінійному виразу, від якого також потрібно, щоб воно було більше за нуль.
У такому разі, якщо ми вимагаємо, щоб x − 2 > 0, то автоматично буде виконуватись і вимога 2x 2 − 13x + 18 > 0. Тому ми можемо сміливо закреслити нерівність, що містить квадратичну функцію. Таким чином, кількість виразів, що міститься у нашій системі, зменшиться до трьох.
Зрозуміло, з тим самим успіхом ми могли б закреслити і лінійна нерівність, Т. е. викреслити x − 2 > 0 і вимагати, щоб 2x 2 − 13x + 18 > 0. Але погодьтеся, що вирішити найпростішу лінійну нерівність набагато швидше і простіше, ніж квадратична, нехай навіть за умови, що в результаті рішення всієї цієї системи ми отримаємо те саме коріння.
Загалом, наскільки можна намагайтеся оптимізувати обчислення. І у випадку з логарифмічними рівняннями викреслюйте найскладніші нерівності.
Давайте перепишемо нашу систему:
Ось така система із трьох висловів, із двома з яких ми, по суті, вже розібралися. Давайте окремо випишемо квадратне рівняння і розв'яжемо його:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Перед нами наведений квадратний тричлені, отже, ми можемо скористатися формулами Вієта. Отримаємо:
(х - 5) (х - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
А тепер повертаємося до нашої системи і виявляємо, що х = 2 нас не влаштовує, тому що від нас вимагається, щоб х був більшим, ніж 2.
А ось х = 5 нас цілком влаштовує: число 5 більше, ніж 2, і при цьому 5 не дорівнює 3. Отже, єдиним рішеннямданої системи буде х = 5.
Все завдання вирішено, в т. ч. з урахуванням ОДЗ. Переходимо до другого рівняння. Тут на нас чекають більш цікаві та змістовні викладки:
Перший крок: як і в Минулого разу, наводимо всю цю справу до канонічної форми. Для цього число 9 ми можемо записати так:
Підставу з коренем можна не чіпати, а ось аргумент краще перетворити. Давайте перейдемо від кореня до ступеня з раціональним показником. Запишемо:
Давайте я не переписуватиму все наше велике логарифмічне рівняння, а просто відразу прирівняю аргументи:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Перед нами знову наведений квадратний тричлен, скористаємося формулами Вієта і запишемо:
(х + 3) (х + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Отже, ми одержали коріння, але ніхто нам не гарантував, що вони підійдуть до початкового логарифмічного рівняння. Адже знаки log накладають додаткові обмеження(Тут ми повинні були б записати систему, але через громіздкість всієї конструкції я вирішив порахувати область визначення окремо).
Насамперед згадуємо, що аргументи мають бути більше 0, а саме:
Це і є вимоги, що накладаються областю визначення.
Відразу зауважимо, що оскільки ми прирівнюємо перші два вирази системи один до одного, то будь-яке з них ми можемо викреслити. Давайте викреслимо першу, тому що вона виглядає більш загрозливо, ніж друга.
Крім того, зауважимо, що рішенням другої та третьої нерівності будуть одні й ті множини (куб якогось числа більше за нуль, якщо саме це число більше за нуль; аналогічно і з коренем третього ступеня — ці нерівності повністю аналогічні, тому одну з них ми можемо викреслити).
А ось із третьою нерівністю таке не пройде. Позбавимося знака радикала, що стоїть зліва, для чого зведемо обидві частини в куб. Отримаємо:
Отже, ми отримуємо такі вимоги:
− 2 ≠ x > −3
Яке з наших коренів: x 1 = −3 або x 2 = −1 відповідає цим вимогам? Очевидно, що тільки х = −1, тому що х = −3 не задовольняє першу нерівність (бо нерівність у нас сувора). Отже, повертаючись до нашого завдання, ми отримуємо один корінь: х = −1. Ось і все, завдання вирішено.
Ще раз ключові моменти цієї задачі:
- Не соромтеся застосовувати та вирішувати логарифмічні рівняння за допомогою канонічної форми. Учні, які роблять такий запис, а не переходять безпосередньо від вихідного завдання до конструкції типу log a f (x) = b, допускають набагато менше помилок, ніж ті, що кудись поспішають, пропускаючи проміжні кроки обчислень;
- Як тільки у логарифмі з'являється змінна основа, Завдання перестає бути найпростішим. Отже, при його вирішенні необхідно враховувати область визначення: аргументи мають бути більшими за нуль, а підстави — не тільки більше 0, але ще вони не повинні дорівнювати 1.
Накладати останні вимоги на підсумкові відповіді можна по-різному. Наприклад, можна вирішувати цілу систему, що містить усі вимоги до області визначення. З іншого боку, можна спочатку вирішити саму задачу, а потім згадати область визначення, окремо пропрацювати її у вигляді системи і накласти на отримані корені.
Який спосіб вибирати при вирішенні конкретного логарифмічного рівняння вирішувати тільки вам. У будь-якому випадку відповідь вийде та сама.
Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b * a c = a b + c). Цей математичний законбув виведений Архімедом, а згодом, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони послужили для подальшого відкриттялогарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти практично скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простим та доступним мовою.
Визначення в математиці
Логарифмом називається вираз такого виду: log a b = c, тобто логарифмом будь-якого невід'ємного числа(тобто будь-якого позитивного) "b" за його основою "a" вважається ступінь "c", в яку необхідно звести основу "a", щоб у результаті отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, скажімо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 до ступеня отримати 8. Зробивши в умі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 у ступені 3 відповідає у відповідь число 8.
Різновиди логарифмів
Для багатьох учнів і студентів ця тема здається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне - зрозуміти загальний їхній зміст і запам'ятати їхня власність і деякі правила. Існує три окремих видівлогарифмічних виразів:
- Натуральний логарифм ln a де основою є число Ейлера (e = 2,7).
- Десятковий a де підставою служить число 10.
- Логарифм будь-якого числа b на підставі a>1.
Кожен із них вирішується стандартним способом, Що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості та черговість дій за їх рішення.
Правила та деякі обмеження
У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню та є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо отримати корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна легко навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:
- основа "a" завжди має бути більшою за нуль, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій зміст, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
- якщо а > 0, то і а b > 0, виходить, що і "з" має бути більшим за нуль.
Як вирішувати логарифми?
Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати такий ступінь, звівши до якого число десять ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, 10 2 =100.
А тепер давайте уявимо даний виразу вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти той ступінь, в який необхідно ввести основу логарифму, щоб отримати задане число.
Для безпомилкового визначення значення невідомого ступенянеобхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона так:
Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму та знання таблиці множення. Однак для великих значеньзнадобиться таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не тямить у складних математичні теми. У лівому стовпці вказані числа (основа a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, яку зводиться число a. На перетині в осередках визначено значення чисел, що є відповіддю (a c = b). Візьмемо, наприклад, саму першу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке вказано на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!
Рівняння та нерівності
Виходить, що за певних умов показник ступеня – це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні виразиможна записати у вигляді логарифмічної рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифму числа 81 на підставі 3, що дорівнює чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенівправила такі самі: 2 -5 = 1/32 запишемо у вигляді логарифму, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найцікавіших розділів математики є тема "логарифми". Приклади та розв'язання рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності та як їх відрізнити від рівнянь.
Дано вираз такого вигляду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічною нерівністютому що невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифму. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа на підставі два більше, ніж число три.
Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями та нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як у розв'язанні нерівності визначаються як область допустимих значень, і точки розриву цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не проста безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний рядчи набір чисел.
Основні теореми про логарифми
При вирішенні примітивних завдань знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість докладніше.
- Основне тотожність має такий вигляд: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше за нуль.
- Логарифм твору можна представити в наступною формулою: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовоює: d, s 1 та s 2 > 0; а≠1. Можна навести доказ цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 тоді а f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів ), а далі за визначенням: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, що і потрібно довести.
- Логарифм приватного має такий вигляд: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теорема у вигляді формули набуває наступний вигляд: log a q b n = n/q log a b.
Називається ця формула "властивістю ступеня логарифму". Вона нагадує властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Погляньмо на доказ.
Нехай log a b = t, виходить a t = b. Якщо звести обидві частини до ступеня m: a tn = b n ;
але оскільки a tn = (a q) nt / q = b n, отже log a q b n = (n * t) / t, тоді log a q b n = n / q log a b. Теорему доведено.
Приклади завдань та нерівностей
Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів – приклади рівнянь та нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять до обов'язкову частинуіспитів з математики. Для вступу до університету чи здачі вступних випробуваньз математики необхідно знати, як правильно вирішувати такі завдання.
На жаль, єдиного плану чи схеми щодо рішення та визначення невідомого значеннялогарифма не існує, однак до кожної математичної нерівності або логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз чи призвести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні виразиможна, якщо правильно використати їх властивості. Давайте скоріше з ними познайомимося.
При вирішенні ж логарифмічних рівнянь слід визначити, який перед нами вид логарифму: приклад виразу може містити натуральний логарифм або десятковий.
Ось приклади ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити той ступінь, в якому основа 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень же натуральних логарифмівпотрібно застосувати логарифмічні тотожностіабо їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо рішення логарифмічних завданьрізного типу.
Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями
Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.
- Властивість логарифму твору можна застосовувати у завданнях, де необхідно розкласти велике значеннячисла b більш прості сомножители. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифму, вдалося вирішити на перший погляд складне і нерозв'язне вираз. Необхідно лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифму.
Завдання з ЄДІ
Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитів, особливо багато логарифмічних завдань у ЄДІ ( державний іспитвсім випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні у частині А (найлегша тестова частина іспиту), а й у частини З (найскладніші і об'ємні завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми "Натуральні логарифми".
Приклади та розв'язання завдань взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; x = 8,5.
- Всі логарифми найкраще приводити до однієї підстави, щоб рішення не було громіздким та заплутаним.
- Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифму і як його підстава, вираз, що залишається під логарифмом, має бути позитивним.