3. Діаметр кулі дорівнює 4m . Через кінець діаметра проведено площину під кутом 30° до нього. Знайдіть площу перерізу кулі цією площиною.
Контрольна робота №4
варіант 1
1. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см, а двогранний кут при підставі дорівнює 60 °. Знайдіть обсяг піраміди.
2. У циліндр вписано призму. Підставою призми є прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 2a а прилеглий кут дорівнює 30°. Діагональ більшої бічної грані призми складає з площиною її основи кут 45°. Знайдіть об'єм циліндра.
варіант 2
1. Бокове ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см і складає з площиною основи кут 60°. Знайдіть обсяг піраміди.
2. У конус вписано піраміду. Підставою піраміди служить прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 2a а прилеглий кут дорівнює 30°. Бічна грань піраміди, що проходить через даний катет, становить з площиною основи кут 45°. Знайдіть об'єм конуса.
Контрольна робота №5
варіант 1
1. Діаметр кулі дорівнює висоті конуса, що утворює якого становить з площиною основи кут 60°. Знайдіть відношення обсягів конуса та кулі.
2. Об'єм циліндра дорівнює 96π см 3 площа його осьового перерізу 48 см 2 . Знайдіть площу сфери, описаної біля циліндра.
варіант 2
1. У конус, осьовий переріз якого є правильним трикутником, вписана куля. Знайдіть відношення площі сфери до площі бічної поверхні конуса.
2. Діаметр кулі дорівнює висоті циліндра, осьовий переріз якого є квадрат. Знайдіть відношення об'ємів циліндра та кулі
На ваші прохання!
2. При сушінні свіжі гриби втрачають 96% ваги. Скільки свіжих грибів потрібно засушити, щоби вийшло 5 кг сушених грибів? З умови випливає, що 5 кг становлять 100%-96% = 4% початкової ваги. Початкова вага 100% більша, ніж 4% у 25 разів, отже, потрібно і 5 кг помножити на 25 і вийде 125 кг свіжих грибів потрібно було засушити. Можна було вирішувати пропорцією, записавши:
х кг - 100% ⇒ х = (5 · 100): 4 = 125 (кг).
12. Розв'яжіть рівняння: 1+cosx=sinx+sinx·cosx. Перенесемо члени з правої частини до лівої і згрупуємо доданки:
(1+cosx)-(sinx+sinx·cosx)=0;
(1+cosx)-sinx(1+cosx)=0;
(1+cosx)(1-sinx)=0 ⇒ 1+cosx=0 або 1-sinx=0. Вирішуємо кожне рівняння окремо.
1) 1+cosx=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ х=π+2πn, n∈Z.
2) 1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ x=π/2+2πk, k∈Z.
14. Знайдіть значення похідної f'(x) при
16. Обчислити інтеграл:
17. У паралелограмі ABCD проведено відрізок СК з вершини гострого кута так, що відсікає на більшій стороні ВА відрізок, рівний меншій стороні ВС і утворює кут КСD, рівний 20°. Знайдіть кути паралелограма.
ΔВСК — рівнобедрений за побудовою — за умовою ВК=ВС, отже, кути на підставі цього рівнобедреного трикутника дорівнюватимуть, тобто. ∠СКВ = ∠ВСК = 20 °. Далі, ∠КСD=∠СКВ=20°, як внутрішні навхрест що лежать при паралельних прямих АВ і CD і січній СК. Виходить, що ∠КСD=∠ВСК, тобто. СК - бісектриса кута С, ∠С = 40 °, ∠В = 180 ° -40 ° = 140 °. Кути паралелограма, що прилягають до однієї сторони в сумі становлять 180°.
18. До двох, що стосуються один одного кіл, проведена дотична, з відстанню між точками дотику 4 корінь з 5 см. Знайдіть радіус більшого кола, якщо радіус меншим дорівнює 4 см. Радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний дотичній.
19. Дані вектори:
20. Виключіть ірраціональність у знаменнику дробу:
Приведемо дроби до спільного знаменника і спростимо вираз, що вийшов.
21. Виконати дії:
22. Розв'яжіть рівняння:
24. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m і утворює з площиною основи кут α. Знайти обсяг піраміди.
25. У ящику 10 червоних куль та 10 білих. Скільки куль треба вийняти з ящика навмання, щоб серед них були дві кулі одного кольору?
Зауважимо, що ймовірності вийняти червону кулю і білу кулю рівні, оскільки рівні кількості цих куль у ящику. Витягнемо дві кулі. Якими вони можуть бути? 1) червоний та червоний; 2) червоний та білий; 3) білий та білий. Дістаємо третю кулю і в будь-якому випадку отримуємо дві кулі з трьох одного кольору (а може й усі три). Відповідь: 3 кулі треба вийняти, щоб серед них були дві кулі одного кольору.
Успіхів, успіхів!
Визначення 1. Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, при цьому вершина такої піраміди проектується до центру її основи.
Визначення 2. Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.
Правильна зрізана піраміда
Якщо провести перетин, паралельний основі піраміди, то тіло, укладене між цими площинами та бічною поверхнею, називається усіченою пірамідою. Усічена піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана - правильна.
Властивості правильної піраміди
- бічні ребра рівні
- апофеми рівні
- бічні грані рівні
- всі бічні грані є рівні рівнобедреними трикутниками
- у будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу
- якщо центри вписаної та описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π, а кожен із них відповідно, де n - кількість сторін багатокутника основи
- площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему
Правильна піраміда
Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія, завдання про піраміду). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Для простих підкорених виразів можна використовувати знак "√".
Завдання
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4см, а двогранний кут при основі дорівнює 60 градусів. Знайдіть обсяг піраміди.
Рішення.
Оскільки піраміда правильна, врахуємо таке:
- Висота піраміди проектується на центр основи
- Центр основи правильної піраміди за умовою завдання – рівносторонній трикутник
- Центр рівностороннього трикутника є одночасно центром вписаного та описаного кола
- Висота піраміди утворює з площиною основи прямий кут
Об'єм піраміди можна знайти за формулою:
V = 1/3 Sh
Оскільки апофема правильної піраміди утворює разом із висотою піраміди прямокутний трикутник, знаходження висоти використовуємо теорему синусів. Крім того, візьмемо до уваги:
- Перший катет прямокутного трикутника, що розглядається, є висотою, другий катет - радіусом вписаного кола (у правильному трикутнику центр одночасно є центром вписаного і описаного кола), гіпотенуза є апофемою піраміди
- Третій кут прямокутного трикутника дорівнює 30 градусам (сума кутів трикутника – 180 градусів, кут 60 градусів дано за умовою, другий кут – прямий за властивостями піраміди, третій 180-90-60 = 30)
- синус 30 градусів дорівнює 1/2
- синус 60 градусів дорівнює кореню з трьох навпіл
- синус 90 градусів дорівнює 1
Відповідно до теореми синусів:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
звідки
r = 2
h = 2√3
В основі піраміди лежить правильний трикутник, площу якого можна знайти за формулою:
S правильного трикутника = 33 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.
Тепер знайдемо обсяг піраміди:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см3.
Відповідь: 24 см 3 .
Завдання
Висота та сторона основи правильної чотирикутної піраміди відповідно дорівнюють 24 і 14. знайдіть апофему піраміди.
Рішення.
Оскільки піраміда правильна, то її підставі лежить правильний чотирикутник - квадрат. Крім того, висота піраміди проектується до центру квадрата. Таким чином, катет прямокутного трикутника, який утворений апофемою піраміди, висотою і відрізком, що їх з'єднує, дорівнює половині довжини основи правильної чотирикутної піраміди.
Звідки за теоремою Піфагора довжина апофеми буде знайдена з рівняння:
7 2 + 24 2 = х 2
x 2 = 625
x = 25
Відповідь: 25 см
Схожа інформація:
- II ЕТАП ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ. ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ПРОБЛЕМ ПАЦІЄНТА, ПОВ'ЯЗАНИХ З ДЕФІЦИТОМ ЗНАНЬ. ВИЗНАЧЕННЯ ЗМІСТ НАВЧАННЯ