Вирішувати вирази та нерівності. Вирішення лінійних нерівностей

Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завданьдоводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.

Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.

Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, в яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися і в молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.

Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічні проблемизводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.

Деякі нерівності служать єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести чи спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.

Числові нерівності

Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.

Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.

Визначення.Число а більше числа b, якщо різницю а-bпозитивна. Число а менше числа b якщо різниця а-b негативна.

Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а та b з наступних трьохспіввідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.

Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме додатне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме від'ємне число, Символ нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.

Ви знаєте, що числові рівностіможна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.

При вирішенні різних завданьчасто доводиться складати чи множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.

При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:

Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.

Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто . а не менше b.

Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.

Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завданьдоводиться становити математичну модель як рівняння чи системи рівнянь. Далі ви дізнаєтесь, що математичними моделямина вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є це числовирішенням конкретної нерівності.

Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностями з одним невідомим.

Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.

Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень . Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) координатної площини: куди спрямовані гілки параболи - вгору чи вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то яких точках.

Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена(ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)

З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.

Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:

Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 , x 2 ..., x n є нулями функції. У кожному проміжку, на який область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа

Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.

Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.

Вирішити нерівність:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, що нулями функції f(x) = x(0,5-x)(x+4) є точки \(x=0, \; x= \frac(1)(2) , \;

Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:

Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.

Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Нерівністьце вираз с, ≤, або ≥. Наприклад, 3x - 5 Вирішити нерівність означає знайти всі значення змінних, у яких ця нерівність правильна. Кожне з цих чисел є рішенням нерівності, а безліч усіх таких рішень є його безліччю рішень. Нерівності, які мають таку ж безліч рішень, називаються еквівалентними нерівностями.

Лінійні нерівності

Принципи розв'язання нерівностей аналогічні принципам розв'язання рівнянь.

Принципи вирішення нерівностей
Для будь-яких дійсних чисел a, b, і c:
Принцип додавання нерівностей: Якщо a Принцип множення для нерівностей: Якщо a 0 вірно, тоді ac Якщо a bc також вірно.
Подібні твердження також застосовуються для a b.

Коли обидві сторони нерівності множаться на негативне число, необхідно повністю змінити знак нерівності.
Нерівності першого рівня, як у прикладі 1 (нижче), називаються лінійними нерівностями.

Приклад 1Вирішіть кожну з таких нерівностей. Потім зобразіть безліч розв'язків.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Рішення
Будь-яке число, менше 11/5, є рішенням.
Безліч рішень є (x|x
Щоб перевірити, ми можемо намалювати графік y 1 = 3x - 5 і y 2 = 6 - 2x. Тоді звідси видно, що для x
Безліч рішень є (x|x ≤ 1), або (-∞, 1) Графік безлічі рішень зображений нижче.

Подвійні нерівності

Коли дві нерівності з'єднані словом і, аботоді формується подвійна нерівність. Подвійна нерівність, як
-3 і 2x + 5 ≤ 7
називається з'єднаним, тому що в ньому використано і. Запис -3 Подвійні нерівності можуть бути вирішені з використанням принципів додавання та множення нерівностей.

Приклад 2Вирішіть -3 РішенняУ нас є

Безліч рішень (x|x ≤ -1 або x > 3). Ми можемо також написати рішення з використанням позначення інтервалу та символ для об'єднанняабо включення обох множин: (-∞ -1] (3, ∞) Графік множини рішень зображений нижче.

Для перевірки намалюємо y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 і y 3 = 1. Зауважте, що для (x|x ≤ -1 або x > 3), y 1 ≤ y 2 або y 1 > y 3 .

Нерівності з абсолютним значенням (модулем)

Нерівності іноді містять модулі. Наступні властивості використовуються їх вирішення.
Для а > 0 та алгебраїчного виразу x:
|х| |х| > a еквівалентно x чи x > a.
Подібні твердження для |x| ≤ a та |x| ≥ a.

Наприклад,
|х| |y| ≥ 1 еквівалентно y ≤ -1 або y ≥ 1;
та |2x + 3| ≤ 4 еквівалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Приклад 4Вирішіть кожну з таких нерівностей. Побудуйте графік множини рішень.
a) | 3x + 2 | b) |5 - 2x| ≥ 1

Рішення
a) | 3x + 2 |

Безліч рішень є (x|-7/3

b) |5 - 2x| ≥ 1
Множиною рішення є (x|x ≤ 2 або x ≥ 3), або (-∞, 2] У такому прикладі така дужка використовується.

Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи,до плюс нескінченності.

Нескінченність не може включатися ніколи. Не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.

Така форма запису зручна для складних відповідей, які з кількох проміжків. Але – саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму, як простої нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Тепер можна розбиратися, як вирішуються лінійні нерівності a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Основний спосіб їх вирішення полягає у використанні рівносильних перетворень, що дозволяють прийти при a≠0 елементарним нерівностямвиду x

, ≥), p - деяке число, які є шуканим рішенням, а при a=0 – до числових нерівностей виду a

, ≥), з яких робиться висновок про вирішення вихідної нерівності. Його ми й розберемо насамперед.

Також не завадить поглянути на вирішення лінійних нерівностей з однією змінною та з інших позицій. Тому ми ще покажемо, як можна вирішити лінійну нерівність графічно та методом інтервалів.

Використовуючи рівносильні перетворення

Нехай нам потрібно вирішити лінійну нерівність a x + b<0 (≤, >, ≥). Покажемо, як це зробити, використовуючи рівносильні перетворення нерівності.

Підходи у своїй різняться залежно від рівності чи нерівності нулю коефіцієнта a при змінної x . Розглянемо їх по черзі. Причому при розгляді дотримуватимемося схем з трьох пунктів: спочатку даватимемо суть процесу, далі – алгоритм вирішення лінійної нерівності, нарешті, наводитимемо рішення характерних прикладів.

Почнемо з алгоритму розв'язання лінійної нерівності a x + b<0 (≤, >, ≥) при a≠0.

По-перше, число b переноситься у праву частину нерівності з протилежним знаком. Це дозволяє перейти до рівносильної нерівності a x<−b (≤, >, ≥).
По-друге, проводиться розподіл обох частин отриманої нерівності на відмінне від нуля число a . У цьому, якщо a – позитивне число, то знак нерівності зберігається, і якщо a - негативне число, то знак нерівності змінюється протилежний. В результаті виходить елементарна нерівність, рівносильна вихідної лінійної нерівності, вона і є відповіддю.

Залишається розібратися із застосуванням озвученого алгоритму на прикладах. Розглянемо, як з допомогою вирішуються лінійні нерівності при a≠0 .

приклад.

Розв'яжіть нерівність 3·x+12≤0 .

Рішення.

Для даної лінійної нерівності маємо a=3 та b=12 . Очевидно, коефіцієнт a при змінній x відмінний від нуля. Скористаємося відповідним алгоритмом рішення, наведеним вище.

По-перше, переносимо доданок 12 у праву частину нерівності, не забуваючи змінити його знак, тобто у правій частині виявиться −12 . В результаті приходимо до рівносильної нерівності 3 x × −12 .

І, по-друге, ділимо обидві частини отриманої нерівності на 3, оскільки 3 - число позитивне, то знак нерівності не змінюємо. Маємо (3·x):3≤(−12):3 , що те саме x≤−4 .

Отримана елементарна нерівність x≤−4 рівносильна вихідній лінійній нерівності і є її розв'язанням.

Отже, рішенням лінійної нерівності 3 x + 12 ≤ 0 є будь-яке дійсне число, менше або дорівнює мінус чотирьом. Відповідь можна записати і у вигляді числового проміжку , що відповідає нерівності x≤−4 , тобто, як (−∞, −4] .

Отримавши вправність у роботі з лінійними нерівностями, їх вирішення можна буде записувати коротко без пояснень. При цьому спочатку записують вихідну лінійну нерівність, а нижче - рівносильні йому нерівності, що виходять на кожному кроці розв'язання:
3·x+12≤0 ;
3·x≤−12;
x≤−4.

Відповідь:

x≤−4 або (−∞, −4] .

приклад.

Вкажіть усі розв'язки лінійної нерівності −2,7·z>0 .

Рішення.

Тут коефіцієнт a при змінній z дорівнює -2,7. А коефіцієнт b відсутній у явному вигляді, тобто він дорівнює нулю. Тому перший крок алгоритму розв'язання лінійної нерівності з однією змінною виконувати не потрібно, оскільки перенесення нуля з лівої частини в праву не змінить вигляд вихідної нерівності.

Залишається розділити обидві частини нерівності на −2,7 , не забувши змінити знак нерівності протилежний, оскільки −2,7 – негативне число. Маємо (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7) , і далі z<0 .

А тепер коротко:
−2,7·z>0;
z<0 .

Відповідь:

z<0 или (−∞, 0) .

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно розв'язати лінійну нерівність з коефіцієнтом a при змінній x , рівним −5 і з коефіцієнтом b , якому відповідає дріб −15/22 . Діємо за відомою схемою: спочатку переносимо −15/22 у праву частину з протилежним знаком, після чого виконуємо поділ обох частин нерівності на від'ємне число −5 , змінюючи у своїй знак нерівності:

В останньому переході у правій частині використовується потім виконується .

Відповідь:

Тепер переходимо до випадку, коли a = 0 . Принцип вирішення лінійної нерівності a x + b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

На чому це ґрунтується? Дуже просто: на визначенні розв'язання нерівності. Яким чином? Та ось яким: яке б значення змінної x ми не підставили у вихідну лінійну нерівність, ми отримаємо числову нерівність виду b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Сформулюємо наведені міркування як алгоритму розв'язання лінійних нерівностей 0 x + b<0 (≤, >, ≥) :

Розглядаємо числову нерівність b<0 (≤, >, ≥) та

якщо вона правильна, то рішенням вихідної нерівності є будь-яке число;
якщо ж воно неправильне, то вихідна лінійна нерівність немає рішень.

А тепер розберемося із цим на прикладах.

приклад.

Розв'яжіть нерівність 0·x+7>0 .

Рішення.

Для будь-якого значення змінної x лінійна нерівність 0 x + 7>0 звернеться в числову нерівність 7>0 . Остання нерівність правильна, отже, будь-яке число є рішенням вихідної нерівності.

Відповідь:

рішенням є будь-яке число або (−∞, +∞).

приклад.

Чи має розв'язок лінійну нерівність 0·x−12,7≥0 .

Рішення.

Якщо підставити замість змінної x будь-яке число, то вихідна нерівність звернутися в числову нерівність −12,7≥0 , яка є невірною. А це означає, що жодне число не є рішенням лінійної нерівності 0 x-12,7 0.

Відповідь:

ні, не має.

На закінчення цього пункту розберемо розв'язання двох лінійних нерівностей, обидва коефіцієнти яких дорівнюють нулю.

приклад.

Яка з лінійних нерівностей 0·x+0>0 і 0·x+0≥0 не має розв'язків, а яка – має безліч рішень?

Рішення.

Якщо замість змінної x підставити будь-яке число, то перша нерівність набуде вигляду 0>0, а друга – 0≥0. Перше з них неправильне, а друге – правильне. Отже, лінійна нерівність 0·x+0>0 не має розв'язків, а нерівність 0·x+0≥0 має нескінченно багато розв'язків, а саме його вирішенням є будь-яке число.

Відповідь:

нерівність 0·x+0>0 не має рішень, а нерівність 0·x+0≥0 має безліч рішень.

Методом інтервалів

Взагалі, метод інтервалів вивчається в шкільному алгебри курсі пізніше, ніж проходить тема вирішення лінійних нерівностей з однією змінною. Але метод інтервалів дозволяє вирішувати різні нерівності, в тому числі і лінійні. Тому зупинимося на ньому.

Відразу зауважимо, що метод інтервалів доцільно застосовувати для вирішення лінійних нерівностей з відмінним від нуля коефіцієнтом при змінній x . В іншому випадку висновок про розв'язання нерівності швидше та зручніше зробити способом, розібраним наприкінці попереднього пункту.

Метод інтервалів має на увазі

введення функції, що відповідає лівій частині нерівності, у нашому випадку – лінійної функції y = a x + b ,
знаходження її нулів, які розбивають область визначення на проміжки,
визначення знаків, які мають значення функції на цих проміжках, на основі яких робиться висновок про розв'язання лінійної нерівності.

Зберемо ці моменти у алгоритм, що розкриває як вирішувати лінійні нерівності a x + b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом інтервалів:

Знаходяться нулі функції y = a x + b , для чого вирішується x + b = 0 . Як відомо, при a≠0 воно має єдине коріння, яке позначимо x 0 .
Будується і на ній зображується точка з координатою x 0 . Причому якщо вирішується сувора нерівність(зі знаком< или >), то цю точку роблять виколотою (з порожнім центром), а якщо несуворе (зі знаком ≤ або ≥), то ставлять звичайну точку. Ця точка розбиває координатну пряму на два проміжки (−∞, x 0) та (x 0 , +∞) .
Визначаються знаки функції y = a x + b цих проміжках. Для цього обчислюється значення цієї функції в будь-якій точці проміжку (−∞, x 0) , і знак цього значення буде знаком на проміжку (−∞, x 0) . Аналогічно, знак на проміжку (x 0 , +∞) збігається зі знаком значення функції y = a x + b у будь-якій точці цього проміжку. Але можна обійтися без цих обчислень, а висновки про знаки зробити за значенням коефіцієнта a : якщо a>0 , то на проміжках (−∞, x 0) та (x 0 , +∞) будуть знаки − і + відповідно, а якщо a >0 , + і −.
Якщо розв'язується нерівність зі знаками > або ≥, то ставиться штрихування над проміжком зі знаком плюс, а якщо розв'язуються нерівності зі знаками< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Розглянемо приклад розв'язання лінійної нерівності шляхом інтервалів.

приклад.

Розв'яжіть нерівність −3·x+12>0 .

Рішення.

Якщо ми розуміємо спосіб інтервалів, то ним і скористаємося. Відповідно до алгоритму, спочатку знаходимо корінь рівняння −3·x+12=0 , −3·x=−12 , x=4 . Далі зображаємо координатну пряму і відзначаємо на ній точку з координатою 4 , причому цю точку робимо виколоти, тому що вирішуємо суворе нерівність:

Тепер визначаємо знаки на проміжках. Для визначення знака на проміжку (−∞, 4) можна обчислити значення функції y=−3·x+12 наприклад, при x=3 . Маємо −3·3+12=3>0 , отже, у цьому проміжку знак +. Для визначення знака іншому проміжку (4, +∞) можна обчислити значення функції y=−3·x+12 , наприклад, у точці x=5 . Маємо −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Так як ми вирішуємо нерівність зі знаком >, то зображаємо штрихування над проміжком зі знаком +, креслення набуває вигляду

По отриманому зображенню робимо висновок, що шуканим рішенням є (−∞, 4) або інший запис x<4 .

Відповідь:

(−∞, 4) або x<4 .

Графічним способом

Корисно мати уявлення про геометричну інтерпретацію розв'язання лінійних нерівностей з однією змінною. Щоб його отримати, давайте розглянемо чотири лінійні нерівності з тією самою лівою частиною: 0,5·x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 і 0,5·x−1≥0 їх рішеннями є відповідно x<2 , x≤2 , x>2 і x≥2 , а також зобразимо графік лінійної функції y = 0,5 x-1 .

Неважко помітити, що

вирішення нерівності 0,5 x-1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
рішення нерівності 0,5·x−1≤0 є проміжок, на якому графік функції y=0,5·x−1 знаходиться нижче осі Ox або збігається з нею (іншими словами, не вище осі абсцис),
аналогічно рішення нерівності 0,5 x-1> 0 є проміжок, на якому графік функції вище осі Ox (ця частина графіка зображена червоним кольором),
і рішення нерівності 0,5 x-1≥0 є проміжком, на якому графік функції вище або збігається з віссю абсцис.

Графічний спосіб розв'язання нерівностей, зокрема лінійних, і має на увазі перебування проміжків, у яких графік функції, відповідної лівої частини нерівності, розташовується вище, нижче, не нижче чи вище графіка функції, відповідної правої частини нерівності. У нашому випадку лінійної нерівності функція, що відповідає лівій частині, є y = a x + b, а правої частини - y = 0, що збігається з віссю Ox.

Враховуючи наведену інформацію, нескладно сформулювати алгоритм розв'язання лінійних нерівностей графічним способом:

Будується графік функції y = a x + b (можна схематично) і

при вирішенні нерівності a x + b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
при вирішенні нерівності a x + b ≤ 0 визначається проміжок, на якому графік нижче або збігається з віссю Ox ,
при вирішенні нерівності a x + b> 0 визначається проміжок, на якому графік вище осі Ox ,
при вирішенні нерівності a x + b 0 визначається проміжок, на якому графік вище або збігається з віссю Ox .

приклад.

Розв'яжіть нерівність графічно.

Рішення.

Побудуємо ескіз графіка лінійної функції . Це пряма, яка зменшується, оскільки коефіцієнт при x – негативний. Ще нам знадобиться координата точки його перетину з віссю абсцис, вона є коренем рівняння , який дорівнює. Для наших потреб можна навіть не зображати вісь Oy. Так наше схематичне креслення матиме такий вигляд

Оскільки ми вирішуємо нерівність зі знаком >, нас цікавить проміжок, у якому графік функції вище осі Ox . Для наочності виділимо цю частину графіка червоним кольором, а щоб легко визначити відповідний цій частині проміжок, підсвітимо червоним кольором частину координатної площини, в якій розташована виділена частина графіка, так як на малюнку нижче:

Проміжок, що цікавить нас, є частиною осі Ox, що виявилася підсвіченою червоним кольором. Очевидно, це відкритий числовий промінь . Це і є потрібне рішення. Зауважимо, що якби ми вирішували нерівність не зі знаком >, а зі знаком нестрогої нерівності ≥, то у відповідь довелося б додати , оскільки в цій точці графік функції збігається з віссю Ox .y=0·x+7 , що те саме y=7 , задає на координатній площині пряму, паралельну осі Ox і лежить вище за неї. Отже, нерівність 0 x + 7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

А графіком функції y = 0 x + 0, що те ж саме y = 0, є пряма, що збігається з віссю Ox. Отже, рішенням нерівності 0 x + 0 0 є безліч всіх дійсних чисел.

Відповідь:

друга нерівність, її вирішенням є будь-яке дійсне число.

Нерівності, що зводяться до лінійних

Величезна кількість нерівностей за допомогою рівносильних перетворень можна замінити рівносильною лінійною нерівністю, тобто звести до лінійної нерівності. Такі нерівності називають нерівностями, що зводяться до лінійних.

У школі майже одночасно з розв'язанням лінійних нерівностей розглядають і нескладні нерівності, що зводяться до лінійних. Вони є окремими випадками. цілих нерівностей, а саме в їх лівій та правій частині знаходяться цілі вирази, які являють собою або лінійні двочлени, або перетворюються на них шляхом і . Для наочності наведемо кілька прикладів таких нерівностей: 5−2·x>0 , 7·(x−1)+3≤4·x−2+x , .

Нерівності, які подібні на вигляд зазначеним вище, завжди можна звести до лінійних. Це можна зробити шляхом розкриття дужок, приведення подібних доданків, перестановки доданків місцями та перенесення доданків з однієї частини нерівності до іншої з протилежним знаком.

Наприклад, щоб звести нерівність 5−2·x>0 до лінійного, достатньо переставити доданки в його лівій частині місцями, маємо −2·x+5>0 . Для другої нерівності 7·(x−1)+3≤4·x−2+x до лінійного потрібно небагато більше дій: у лівій частині розкриваємо дужки 7·x−7+3≤4·x−2+x , після цього наводимо подібні доданки в обох частинах 7·x−4≤5·x−2 , далі переносимо доданки з правої частини до лівої 7·x−4−5·x+2≤0 , нарешті, наводимо подібні доданки у лівій частині 2·x−2≤0 . Подібним чиномі третю нерівність можна звести до лінійної нерівності.

Через те, що подібні нерівності завжди можна звести до лінійних, деякі автори навіть називають їх також лінійними. Але все ж таки будемо їх вважати такими, що зводяться до лінійних.

Тепер стає зрозуміло, чому такі нерівності розглядають разом із лінійними нерівностями. Та й принцип їх вирішення абсолютно такий самий: виконуючи рівносильні перетворення, їх можна призвести до елементарних нерівностей, що є шуканими рішеннями.

Щоб вирішити нерівність подібного виду, можна його попередньо звести до лінійного, після чого вирішити цю лінійну нерівність. Але раціональніше і зручніше чинити так:

після розкриття дужок зібрати всі складові зі змінною в лівій частині нерівності, а всі числа – у правій,
після чого навести подібні доданки,
а далі - виконати розподіл обох частин отриманої нерівності на коефіцієнт при x (якщо він, звичайно, відмінний від нуля). Це дасть відповідь.

приклад.

Розв'яжіть нерівність 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1 .

Рішення.

Спочатку розкриємо дужки, в результаті прийдемо до нерівності 5 x + 15 + x ≤ 6 x -18 +1 . Тепер наведемо такі складові: 6·x+15≤6·x−17 . Далі переносимо доданки з ліву частину, отримуємо 6·x+15−6·x+17≤0 , і знову наводимо подібні доданки (що призводить до лінійної нерівності 0·x+32≤0 ) і маємо 32≤0 . Так ми прийшли до невірного числовій нерівності, звідки робимо висновок, що вихідна нерівність немає рішень.

Відповідь:

немає рішень.

На закінчення відзначимо, що є й безліч інших нерівностей, які зводяться до лінійних нерівностей, чи до нерівностей розглянутого вище виду. Наприклад, рішення показової нерівності 5 2·x−1 ≥1 зводиться до розв'язання лінійної нерівності 2·x−1≥0 . Але про це говоритимемо, розбираючи розв'язання нерівностей відповідного виду.

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордковіч А. Г.Алгебра та початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ ( профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Вирішувати вирази та нерівності. Вирішення лінійних нерівностей

Числові нерівності

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Лінійні нерівності

Подвійні нерівності

Нерівності з абсолютним значенням (модулем)

Популярні завдання із нерівностями.

Якщо Вам подобається цей сайт...

Використовуючи рівносильні перетворення

Методом інтервалів

Графічним способом

Нерівності, що зводяться до лінійних