Метод інтервалів - це спеціальний алгоритм, призначений для вирішення складних нерівностейвиду f(x) > 0. Алгоритм складається з 5 кроків:
- Розв'язати рівняння f(x) = 0. Отже, замість нерівності отримуємо рівняння, яке вирішується набагато простіше;
- Відзначити все отримане коріння на координатній прямій. Отже, пряма розділиться кілька інтервалів;
- Знайти кратність коріння. Якщо коріння парної кратності, над коренем малюємо петлю. (Корінь вважається кратним, якщо існує парна кількість однакових рішень)
- З'ясувати знак (плюс або мінус) функції f(x) на правому інтервалі. Для цього достатньо підставити в f(x) будь-яке число, яке буде правіше всіх відзначених коренів;
- Відзначити знаки інших інтервалах, чергуючи їх.
Після цього залишиться лише виписати інтервали, які нас цікавлять. Вони позначені знаком «+», якщо нерівність мала вигляд f(x) > 0, або знаком «−», якщо нерівність має вигляд f(x)< 0.
У разі нестрогих нерівностей (≤ , ≥) необхідно включити в інтервали точки, які є рішенням рівняння f(x) = 0;
Приклад 1:
Вирішити нерівність:
(x - 2) (x + 7)< 0
Працюємо за методом інтервалів.
Крок 1: замінюємо нерівність рівнянням та вирішуємо її:
(x - 2) (x + 7) = 0
Твір дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Отримали два корені.
Крок 2: відзначаємо це коріння на координатній прямій. Маємо:
Крок 3: знаходимо знак функції на правому інтервалі (правіше зазначеної точки x = 2). Для цього треба взяти будь-яке число, яке більше числа x = 2. Наприклад, візьмемо x = 3 (але ніхто не забороняє взяти x = 4, x = 10 і навіть x = 10000).
f(x) = (x - 2)(x + 7)
f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10
Отримуємо, що f(3) = 10 > 0 (10 - це позитивне число), у самому правому інтервалі ставимо знак плюс.
Крок 4: Слід зазначити знаки інших інтервалах. Пам'ятаємо, що при переході через кожен корінь знак має змінюватись. Наприклад, праворуч від кореня x = 2 стоїть плюс (ми переконалися у цьому попередньому кроці), тому зліва повинен стояти мінус. Цей мінус поширюється на весь інтервал (-7; 2), тому праворуч від кореня x = -7 стоїть мінус. Отже, ліворуч від кореня x = −7 стоїть плюс. Залишилося відзначити ці знаки координатної осі.
Повернемося до вихідної нерівності, яка мала вигляд:
(x - 2) (x + 7)< 0
Отже, функція має бути меншою за нуль. Отже, нас цікавить знак мінус, що виникає лише одному інтервалі: (−7; 2). Це буде відповідь.
Приклад 2:
Вирішити нерівність:
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0
Рішення:
Для початку необхідно знайти коріння рівняння
(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0
Згорнемо першу дужку, отримаємо:
(3x – 1) 2 (x – 2) = 0
x – 2 = 0; (3x – 1) 2 = 0
Розв'язавши ці рівняння отримаємо:
Нанесемо крапки на числову пряму:
Т.к. x 2 і x 3 - кратне коріння, то на прямій буде одна точка і над нею “ петля”.
Візьмемо будь-яке число менше лівої точки і підставимо у вихідну нерівність. Візьмемо число -1.
Не забуваймо включати рішення рівняння (знайдені X), т.к. наша нерівність непогана.
Відповідь:
() U )