Додавання дробів з однаковими знаменниками
Додавання дробів буває двох видів:
- Додавання дробів з однаковими знаменниками
- Додавання дробів з різними знаменниками
Спочатку вивчимо додавання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби та . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:
приклад 2.Скласти дроби та .
У відповіді вийшла не правильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити в ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частинавиділяється легко - два розділити на два одно одиниці:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:
Приклад 3. Скласти дроби та .
Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:
приклад 4.Знайти значення виразу 
Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:
Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.
Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:
- Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;
Додавання дробів з різними знаменниками
Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.
Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони однакові знаменники.
А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.
Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.
Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.
Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.
Приклад 1. Складемо дроби та
Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6
НОК (2 та 3) = 6
Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.
Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:
Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.
Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:
Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:
Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:
Отже, приклад завершується. Додати виходить.
Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:
Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).
Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).
Зазначимо, що ми з вами розписали даний прикладнадто докладно. У навчальних закладахне прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:
Але є і зворотний бікмедалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.
Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:
- Знайти НОК знаменників дробів;
- Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
- Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
- Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
- Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;
приклад 2.Знайти значення виразу 
.
Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.
Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів
Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4
Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу
Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:
Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:
Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:
Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники
Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:
Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники
Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:
Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.
Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину
У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:
Отримали відповідь
Віднімання дробів з однаковими знаменниками
Віднімання дробів буває двох видів:
- Віднімання дробів з однаковими знаменниками
- Віднімання дробів з різними знаменниками
Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.
Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:
приклад 2.Знайти значення виразу.
Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:
приклад 3.Знайти значення виразу 
Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:
Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:
- Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
- Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.
Віднімання дробів з різними знаменниками
Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.
Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.
Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.
приклад 1.Знайти значення виразу:
Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.
Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12
НОК (3 та 4) = 12
Тепер повертаємось до дробів і
Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:
Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:
Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:
Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:
Отримали відповідь
Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци
Це докладна версіярішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:
Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):
Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.
приклад 2.Знайти значення виразу 
Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.
Знайдемо НОК знаменників цих дробів.
Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.
Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:
Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:
Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:
Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:
Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.
Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:
У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.
Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НОД) чисел 20 та 30.
Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:
Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10
Отримали відповідь
Розмноження дробу на число
Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити тим самим.
Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .
Помножимо чисельник дробу на число 1
Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци
З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:
Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:
Приклад 2. Знайти значення виразу
Помножимо чисельник дробу на 4
У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:
Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци
А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:
Розмноження дробів
Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.
приклад 1.Знайти значення виразу.
Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішеннянабуде наступного вигляду:
Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:
Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:
І взяти від цих трьох шматочків два:
У нас вийде піца. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:
Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:
Іншими словами, йдетьсяпро один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює
Приклад 2. Знайти значення виразу
Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:
У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:
приклад 3.Знайти значення виразу
Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:
У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник і знаменник даного дробу поділити на найбільший спільний дільник(НОД) чисел 105 та 450.
Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:
Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15
Подання цілого числа у вигляді дробу
Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:
Зворотні числа
Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темоюу математиці. Вона називається «зворотні числа».
Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.
Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:
Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.
Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:
Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:
Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:
Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.
Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.
Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.
Розподіл дробу на число
Допустимо, у нас є половина піци:
Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?
Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.
Розподіл дробів виконується за допомогою зворотних чисел. Зворотні числадозволяють замінити поділ множенням.
Щоб розділити дріб на число, потрібно цей дріб помножити на число, яке зворотне дільнику.
Користуючись цим правилом, запишемо поділ нашої половини піци на дві частини.
Отже, потрібно розділити дріб на число 2 . Тут поділеним є дріб, а дільником число 2.
Щоб розділити дріб на число 2, потрібно цей дріб помножити на число, зворотне дільнику 2. Зворотний дільнику 2 це дріб . Значить потрібно помножити на
Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ
§ 15. Приклади та завдання на всі дії з натуральними числами
Обчислюючи значення числових виразів, слід забувати про порядок дій.
Порядок виконання дій визначається такими правилами:
1. У виразах з дужками спочатку обчислюються значення виразів у дужках.
2. У виразах без дужок спочатку виконуються зведення в ступінь, потім по порядку зліва направо множення та розподіл, а потім додавання та віднімання.
Приклад 1. Обчисли: 8 ∙ (27 + 13) – 144: 2.
Рішення.
1) 27 + 13 = 40;
2) 8 ∙ 40 = 320;
3) 144: 2 = 72;
4) 320 - 72 = 248.
Приклад 2. Знайди значення виразу (х2 – у: 13) ∙ 145, якщо х = 12, у = 91.
Рішення. Якщо х = 12, у = 91, то (х2 - у: 13) ∙ 145 = (122 - 91: 13) ∙ 145 = (144 - 7) ∙ 145 = 137 ∙ 145 = 19 865.
Там, де це доцільно, можна використовувати властивості дій. Наприклад, значення виразу 438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 можна обчислити так:
438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 = (438 - 338) ∙ 39 = 100 ∙ 39 = 3900.
За якими правилами визначається порядок дій при обчисленні числових виразів?
Початковий рівень
522. Обчисли (усно):
1) 42 + 38 - 7; 2) 24 ∙ 10: 2;
3) 27 - 30: 5; 4) 42: 6 + 35: 7;
5) 8 (23 - 19); 6) (12 + 18) : (12 - 7).
Середній рівень
523. Обчисли:
1) 426 ∙ 205 - 57 816: 72;
2) (362 195 + 86 309) : 56;
3) 2001: 69 + 58 884: 84;
4) 42 275: (7005 - 6910).
524. Обчисли:
1) 535 ∙ 207 - 32 832: 76;
2) 1088: 68 + 57 442: 77;
3) (158 992 + 38 894) : 39;
4) 249 747: (4905 - 1896).
525. За 5 год теплохід пройшов 175 км, а поїзд за 3 год – 315 км. У скільки разів швидкість поїзда більша за швидкість теплохода?
526. За 5 год товарний поїзд проїхав 280 км, а швидкий поїзд за 3 год проїхав 255 км. На скільки швидкість швидкого поїзда більша за швидкість товарного?
527. Знайди значення виразу:
1) 78 ∙ х + 3217, якщо х = 52;
2) a: 36 + a: 39, якщо a = 468;
3) х ∙ 37 - в: 25, якщо х = 15, у = 2525.
528. Знайди значення виразу:
1) 17392 + 15300: а, якщо a = 25, 36;
2) m ∙ 155 – t ∙ 113, якщо m = 17, t = 22.
529. За 5 ручок та 3 загальних зошитизаплатили
16 грн. 70 коп. Скільки коштує зошит, якщо ручка коштує 2 грн. 50 коп.?
530. Три ящики яблук і два ящики бананів разом важать 144 кг. Скільки важить ящик яблук, якщо ящик бананів важить 24 кг?
531. Старший брат зібрав 12 кошиків вишень, а молодший – 9 кошиків. Загалом вони зібрали 105 кг вишень. Скільки кілограмів вишень зібрало кожен брат, якщо вага всіх кошиків однакова?
532. До магазину завезли 27 пачок зошитів у клітку та 25 пачок зошитів у лінійку – всього 2600 штук. Скільки всього привезли зошитів у клітку та скільки в лінійку, якщо зошитів у всіх пачках однакова кількість?
533. Один верстат із програмним керуванням виробляє 12 деталей на хвилину, а другий - на 3 деталі більше. За скільки хвилин обидва верстати при їх одночасному включенні виготовлять 945 деталей?
Достатній рівень
534. Зібрали 830 кг яблук. З них a кілограмів віддали в дитячий садок, А ті, що залишилися, розклали порівну в 30 кошиків. Скільки кілограмів було у кожному кошику? Склади буквене виразі вирахуй його значення, якщо a = 110.
535. Обчисли зручним способом:
1) 742 + 39 + 58; 2) 973 + 115 - 273;
3) 832 - 15 - 32; 4) 2 ∙ 115 ∙ 50;
5) 29 ∙ 19 + 71 ∙ 19; 6) 192 ∙ 37 – 92 ∙ 37.
536. Телемайстерня планувала відремонтувати 180 телевізорів за 12 днів, але щодня ремонтувала на 3 телевізори більше, ніж планувала. За скільки днів виконано завдання?
538. Знайди значення виразу:
1) (21 000 - 308 ∙ 29) : 4 + 14 147: 47;
2) 548 ∙ 307 - 8904: (33 ∙ 507 - 16 647);
3) (562 + 1833: 47) ∙ 56 - 46 ∙ 305;
4) 1789 ∙ (1677: 43 - 888: 24)∙500.
539. Знайди значення виразу:
1) (42 + 9095: 85) ∙ (7344: 36 - 154);
2) 637 ∙ 408 - 54 036: (44 ∙ 209 - 9117);
3) (830 - 17 466: 82) ∙ 65 + 57 ∙ 804;
4) 197 ∙ (588: 49 + 728: 56) ∙ 40.
540. До трьох магазинів привезли 1506 кг олії. Після того, як перший магазин продав 152 кг, другий - 183 кг, а третій - 211 кг, у всіх магазинах залишилося масла порівну. Скільки кілограмів олії привезли до кожного магазину?
541. З міст A та B , відстань між якими 110 км, одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Швидкість одного з них 15 км/год, а іншого – на 3 км/год менше. Чи зустрінуться велосипедисти за 4 год?
542. Старшокласники Іван та Василь улітку працювали на фермі. Іван працював по 4 години щодня протягом 16 днів, а Василь - по 3 години щодня протягом 18 днів. Разом хлопці заробили 944 грн. Постав розумні питання і дай відповідь на них.
543. Двоє робітників, один з яких працював 12 днів по 8 год щодня, а інший – 8 днів по 7 год щодня, виготовили разом 1368 деталей. Знайди продуктивність праці робітників, якщо вона однакова. Скільки деталей виготовив кожен робітник?
544. Склади та розв'яжи задачу на всі чотири дії з натуральними числами.
Високий рівень
545. Підбери коріння до рівнянь:
1) х - х = х ∙ х; 2) m : m = m ∙ m .
546. Підбери коріння до рівнянь:
1) х: 8 = х ∙ 4; 2) у: 9 = у: 11.
547. На яке число треба помножити 259 259, щоб одержати твір, що записується лише цифрами 7?
548. На яке число треба помножити 37037, щоб отримати добуток, який записується тільки цифрами 3?
Вправи для повторення
549. Розв'яжи рівняння:
1) 4х – 2х + 7 = 19; 2) 8х + 3х – 5 = 39.
550. Щоб дістатися міста, селянин проїхав 3 год автобусом, швидкість якого а км/год, і 2 год на вантажній машині, швидкість якої b км/год. Зворотний шлях він подолав за 4 години на мотоциклі. Знайди швидкість мотоцикла. Склади буквений вираз і обчисли його значення, якщо а = 40, b = 32.
І обчисленні значень виразів дії виконуються у певній черговості, іншими словами, потрібно дотримуватися порядок виконання дій.
У цій статті ми розберемося, які дії слід виконувати спочатку, а які слідом за ними. Почнемо з самих простих випадків, коли вираз містить лише числа або змінні, з'єднані знаками плюс, мінус, помножити та розділити. Далі пояснимо, якого порядку виконання дій слід дотримуватись у виразах із дужками. Нарешті, розглянемо, у якій послідовності виконуються дії у виразах, що містять ступеня, коріння та інші функції.
Навігація на сторінці.
Спочатку множення та розподіл, потім додавання та віднімання
У школі дається таке правило, що визначає порядок виконання дій у виразах без дужок:
- дії виконуються по порядку зліва направо,
- причому спочатку виконується множення та розподіл, а потім – додавання та віднімання.
Озвучене правило сприймається досить природно. Виконання дій по порядку зліва направо пояснюється тим, що ми прийнято вести записи зліва направо. А те, що множення та розподіл виконується перед складанням та відніманням пояснюється змістом, який у собі несуть ці дії.
Розглянемо кілька прикладів застосування цього правила. Для прикладів братимемо найпростіші числові виразищоб не відволікатися на обчислення, а зосередитися саме на порядку виконання дій.
приклад.
Виконайте дії 7-3+6.
Рішення.
Вихідний вираз не містить дужок, а також він не містить множення та поділу. Тому нам слід виконати всі дії по порядку зліва направо, тобто спочатку ми від 7 віднімаємо 3 , отримуємо 4 , після чого до отриманої різниці 4 додаємо 6 , отримуємо 10 .
Коротко рішення можна записати так: 7−3+6=4+6=10 .
Відповідь:
7−3+6=10 .
приклад.
Вкажіть порядок виконання дій у виразі 6:2 · 8:3.
Рішення.
Щоб відповісти на питання задачі, звернемося до правила, що вказує порядок виконання дій у виразах без дужок. У вихідному вираженні містяться лише дії множення та поділу, а згідно з правилом їх потрібно виконувати по порядку зліва направо.
Відповідь:
Спочатку 6 ділимо на 2, це приватне множимо на 8, нарешті, отриманий результат ділимо на 3.
приклад.
Обчисліть значення виразу 17−5·6:3−2+4:2.
Рішення.
Спочатку визначимо, у порядку слід виконувати дії у вихідному вираженні. Воно містить і множення з поділом, і додавання з відніманням. Спочатку зліва направо потрібно виконати множення та розподіл. Так 5 множимо на 6, отримуємо 30, це число ділимо на 3, отримуємо 10. Тепер 4 ділимо на 2, отримуємо 2. Підставляємо у вихідний вираз замість 5·6:3 знайдене значення 10 а замість 4:2 - значення 2 маємо 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
В отриманому виразі вже немає множення і поділу, тому залишається по порядку зліва направо виконати дії, що залишилися: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Відповідь:
17−5·6:3−2+4:2=7.
Спочатку, щоб не переплутати порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, зручно над знаками дій розставити цифри, що відповідають порядку їх виконання. Для попереднього прикладу це було б так: .
Цього ж порядку виконання дій - спочатку множення і розподіл, потім додавання і віднімання - слід дотримуватися і при роботі з літерними виразами.
Дії першого та другого ступеня
У деяких підручниках з математики зустрічається поділ арифметичних дійна дії першого та другого ступеня. Розберемося із цим.
Визначення.
Діями першого ступеняназивають додавання та віднімання, а множення та поділ називають діями другого ступеня.
У цих термінах правило з попереднього пункту, Що визначає порядок виконання дій, запишеться так: якщо вираз не містить дужок, то по порядку зліва направо спочатку виконуються дії другого ступеня (множення та розподіл), потім – дії першого ступеня (складення та віднімання).
Порядок виконання арифметичних дій у виразах із дужками
Вирази часто містять дужки, що вказують порядок виконання дій. У цьому випадку правило, що задає порядок виконання дій у виразах з дужками, формулюється так: спочатку виконуються дії в дужках, при цьому також по порядку зліва направо виконується множення та поділ, потім – додавання та віднімання.
Отже, висловлювання в дужках розглядаються як складові вихідного виразу, і в них зберігається вже відомий нам порядок виконання дій. Розглянемо рішення прикладів для більшої ясності.
приклад.
Виконайте вказані дії 5+(7−2·3)·(6−4):2 .
Рішення.
Вираз містить дужки, тому спочатку виконаємо дії у виразах, укладених у ці дужки. Почнемо з виразу 7-2·3. У ньому потрібно спочатку виконати множення, і тільки потім віднімання маємо 7−2·3=7−6=1 . Переходимо до другого виразу в дужках 6-4. Тут лише одне дію – віднімання, виконуємо його 6−4=2 .
Підставляємо отримані значення у вихідний вираз: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. В отриманому виразі спочатку виконуємо зліва направо множення та розподіл, потім – віднімання, отримуємо 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На цьому всі дії виконані, ми дотримувалися такого порядку виконання: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .
Запишемо коротке рішення: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Відповідь:
5 + (7-2 · 3) · (6-4): 2 = 6 .
Буває, що вираз містить дужки у дужках. Цього боятися не варто, потрібно лише послідовно застосовувати озвучене правило виконання дій у виразах із дужками. Покажемо рішення прикладу.
приклад.
Виконайте дії у виразі 4+(3+1+4·(2+3)) .
Рішення.
Це вираз із дужками, це означає, що виконання дій потрібно починати з виразу в дужках, тобто з 3+1+4·(2+3) . Цей вираз також містить дужки, тому потрібно спочатку виконати дії у них. Зробимо це: 2+3=5. Підставивши знайдене значення, отримуємо 3+1+4·5. У цьому вся виразі спочатку виконуємо множення, потім – додавання, маємо 3+1+4·5=3+1+20=24 . Вихідне значення, після підстановки цього значення, набуває вигляду 4+24 , і залишається лише закінчити виконання дій: 4+24=28 .
Відповідь:
4+(3+1+4·(2+3))=28 .
Взагалі, коли у виразі присутні дужки у дужках, то часто буває зручно виконання дій починати з внутрішніх дужок та просуватися до зовнішніх.
Наприклад, нехай нам потрібно виконати дії у виразі (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Спочатку виконуємо дії у внутрішніх дужках, так як 4−6:2=4−3=1 , то після цього вихідний вираз набуде вигляду (4+(4+1)−1)−1 . Знову виконуємо дію у внутрішніх дужках, так як 4 + 1 = 5, то приходимо до наступного виразу (4 +5-1)-1. Знову виконуємо дії в дужках: 4+5−1=8 , у своїй приходимо до різниці 8−1 , що дорівнює 7 .
113. 1) На двох полицях 84 книги (рис. 6); якщо з однієї полиці зняти 12 книг, то обох полицях книжок буде порівну. Скільки книг було на кожній полиці?
2) (Усно.) Площа землі 1800 кв. м поділено між двома забудовниками так, що один отримав на 100 кв. м менше за інше. Визначити, скільки землі одержав кожен забудовник.
114. 1) Одне число більше за інше на 113, а їх сума дорівнює 337. Знайти ці числа.
2) Одне число менше за інше на 244, а їх сума дорівнює 566. Знайти ці числа.
115. 1) Сума двох чисел дорівнює 987, які різниця дорівнює 333. Знайти ці числа.
2) При додаванні двох чисел вийшло 824, а при відніманні з більшого числа меншого вийшло 198. Знайти ці числа.
За прикладом задачі 113 графічно зобразіть умови задач 116 і 117 і усно вирішіть їх.
116. 1) На одній полиці 80 книг, а на іншій 100. Скільки книг потрібно перекласти з другої полиці на першу, щоб на обох полицях їх стало порівну?
2) В однієї дівчинки 90 горіхів, а в іншої 60. Скільки горіхів має віддати перша дівчинка другої, щоб вони стали горіхів порівну?
117. 1) У двох хлопчиків 300 марок; якщо один із них дасть іншому 30 марок, то в обох хлопчиків марок виявиться порівну. Скільки марок у кожного хлопчика?
2) 86 піонерів виїжджали до табору на двох автобусах. Після посадки довелося двох людей пересадити з першого автобуса до другого, щоб у кожному автобусі було порівну. Скільки людей було у кожному автобусі спочатку?
118. 1) Котра тепер година, якщо минула частина доби на 3 години 30 хв. більше, що залишилася?
2) Котра тепер година, якщо минула частина доби на 6 год. 20 хв. менше, що залишилася?
119. 1) Два автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному з двох місць, відстань між якими 400 км, та за 4 години зустрілися. Визначити швидкість кожного автомобіля, якщо один з них їхав швидше за інший на 12 км на годину.
2) Дві автомашини перевезли 21 т вантажу, зробивши по 6 рейсів. Визначити вантажопідйомність кожної машини, якщо перша перевозила щоразу на 500 кг менше за другу.
120. 1) Рухаючись на байдарці за течією річки, спортсмен проїхав за одну годину 13 км 200 м, а проти течії річки він проїжджав за годину лише 8 км 800 м. Знайти швидкість течії річки та швидкість руху байдарки у стоячій воді. (Зобразіть графічно.)
2) Два лижники, що знаходилися один від одного на відстані б км 700 м, вийшли одночасно назустріч один одному і через 20 хв. зустрілися. Коли вони вийшли в одному напрямку, то через 20 хв. другий лижник відстав від першого на 300 м. Знайти швидкість кожного лижника.
121. 1) Дві суміжні ділянки землі прямокутної формимають однакову ширину 72 м, і сума довжин обох ділянок дорівнює 240 м. Площа першої ділянки на 28 а 80 кв. м більше площідругого. Яка площа кожної ділянки?
2) Дві суміжні ділянки прямокутної форми мають однакову ширину 56 м, і сума площ цих ділянок становить 140 а. Знайти площу кожної ділянки, якщо довжина одного з них на 70 м більша за довжину іншої.
122. 1) У Ленінграді у день літнього сонцестояння (22 червня) день на 13 год. 40 хв. довша за ніч. Визначити момент заходу сонця, якщо він сходить у цей день о 2 годині 37 хв.
2) У Москві в день зимового сонцестояння (23 грудня) день на 10 год. коротше за ніч. Визначити момент сходу сонця, якщо заходить воно о 15 год. 58 хв.
123. 1) У робочому селищі за три роки було збудовано 1 648 кв. м житлової площі. У другий рік було збудовано на 136 кв. м більше, ніж у перший, а третій рік було побудовано стільки, скільки за два перші роки разом. Скільки квадратних метрівжитлової площі було збудовано кожного року?
2) У радгоспі за три роки було розорано 4850 га цілинних земель. У другому році було розорано на 225 га більше, ніж у першому, а в третьому році стільки, скільки у першому та у другому році разом. Скільки гектарів цілинних земель було розорано щороку?
124. 1) Група школярів за три дні проїхала велосипедами 228 км. На другий день вони проїхали таку ж відстань, як і на перший день, а на третій - на 12 км більше, ніж на другий день. Яку відстань проїжджали школярі щодня? Знайти швидкість їх руху в кожен день, якщо вони були в дорозі в перший день 9:00, в другий - 8:00. і в третю – 7 год.
2) У їдальню привезли картоплю, буряки та моркву – всього 3 т 360 кг. Моркви та буряків була однакова кількість, а картоплі на 1 т 200 кг більше, ніж моркви. Скільки картоплі, моркви та буряків привезли до їдальні? За скільки днів витратить картоплю, моркву та буряки, якщо щодня витрачають 128 кг картоплі, 36 кг буряків та 24 кг моркви?
125. 1) Три школи зібрали всього 37 т 690 кг залізного брухту. Перша школа зібрала на 1 т 80 кг більше за другу і на 3т 920 кг більше за третю. Скільки грошей отримає кожна школа за лом, якщо було встановлено середню ціну по 8 крб. за 1 т?
2) Три піонерські загони зібрали разом 5 т 380 кг паперової макулатури. Перший загін зібрав на 960 кг менше за третій, а другий загін на 530 кг менше за третій. На яку суму зібрав макулатуру кожен загін, якщо 1 т її коштує 20 руб.?
126. 1) У двох пачках разом 270 зошитів (рис. 7). Скільки зошитів у кожній пачці, якщо відомо, що в одній із них у 4 рази більше, ніж в іншій?
Розгляньте малюнок та використовуйте його для вирішення задачі.
2) На трьох полицях розташовані книги так, що на другій полиці книг удвічі більше, ніж на першій, а на третій утричі більше, ніж на другій. Визначити скільки книг на кожній полиці, якщо відомо, що на всіх трьох полицях знаходиться 171 книга. (Зобразіть умову задачі графічно за прикладом попередньої задачі.)
127. 1) Картина з рамою коштує 19 руб. 80 коп., причому картина в 10 разів дорожча за рами. Скільки коштує картина та скільки коштує рама?
2) Склянка з підсклянником коштує 2 руб. 52 коп., причому склянка в 6 разів дешевша за підсклянник. Скільки коштує склянку та скільки коштує підсклянник?
128. 1) Один із доданків у 7 разів більший за інший, а сума їх дорівнює 144. Знайти кожне доданок.
2) Сума двох чисел дорівнює 729, причому перший доданок у 8 разів менший за другий. Знайти кожне доданок.
129. 1) Зменшуване вчетверо більше віднімається, а різниця дорівнює 12 738. Знайти зменшуване і віднімається.
2) Віднімається в шість разів менше від зменшуваного, а різниця дорівнює 10 385. Знайти зменшуване і віднімається.
130. 1) Яка тепер година, якщо минула частина доби в 3 рази менша за решту?
2) Яка тепер година, якщо частина доби, що залишилася, в 2 рази менша за минулу?
131. 1) Здійснюючи туристський похід за 100 км, піонери зробили великий привал. Після привалу вони пройшли ще 10 км, і тоді залишилося йти втричі більше, ніж було пройдено. На якій відстані з початку шляху було зроблено великий привал?
2) У бочці було 180 л води. Спочатку дівчинки полили помідори, а потім 60 л витратили на поливання огірків, і тоді на решту овочів залишилося води в 3 рази менше, ніж пішло на поливання помідорів та огірків. Скільки води пішло на поливання помідорів?
132. 1) Спортсмен кинув спис у 5 разів, або на 48 м, далі, ніж штовхнув ядро. Скільки метрів пролетіло спис і скільки ядро? (Зобразіть умову завдання графічно.)
2) Стрибок спортсмена в довжину виявився на 450 см, або в 4 рази, більший за його стрибок у висоту. Визначити величину стрибків у довжину та у висоту.
133. 1) Ширина прямокутної ділянки, яку займає шкільний фруктовий сад, на 120 м менше довжини. Школярі розчистили пустир, що примикає до саду. Після цього довжина і ширина саду збільшилися на 40 м кожна, і довжина стала вдвічі більшою за ширину. Скільки фруктових дерев було в саду раніше і скільки вдалося посадити знову, якщо під кожне дерево відводили 50 кв. м?
2) Довжина прямокутної ділянки, що примикає до болота, на 70 м більша за ширину. Після осушувальних робіт довжину і ширину збільшили на 20 м, і тоді довжина ділянки виявилася вдвічі більшою за ширину. Знайти колишню площу ділянки та дізнатися, на скільки вона збільшилася.
134. 1) На запасних коліях станції стояли два склади однакових вагонів. В одному складі було на 12 вагонів більше, ніж у іншому; коли від кожного складу відчепили по 6 вагонів, то довжина одного складу виявилася в 4 рази більшою за довжину іншого. Скільки вагонів було у кожному складі? (Зобразіть умову завдання графічно.)
2) Один шматок дроту на 54 м довший за інший. Після того як від кожного з шматків відрізали по 12 м, другий шматок виявився в 4 рази коротшим за перший. Знайти довжину кожного шматка дроту.
135. 1) При відвідуванні виставки було куплено 78 дитячих квитків та 16 квитків для дорослих, причому за все було сплачено 12 руб. 60 коп. Визначити ціну квитків, якщо дитячий квиток У 3 рази дешевше за квиток для дорослого.
2) У касі магазину перебувають п'ятирублеві і десятирублеві кредитні квитки, лише у сумі 1 050 крб. Скільки грошових знаків тієї та іншої гідності є в касі, якщо десятирублевих удвічі більше, ніж п'ятирублевих?
136. 1) Перший екскаватор виймає на годину на 60 куб. землі більше, ніж другий. Обидва екскаватори вийняли разом 10320 куб. м землі, причому перший працював 20 год., а другий 18 год. Скільки кубічних метріввиймає кожен екскаватор за годину?
2) 8 кг очищених горіхів містять стільки ж жирів, скільки 6 кг вершкового масла, причому в 1 кг олії на 200 г жирів більше, ніж 1 кг горіхів. Скільки жирів містить 1 кг олії та 1 кг горіхів?
137 *. 1) Для туристського походу, скоєного 46 школярами, були приготовлені шестимісні та чотиримісні човни. Скільки було тих та інших човнів, якщо всі туристи розмістилися у 10 човнах та вільних місцьне лишилося? (Мал. 8.)
2) У майстерні з 560 аркушів паперу зробили 60 зошитів двох сортів, витративши на зошити одного ґатунку по 8 аркушів, а на зошити іншого ґатунку по 12 аркушів. Скільки зробили зошитів того та іншого сорту окремо?
138 *. 1) Колективний город площею два з половиною гектари розбили на 70 ділянок розмірами 250 кв. м та 400 кв. м. Скільки тих та інших ділянок було у колективному городі?
2) (Давнє китайське завдання.) У клітці знаходиться невідоме число фазанів та кроликів. Відомо тільки, що всього в клітці 35 голів та 94 ноги. Дізнатися кількість фазанів та кількість кроликів.
139 *. 1) У касі продано 400 квитків у м'які та жорсткі вагони для проїзду до одного і того ж пункту ціною 10 руб. 45 коп. та 7 руб. 05 коп. Скільки продано тих та інших квитків окремо, якщо всі 400 квитків коштують 3160 руб.?
2) У касира набралося 50 монет по 20 коп. і по 15 коп., всього на суму 9 руб. Визначити скільки було у касира монет по 20 коп. та скільки по 15 коп.
140. 1) Обчисліть пропущені значення зазначених величин:
2) Пішохід проходить за годину 4 км, лижник 9 км, а велосипедист проїжджає 12 км. Яку відстань кожен із них може пройти чи проїхати за 4 години? Скільки часу потрібно кожному з них, щоб пройти або проїхати 180 км? (Час для відпочинку не враховувати.)
141. 1) Електричний потяг із дев'яти вагонів пройшов повз спостерігача за 12 сек. З якою швидкістю йшов поїзд, якщо довжина кожного вагона 16 м?
2) Зазор на стиках рейок спричиняє стукіт коліс при русі поїзда. Пасажир за одну хвилину нарахуй 80 ударів. Яка швидкість поїзда, виражена за кілометри на годину, якщо довжина рейки 9 м?
142. 1) З протилежних кінців ковзанки завдовжки 90 м біжать назустріч один одному два хлопчики (рис. 9, а). Через скільки секунд вони зустрінуться, якщо почнуть біг одночасно і якщо перший хлопчик пробігає за секунду 9 м, а другий 6 м?
2) За умовою першого завдання дізнайтесь, через скільки секунд перший хлопчик випередить другого на 30 м, якщо вони одночасно побіжать з одного місця та в одному напрямку (рис. 9, б).
143. 1) Кондуктор пасажирського поїзда, швидкість якого 50 км на годину, зауважив, що зустрічний товарний поїзд, що йде зі швидкістю 40 км на годину, пройшов повз нього за 10 сек. Визначити довжину товарного поїзда.
2) Два пасажири метро, що почали одночасно - один спуск, а інший підйом по сходах метро, що рухаються, зустрілися через 30 сек. Визначити довжину зовнішньої частини сходів, якщо швидкість руху 1 м на секунду.
144. 1) Два літаки вилетіли одночасно назустріч одне одному з двох міст, відстань між якими 2400 км, та зустрілися через 4 години. Визначити швидкість другого літака, якщо швидкість першого була 350 км/год.
2) Від двох пристаней, відстань між якими 660 км, вирушили одночасно назустріч один одному два пароплави. Перший пароплав проходив у середньому 250 м/хв. Визначити швидкість другого пароплава, якщо за 8 год. після початку руху між пароплавами залишалося 396 км.
145. 1) З Москви і Калініна до Ленінграда по тому самому шосе виїхали одночасно дві машини. З Москви – легкова, а з Калініна – вантажна. Вантажна рухалася зі середньою швидкістю 40 км на годину. Визначити швидкість легкової машини, якщо вона наздогнала вантажну через 8:00, а відстань від Москви до Калініна 168 км.
Напишіть рішення у вигляді числової формули.
2) З пунктів А та Б, відстань між якими 8 км, одночасно і в одному напрямку вийшов пішохід зі швидкістю 5 км на годину та виїхав автобус. Визначити швидкість автобуса, якщо за 12 хв. він наздогнав пішохода.
146. 1) О 8 год. ранку група піонерів вирушила пішки з міста до радгоспу, проходячи 4 км 800 м на годину, а об 11 год. за ними виїхала група піонерів на велосипедах зі швидкістю 12 км на годину. Визначити відстань від міста до радгоспу, якщо обидві групи прибули до радгоспу одночасно.
2) О 9 год. з одного міста до іншого вийшов пасажирський поїзд зі швидкістю 40 км на годину, а об 11 год. за ним вийшов швидкий поїзд зі швидкістю 58 км на годину. О котрій годині слід зупинити пасажирський поїзд для того, щоб пропустити швидкий, якщо для безпеки руху відстань між поїздами не повинна бути меншою за 8 км?
147. 1) З пункту А вийшов автобус зі швидкістю 30 км на годину та через 15 хв. наздогнав пішохода, який вийшов із пункту Б одночасно з виїздом автобуса з пункту А. Пішохід йшов зі швидкістю б км за годину. Знайти відстань між пунктами.
2) Опівдні від пристані відійшов пароплав зі швидкістю 16 км на годину. Через 3 години від тієї ж пристані за тим самим напрямком відійшов пароплав, який через 12 год. після свого виходу наздогнав перший пароплав. Визначити швидкість другого пароплава,
148. 1) (Старовинне завдання.) Собака женеться за кроликом, що знаходиться за 150 футів від нього. Вона робить стрибок у 9 футів щоразу, коли кролик стрибає на 7 футів. Скільки стрибків має зробити собака, щоб наздогнати кролика?
2) Собака погнався за лисицею, що знаходиться від неї на відстані 120 м. Через скільки часу собака наздожене лисицю, якщо лисиця пробігає за хвилину 320 м, а собака 350 м?
149. 1) Колесо, довжина кола якого 1 м 2 дм, на деякій відстані обернулося 900 разів. Скільки разів обернеться на тій самій відстані колесо, довжина кола якого на 8 дм більше першого?
Напишіть рішення у вигляді числової формули.
2) Переднє колесо з відривом 720 м обернулося на 40 оборотів більше, ніж заднє колесо. Знайти довжину кола переднього колеса, якщо довжина кола заднього колеса 2 м.
150. 1) Відстань від колгоспу до станції, що дорівнює 6 км, пішохід проходить за годину, а велосипедист проїжджає за 30 хв. На якій відстані від колгоспу та через скільки часу після початку руху вони зустрінуться, якщо одночасно вирушать велосипедист із колгоспу, а пішохід зі станції?
2) З двох міст вийшли одночасно назустріч один одному два потяги та зустрілися через 18 год. Визначити швидкість поїздів, знаючи, що різниця їх швидкостей дорівнює 10 км на годину, а відстань між містами 1620 км.
151. 1) Два поїзди вийшли до різний часназустріч одна одній із двох станцій, відстань між якими дорівнює 794 км. Перший поїзд проходив 52 км на годину, а другий 42 км на годину. Пройшовши 416 км, перший поїзд зустрівся з другим. На скільки годин один із поїздів вийшов раніше за інший?
2) З міста А вийшов поїзд до міста Б із середньою швидкістю 50 км на годину. Через 12 год. з аеродрому того ж міста вилетів літак, який полетів у тому самому напрямку зі швидкістю, у 7 разів більшої швидкості поїзда, і наздогнав його рівно на півдорозі від А до Б. Визначити відстань від А до Б.
152. По спортивній круговій доріжці, довжина якої 720 м, рухаються два ковзаняри. Швидкість першого 10 м/с, а другого 8 м/с. Вони розпочали рух одночасно і з одного місця спортивної доріжки. Через які проміжки часу перший ковзаняр обганятиме другого, якщо вони рухатимуться в одному напрямку? Через які проміжки часу вони будуть зустрічатися, якщо рухатимуться у протилежних напрямках?
153. 1) Уроки у школі починаються о 8 год. 30 хв. ранку. Кожен урок триває 45 хв. Зміни між другим та третім та між третім та четвертим уроками по 20 хв., а решта по 10 хв. Визначити час початку та кінця кожного з 6 уроків.
2) Розв'язати те саме завдання, якщо початок уроків о 2 годині дня.
154. 1) Навчальний ріку школах розбивається на чотири чверті: І чверть – з 1 вересня по 6 листопада включно, ІІ чверть – з 9 листопада по 29 грудня, ІІ чверть – з 11 січня по 24 березня, IV – з 3 квітня по 30 травня. Визначити тривалість кожної чверті.
2) Скільки повних років, місяців та днів минуло від дня вашого народження?
155. 1) Перший радянський штучний супутникЗемлі був запущений 4 жовтня 1957 р. а припинив своє існування 3 січня 1958 р. Скільки часу перебував у польоті перший радянський штучний супутник Землі?
2) Другий радянський штучний супутник Землі був запущений 3 листопада 1957 р., а припинив своє існування 14 квітня 1958 р. Скільки часу перебував у польоті другий радянський штучний супутник Землі?
156. 1) 7 травня 1895 р. А. С. Попов демонстрував перший у світі радіоприймач, За 332 роки 8 днів до цього почав друкувати перші в Росії книги Іван Федоров. Коли почав друкувати книги Іван Федоров?
2) Перше кругосвітня подорож, яке здійснили російські моряки Крузенштерн і Лисянський, почалося 7 серпня 1803 Моряки перебували в плаванні 3 роки і 14 днів. Коли вони повернулися на батьківщину?
157. 1) Великий російський математик М. І. Лобачевський народився 20 листопада 1792 р., а помер 12 лютого 1856 р. Скільки часу жив М. І. Лобачевський?
2) Великий російський математик П. Л. Чебишев народився 26 травня 1821, а помер 8 грудня 1894 р. Скільки часу жив II Л. Чебишев?
158. 1) Сарай, що має форму паралелепіпеда, заповнений сіном. Довжина сараю 8 м, ширина 6 м, висота б м. Визначити вагу сіна в сараї, якщо 10 куб. м сіна важать 6 ц.
2) Скільки тритонних машин знадобиться для перевезення стіс дров, довжина якої 6 м, ширина 2 м і висота 3 м, якщо 2 куб. м дров важать 1 т?
159. 1) Довжина класної кімнати 8 м, ширина 6 м, а висота 3 м 50 см. Знайти об'єм (кубатуру) класної кімнати.
2) Довжина спортивної зали 25 м, ширина 16 м, а висота 5 м 50 см. Знайти кубатуру спортивної зали.
160. 1) Стеля має довжину 11 м, а ширину на 5 м менша за довжину. Скільки листів сухої штукатурки буде потрібно для оббивки стелі, якщо ширина листа 1 м 5 дм, а довжина 2 м?
2) Дві кімнати мають однакову площу, але різну довжину та ширину. Перша кімната має довжину 12 м, а ширину 6 м. Визначити ширину другої кімнати, якщо довжина її на 3 м менша за довжину першої кімнати.
161. 1) Ділянка землі прямокутної форми завширшки 18 м та площею 576 кв. м треба обгородити дротом у 6 рядів. Скільки потрібно дроту?
2) З прямокутного листа скла, довжина якого 24 см, а ширина 22 см, потрібно нарізати прямокутні пластинки розмірами 8 см х б см. найбільша кількістьплатівок можна при цьому отримати? (Зобразіть рішення на кресленні, прийнявши одну клітинку у зошиті за 1 см.)
162. 1) У кожному з трьох наведених прикладів обчисліть пропущене значення зазначеної величини:
2) Учень протягом 8 днів прочитав половину книги, читаючи щоденно по 12 сторінок. Після цього, щоб прочитати книгу до терміну, він почав прочитувати щодня на 4 сторінки більше. На скільки днів учень отримав книгу?
163. 1) Бібліотеці потрібно було переплести 1800 книг. Три майстерні бралися кожна самостійно виконати замовлення: перша у 20 днів, друга у 30 днів та третя у 60 днів. Щоб закінчити палітурку книг якнайшвидше, вирішили передати замовлення відразу всім трьом майстерням. Скільки днів закінчать роботу майстерні, працюючи одночасно?
2) Щоб викачати воду з трюму, поставили два насоси: перший викачував 20 ведер на хвилину, а другий 30 ведер на хвилину. Спершу працював один перший насос, а через 30 хв. почав працювати і другий насос, після чого обидва насоси викачали всю воду через 1 годину 30 хв. Скільки води було в трюмі і в скільки часу було б викачано всю воду, якби з самого початку працювали обидва насоси?
164. 1) Район запланував провести ремонт трьох шосейних доріг завдовжки: перша 80 км, друга 98 км і третя 112 км. Визначити витрати на ремонт кожної дороги, якщо витрати на ремонт 1 км однакові та на ремонт першої дороги відпущено на 2160 руб. менше, ніж ремонт другий.
2) Група піонерів робила посадку дерев на вулицях міста. На одній вулиці потрібно було вирити 20 однакових ям для дерев, на іншій 15 та на третій 35. За скільки годин були вириті всі ями, якщо на першій вулиці піонери працювали на 1 годину 30 хв. менше, ніж на третій?
165. 1) За годину. роботи перший учень виготовив на 4 деталі більше за другий, а майстер виготовив на 36 деталей більше за першого учня і втричі більше за другий. Скільки хвилин витрачав на виготовлення однієї деталі майстер та кожен із учнів?
2) За 4 години 30 хв. перший учень виготовив на три деталі менше другого, а майстер виготовив утричі більше першого учня і на 27 деталей більше другого. Скільки хвилин витрачав на виготовлення однієї деталі майстер та кожен із учнів?
166. 1) Ширина прямокутної ділянки землі на 80 м менша за її довжину. Визначити площу ділянки, якщо довжина огорожі навколо неї 800 м.
2) Ділянка землі прямокутної форми обгороджена огорожею завдовжки 200 м, причому довжина її на 20 м більша за ширину. Ділянку поділили на дві частини, з яких одна на 200 кв. м більше за іншу. Знайти площу кожної частини.
167. 1) Бригада перевищила змінне завдання з видобутку руди вчетверо і дала на 24 т більше завдання. Скільки тонн руди виробила бригада за зміну та яке було змінне завдання?
2) Бронза містить 41 частина міді, 8 частин олова та 1 частина цинку. Скільки важитиме шматок бронзи, в якому цинку на 1 кг 484 г менше, ніж олова?
168. 1) Дві автомашини перевезли за 2 дні зі складу до магазину 96 т різного товару, причому першого дня було перевезено на 12 т більше, ніж у другому Визначити вантажопідйомність кожної машини, якщо відомо, що першого дня перша машина зробила 9 поїздок, а друга 12; другого дня перша машина зробила 3 поїздки, а друга 12 поїздок.
2) Майстерня отримала два шматки матерії у сумі 1 980 крб. Ціна матерії у першому шматку 39 руб. за метр, а у другому 40 руб. за метр. Скільки метрів матерії було у кожному шматку, якщо другий шматок коштував на 420 руб. дорожче за перший?
169. 1) Мотоцикліст мав проїхати відстань між двома пунктами, що дорівнює 600 км, зі швидкістю 30 км на годину, але у дорозі він змушений був затриматися на 4 години. Щоб прибути вчасно на місце призначення, він мав після зупинки подвоїти свою швидкість. На якій відстані від початку руху відбулася затримка?
2) Піонер, отримуючи щотижневий журнал, встигав прочитати його на момент отримання наступного номера. За час перебування у селі у нього накопичилося 6 номерів, і після повернення він вирішив прочитувати за тиждень 3 номери. Через скільки тижнів будуть прочитані всі отримані журнали?
170. 1) Батько старший за синана 24 роки. Скільки років синові, гелі через 3 роки він буде в 5 разів молодший за батька?
2) Синові зараз 14 років, а п'ять років тому він був у 5 разів молодший за свого батька. Скільки в даний часроків батькові?
171. 1) Екскурсанти за два дні витратили 156 руб. На другий день вони витратили вдвічі більше, ніж у перший, і ще 6 руб. Скільки карбованців витрачали екскурсанти щодня?
2) Від сталевої смуги довжиною 350 мм були відрізані 2 великі та 4 малі заготовки, після чого залишився шматок 22 мм. Визначити розміри заготовок, якщо велика заготовка в 2 рази довша за малу.
172. 1) На базі було 180 т овочів, якими вона постачала 20 їдалень. За три тижні до цієї бази прикріпили ще 15 їдалень. За скільки тижнів витратили запас овочів, якщо кожна їдальня витрачала в середньому 900 кг овочів на тиждень?
2) Під час облицювання мармуром стін вестибюля метро перша бригада встановлювала 14 кв. м, а друга 12 кв. м плит за зміну. Розміри вестибюля: 24 м х 8 м х 4 м. У стінах чотири проходи розмірами 2м х 3 м. За скільки днів буде закінчено роботу, якщо друга бригада почала працювати раніше за першу на 2 дні?
173. 1) З двох міст, відстань між якими 484 км, виїхали одночасно назустріч один одному велосипедист та мотоцикліст. Через 4 години відстань між ними виявилося 292 км. Визначити швидкість велосипедиста та мотоцикліста, якщо швидкість мотоцикліста в 3 рази більша за швидкість велосипедиста.
2) Два міста знаходяться на відстані 900 км один від одного. З одного міста вийшов поїзд, а з іншого міста одночасно з поїздом і в одному напрямку вилетів літак і за 3 години наздогнав поїзд. Визначити швидкості поїзда та літака, якщо швидкість поїзда у 7 разів менша за швидкість літака.
174. 1) Декілька учнів внесли на покупку книг по 50 коп., але виявилося, що зібрана сума на 1 руб. 50 коп. менше вартості книг. Коли ж кожен із учнів додав по 10 коп., то вся зібрана сума грошей перевищила вартість книг на 70 коп. Скільки було учнів та скільки коштували книги?
2) Для оплати путівки кожен екскурсант вніс 1 руб. 20 коп., але виявилося, що не вистачає 1 руб. Коли кожен учасник вніс ще по 10 коп., Виявилося, що 1 рубль залишається зайвим. Скільки людей брало участь в екскурсії та скільки коштувала путівка?
175. 1) Майстерня пошила 8 однакових пальт і кілька однакових костюмів, витративши 61 м матерії. На кожне пальто витрачалося 3 м 25 см матерії, але в кожен костюм на 25 див більше, ніж пальто. Скільки костюмів пошила майстерня?
2) Змініть умову завдання: знайдене число костюмів вважайте відомим, решту всіх залишіть без зміни і знайдіть, скільки пальто пошила майстерня. Складіть умову нового завдання.
3) Складіть нове завдання, подібну до двох перших, використовуючи кількість витрачається матерії на пошиття пальто і костюма. Інші числа змініть.
176. У таблиці наведено літні та осінньо-зимові норми кормів (у грамах на день) для кроленят.
Підрахуйте, скільки різних кормів потрібно, щоб виростити 50 голів молодняку: влітку, восени та взимку. Дізнайтеся ціну кормів та підрахуйте витрати.
177. 1) Накресліть стовпчасту діаграму, підрахувавши число п'ятірок, четвірок, трійок та незадовільних відміток, отриманих учнями класу на останній контрольної роботиз арифметики.
Вказівка. При побудові діаграми за основу кожного стовпчика візьміть дві клітинки завширшки, але в кожну отриману учнями позначку - одну клітинку заввишки.
2) Скільки у вашому класі учнів? Скільки із них піонерів? Накресліть діаграму.
178. Лабораторна робота«Провішування прямої лінії біля».
Клас розбивається на ланки по 3 людини у кожному (перший - старший, другий і третій підносять та встановлюють віхи).
Необхідні інструменти: 6-8 віх.
Хід роботи: 1) відзначити віхами кінцеві точкиА та Б (рис. 10),
2) встановити між віхами А та Б проміжні віхи так, щоб вони становили одну пряму.
