ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ В ЄДІ
Сєчін Михайло Олександрович
Мала академіянаук учнівської молоді РК «Шукач»
МБОУ «Радянська ЗОШ №1», 11 клас, смт. Радянський Радянського району
Гунько Людмила Дмитрівна, вчитель МБОУ«Радянська ЗОШ №1»
Радянського району
Мета роботи:дослідження механізму розв'язання логарифмічних нерівностейС3 за допомогою нестандартних методів, виявлення цікавих фактівлогарифму.
Предмет дослідження:
3) Навчитися вирішувати конкретні логарифмічні нерівності С3 з допомогою нестандартних методів.
Результати:
Зміст
Введение………………………………………………………………………….4
Глава 1. Історія питання……………………………………………………...5
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей ………………………… 7
2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів…………… 7
2.2. Метод раціоналізації ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартна підстановка……………….......................................... ..... 22
2.4. Завдання з пастками…………………………………………………… 27
Заключение…………………………………………………………………… 30
Література……………………………………………………………………. 31
Вступ
Я навчаюсь в 11 класі і планую вступити до ВНЗ, де профільним предметомє математика. А тому багато працюю із завданнями частини С. У завданні С3 потрібно вирішити нестандартну нерівність або систему нерівностей, як правило, пов'язану з логарифмами. Під час підготовки до іспиту я зіткнувся з проблемою дефіциту методів і прийомів розв'язання екзаменаційних логарифмічних нерівностей, пропонованих С3. Методи, які вивчаються в шкільній програміна цю тему, не дають бази для вирішення завдань С3. Вчитель з математики запропонувала мені попрацювати із завданнями С3 самостійно під її керівництвом. Крім цього, мене зацікавило питання: а у житті нашому зустрічаються логарифми?
З огляду на це і була обрана тема:
«Логарифмічні нерівності в ЄДІ»
Мета роботи:дослідження механізму розв'язання задач С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.
Предмет дослідження:
1) Знайти необхідні відомостіо нестандартних методахрозв'язання логарифмічних нерівностей.
2) Знайти додаткові відомостіпро логарифми.
3) Навчитися вирішувати конкретні завданняС3 з допомогою нестандартних методів.
Результати:
Практична значимістьполягає у розширенні апарату для вирішення завдань С3. Цей матеріалможна буде використовувати на деяких уроках для проведення гуртків, факультативних занять з математики.
Проектним продуктомстане збірка "Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями".
Розділ 1. Історія питання
Протягом 16 століття швидко зростала кількість наближених обчислень насамперед в астрономії. Удосконалення інструментів, дослідження планетних рухів та інші роботи вимагали колосальних, іноді багаторічних розрахунків. Астрономії загрожувала реальна небезпекапотонути у невиконаних розрахунках. Труднощі виникали і в інших областях, наприклад, у страховій справі потрібні таблиці складних відсотківдля різних значеньвідсотки. Головні труднощіпредставляли множення, поділ багатозначних чисел, особливо тригонометричних величин.
Відкриття логарифмів спиралося добре відомі до кінця 16 століття властивості прогресій. Про зв'язок між членами геометричній прогресії q, q2, q3, ... і арифметичною прогресієюїхніх показників 1, 2, 3,... говорив ще у "Псалміті" Архімед. Іншою передумовою було поширення поняття ступеня на негативні та дробові показники. Багато авторів вказували, що множення, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня в геометричній прогресії відповідають в арифметичній - в тому ж порядку - додавання, віднімання, множення та поділ.
Тут ховалася ідея логарифму як показника ступеня.
В історії розвитку вчення про логарифми пройшло кілька етапів.
1 етап
Логарифми були винайдені не пізніше 1594 незалежно один від одного шотландським бароном Непером (1550-1617) і через десять років швейцарським механіком Бюрги (1552-1632). Обидва хотіли дати новий зручний засіб арифметичних обчисленьхоча підійшли вони до цього завдання по-різному. Непер кінематично висловив логарифмічну функцію і тим самим вступив у нову областьтеорії функцій. Бюргі залишився на ґрунті розгляду дискретних прогресій. Втім, визначення логарифму в обох не схоже на сучасне. Термін "логарифм" (logarithmus) належить Неперу. Він виник із поєднання грецьких слів: logos - "відношення" та ariqmo - "число", яке означало "число відносин". Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeri artificiales - "штучні числа", на противагу numeri naturalts - "числам природним".
У 1615 році в бесіді з професором математики Грешем Коледжу в Лондоні Генрі Брігсом (1561-1631) Непер запропонував прийняти за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти - 100, або, що зводиться до того ж, просто 1. Так з'явилися десяткові логарифмита були надруковані перші логарифмічні таблиці. Пізніше таблиці Брігса доповнив голландський книготорговець та аматор математики Андріан Флакк (1600-1667). Непер і Брігс, хоча прийшли до логарифм раніше за всіх, опублікували свої таблиці пізніше за інших - в 1620 році. Знаки log та Log були введені у 1624 році І. Кеплером. Термін "натуральний логарифм" запровадили Менголі в 1659 р. і за ним М. Меркатор в 1668 р., а видав таблиці натуральних логарифмів чисел від 1 до 1000 під назвою "Нові логарифми" лондонський вчитель Джон Спейдел.
Російською мовою перші логарифмічні таблиці було видано 1703 року. Але у всіх логарифмічних таблицях були допущені помилки під час обчислення. Перші безпомилкові таблиці вийшли 1857 року у Берліні у обробці німецького математика До. Бремикера (1804-1877).
2 етап
Подальший розвиток теорії логарифмів пов'язаний із ширшим застосуванням аналітичної геометріїта обчислення нескінченно малих. На той час належить встановлення зв'язку між квадратурою рівносторонньої гіперболиі натуральним логарифмом. Теорія логарифмів цього періоду пов'язана з іменами цілого ряду математиків.
Німецький математик, астроном та інженер Ніколаус Меркатор у творі
"Логарифмотехніка" (1668) наводить ряд, що дає розкладання ln(x+1)
ступеням х:
Цей вираз точно відповідає ходу його думки, хоча він, звичайно, користувався не знаками d, ... , а більш громіздкою символікою. З відкриттям логарифмічного ряду змінилася техніка обчислення логарифмів: вони почали визначатися з допомогою нескінченних рядів. У своїх лекціях Елементарна математиказ вищої точкизору", прочитаних у 1907-1908 роках, Ф. Клейн запропонував використовувати формулу як вихідний пункт побудови теорії логарифмів.
3 етап
Визначення логарифмічної функціїяк функції зворотної
показовою, логарифма як показника ступеня даної підстави
було сформульовано не відразу. Твір Леонарда Ейлера (1707-1783)
"Введення в аналіз нескінченно малих" (1748) послужило подальшому
розвитку теорії логарифмічної функції Таким чином,
пройшло 134 роки з того часу, як логарифми вперше були введені
(вважаючи з 1614 р.), перш ніж математики дійшли визначення
поняття логарифму, яке покладено тепер основою шкільного курсу.
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей
2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів.
Рівносильні переходи
якщо а > 1
якщо 0 <
а <
1
Узагальнений методінтервалів
Цей спосібнайбільш універсальний під час вирішення нерівностей практично будь-якого типу. Схема рішення виглядає наступним чином:
1. Привести нерівність до такого виду, де у лівій частині знаходиться функція 
, а правої 0.
2. Знайти область визначення функції .
3. Знайти нулі функції тобто вирішити рівняння 
(а розв'язувати рівняння зазвичай простіше, ніж розв'язувати нерівність).
4. Зобразити на числовій прямій область визначення та нулі функції.
5. Визначити знаки функції на одержаних інтервалах.
6. Вибрати інтервали, де функція набирає необхідних значень, і записати відповідь.
приклад 1.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
звідки
При цих значеннях усі вирази, що стоять під знаками логарифмів, є позитивними.
Відповідь:
приклад 2.
Рішення:
1-й спосіб . ОДЗ визначається нерівністю x> 3. Логарифмуючи за таких xна підставі 10, отримуємо
Остання нерівність можна було вирішувати, застосовуючи правила розкладання, тобто. порівнюючи з нулем співмножники. Однак у даному випадкулегко визначити інтервали знаковості функції
тому можна застосувати метод інтервалів.
Функція f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ безперервна при x> 3 і звертається в нуль у точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким чином, визначаємо інтервали знаковості функції f(x):
Відповідь:
2-й спосіб . Застосуємо безпосередньо до нерівності ідеї методу інтервалів.
Для цього нагадаємо, що вирази a b - a c і ( a - 1)(b– 1) мають один знак. Тоді наша нерівність при x> 3 рівносильно нерівності
або
Остання нерівність вирішується методом інтервалів
Відповідь:
приклад 3.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
Відповідь:
приклад 4.
Рішення:
Так як 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 за всіх дійсних x, то
Для вирішення другої нерівності скористаємося методом інтервалів
У першій нерівності зробимо заміну
тоді приходимо до нерівності 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, які задовольняють нерівності -0,5< y < 1.
Звідки, оскільки
отримуємо нерівність
яке виконується за тих x, для яких 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Тепер з урахуванням вирішення другої нерівності системи остаточно отримуємо
Відповідь:
Приклад 5.
Рішення:
Нерівність рівносильна сукупності систем
або
Застосуємо метод інтервалів або
Відповідь:
Приклад 6.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі
Нехай
тоді y > 0,
і перша нерівність
системи набуває вигляду
або, розкладаючи
квадратний тричленна множники,
Застосовуючи до останньої нерівності метод інтервалів,
бачимо, що його рішеннями, що задовольняють умову y> 0 будуть усі y > 4.
Таким чином вихідна нерівність еквівалентна системі:
Отже, рішеннями нерівності є всі
2.2. Метод раціоналізації.
Раніше методомраціоналізації нерівності не вирішували, її не знали. Це "новий сучасний ефективний методрозв'язання показових та логарифмічних нерівностей" (цитата з книжки Колесникової С.І.)
І навіть якщо педагог його знав, була побоювання - а чи знає його експерт ЄДІ, а чому у школі його не дають? Були ситуації, коли вчитель говорив учневі: "Де взяв? Сідай – 2."
Нині метод повсюдно просувається. І для експертів є методичні вказівки, пов'язані з цим методом, і в "Найповніших виданнях типових варіантів..." у рішенні С3 використовується цей метод.
МЕТОД ЧУДОВИЙ!
В інших джерелах
якщо a >1 і b >1, log a b >0 і (a -1)(b -1)>0;
якщо a >1 та 0 якщо 0<a<1 и b
>1, то log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
якщо 0<a<1 и 00 та (a -1)(b -1)>0. Проведені міркування нескладні, але помітно спрощують розв'язання логарифмічних нерівностей. приклад 4.
log x (x 2 -3)<0
Рішення:
Приклад 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Рішення: Приклад 6.
Для розв'язання цієї нерівності замість знаменника запишемо (х-1-1)(х-1), а замість чисельника - твір (х-1)(х-3-9+х). Приклад 7.
Приклад 8.
2.3. Нестандартне підстановлення. приклад 1.
приклад 2.
приклад 3.
приклад 4.
Приклад 5.
Приклад 6.
Приклад 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Зробимо заміну у = 3 х -1; тоді ця нерівність набуде вигляду Log 4 log 0,25 Так як log 0,25 Зробимо заміну t = log 4 y і отримаємо нерівність t 2 -2t +≥0, розв'язком якої є проміжки - Таким чином, для знаходження значень маємо сукупність двох найпростіших нерівностей Отже, вихідна нерівність рівносильна сукупності двох показових нерівностей, Рішенням першої нерівності цієї сукупності є проміжок 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Приклад 8.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі Рішенням другої нерівності, що визначає ОДЗ, буде безліч тих x,
для яких x > 0.
Для вирішення першої нерівності зробимо заміну Тоді отримуємо нерівність або Безліч рішень останньої нерівності перебуває методом інтервалів: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, отримуємо або Безліч тих x, які задовольняють останню нерівність належить ОДЗ ( x> 0), отже, є рішенням системи, отже, і вихідної нерівності. Відповідь: 2.4. Завдання з пастки. приклад 1.
Рішення.ОДЗ нерівності є всі х, які задовольняють умові 0 приклад 2.
log 2 (2 x +1-x 2)> log 2 (2 x-1 +1-x) +1.
Відповідь. (0; 0,5) U.
Відповідь :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , то перепишемо останню нерівність у вигляді 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Вирішення цієї сукупності є проміжками 0<у≤2 и 8≤у<+.
тобто сукупності 
. Таким чином, вихідна нерівність виконується для всіх значень х із проміжків 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Отже, всі х із проміжку 0
Висновок
Було непросто визначити з великої кількості різних навчальних джерел спеціальні способи вирішення завдань С3. У ході виконаної роботи мені вдалося вивчити нестандартні методи розв'язання складних логарифмічних нерівностей. Це: рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів, метод раціоналізації , нестандартна підстановка , завдання з пастками на ОДЗ. У шкільній програмі ці методи відсутні.
Різними методами вирішив 27 нерівностей, пропонованих на ЄДІ у частині З, саме С3. Ці нерівності з рішеннями за методами стали основою збірки «Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями», яка стала проектним продуктом моєї діяльності. Гіпотеза, поставлена мною на початку проекту, підтвердилася: завдання С3 можна ефективно вирішувати, знаючи ці методи.
Крім того, я виявив цікаві факти логарифмів. Мені це було цікаво робити. Мої проектні продукти будуть корисними як для учнів, так і для вчителів.
Висновки:
Таким чином, поставленої мети проекту досягнуто, проблему вирішено. А я отримав найбільш повний та різнобічний досвід проектної діяльності на всіх етапах роботи. У ході роботи над проектом у мене основний вплив, що розвивається, було надано на розумову компетентність, діяльність, пов'язану з логічними розумовими операціями, розвиток творчої компетентності, особистої ініціативи, відповідальності, наполегливості, активності.
Гарантією успіху при створенні дослідницького проекту для мене стали: значний шкільний досвід, вміння здобувати інформацію з різних джерел, перевіряти її достовірність, ранжувати її за значимістю.
Окрім безпосередньо предметних знань з математики, розширив свої практичні навички в галузі інформатики, отримав нові знання та досвід у галузі психології, налагодив контакти з однокласниками, навчився співпрацювати з дорослими людьми. У ході проектної діяльності розвивалися організаційні, інтелектуальні та комунікативні загальнонавчальні вміння та навички.
Література
1. Корянов А. Г., Прокоф'єв А. А. Системи нерівностей з однією змінною (типові завдання С3).
2. Малкова А. Г. Підготовка до ЄДІ з математики.
3. Самарова С. С. Вирішення логарифмічних нерівностей.
4. Математика. Збірник тренувальних робіт за редакцією А.Л. Семенова та І.В. Ященко. -М: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.
Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.
Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.
Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.
Найпростіша логарифмічна нерівність.
Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.
Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.
Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей
Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.
Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.
Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.
Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.
Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,
Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.
Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, оскільки в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.
Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності
Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:
- метод заміни множників;
- декомпозиції;
- метод раціоналізації.
Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.
Приклади рішення :
Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.
В результаті ми отримуємо нерівність:
Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємося, що з розв'язанням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".
Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.
Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.
І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.
Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.
Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.
Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.
Вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.
Логарифмічні нерівності зі змінною основою
Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.
Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.
Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.
Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.
Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.
У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!
Нерівність називається логарифмічною, якщо в ній міститься логарифмічна функція.
Методи вирішення логарифмічних нерівностей не відрізняються від , крім двох речей.
По-перше, при переході від логарифмічної нерівності до нерівності підлогарифмічних функцій слід стежити за знаком нерівності, що виходить. Він підпорядковується такому правилу.
Якщо основа логарифмічної функції більша за $1$, то при переході від логарифмічної нерівності до нерівності підлогарифмічних функцій знак нерівності зберігається, а якщо менше $1$, то змінюється на протилежний.
По-друге, розв'язання будь-якої нерівності – проміжок, а, отже, наприкінці розв'язання нерівності підлогарифмічних функцій необхідно скласти систему з двох нерівностей: першою нерівністю цієї системи буде нерівність підлогарифмічних функцій, а другим – проміжок області визначення логарифмічних функцій, що входять до логарифмічної нерівності.
практика.
Вирішимо нерівності:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \ x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Основа логарифму дорівнює $2>1$, тому знак не змінюється. Користуючись визначенням логарифму, отримаємо:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )