Ab vektörünün koordinatları nasıl bulunur? Uzamsal problemler için vektör koordinatlarını belirleme formülü

Bilimsel süpervizör:

1. Giriş 3

2. Tarihsel eskiz 4

3. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken ODZ'nin “Yeri” 5-6

4. ODZ 7'nin özellikleri ve tehlikeleri

5. ODZ – bir çözüm var 8-9

6. ODZ'yi bulmak ekstra bir iştir. Geçişlerin denkliği 10-14

7. Birleşik Devlet Sınavında ODZ 15-16

8. Sonuç 17

9. Edebiyat 18

1. Giriş

Sorun: ODZ'yi bulmanın gerekli olduğu denklemler ve eşitsizlikler cebir dersinde sistematik sunum için yer bulamadı, bu yüzden muhtemelen akranlarım ve ben bu tür örnekleri çözerken sık sık hata yapıyoruz, bunları çözmek için çok zaman harcıyoruz ve unutuyoruz ODZ hakkında.

Hedef: DL'yi dikkate almanın gerekli olduğu örneklerde durumu analiz edebilme ve mantıksal olarak doğru sonuçlar çıkarabilme.

Görevler:

1. Teorik materyali inceleyin;

2. Birçok denklemi, eşitsizliği çözün: a) kesirli-rasyonel; b) irrasyonel; c) logaritmik; d) ters trigonometrik fonksiyonları içeren;

3. Çalışılan materyalleri standarttan farklı bir durumda uygulayın;

4. “Kabul edilebilir değerler alanı: teori ve pratik” konulu bir çalışma oluşturun

Proje üzerinde çalışın: Bildiğim fonksiyonları tekrarlayarak proje üzerinde çalışmaya başladım. Birçoğunun kapsamı sınırlıdır.

ODZ oluşur:

1. Karar verirken kesirli rasyonel denklemler ve eşitsizlikler

2. Karar verirken irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler

3. Karar verirken logaritmik denklemler ve eşitsizlikler

4. Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken

Birçok örneği çözdükten sonra çeşitli kaynaklar(Birleşik Devlet Sınavı kılavuzları, ders kitapları, referans kitapları), örneklerin çözümünü aşağıdaki ilkelere göre sistemleştirdim:

· örneği çözebilir ve ODZ'yi (en yaygın yöntem) dikkate alabilirsiniz.

· ODZ'yi dikkate almadan örneği çözmek mümkündür

· Doğru karara varmak ancak ODZ'yi dikkate almakla mümkündür.

Çalışmada kullanılan yöntemler: 1) analiz; 2) istatistiksel analiz; 3) kesinti; 4) sınıflandırma; 5) tahmin.

Analizi inceledim Birleşik Devlet Sınavı sonuçları Geçtiğimiz yıllarda. DL'nin dikkate alınması gereken örneklerde birçok hata yapılmıştır. Bunu bir kez daha vurguluyor alaka benim konumum.

2. Tarihsel taslak

Matematiğin diğer kavramları gibi fonksiyon kavramı da hemen gelişmedi, uzun mesafe gelişim. P. Fermat'ın “Düz ve Katı Yerlerin Giriş ve İncelenmesi” (1636, 1679'da yayınlandı) adlı eseri şöyle diyor: “Ne zaman olursa olsun son denklem Bilinmeyen iki nicelik var, bir yer var.” Aslında burada bahsettiğimiz şey fonksiyonel bağımlılık ve o grafik gösterimi(Fermat dilinde “yer” çizgi anlamına gelir). Çizgilerin R. Descartes'ın "Geometri" (1637) eserindeki denklemlerine göre incelenmesi, aynı zamanda ikisinin karşılıklı bağımlılığının da açık bir şekilde anlaşıldığını gösterir. değişkenler. I. Barrow'da (“Geometri Dersleri”, 1670) geometrik şekil farklılaşma ve bütünleşme eylemlerinin karşılıklı ters doğası belirlenir (tabii ki bu terimlerin kendileri kullanılmadan). Bu zaten fonksiyon kavramına tamamen hakim olunduğunu gösteriyor. Geometrik ve mekanik form Bu kavramı I. Newton'da da buluyoruz. Ancak "işlev" terimi ilk kez ancak 1692'de G. Leibniz'de ortaya çıktı ve üstelik modern anlayışıyla da pek örtüşmüyor. G. Leibniz, bir eğriyle ilişkili çeşitli bölümleri (örneğin, noktalarının apsisi) bir fonksiyon olarak adlandırır. L'Hopital (1696) tarafından yazılan ilk basılı ders olan “Eğri çizgilerin bilgisi için sonsuz küçüklerin analizi”nde “fonksiyon” terimi kullanılmamıştır.

Bir fonksiyonun modern tanımına yakın ilk tanımı I. Bernoulli'de (1718) bulunur: “Fonksiyon, bir değişken ve bir sabitten oluşan bir niceliktir.” Tamamen net olmayan bu tanım, bir fonksiyonun analitik bir formülle belirtilmesi fikrine dayanmaktadır. Aynı fikir, L. Euler'in “Sonsuzların Analizine Giriş” (1748) adlı eserinde verdiği tanımında da görülmektedir: “Değişken bir miktarın fonksiyonu, bu değişken miktar ve sayılardan bir şekilde oluşan analitik bir ifadedir veya sabit miktarlar.” Ancak L. Euler artık yabancı değil modern anlayış Bir fonksiyon kavramını onun herhangi bir analitik ifadesine bağlamayan fonksiyon. Onun " Diferansiyel hesap” (1755) şöyle diyor: “Bazı nicelikler başkalarına, ikincisi değiştiğinde kendileri de değişmeye tabi olacak şekilde bağlı olduğunda, o zaman birinciye ikincinin işlevleri denir.”

İLE XIX'in başı yüzyıllar boyunca, bir fonksiyon kavramını, onun analitik temsilinden bahsetmeden giderek daha sık tanımlamışlardır. "Diferansiyel ve Diferansiyel Üzerine İnceleme"de integral hesabı"(1797-1802) S. Lacroix şöyle diyor: “Değeri bir veya daha fazla başka niceliğe bağlı olan her niceliğe, bunların bir fonksiyonu denir.” İÇİNDE " Analitik teori J. Fourier'nin (1822) ısı" adlı eserinde şöyle bir ifade vardır: "Fonksiyon f(x) tamamen keyfi bir işlevi, yani, alt düzeyde olsun ya da olmasın, verilen değerlerin bir dizisini belirtir genel hukuk ve tüm değerlere karşılık gelen X 0 ile bir değer arasında yer alır X" N. I. Lobachevsky'nin tanımı modern olana yakındır: “... Genel konsept işlev şunu gerektirir: X her biri için verilen numarayı adlandırın X ve birlikte X yavaş yavaş değişir. Fonksiyon değeri verilebilir veya analitik ifade, ya da tüm sayıları test etmek ve bunlardan birini seçmek için bir araç sağlayan bir koşul ya da son olarak bir bağımlılık var olabilir ve bilinmiyor olabilir. Biraz aşağıda da söyleniyor: “Teorinin geniş görüşü, yalnızca sayıların birbiriyle bağlantılı olarak sanki birlikte verilmiş gibi anlaşılması anlamında bağımlılığın varlığına izin veriyor.” Böylece, modern çözünürlüklü referanslardan arındırılmış işlevler analitik görev Genellikle P. Dirichlet'e (1837) atfedilen, ondan önce defalarca önerildi.

Bir y fonksiyonunun tanım alanı (kabul edilebilir değerler), bu fonksiyonun tanımlandığı bağımsız değişken x'in değerler kümesidir, yani bağımsız değişkenin (argüman) değişim alanıdır.

3. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken kabul edilebilir değerler aralığının “Yeri”

1. Kesirli rasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken payda sıfır olmamalıdır.

2. İrrasyonel denklem ve eşitsizliklerin çözümü.

2.1..gif" genişlik = "212" yükseklik = "51"> .

İÇİNDE bu durumda ODZ'yi bulmaya gerek yoktur: ilk denklemden elde edilen x değerlerinin aşağıdaki eşitsizliği karşıladığı sonucu çıkar: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height = "27 src = " > sistem:

Denkleme eşit olarak girdikleri için eşitsizlik yerine eşitsizliği dahil edebilirsiniz https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" genişlik = "239" yükseklik = "51">

3. Logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözümü.

3.1. Logaritmik bir denklemi çözme şeması

Ancak ODZ'nin yalnızca bir durumunu kontrol etmek yeterlidir.

3.2..gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">.gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">

4. Trigonometrik denklemler tip sisteme eşdeğerdir (eşitsizlik yerine eşitsizliği sisteme dahil edebilirsiniz https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> eşdeğerdir denklem

4. İzin verilen değer aralığının özellikleri ve tehlikeleri

Matematik derslerinde yapmamız gerekenler ODZ'yi bulma her örnekte. Aynı zamanda matematiksel öz Bu durumda, ODZ'yi bulmak hiç de zorunlu değildir, çoğu zaman gerekli değildir ve bazen imkansızdır - ve tüm bunlar, örneğin çözümüne herhangi bir zarar vermeden. Öte yandan, çoğu zaman okul çocukları bir örneği çözdükten sonra DL'yi hesaba katmayı, onu son cevap olarak yazmayı ve yalnızca bazı koşulları dikkate almayı unuturlar. Bu durum iyi biliniyor ama “savaş” her yıl devam ediyor ve uzun süre de devam edecek gibi görünüyor.

Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün:

Burada ODZ aranır ve eşitsizlik çözülür. Ancak bu eşitsizliği çözerken okul çocukları bazen DL'yi aramadan yapmanın oldukça mümkün olduğuna, daha doğrusu koşul olmadan yapmanın mümkün olduğuna inanırlar.

Aslında doğru cevaba ulaşmak için hem eşitsizliği hem de eşitsizliği hesaba katmak gerekir.

Ancak örneğin denklemin çözümü: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

bu ODZ ile çalışmaya eşdeğerdir. Ancak bu örnekte böyle bir çalışma gereksizdir; bu eşitsizliklerden yalnızca ikisinin veya herhangi ikisinin yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek yeterlidir.

Herhangi bir denklemin (eşitsizliğin) forma indirgenebileceğini hatırlatmama izin verin. ODZ basitçe sol taraftaki fonksiyonun tanım alanıdır. Bu alanın izlenmesi gerektiği gerçeği, kökün belirli bir fonksiyonun tanım alanından, dolayısıyla ODZ'den bir sayı olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır. İşte bu konuyla ilgili komik bir örnek..gif" width="20" height="21 src="> bir dizi pozitif sayının tanım alanına sahiptir (bu, elbette, bir fonksiyonun dikkate alınmasına yönelik bir anlaşmadır) , ancak makul) ve bu durumda -1 kök değildir.

5. Kabul edilebilir değer aralığı – bir çözüm var

Ve son olarak, birçok örnekte ODZ'yi bulmak cevaba ulaşmanızı sağlar hantal düzenler olmadan, hatta sözlü olarak.

1. OD3 boş küme Bu, orijinal örneğin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir.

1) 2) 3)

2.B ODZ bir veya daha fazla sayı bulunur ve basit bir değişiklik, kökleri hızlı bir şekilde belirler.

1) , x=3

2)Burada ODZ'de yalnızca 1 sayısı var ve değiştirildikten sonra bunun bir kök olmadığı anlaşılıyor.

3) ODZ'de iki sayı vardır: 2 ve 3 ve her ikisi de uygundur.

4) > ODZ'de 0 ve 1 olmak üzere iki sayı vardır ve yalnızca 1 uygundur.

ODZ, ifadenin kendisinin analiziyle birlikte etkili bir şekilde kullanılabilir.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только pozitif sayılar yani x=2'yi bırakıyoruz. Daha sonra eşitsizliğin yerine 2 koyarız.

6) ODZ'den şu sonuç çıkıyor: ..gif" width="143" height="24"> ODZ'den elimizde: . Ama sonra ve . Çünkü hiçbir çözüm yok.

ODZ'den elimizde: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, yani . Son eşitsizliği çözerek x elde ederiz<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

3) ODZ: . O zamandan beri

Öte yandan, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. [-1; 0).

Aşağıdaki eşitsizlikleri yerine getirir https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src = "> ve hiçbir çözüm yok. İşlev ve https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" ile height ="45 src="> ODZ'yi bulalım:

Tamsayı çözümü yalnızca x=3 ve x=5 için mümkündür. Kontrol ederek x=3 kökünün uymadığını buluyoruz, bu da cevabın x=5 olduğu anlamına geliyor.

6. Kabul edilebilir değer aralığını bulmak ekstra iştir. Geçişlerin denkliği.

DZ'yi bulmadan da durumun net olduğu örnekler verebilirsiniz.

Eşitlik imkansızdır çünkü daha büyük bir ifadeyi daha küçük bir ifadeden çıkarırken sonuç negatif bir sayı olmalıdır.

2. .

Negatif olmayan iki fonksiyonun toplamı negatif olamaz.

Ayrıca ODZ'yi bulmanın zor, bazen de imkansız olduğu örnekler vereceğim.

Ve son olarak, ODZ'yi aramak çoğu zaman sadece ekstra bir iştir ve bunu onsuz yapabilirsiniz, böylece neler olduğuna dair anlayışınızı kanıtlarsınız. Burada verilebilecek çok sayıda örnek var, bu yüzden yalnızca en tipik olanları seçeceğim. Bu durumda ana çözüm yöntemi, bir denklemden (eşitsizlik, sistem) diğerine geçerken eşdeğer dönüşümlerdir.

1.. ODZ gerekli değildir, çünkü x2 = 1 olan x değerlerini bulduktan sonra x = 0 elde edemeyiz.

2. . ODZ'ye ihtiyaç yoktur çünkü radikal ifadenin pozitif bir sayıya eşit olduğunu buluruz.

3. . Önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı ODZ'ye ihtiyaç yoktur.

ODZ'ye gerek yoktur çünkü radikal ifade bazı fonksiyonların karesine eşittir ve bu nedenle negatif olamaz.

6. ..gif" width="271" height="51"> Çözmek için köklü ifade için yalnızca bir kısıtlama yeterlidir. Aslında yazılı karma sistemden diğer köklü ifadenin negatif olmadığı sonucu çıkar.

8. Önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı DZ'ye ihtiyaç yoktur.

9. ODZ'ye ihtiyaç yoktur çünkü logaritma işaretleri altındaki üç ifadeden ikisinin pozitif olması üçüncünün pozitifliğini sağlamak için yeterlidir.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ, önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı gerekli değildir.

Bununla birlikte, eşdeğer dönüşümler yöntemini kullanarak çözerken ODZ (ve fonksiyonların özellikleri) bilgisinin yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var.

İşte bazı örnekler.

1. . Sağ taraftaki ifadenin pozitif olduğunu ima eden OD3 ve buna eşdeğer bir denklemi şu şekilde yazmak mümkün https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ: Ama o zaman ve bu eşitsizliği çözerken sağ tarafın 0'dan küçük olduğu durumu dikkate almaya gerek yok.

3. . ODZ'den şunu takip eder ve bu nedenle https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Git genel görünümşuna benziyor:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" genişlik = "303" yükseklik = "24">

İki olası durum vardır: 0 >1.

Bu, orijinal eşitsizliğin aşağıdaki eşitsizlik sistemleri kümesine eşdeğer olduğu anlamına gelir:

İlk sistemin çözümü yok ama ikincisinden şunu elde ediyoruz: x<-1 – решение неравенства.

Denklik koşullarını anlamak bazı inceliklerin bilinmesini gerektirir. Örneğin, aşağıdaki denklemler neden eşdeğerdir:

Veya

Ve son olarak belki de en önemlisi. Gerçek şu ki, eşdeğerlik, denklemin kendisinde bazı dönüşümler yapılırsa cevabın doğruluğunu garanti eder, ancak parçalardan yalnızca birindeki dönüşümler için kullanılmaz. Kısaltmalar ve parçalardan birinde farklı formüllerin kullanılması eşdeğerlik teoremlerinin kapsamına girmez. Bu türden bazı örnekleri daha önce vermiştim. Birkaç örneğe daha bakalım.

1. Bu karar doğaldır. Mülkiyet tarafından sol tarafta logaritmik fonksiyon..gif" width=111" height=48"> ifadesine geçelim.

Bu sistemi çözdükten sonra sonucu (-2 ve 2) alıyoruz, ancak bu bir cevap değil çünkü -2 sayısı ODZ'ye dahil değil. Peki ODS kurmamız gerekiyor mu? Tabii ki değil. Ancak çözümde logaritmik fonksiyonun belirli bir özelliğini kullandığımız için, bunun sağlandığı koşulları sağlamak zorundayız. Böyle bir durum logaritma işaretinin altındaki ifadelerin pozitifliğidir..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width = "143" height = "27 src = "> sayılar bu şekilde değiştirilmeye tabidir . Kim bu kadar sıkıcı hesaplamalar yapmak ister?.gif" width="12" height="23 src="> bir koşul ekleyin ve yalnızca https://pandia.ru/text/78/083 sayısının olduğunu hemen görebilirsiniz. / bu koşulu karşılıyor Images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) teste katılanların %52'si tarafından kanıtlandı. Oranların bu kadar düşük olmasının nedenlerinden biri de pek çok mezunun denklemin karesini aldıktan sonra elde edilen kökleri seçmemesidir.

3) Örneğin, C1 sorunlarından birinin çözümünü düşünün: “Fonksiyonun grafiğinin noktalarının olduğu tüm x değerlerini bulun. yukarıda yatmak karşılık gelen noktalar fonksiyonun grafiği ". Görev, çözmekten ibarettir kesirli eşitsizlik içeren logaritmik ifade. Bu tür eşitsizlikleri çözmenin yöntemlerini biliyoruz. Bunlardan en yaygın olanı aralık yöntemidir. Ancak sınava girenler bunu kullanırken çeşitli hatalar yaparlar. Eşitsizliği örnek olarak kullanarak en yaygın hatalara bakalım:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.

8. Sonuç

Özetlemek gerekirse denklem ve eşitsizliklerin çözümü için evrensel bir yöntem olmadığını söyleyebiliriz. Her seferinde, ne yaptığınızı anlamak ve mekanik olarak hareket etmek istemiyorsanız, bir ikilem ortaya çıkıyor: özellikle hangi çözümü seçmelisiniz, ODZ'yi aramalı mı aramamalı mı? Kazandığım deneyimin bu ikilemi çözmeme yardımcı olacağını düşünüyorum. ODZ'yi doğru kullanmayı öğrenerek hata yapmayı bırakacağım. Bunu yapıp yapamayacağımı zaman, daha doğrusu Birleşik Devlet Sınavı gösterecek.

9. Edebiyat

Ve diğerleri “Cebir ve analizin başlangıcı 10-11” problem kitabı ve ders kitabı, M.: “Prosveshchenie”, 2002. “Handbook for ilköğretim matematik" M.: “Nauka”, 1966. “Matematik” Gazetesi No: 46, Gazete “Matematik” No. Gazete “Matematik” No. “Okul VII-VIII. Sınıflarda Matematik Tarihi”. M .: “Aydınlanma”, 1982. vb. “Seçeneklerin en eksiksiz baskısı gerçek görevler Birleşik Devlet Sınavı: 2009/FIPI" - M .: "Astrel", 2009. vb. "Birleşik Devlet Sınavı. Matematik. Öğrencileri hazırlamak için evrensel materyaller/FIPI" - M.: "İstihbarat Merkezi", 2009. vb. "Cebir ve analizin başlangıcı 10-11." M.: “Aydınlanma”, 2007. , “Sorunların Çözümü Çalıştayı” okul matematik(cebir atölyesi).” M.: Eğitim, 1976. “25.000 matematik dersi.” M.: “Aydınlanma”, 1993. “Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık.” M.: “Sınav”, 2006. “Çocuklar için Ansiklopedi “MATEMATİK” cilt 11, M.: Avanta +; 2002. www.sitelerden materyaller. *****, www. *****.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Kesirli denklemler. ODZ.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler . Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler . Aynı şey.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

Öğretildiği gibi genç sınıfları? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Nasıl olduğunu unut kötü rüya! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle çarpıyoruz (yani özünde, ortak payda). Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarp:

Bu sıradan çarpma kesirler, ama ayrıntılı olarak yazacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf Ve Tümü sağ taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Ancak ondan önce diğer sorunları çözmeyi öğreneceğiz. Faiz üzerine. Bu arada bu bir tırmık!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Değişken içeren herhangi bir ifadenin, mevcut olduğu yerde kendi geçerli değer aralığı vardır. Karar verirken ODZ her zaman dikkate alınmalıdır. Eksik olması durumunda hatalı sonuç alabilirsiniz.

Bu makale ODZ'nin nasıl doğru şekilde bulunacağını ve örneklerin nasıl kullanılacağını gösterecektir. Karar verirken DZ'yi belirtmenin önemi de tartışılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Geçerli ve geçersiz değişken değerleri

Bu tanım değişkenin izin verilen değerleri ile ilgilidir. Tanımı tanıttığımızda bakalım nasıl bir sonuca varacak.

7. sınıftan itibaren sayılarla çalışmaya başlıyoruz ve sayısal ifadeler. İlk tanımlar değişkenlerle seçili değişkenlere sahip ifadelerin anlamına atlar.

Seçilen değişkenlere sahip ifadeler olduğunda bazıları tatmin edici olmayabilir. Örneğin, 1: a formunun ifadesi, eğer a = 0 ise, o zaman sıfıra bölmek imkansız olduğu için mantıklı değildir. Yani ifadenin her durumda uygun değerlere sahip olması ve cevap vermesi gerekir. Başka bir deyişle mevcut değişkenlerle anlam kazanırlar.

Tanım 1

Değişkenleri içeren bir ifade varsa, o zaman yalnızca değerin yerine koyarak hesaplanabiliyor olması anlamlıdır.

Tanım 2

Değişkenleri olan bir ifade varsa, bunları değiştirirken değerin hesaplanamamasının bir anlamı yoktur.

Yani bu tam bir tanım anlamına gelir

Tanım 3

Mevcut kabul edilebilir değişkenler, ifadenin anlamlı olduğu değerlerdir. Ve eğer mantıklı değilse, o zaman kabul edilemez sayılırlar.

Yukarıdakileri açıklığa kavuşturmak için: Eğer birden fazla değişken varsa, o zaman bir çift uygun değer olabilir.

Örnek 1

Örneğin, üç değişkenin olduğu 1 x - y + z formundaki bir ifadeyi düşünün. Aksi taktirde x = 0, y = 1, z = 2 şeklinde yazabilirsiniz, diğer bir girdi ise (0, 1, 2) şeklindedir. Bu değerlere geçerli denir, yani ifadenin değeri bulunabilir. 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 sonucunu elde ederiz. Buradan (1, 1, 2)'nin kabul edilemez olduğunu görüyoruz. Değiştirme sıfıra bölünmeyle sonuçlanır, yani 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ODZ nedir?

Kabul edilebilir değer aralığı – önemli unsur hesaplarken cebirsel ifadeler. Bu nedenle hesaplama yaparken buna dikkat etmekte fayda var.

Tanım 4

ODZ alanı belirli bir ifade için izin verilen değerler kümesidir.

Örnek bir ifadeye bakalım.

Örnek 2

5 z - 3 biçiminde bir ifademiz varsa, o zaman ODZ (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) biçimine sahiptir. Bu, belirli bir ifade için z değişkenini karşılayan geçerli değerler aralığıdır.

z x - y biçiminde ifadeler varsa, x ≠ y, z'nin herhangi bir değer alacağı açıktır. Buna ODZ ifadeleri denir. Değiştirme sırasında sıfıra bölünmeyi önlemek için dikkate alınmalıdır.

İzin verilen değer aralığı ve tanım aralığı aynı anlama sahiptir. Bunlardan sadece ikincisi ifadeler için kullanılır, ilki denklemler veya eşitsizlikler için kullanılır. DL'nin yardımıyla ifade veya eşitsizlik anlamlı hale gelir. Fonksiyonun tanım alanı, f (x) ifadesi için x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığı ile çakışmaktadır.

ODZ'yi nasıl bulabilirim? Örnekler, çözümler

ODZ'yi bulmak her şeyi bulmak demektir geçerli değerler, için uygun Verilen fonksiyon veya eşitsizlik. Bu koşulların sağlanmaması hatalı sonuçlara yol açabilir. ODZ'yi bulmak için genellikle belirli bir ifadede dönüşümlerden geçmek gerekir.

Hesaplanmasının imkansız olduğu ifadeler vardır:

sıfıra bölme varsa;
negatif bir sayının kökünü almak;
negatif tam sayı göstergesinin varlığı – yalnızca pozitif sayılar için;
negatif bir sayının logaritmasının hesaplanması;
tanjant π 2 + π · k, k ∈ Z ve kotanjant π · k, k ∈ Z'nin tanım alanı;
[-1'e ait olmayan bir değer için bir sayının arksinüs ve arkkosinüsünün değerini bulma; 1].

Bütün bunlar ODZ'ye sahip olmanın ne kadar önemli olduğunu gösteriyor.

Örnek 3

ODZ ifadesini bulun x 3 + 2 x y − 4 .

Çözüm

Herhangi bir sayının küpü alınabilir. Bu ifade kesri yoktur, dolayısıyla x ve y'nin değerleri herhangi bir şey olabilir. Yani ODZ herhangi bir sayıdır.

Cevap: x ve y – herhangi bir değer.

Örnek 4

1 3 - x + 1 0 ifadesinin ODZ'sini bulun.

Çözüm

Paydanın sıfır olduğu bir kesirin olduğu görülebilir. Bu, herhangi bir x değeri için sıfıra bölünmeyi elde edeceğimiz anlamına gelir. Bu, bu ifadenin tanımsız kabul edildiği, yani herhangi bir ek yükümlülüğü olmadığı sonucuna varabileceğimiz anlamına gelir.

Cevap: ∅ .

Örnek 5

Verilen x + 2 · y + 3 - 5 · x ifadesinin ODZ'sini bulun.

Çözüm

Kullanılabilirlik karekök bu ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiğini belirtir. Şu tarihte: negatif değer mantıklı değil. Bu, x + 2 · y + 3 ≥ 0 biçiminde bir eşitsizliği yazmanın gerekli olduğu anlamına gelir. Yani bu, kabul edilebilir değerlerin istenen aralığıdır.

Cevap: x + 2 y + 3 ≥ 0 olmak üzere x ve y kümesi.

Örnek 6

1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) formunun ODZ ifadesini belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak bir kesirimiz var, dolayısıyla paydası sıfıra eşit olmamalıdır. x + 1 - 1 ≠ 0 sonucunu elde ederiz. Radikal ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunda, yani x + 1 ≥ 0 olduğunda her zaman anlamlıdır. Logaritması olduğundan ifadesi kesinlikle pozitif olmalıdır, yani x 2 + 3 > 0 olmalıdır. Logaritmanın tabanı da olmalıdır pozitif değer ve 1'den farklıysa x + 8 > 0 ve x + 8 ≠ 1 koşullarını toplarız. İstenilen ODZ'nin şu şekli alacağı anlaşılmaktadır:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Başka bir deyişle tek değişkenli eşitsizlikler sistemi denir. Çözüm aşağıdaki ODZ gösterimine yol açacaktır [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Cevap: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Değişimi yönlendirirken DPD'yi dikkate almak neden önemlidir?

Kimlik dönüşümleri sırasında ODZ'yi bulmak önemlidir. ODZ'nin varlığının gerçekleşmediği durumlar vardır. Belirli bir ifadenin bir çözümü olup olmadığını anlamak için, orijinal ifadenin değişkenlerinin VA'sını ve sonuçta ortaya çıkan değişkenlerin VA'sını karşılaştırmanız gerekir.

Kimlik dönüşümleri:

DL'yi etkilemeyebilir;
DZ'nin genişlemesine veya eklenmesine yol açabilir;
DZ'yi daraltabilir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek 7

Eğer x 2 + x + 3 · x şeklinde bir ifademiz varsa, o zaman bunun ODZ'si tüm tanım alanı boyunca tanımlanır. getirirken bile benzer terimler ODZ ifadesinin basitleştirilmesi ve sadeleştirilmesi değişmez.

Örnek 8

x + 3 x − 3 x ifadesini örnek alırsak işler farklıdır. Sahibiz kesirli ifade. Ve sıfıra bölmenin kabul edilemez olduğunu biliyoruz. O halde ODZ (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) biçimine sahiptir. Sıfırın çözüm olmadığı görülüyor, bu yüzden onu parantez içinde ekliyoruz.

Radikal bir ifadenin varlığına sahip bir örneği ele alalım.

Örnek 9

Eğer x - 1 · x - 3 varsa, o zaman ODZ'ye dikkat etmelisiniz çünkü bunun (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 eşitsizliği olarak yazılması gerekir. Aralık yöntemiyle çözmek mümkündür, o zaman ODZ'nin (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) formunu alacağını buluruz. x - 1 · x - 3'ü dönüştürdükten ve köklerin özelliğini uyguladıktan sonra, ODZ'nin tamamlanabileceğine ve her şeyin x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ biçiminde bir eşitsizlik sistemi biçiminde yazılabileceğine sahip oluruz. 0. Bunu çözerken şunu buluruz: [ 3 , + ∞) . Bu, ODZ'nin tamamen şu şekilde yazıldığı anlamına gelir: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

DZ'yi daraltan dönüşümlerden kaçınılmalıdır.

Örnek 10

x = - 1 olduğunda x - 1 · x - 3 ifadesinin bir örneğini ele alalım. Yerine koyarken şunu elde ederiz: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Bu ifadeyi dönüştürüp x - 1 · x - 3 biçimine getirirsek, hesaplama yaparken 2 - 1 · 2 - 3 ifadesini buluruz, çünkü kök ifadenin negatif olmaması gerekir.

Uyulmalıdır kimlik dönüşümleri ODZ değişmeyecek.

Üzerine genişleyen örnekler varsa o zaman DL'ye eklenmelidir.

Örnek 11

x x 3 + x formundaki kesirlerin örneğine bakalım. Eğer x ile sadeleştirirsek, o zaman 1 x 2 + 1 elde ederiz. Daha sonra ODZ genişler ve (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) olur. Üstelik hesaplarken zaten ikinci basitleştirilmiş kesirle çalışıyoruz.

Logaritmaların varlığında durum biraz farklıdır.

Örnek 12

ln x + ln (x + 3) biçiminde bir ifade varsa, logaritmanın özelliğine bağlı olarak bunun yerine ln (x · (x + 3)) kullanılır. Buradan ODZ'nin (0 , + ∞)'dan (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞)'a kadar olduğunu görebiliriz. Bu nedenle ADL tanımları ln (x · (x + 3)) ODZ üzerinde yani (0 , + ∞) kümesi üzerinde hesaplamalar yapmak gerekir.

Çözerken her zaman koşulun verdiği ifadenin yapısına ve türüne dikkat etmek gerekir. Şu tarihte: doğru konum tanım alanı sonucu olumlu olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.