Çözmek için benzer görevler Bir piramidin hacminin formülünü kesinlikle bilmeniz gerekir:
S
H– piramidin yüksekliği
Taban herhangi bir çokgen olabilir. Ama çoğu problemde Birleşik Devlet Sınavı konuşması bu durum kural olarak düzenli piramitleri ifade eder. Size onun özelliklerinden birini hatırlatayım:
Tepe noktası düzenli piramit tabanının merkezine yansıtıldı
Düzenli bir üçgenin, dörtgenselin ve dikdörtgenin izdüşümüne bakın. altıgen piramit(ÜST GÖRÜNÜM):
Bir piramidin hacmini bulmayla ilgili sorunların tartışıldığı blogda yapabilirsiniz.
Görevleri ele alalım:
27087. Doğru hacmi bulun üçgen piramit kenarları 1'e ve yüksekliği üçün köküne eşit olan.
S– piramidin tabanının alanı
H– piramidin yüksekliği
Piramidin tabanının alanını bulalım, bu düzgün bir üçgen. Formülü kullanalım - bir üçgenin alanı, bitişik kenarların çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir, yani:
Cevap: 0,25
27088. Taban kenarları 2 ve hacmi 2 olan düzgün üçgen piramidin yüksekliğini bulunuz. köke eşitüçte biri.
Bir piramidin yüksekliği ve tabanının özellikleri gibi kavramlar hacim formülüyle ilişkilidir:
S– piramidin tabanının alanı
H– piramidin yüksekliği
Taban olan üçgenin kenarlarını bildiğimiz için hacmin kendisini biliyoruz, tabanın alanını da bulabiliriz. Belirtilen değerleri bilerek yüksekliği kolayca bulabiliriz.
Tabanın alanını bulmak için formülü kullanırız - bir üçgenin alanı, bitişik kenarların çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir, yani:
Böylece bu değerleri hacim formülünde yerine koyarak piramidin yüksekliğini hesaplayabiliriz:
Yükseklik üçtür.
Cevap: 3
27109. Düzenli bir dörtgen piramidin yüksekliği 6'dır, yan kaburga 10'a eşittir. Hacmini bulun.
Piramidin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:
S– piramidin tabanının alanı
H– piramidin yüksekliği
Yüksekliğini biliyoruz. Tabanın alanını bulmanız gerekiyor. Size normal bir piramidin tepesinin tabanının merkezine yansıtıldığını hatırlatmama izin verin. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanı bir karedir. Köşegenini bulabiliriz. Bir dik üçgen düşünün (mavi renkle vurgulanmıştır):
Karenin merkezini B noktasına birleştiren parça bacaktır. yarıya eşit bir karenin köşegenleri. Bu ayağı Pisagor teoremini kullanarak hesaplayabiliriz:
Bu BD = 16 anlamına gelir. Dörtgen alanı formülünü kullanarak karenin alanını hesaplayalım:
Buradan:
Buna göre piramidin hacmi:
Cevap: 256
27178. Düzgün dörtgen piramitte yükseklik 12, hacim ise 200'dür. Bu piramidin yan kenarını bulun.
Piramidin yüksekliği ve hacmi biliniyor, bu da taban olan karenin alanını bulabileceğimiz anlamına geliyor. Karenin alanını bildiğimiz için köşegenini bulabiliriz. Daha sonra, Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgeni göz önünde bulundurarak yan kenarını hesaplıyoruz:
Karenin alanını bulalım (piramidin tabanı):
Karenin köşegenini hesaplayalım. Alanı 50 olduğundan kenar ellinin köküne eşit olacaktır ve Pisagor teoremine göre:
O noktası BD köşegenini ikiye böler, yani bacak dik üçgen OB = 5.
Böylece piramidin yan kenarının neye eşit olduğunu hesaplayabiliriz:
Cevap: 13
245353. Şekilde gösterilen piramidin hacmini bulun. Tabanı, bitişik kenarları dik olan ve yan kenarlarından biri taban düzlemine dik ve 3'e eşit olan bir çokgendir.
H- piramidin yüksekliği
S- üs alanı ABCDE
V- piramidin hacmi
Geometride piramit, tabanında bir çokgen bulunan bir gövdedir ve tüm yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir. Tabanda hangi şeklin bulunduğuna bağlı olarak piramitler üçgen, dörtgen, beşgen vb. şeklinde ayrılır. Ayrıca düzenli, kesik, dikdörtgen ve keyfi piramitler vardır. Hacim hesaplama formülü bu vücut karmaşık değildir ve herkes tarafından bilinmektedir. okul kursu geometri.
Piramitlerin mimaride kullanımının klasik bir örneği Mısır mezarlarıçoğu tam olarak bu şekle sahip olan firavunlar. Benzer yapıların (biraz değiştirilmiş olsa da) dünyanın diğer bölgelerinde ve ülkelerde, örneğin Meksika ve Çin'de bulunduğunu ve bunların hemen hemen her yerde ya mezarlar ya da dini yapılar olması karakteristiktir. Tabii ki, eski mimarlar onları tasarlarken, yaratımlarının hacmini belirlemeye pek çalışmadılar, ancak "takipçileri" kesinlikle bunu yapmak zorundaydı.
Modern mimarlar da bazen piramidal binalar Sosyal ve kültürel tesislerin en sık bulunduğu yer (alışveriş ve eğlence kompleksleri, sergi galerileri vb.) ve aynı zamanda bu yapıların hacmini, kabul edilen bina kurallarına, kurallarına ve yönetmeliklerine uygun olacak şekilde hesaplamak gerekir. Ayrıca, kesin değer Bu değer, binaya elektrik hatlarının en rasyonel şekilde yerleştirilmesi için gereklidir.
İÇİNDE son yıllar Seralar piramit şekli. Çoğu zaman şeffaf polikarbonattan yapılmışlardır ve geliştiricilerine göre geleneksel olanlara göre önemli avantajlara sahiptirler. Çünkü aynı şey için toplam alan bazda, içlerinde bulunan havanın hacmi yaklaşık üç kat daha azdır ve önemli ölçüde daha hızlı ısınır. Ayrıca piramidal bir serada üst kısımda biriken en sıcak gaz için daha az yer olduğundan daha rasyonel bir şekilde dağıtılır.
Piramitler genellikle sıradan dairelerde bulunabilir, kır evleri ve evler. Sıcak havayı, dumanı ve dumanı odalardan etkili bir şekilde uzaklaştırmak için kullanılan mutfak davlumbazlarının çanları genellikle bu şekle sahiptir. Farklı kesitlerdeki hava kanallarını bağlamak için kullanılan havalandırma sistemlerinin elemanları genellikle kesik piramitler şeklinde yapılır.
En popüler bulmacalardan biri sözde " Meffert piramidi", buna sıklıkla " denir Rubik'in tetrahedron'u", ancak Macar mimar ve mucidin bununla hiçbir ilgisi yok. Yüzlerinin her biri dokuz adet çok renkli parçaya bölünmüştür. düzgün üçgenler ve oyuncunun amacı, oyuncağı her bir yüzünde tüm unsurları aynı renkte olacak şekilde bir forma getirmektir.
"Piramit" kelimesi, firavunların barışını sadakatle koruyan Mısır'daki görkemli devlerle istemsiz olarak ilişkilendirilir. Belki de bu yüzden herkes, hatta çocuklar bile piramidi şaşmaz bir şekilde tanıyor.
Ancak, ona vermeye çalışalım geometrik çözünürlüklü. Düzlem üzerinde birkaç nokta (A1, A2,..., An) ve ona ait olmayan bir nokta daha (E) düşünelim. Yani, E noktası (tepe noktası), A1, A2,..., An (taban) noktalarının oluşturduğu çokgenin köşelerine bağlanırsa, piramit adı verilen bir çokyüzlü elde edersiniz. Açıkçası, piramidin tabanındaki çokgen herhangi bir sayıda köşeye sahip olabilir ve sayılarına bağlı olarak piramit üçgen, dörtgen, beşgen vb. olarak adlandırılabilir.
Eğer piramite yakından bakarsanız, neden farklı şekilde tanımlandığını da anlayacaksınız. geometrik şekil Tabanında bir çokgen bulunan ve yan yüzleri ortak bir tepe noktasıyla birleşen üçgenlerdir.
Piramit olduğundan mekansal şekil, o zaman onun da bir tane var niceliksel özellik, hacim olarak. Piramidin hacmi kuyu kullanılarak hesaplanır bilinen formül piramidin tabanı ve yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşit hacim:
Formül türetilirken, bir piramidin hacmi başlangıçta üçgen için hesaplanır ve bu değeri hacme bağlayan sabit bir oran esas alınır. üçgen prizma aynı tabana ve yüksekliğe sahip, görünüşe göre bu hacmin üç katı.
Ve herhangi bir piramit üçgenlere bölündüğünden ve hacmi ispat sırasında yapılan yapılara bağlı olmadığından, verilen hacim formülünün geçerliliği açıktır.
Tüm piramitlerden ayrı duranlar, tabanlarında yer alan doğru piramitlerdir. düzenli çokgen. gelince, tabanın ortasında “bitmesi” gerekiyor.
Durumunda düzensiz çokgen Tabanın alanını hesaplamak için tabanda ihtiyacınız olacak:
- onu üçgenlere ve karelere bölün;
- her birinin alanını hesaplayın;
- alınan verileri ekleyin.
Piramidin tabanı durumunda alanı hazır formüller kullanılarak hesaplanır, bu nedenle normal bir piramidin hacmi oldukça basit bir şekilde hesaplanır.
Örneğin hacmi hesaplamak için dörtgen piramit, eğer düzenliyse, tabandaki normal bir dörtgenin (kare) kenar uzunluğunun karesini alın ve piramidin yüksekliğiyle çarparak elde edilen ürünü üçe bölün.
Piramidin hacmi diğer parametreler kullanılarak hesaplanabilir:
- bir piramitte yazılı bir topun yarıçapı ile toplam yüzey alanının çarpımının üçte biri olarak;
- keyfi olarak seçilen iki kesişen kenar arasındaki mesafe ile geri kalan dört kenarın orta noktalarını oluşturan paralelkenarın alanının çarpımının üçte ikisi kadardır.
Bir piramidin hacmi, yüksekliğinin yan kenarlardan biriyle çakışması durumunda, yani dikdörtgen bir piramit durumunda hesaplanır.
Piramitlerden bahsetmişken, piramidin kesiti ile elde edilen kesik piramitleri de göz ardı edemeyiz. tabana paralel düz. Hacimleri neredeyse tüm piramidin hacimleri ile kesik tepe arasındaki farka eşittir.
Birincisi, tamamen olmasa da piramidin hacmidir. modern biçim Ancak Demokritos, bildiğimiz prizmanın hacminin 1/3'üne eşit olduğunu buldu. Arşimed, Demokritos'un piramide sonsuz incelikte, benzer plakalardan oluşan bir şekil olarak yaklaşması nedeniyle hesaplama yöntemini "kanıtsız" olarak adlandırdı.
Vektör cebiri aynı zamanda köşelerinin koordinatlarını kullanarak bir piramidin hacmini bulma konusunu da “ele aldı”. Piramit üç üzerine inşa edildi a,b,c vektörleri, modülün altıda birine eşit karışık ürün verilen vektörler